Kontenut espert tal-arkivji: it-test u l-formuli jwasslu preżentazzjoni teoretika storika u mhumiex proġett, kalkolu statiku, kontroll tal-kapaċità li ġġorr it-tagħbija, valutazzjoni ta ’element eżistenti, jew struzzjonijiet għall-kostruzzjoni jew riabilitazzjoni. Id-denominazzjonijiet, is-suppożizzjonijiet u l-mudelli approssimattivi għandhom jiġu kkontrollati kontra s-sistema speċifika, il-materjal, il-ġeometrija, il-kundizzjonijiet tal-konfini u l-istandards applikabbli. Il-kalkolu tat-torsjoni, l-istabbiltà, l-għeja, il-ġonot u l-istress minħabba t-tgħawwiġ evitat għandu jsir minn inġinier liċenzjat, b’kontroll indipendenti meta meħtieġ.
Illum, Savo Kusić huwa ffukat fuq twieqi tal-injam, twieqi tal-injam-aluminju, twieqi tad-dwana, bieb u talbiet għal kwotazzjoni. Dan l-artiklu jibqa’ bħala arkivju professjonali storiku u ma jirrappreżentax servizz ta’ disinn strutturali.
Teorija ta’ Saint-Venant tat-torsjoni (brim ħieles)
Ekwazzjoni differenzjali
Sl.1
Ħalli virga dritta tiġi mwaħħla f’wieħed mit-truf tagħha x=0 u ħalliha titgħabba fit-tarf l-ieħor b’mument tat-torsjoni M (fig. 1). Imbagħad kull waħda mis-sezzjonijiet tagħha ddur b’ċertu angolu α(x) madwar ċertu linja parallela mal-assi tal-bastun, li aħna se nadottaw bħala l-assi x. Jekk is-sezzjonijiet kollha huma ugwali għal xulxin, kwalunkwe linja dritta parallela mal-assi x tgħaddi f’coil, u l-angolu α ikun proporzjonali għad-distanza mit-tarf fiss: α=ϑx, li minnha joħorġu l-ispostamenti tal-komponenti fil-pjan tas-sezzjoni (fig. 2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1a)
Il-kwantità ϑ tissejjaħ l-angolu tat-torsjoni (dimensjoni: tul-1, rotazzjoni għal kull unità ta ’tul). L-angolu tat-torsjoni huwa proporzjonali għall-mument tat-torsjoni M:
ϑ = M/GJT. (2)
Fig. 2
Il-fattur tal-proporzjonalità GJT, l-ebusija tat-torsjoni, huwa ugwali għall-prodott tal-modulu ta ’shear G u l-fattur JT, li jirrappreżenta l-effett tal-forma u d-daqs tas-sezzjoni.
Din ir-rotazzjoni tas-sezzjoni mhix l-unika deformazzjoni tal-virga. Barra minn hekk, hemm ukoll liwi tas-sezzjoni trasversali, jiġifieri għall-ispostament u fid-direzzjoni ta ’l-assi x-, li għandu l-istess kobor għall-punti korrispondenti tas-sezzjonijiet trasversali kollha u għalhekk huwa biss funzjoni tal-koordinati fil-pjan tas-sezzjoni, u huwa mod ieħor proporzjonali għat-tagħbija M jew l-angolu _ϑ_sion _ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Jekk l-espressjonijiet ta ‘hawn fuq jiġu introdotti fl-ekwazzjonijiet ta’ spostament korrispondenti, jinkiseb li l-istress normali prinċipali huma ugwali għal żero, u jħallu biss żewġ stressijiet tal-komponenti τxy u τxz:
Wieħed.3
L-ekwazzjoni differenzjali tal-problema tat-torsjoni tinkiseb ibbażata fuq l-ekwazzjonijiet (3) it-tqegħid:
Wieħed.4u i4b
u ssolvi dawn l-ekwazzjonijiet differenzjali għall-mhux magħrufa τxy u τxz billi tintroduċi l-funzjoni tal-istress F(y,z) li:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
B’dan, l-ekwazzjoni (4a) sodisfatt b’mod identiku, u mill-ekwazzjoni (4b) tinkiseb l-ekwazzjoni differenzjali meħtieġa
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Il-kondizzjoni tal-konfini meħtieġa għas-soluzzjoni unika ta ‘din l-ekwazzjoni tinkiseb mir-rekwiżit li ma jkun hemm l-ebda tensjoni ta’ shear fuq l-envelope tal-virga, li minnha, minħabba n-natura konjugata tat-tensjonijiet ta ’shear, jirriżulta li l-istress fil-pjan tas-sezzjoni m’għandux ikollu komponent perpendikolari għalih tul il-kontorn. Minn hawn, il-fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
għalhekk
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
jiġifieri d-differenzjali totali tal-funzjoni F għandu jkun żero, jiġifieri għandu jkun F=const. tul il-kontorn.
Jekk is-sezzjoni għandha kontorn wieħed biss, tista ’titqiegħed sempliċement F= fuqha0, minħabba li bil-funzjoni tal-vultaġġ, li fil-fatt aħna huma interessati biss fid-derivattivi, il-kostanti tal-addittiv arbitrarju ma għandux rwol. Għal sezzjonijiet li għandhom aktar minn kontorn wieħed, din il-kwistjoni hija aktar kumplessa.
Kif jidher mill-ekwazzjoni (5) Ir-riżultanti tal-shear stresses τxy u τxz f’punt ta ’intersezzjoni arbitrarju huwa daqs il-kobor tal-gradjent tal-funzjoni tal-istress F, iżda huwa perpendikulari għaliha, jiġifieri għandu direzzjoni tanġenti għal-linja F=const.
Billi ssolvi l-ekwazzjoni differenzjali (6)) jinkisbu l-vultaġġi τ bħala funzjonijiet ta’ y, z u ϑ. Il-kompitu tal-kalkolu huwa, ovvjament, id-determinazzjoni tal-angolu tat-torsjoni ϑ u l-istress, speċjalment l-istress massimu bħala funzjoni tal-mument tat-torsjoni, għalhekk, id-determinazzjoni tal-ebusija tas-sezzjoni JT mill-ekwazzjoni (2) u t-torque tar-reżistenza WT = Mmaxτ. Biex tikseb dawn, huwa meħtieġ biss li tesprimi M bħala funzjoni ta ’F:
Iż-żewġ sommazzjonijiet ta ’din l-integral, li għandhom jittieħdu fuq is-sezzjoni kollha, jistgħu jiġu trasformati b’integrazzjoni parzjali. Jekk, pereżempju, l-ewwel minnhom jintegra l-ewwel tul il-linja z=const. mill-punt fuq il-kontorn y=y1 sal-punt y=y2 (fig.3) u qies li f’dawn iż-żewġ punti F=0, huwa miksub
L-istess valur jinkiseb mit-tieni integrali, sabiex
Wieħed.7
Sl.3
Każijiet oħra ta’ sezzjonijiet sħaħ
L-ekwazzjoni differenzjali (6) hija l-ekwazzjoni mhux omoġenja tat-teorija potenzjali. Għalhekk, għas-soluzzjoni tal-problema tat-torsjoni fil-każ ta ’cross-section arbitrarja, il-metodi tat-teorija potenzjali huma disponibbli, li jippermettu li tinstab dejjem. Dawn il-metodi, madankollu, huma ġeneralment kumplessi wisq biex jiġu applikati għal każijiet individwali li jinqalgħu fil-prattika. Għalhekk, it-tabella li ġejja turi r-riżultati ta ’kalkoli bħal dawn għal diversi taqsimiet.
Għal sezzjonijiet trasversali qrib ċirkolari, jista ’jitqiegħed JT=F_4/40_Ip, fejn F hija l-erja u Ip hija l-mument polari ta ’inerzja tas-sezzjoni.
Nota dwar formuli u tabelli: espressjonijiet u valuri f’immaġini skennjati huma maħżuna bħala sors storiku. It-test OCR, il-marki tal-indiċi u l-iskannijiet mhumiex affidabbli biżżejjed għall-kalkolu. Qabel l-użu, kull formula, unità, koeffiċjent u żona ta ’validità għandhom jiġu ċċekkjati f’sors professjonali awtorevoli u standard validu.
Analoġija mal-membrana
Għajnuna tajba għall-istima tal-istress torsjonali, u fl-istess ħin proċedura għad-determinazzjoni preċiża tagħhom hija pprovduta mill-analoġija bejn il-funzjoni tal-istress F tal-problema tat-torsjoni u t-tagħbija trasversali tad-deflessjoni tal-membrana. Ħalli jkun hemm ftuħ medja fuq il-ħajt ċatt ta ‘bastiment li jikkoinċidi mal-cross-section ta’ virga mgħobbija bit-torsjoni. Meta l-membrana tkun imġebbda fuq din il-ftuħ u pressjoni żejda żgħira p tkun ikkawżata fil-bastiment, il-membrana tixgħel ’il barra, sabiex id-diflessjonijiet tagħha ξ(y,z) jissodisfaw l-ekwazzjoni differenzjali
fejn N hija t-tensjoni tal-wiċċ fil-membrana kkawżata minn forzi kapillari (dimensjonijiet: forza għal kull unità ta’ tul). Din l-ekwazzjoni tikkoinċidi mal-ekwazzjoni (6), u l-kondizzjoni tal-konfini ξ=0huwa l-istess bħal dak tal-funzjoni tal-vultaġġ. B’dan il-mod, il-funzjoni tal-vultaġġ F(y,z) tista ’tinkiseb billi tuża din il-mera mal-membrana u b’hekk issolvi l-problema tat-torsjoni. L-istress τ jikkorrispondi għall-inklinazzjoni tal-membrana fir-rigward tal-pjan y-z-, għalhekk l-aktar post wieqaf huwa dak fejn il-virga esposta għat-torsjoni għandha l-ogħla tensjoni ta ’shear.
Sl.4
Sl.5
Din il-proċedura tal-membrana hija partikolarment adattata biex jinkisbu mudelli approssimattivi għal sezzjonijiet b’ħitan irqaq. Meta, per eżempju, l-I-sezzjoni hija maqsuma skond il-fig.4fuq tliet rettangoli u għal kull wieħed minnhom l-analoġija mal-membrana titwettaq separatament, is-somma tal-volumi tal-protrużjonijiet li jirriżultaw se tkun biss ftit iżgħar mill-volum li fil-fatt jikkorrispondi għall-funzjoni tal-vultaġġ. Għalhekk, meta l-ħxuna huma b1 u b2 żgħir, bejn wieħed u ieħor
JT =2JT1+ JT2,
fejn JT1 u JT2 fatturi ta’ ebusija ta’ rettangoli individwali li jistgħu jiġu kkalkulati abbażi tat-tabella1. Approċċ aħjar jinkiseb meta JT jitqiegħed għall-kustilja2 = a2b32/3, għalhekk, meta l-kustilja titqies bħala parti minn rettangolu tawwali ħafna. Valur saħansitra aktar preċiż jinkiseb skond Trayer u March\ minn
JT =2JT1+1/3a2b32+2 α D4,
fejn D huwa d-dijametru tal-akbar ċirku iskritt kif muri fil-fig.4, u α jistgħu jittieħdu mill-fig.5. Għat-taqsima T hija miksuba bl-istess mod
JT = JT1 +JT2 + α D4,
fejn JT2 huwa nofs il-valur ikkalkulat skont it-tabella 1 għal a=2 a2, b=b2. Għal sezzjonijiet L (fig. 6) huwa simili għal dak
JT = JT1 + JT2 + β D4
fejn JT1 għad-driegħ eħxen jittieħed direttament mit-tabella 1, filwaqt li JT2 għad-driegħ irqaq huwa kkalkulat bħal għas-sezzjoni T, u β jittieħed mill-fig. 7.
⟦SKPH35)
Fig. 6
Sl.7
Meta tikkalkula l-istress, il-mument tat-torsjoni huwa maqsum f’rettangoli kostitwenti: il-parti li taqa’ fuq il-flanġijiet M1=M JT2/JT; l-istress shear huwa mbagħad ikkalkulat fin-nofs tan-naħa itwal ta ’kull rettangolu bbażata fuq tabella 1. L-akbar minn dawn l-istresses m’għandux għalfejn ikun l-akbar shear stress li jidher fis-sezzjoni. Jiġifieri, jekk l-angolu ta ‘inċidenza ma jkunx arrotondat, τ=∞ jinkiseb f’dak il-post, sabiex għal raġġ żgħir ħafna ta’ arrotondament, l-ogħla shear stress jista ’jkun mistenni hawn.
Nota ta’ l-Inġinerija: is-singularità matematika ta’ l-angolu akut idealizzat mhijiex liċenzja biex jiġi stmat id-dettall attwali b’dan il-mudell approssimattiv biss. Il-ġeometrija attwali tal-arrotondament, it-tolleranzi, il-plastiċità, l-iwweldjar, l-istress residwu, l-istabbiltà lokali u l-għeja jeħtieġu mudellar xieraq u verifika esperta.
Għal angolu fuq naħa waħda li l-ħxuna tal-ġenb tiegħu hija t skond Trefftz\ huwa fuq l-arrotondament tad-dijametru r:
fejn ma τ0 vultaġġ massimu mmarkat ikkalkulat għal kull sieq individwali abbażi tal-proċedura deskritta hawn. Għal raġġi ta’ arrotondament akbar, τ= jista’ jiġi adottat2__τ0.
Pajpijiet b’ħitan irqaq (Disinni Bradt)
F’pajpijiet b’ħitan irqaq, il-membrana minfuħa għandha l-għamla murija fil-fig.8, li jikkonsisti fi pjan ’il fuq mill-ispazju vojt ġewwa l-pajp u wiċċ inklinat li jdawwarha u tinsab ’il fuq mis-sezzjoni effettiva tal-ħajt tal-pajp; dan il-wiċċ inklinat għandu jkun aktar wieqaf jekk il-ħitan tal-pajpijiet huma irqaq fil-post xieraq. F’dan il-każ, l-istress shear huma mqassma b’mod pjuttost ugwali fuq il-ħxuna tal-ħitan u huma inversament proporzjonali għall-ħxuna tal-ħitan, jiġifieri shear force T = τt ma tinbidilx tul iċ-ċirkonferenza tas-sezzjoni.
Sl. 8
L-element tal-wiċċ t_∙ds_ jirċievi parti mill-mument tat-torsjoni
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
allura l-mument totali huwa
Wieħed.8
fejn il-wiċċ FR huwa mgħotti mil-linja tan-nofs immarkata b’linji u tikek fil-fig.8. Huwa miksub minn hawn
Wieħed.9- L-ewwel mudell Bredt\
L-ebusija tat-torsjoni tinkiseb l-aktar sempliċiment meta x-xogħol tad-deformazzjoni jiġi espress minn naħa permezz tal-mument tat-torsjoni u l-angolu tat-torsjoni u min-naħa l-oħra permezz ta ’shear stresses. B’dan il-mod, jinkiseb għal element virga ta ’tul l
għalhekk, l-introduzzjoni tal-valur għal τ skond l-ekwazzjoni (8),
jiġifieri, b’paragun mal-ekwazzjoni (2):
Wieħed.10
Jekk il-ħxuna tal-ħitan hija l-istess madwar, allura huwa sempliċi (2. Il-mudell ta’ Bredt):
Wieħed.11
Stress normali fit-torsjoni minħabba liwi tas-sezzjoni
Termini bażiċi u ekwazzjoni differenzjali
Spostamenti tal-komponenti u, ekwazzjoni (1b), jiddetermina l-kurvatura tas-sezzjonijiet mill-pjani tagħhom. Meta l-mument tat-torsjoni huwa kostanti, dan il-liwi huwa l-istess fis-sezzjonijiet kollha u l-istress normali σx ma jidhirx.
F’ħafna każijiet, il-kurvatura tas-sezzjoni trasversali, li għandha tqum fuq il-bażi ta ’_St. It-teorija ta’ Venant mhix possibbli. Jekk il-mument tat-torsjoni jinbidel f’daqqa f’sezzjoni trasversali waħda, liwi ta ’kobor differenti jseħħ fuq iż-żewġ naħat tas-sezzjoni trasversali, u l-kontinwità tad-deformazzjoni tkun imfixkla. Tarf wieħed tal-virga jista ’jiġi hekk ikklampjat li l-liwi tas-sezzjoni huwa kompletament eskluż f’dak il-punt. F’dawn il-każijiet, għandha ssir emenda _St. It-teoriji ta’ Venant. Stress supplimentari σx fid-direzzjoni tal-assi tal-virga u forza ta ’shear supplimentari T (shearing stresses T/t) jidhru fil-virga, li huma l-ogħla fis-sezzjoni fejn tinkiser il-kontinwità tad-deformazzjoni u li jonqsu b’mod esponenzjali bid-distanza minn din is-sezzjoni. Fil-każ ta ’vireg u tubi solidi, din it-teorija hija kumplessa, u l-vultaġġi supplimentari jonqsu tant malajr li d-determinazzjoni tagħhom ma tkunx siewja f’ħafna każijiet. Għal vireg ta ‘profil miftuħ b’ħitan irqaq, din il-korrezzjoni hija ta’ importanza kbira u tista ’tiġi kkalkulata relattivament faċilment.
Sl.9
Sl.9turi l-linja li matulha l-wiċċ tan-nofs tal-ħajt u l-pjan tas-sezzjoni jiltaqgħu (il-linja tan-nofs tas-sezzjoni). O huwa ċ-ċentru ta ‘rotazzjoni relattiva ta’ żewġ sezzjonijiet ħdejn xulxin. Jekk id-distanza tagħhom hija dx, l-angolu tat-torsjoni huwa ϑ dx, għalhekk punt arbitrarju tal-linja tan-nofs jgħaddi minn spostament u ϑ dx. Dan l-ispostament għandu komponent rt ϑ dx fid-direzzjoni tanġent mas-sezzjoni, u huwa ż-żlieq tal-element tal-wiċċ tan-nofs tal-ħajt (b’kunsiderazzjoni li _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Peress li l-istress shear fil-wiċċ tan-nofs tal-ħajt huwa żero, għandu jkun ukoll γ=0, allura għalhekk
Dan il-mudell fih tliet parametri arbitrarji: l-oriġini li minnha jiġi kkalkulat it-tul tal-ark s u l-koordinati taċ-ċentru ta ‘rotazzjoni relattiva O, li fuqu jiddependi rt. Il-punt tal-bidu li minnu jiġi kkalkulat it-tul tal-ark s jista’ jintgħażel sabiex il-valur medju tal-kurvatura jkun żero:
u l-koordinati taċ-ċentru O jistgħu jiġu determinati b’tali mod li l-mumenti minħabba l-liwi tas-sezzjoni jkunu żero:
Jista’ jintwera li ċ-ċentru tar-rotazzjoni hekk determinat jikkoinċidi maċ-ċentru ta’ shear li huwa hawn deskritt u definit b’mod ieħor.
Jekk il-liwja tas-sezzjoni deskritta minn dawn il-mudelli hija kompletament jew parzjalment evitata, għandhom jidhru tensjonijiet normali σx fid-direzzjoni tal-assi tal-virga. Eżami aktar mill-qrib juri li dawn it-tensjonijiet jistgħu jittieħdu bħala proporzjonali għall-funzjoni tal-kurvatura φ: σx=k__φ, fejn φ jiddependi biss fuq s u k biss fuq x. Skont il-liġi ta’ Hooke:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
għandu jkun k=E d__ϑ/dx. Stress normali σx jissejħu tensjoni tal-liwi tas-sezzjoni. Meta wieħed iqis l-ekwazzjonijiet ta ‘hawn fuq, jiffurmaw sistema ta’ ekwilibriju ta ‘forzi f’kull sezzjoni, sistema ta’ forzi minħabba l-liwi tas-sezzjoni.
It-torque totali jikkonsisti f’żewġ partijiet: waħda minnhom M1=GJT__ϑ tqum minħabba tensjonijiet tal-qtugħ tat-torsjoni mogħtija minn St. Venant's teorija, u l-oħra M2 iseħħ minħabba liwi tas-sezzjoni:
Wieħed.13
Peress li l-mument M huwa mogħti bħala funzjoni ta ’x, din l-espressjoni tirrappreżenta ekwazzjoni differenzjali għall-angolu tat-torsjoni ϑ. Ladarba din l-ekwazzjoni tiġi solvuta, M jista ’jiġi kkalkulat1 u M2, u għalhekk l-istress u t-tensjonijiet kollha.
Soluzzjoni u applikazzjonijiet
Meta l-mument tat-torsjoni M huwa kostanti, is-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni (13) hija:
Kostanti ta’ integrazzjoni C1, C2 għandhom jiġu determinati minn żewġ kundizzjonijiet tal-konfini.
a) Tarf ikklampjat b’mod riġidu x=0(fig.1)
F’dan il-għan huwa u≡0, għalhekk ibbażat fuq l-ekwazzjoni (1b) ϑ=0. Jekk il-virga hija twila ħafna (αl>>1), imbagħad C1=0u C2= -M/GJT. Fil-każ ta ‘vireg qosra, id-dehra ta’ stress minħabba liwi tas-sezzjoni hija affettwata mill-kundizzjoni fit-tarf tal-lemin tal-virga. Jekk il-liwi tas-sezzjoni ma jiġix evitat f’dak il-post, ikun hemm σx≡0u dϑ/dx=0. Huwa miksub minn hawn
b) Tagħbija tat-torsjoni simmetrika skont il-fig.10
Fuq in-nofs tax-xellug tal-virga, il-mument tat-torsjoni huwa -M/2, u fuq il-lemin +M/2. Fil-każ ta ’torsjoni ħielsa, is-sezzjonijiet lejn ix-xellug u l-lemin tan-nofs tal-virga jkunu mibrumin fid-direzzjoni opposta, għalhekk il-kontinwità tad-deformazzjoni ma tkunx ippreservata. Għalhekk, fil-post x=0il-mument tat-torsjoni kollu għandu jiġi ttrasferit permezz tat-tensjonijiet li jseħħu minħabba l-liwi tas-sezzjoni trasversali, u għalhekk f’din is-sezzjoni trasversali M1=0u għalhekk ϑ=0. F’dan il-punt, sistema ta ‘forzi taġixxi biex tiżgura li s-sezzjoni tibqa’ dritta, anke jekk sezzjonijiet li jinsabu aktar ’il bogħod miċ-ċentru tal-kurva tal-virga. Jekk, barra minn hekk, huwa meħtieġ li t-truf tal-virga jkollhom stress σx≡0, kundizzjoni ta ’konfini waħda oħra tinkiseb għal kull nofs tal-virga, għalhekk hija għan-nofs tal-lemin
Fig. 10
c) Il-mument estern M f’post arbitrarju (fig.11)
F’dan il-każ, is-soluzzjoni ϑ għaż-żewġ partijiet tal-virga għandha tinkiteb separatament, għalhekk jidher total ta ‘erba’ kostanti C1, C2, C3, C4. Barra minn hekk, il-mumenti tat-torsjoni Ma, Mb mhumiex magħrufa wkoll. Sitt ekwazzjonijiet huma disponibbli: kundizzjoni ta’ kontinwità għal ϑ (espressa b’u) u għal dϑ/dx (espressa b’σx) fil-punt tat-tagħbija, kundizzjoni waħda f’kull tarf tal-virga (eż. kklampjar riġidu ϑ=0, jew liwi mhux disturbat, dϑ/dx=0), il-kundizzjoni tal-bilanċ bil-mumenti -Ma+Mb=M u finalment il-kundizzjoni li s-sezzjonijiet tat-tarf ma jdurux ma’ xulxin: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Nota finali: l-għażla tal-mudell tat-torsjoni tiddependi fuq is-sezzjoni miftuħa jew magħluqa, slenderness, metodu ta ‘appoġġ, post ta’ input tal-mument u l-possibbiltà ta ’liwi ħielsa. Għal element reali, l-istati tal-limitu li jġorru t-tagħbija u s-servizz, id-dettalji lokali, il-ġonot, l-għeja u l-istabbiltà għandhom jiġu kkontrollati, mhux formula waħda iżolata biss mill-artikolu.