Archyvinis ekspertinis turinys: tekstas ir formulės perteikia istorinį teorinį pristatymą ir nėra projektas, statinis skaičiavimas, laikomosios galios patikrinimas, esamo elemento įvertinimas ar statybos ar rekonstrukcijos instrukcijos. Pavadinimai, prielaidos ir apytiksliai modeliai turi būti patikrinti pagal konkrečią sistemą, medžiagą, geometriją, ribines sąlygas ir taikomus standartus. Sukimo, stabilumo, nuovargio, jungčių ir įtempių, atsirandančių dėl apsaugoto lenkimo, skaičiavimus turi atlikti licencijuotas inžinierius, prireikus su nepriklausoma kontrole.
Šiandien Savo Kusić daugiausia dėmesio skiria mediniams langams, mediniai-aliuminio langai, priskirti langai, durys ir prašymai pateikti citatą. Šis straipsnis išlieka kaip istorinis profesinis archyvas ir neatstovauja konstrukcijų projektavimo paslaugai.
Saint-Venant sukimo teorija (laisvoji sukimas)
Diferencialinė lygtis
Sl.1
Tegul tiesus strypas pritvirtinamas viename iš jo galų x=0ir leiskite jį apkrauti kitame gale sukimo momentu M (pav.1). Tada kiekviena jos atkarpa sukasi tam tikru kampu α(x) aplink tam tikrą tiesę, lygiagrečią lazdos ašiai, kurią priimsime kaip x-ašį. Jei visos atkarpos yra lygios viena kitai, bet kuri tiesė, lygiagreti x ašiai, pateks į ritę, o kampas α bus proporcingas atstumui nuo fiksuoto galo: α=ϑx, iš kurio atsiranda komponentų poslinkiai pjūvio plokštumoje (1 pav.).2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Dydis ϑ vadinamas sukimo kampu (matmenys: ilgis-1, sukimasis ilgio vienetui). Sukimo kampas yra proporcingas sukimo momentui M:
ϑ = M/GJT. (2)
pav. 2
Proporcingumo koeficientas GJT, sukimo standumas, yra lygus šlyties modulio G ir koeficiento JT sandaugai, kuri parodo pjūvio formos ir dydžio poveikį.
Toks sekcijos pasukimas nėra vienintelė strypo deformacija. Be to, taip pat yra skerspjūvio lenkimas, t. y. poslinkis u x-ašies kryptimi, kurio dydis yra vienodas atitinkamiems visų skerspjūvių taškams ir todėl yra tik pjūvio plokštumos koordinačių funkcija, o kitu atveju yra proporcingas apkrovai M arba sukimo kampui: _ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Jei aukščiau pateiktos išraiškos įvedamos į atitinkamas poslinkio lygtis, gaunama, kad pagrindiniai normalūs įtempiai yra lygūs nuliui, paliekant tik du komponentų įtempius τxy ir τxz:
Vienas.3
Sukimo uždavinio diferencialinė lygtis gaunama remiantis lygtimis (3) įdėti:
Vienas.4ir aš4b
ir šių nežinomųjų τxy ir τxz diferencialinių lygčių sprendimas įvedant įtempių funkciją F(y,z), kuri:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Šiuo atveju lygtis (4a) identiškai patenkintas, o iš lygties (4b) gaunama reikiama diferencialinė lygtis
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Šios lygties unikaliam sprendimui reikalinga ribinė sąlyga gaunama iš reikalavimo, kad ant strypo gaubto nebūtų šlyties įtempių, iš kurių dėl šlyties įtempių konjuguoto pobūdžio išplaukia, kad pjūvio plokštumos įtempis neturi turėti jam statmenos sudedamosios dalies išilgai kontūro. Iš čia pav.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
todėl
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
y., funkcijos F bendras skirtumas turi būti lygus nuliui, tai yra, jis turi būti F=const. palei kontūrą.
Jei pjūvis turi tik vieną kontūrą, jį galima tiesiog uždėti F=0, nes naudojant įtampos funkciją, kurios išvestinės mus iš tikrųjų domina tik išvestinės, savavališka adityvinė konstanta nevaidina jokio vaidmens. Sekcijų, turinčių daugiau nei vieną kontūrą, problema yra sudėtingesnė.
Kaip matyti iš lygties (5) šlyties įtempių τxy ir τxz rezultatas savavališkame susikirtimo taške yra lygus įtempių funkcijos F gradientui, bet yra jam statmenas, ty turi liestinės kryptį tiesei F=const.
Išspręsdami diferencialinę lygtį (6)) gaunamos įtampos τ kaip y, z ir ϑ funkcijos. Skaičiavimo užduotis, žinoma, yra sukimo kampo ϑ ir įtempių, ypač didžiausio įtempio, kaip sukimo momento funkcijos, nustatymas, todėl atkarpos JT standumo nustatymas iš lygties (2) ir varžos sukimo momentas WT = Mmaxτ. Norint juos gauti, tereikia išreikšti M kaip F funkciją:
Abi šio integralo sumos, kurios turėtų būti perimtos visoje atkarpoje, gali būti transformuojamos daliniu integravimu. Jei, pavyzdžiui, pirmasis iš jų integruojamas pirmiausia išilgai linijos z=const. nuo taško kontūre y=y1 iki taško y=y2 (pav.3) ir atsižvelkite į tai, kad abiejuose šiuose taškuose F=0, gaunamas
Ta pati reikšmė gaunama iš antrojo integralo, taigi
Vienas.7
Sl.3
Kiti pilnų skyrių atvejai
Diferencialinė lygtis (6) yra nehomogeninė potencialų teorijos lygtis. Todėl sukimo problemos sprendimui savavališko skerspjūvio atveju galimi potencialų teorijos metodai, leidžiantys jį visada rasti. Tačiau šie metodai paprastai yra pernelyg sudėtingi, kad juos būtų galima taikyti atskirais praktikoje pasitaikančiais atvejais. Todėl šioje lentelėje pateikiami kelių sekcijų tokių skaičiavimų rezultatai.
Jei skerspjūviai artimi apskritimui, galima įdėti JT=F_4/40_Ip, kur F yra plotas, o Ip yra pjūvio polinis inercijos momentas.
Pastaba dėl formulių ir lentelių: išraiškos ir reikšmės nuskaitytuose vaizduose saugomos kaip istorinis šaltinis. OCR tekstas, rodyklės žymės ir nuskaitymas nėra pakankamai patikimi skaičiavimui. Prieš naudojimą kiekviena formulė, vienetas, koeficientas ir galiojimo sritis turi būti patikrinti autoritetingame profesionaliame šaltinyje ir taikomame standarte.
Analogija su membrana
Gera pagalba sukimo įtempiams įvertinti, o kartu ir tikslaus jų nustatymo metodika suteikia analogija tarp sukimo uždavinio įtempių funkcijos F ir membranos įlinkio skersinės apkrovos. Tegul ant plokščios indo sienelės būna vidutinė anga, kuri sutampa su sukimo būdu apkrauto strypo skerspjūviu. Kai membrana ištempiama virš šios angos ir kraujagyslėje susidaro nedidelis perteklinis slėgis p, membrana išsiskleidžia į išorę, todėl jos įlinkiai ξ(y,z) tenkina diferencialinę lygtį.
čia N yra membranos paviršiaus įtempimas, kurį sukelia kapiliarinės jėgos (matmenys: jėga, tenkanti ilgio vienetui). Ši lygtis sutampa su lygtimi (6), ir ribinę sąlygą ξ=0yra tokia pati kaip įtampos funkcija. Tokiu būdu naudojant šį veidrodį su membrana galima gauti įtampos funkciją F(y,z) ir taip išspręsti sukimo problemą. Įtempis τ atitinka membranos nuolydį y-z-plokštumos atžvilgiu, todėl stačiausia vieta yra ta, kur strypas, veikiamas sukimo, turi didžiausią šlyties įtempį.
Sl.4
Sl.5
Ši membraninė procedūra ypač tinka norint gauti apytikslius plonasienių sekcijų modelius. Kai, pavyzdžiui, I sekcija yra padalinta pagal pav.4ant trijų stačiakampių ir kiekvienam iš jų analogija su membrana atliekama atskirai, gautų iškyšų tūrių suma bus tik šiek tiek mažesnė už tūrį, kuris iš tikrųjų atitinka įtampos funkciją. Todėl, kai storiai yra b1 ir b2 mažas, maždaug
JT =2JT1+ JT2,
kur JT1 ir JT2 atskirų stačiakampių standumo koeficientai, kuriuos galima apskaičiuoti pagal lentelę1. Geresnis požiūris pasiekiamas, kai šonkauliui dedamas JT2 = a2b32/3, todėl, kai briauna laikoma labai pailgo stačiakampio dalimi. Dar tikslesnė reikšmė gaunama pagal Dėklas ir Kovo mėn.\ iš
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
kur D yra didžiausio apskritimo skersmuo, įrašytas kaip parodyta fig.4, ir α galima paimti iš fig.5. T sekcijai jis gaunamas panašiai
JT = JT1+ JT2+ α D4,
kur JT2 pusė vertės, apskaičiuotos pagal lentelę1už a=2_a2_, b=b2. L formos sekcijoms (pav.6) yra panašus į tai
JT = JT1+ JT2+ β D4
kur JT1 storesnė ranka paimama tiesiai nuo stalo1, o JT2 plonajai kojelei apskaičiuojamas kaip ir T sekcijai, o β paimtas iš fig.7.
pav. 6
Sl.7
Skaičiuojant įtempį, sukimo momentas padalijamas į sudedamuosius stačiakampius: dalis, kuri patenka ant flanšų M1=M JT2/JT; šlyties įtempis apskaičiuojamas kiekvieno stačiakampio ilgesnės kraštinės vidurio taške, remiantis lentele1. Didžiausias iš šių įtempių nebūtinai turi būti didžiausias pjūvyje atsirandantis šlyties įtempis. Būtent, jei kritimo kampas nesuapvalintas, toje vietoje gaunamas τ=∞, todėl esant labai mažam apvalinimo spinduliui, čia galima tikėtis didžiausio šlyties įtempio.
Inžinerinė pastaba: matematinis idealizuoto smailiojo kampo išskirtinumas neleidžia įvertinti tikrosios detalės vien pagal šį apytikslį modelį. Tikroji apvalinimo geometrija, leistinos nuokrypos, plastiškumas, suvirinimo siūlės, liekamieji įtempiai, vietinis stabilumas ir nuovargis reikalauja tinkamo modeliavimo ir ekspertų patikrinimo.
Jei vienpusis kampas, kurio kraštinės storis yra t pagal Trefftz, yra ant skersmens r apvalinimo:
kur su τ0 pažymėta maksimali įtampa, apskaičiuota kiekvienai atskirai pagal čia aprašytą procedūrą. Didesniems apvalinimo spinduliams galima naudoti τ=2__τ0.
Plonasieniai vamzdžiai (Bradto raštai)
Plonasieniuose vamzdžiuose išsipūtusi membrana turi tokią formą, kaip parodyta fig.8, kurį sudaro plokštuma virš tuščiavidurės erdvės vamzdžio viduje ir nuožulnus paviršius, kuris juos supa ir yra virš efektyvios vamzdžio sienelės dalies; šis pasviręs paviršius turi būti statesnis, jei vamzdžio sienelės atitinkamoje vietoje plonesnės. Šiuo atveju šlyties įtempiai pasiskirsto gana tolygiai per sienų storį ir yra atvirkščiai proporcingi sienų storiui, t.y. kirpimo jėga T = τt nesikeičia išilgai pjūvio perimetro.
Sl. 8
Paviršiaus elementas t_∙ds_ gauna dalį sukimo momento
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
taigi visas momentas yra
Vienas.8
kur FR paviršių dengia vidurinė linija, pažymėta linijomis ir taškais pav.8. Jis gaunamas iš čia
Vienas.9- Pirmasis Bredt\ modelis
Sukimo standumas paprasčiausiai gaunamas, kai deformacijos darbas išreiškiamas, viena vertus, sukimo momentu ir sukimo kampu ir, kita vertus, šlyties įtempiais. Tokiu būdu jis gaunamas l ilgio strypo elementui
taigi, įvedant τ reikšmę pagal lygtį (8),
tai yra lyginant su lygtimi (2):
Vienas.10
Jei sienų storis visur vienodas, tai paprasta (2. Bredt modelis):
Vienas.11
Įprasti sukimo įtempiai dėl sekcijos lenkimo
Pagrindiniai terminai ir diferencialinė lygtis
Komponentų poslinkiai u, lygtis (1b), nustato pjūvių kreivumą nuo jų plokštumų. Kai sukimo momentas yra pastovus, šis lenkimas yra vienodas visose atkarpose ir normalių įtempių σx neatsiranda.
Daugeliu atvejų skerspjūvio kreivumas, kuris turėtų atsirasti remiantis _Šv. Venanto teorija neįmanoma. Jei viename skerspjūvyje staigiai pasikeistų sukimo momentas, abiejose skerspjūvio pusėse atsirastų skirtingo dydžio lenkimas, sutriktų deformacijos tęstinumas. Vienas strypo galas gali būti taip prispaustas, kad tame taške sekcijos lenkimas būtų visiškai pašalintas. Tokiais atvejais reikėtų pataisyti _Šv. Venanto teorijos. Strype atsiranda papildomi įtempiai σx strypo ašies kryptimi ir papildoma šlyties jėga T (kirpimo įtempiai T/t), kurie yra didžiausi pjūvyje, kur deformacijos tęstinumas nutrūksta, ir mažėja eksponentiškai didėjant atstumui nuo šios atkarpos. Kietų strypų ir vamzdžių atveju ši teorija yra sudėtinga, o papildomos įtampos mažėja taip greitai, kad daugeliu atvejų jų nustatyti neapsimoka. Plonasienių atviro profilio strypų atveju ši korekcija yra labai svarbi ir ją galima palyginti nesunkiai apskaičiuoti.
Sl.9
Sl.9rodoma linija, išilgai kurios susikerta sienos vidurinis paviršius ir pjūvio plokštuma (pjūvio vidurinė linija). O yra dviejų gretimų sekcijų santykinio sukimosi centras. Jei jų atstumas yra dx, sukimo kampas yra ϑ dx, taigi savavališkas vidurio linijos taškas patiria poslinkį u ϑ dx. Šis poslinkis turi komponentą rt ϑ dx pjūvio liestinės kryptimi ir yra sienos vidurinio paviršiaus elemento slydimas (atsižvelgiant į tai, kad _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Kadangi šlyties įtempis viduriniame sienos paviršiuje yra lygus nuliui, jis taip pat turi būti γ=0, taigi dėl to
Šiame šablone yra trys savavališki parametrai: pradžia, iš kurios apskaičiuojamas lanko ilgis s, ir santykinio sukimosi centro koordinatės O, nuo kurių priklauso rt. Pradinį tašką, nuo kurio apskaičiuojamas lanko ilgis s, galima pasirinkti taip, kad vidutinė kreivės vertė būtų lygi nuliui:
o centro O koordinates galima nustatyti taip, kad momentai dėl ruožo lenkimo būtų lygūs nuliui:
Galima parodyti, kad taip nustatytas sukimosi centras sutampa su šlyties centru, kuris yra čia aprašytas ir apibrėžtas kitaip.
Jei visiškai arba iš dalies užkertamas kelias šiais modeliais aprašytam pjūvio lenkimui, turi atsirasti normalūs įtempiai σx strypo ašies kryptimi. Atidesnis tyrimas rodo, kad šiuos įtempius galima laikyti proporcingais kreivės funkcijai φ: σx=k__φ, kur φ priklauso tik nuo s, o k tik nuo x. Pagal Huko dėsnį:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
turi būti k=E d__ϑ/dx. Normalūs įtempiai σx vadinami pjūvio lenkimo įtempiais. Atsižvelgiant į aukščiau pateiktas lygtis, jos sudaro pusiausvyros jėgų sistemą kiekviename skyriuje, jėgų sistemą, atsirandančią dėl sekcijos lenkimo.
Bendras sukimo momentas susideda iš dviejų dalių: viena iš jų M1=GJT__ϑ atsiranda dėl sukimo šlyties įtempių, kurias suteikia _St. Venanto teorija, o kita M2 atsiranda dėl sekcijos lenkimo:
Vienas.13
Kadangi momentas M pateiktas kaip x funkcija, ši išraiška parodo sukimo kampo ϑ diferencialinę lygtį. Išsprendus šią lygtį, galima apskaičiuoti M1 ir M2, taigi ir visi įtempimai bei įtempimai.
Sprendimas ir programos
Kai sukimo momentas M yra pastovus, lygties (13) yra:
Integravimo konstantos C1, C2 turi būti nustatytas pagal dvi ribines sąlygas.
a) Standžiai suspaustas galas x=0(pav.1)
Šiame gale yra u≡0, todėl remiantis lygtimi (1b) ϑ=0. Jei strypas labai ilgas (αl>>1), tada C1=0ir C2= -M/GJT. Trumpų strypų atveju įtempių atsiradimui dėl sekcijos lenkimo įtakos turi būklė dešiniajame koto gale. Jei toje vietoje ruožo lenkimas nebus apsaugotas, bus σx≡0ir dϑ/dx=0. Jis gaunamas iš čia
b) Simetrinė sukimo apkrova pagal pav. 10
Kairėje strypo pusėje sukimo momentas yra -M/2, o dešinėje +M/2. Esant laisvajam sukimui, atkarpos į kairę ir į dešinę nuo strypo vidurio būtų susuktos priešinga kryptimi, todėl nebūtų išsaugotas deformacijos tęstinumas. Todėl vietoje x=0 visas sukimo momentas turi būti perkeltas per įtempius, atsirandančius dėl pjūvio lenkimo, todėl šioje atkarpoje M1=0 ir todėl ϑ=0. Šiuo metu veikia jėgų sistema, užtikrinanti, kad sekcija išliktų tiesi, net jei atkarpos yra toliau nuo strypo kreivės centro. Jei papildomai reikalaujama, kad strypo galuose įtempimai būtų σx≡0, kiekvienai strypo pusei gaunama dar viena ribinė sąlyga, taigi dešinėje pusėje ji yra
Pav. 10
c) Išorinis momentas M savavališkoje vietoje (11 pav.)
Šiuo atveju abiejų strypo dalių sprendimas ϑ turi būti rašomas atskirai, todėl iš viso atsiranda keturios konstantos C1, C2, C3, C4. Be to, sukimo momentai Ma, Mb taip pat nežinomi. Galimos šešios lygtys: ϑ tęstinumo sąlyga (išreikšta u) ir dϑ/dx (išreikšta σx) apkrovos veikimo taške, viena sąlyga kiekviename strypo gale (pvz., standus suspaudimas ϑ=0 sutrikimas, lenkimas arba nesutrikimas dϑ/dx=0), momento pusiausvyros sąlyga -Ma+Mb=M ir galiausiai sąlyga, kad galinės atkarpos nesisuka viena į kitą: ∫ ϑdx = 0.
Sl.11
Baigiamoji pastaba: sukimo modelio pasirinkimas priklauso nuo atviros ar uždaros sekcijos, plonumo, atramos būdo, momento įvesties vietos ir laisvo lenkimo galimybės. Tikram elementui turi būti tikrinamos laikomosios ir tinkamumo naudoti ribinės būsenos, lokalios detalės, jungtys, nuovargis ir stabilumas, o ne tik viena atskira formulė iš gaminio.