Normalaj streĉoj ĉe rektaj stangoj kaj stangoj kun malgranda kurbiĝo
Difino de transversaj fortoj
Estu rekta stango ŝarĝita per fortoj de arbitra direkto, pri kiuj oni nur supozas, ke ĉiuj kuŝas en unu ebeno (forta ebeno), kiu pasas tra la akso de la stango (linio kiu kunligas la centroidojn de la transversaj sekcoj).
Fig. 1
Por kalkuli la streĉojn, kiuj agas en iu transversa sekco n – n (fig. 1), necesas koni la forton, kiu tra tiu sekco transdoniĝas de unu parto de la stango al la alia. Ĝi evidente laŭ grandeco kaj pozicio egalas al la rezultanto de ĉiuj fortoj, kiuj agas sur unu parton de la stango. Tiu rezultanto dismetiĝas en komponantojn en koordinatsistemo, kies x-akso koincidas kun la akso de la stango, kaj kies z-akso estas la linio laŭ kiu la ebeno de la transversa sekco tranĉas la ebenon de la fortoj. La komponanto en direkto de la z-akso nomiĝas transversa forto Q aŭ Qz kaj ĉe simpla trabo estas konsiderata pozitiva se maldekstre de la sekco ĝi direktiĝas supren, kaj dekstre malsupren.
Kiam la stango estas kurba, la koordinataj aksoj x kaj z havas en ĉiu sekco alian direkton, kaj ĉiam tiel, ke la x-akso estas tangento al la akso de la stango. Se la ebeno, en kiu kuŝas la akso de la stango, ne koincidas kun la forta ebeno, aŭ se la akso de la stango estas spaca kurbo, la rezultanta forto maldekstre de la sekco havas ankaŭ trian komponanton, la transversan forton Qy. Per N, Qz kaj Qy estas difinitaj la grandeco kaj la direkto de la forto transdonata tra la sekco, sed ne ĝia pozicio. Por tio necesas, ke ankaŭ ĝiaj momentoj rilate al la koordinataj aksoj estu konataj. En la kazo de ebena fleksado sufiĉas, ke la fleksmomento M aŭ My estu konata. En la plej ĝenerala kazo aperas ankoraŭ unu fleksmomento Mz kaj momento ĉirkaŭ la x-akso, Mx.
La ses fortoj kaj momentoj difinitaj en la antaŭa prezento estas kunigitaj sub la komuna nomo „sekcaj fortoj“. Ilia determino estas unu el la bazaj taskoj de la statiko de konstruaj strukturoj.
Inter la kontinue distribuita ŝarĝo p (dimensio: forto po unuo de longo), la transversaj fortoj Q kaj la fleksa momento M ekzistas en la kazo de ebena fleksado simpla rilato. Nome, el la kondiĉoj de ekvilibro de unu elemento de la stango (fig. 2) oni ricevas
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
tial
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Distribuo de normalaj streĉoj
Se stango estas ŝarĝita nur per aksa forto, en la transversa sekco aperas nur uniforme distribuita normala streĉo σ (streĉita, resp. kunpremita stango). Se krome aperas fleksmomento, tiuj streĉoj devas iel esti malegale distribuitaj, tiel ke ilia rezultanto ne plu trapasas la pezocentron de la sekco. Por determini ĉi tiun distribuon, la teknika teorio de fleksado ne ekiras de strikta solvo de la bazaj ekvacioj, sed anstataŭigas parton de tiuj ekvacioj per pluaŭbla supozo, kiu en unu aparte simpla kazo samtempe estas ankaŭ strikte plenumita. Tiu speciala kazo estas fleksado de rekta prismoforma stango sen la efiko de transversaj fortoj (fig. 3). Ĉiuj elementoj de la stango, kiuj estas sufiĉe malproksimaj de ĝiaj finoj, spertas la saman deformadon, el kio rekte sekvas, ke la akso de la stango transformiĝas al cirkla arko kaj ke ĉiuj ebenoj de transversaj sekcoj, kiuj origine estis perpendikularaj al la akso de la stango, dum la deformado restas ebenaj, ĉar ĉiu el ili estas simetria ebeno por apudaj partoj de la deformita stango. Nature trudiĝas la supozo, ke la transversaj sekcoj restas proksimume ebenaj ankaŭ kiam la fleksmomento kaj la transversa sekco de la stango ne estas konstantaj, sed iom post iom ŝanĝiĝas laŭlonge de la stango. Ĉi tiu supozo, nomata la hipotezo de Navier, kuŝas en la bazo de la teorio de fleksado.
Fig. 3
La grandeco de normalaj streĉoj
Kiam rekta elementa trabo fleksiĝas, unu parto de ĝiaj “fibroj”, t.e. materialaj linioj paralelaj al la akso de la stango, elongiĝas, dum la alia parto mallongiĝas (fig. 4). Inter ĉi tiuj du partoj kuŝas la neŭtralaj fibroj z=0, kies longo dum fleksado ne ŝanĝiĝas. Estu la radiuso de kurbiĝo de ĉi tiuj fibroj en la fleksita stato ϱ kaj estu ĝi kuŝanta en la x-z ebeno. El fig. 4 moĝas legi
Δ dx/z = _dx/_ϱ
kaj de tie kalkulita dilatiĝo de la fibroj je distanco z de la neŭtrala akso, kiu egalas al
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
kaj surbaze de la Hooke-a leĝo la streĉo
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Ĉi tiu streĉo estas proporcia al la distanco de la neŭtralaj fibroj. Tia rezulto estas ligita al la supozo, ke antaŭ la deformado ĉiuj fibroj de la stango-elemento estis same longaj, tiel ke la stango komence estis rekta, aŭ almenaŭ kun tiel malgranda kurbo, ke la efiko de la kurbo povas esti neglektata. La rekto, laŭ kiu la neŭtrala tavolo kaj la ebeno de la sekco intersekcas, nomiĝas neŭtrala akso. Ni adoptas ĝin kiel la y-akson (fig. 5). La pozicio de la neŭtrala akso en la transversa sekco riceviĝas el la kondiĉo de ekvilibro de fortoj en la direkto de la x-akso: se la normala forto N=0 (fleksado sen normala forto), tiam ankaŭ la rezultanto de internaj fortoj esprimita per normalaj streĉoj en la sekco devas esti egala al nulo:
La integralo dekstre estas la statika momento de la surfaco rilate al la y-akso. Por ke ĝi estu egala al nulo, tiu akso devas esti unu el la centraj aksoj.
La momento M, kiu kaŭzas deformadon, rilate al la aksoj y kaj z en la ebeno de la sekco (fig. 5) havas la komponantojn:
Ekv. (3)
kie Iy, Iyz estas la ekvatora kaj centrifuga momento de inercio de la sekco rilate al la indikitaj aksoj.
La plej grava estas la speciala kazo kiam Mz=0. Tiu kazo aperas kiam Iyz=0, tio estas, kiam y kaj z estas la ĉefaj inerciaj aksoj de la transversa sekco. Tio signifas, ke la fleksa ebeno, kiu ĉi tie estas akceptita kiel la x-z-ebeno, koincidas kun la ebeno en kiu agas la fleksa momento M=My, do kun la ebeno de fortoj.
Fig. 5
Se el la ekvacioj (2) kaj (3) oni eliminas _E/_ϱ, oni ricevas la formulon por determini la streĉon ĉe simpla fleksado (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
por la randoaj punktoj 1 kaj 2 aparte estas:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
La grandoj W1,2 = I/h1,2 (dimensio: longo al la tria potenco) nomiĝas rezistaj momentoj. Se la horizontala peza akso samtempe estas akso de simetrio de la sekco, tiam W1 = W2, do la randaj streĉoj estas egalaj laŭ absoluta valoro.
Elasta linio
Fig. 6
La graveco de la supre menciitaj formuloj rilatas al la leĝo de Hooke. Tio postulas, ke σ << E, do laŭ (2) h << ϱ. Tamen la fleksiĝo rajtas esti tiom granda, ke ϱ estu de la sama grandordo kiel la longo de la stango l. Ĉe kurbaj stangoj, kiuj estas konsiderataj en konstruado, ĉi tiu okazo ne aperas; ĉiam ϱ estas multe pli granda ol l kaj sekve la deflanko w << l (fig. 6). Tiam proksimume validas:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
kaj surbaze de (3):
w’’ = - M/EI.
Ĉi tiu ekvacio kaj la ekvilibro-kondiĉo (1b) konsistigas sistemon de diferencialaj ekvacioj de fleksita stango. Per eliminado oni povas redukti ilin al unu kvardera-orda ekvacio:
wIV = + p/EI
aŭ, en la kazo ke la momento de inercio estas varia:
(EIw’’)’’ = +p.
El ili, per integralo, oni povas trovi la formon de la elasta linio kiam la ŝarĝo p=p(x) estas donita kaj kiam por ĉiu kazo de stango du limkondiĉoj estas konataj. El tiuj minimume du devas rilati al deformiĝo. Por detaloj vd. la artikolon Statiko de konstruaĵaj strukturoj.
Sekca kerno
Se la neŭtrala akso tranĉas la transversan sekcon, ĝi dividas ĝin en la streĉan zonon kaj la preman zonon. Ĉe materialoj kun malgranda streĉrezisto aperas la demando, kie devas agi la prema forto, se en la transversa sekco nenie rajtas aperi streĉo. La pozicio de la atakpunkto de la forto tiam estas limigita al la regiono nomata kerno de la sekco. La limo de la kerno estas evidente la geometria loko de punktoj, kies neŭtralaj aksoj tuŝas la transversan sekcon laŭ ĝia konturo. Tiel samtempe estas donita ankaŭ ĝia konstruo.
La distancon de la limo de la kernzono de la pezocentro, mezuritan en ajna direkto, ni signu per k kun la indekso, kiu respondas al tiu direkto. Por la ĉefaj inerciaj aksoj laŭ la ekvacio
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
la esprimoj estas jenaj:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Por cirkla transversa sekco kun radiuso r la kerndistanco estas k = r/4, kaj por cirkla ringo (radiusoj: ekstera R, interna r) k = (R2 + r2) / 4R.
Por la ortangulo (fig. 7) validas ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Do, ĉe ŝarĝado de rektangula sekco en unu el la simetriaj ebenoj (sed nur tiam) sufiĉas, ke la rezultanto trafu la mezan trionon de la alto aŭ larĝo de la transversa sekco, por ke la streĉoj en la sekco havu la saman signon.
Fig. 7
Fleksado en la plasta regiono
Kiam en la randaj fibroj de la fleksita stango estas atingita la flupunkto, ĝia portkapablo per tio ankoraŭ ne estas elĉerpita, ĉar dum la eksteraj fibroj plastike deformiĝas ĉe konstanta streĉo, en la partoj kuŝantaj pli proksime al la neŭtrala akso, kie la flupunkto ankoraŭ ne estas atingita, la streĉo pliiĝas, kaj tiel ankaŭ la fleksa momento, kiun la sekco povas porti.
Se la preciza kurso de la diagramoj de streĉoj kaj deformiĝoj estas konata, la procezo por duoble simetriaj sekcoj (altoj h) povas facile esti komputile sekvata tiel, ke, sub la supozo ke la sekcoj restas ebenaj, el la diagramoj de streĉoj kaj deformiĝoj oni determinas la distribuon de la fleksa streĉo σ kiu respondas al iu akceptita dilatiĝo de la ekstremaj fibroj ε__r kaj de tie per integralo determinas la fleksmomanton. Se tio estas efektivigita por diversaj ε__r kaj aliflanke oni kalkulas la koncernan kurbiĝon de la deflekta linio w’’ = 2 ε__r / h, oni ricevas serion de punktoj tra kiuj eblas tralasi linion, kiu donas la rilaton inter la fleksmomanto kaj la kurbiĝo M = M(w’’); ĉi tiu rilato jam ne estas lineara, kaj kiam ĝi estas konata eblas per grafika integriĝo determini la deflekta linio, kiu respondas al donita distribuado de momentoj. Se la sekco estas nesimetria, la kalkulo fariĝas pli kompleksa, tiom, ke por ĉiu ε__r ankoraŭ necesas determini ankaŭ la pozicion de la neŭtra akso.
Fig. 8
La kalkulo iome simpligas, se krom la simetrio de la sekco oni supozas ankaŭ simpligitan rilaton inter la streĉoj kaj la deformoj laŭ fig. 8. Tiam la streĉoj pro fleksado post supero de la flupunkto havas la aranĝon montritan en fig. 9 kaj la fleksa momento estas:
kaj la kurbeco de la deklina linio riceviĝas kiam la ekvacio (2) estas aplikata al parto de la sekco, kies streĉoj en la elasta regiono w’’ = σf / Ez’. Se la formo de la sekco estas konata por ĉiu adoptita z’, la integraloj povas esti kalkulataj. Ekzemple, por la plej simpla kazo de rektangula transversa sekco kun larĝo b kaj alto h estas
Se ĉi tie z’ estas esprimita per w’’, oni ricevas
Ĉe I-sekcoj kaj similaj, la kurso de la M-w’’ kurbo en la plasta regiono estas ankoraŭ pli plata kaj la momento ĉe kiu okazas fluado tiam praktike egalas al la plej granda fleksmomento, kiun la sekco entute povas elteni. Tial la signifo de plasta fleksado en konstruado ne konsistas en pligrandigo de la fleksmomento, kiun la sekco povas porti, sed en tio, ke granda loka deformiĝo, kiu aperas ĉe la flurlimo, povas konduki al favora ŝanĝo de la fortodistribuo ĉe statike nedifineblaj sistemoj.
Fig. 9
Tion oni povas klarigi per la ekzemplo de kontinua apogtrabo super du kampoj. Estu la trabo (fig. 10) kun kampoj de egala longo, konstanta sekco kaj estu ĝi ŝarĝita per egale distribuita ŝarĝo. Tiam antaŭ la atingo de la cedolimo la momento super la apogo estas MB = _pl_2/8. Se la ŝarĝo p tiel kreskas, ke la momento en la apogsekco atingas la valoron Mf, ĉe kiu ekas cediĝo, dum plua kreskigo de la ŝarĝo la kurbiĝo ĉe tiu loko ankaŭ kreskas sen rimarkebla pliiĝo de la momento. Formiĝas la tiel nomata plasta artiko, t.e. la trabo sub aldona ŝarĝo kondutas kvazaŭ super la meza apogo ekzistus artiko. La ŝarĝon oni povas plu kreskigi ĝis ankaŭ ĉe la loko de la plej granda momento en la kampo ekas cediĝo. Plua kreskigo de la fleksmomento jam ne plu eblas kaj la portokapablo de la trabo estas elĉerpita. La ŝarĝo, sub kiu tiu stato aperas, nomiĝas limŝarĝo.
Fig. 10
Ĝenerale oni povas atendi, ke en unu n-foje statike nedeterminitaj sistemo devas aperi (n+1) plastaj ĉarniroj antaŭ ol la sistemo iĝos movebla kaj tiel atingos sian ŝarĝoportan limon. Tamen tiu regulo havas esceptojn ambaŭdirekte. Kiel la menciita ekzemplo montras, ĉe la ŝarĝoporta limo povas samtempe aperi du novaj plastaj ĉarniroj (en ambaŭ kampoj), tiel ke la ĝis tiam ankoraŭ nemovebla sistemo subite transiras al sistemo kun du gradoj de libereco. Aliflanke eblas, ke ankaŭ kun malpli ol (n+1) plastaj ĉarniroj la portokapablo estu loke elĉerpita, ekzemple kiam ĉe kontinua trabo cedu nur unu kampo. Fig. 11 montras, kiel tio povas okazi ĉe unu statike duoble nedeterminitaj sistemo kun n=2 plastaj ĉarniroj. Se dekstre de la trabo aldoniĝas ankoraŭ kvara kampo, la trabo fariĝas trioble statike nedeterminita, do sufiĉas (n-1) plastaj ĉarniroj por alkonduki nur la maldekstran kampon ĝis la ŝarĝoporta limo.
Fig. 11
Tondaj streĉoj ĉe fleksado
Elementara kalkulo
Fig. 12
La normalaj streĉoj σ, t.e. la streĉoj, kiuj fakte aperas pro fleksado, ne estas la solaj streĉoj en la fleksita stango, sed apud ili aperas ankaŭ tondaj streĉoj pro la ago de transversa forto. Konsiderante, ke la baza karakterizo de la teknika teorio de fleksado estas tio, ke deformoj pro tondaj streĉoj estas neglektataj, ĉi tiuj povas esti determinataj nur el ekvilibro-kondiĉoj. Por formi tion, la elementon de trabo dx oni tranĉas, kiel indikite en fig. 12, per horizontala ebeno en du partojn, kaj oni starigas la ekvilibro-kondiĉon de horizontalaj fortoj, kiuj agas sur la malsupran parton. Flanke maldekstre tio estas la internaj fortoj esprimitaj per streĉoj σ pro fleksado, por kiu oni devas integri de z’ = z ĝis z’ = h2
Dekstre agas la samaj streĉoj, sed pliigitaj per diferencialo laŭ la respondan fleksmomento M + dM. La diferenco inter la fortoj je ambaŭ flankoj de la elemento devas esti en ekvilibro kun la forto pro ŝeraj streĉoj τ, kiuj agas en la horizontala sekca surfaco t dx:
Ĉi tie la integralo reprezentas la statikan momenton de la parto de la transversa sekco apartigita per horizontala transversa ebeno rilate al la pezocentra akso de la sekco. Ĝi estas markata per S. El dM/dx = Q laŭ la ekvilibrokondiĉo oni ricevas:
τ = QS/It. (8)
Tio laŭ la principo de konjugiteco de tondaj streĉoj samtempe estas la valoro de la vertikala tonda streĉo, kiu agas en la surfaco de la transversa sekco kaj kiu, kune kun S kaj t, estas funkcio de z.
Fig. 13
Fig. 13.1
La ekvacio (8) donas fidindajn datumojn ĉe ĉiuj sekcoj kun maldikaj muroj, se la sekca ebeno ne estas metita paralele al la neŭtrala akso, sed en la direkto de la murdikeco. Sekve I-profilo estas tranĉata trans la reto kaj trans la flanĝo, kio donas la streĉdistribuon montritan en fig. 13.1. Ĉe ringa sekco (fig. 13) la tondaj streĉoj estas distribuitaj simetrie rilate al la vertikala diametro kaj maldekstre kaj dekstre ĉe la neŭtrala linio atingas maksimumon
τ = Q / πrt.
Se la sekco estas tranĉita ĉe la plej alta aŭ plej malalta loko, la aranĝo de la ŝiraj streĉoj ne ŝanĝiĝas; tamen, se ĝi estas tranĉita ĉe la dekstra fino de la horizontala diametro (fig. 14), la ŝira streĉo en tiu loko egalas nuli, dum ĝia valoro duobliĝas ĉe la maldekstra fino de la sama diametro.
Fig. 14
Plenaj sekcoj
Ĉe plenaj transversaj sekcoj de arbitra formo la problemo de tondaj streĉoj estas intime ligita kun la problemo de tordo. La elementa ekvacio (8) en tiu kazo jam ne estas fidinda. Por cirkla transversa sekco de radiuso r la ekvacio (8) donas
τ = 4Q / 3__πr2
kiel meza valoro de la tondstreĉo laŭ la neŭtrala akso, kaj la ĝusta valoro estas nur je kelkaj procentoj pli granda.
Tondcentro
Se por la U-sekco oni kalkulas la tondajn streĉojn laŭ la supre priskribita maniero, oni ricevas la streĉodistribuon montritan en fig. 15. La rezultanto de la koncernaj internaj fortoj estas la transversa forto Q. El la figuro videblas ĝia pozicio rilate al la sekco, do ke ĝi nek pasas tra la pezocentro de la sekco, nek kuŝas en la ebeno de la reto. Se la transversa forto kalkulita surbaze de eksteraj fortoj ne havas la pozicion montritan en fig. 15, la portanta elemento estas ŝarĝita ne nur je fleksado, sed ankaŭ je tordado.
Se por la sama transversa sekco oni determinas rezultanton respondan al la tondaj streĉoj por ia horizontala ŝarĝo, oni ricevas la ataklinion de la horizontala transversa forto. En la intersekco de ĉi tiuj du ataklinioj troviĝas karakteriza punkto por la donita transversa sekco, kiu nomiĝas tondocentro M. En la portilo ne aperas streĉoj pro tordo, kiam la tondocentroj de ĉiuj transversaj sekcoj kuŝas sur unu rekto, kaj ĉiuj ŝarĝoj perpendikularaj al la akso de la stango pasas tra tiu rekto. Alie la momento de ĉiu ŝarĝo rilate al la rekto, kiu kunigas la tondocentrojn, reprezentas tordan tondon.
Fig. 15
Influo de la transversa forto sur fleksado
La teknika teorio de fleksado baziĝas sur la neglektado de deformiĝoj pro tondaj streĉoj. Sekve ĝi efektive povas esti aplikata al sveltaj stangoj, ĉe kiuj ĉi tiu neglektado estas pravigita kaj kie la transversa forto ne havas rimarkindan efikon al la fleksado.
La sperto tamen montris, ke la teknika teorio de fleksado povas kun certa sukceso esti aplikata ankaŭ al mallongaj, altaj subtenantoj, por kiuj ĝi fakte tute ne estas destinita. Tiam aperas la bezono, ke la influo de la deformado pro tondaj streĉoj, kiu en ĉi tiu teorio estas neglektata, estu, almenaŭ proksimume, poste konsiderata.
Same kiel la tondaj streĉoj τ pro transversaj fortoj kaj la respondaj glitdeformoj γ_’ =_ τ_/G_ estas distribuitaj neregule laŭ la sekco. Tial oni enkondukas ilian mezan valoron γ, kiu estas difinita tiel, ke la transversa forto ĉe ĉi tiu meza deformad-valoro faras sur la traberolemento dx deforman laboron egalan al tiu, kiu estus ricevita per integrado de la laboroj de la tondaj streĉoj sur la unuopaj volumaj elementoj, kiuj konsistigas la konsideratan traberolementon:
de kie ĝi estas
La integralo povas esti kalkulata kiam la distribuo de la ŝeraj streĉoj laŭ la sekco estas konata. Ĉar ĉiuj ŝeraj streĉoj estas proporciaj al Q/F, ĝia valoro estas proporcia al Q2/F2 * F, do metante, ke ĝi estas κ__Q2/F, oni ricevas
γ = κ__Q / GF.
La konstanto κ nomiĝas koeficiento de distribuo de tondaj streĉoj. Por rektangulaj sekcoj κ= 1,2.
Fig. 16
Kiam la koef. κ, kaj tiel ankaŭ la meza glitado γ, estas konata, oni povas kalkuli la aldonaĵan deflekson wQ, kaŭzitan de la transversaj fortoj, kiun oni devas aldoni al la defleksoj w: ĉar laŭ fig. 16 estas
do pro Q = dM/dx:
kiel la integra konstanto estas ricevita el unu randkondiĉo.