Principia
Munus resistentiae materiarum est determinare quas vires externas corpus solidum sustinere possit (exempli gratia aedificium, pars constructiva vel terra). Ut ad hanc quaestionem respondeatur, a duobus criteriis proficiscitur: ex una parte, tensiones certos fines, qui a genere materiae dependent, non excedere debent, ex altera parte aequilibrium inter vires externas et internas stabile esse debet. Iuxta hoc, omnia problemata resistentiae materiarum dividi possunt in “Problemata tensionum” et “problemata stabilitatis.”
Apud virgulas et trabes ex iis compositas sustentacula (crates, compages) determinatio tensionum duobus gradibus fit, eo modo ut primum ex viribus externis datis resultantia virium internarum quae per sectionem transversam transferuntur computetur, deinde ex his “viribus sectionis” tensiones determinentur. Prima pars processus disciplinam peculiarem et amplam constituit, statica structurorum aedificatoriarum, quae proprias methodos elaboratas habet et quae plerumque a resistentia materialium separatur, cuius munus ad determinationem tensionum ex viribus sectionis datis reducitur.
Notiones fundamentales resistentiae materiarum
Ad definitionem tensionis perveniendum est per haec principalia considerata. Sit in corpus agens systema virium externarum aequilibratum. Fingamus corpus quolibet sectione in duas partes divisisse nos, et unam earum una cum viribus in eam agentibus removisse; tum eius actio in alteram partem, ut in corpore aequilibrium virium et distributio deformationum immutata maneant, viribus supplementariis, per superficiem sectionis transmissis, substitui debet. Hae vires “internae” continuo per superficiem sectionis distribuuntur, ita ut cuique elemento superficiei dF vis dβ respondeat. Si quotiens dβ/dF formatur et transitus limitans dF -> 0 fit, tum hic quotiens ad valorem limitantem tendit, qui tensio appellatur. Tensio in elemento quodam superficiei, sicut dβ, in componentem normalem et componentem tangentem ad dF resolvi potest: tensio normalis σ, tensio secans τ.
Si per eandem punctum sectiones in diversis directionibus ducuntur, eis etiam diversa tensiones correspondent. Praesertim si e corpore elementum cuboideum, in fig. 1 ostentum, separatur, in unaquaque ex sex eius superficiebus agent vector tensionis qui in tres componentes secundum directiones axium coordinatarum x, y z resolvi potest. Tensione quae in oppositas partes superficiei agunt inter se differunt, sane, tantum per differentiale, ita distinguenda sunt 3 * 3 = 9 componentes tensionum, quae hoc modo designantur:
Nominibus normalibus σ index datur axis in cuius directione iacent et positiva habentur si tensionem efficiunt, negativa si compressionem efficiunt. Nominibus secantibus τ duo indices dantur, quorum primus idem est ac index nominis normalis respondentis, secundus autem ad axem pertinet in cuius directione vis secans agit. Si positiva directio nominis normalis respondentis cum directione axis coordinati positivi (negativi) congruit, etiam vis secans positiva habetur si in directione axis coordinati positivi (negativi) agit.
Figura 1.
Coniugatio tensionum secantium
Si pro parallelepipedo elementari, fig. 1, ponatur conditio ut momentum omnium virium circa axem x sit nullum, obtinetur τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Hinc, et ex duabus aequationibus respondentibus pro axibus y et z, obtinetur ut tensiones secantes eodem indice inter se aequales sint τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Deformationes componentales
Quod praedictae tensiones sensum physicum habeant, ex earum nexu cum definitione quam quodlibet corpus sub influxu virium externarum patitur, apparet. Fig. 2 ostendit unum cuboidem elementarem, qui ante deformationem rectangulus erat et laterum longitudines dx, dy, dz habebat. Longitudines laterum post deformationem notare possumus per dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; rationes εx = Δdx/dx, εy = Δdy/dy, εz = Δdz/dz dilatationes vocantur. Hae sunt magnitudines sine dimensione et apud omnia materia, quae in aedificatione considerantur, parvae secundum 1. Praeter elongationem laterum, cuboidus elementaris dx * dy * dz etiam mutationem angulorum initio rectorum inter suas facies pati potest.
Figura 2. deformātio componentalis
Sit post deformationem angulus inter plana quae ad lineam OC conveniunt aequalis 
et similiter reductio anguli recti ad lineam AO sit aequalis γyz, et reductio ad lineam OB sit aequalis γzx. Hae tres mutationes angulorum γxy, γyz, γzx, appellatur lapsus et quoque semper sunt parvae ad 1. Cum sex componentibus ε et γ omnino determinatur deformatiuncula elementi cubici “deformatio in parvo”. Mutatio elementi voluminis d_V = dx * dy * dz_ est ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, unde, cum producta extensionum tamquam quantitates ordinis superioris parvi negliguntur, obtinetur dilatatio cubica ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Displacements
Deformatio corporis solidi etiam hoc modo perfecte describi potest, ut cuilibet eius puncto motus tribuatur quem illud punctum passum est. Si ex consideratione motus magnitudinis finitae, qui motui corporis rigidi respondent, excluduntur, ita ut, si necesse sit, in calculatione systema coordinatarum mobile assumatur, tum etiam motus componentales μ, ν, ω semper parvae magnitudinis sunt, et eorum derivationes respectu coordinatarum parvae sunt ad 1. Sub hac hypothesi secundum fig. 3 longitudo elementi linearis OA = dx post deformationem
ita 
(3)
Simili modo ex fig. 3 apparet lapsum γxy esse γ1 + γ2: atque etiam
(4)
Imago 3 labens
(5) 
(6)
Hae relationes condiciones compatibilitatis vocantur et indicant elementa deformata quasi musaeum componi posse ita ut spatium continuo impleatur, quod obtineri non potest si deformationes elementorum arbitrariae sunt. Conditiones compatibilitatis sunt aequationes differentiales, quare, ut par est, omnes sex partes deformationis componentis pro singulo cubo mutuo independentes sunt, sed earum dispositio in quavis area finita explanata condicionibus (5) et (6).
Quoniam hae condiciones ex aequationibus (3) et (4) per differentiationem obtentae sunt, in earum deductione pars vinculorum in aequationibus primitivis contentorum amittitur. Ideo non sufficit ut unum tantum ex his duobus systematibus aequationum impleatur, sed utraque systemata satisfacienda sunt, si compatibilitas deformationis praestari vult.
Aequationes differentiales systematis elasticitatis
The following equations are used for calculating stresses and deformations in elastic bodies:
Conditiones aequilibrii elementi volumetrici. Conditiones ut momenta circa tres axes nulla sint iam adhibitae sunt in deductione aequationis (1). Conditiones aequilibrii virium, secundum fig. 4, dant
Figura 4
(7a-c)
Si componentiae viarum volumetricarum per X, Y, Z denotentur (exempli gratia pondus, vis centrifuga) per unitatem voluminis. Relationes inter tensiones et deformationes. Hoc intellegitur relatio inter tensiones componentales et deformationes componentales. In theoria elasticitatis, ut regula, tantum relatio linearis consideratur, quae lege Hooke exprimitur:
(8a-c)
(8d-f)
Si aequationes (8a-c) de tensionibus resolvantur, obtinetur
(8 a)
kso et duae aequationes pertinentes. Lex Hooke in aequatione (8) expressa non est lex naturae stricte impleta, sed idealizatio realis comportamenti, quod ab ea plus minusve recedit, pro materia et magnitudine tensionis. Quoniam tractatio mathematica problematis resistentiae materiarum cum nexibus complicatis, non lineari inter tensiones et deformationes longe maiores difficultates affert et re vera solum in simplicissimis casibus perfici potest, etiam apud ea materia (concretum!) quarum comportamentum a lege Hooke multum recedit, calculi in ea fundati uti debent velut prima, atque plerumque sola solutio approximata, quae praeterea plerumque valde utilis est et perspicientiam praebet quae plus quam mere qualitativa est. G = E|2 (1+μ).
Id necessario sequitur ex relatione inter tensionem et deformationem (8), ex aequationibus transformationis (16) pro tensionibus atque ex systemate aequationum correspondente pro deformationibus componentalibus E et G dimensionem tensionis habent et apud omnes materias aedificatorias magni sunt respectu tensionum σ et τ quae oriri possunt. In hac tamen re nititur suppositio ubique in theoria elasticitatis recepta, scilicet deformationes esse parvas. Coefficiens dilatationis transversalis (numerus Poissonianus) μ est sine dimensione et semper inter 0 et 1/2 est.
Nexus inter deformationes componentales et motus. Hae relationes dantur aequationibus (3), (4). Naturae sunt mere geometricae. Haec tria systemata dant 3+6+6=15 aequationum pro 15 incognitis, id est pro 6 tensionibus componentalibus, 6 deformationibus componentalibus et 3 motibus componentalibus. Igitur ad has incognitas determinandas satis sunt. Mathematicus tractatus tam vasti systematis aequationum differentialium, utique, solum in casibus specialibus possibilis est. Si in aequatione (8) deformationes componentales secundum aequationes (3) et (4) motibus componentalibus substituantur, deinde autem tensiones normales σ et tensiones secantes τ, secundum aequationes (8 d - f), in conditiones aequilibrii, aequ. (7), inducantur, obtinentur aequationes differentiales quae aequationes fundamentales theoriae elasticitatis appellantur.
(9)
quo in casu 
designatur operator Laplaceanus. Quoad (2) hae sunt tres aequationes differentiales cum tribus translationibus componentalibus μ, ν, ω; ex his autem differentiatione secundum (3), (4) et (8) omnes tensiones et deformationes componentales obtineri possunt. Aequationes (9) saepe punctum initii commodum exhibent ad casus speciales investigandos.
Labor de deformatione
Definitio
Cum portans onustatur, puncta actionis virium externarum motus elastici patiuntur et vires eo ipso quodam labore funguntur. Sic energia allata in varias formas mutari potest. Si onus repente applicatur, ita ut processus deformationis magnam velocitatem habeat, pars huius energiae in energiam kineticam convertitur, quae tempore dissipatur, sive eo modo quod ad solum transfertur tamquam unda elastica quae in infinitum perit, sive quod per frictionem internam in calorem convertitur. Si onera tam leniter imponuntur ut nullus notabilis incrementum energiae cineticae oriatur, id est, si onera paulatim crescentia, ab initio nulla, in stabili aequilibrio cum viribus internis sunt, energia aperte tantummodo in deformationem corporis consumitur et tunc labor deformationis appellatur.
Calculum laboris deformationis primum ostendemus in particula ad tractionem in una directione onerata (fig. 5).
Sit tensio exsistens σ et extensio ei respondens ε incrementa dσ et dε pati. Tum vis σdF in itinere dε * dl opus efficiet σdF * dεdl = σdεdV, si per dV volumina particulae significetur. Si tensio a nihilo ad valorem suum finalem crescit et extensio secundum hoc ab 0 ad ε, opus totale per unitatem voluminis erit:
Similiter etiam pro elemento a tensione secante τ onerato (fig. 6) labor deformationis per unitatem voluminis (labor deformationis specificus, potentia elastica):
quo fit ut sola una ex quattuor viribus τ * dF opus faciat.
In casu generali, cum omnes sex componentes tensionum particulam elementarem aggrediuntur, opus deformationis specificum obtinetur per summam operum singulorum componentium tensionum:
(10)
Differentiando respectu limitis superioris cuiusque horum integralium, obtinentur relationes quae valent in casu generalissimo:
(11)
and similarly for the remaining component deformations. If the body is elastic, every given stress state corresponds always to the same deformation state, regardless of whether the state is reached during loading or unloading. Then the integrals contain single-valued functions, and the total energy spent during loading and then complete unloading is a = 0, since in this case the upper limits of the integrals become zero. Therefore, the total energy supplied to the body during loading is recovered during unloading.
Figura 6
Figura 7
Pro corpore imperfecte elastico relatio inter tensiones et deformationes pro toto cyclo oneris et exonerationis formam habet fere in fig. 7 lineis O A B. Energia 
adducta in oneratione aequalis est superficiei OAA, et energia reddita in exoneratione superficiei ABA, ita ut amittatur (in calorem convertatur) opus superficiei striatae respondens. Si in processu oscillatorio tensio periodicē inter valorem limitantem positivum 
et valorem limitantem negativum 
mutatur, deformatio inelastica procedit simili modo ut in lineis interruptis in fig. 7 ostenditur, et in singula oscillationis periodo energia DABCD per unitatem voluminis in calorem convertitur. Talis habitus in deformatione, in quo deformatio a tensione postea sequitur, hysteresis elastica vocatur, et curva DABCD ansa hystereseos est.
Opus deformationis et lex Hookeana
Si in integralia in aequatione (10) lex Hookeiana inseratur, integratio fieri potest, atque pro opere deformationis specifico hae formulae obtinentur:
(12a)
(12b)
(12c)
Si secunda harum formarum in aequationem (11) inducitur, iterum obtinetur lex Hookeana, aequationes (8), in forma per tensiones soluta. Pronuntiatio quod labor deformationis a componentibus deformationis pendet, ut aequatione (12b) ostenditur, ideo legi Hookeanae aequipollens est. Cum aequatio (12c) respectu tensionum differentietur, obtinetur
(13)
Hae formae, contra formas (11), valent tantum pro corporibus quae se secundum legem Hookeianam gerunt nec adhiberi possunt cum relationes inter tensiones et deformatiónes aliter se habent. Sane in parte dextra aequationum (13) solae deformatiónes componentales a tensionibus ortae reperiuntur, ceterae autem omnes excluduntur quae fortasse ortae essent propter mutationem temperaturae, reptationem, intumescentiam, recrystallizationem, etc.
PRINCIPIA INTEGRALIA IN THEORIA ELASTICITATIS
Motus virtuales. Principium minimae energiae potentialis
Sicut lex Hookeana, aequationes (8) una aequatione (12b) suppleri potest, ita etiam loco condicionum aequilibrii principium motuum virtualium introduci potest, ut lex mechanica generaliter valida fundamentalis. Haec lex declarat status aequilibrii eo distingui quod in eis totum opus omnium virium per parvam mutationem status deformationum factum aequale sit nihilo. Si parvas mutationes motuum elasticorum notamus δμ δν, δω, tum vires volumericas aequatione (7) definitae opus virtuale exercent
et vires superficiales px, py, pz quae in elementum dF superficiei externae corporis agunt opus 
quo triplex integrale ad totum volumen pertinet, duplex autem ad totam superficiem externam corporis. Ad computandum opus quod vires internae efficiunt, utitur aequatio (12b), atque ita pro opere per unitatem voluminis obtinetur
Principium motuum virtualium ex hoc dat
(14)
Si onera X, Y, Z px, py., pz tamquam partes gravitatis intelleguntur (pondus proprium et onus externum), integra in parte dextra energiam potentialem quam haec onera amiserunt repraesentant, dum pars sinistra incrementum energiae potentialis (elasticae) corporis repraesentat, ita ut haec principia ostendat energiam potentialem totalem portantis et onerum super eo iacentium in casu aequilibrii valorem extremum habere. Si hic valor extremus minimum est, aequilibrium stabile est.
Principium de minimo energiae potentialis aequatione (14) expressum, formula (12b) pro opere deformationis, atque conditiones compatibilitatis deformationum (5), (6) systema aequationum constituunt quod ad theoriam elasticitatis construendam sufficit, et quod in fundamento systemati aequationum aequivalet. Hoc systema praesertim utile esse potest in casibus cum satisfactio aequationum differentialium (9) difficultates computatorias praebet, atque ideo quaerenda est solutio approximata, exempli gratia, pro translationibus forma apta antea supponitur quae paucas constantes liberas continet, deinde hae ex postulatione ut aequatio (14) satisfiat determinantur. Sic quidem non obtinetur solutio stricta problematis, sed tantum optima approximatio quae forma solutionis electa assequi potest. Utrum approximatio satis bona sit, imprimis a forma solutionis assumpta pendet, et prosper usus huius methodi propterea peritiam et experientiam requirit.
Principium Castiglianum
Dum in principio energiae potentialis minimae omnia statuum deformationis, quae condiciones compatibilitatis deformationum implent, comparantur et ex iis ea seliguntur quibus respondentes tensiones condiciones aequilibrii satisfaciunt, in principio Castigliano comparantur omnia statuum tensionum, quae condiciones aequilibrii satisfaciunt, et ex iis ea seliguntur quibus respondentes deformationes condiciones compatibilitatis deformationum satisfaciunt. Hoc principium sic sonat: ex omnibus possibilibus statibus aequilibrii reapse fit ille cui minimus labor deformationis respondet. Principium Castigliani una cum aequatione (12c) pro labore deformationis et condicionibus aequilibrii systema aequationum constituit, quod ad resistentiam materiae construendam sufficit. Cum hoc principium legem Hooke continet, possibilitas eius applicationis cum supposito coniungitur quod deformationes hac lege plene describi possint. Hoc non solum linearem elasticam materiei rationem requirit, sed etiam mutationes temperaturae excludit.
Sequentia materiae supra limites elasticitatis
Eventus sub onere statico
Deformatio materiae sub actione tensionum phaenomenon valde complicatum est, ita ut variis modis simpliciorem reddi debeat, ut intellegi possit. Una ex his simplificationibus est suppositio onera gradatim imponi, sicut, exempli gratia, fit cum exemplaribus in experimentis tractionis et compressionis.
Si virga ferrea ad tractum onerata oneri paulatim crescente exponitur et eius dilatatio ε metitur, diagramma in fig. 8 exhibita obtinetur. Primo dilatatio perparva est et proportionalis tensioni, sicut lex Hookeana postulat. Ab certa quadam tensione proportionalitas desinit et dilatatio celerius crescit. Exactus locus huius limitis proportionalitatis aegre determinari potest. Quo accuratior est mensura, eo humilior ille invenitur. Plurimis materiis in σ = 0 iacet, et lex Hookeana tunc tantum primam approximationem ad mores elasticos repraesentat, primum membrum expansionis in seriem Taylor functionis ε = ε (σ) circa originem coordinatarum.
Si virga oneribus liberatur, animadvertitur, cum tensio non fuerit nimis magna, etiam deformatiōnem evanescere, secundum legem Hookeianam. Sed hoc etiam mutatur si certa tensio, quae prope limitem proportionalitatis iacet, transgrediatur, qui dicitur finis elasticitatis; tum tota deformatiō ex parte elastica (restitutiva) et inelastica (permanenti) constat. Ne finis quidem elasticitatis exacte definiri potest; eo inferior invenitur quo maior est mensurae subtilitas. Quoniam tamen magnum momentum technicum habet, quia limitem utilitatis in paene omnibus calculationibus in resistentia materialium repraesentat, simulque limitem in quo prima damna permanentia oriuntur, ad examinandum exempla severe definitur aliqua recepta conventione, atque, exempli gratia, ut finis 0.2% ea tensio designatur ad quam dilatatio permanens ad 0.2% pervenit.
Statim post superatum terminum elasticitatis deformatio celeriter augetur et nudo oculo percipi potest; sub tensione fere constanti virga continenter elongatur. Haec tensio terminus fluendi vocatur. In machinis hydraulicis ad materias probandas praeterea post initium fluendi planius minusve notabilis decrementum tensionis observari potest; ut in fig. 8 curva interrupta indicatur; tum maximum terminus superior fluendi vocatur, et tensio fluendi constans quae deinde sequitur terminus inferior fluendi.
Postquam se attingit certa dilatatio, quae fere omnino inelastica est, tensio iterum incipit crescere, materia firmatur. In hac regionе oneris fit notabilis imminutio sectionis transversae virgae ob contrahctionem lateralem (inelasticam), et ulterior cursus diagrammatis tensionis et deformationis imprimis ab eo pendet utrum, cum tensio σ computatur, vis tractionis P quae in virgam agit dividatur per sectionem primigeniam F0 an per sectionem instantaneam F. Ad usus technicos interest tensio P|F0. Haec tensio ad maximum pervenit, quod robur materiae appellatur, et, postquam hoc maximum superatum est, virga in uno loco valde angustatur et frangitur. “Tensio vera” P|F ad ruinam usque crescit.
Figura 8.
Comportamentum aliorum metallorum a descriptione hic data multum aberrat. Fluxus saepe non est expressus, et durificatio statim post transgressionem liminis elasticitatis incipit. In materiis fragilibus (lapis, vitrum, concretum) deformationes inelasticae omnino parvae sunt, atque iam ad parvam dilatationem ruptura fit. Dilatatio totalis quam materia ad rupturam patitur mensura est extensibilitatis (contra: fragilitatis) materiae, et ea pro ferro in condicionibus technicis accurate praescribitur. Tamen, quoniam paulo ante rupturam ulterior deformatiō in loca vicina sectionis artatae concentratur, obtinetur valor diversus dilationis in ruptura, pro eo utrum ad longitudinem mensuralem maior an minor pars virgae assumatur; ut ergo resultata univoca et inter se comparabilia obtineantur, aliqua certa conventio antea statui debet. Dilatatio in ruptura plerumque ita metitur ut in virga rotunda diametri d ante experimentum longitudo mensuralis Ι = 10 d notetur et ex eius extensione ΔΙ dilatatio in ruptura _εs_Ι = _ΔΙ|Ι computetur. Si virgae alterius sectionis examinandae sunt, longitudo mensuralis secundum diametrum virgae cylindricae circularis statuitur, quae eandem aream sectionis transversae habet.
Onus diuturnum
Ad cursum experimenti tractivi parum interest utrum onus ad fracturam intra 10 m minuta an per complures horas crescat. Tamen, si onus per annos vel decennia agit, sub certis condicionibus observatur deformationem etiam infra limitem cedendi, sub tensu constante, tempore sensim augeri. Pars elastica, id est ea pars quae in exoneratione finali evanescit, notabiliter non mutatur. Hic incrementum deformationis inelasticae, quod per longum tempus fit, reptatio appellatur. Apud metalla, praeter plumbum, reptatio tantum ad temperaturas altas momenti est; attamen pro ingeniario aedificatorio munus agit apud concretum, qui sub pressione paulatim cedit, ita ut tensio in armatura compressa crescat, si ea exstat.
Onus variabile
Ut proprietates mechanicae materiae, in probatione tractionis obtentae, tamquam norma pro onere admisso structurarum adhiberi possint, condicio est ut materia in quolibet novo onere tensionem sustineat quam semel sine damno tulit. Haec condicio non impletur si materia crebris onerum et exonerationum repetitionibus exponitur, ut, exempli gratia, in casu trabium oneratarum viribus inertialibus machinarum imperfecte aequilibratarum. Satis crebris repetitionibus oneris pars constructiva etiam sub tensione longe infra robur materiae per experimentum staticum ordinarium determinatum ad ruinam adduci potest. Apparitio ruinae huius generis ruina ob lassitudinem appellatur. Numerus n cyclorum oneris quos materia sustinere potest magnitudine tensionis σ dependet, ita ut tanto maior sit quanto minor est tensio. Exemplum typicum huius dependentiae in fig. 9 monstratur, ex qua patet pro robore materiae esse limitem inferiorem, quem etiam sub quovis magno numero cyclorum oneris sustinet, et qui robustas dynamicus materiae appellatur. Diagrammata huius generis (fig. 9) curvae Wӧhlerianae appellantur.
Figura 9.
Securitas structurarum
Duo onera limitanea pro structuris magni momenti sunt: onus quo prima damna permanentia oriuntur (limen fluentiae), et onus quo capacitas portandi structurae exhauritur, ita ut frangatur (limen fracturae). Quoniam ante limen fluentiae saltem proxime valent hypothesis mechanicae materiarum (parva motus, lex Hookeana), securitas contra deformationes permanentes certo aestimari potest in omnibus illis casibus in quibus difficultates mathematicae superari possunt. Si tensio oneri proportionalis est, relatio tensionis fluentiae ad maximam tensionem quae in structura apparet aequalis est relationi inter onus quo fluentia oritur et onus reale, atque constituit coefficientem securitatis contra fluentiam. Sed in compluribus casibus haec relatio simplex non exstat: flexio ubi tensio trahens excluditur, pressio inter superficies convexas, systemata quorum structura variabilis est et, quod praesertim incommodum est, flexio cum vi axi. In omnibus his casibus parva relativa augmentatio oneris ad magnum incrementum tensionis ducere potest, et tum non satis est coefficientem securitatis consuetum ad tensiones applicare, sed ad onus ipsum applicandus est.
Phaenomena quae post excessum limitis fluendi usque ad ruinam fiunt, in plurimis casibus iam tantum qualitative observari possunt. Si materia est ductilis, partes in quibus primum limen fluendi attingitur, et quae ulterius deformantur sub tensione constanti vel paulo crescente, parum participant in susceptione oneris ulterioris, ita ut aliae partes structurae, minus tensae, quantum fieri potest, ratione eius structurae, magis in sustentatione participent. In hac inclinatione ad aequationem cacuminum tensionis latet quaedam securitatis reservatio, quae calculo adhiberi potest si deformatio permanens singularum partium, ex uno tantum magno onere orta, non est nociva (methodus oneris limitantis).
Ako je materijal krt, prvo trajno oštećenje ispoljava se u prslinama, zbog kojih na ugroženom mestu dolazi do još jače koncentracije napona, koja odmah izaziva slom. Slom usled zamaranja i kod rastegljivih materijala ima karakteristike krtog lomljenja.
Relationes inter tensiones pro diversis planis sectionum
Aequationes transformationis
Novem tensiones componentales in fig. 1 tribus condicionibus aequilibrii ligantur. Sex magnitudines reliquae σx, σy, σz τxy, τyz, τzx independenter ab invicem valores arbitrarios accipere possunt, ut ex deductione aequationum differentialium teoriae elasticitatis patet. Attamen, cum hae magnitudines datae sunt, status tensionis in aliquo puncto corporis solidi plene determinatus est, id est, cum notae sunt tensiones pro tribus planis inter se perpendicularibus, una cum vi potest etiam determinate definiri tensio pro quodam quarto plano qui per punctum datum transit et cuius normalis quamlibet habet directionem.
In fig. 10 demonstratur tetraedrum OABC, cuius tres facies planis systematis coordinatarum x, y, z parallelae sunt, quarta autem repraesentat aliquem elementum superficiei libere orientatum ABC = dF. Ut eius directionem et directionem tensionis per ipsum transmissae designet, introducitur aliud systema coordinatarum, cuius axis ξ est perpendicularis ad dF.
Imago 10
Condicio aequilibrii virium in hunc tetraedrum in directione axis ξ irruentium dat
Si consideretur quod est
fit
et similiter ex conditionibus aequilibrii in directione axis η:
Haec sunt aequationes quae ad calculum tensionum in transformatione coordinatarum serviunt. Praecipua est observatio tantum talium elementorum superficiei dF, pro quibus axis ξ cum axe z congruit. Formulas huius casus obtinere possumus simplificatione formularum praecedentium vel directe e fig. 11 legere:
Figura 11
Tensio normalis valores extremos capit pro directionibus α = α0 , pro quibus dσξ/dα = 0. Differentiatione ex aequatione (16) obtinetur
paene igitur, cum haec expressio ad nihilum aequatur
Tensio τξη eodem tempore erit tota tensio secans in his planis, si τyz = τzx = 0. Tunc aequatione (17) determinantur duo directiones inter se perpendiculares, pro quibus: 1. tota tensio secans est nulla et, 2. tensio normalis valores extremos habet (maximum et minimum). Hi directions appellantur directiones tensionum principalium, et tensiones respondentes tensiones principales. Significantur per σ1 et σ2 et immediate ex formula computari possunt
Circulus Mohrianus
Aequationes (16) forma perspicua graphice exhiberi possunt. Hac de causa eas in formam sequentem transformare oportet:
Haec aequationes in systemate coordinatarum σ, τ formam parametricam aequationis circuli repraesentant, in fig. 12 delineati, cuius coordinatae centri sunt σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 et cuius radius
Hic circulus circulus Mohr appellatur. Si per punctum x recta parallela cum sectione x = const. ducitur, per quam tensiones σx, τxy transferuntur, circulum secabit in puncto p, quod polus circuli Mohr appellatur. Quaelibet recta pξ per hunc polum ducta circulum secat in puncto ξ, quod definit tensiones σξ, τξη, quae per sectionem parallelam cum pξ transferuntur.
Quod ad signum tensionum secantium in delineando circulo Mohr attinet, cavendum est ut sursum ponantur, si directionem habent quam in fig. 12c monstratur. Itaque ex duabus tensionibus coniugatis τxy, τyx, una semper positiva est, altera negativa.
Valoribus limitibus tensionum normalium σ1, σ2 respondent puncta 1 et 2 in circulo, atque rectae _p_1 et _p_2 dant directiones tensionum principalium.
Repraesentatio tensionum quae in plano x-y iacent per circulum Mahr non ulli suppositioni de tensionibus σz, τxz, τyz huic plano perpendicularibus coniuncta est.
Figura 12
Ono prema tome važi i za najopštije trodimenzionalno stanje napona, ako se upoređuju samo one presečne ravni koje sve prolaze kroz istu pravu, koja je ovde izabrana za z i ξ osovinu. Kako prema opštim jednačinama transformacije (15) normalni napon σ ne može da postane beskonačan ni za jednu presečnu ravan, to on mora da ima za neku ravan konačni maksimu σ1, a za drugu minimum σ3, od kojih oba, razume se, mogu da budu i negativni. Ako se kroz vektore σ1 i σ3 povuče ravan i nacrta Mohr-ov krug (sl. 13)
Figura 13
za napone koji leže u ovoj ravni (tj. za sve pravce koji su upravni na ovu ravan), tada su σ1 i σ3 najveći i najmanji normalni naponi koji se mogu pojaviti i prema tome moraju da budu međusobno upravni. Ako se pravci 1 i 3 dopune pravcem 2, tako da ova tri pravca čine pravougli koordinatni sistem, i ako se nacrtaju Mahr-ovi krugovi za ravni 1 ~2 i 2 ~ 3, tada je σ2 za jedan od ovih krugova najveći, a za drugi najmanji normalni napon, i prema tome je u presecima upravnim na pravce 1, 2 i 3 smičući napon jednak nuli. Tri međusobno upravna normalna napona σ1, σ2 i σ3, kojima ne odgovaraju smičući naponi, nazivaju se glavni naponi.
Limes fluxionis et limes ruinae apud statum tensionum spatii
Status tensionis dicitur unidimensionalis, bidimensionalis vel tridimensionalis, aliter: linearis, planus vel spatialis, prout unus, duo vel omnes tres principales status tensionum a nihilo diversi sunt. In partibus structuralibus quae saepissime adhibentur, id est in virga tracta, compressa et inflexa, status tensionis, saltem in locis maxime oneratis, unidimensionalis est; item in experimentis tractionis, compressionis vel flexionis, quae in probatione materiarum fere unice ad determinationem tensionum admissarum adhibentur. Contra, apud laminas in suo plano vel ei perpendiculariter onustas, item apud testas, status tensionis bidimensionalis est, et in quibusdam casibus etiam status tensionis tridimensionales apparent, ita ut necesse sit ex limite fluenti et fracturae, in statu tensionis unidimensionali determinato, conclusiones de comportamento materiae in casu status tensionis spatialis deducere.