Материали: Съпротивление на материалите и теория на еластичността

Основи

Задачата на якостта на материалите е да установи какви външни сили може да издържи едно твърдо тяло (напр., сграда, конструктивен елемент или почва). За да се даде отговор на този въпрос, се изхожда от два критерия: от една страна напреженията не бива да превишават определени граници, които зависят от вида на материала, а от друга страна равновесието между външните и вътрешните сили трябва да бъде стабилно. В съответствие с това всички проблеми на якостта на материалите могат да се разделят на “проблеми на напреженията” и “проблеми на стабилността.”

При пръти и греди и носачи, съставени от тях (ферми, рамки), определянето на напреженията се извършва в два етапа, и то така, че първо въз основа на зададените външни сили се изчислява резултантата на вътрешните сили, които се предават през напречното сечение, а след това от тези “сечащи сили” се определят напреженията. Първата част на процедурата представлява отделна, обемна дисциплина — статиката на строителните конструкции, която има разработени собствени методи и която обикновено се отделя от съпротивление на материалите, чиято задача се свежда до определяне на напреженията от дадените сечащи сили.

Основни понятия за якост на материалите

До определението за напрежение се стига чрез следните основни съображения. Нека върху тялото действа равновесна система от външни сили. Да си представим, че сме разделили тялото с произволно сечение на две части и че сме отстранили едната от тях заедно със силите, които действат върху нея; тогава нейното действие върху другата част, за да останат равновесието на силите и разпределението на деформациите непроменени, трябва да бъде заменено с допълнителни сили, които се предават през повърхността на сечението. Тези “вътрешни” сили са непрекъснато разпределени по повърхността на сечението, така че на всеки елемент от повърхността dF съответства сила dβ. Ако се образува отношението dβ dF и се направи граничен преход dF -> 0, то това отношение клони към гранична стойност, която се нарича напрежение. Напрежението в определен елемент от повърхността е, както и dβ, и може да се разложи на компоненти нормална и тангенциална на dF, нормално напрежение σ и срязващо напрежение τ.

Ако през една и съща точка се прекарат сечения в различни посоки, на тях ще съответстват и различни напрежения. Особено ако от тялото се отдели елементарен паралелепипед, показан на фиг. 1, върху всяка от неговите шест повърхности ще действа вектор на напрежението, който може да се разложи на три компоненти в посока на координатните оси x, y z. Напреженията, които действат върху срещуположните страни на повърхнината, се различават помежду си, разбира се, само за диференциал, така че трябва да се различават 3 * 3 = 9 компонентни напрежения, които се означават по следния начин:

На нормалните напрежения σ се дава индексът на оста, в чиято посока лежат, и се считат за положителни, ако предизвикват опън, отрицателни, ако предизвикват натиск. Режещите напрежения τ получават два индекса, първият от тях е същият като индекса на съответното нормално напрежение, а вторият се отнася до оста, в чиято посока действа режещото напрежение. Ако положителната посока на съответното нормално напрежение е в посока на положителната (отрицателната) координатна ос, и режещото напрежение се счита за положително, ако действа в посока на положителната (отрицателната) координатна ос.

Фигура 1.

 Конюгованост на срязващите напрежения

Ако за елементарен паралелепипед, фиг. 1, се постави условие моментът на всички сили спрямо оста x да е нула, се получава τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Оттук, и от двете съответни уравнения за осите y и z, следва, че срязващите напрежения с еднакви индекси са взаимно равни τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

Компонентни деформации

Че по-горе дефинираните напрежения имат физически смисъл, произтича от връзката им с дефиницията, на която е подложено всяко тяло под въздействието на външни сили. Фиг. 2 показва един елементарен правоъгълен паралелепипед, който преди деформацията е бил правоъгълен и е имал дължини на ребрата dx, dy, dz. Дължините на ребрата след деформацията можем да означим с dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; частните εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz се наричат деформации. Това са безразмерни величини и при всички материали, които са от значение в строителството, са малки спрямо 1. Освен удължаването на ребрата, елементарният правоъгълен паралелепипед dx * dy * dz може да претърпи и изменение на първоначално правите ъгли между своите страни.

Снимка 2. компонентна деформация

Нека след деформацията ъгълът между равнините, които се събират по ръба OC, бъде равен на  и също така нека намалението на правия ъгъл по ръба AO бъде равно на γyz, а намалението по ръба OB да бъде равно на γzx. Тези три промени на ъглите γxy, γyz, γzx се наричат срязвания и също така винаги са малки спрямо 1. С шестте компонентни ε и γ напълно се определя деформацията на елементарния квадер “деформация в малко”. Промяната на елемента на обема d_V = dx * dy * dz_ е ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, откъдето, когато се пренебрегнат произведенията на деформациите като малки величини от по-висок ред, се получава кубична дилатация ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Измествания

Деформацията на твърдо тяло може да се опише напълно и по този начин, че за всяка от неговите точки се даде преместването, което тази точка е претърпяла. Ако се изключат от разглеждането преместванията с крайна величина, които съответстват на движението на твърдо тяло, по този начин, че ако е необходимо, в изчислението се приеме подвижна координатна система, тогава и компонентните премествания μ, ν, ω винаги са малки величини, а техните производни по координатите са малки спрямо 1. При това предположение според фиг. 3 дължината на линейния елемент OA = dx след деформацията

следователно  (3)

На подобен начин от фиг. 3 се вижда, че плъзгането γxy е γ1 + γ2: и също

 (4)

Фигура 3 приплъзване

(5)  (6)

Тези връзки се наричат условия на съвместимост и изразяват, че деформираните елементи могат да се напаснат като мозайка така, че пространството да бъде непрекъснато запълнено, което не може да се постигне, ако деформациите на елементите са произволни. Условията на съвместимост са диференциални уравнения, така че, разбира се, всичките шест компонентни деформации за всеки отделен паралелепипед са взаимно независими, но тяхното разположение във всяка крайно разпростряна област е свързано с условията (5) и (6).

Тъй като тези условия са получени чрез диференциране от уравнения (3) и (4), при тяхното извеждане се губи част от връзките, съдържащи се в първоначалните уравнения. Затова не е достатъчно да бъде изпълнена само една от тези две системи уравнения, а трябва да бъдат удовлетворени и двете системи уравнения, ако се желае да бъде осигурена съвместимостта на деформацията.

Диференциални уравнения на системата на еластичност

За изчисляване на напреженията и деформациите при еластични тела служат следните уравнения:

Условия за равновесие на обемен елемент. Условията моментите около трите оси да са равни на нула вече са използвани при извеждането на уравнение (1). Условията за равновесие на силите дават според фиг. 4

Фигура 4

(7a-c)

Ако с X, Y, Z се означат компонентите на обемните сили (напр. тегло, центробежна сила) на единица обем. Връзки между напрежения и деформации. Под това се разбира връзката между компонентните напрежения и компонентните деформации. В теорията на еластичността по правило се разглежда само линейна връзка, която се изразява с закона на Хук:

(8a-c)

(8d-f)

Ако уравненията (8a-c) се решат по напреженията, се получава

(8 a)

kso и две съответстващи уравнения. Законът на Hooke, изразен с уравнението (8), не представлява някакъв строго изпълняван природен закон, а идеализация на реалното поведение, което се отклонява от него повече или по-малко в зависимост от материала и големината на натоварването. Като се има предвид, че математическата обработка на задачите за съпротивление на материалите със сложни, нелинейни зависимости между напреженията и деформациите причинява несравнимо по-големи трудности и може действително да се проведе само в най-простите случаи, и при онези материали (бетон!), чието поведение значително се отклонява от закона на Hooke, изчисленията, основани на него, трябва да се използват като първо и в по-голямата си част и единствено приблизително решение, което между другото по правило е много приложимо и дава представа, която е повече от само качествена. G = E|2 (1+μ).

Тя неизбежно следва от връзката между напрежение и деформация (8), от уравненията на трансформация (16) за напреженията и от съответната система уравнения за компонентните деформации E и G имат размерност на напрежение и при всички строителни материали са големи спрямо напреженията σ и τ, които могат да възникнат. На този факт се основава приетото навсякъде в теорията на еластичността предположение, че деформациите са малки. Коефициентът на напречна дилатация (коефициент на Поасон) μ е без размерност и винаги се намира между 0 и 1/2 .

Връзки между компонентните деформации и преместванията. Тези връзки са дадени с уравненията (3), (4). Те са от чисто геометричен характер. Тези три системи дават 3+6+6=15 уравнения за 15 неизвестни, т.е. за 6 компонентни напрежения, 6 компонентни деформации и 3 компонентни премествания. Следователно те са достатъчни за определяне на тези неизвестни. Математическото овладяване на такава обемна система диференциални уравнения е възможно, разбира се, само в специални случаи. Ако в уравнение (8) компонентните деформации се заместят с компонентните премествания по уравнения (3) и (4), и след това нормалните напрежения σ и срязващите напрежения τ, според уравнения (8 d - f), се въведат в условията на равновесие, уравн. (7), се получават диференциални уравнения, които се наричат основни уравнения на теорията на еластичността.

(9)

като при това е  означен операторът на Лаплас. С оглед на (2) това са три диференциални уравнения с три компонентни премествания μ, ν, ω; от тях чрез диференциране на основата на (3), (4) и (8) могат да се получат всички компонентни напрежения и деформации. Уравненията (9) представляват често удобна изходна точка за изучаване на специални случаи.

Деформационна работа

Определение

Когато носачът се натовари, въздействието на точките на външните сили предизвиква еластични премествания и силите извършват при това определена работа. По този начин внесената енергия може да премине в различни форми. Ако натоварването се приложи рязко, така че процесът на деформация да има значителна скорост, една част от тази енергия се превръща в кинетична енергия, която с течение на времето се разсейва, било така, че се предава на почвата като еластична вълна, която се губи в безкрайността, било чрез вътрешно триене да се превръща в топлина. Ако товарите се нанасят толкова бавно, че при това не възниква забележим прираст на кинетичната енергия, т.е. ако постепенно нарастващите от нула товари са в постоянно равновесие с вътрешните сили, енергията очевидно се изразходва изключително за деформиране на тялото и тогава се нарича деформационна работа.

Изчисляването на деформационната работа ще покажем най-напред върху елемент, натоварен на опън в една посока (фиг. 5).

Нека съществуващото напрежение σ и съответната деформация ε претърпят приращения dσ и dε. Тогава силата σdF по пътя dε * dl ще извърши работа σdF * dεdl = σdεdV, ако с dV се означи обемът на елементчето. Ако напрежението нараства от нула до своята крайна стойност и деформацията съответно от 0 до ε, общо извършената работа на единица обем ще бъде:

По същия начин и за елемент, натоварен със срязващо напрежение τ (сл. 6) деформационната работа на единица обем (специфична деформационна работа, еластичен потенциал):

при което само една от четирите сили τ * dF извършва работа.

В общия случай, когато върху елементарната част действат и шестте компонентни напрежения, се получава специфичната деформационна работа чрез сумиране на работите на отделните компонентни напрежения:

(10)

Чрез диференциране по горната граница на всеки от тези интеграли се получават зависимости, валидни в най-общия случай:

(11)

и т.н. за останалите компонентни деформации. Ако тялото е еластично, на всяко определено напрегнато състояние винаги съответства едно и също деформирано състояние, независимо дали състоянието е достигнато при натоварване или при разтоварване. Тогава под интегралите стоят еднозначни функции и общата енергия, изразходвана при натоварване и след това при пълно разтоварване, е a = 0, като се има предвид, че в този случай горните граници на интегралите стават нула. Следователно общата енергия, предадена на тялото при натоварване, се получава обратно при разтоварване.

Снимка 6

Фигура 7

За непълно еластично тяло връзката между напреженията и деформациите за целия цикъл на натоварване и разтоварване има вид, приблизително показан на фиг. 7 с линии O A B. Енергията , вложена при натоварването, е равна на площта OAA, а енергията, върната при разтоварването, на площта ABA, така че се губи (превръща се в топлина) работата, съответстваща на щрихованата площ. Ако в осцилаторния процес напрежението периодично се изменя между положителната гранична стойност  и отрицателната гранична стойност,  нееластичната деформация протича подобно на това, както е показано с прекъснати линии на фиг. 7 и при всеки период на осцилация се превръща на единица обем в топлина енергията DABCD. Такова поведение при деформация, при което деформацията изостава зад напрежението, се нарича еластичен хистерезис, а кривата DABCD — хистерезисна примка.

Деформационна работа и законът на Хук

Ако в интегралите в уравнение (10) се въведе законът на Hooke, може да се извърши интегриране, така че за специфичната деформационна работа се получават изразите:

(12a)

(12b)

(12c)

Ако вторият от тези форми се въведе в уравнението (11), отново се получава законът на Хук, уравнения (8), в решен по напрежения вид. Твърдението, че деформационната работа зависи от компоненталните деформации, както е показано с уравнение (12b), е следователно еквивалентно на закона на Хук. Когато уравнение (12c) се диференцира по напреженията, се получава

(13)

Тези форми, за разлика от формите (11), важат само за тела, които се държат според закона на Хук, и не могат да се прилагат, когато връзките между напреженията и деформациите са други. Разбира се, в дясната страна на уравненията (13) се намират само компонентните деформации, предизвикани от напреженията, а се изключват всички останали, които евентуално са могли да възникнат вследствие на промяна на температурата, пълзене, набъбване, рекристализация и т.н.

ИНТЕГРАЛНИ ТЕОРЕМИ В ТЕОРИЯТА НА ЕЛАСТИЧНОСТТА

Виртуални премествания. Принцип за минимална потенциална енергия

Както законът на Хук, уравненията (8) могат да бъдат заменени с едно уравнение (12b), така и вместо условията на равновесие може да се въведе принципът на виртуалните премествания като общовалиден основен закон на механиката. Този закон посочва, че равновесните състояния се характеризират с това, че при тях общо извършената работа на всички сили при малка промяна на деформационното състояние е равна на нула. Ако малките промени на еластичните премествания означим δμ δν, δω, тогава обемните сили, определени с уравнение (7), извършват виртуална работа

а повърхностните сили px, py, pz, които действат върху елемента dF от външната повърхност на тялото работа 

като тройният интеграл се отнася за целия обем, а двоенният — за цялата външна повърхност на тялото. За изчисляване на работата, извършвана от вътрешните сили, се използва уравнение (12b), така че за работата на единица обем се получава

Принципът на виртуалните премествания на тази основа дава

(14)

Ако натоварванията X, Y, Z px, py., pz се приемат като компоненти на силата на тежестта (собствено тегло и външно натоварване), интегралите от дясната страна представляват потенциалната енергия, която тези товари са загубили, докато лявата страна представлява прираста на потенциалната (еластична) енергия на тялото, така че този принцип изразява, че общата потенциална енергия на носача и товарите, които лежат върху него, при равновесие има екстремна стойност. Ако тази екстремна стойност е минимум, равновесието е устойчиво.

Принципът за минимум на потенциалната енергия, изразен с уравнение (14), изразът (12b) за деформационната работа, условията за съвместимост на деформациите (5), (6) представляват система от уравнения, която е достатъчна за изграждане на теорията на еластичността и която по същество е еквивалентна на системата от уравнения. Тази система може да бъде особено полезна в случаите, когато удовлетворяването на диференциалните уравнения (9) представлява изчислителни трудности и поради това трябва да се търси приблизително решение, напр. за преместванията предварително се предполага подходяща форма, съдържаща няколко свободни константи, а те се определят от изискването уравнение (14) да бъде изпълнено. Така, разбира се, не се получава строго решение на проблема, а само най-добрата апроксимация, която може да се постигне с избраната форма на решението. Дали приближаването е достатъчно, зависи преди всичко от приетата форма на решението, и успешното прилагане на този метод поради това изисква умение и опит.

Принципът на Кастилиано

Докато при принципа за минимална потенциална енергия се сравняват всички състояния на деформация, които изпълняват условията за съвместимост на деформациите, и измежду тях се отделят онези, за които съответните напрежения удовлетворяват условията за равновесие, при принципа на Кастилиано се сравняват всички състояния на напрежения, които удовлетворяват условията за равновесие, и измежду тях се отделят онези, за които съответните деформации удовлетворяват условията за съвместимост на деформациите. Този принцип гласи: от всички възможни равновесни състояния настъпва действително онова, на което съответства най-малката деформационна работа. Принципът на Кастилиано заедно с уравнението (12c) за деформационната работа и условията за равновесие образува система уравнения, която е достатъчна за изграждането на съпротивата на материалите. Като се има предвид, че този принцип съдържа закона на Хук, възможността за неговото прилагане е свързана с предпоставката деформациите да могат да бъдат напълно описани с този закон. Това изисква не само линейно еластично поведение на материала, но и изключва температурни промени.

Поведение на материалите над границите на еластичност

Явления при статично натоварване

Деформацията на материала под въздействие на напрежения е много сложен процес, така че за да може да бъде разбран, трябва да бъде опростяван по различни начини. Едно от тези опростявания е предположението, че натоварванията се прилагат постепенно, както например се прави с пробните образци при изпитване на опън и натиск.

Ако стоманен прът, натоварен на опън, се подложи на натоварване, което постепенно нараства, и се измерва неговата дилатация ε, получава се диаграмата, показана на сл. 8. В началото дилатацията е много малка и пропорционална на напрежението, както изисква законът на Хук. От определено напрежение нататък пропорционалността престава и дилатацията нараства по-бързо. Точното положение на границата на тази пропорционалност трудно може да се определи. Колкото по-точно е измерването, толкова по-ниска се получава тя. За повечето материали тя е при σ = 0, и законът на Хук тогава представлява само първо приближение към еластичното поведение, първи член от разложението в реда на Тейлър на функцията ε = ε (σ) около началото на координатната система.

Ако прътът се разтовари, се забелязва, че когато напрежението не е било твърде голямо, изчезва и деформацията, в съответствие със закона на Хук. Но и това се изменя, ако се превиши определено напрежение, разположено близо до границата на пропорционалност, т.нар. граница на еластичност; тогава общата деформация се състои от еластична (обратима) и нееластична (постоянна) част. И границата на еластичност не може да се определи точно; тя се намира толкова по-ниско, колкото по-голяма е точността на измерването. Обаче, тъй като тя има голямо техническо значение, защото представлява граница на приложимост при почти всички изчисления в съпротивление на материалите, а едновременно и границата, при която възникват първите постоянни увреждания, за изпитване на проби тя се дефинира строго чрез някаква приета конвенция, така че, напр., като граница 0.2% се означава това напрежение, при което постоянната дилатация достига 0.2%.

Непосредствено след превишаване на границата на еластичност деформацията нараства рязко и може да се наблюдава с просто око; при почти постоянно напрежение прътът непрекъснато се удължава. Това напрежение се нарича граница на провлачване. При хидравличните машини за изпитване на материали може освен това да се забележи след началото на провлачването повече или по-малко изразен спад на напрежението; както е показано на фиг. 8 с пунктирна крива; тогава максимумът се нарича горна граница на провлачване, а постоянната напрегнатост на провлачване, която след това настъпва, долна граница на провлачване.

След като се достигне определена дилатация, която е почти напълно нееластична, напрежението започва отново да нараства‚ материалът се уякчава. В тази област на натоварване настъпва забележимо намаляване на напречното сечение на пръта вследствие на (нееластична) странична контракция и по-нататъшният ход на диаграмата напрежение–деформация зависи преди всичко от това дали при изчисляване на напрежението σ опънната сила P, която действа върху пръта, се дели на първоначалното сечение F0 или на текущото сечение F. За технически цели е интересен напрежението P|F0 . Това напрежение достига максимум, който се нарича якост на материала, и когато този максимум бъде преминат, прътът силно се стеснява на едно място и се къса. “Истинското напрежение” P|F нараства до разрушаване.

Фигура 8.

Поведението на другите метали в много отношения се различава от описаното тук. Течливостта често не е изразена, а уякчаването започва непосредствено след превишаване на границата на еластичност. При крехките материали (камък, стъкло, бетон) нееластичните деформации изобщо са малки и още при малка дилатация настъпва разрушаване. Общата дилатация, която материалът претърпява до разрушаване, е мярка за разтегливостта (обратно: крехкостта) на материала и тя за стоманата се предписва точно в техническите условия. Обаче, тъй като непосредствено преди разрушаването по-нататъшната деформация се концентрира в околните места на стесненото сечение, се получава различна стойност на дилатацията при разрушаване, според това дали за измервателната дължина се приема по-голяма или по-малка част от пръта, така че за получаване на еднозначни и взаимно сравними резултати трябва предварително да се приеме някаква определена конвенция. Дилатацията при разрушаване по правило се измерва така, че върху кръгъл прът с диаметър d преди изпитването се отбелязва измервателна дължина Ι = 10 d и от нейното удължение ΔΙ се изчислява дилатацията при разрушаване εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Ако е необходимо да се изпитват пръти с друг вид сечение, измервателната дължина се определя според диаметъра на кръгъл цилиндричен прът, който има същата площ на напречното сечение.

Дълготрайно натоварване

За хода на опита на опън е почти безразлично дали натоварването до разрушаване се увеличава в рамките на 10 m минути или няколко часа. Обаче, ако натоварването действа години или десетилетия, при определени условия се наблюдава, че и под границата на текучест деформацията при постоянно напрежение с времето бавно нараства. При това еластичната част, т.е. онази част, която при окончателното разтоварване изчезва, не се изменя съществено. Това нарастване на нееластичната деформация, което настъпва през дълго време, се нарича пълзене. При металите, освен при оловото, пълзенето е от значение само при високи температури; обаче за строителния инженер то има роля при бетона, който под натиск бавно отстъпва, така че напрежението нараства в притиснатата армировка, ако такава съществува.

Променливо натоварване

За да могат механичните характеристики на материала, получени при изпитване на опън, да се използват като мерило за допустимото натоварване на конструкциите, условие е материалът при всяко повторно натоварване да понася напрежението, което веднъж е понесъл без повреда. Това условие не е изпълнено, ако материалът е изложен на често повтарящо се натоварване и разтоварване, както е напр. случаят при носачи, натоварени от инерционните сили на непълно балансирани машини. При достатъчно често повтаряне на натоварването може конструктивният елемент да бъде доведен до разрушаване и при напрежение, което е далеч под якостта на материала, определена чрез обикновено статично изпитване. Това явление на разрушаване се нарича разрушаване вследствие на умора. Броят n цикъла на натоварване, които материалът може да понесе, зависи от големината на напрежението σ, така че е толкова по-голям, колкото по-малко е напрежението. Типичен пример за тази зависимост е показан на фиг. 9, от която се вижда, че за якостта на материала съществува долна граница, която той понася и при произволно голям брой цикли на натоварване и която се нарича динамична якост на материала Диаграмите от този вид (фиг.9) се наричат криви на Вьолер.

Фигура 9.

Безопасност на конструкциите

Две гранични натоварвания са значими за конструкциите: натоварването, при което възникват първите трайни повреди (граница на текучестта), и натоварването, при което носимоспособността на конструкцията е изчерпана и тя се разрушава (граница на разрушаване). Тъй като преди границата на текучестта поне приблизително важат предпоставките на съпротивлението на материалите (малки премествания, закон на Хук), сигурността срещу трайни деформации може надеждно да се оцени във всички онези случаи, в които успее да се преодолеят математическите трудности. Ако напрежението е пропорционално на натоварването, отношението на напрежението на текучество към най-голямото напрежение, което се появява в конструкцията, е равно на отношението между натоварването, при което настъпва текучество, и действителното натоварване, и представлява коефициент на сигурност срещу текучество. Обаче в редица случаи тази проста зависимост не съществува: огъване, когато се изключва опънът, натиск между изпъкнали повърхности, системи, чиято структура е променлива и, което е особено неблагоприятно, огъване с аксиална сила. Във всички тези случаи сравнително малко увеличение на натоварването може да доведе до голямо увеличение на напрежението и тогава не е достатъчно обичайният коефициент на сигурност да се прилага към напреженията, а трябва да се приложи към натоварването.

Явленията, които настъпват след превишаване на границата на текучеството до разрушение, в повечето случаи могат да се проследят вече само качествено. Ако материалът е разтеглив, частите, в които първо е достигната границата на текучеството и които по-нататък се деформират при постоянно или съвсем малко нарастващо напрежение, участват слабо в поемането на по-нататъшното натоварване, така че останалите, по-слабо напрегнати части на конструкцията, доколкото това е възможно с оглед на нейната структура, участват повече в носенето. В тази тенденция към изравняване на пиковете на напрежението се крие известен резерв на сигурност, който може да бъде използван изчислително, ако трайната деформация на отделни части, възникнала при само едно значително натоварване, не е вредна (метод на граничното натоварване).

Ако материалът е крехък, първото трайно увреждане се проявява в пукнатини, вследствие на които на застрашеното място настъпва още по-силна концентрация на напреженията, която веднага предизвиква разрушаване. Разрушаването вследствие на умора и при пластични материали има характеристиките на крехко чупене.

 Връзки между напреженията за различни сечни равнини

Уравнения на трансформацията

Деветте компонентни напрежения на фиг. 1 са свързани с три условия за равновесие. Останалите шест величини σx, σy, σz τxy, τyz, τzx могат, независимо една от друга, да получат произволни стойности, както се вижда от извеждането на диференциалните уравнения на теорията на еластичността. Но когато тези стойности са зададени, напрегнатото състояние в някоя точка на твърдо тяло е напълно определено, т.е. когато са известни напреженията за три взаимно перпендикулярни равнини, може еднозначно да се определи и напрежението за някоя четвърта равнина, преминаваща през дадената точка и чиято нормала има произволно направление.

На фиг. 10 е показан тетраедър OABC, чиито три страни са паралелни на равнините на координатната система x, y, z, а четвъртата представлява някакъв произволно ориентиран елемент на повърхността ABC = dF. За да се обозначи неговата посока и посоката на напрежението, което се предава през него, се въвежда втора координатна система, чиято ξ ос е перпендикулярна на dF.

Фигура 10

Условието за равновесие на силите, действащи върху този тетраедър по посока на ξ-оста, дава

Ако се вземе предвид, че е

получава се

и по същия начин от условията на равновесие по посока на оста η:

Това са уравненията, които служат за изчисляване на напреженията при трансформация на координатите. От особено значение е да се разглеждат само такива елементи на повърхността _dF, за които ос ξ съвпада с z-оста. Изразите за този случай можем да получим чрез опростяване на предходните изрази или да прочетем непосредствено от фиг. 11:

Фигура 11

Нормалното напрежение приема екстремни стойности за посоки α = α0 , за които dσξ/dα = 0. Чрез диференциране от уравнение (16) се получава

следователно, когато този израз се приравни на нула

Напрежението τξη ще бъде едновременно общото срязващо напрежение в тези равнини, ако τyz = τzx = 0. Тогава с уравнение (17) са определени две взаимно перпендикулярни посоки, за които: 1. общото срязващо напрежение е нула и, 2. нормалното напрежение има екстремни стойности (максимум и минимум). Тези посоки се наричат посоки на главните напрежения, а съответните напрежения главни напрежения. Те се означават с σ1 и σ2 и могат да се изчислят непосредствено по формулата

 Кръг на Мьор

Уравненията (16) могат да бъдат представени графично по нагледен начин. За тази цел трябва да се преобразуват във вид:

Тези уравнения представляват в координатната система σ, τ параметричната форма на уравнението на окръжността, нанесена на фиг. 12, чийто координати на центъра са σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0, и чийто радиус е

Този кръг се нарича кръг на Мур. Ако през точка x се прекара права, паралелна на сечението x =const., през което се пренасят напреженията σx, τxy, тя ще пресече кръга в точка p, която се нарича полюс на кръга на Мур. Всяка права pξ, прекарана през този полюс, пресича кръга в точка ξ, която определя напреженията σξ, τξη, които се пренасят през сечение, паралелно на pξ.

По отношение на знака на срязващите напрежения при чертане на кръга на Мур трябва да се има предвид, че те се нанасят нагоре, ако имат посоката, показана на фиг. 12c. Следователно от двете конюгирани напрежения τxy, τyx, едното винаги е положително, а другото отрицателно.

На граничните стойности σ1, σ2 на нормалните напрежения отговарят точките 1 и 2 върху окръжността, а правите _p_1 и _p_2 дават направленията на главните напрежения.

Представянето на напреженията, лежащи в x-y равнината, чрез кръга на Мур не е свързано с никакво предположение за напреженията σz, τxz, τyz, перпендикулярни на тази равнина.

Снимка 12

Следователно това важи и за най-общото триизмерно състояние на напрежение, ако се сравняват само онези сечащи равнини, които всички минават през една и съща права, избрана тук за z и ξ ос. Тъй като според общите уравнения за трансформация (15) нормалното напрежение σ не може да стане безкрайно за никоя сечаща равнина, то трябва да има за някоя равнина крайна максимума σ1, а за друга минимум σ3, като и двете, разбира се, могат да бъдат и отрицателни. Ако през векторите σ1 и σ3 се прекара равнина и се начертае кръгът на Мур (сл. 13)

Снимка 13

за напреженията, които лежат в тази равнина (т.е. всички направления, перпендикулярни на тази равнина), тогава σ1 и σ3 са най-големите и най-малките нормални напрежения, които могат да се появят, и следователно трябва да бъдат взаимно перпендикулярни. Ако направленията 1 и 3 се допълнят с направление 2, така че тези три направления да образуват правоъгълна координатна система, и ако се начертаят кръговете на Мур за равнините 1 ~2 и 2 ~ 3, тогава σ2 за единия от тези кръгове е най-голямото, а за другия най-малкото нормално напрежение, и следователно в сеченията, перпендикулярни на направленията 1, 2 и 3, срязващото напрежение е равно на нула. Трите взаимно перпендикулярни нормални напрежения σ1, σ2 и σ3, на които не съответстват срязващи напрежения, се наричат главни напрежения.

    Граница на текучест и граница на разрушаване при пространствено напрегнато състояние

Състоянието на напрежение се нарича едно-, дву- или триизмерно, иначе: линейно, плоско или пространствено, според това дали едно, две или и трите главни напрежения са различни от нула. При конструктивните елементи, които най-често се използват, т.е. при опън, натиск и огъване на прът, състоянието на напрежение, поне в най-натоварените места, е едноизмерно, а също и при изпитванията на опън, натиск или огъване, които при изпитването на материали почти изключително се прилагат за определяне на допустимите напрежения. Обратно, при плочи, натоварени в тяхната равнина или перпендикулярно на нея, както и при обвивки, състоянието на напрежение е двумерно, а в определени случаи се появяват и триизмерни състояния на напрежение, така че е необходимо въз основа на границата на текучест и разрушаване, определена при едноизмерно състояние на напрежение, да се направят изводи за поведението на материала в случай на пространствено състояние на напрежение.