専門家のコンテンツのアーカイブ: テキストと式は歴史的理論的見解を伝えるものであり、プロジェクト、静的計算、耐荷重チェック、既存要素の評価、または建設や改修の指示ではありません。指定、仮定、およびおおよそのパターンは、特定のシステム、材料、形状、境界条件、および適用される規格と照らし合わせてチェックする必要があります。ねじれ、安定性、疲労、関節、曲げ防止による応力の計算は、必要に応じて独立した制御を行いながら、認定エンジニアが行う必要があります。
Savo Kusićは今日、木製窓、木製アルミニウム窓、カスタム窓、ドア、見積依頼に焦点を当てています。この記事は歴史的な専門アーカイブとして残されており、建設設計サービスを表すものではありません。
サン・ヴェナンねじり理論（自由ねじり）
微分方程式
図1
真っ直ぐなロッドの一方の端 x=0 を固定し、もう一方の端にねじりモーメント M の負荷をかけます (図 1)。次に、その各セクションは、スティックの軸に平行な特定の線の周りを特定の角度 α(x) だけ回転します。これを x\ 軸として採用します。すべての断面が互いに等しい場合、x 軸に平行な直線はコイルに入り、角度 α は固定端からの距離に比例します: α=ϑx。そこから断面の平面内の成分の変位が生じます (図 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
量 ϑ はねじれ角と呼ばれます (寸法: 長さ-1、長さ単位あたりの回転)。ねじり角度はねじりモーメント M:
ϑ = M/GJT。 (2)
図2
比例係数_GJT_、ねじり剛性は、せん断弾性率_G_と係数_JT_の積に等しく、断面の形状とサイズの影響を表します。
この断面の回転はロッドの唯一の変形を表すものではありません。さらに、断面の曲がり、つまり x\ 軸方向の変位 u も発生します。これはすべての断面の対応する点で同じ大きさを持ち、したがって断面の平面内の座標の関数にすぎません。それ以外の場合は、荷重 M またはねじれ角 ϑ:
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
上記の式を対応する変位方程式に導入すると、主垂直応力がゼロに等しく、2 つの成分応力 τxy と τxz だけが残ることがわかります:
等式3
ねじり問題の微分方程式は、方程式 (3) に基づいて次のように計算して得られます。
ユニット。 4a および 4b
そして、次のような応力関数 F(y,z) を導入して、未知数 τxy と τxz の微分方程式を解きます。
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5）
これにより、方程式 (4a) 同様に満たされ、式 (4b) 必要な微分方程式が得られる
d2F/dy2+d2F/dz2=2G__ϑ (6）
この方程式の一意の解に必要な境界条件は、ロッドのエンベロープにせん断応力が存在しないという要件から得られます。このことから、せん断応力の共役の性質により、断面内の応力は輪郭に沿ってそれに垂直な成分を持ってはいけないことがわかります。ここからは図。2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
したがって
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
つまり、関数 F の合計微分はゼロでなければなりません。つまり、F=const でなければなりません。輪郭に沿って。
断面に輪郭が 1 つしかない場合は、その上に F= を置くだけで済みます。0なぜなら、電圧関数では、実際には導関数のみに関心があるため、任意の加法定数は役割を果たさないからです。複数の等高線を持つセクションの場合、この問題はより複雑になります。
方程式からわかるように (5) 任意の交点におけるせん断応力 τxy と τxz の結果、応力関数 F の勾配と大きさは等しいが、それに垂直です。つまり、線 F=const に対して接線方向を持ちます。
微分方程式 (6) を解くと、y、z、ϑ の関数として電圧 τ が得られます。計算のタスクは、もちろん、ねじり角度 θ と応力、特にねじりモーメントの関数としての最大応力を決定することです。したがって、方程式 (2) から断面剛性 JT と抵抗ねじりモーメント WT = Mmaxτ を決定します。これらを取得するには、M を F の関数として表現するだけです:
この積分の両方の加算は、セクション全体にわたって行われる必要がありますが、部分積分によって変換できます。たとえば、最初のものが z=const の線に沿って最初に積分されるとします。輪郭上の点 y=y1 から点 y=y2 まで (図 3)、これらの点の両方で F=0 であることを考慮すると、
2 回目の積分でも同じ値が得られるので、
等7
図3
フルセクションのその他のケース
微分方程式 (6) はポテンシャル理論の不均一方程式です。したがって、任意の断面の場合のねじり問題の解決には、常に求めることができるポテンシャル理論の手法が利用可能です。ただし、これらの方法は一般に複雑すぎて、実際に発生する個別のケースに適用するには適していません。そのため、次の表は、いくつかのセクションに対するそのような計算の結果を示しています。
円形に近い断面の場合、JT=F_4/40_Ip を入力できます。ここで、F は面積、Ip は断面の極慣性モーメントです。
式と表に関する注意: スキャンされた画像上の式と値は履歴ソースとして保存されます。 OCR テキスト、インデックス マーク、スキャンは計算に十分な信頼性がありません。各式、単位、係数、範囲は、使用前に権威ある専門情報源と有効な規格で確認する必要があります。
膜との類似性
ねじり応力を推定するための優れた助けとなると同時に、ねじり問題の応力関数 F と膜のたわみ横方向荷重との間の類推により、ねじり応力を正確に決定するための手順が提供されます。容器の平らな壁に、ねじり荷重がかかったロッドの断面と一致する平均的な開口部があるとします。膜がこの開口部上で引き伸ばされ、容器内に小さな過剰圧力 p が生じると、膜は外側に膨らみ、そのたわみ ξ(y,z) が微分方程式
ここで、N は毛細管力によって生じる膜の表面張力です (寸法: 単位長さあたりの力)。この式は式 (6) と一致し、境界条件 ξ=0 は電圧関数の場合と同じです。このようにして、膜を備えたこのミラーの助けを借りて応力関数 F(y,z) を取得し、それによってねじれ問題を解決することができます。応力 τ は、y-z\ 平面に対する膜の傾きに対応するため、最も急な場所は、ねじれにさらされるロッドが最も高いせん断応力を持つ場所になります。
図4
図5
このメンブレン手順は、薄肉セクションの近似パターンを取得するのに特に適しています。例えばIセクションを図のように分割すると、 4 を 3 つの長方形に配置し、それぞれについて膜との類推を個別に実行すると、結果として得られる突起の体積の合計は、実際に電圧関数に対応する体積よりわずかに小さくなるだけです。したがって、厚さ_b1_と_b2_が薄い場合、約
JT = 2JT1 + JT2,
ここで、JT1 および JT2 は、表 1 に基づいて計算できる個々の長方形の剛性係数です。 JT2 = a2 b32/3 をリブに使用すると、つまりリブが非常に細長い長方形の一部とみなされる場合、より適切な近似が得られます。
JT = 2JT1 + 1/3 a2 b32 + 2 α D4,
ここで、D は図に示すように内接する最大円の直径です。 4、および_α_は図から取得できます。 5。 T セクションについても同様に取得されます
JT = JT1 +JT2 + α D4,
ここで、_JT2_は、a=2 a2、b=_b2_の表1に従って計算された値の半分です。 L セクション (図 6) の場合は、
JT = JT1 + JT2 + β D4
ここで、太いアームの_JT1_は表1から直接取得され、細いアームの_JT2_はTセクションと同様に計算され、_β_は図から取得されます。 7.
図6
図7
応力を計算するとき、ねじりモーメントは構成長方形に分割されます。フランジにかかる部分 M1=M JT2/JT;次に、表1に基づいて、各長方形の長辺の中央でせん断応力が計算されます。これらの応力のうち最大のものは、断面内に現れる最大のせん断応力である必要はありません。つまり、入射角が丸められていない場合、その場所では τ=∞ が得られるため、丸め半径が非常に小さい場合、ここで最も高いせん断応力が期待できます。
エンジニアリング上の注意: 理想的な鋭角における数学的特異点は、この近似パターンだけで実際の詳細を推定するライセンスではありません。実際の丸みの形状、公差、塑性、溶接、残留応力、局所的な安定性、疲労には、適切なモデリングと専門家の検証が必要です。
脚の太さが Trefftz に従って t である片側角度の場合、直径の丸めは r になります:
ここで、τ0 は、ここで説明する手順に基づいて個々の脚ごとに計算された最高電圧を示します。より大きな丸め半径の場合は、τ=2__τ0.
薄肉パイプ(ブラッドパターン)
壁が薄いパイプでは、膨らんだ膜は図に示す形状になります。 8、パイプ内部の中空スペースの上の平面と、それを囲んでパイプ壁の有効断面の上にある傾斜面で構成されます。適切な場所のパイプ壁が薄い場合、この傾斜面はさらに急になる必要があります。この場合、せん断応力は壁の厚さ全体にかなり均等に分布し、壁の厚さに反比例します。つまり、せん断力 T = τt は断面の円周に沿って変化しません。
Sl. 8
表面要素_t__∙ds_はねじりモーメントの一部を受けます
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
したがって、合計モーメントは
等式8
図の線と点で示された中央の線がFR表面を覆っているところです。 8。ここから
等式9 - 最初の Bredt\ パターン
ねじり剛性は、変形仕事が一方ではねじりモーメントとねじり角度によって、他方ではせん断応力によって表現される場合に最も簡単に得られます。このようにして、長さ l
それで、方程式 (8) に従ってτの値を導入し、
つまり、方程式 (2) との比較により:
式10
壁の厚さがすべて同じであれば、それは簡単です(2。Bredt\のパターン):
等式11
断面曲げによるねじり垂直応力
基本用語と微分方程式
コンポーネントの変位 u、方程式 (1b) は、平面からの断面の曲率を決定します。ねじりモーメントが一定の場合、この曲げはすべてのセクションで同じになり、垂直応力_σx_は現れません。
多くの場合、St. に基づいて生じるはずの断面の曲率は、ヴェナントの理論は不可能です。ある断面内でねじりモーメントが急激に変化すると、断面の両側で異なる大きさの曲げが発生し、変形の連続性が崩れてしまいます。ロッドの一端は、その時点でセクションの曲がりが完全に排除されるようにクランプすることができます。このような場合には、St を補足する必要があります。ヴェナントの理論。ロッド軸方向の補助応力_σx_と補助せん断力_T(せん断応力_T/t)がロッド内に現れます。これらは変形の連続性が途切れた部分で最も高く、この部分から離れるにつれて指数関数的に減少します。中実のロッドやチューブの場合、この理論は複雑であり、補助電圧は非常に急速に低下するため、ほとんどの場合、その決定は価値がありません。オープンプロファイルの薄肉ロッドの場合、この補正は非常に重要であり、比較的簡単に計算できます。
図9
図9は、壁の中間面と断面平面が交差する線(断面の中心線)を示します。 O は、2 つの隣接するセクションの相対回転の中心です。それらの距離が dx の場合、ねじれ角は θ dx であるため、正中線の任意の点は u θ dx の変位を受けます。この変位は断面に接する方向の成分 rt ϑ dx を持ち、壁の中間面の要素の滑りは (_u=_φϑ を考慮すると):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
壁の中間面のせん断応力はゼロであるため、γ=0でなければならず、したがって
このパターンには、3 つの任意のパラメーターが含まれています。円弧長 s の計算元となる原点と、rt が依存する相対回転中心の座標 O です。円弧長 s の計算開始点は、曲率の平均値がゼロになるように選択できます:
と中心 O の座標は、セクションの曲げによるモーメントもゼロになるように決定できます:
この方法で決定された_回転中心_は、ここで説明され、別の方法で定義されたせん断中心と一致することがわかります。
これらのパターンで表される断面の曲げが完全または部分的に防止される場合、ロッドの軸方向の垂直応力 σx が現れるはずです。詳しく調べると、これらの応力は曲率関数 φ: σx=k__φ に比例するとみなせることがわかります。ここで、φ は s のみに依存し、k は x のみに依存します。フックの法則によると:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
は k=E d__ϑ/dx である必要があります。垂直応力_σx_は断面曲げ応力と呼ばれます。上記の方程式を考慮すると、各セクションに平衡力系、つまりセクションの曲げによる力系が形成されます。
合計ねじりモーメントは 2 つの部分で構成されます。そのうちの 1 つ M1=GJT__ϑ は、ねじり時のせん断応力から生じ、St. が得られます。 Venant\ の理論、およびもう 1 つの M2 はセクションの曲げによって発生します:
等13
モーメント_M_は_x_の関数として与えられるため、この式はねじれ角_ϑ_の微分方程式を表します。この方程式を解くと、M1 と M2 が計算できるため、すべての応力とひずみが計算されます。
ソリューションとアプリケーション
ねじりモーメント_M_が一定の場合、方程式(13)の一般解は次のようになります。
積分定数_C1、C2_は、2つの境界条件から決定する必要があります。
a) しっかりとクランプされた端 x=0 (図 1)
この端は u≡0 なので、方程式 (1b) ϑ=0 に基づきます。ロッドが非常に長い場合 (αl>>1)、C1=0 および C2= -M/GJT になります。短いロッドの場合、断面の曲がりによる応力の現れ方はロッドの右端の状態に影響されます。その場所での断面の曲がりを防止できなければ、σx≡0や_dϑ/dx_=0となる。ここからは
b) 図による対称ねじり荷重。 10
ロッドの左半分では、ねじりモーメントは_-M_/2、右半分では+M/2です。自由ねじりの場合、ロッドの中央の左右の部分が逆方向にねじられるため、変形の連続性が保たれません。したがって、x=0 の場所では、ねじりモーメント全体がセクションの曲げによって発生する応力を介して伝達される必要があるため、このセクションでは M1=0、したがって ϑ=0 となります。この時点で、たとえロッドの中心から離れた部分が湾曲していても、その部分が真っ直ぐに保たれるように力の系が作用します。さらに、ロッドの端での応力が σx≡0 であることが必要な場合、ロッドの半分ごとにもう 1 つの境界条件が得られるため、右半分については
図10
c) 任意の場所における外部モーメントM (図11)
この場合、ロッドの両方の部分の解 ϑ を個別に記述する必要があるため、合計 4 つの定数 C1、C2、C3、C4 が表示されます。さらに、ねじりモーメント Ma、Mb も不明です。 6 つの方程式が利用可能です: 荷重作用点での ϑ (u で表される) および dϑ/dx (σx で表される) の連続条件、ロッドの各端での 1 つの条件 (例: 硬い挟み込み ϑ=0 または乱れのない曲げ、 dϑ/dx=0)、モーメント平衡条件 -Ma+Mb=M、そして最後に端部が互いに向かない条件: ∫ ϑdx = 0.
図11
最後の注意: ねじりモデルの選択は、開いたセクションまたは閉じたセクション、細さ、支持方法、モーメント入力の場所、および自由曲げの可能性によって異なります。実際の要素の場合、記事からの 1 つの独立した式だけでなく、耐荷重性と保守性の限界状態、局所的な詳細、接合部、疲労と安定性をチェックする必要があります。