Cuntinutu di l’espertu d’archiviu: u testu è e formule trasmettenu una presentazione teorica storica è ùn sò micca un prughjettu, calculu staticu, verificazione di capacità portante, valutazione di un elementu esistente, o struzzioni per a custruzzione o riabilitazione. Designazioni, ipotesi è mudelli apprussimativi devenu esse verificati cù u sistema specificu, u materiale, a geometria, e cundizioni di cunfini è i normi applicabili. U calculu di torsione, stabilità, fatigue, articulazioni è stress dovutu à a curvatura impedita deve esse fattu da un ingegnere licenziatu, cun cuntrollu indipendente quandu hè necessariu.
Oghje, Savo Kusić hè focu annantu à finestre di legnu, finestre di legnu-aluminiu, finestri persunalizati, porta è richieste di quotazione. Questu articulu resta cum’è un archiviu prufessiunale storicu è ùn rapprisenta micca un serviziu di disignu strutturale.
Teoria di a torsione di Saint-Venant (torsione libera)
Equazione differenziale
Sl.1
Chì un bastone drittu sia fissatu à una di e so estremità x=0è lasciate esse caricate à l’altra estremità cun un momentu di torsione M (fig.1). Allora ognuna di e so rùbbriche rota da un certu angulu α(x) intornu à una certa linea parallela à l’assi di u bastone, chì adopteremu cum’è l’axis x. Sì tutte e rùbbriche sò uguali l’una à l’altra, ogni linea recta parallela à l’assi x passa in una bobina, è l’angulu α serà proporzionale à a distanza da l’estremità fissa: α=ϑx, da quale sorgenu i spostamenti di cumpunenti in u pianu di a seccione (Fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
A quantità ϑ hè chjamata l’angolo di torsione (dimensione: lunghezza -1, rotazione per unità di lunghezza). L’angolo di torsione hè proporzionale à u mumentu di torsione M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
U fattore di proporzionalità GJT, a rigidità torsionale, hè uguale à u pruduttu di u modulu di cisura G è u fattore JT, chì rapprisenta l’effettu di a forma è a dimensione di a seccione.
Questa rotazione di a rùbbrica ùn hè micca l’unica deformazione di u bastone. Inoltre, ci hè ancu una curvatura di a sezione trasversale, vale à dì à u spostamentu u in a direzzione di l’asse x, chì hà a listessa magnitudine per i punti currispundenti di tutte e sezioni trasversali è hè dunque solu una funzione di e coordenate in u pianu di a sezione, è hè altrimenti proporzionale à a carica M o l’angolo di torsione _ϑ.
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Se l’espressioni sopra sò intrudutte in l’equazioni di spostamentu currispundenti, hè ottenutu chì e tensioni nurmali principali sò uguali à zero, lascendu solu duie tensioni cumpunenti τxy è τxz:
Unu.3
L’equazioni differenziali di u prublema di torsione hè ottenuta basatu annantu à l’equazioni (3) mettendu :
Unu.4è i4b
et en résolvant ces équations différentielles pour les inconnues τxy et τxz en introduisant la fonction de contrainte F(y,z) qui :
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Cù questu, l’equazione (4a) à l’identique satisfait, et à partir de l’équation (4b) hè ottenuta l’equazione differenziale necessaria
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
A cundizione di cunfine necessaria per a suluzione unica di sta equazione hè ottenuta da u requisitu chì ùn ci hè micca sforzu di cisura nantu à l’involucro di u bastone, da quale, per via di a natura conjugata di e tensioni di taglio, segue chì u stress in u pianu di a sezione ùn deve micca avè un cumpunente perpendiculare à ellu longu u contornu. Da quì, fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
dunque
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
vale à dì chì u differenziale tutale di a funzione F deve esse zero, vale à dì, deve esse F=const. longu u contornu.
Se a rùbbrica hà solu un contornu, pò esse simplicemente mette F= nantu à questu0, perchè cù a funzione di voltage, di quale avemu veramente interessatu solu in derivati , a constante additiva arbitraria ùn hà micca un rolu. Per e rùbbriche chì anu più di un contornu, questu prublema hè più cumplessu.
Cum’è vistu da l’equazione (5) la résultante des contraintes de cisaillement τxy et τxz à un point d’intersection arbitraire est de grandeur égale au gradient de la fonction de contrainte F, mais est perpendiculaire à celle-ci, c’est-à-dire qu’elle a une direction tangente à la droite F=const.
En résolvant l’équation différentielle (6)) si ottengono le tensioni τ in funzione di y, z e ϑ. U compitu di u calculu hè, sicuru, a determinazione di l’angolo di torsione ϑ è a tensione, in particulare u sforzu massimu in funzione di u mumentu di torsione, per quessa, a determinazione di a rigidità di a sezione JT da l’equazioni (2) è u torque di resistenza WT = Mmaxτ. Per ottene queste, hè solu necessariu di spressione M in funzione di F:
Tramindui summations di sta integrale, chì deve esse pigliatu nantu à a sezione sana, ponu esse trasfurmati da integrazione parziale. Se, per esempiu, u primu di elli integra prima longu a linea z=const. da u puntu nantu à u contornu y=y1 à u puntu y=y2 (fig.3) è pigliate in contu chì in i dui punti F=0, hè ottenuta
U listessu valore hè ottenutu da a seconda integrale, cusì chì
Unu.7
Sl.3
Altri casi di sezioni piene
L’equazione differenziale (6) hè l’equazioni inomogenea di a teoria potenziale. Dunque, per a suluzione di u prublema di torsione in u casu di una sezione trasversale arbitraria, i metudi di a teoria potenziale sò dispunibuli, chì permettenu di truvà sempre. Questi metudi, però, sò generalmente troppu cumplessi per esse appiicati à i casi individuali chì si presentanu in a pratica. Per quessa, a tavula seguente mostra i risultati di tali calculi per parechje rùbbriche.
Per sezioni trasversali vicinu à circulari, JT=F pò esse mette4/40_Ip_, induve F hè l’area è Ip hè u mumentu polare d’inerzia di a seccione.
Nota nantu à e formule è e tabelle: l’espressioni è i valori in l’imaghjini scannati sò almacenati cum’è una fonte storica. U testu OCR, i marchi d’indici è l’scansione ùn sò micca abbastanza affidabili per u calculu. Prima di l’usu, ogni formula, unità, coefficientu è area di validità deve esse verificata in una fonte prufessiunale autorita è standard validu.
Analogia cù a membrana
Un bonu aiutu per l’estimazione di e tensioni di torsione, è à u stessu tempu una prucedura per a so determinazione precisa hè furnita da l’analogia trà a funzione di stress F di u prublema torsionale è a carica trasversale di deviazione di a membrana. Chì ci sia una apertura media nantu à u muru pianu di una nave chì coincide cù a sezione trasversale di una verga caricata in torsione. Quandu a membrana hè allungata annantu à questa apertura è una piccula pressione eccessiva p hè causata in u vasu, a membrana s’arremba versu l’esterno, cusì chì e so deviazioni ξ(y,z) soddisfanu l’equazione differenziale.
induve N hè a tensione superficiale in a membrana causata da e forze capillari (dimensioni : forza per unità di lunghezza). Questa equazioni coincide cù l’equazioni (6), è a cundizione di frontiera ξ=0hè u listessu cum’è quella di a funzione di tensione. In questu modu, a funzione di tensione F(y,z) pò esse ottenuta cù stu specchiu cù a membrana è cusì risolve u prublema di torsione. U sforzu τ currisponde à a pendenza di a membrana in relazione à u pianu y-z-, dunque u locu più ripidu hè quellu induve a barra esposta à a torsione hà a forza di cisellatura più alta.
Sl.4
Sl.5
Questa prucedura di membrana hè particularmente adattata per ottene mudelli apprussimativi per seccioni di pareti sottili. Quandu, per esempiu, a sezione I hè divisa secondu a fig.4nantu à trè rectanguli è per ognuna di elli l’analogia cù a membrana hè realizata per separatamente, a summa di i volumi di i protrusioni resultanti serà solu ligeramente più chjuca di u voluminu chì veramente currisponde à a funzione di tensione. Dunque, quandu i grossi sò b1 è b2 chjuca, circa
JT =2JT1+ JT2,
induve JT1 è JT2 fattori di rigidità di rectanguli individuali chì ponu esse calculati nantu à a tavula1. Un approcciu megliu hè ottenutu quandu JT hè postu per a rib2 = a2b32/3, dunque, quandu a rib hè cunsiderata cum’è parte di un rectangulu assai allungatu. Un valore ancu più precisu hè ottenutu secondu Trayer è March\ da
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
induve D hè u diamitru di u più grande circhiu scrittu cum’è mostra in a fig.4, è α pò esse pigliatu da a fig.5. Per a sezione T hè ottenuta in modu simili
JT = JT1+ JT2+ α D4,
induve JT2 a mità di u valore calculatu secondu a tavula1per a=2_a2_, b=b2. Per i profili a L (Fig.6) hè simile à questu
JT = JT1+ JT2+ β D4
induve JT1 per u bracciu più grossu hè pigliatu direttamente da a tavula1, mentri JT2 per a gamba più fina hè calculatu cum’è per a sezione T, è β hè pigliatu da a fig.7.
Fig. 6
Sl.7
Quandu u calculu di u sforzu, u mumentu torsionale hè divisu in rectanguli custituenti: a parte chì casca nantu à i flange M1=M JT2/JT; u sforzu di tagliolu hè calculatu à u puntu mediu di u latu più longu di ogni rectangulu basatu nantu à a tavula1. U più grande di sti stresses ùn deve esse u più grande sforzu di taglio chì appare in a sezione. À savoir, si l’angle d’incidence n’est pas arrondi, τ=∞ s’obtient à cet endroit, de sorte que pour un très petit rayon d’arrondissement, on s’attend à ce qu’il y ait le plus grand effort de cisaillement.
Nota di l’ingegneria: a singularità matematica di l’angulu agutu idealizatu ùn hè micca una licenza per stimà u dettagliu attuale da stu mudellu apprussimativu solu. A geometria di arrotondamentu attuale, tolleranze, plasticità, saldature, stress residuali, stabilità lucale è fatigue necessitanu un mudellu adattatu è una verificazione esperta.
Per un angulu unilaterale chì u grossu di u latu hè t secondu Trefftz\ hè nantu à l’arrotondamentu di u diametru r:
induve cù τ0 tensione massima marcata calculata per ogni gamba individuale basatu nantu à a prucedura descritta quì. Per i raghji di arrotondamentu più grande, τ= pò esse aduttatu2__τ0.
Tubi a parete sottile (modelli Bradt)
In i tubi di pareti sottili, a membrana bulging hà a forma indicata in a fig.8, chì hè custituitu da un pianu sopra à u spaziu cavu à l’internu di a pipa è una superficia inclinata chì l’intorna è si trova sopra à a seccione efficace di u muru di a pipa; sta superficia inclinata deve esse più ripida se i pareti di u tubu sò più sottili in u locu adattatu. In questu casu, i sforzi di cisura sò distribuiti abbastanza uniformemente nantu à u gruixu di i mura è sò inversamente proporzionali à u gruixu di i mura, vale à dì a forza di cisura T = τt ùn cambia in a circunferenza di a sezione.
Sl. 8
L’elementu superficia t_∙ds_ riceve una parte di u mumentu torsionale
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
cusì u mumentu tutale hè
Unu.8
induve a superficia FR hè cupertu da a linea media marcata da linee è punti in fig.8. Hè ottenutu da quì
Unu.9- U primu mudellu Bredt\
A rigidità torsionale hè ottenuta più simplicemente quandu u travagliu di deformazione hè spressione da una banda per u mumentu di torsione è l’angolo di torsione è da l’altra banda per i sforzi di cisella. In questu modu, hè ottenutu per un elementu di bastone di lunghezza l
donc, en introduisant la valeur de τ selon l’équation (8),
vale à dì, in cunfrontu cù l’equazioni (2):
Unu.10
Se u grossu di i mura hè u listessu in tuttu, allora hè simplice (2. U mudellu di Bredt):
Unu.11
Tensioni normali in torsione dovute à a curvatura di a sezione
Termini basi è equazioni differenziali
Spostamenti di componenti u, equazione (1b), determina a curvatura di e rùbbriche da i so piani. Quandu u mumentu di torsione hè constantu, sta curvatura hè uguale in tutte e rùbbriche è e tensioni nurmali σx ùn appariscenu micca.
In parechji casi, a curvatura di a seccione trasversale, chì deve esse nascenu nantu à a basa di _St. A teoria di Venant ùn hè micca pussibule. Se u mumentu di torsione cambia bruscamente in una sezione trasversale, a curvatura di diverse magnitudini si facia da i dui lati di a sezione trasversale, è a continuità di a deformazione seria disturbata. Una estremità di a barra pò esse chjappata cusì chì a curvatura di a seccione hè cumplettamente esclusa à quellu puntu. In tali casi, una mudificazione deve esse fatta _St. Teorie di Venant. E tensioni supplementari σx in a direzzione di l’asse di a barra è a forza di taglio supplementare T (stress di taglio T/t) appariscenu in a barra, chì sò i più alti in a sezione induve a continuità di a deformazione hè rotta è chì diminuiscenu esponenzialmente cù a distanza da sta sezione. In u casu di bastoni solidi è tubi, sta tiuria hè cumplessa, è i voltaggi supplementari diminuite cusì rapidamente chì a so determinazione ùn vale a pena in a maiò parte di i casi. Per i bastoni di prufilu apertu di pareti sottili, sta correzione hè di grande impurtanza è pò esse calculata relativamente facilmente.
Sl.9
Sl.9mostra a linea longu chì a superficia media di u muru è u pianu di a seccione s’intersece (a linea media di a sezione). O hè u centru di rotazione relative di duie sezioni adiacenti. Si leur distance est dx, l’angle de torsion est ϑ dx, donc un point arbitraire de la ligne médiane subit un déplacement u ϑ dx. Ce déplacement a une composante rt ϑ dx dans la direction tangente à la section, et est le glissement de l’élément de la surface médiane du mur (en tenant compte que _u=_φϑ) :
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Siccomu a tensione di cisura in a superficia media di u muru hè zero, deve ancu esse γ=0, cusì hè per quessa
Stu mudellu cuntene trè paràmetri arbitrarii: l’urìgine da quale hè calculata a lunghezza d’arcu s è e coordenate di u centru di rotazione relative O, da quale rt dipende. U puntu di partenza da quale a lunghezza di l’arcu s hè calculata pò esse sceltu in modu chì u valore di curvatura media hè zero:
è e coordenate di u centru O ponu esse determinate in modu chì i mumenti dovuti à a curvatura di a seccione sò zero:
Pò esse dimustratu chì u centru di rotazione cusì determinatu coincide cù u centru di cisura chì hè qui descrittu è definitu in un altru modu.
Se a curvatura di a seccione descritta da questi mudelli hè impedita cumplettamente o parzialmente, i stressi nurmali σx in a direzzione di l’assi di u bastone devenu apparisce. Un esame più attentu mostra chì queste tensioni ponu esse ritenute proporzionali à a funzione di curvatura φ: σx=k__φ, induve φ dipende solu da s è k solu da x. Sicondu a lege di Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
deve esse k=E d__ϑ/dx. Le tensioni normali σx sono chiamate tensioni di flessione di sezione. Cunsiderendu l’equazioni sopra, formanu un sistema di equilibriu di forze in ogni rùbbrica, un sistema di forze dovutu à a curvatura di a rùbbrica.
Le moment torsionnel total se compose de deux parties : l’une d’elles M1=GJT__ϑ résulte des contraintes de cisaillement lors de la torsion qui donne St. A teoria di Venant, è l’altru M2 si trova per via di a curvatura di a sezione:
Eq. 13
Siccomu u mumentu M hè datu in funzione di x, sta spressione rapprisenta una equazioni differenziale per l’angolo di torsione ϑ. Quandu sta equazione hè risolta, M1 è M2 ponu esse calculati, è cusì tutte e tensioni è deformazioni.
Soluzione è applicazioni
Quandu u mumentu di torsione M hè custante, a suluzione generale di l’equazioni (13) hè:
Custanti d’integrazione C1, C2 deve esse determinate da duie cundizioni di frontiera.
a) Estremità rigidamente serrata x=0 (fig. 1)
A questa fine hè u≡0, cusì basatu annantu à l’equazioni (1b) ϑ=0. Se a canna hè assai longa (αl>>1), allora C1=0 è C2= -M/GJT. In u casu di canne curtite, l’apparizione di stress per a curvatura di a rùbbrica hè affettata da a cundizione à l’estremità dritta di u bastone. Se a curvatura di a seccione ùn hè micca impedita in quellu locu, ci saranu σx≡0 è dϑ/dx=0. Da quì avete
b) Carica di torsione simmetrica secondu a fig.10
À a mità di manca di l’asta, u mumentu torsionale hè -M/2, è à a diritta +M/2. In u casu di torsione libera, e rùbbriche à a manca è à a diritta di u mità di u bastone seranu torciati in a direzzione opposta, per quessa a continuità di a deformazione ùn saria micca cunservata. Dunque, à u locu x=0u mumentu torsionale tutale deve esse trasferitu attraversu e tensioni chì si verificanu per via di a curvatura di a sezione trasversale, è dunque in questa sezione trasversale M1=0è dunque ϑ=0. À questu puntu, un sistema di forze agisce per assicurà chì a rùbbrica ferma diritta, ancu s’è rùbbriche chì si trovanu più alluntanati da u centru di a curva di a barra. Si, en plus, il faut que les extrémités de la barre présentent des contraintes σx≡0, una cundizione più cunfini hè ottenuta per ogni mità di u bastone, cusì hè per a mità dritta
Fig. 10
c) Momentu esterno M in un locu arbitrariu (fig.11)
In questu casu, a suluzione ϑ per e duie parti di u bastone deve esse scritta separatamente, cusì un totale di quattru custanti C appare.1, C2, C3, C4. Inoltre, i mumenti di torsione Ma, Mb sò ancu scunnisciuti. Six équations sont disponibles : une condition de continuité pour ϑ (exprimée par u) et pour dϑ/dx (exprimée par σx) au point de charge, une condition à chaque extrémité de la tige (par exemple, serrage rigide ϑ=0, o flexione indisturbata, dϑ/dx=0), la condition d’équilibre par moments -Ma+Mb=M et enfin la condition que les tronçons d’extrémité ne tournent pas l’un par rapport à l’autre : ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Nota finale: l’scelta di u mudellu di torsione dipende da a seccione aperta o chjusa, slenderness, metudu di supportu, locu di input di u mumentu è a pussibilità di curvatura libera. Per un elementu veru, i stati di limitu di carica è di serviziu, ditaglii lucali, articuli, fatigue è stabilità deve esse verificatu, micca solu una formula isolata da l’articulu.