Arkiston asiantuntijasisältö: teksti ja kaavat välittävät historiallisen teoreettisen esityksen eivätkä ole projektia, staattista laskelmaa, kantavuustarkistusta, olemassa olevan elementin arviointia tai ohjeita rakentamiseen tai kunnostukseen. Nimet, oletukset ja likimääräiset kuviot on tarkastettava tietyn järjestelmän, materiaalin, geometrian, reunaehtojen ja sovellettavien standardien perusteella. Vääntö, vakaus, väsymys, nivelet ja jännitysten laskeminen estetystä taipumisesta tulee tehdä valtuutetun insinöörin toimesta riippumattoman valvonnan kanssa tarvittaessa.
Nykyään Savo Kusić keskittyy puisiin ikkunoihin, puu-alumiini-ikkunat, muokatut ikkunat, ovi ja tarjouspyynnöt. Tämä artikkeli säilyy historiallisena ammattiarkistona eikä edusta rakennesuunnittelupalvelua.
Saint-Venantin vääntöteoria (vapaa vääntö)
Differentiaaliyhtälö
Sl.1
Kiinnitetään suora sauva toiseen päistään x=0ja kuormitetaan se toisesta päästä vääntömomentilla M (kuva.1). Sitten jokainen sen osa pyörii tietyn kulman α(x) tietyn sauvan akselin suuntaisen linjan ympäri, jonka otamme x-akseliksi. Jos kaikki poikkileikkaukset ovat keskenään yhtä suuria, mikä tahansa x-akselin suuntainen suora siirtyy kelaksi ja kulma α on verrannollinen etäisyyteen kiinteästä päästä: α=ϑx, josta komponenttien siirtymät leikkauksen tasossa syntyvät (kuva 1).2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Suuruutta ϑ kutsutaan vääntökulmaksi (mitta: pituus-1, kierto pituusyksikköä kohti). Vääntökulma on verrannollinen vääntömomenttiin M:
ϑ = M/GJT. (2)
Kuva. 2
Suhteellisuuskerroin GJT, vääntöjäykkyys, on yhtä suuri kuin leikkausmoduulin G ja tekijän JT tulo, joka edustaa poikkileikkauksen muodon ja koon vaikutusta.
Tämä osan pyöriminen ei ole tangon ainoa muodonmuutos. Lisäksi esiintyy myös poikkileikkauksen taipumista eli siirtymää u x-akselin suuntaan, jolla on sama suuruus kaikkien poikkileikkausten vastaavilla pisteillä ja on siten vain leikkauksen tason koordinaattien funktio ja muuten verrannollinen kuormaan M tai vääntökulmaan: _ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Jos yllä olevat lausekkeet sisällytetään vastaaviin siirtymäyhtälöihin, saadaan, että päänormaalijännitykset ovat nolla, jolloin jäljelle jää vain kaksi komponenttijännitystä τxy ja τxz:
Yksi.3
Vääntöongelman differentiaaliyhtälö saadaan yhtälöiden (3) laittaa:
Yksi.4ja i4b
ja ratkaista nämä differentiaaliyhtälöt tuntemattomille τxy ja τxz ottamalla käyttöön jännitysfunktio F(y,z), joka:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Tämän avulla yhtälö (4a) identtisesti täytetty, ja yhtälöstä (4b) saadaan vaadittu differentiaaliyhtälö
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Tämän yhtälön ainutlaatuisen ratkaisun edellyttämä rajaehto saadaan vaatimuksesta, että sauvan vaipan pinnalla ei ole leikkausjännitystä, josta leikkausjännitysten konjugoitumisesta johtuen seuraa, että leikkaustasossa olevalla jännityksellä ei saa olla ääriviivaa pitkin kohtisuoraa komponenttia. Täältä, kuva2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
siksi
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
eli funktion F kokonaisdifferentiaalin on oltava nolla, eli sen on oltava F=const. ääriviivaa pitkin.
Jos osassa on vain yksi ääriviiva, se voidaan yksinkertaisesti laittaa F= siihen0, koska jännitefunktiolla, jonka derivaatat kiinnostavat meitä itse asiassa, mielivaltaisella lisävakiolla ei ole merkitystä. Tämä ongelma on monimutkaisempi osissa, joissa on useampi kuin yksi ääriviiva.
Kuten yhtälöstä (5) leikkausjännitysten τxy ja τxz resultantti mielivaltaisessa leikkauspisteessä on suuruudeltaan yhtä suuri kuin jännitysfunktion F gradientti, mutta on kohtisuorassa sitä vastaan, eli sillä on tangentin suunta viivaa F=const.
Ratkaisemalla differentiaaliyhtälön (6)) saadaan jännitteet τ y:n, z:n ja ϑ:n funktioina. Laskennan tehtävänä on tietysti vääntökulman ϑ ja jännityksen, erityisesti maksimijännityksen, määritys vääntömomentin funktiona, joten osan JT jäykkyyden määritys yhtälöstä (2) ja vastusmomentti WT = Mmaxτ. Näiden saamiseksi on tarpeen vain ilmaista M funktiona F:
Tämän integraalin molemmat summat, jotka tulisi ottaa koko jaksolta, voidaan muuntaa osittaisella integroinnilla. Jos esimerkiksi ensimmäinen niistä integroituu ensin rivillä z=const. ääriviivan pisteestä y=y1 pisteeseen y=y2 (kuva.3) ja ota huomioon, että molemmissa näissä kohdissa F=0, saadaan
Sama arvo saadaan toisesta integraalista, joten
Yksi.7
Sl.3
Muut kokonaisten osioiden tapaukset
Differentiaaliyhtälö (6) on potentiaaliteorian epähomogeeninen yhtälö. Siksi vääntöongelman ratkaisuun mielivaltaisen poikkileikkauksen tapauksessa on käytettävissä potentiaaliteorian menetelmät, jotka mahdollistavat sen aina löytämisen. Nämä menetelmät ovat kuitenkin yleensä liian monimutkaisia, jotta niitä voitaisiin soveltaa käytännön yksittäistapauksiin. Siksi seuraava taulukko näyttää tällaisten laskelmien tulokset useiden osien osalta.
Lähes pyöreälle poikkileikkaukselle voidaan laittaa JT=F_4/40_Ip, jossa F on pinta-ala ja Ip on poikkileikkauksen napahitausmomentti.
Huomautus kaavoista ja taulukoista: skannattuissa kuvissa olevat lausekkeet ja arvot tallennetaan historiallisena lähteenä. OCR-teksti, indeksimerkit ja skannaus eivät ole tarpeeksi luotettavia laskentaan. Ennen käyttöä jokainen kaava, yksikkö, kerroin ja kelpoisuusalue on tarkistettava arvovaltaisesta ammattilähteestä ja sovellettavasta standardista.
Analogia kalvon kanssa
Vääntöongelman jännitysfunktion F ja kalvon taipuman poikittaiskuormituksen välinen analogia tarjoaa hyvän avun vääntöjännitysten arvioinnissa ja samalla menetelmän niiden tarkkaan määrittämiseen. Olkoon astian tasaisessa seinämässä keskimääräinen aukko, joka osuu vääntökuormitetun tangon poikkileikkaukseen. Kun kalvoa venytetään tämän aukon yli ja suonessa syntyy pieni ylipaine p, kalvo pullistuu ulospäin niin, että sen taipumat ξ(y,z) täyttävät differentiaaliyhtälön.
jossa N on kapillaarivoimien aiheuttama pintajännitys kalvossa (mitat: voima per pituusyksikkö). Tämä yhtälö osuu yhtälöön (6), ja rajaehto ξ=0on sama kuin jännitefunktio. Tällä tavalla tämän kalvon peilin avulla voidaan saada jännitysfunktio F(y,z) ja siten ratkaista vääntöongelma. Jännitys τ vastaa kalvon kaltevuutta suhteessa y-z-tasoon, joten jyrkin paikka on se, jossa vääntölle altistetun tangon leikkausjännitys on suurin.
Sl.4
Sl.5
Tämä kalvomenetelmä soveltuu erityisen hyvin likimääräisten kuvioiden saamiseksi ohutseinäisille osille. Kun esimerkiksi I-osa on jaettu kuvan 1 mukaisesti.4kolmella suorakulmiolla ja jokaiselle niistä suoritetaan analogia kalvon kanssa erikseen, tuloksena olevien ulkonemien tilavuuksien summa on vain hieman pienempi kuin tilavuus, joka todella vastaa jännitefunktiota. Siksi, kun paksuudet ovat b1 ja b2 pieni, suunnilleen
JT =2JT1+ JT2,
missä JT1 ja JT2 yksittäisten suorakulmioiden jäykkyystekijät, jotka voidaan laskea taulukon perusteella1. Parempi lähestymistapa saadaan, kun JT asetetaan kylkiluun2 = a2b32/3 siis, kun ripaa pidetään osana hyvin pitkänomaista suorakulmiota. Vielä tarkempi arvo saadaan Trayer ja March\ mukaan
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
jossa D on suurimman ympyrän halkaisija, joka on piirretty kuvan 2 mukaisesti.4, ja α voidaan ottaa kuvasta.5. T-leikkaukselle se saadaan samalla tavalla
JT = JT1+JT2+ α D4,
missä JT2 puolet taulukon mukaan lasketusta arvosta1_a_=2_a2_, b=b2. L-osille (kuva.6) on samanlainen
JT = JT1+ JT2+ β D4
missä JT1 paksumpi varsi otetaan suoraan pöydältä1, kun taas JT2 ohuelle haaralle lasketaan kuten T-leikkaukselle, ja β on otettu kuvasta 1.7.
Kuva. 6
Sl.7
Jännitystä laskettaessa vääntömomentti jaetaan osasuorakulmioihin: osa, joka putoaa laippoihin M1=M JT2/JT; leikkausjännitys lasketaan sitten kunkin suorakulmion pidemmän sivun keskipisteessä taulukon perusteella1. Suurimman näistä jännityksistä ei tarvitse olla suurin leikkausjännitys. Nimittäin, jos tulokulmaa ei pyöristetä, saadaan τ=∞ kyseisessä paikassa, joten hyvin pienellä pyöristyssäteellä voidaan odottaa suurinta leikkausjännitystä tässä.
Insinöörihuomautus: idealisoidun terävän kulman matemaattinen singulaarisuus ei anna oikeutta arvioida todellista yksityiskohtaa pelkästään tämän likimääräisen kuvion perusteella. Todellinen pyöristysgeometria, toleranssit, plastisuus, hitsit, jäännösjännitykset, paikallinen vakaus ja väsymys edellyttävät asianmukaista mallintamista ja asiantuntijatarkastusta.
Yksipuolisella kulmalla, jonka sivun paksuus on t Trefftz\ mukaan, on halkaisijan r pyöristyksessä:
missä τ0 merkitty maksimijännite, joka on laskettu kullekin yksittäiselle jalalle tässä kuvatun menettelyn mukaisesti. Suuremmille pyöristyssäteille voidaan käyttää arvoa τ=2__τ0.
Ohutseinäiset putket (Bradt Patterns)
Ohutseinäisissä putkissa pullistuvalla kalvolla on kuvan 1 mukainen muoto.8, joka koostuu putken sisällä olevan onton tilan yläpuolella olevasta tasosta ja sitä ympäröivästä kaltevasta pinnasta, joka sijaitsee putken seinämän tehollisen osan yläpuolella; tämän kaltevan pinnan tulee olla jyrkempi, jos putken seinämät ovat sopivassa paikassa ohuempia. Tällöin leikkausjännitykset jakautuvat melko tasaisesti seinien paksuudelle ja ovat kääntäen verrannollisia seinien paksuuteen, eli leikkausvoima T = τt ei muutu leikkauksen kehällä.
Sl. 8
Pintaelementti t_∙ds_ vastaanottaa osan vääntömomentista
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
niin kokonaishetki on
Yksi.8
jossa FR-pinta peittyy keskiviivalla, joka on merkitty viivoilla ja pisteillä kuvassa 1.8. Se on saatu täältä
Yksi.9- Ensimmäinen Bredt-kuvio
Vääntöjäykkyys saavutetaan yksinkertaisimmin, kun muodonmuutostyö ilmaistaan toisaalta vääntömomentin ja vääntökulman sekä toisaalta leikkausjännitysten kautta. Tällä tavalla se saadaan sauvaelementille, jonka pituus on l
joten τ:n arvo otetaan käyttöön yhtälön (8),
eli verrattuna yhtälöön (2):
Yksi.10
Jos seinien paksuus on sama kaikkialla, se on yksinkertaista (2. Bredtin malli):
Yksi.11
Normaalit vääntöjännitykset, jotka johtuvat osan taivutuksesta
Perustermit ja differentiaaliyhtälö
Komponenttien siirtymät u, yhtälö (1b), määrittää osien kaarevuuden niiden tasoista. Kun vääntömomentti on vakio, tämä taivutus on sama kaikissa osissa eikä normaalijännityksiä σx esiinny.
Monissa tapauksissa poikkileikkauksen kaarevuus, jonka pitäisi syntyä _St. Venantin teoria ei ole mahdollinen. Jos vääntömomentti muuttuu äkillisesti yhdessä poikkileikkauksessa, tapahtuisi poikkileikkauksen molemmilla puolilla erisuuruista taipumista ja muodonmuutoksen jatkuvuus häiriintyisi. Tangon toinen pää voidaan kiristää niin, että osan taipuminen on täysin poissuljettua siinä kohdassa. Tällaisissa tapauksissa on tarpeen täydentää _St. Venantin teoriat. Tangossa ilmaantuvat lisäjännitykset σx tangon akselin suunnassa ja lisäleikkausvoima T (leikkausjännitykset T/t), jotka ovat suurimmat siinä leikkauksessa, jossa muodonmuutoksen jatkuvuus katkeaa ja jotka pienenevät eksponentiaalisesti etäisyyden mukaan tästä osasta. Kiinteiden tankojen ja putkien tapauksessa tämä teoria on monimutkainen ja lisäjännitteet laskevat niin nopeasti, että niiden määrittäminen ei useimmissa tapauksissa ole kannattavaa. Ohutseinäisten avoprofiilisten tankojen kohdalla tämä korjaus on erittäin tärkeä ja se voidaan laskea suhteellisen helposti.
Sl.9
Sl.9näyttää linjan, jota pitkin seinän keskipinta ja leikkaustaso leikkaavat (leikkeen keskiviiva). O on kahden vierekkäisen osan suhteellisen pyörimisen keskipiste. Jos niiden etäisyys on dx, vääntökulma on ϑ dx, joten mielivaltainen keskilinjan piste siirtyy u ϑ dx. Tällä siirtymällä on komponentti rt ϑ dx poikkileikkauksen tangentin suunnassa ja se on seinän keskipinnan elementin liukuma (ottaen huomioon, että _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Koska leikkausjännitys seinän keskipinnassa on nolla, sen on myös oltava γ=0, siksi
Tämä kuvio sisältää kolme mielivaltaista parametria: origon, josta kaaren pituus s lasketaan, ja suhteellisen kiertokeskuksen koordinaatit O, joista rt riippuu. Aloituspiste, josta kaaren pituus s lasketaan, voidaan valita siten, että kaarevuuden keskiarvo on nolla:
ja keskipisteen O koordinaatit voidaan määrittää siten, että poikkileikkauksen taivutuksesta johtuvat momentit ovat nolla:
Voidaan osoittaa, että näin määritetty kiertokeskipiste osuu yhteen leikkauskeskipisteen kanssa, joka on tässä kuvattu ja määritelty toisella tavalla.
Jos näillä kuvioilla kuvattu poikkileikkauksen taipuminen estetään kokonaan tai osittain, tulee tangon akselin suunnassa esiintyä normaaleja jännityksiä σx. Tarkempi tarkastelu osoittaa, että nämä jännitykset voidaan katsoa verrannollisiksi kaarevuusfunktioon φ: σx=k__φ, jossa φ riippuu vain s:sta ja k vain x:sta. Hooken lain mukaan:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
täytyy olla k=E d__ϑ/dx. Normaalijännityksiä σx kutsutaan osan taivutusjännityksiksi. Yllä olevat yhtälöt huomioon ottaen ne muodostavat jokaisessa osassa voimien tasapainojärjestelmän, osan taipumisesta johtuvan voimajärjestelmän.
Kokonaisvääntömomentti koostuu kahdesta osasta: yksi niistä M1=GJT__ϑ johtuu _St. Venantin teoria ja toinen M2 johtuu osan taipumisesta:
Yksi.13
Koska hetki M on annettu x:n funktiona, tämä lauseke edustaa differentiaaliyhtälöä vääntökulmalle ϑ. Kun tämä yhtälö on ratkaistu, M voidaan laskea1 ja M2, ja siten kaikki jännitykset ja jännitykset.
Ratkaisu ja sovellukset
Kun vääntömomentti M on vakio, yhtälön (13) on:
Integrointivakiot C1, C2 on määritettävä kahdesta reunaehdosta.
a) Jäykästi kiristetty pää x=0(kuva.1)
Tässä päässä on u≡0, joten perustuu yhtälöön (1b) ϑ=0. Jos sauva on erittäin pitkä (αl>>1), sitten C1=0ja C2= -M/GJT. Lyhyiden sauvojen tapauksessa poikkileikkauksen taipumisesta johtuvan jännityksen ilmenemiseen vaikuttaa tangon oikeanpuoleisen pään kunto. Jos osan taipumista ei ole estetty kyseisessä paikassa, tulee σx≡0ja dϑ/dx=0. Se on saatu täältä
b) Symmetrinen vääntökuorma kuvan 1 mukaan. 10
Vamman vasemmalla puoliskolla vääntömomentti on -M/2 ja oikealla +M/2. Vapaan vääntön tapauksessa tangon keskikohdan vasemmalla ja oikealla puolella olevat osat kiertyvät vastakkaiseen suuntaan, jolloin muodonmuutoksen jatkuvuus ei säilyisi. Siksi kohdassa x=0 koko vääntömomentti on siirrettävä leikkauksen taipumisesta johtuvien jännitysten kautta, ja siksi tässä osassa M1=0 ja siten ϑ=0. Tässä vaiheessa voimajärjestelmä varmistaa, että osa pysyy suorana, vaikka osat, jotka ovat kauempana sauvan käyrän keskipisteestä, käyvät. Jos lisäksi vaaditaan, että tangon päissä jännitykset ovat σx≡0, saadaan jokaiselle sauvan puolikkaalle yksi rajaehto lisää, joten oikealle puolikkaalle se on
Kuva. 10
c) Ulkoinen momentti M mielivaltaisessa paikassa (kuva 11)
Tässä tapauksessa molempien sauvan osien ratkaisu ϑ on kirjoitettava erikseen, joten vakioita C1, C2, C3, C4 tulee yhteensä neljä. Lisäksi vääntömomentit Ma, Mb ovat myös tuntemattomia. Käytettävissä on kuusi yhtälöä: jatkuvuusehto ϑ:lle (ilmaistuna u) ja dϑ/dx (ilmaistuna σx) kuormituspisteessä, yksi ehto tangon kummassakin päässä (esim. jäykkä puristus ϑ=0, taivuttaminen, häiriintyminen dϑ/dx=0), momenttitasapainoehto -Ma+Mb=M ja lopuksi ehto, että päätyosat eivät käänny toisiaan kohti: ∫ ϑdx = 0.
Sl.11
Lopullinen huomautus: Vääntömallin valinta riippuu avoimesta tai suljetusta osasta, hoikuudesta, tukitavasta, momentin syöttöpaikasta ja vapaan taivutuksen mahdollisuudesta. Todelliselle elementille on tarkastettava kanto- ja käyttörajatilat, paikalliset yksityiskohdat, liitokset, väsymys ja vakaus, ei vain yksi erillinen kaava esineestä.