Arkivekspertinnhold: teksten og formlene formidler en historisk teoretisk fremstilling og er ikke et prosjekt, statisk beregning, bæreevnesjekk, vurdering av et eksisterende element eller instrukser for bygging eller rehabilitering. Betegnelser, forutsetninger og omtrentlige mønstre må kontrolleres mot det spesifikke systemet, materialet, geometrien, grenseforholdene og gjeldende standarder. Beregning av vridning, stabilitet, tretthet, ledd og stress på grunn av forhindret bøyning bør gjøres av en autorisert ingeniør, med uavhengig kontroll når det er nødvendig.
I dag er Savo Kusić fokusert på trevinduer, tre-aluminium vinduer, egendefinerte vinduer, dør og forespørsler om tilbud. Denne artikkelen forblir som et historisk faglig arkiv og representerer ikke en strukturell designtjeneste.
Saint-Venant teori om torsjon (fri torsjon)
Differensialligning
Sl.1
La en rett stang festes i en av endene x=0og la den belastes i den andre enden med et torsjonsmoment M (fig.1). Deretter roterer hver av dens seksjoner med en viss vinkel α(x) rundt en bestemt linje parallelt med aksen til pinnen, som vi vil bruke som x-aksen. Hvis alle seksjoner er like med hverandre, vil enhver rett linje parallelt med x-aksen gå inn i en spole, og vinkelen α vil være proporsjonal med avstanden fra den faste enden: α=ϑx, hvorfra komponentforskyvningene i seksjonens plan oppstår (fig.2):
v = - r a sin__ψ = - ϑ x z,
w = r a cos__ψ = ϑ x y. (1en)
Mengden ϑ kalles torsjonsvinkelen (dimensjon: lengde-1, rotasjon per lengdeenhet). Torsjonsvinkelen er proporsjonal med torsjonsmomentet M:
ϑ = M/GJT. (2)
Sl.2
Proporsjonalitetsfaktoren GJT, torsjonsstivheten, er lik produktet av skjærmodulen G og faktoren JT, som representerer effekten av snittets form og størrelse.
Denne rotasjonen av seksjonen er ikke den eneste deformasjonen av stangen. I tillegg er det også bøyning av tverrsnittet, dvs. til forskyvningen u i retning av x-aksen, som har samme størrelse for de tilsvarende punktene i alle tverrsnitt og derfor kun er en funksjon av koordinatene i snittets plan, og ellers er proporsjonal med lasten M eller torsjon: ϑ
u = u(y,z) = ϑ ∙ φ(y,z), dφ/dx=0. (1b)
Hvis uttrykkene ovenfor introduseres i de tilsvarende forskyvningsligningene, oppnås det at hovednormalspenningene er lik null, og etterlater bare to komponentspenninger τxy og τxz:
En.3
Differensialligningen til torsjonsproblemet oppnås basert på ligningene (3) setter:
En.4og jeg4b
og løse disse differensialligningene for de ukjente τxy og τxz ved å introdusere spenningsfunksjonen F(y,z) som:
τxy = - dF/dz, τxz = + dF/dy. (5)
Med dette vil ligningen (4a) identisk tilfredsstilt, og fra ligningen (4b) den nødvendige differensialligningen er oppnådd
d2F/dy2+ d2F/dz2=2G__ϑ (6)
Grensebetingelsen som kreves for den unike løsningen av denne ligningen er hentet fra kravet om at det ikke er noen skjærspenninger på stanghylsteret, hvorfra det på grunn av skjærspenningenes konjugerte natur følger at spenningen i snittplanet ikke må ha en komponent vinkelrett på seg langs konturen. Herfra, fig.2:
dy/dz = _τxy/_τxz = - (dF/dz) / (dF/dy)
derfor
dF/dy dy + dF/dz dz =0,
dvs. den totale differensialen til funksjonen F må være null, det vil si at den må være F=konst. langs konturen.
Hvis seksjonen bare har én kontur, kan den enkelt settes F= på den0, fordi med spenningsfunksjonen, som vi egentlig bare er interessert i derivater av, spiller ikke den vilkårlige additivkonstanten noen rolle. For seksjoner som har mer enn én kontur, er dette problemet mer komplekst.
Som sett fra ligningen (5) resultanten av skjærspenningene τxy og τxz ved et vilkårlig skjæringspunkt er lik gradienten til spenningsfunksjonen F, men er vinkelrett på den, dvs. har en tangentretning til linjen F=konst.
Ved å løse differensialligningen (6)) spenningene τ som funksjoner av y, z og ϑ oppnås. Oppgaven med beregningen er selvfølgelig bestemmelsen av torsjonsvinkelen ϑ og spenningen, spesielt den maksimale spenningen som funksjon av torsjonsmomentet, derfor bestemmes stivheten til seksjonen JT fra ligningen (2) og motstandsmomentet WT = Mmaxτ. For å oppnå disse er det bare nødvendig å uttrykke M som en funksjon av F:
Begge summeringene av dette integralet, som bør tas over hele seksjonen, kan transformeres ved delvis integrasjon. Hvis for eksempel den første av dem integreres først langs linjen z=const. fra punktet på konturen y=y1 til punktet y=y2 (fig.3) og ta hensyn til at i begge disse punktene F=0, er oppnådd
Den samme verdien oppnås fra det andre integralet, slik at
En.7
Sl.3
Andre tilfeller av hele seksjoner
Differensialligningen (6) er den inhomogene ligningen for potensialteori. Derfor, for løsning av torsjonsproblemet i tilfelle av et vilkårlig tverrsnitt, er metodene til potensialteorien tilgjengelige, som gjør det mulig å alltid finne den. Disse metodene er imidlertid generelt for komplekse til å kunne brukes på enkeltsaker som oppstår i praksis. Derfor viser følgende tabell resultatene av slike beregninger for flere seksjoner.
For tverrsnitt nær sirkulært kan JT=F settes4/40_Ip_, der F er arealet og Ip er det polare treghetsmomentet til seksjonen.
Merknad til formler og tabeller: uttrykk og verdier i skannede bilder lagres som en historisk kilde. OCR-tekst, indeksmerker og skanning er ikke pålitelige nok for beregning. Før bruk bør hver formel, enhet, koeffisient og gyldighetsområde kontrolleres i en autoritativ profesjonell kilde og gjeldende standard.
Analogi med membranen
En god hjelp for å estimere torsjonsspenninger, og samtidig en prosedyre for deres nøyaktige bestemmelse er gitt av analogien mellom spenningsfunksjonen F til torsjonsproblemet og avbøyningstverrbelastningen til membranen. La det være en gjennomsnittlig åpning på den flate veggen til et fartøy som faller sammen med tverrsnittet til en stang lastet i torsjon. Når membranen strekkes over denne åpningen og det oppstår et lite overtrykk p i karet, buler membranen utover, slik at dens avbøyninger ξ(y,z) tilfredsstiller differensialligningen
hvor N er overflatespenningen i membranen forårsaket av kapillærkrefter (dimensjoner: kraft per lengdeenhet). Denne ligningen faller sammen med ligningen (6), og grensebetingelsen ξ=0er den samme som spenningsfunksjonen. På denne måten kan spenningsfunksjonen F(y,z) oppnås ved hjelp av dette speilet med membranen og derved løse torsjonsproblemet. Spenningen τ tilsvarer helningen til membranen i forhold til y-z-planet, så det bratteste stedet er det der stangen utsatt for vridning har høyest skjærspenning.
Sl.4
Sl.5
Denne membranprosedyren er spesielt egnet for å oppnå omtrentlige mønstre for tynnveggede seksjoner. Når for eksempel I-seksjonen deles i henhold til fig.4på tre rektangler og for hver av dem utføres analogien med membranen separat, summen av volumene til de resulterende fremspringene vil bare være litt mindre enn volumet som faktisk tilsvarer spenningsfunksjonen. Derfor, når tykkelsene er b1 og b2 liten, omtrentlig
JT =2JT1+ JT2,
hvor JT1 og JT2 stivhetsfaktorer for individuelle rektangler som kan beregnes basert på tabellen1. En bedre tilnærming oppnås når JT plasseres for ribben2 = a2b32/3 derfor når ribben betraktes som en del av et svært langstrakt rektangel. En enda mer nøyaktig verdi oppnås i henhold til Trayer og Mars\ fra
JT =2JT1+1/3en2b32+2 α D4,
hvor D er diameteren til den største sirkelen innskrevet som vist i fig.4, og α kan tas fra fig.5. For T-seksjonen oppnås det tilsvarende
JT = JT1+JT2+ α D4,
hvor JT2 halvparten av verdien beregnet etter tabellen1for a=2_en2_, b=b2. For L-seksjoner (fig.6) ligner på det
JT = JT1+ JT2+ β D4
hvor JT1 for den tykkere armen er tatt direkte fra bordet1, mens JT2 for det tynne benet beregnes som for T-snittet, og β er hentet fra fig.7.
Fig. 6
Sl.7
Ved beregning av spenningen deles torsjonsmomentet inn i konstituerende rektangler: delen som faller på flensene M1=M JT2/JT; skjærspenningen beregnes deretter ved midtpunktet på den lengre siden av hvert rektangel basert på tabellen1. Den største av disse spenningene trenger ikke være den største skjærspenningen som vises i snittet. Nemlig, hvis innfallsvinkelen ikke er avrundet, oppnås τ=∞ på det stedet, slik at for en svært liten avrundingsradius kan den høyeste skjærspenningen forventes her.
Ingeniørmerknad: den matematiske singulariteten til den idealiserte spisse vinkelen er ikke en lisens til å estimere den faktiske detaljen ved dette omtrentlige mønsteret alene. Selve avrundingsgeometrien, toleranser, plastisitet, sveiser, restspenninger, lokal stabilitet og utmatting krever passende modellering og ekspertverifisering.
For en ensidig vinkel hvis sidetykkelse er t i henhold til Trefftz\ er på avrundingen av diameteren r:
hvor med τ0 merket maksimal spenning beregnet for hvert enkelt ben basert på prosedyren beskrevet her. For større avrundingsradier kan τ= brukes2__τ0.
tynnveggede rør (Bradt-mønstre)
I tynnveggede rør har den svulmende membranen formen vist i fig.8, som består av et plan over hulrommet inne i røret og en skrå flate som omgir det og ligger over den effektive seksjonen av rørveggen; denne skrå overflaten må være brattere hvis rørveggene er tynnere på riktig sted. I dette tilfellet er skjærspenningene fordelt ganske jevnt over tykkelsen på veggene og er omvendt proporsjonal med tykkelsen på veggene, dvs. skjærkraft T = τt endres ikke langs omkretsen av snittet.
Sl. 8
Overflateelementet t_∙ds_ mottar en del av torsjonsmomentet
dM = t_∙ds∙τ∙h,_
så det totale øyeblikket er
En.8
hvor FR-overflaten er dekket av midtlinjen markert med linjer og prikker i fig.8. Den er hentet herfra
En.9- Det første Bredt-mønsteret
Torsjonsstivhet oppnås enklest når deformasjonsarbeidet kommer til uttrykk på den ene siden gjennom torsjonsmoment og torsjonsvinkel og på den andre siden gjennom skjærspenninger. På denne måten oppnås det for et stangelement med lengde l
så, introduser verdien for τ i henhold til ligningen (8),
det vil si ved sammenligning med ligningen (2):
En.10
Hvis tykkelsen på veggene er den samme rundt hele, så er det enkelt (2. Bredt sitt mønster):
En.11
Normale spenninger i torsjon på grunn av seksjonsbøyning
Grunnleggende termer og differensialligning
Komponentforskyvninger u, ligning (1b), bestemmer krumningen til seksjonene fra planene deres. Når torsjonsmomentet er konstant, er denne bøyningen lik i alle seksjoner og normale spenninger σx vises ikke.
I mange tilfeller vil krumningen av tverrsnittet, som bør oppstå på grunnlag av _St. Venants teori er ikke mulig. Dersom torsjonsmomentet endres brått i ett tverrsnitt, vil det oppstå bøyninger av forskjellig størrelse på begge sider av tverrsnittet, og kontinuiteten i deformasjonen vil bli forstyrret. Den ene enden av stangen kan være så fastklemt at bøyning av seksjonen er helt utelukket på det punktet. I slike tilfeller er det nødvendig å supplere _St. Venants teorier. Supplerende spenninger σx i retning av stangens akse og tilleggsskjærkraft T (skjærspenninger T/t) opptrer i stangen, som er høyest i snittet hvor kontinuiteten i deformasjonen brytes og som avtar eksponentielt med avstanden fra denne seksjonen. Når det gjelder solide stenger og rør, er denne teorien kompleks, og tilleggsspenningene avtar så raskt at det i de fleste tilfeller ikke er verdt å bestemme dem. For tynnveggede stenger med åpen profil er denne korreksjonen av stor betydning og kan beregnes relativt enkelt.
Sl.9
Sl.9viser linjen som veggens midtflate og snittplanet skjærer (midtlinjen i snittet). O er sentrum for relativ rotasjon av to tilstøtende seksjoner. Hvis avstanden deres er dx, er torsjonsvinkelen ϑ dx, så et vilkårlig punkt på midtlinjen gjennomgår en forskyvning u ϑdx. Denne forskyvningen har en komponent rt ϑdx i retning tangenten til seksjonen, og er glidningen av elementet til veggens midtoverflate (med tanke på at _u=_φϑ):
γ=__ϑ (rt + d__φ/ds).
Siden skjærspenningen i veggens midtflate er null, må den også være γ=0, så det er derfor
Dette mønsteret inneholder tre vilkårlige parametere: opprinnelsen som buelengden s beregnes fra og koordinatene til sentrum for relativ rotasjon O, som rt avhenger av. Utgangspunktet som buelengden s beregnes fra kan velges slik at middelkurvaturverdien er null:
og koordinatene til sentrum O kan bestemmes på en slik måte at momentene på grunn av bøyningen av seksjonen er null:
Det kan vises at det således bestemte rotasjonssenteret sammenfaller med skjærsenteret som er her beskrevet og definert på en annen måte.
Dersom bøyningen av snittet beskrevet av disse mønstrene er helt eller delvis forhindret, må normale spenninger σx i retning av stangens akse vises. Nærmere undersøkelse viser at disse spenningene kan tas for å være proporsjonale med krumningsfunksjonen φ: σx=k__φ, hvor φ kun avhenger av s og k kun av x. I henhold til Hookes lov:
σx = E_∂u/∂x = Eφ dϑ/dx_, (12)
må være k=E d__ϑ/dx. Normalspenninger σx kalles seksjonsbøyespenninger. Tatt i betraktning ligningene ovenfor, danner de et likevektssystem av krefter i hver seksjon, et system av krefter på grunn av bøyningen av seksjonen.
Det totale dreiemomentet består av to deler: en av dem M1=GJT__ϑ oppstår på grunn av torsjonsskjærspenninger gitt av _St. Venant_s teori, og den andre M2 oppstår på grunn av bøyning av seksjonen:
En.13
Siden momentet M er gitt som en funksjon av x, representerer dette uttrykket en differensialligning for torsjonsvinkelen ϑ. Når denne ligningen er løst, kan M beregnes1 og M2, og dermed alle påkjenninger og påkjenninger.
Løsning og applikasjoner
Når torsjonsmomentet M er konstant, vil den generelle løsningen av ligningen (13) er:
Integrasjonskonstanter C1, C2 må bestemmes ut fra to randbetingelser.
a) Stivt klemt ende x=0(fig.1)
I denne enden er u≡0, så basert på ligningen (1b) ϑ=0. Hvis stangen er veldig lang (αl>>1), deretter C1=0og C2= -M/GJT. Ved korte stenger påvirkes utseendet av spenning på grunn av bøyning av tverrsnittet av tilstanden i høyre ende av stangen. Hvis bøyningen av seksjonen ikke forhindres på det stedet, vil det være σx≡0og dϑ/dx=0. Den er hentet herfra
b) Symmetrisk torsjonsbelastning i henhold til fig.10
På venstre halvdel av stangen er torsjonsmomentet -M/2, og til høyre +M/2. Ved fri torsjon vil seksjonene til venstre og høyre for midten av stangen være vridd i motsatt retning, derfor vil kontinuiteten til deformasjonen ikke bli bevart. Derfor, på stedet x=0hele torsjonsmomentet må overføres gjennom spenningene som oppstår på grunn av bøyningen av tverrsnittet, og derfor i dette tverrsnittet M1=0og derfor ϑ=0. På dette tidspunktet virker et kraftsystem for å sikre at seksjonen forblir rett, selv om seksjoner som ligger lenger fra midten av stangkurven. Hvis det i tillegg kreves at spenningene i endene av stangen er σx≡0, en ytterligere grensebetingelse oppnås for hver halvdel av stangen, så det er for høyre halvdel
Fig. 10
c) Eksternt moment M på et vilkårlig sted (fig.11)
I dette tilfellet må løsningen ϑ for begge deler av stangen skrives separat, så totalt fire konstanter C vises1, C2, C3, C4. I tillegg er torsjonsmomentene Ma, Mb også ukjente. Seks ligninger er tilgjengelige: en kontinuitetsbetingelse for ϑ (uttrykt ved u) og for dϑ/dx (uttrykt ved σx) ved belastningspunktet, en tilstand i hver ende av stangen (f.eks. stiv klemme ϑ=0, eller uforstyrret bøyning, dϑ/dx=0), balansebetingelsen med momenter -Ma+Mb=M og til slutt betingelsen at endeseksjonene ikke roterer i forhold til hverandre: ∫ ϑdx =0.
Sl.11
Siste merknad: valget av torsjonsmodell avhenger av åpen eller lukket seksjon, slankhet, støttemetode, sted for momentinngang og muligheten for fri bøyning. For et reelt element må bære- og bruksgrensetilstander, lokale detaljer, skjøter, tretthet og stabilitet kontrolleres, ikke bare én isolert formel fra artikkelen.