Perusteet
Materiaalin lujuuden tehtävänä on määrittää, mitä ulkoisia voimia kiinteä kappale voi kestää (esim. rakennus, rakenteellinen osa tai maa). Tähän kysymykseen vastaamiseksi lähdetään kahdesta kriteeristä: toisaalta jännitykset eivät saa ylittää tiettyjä rajoja, jotka riippuvat materiaalin lajista, ja toisaalta ulkoisten ja sisäisten voimien tasapainon on oltava vakaa. Tämän mukaisesti kaikki materiaalin lujuuden ongelmat voidaan jakaa “jännitysongelmiin” ja “vakausongelmiin.”
Tangoissa ja palkeissa sekä niistä koostuvissa kantajissa (ristikot, kehät) jännitysten määrittäminen suoritetaan kahdessa vaiheessa siten, että ensin annettujen ulkoisten voimien perusteella lasketaan poikkileikkauksen kautta siirtyvien sisäisten voimien resultanttina ja näistä “leikkausvoimista” määritetään sitten jännitykset. Menettelyn ensimmäinen osa on oma laaja oppialansa, rakennuskonstruktioiden statiikka, jolla on kehitetyt omat menetelmänsä ja joka erotetaan tavallisesti materiaalinlujuusopista, jonka tehtävänä on jännitysten määrittäminen annetuista leikkausvoimista.
Materiaalin lujuuden peruskäsitteet
Jännityksen määritelmään päädytään seuraavien perusnäkökohtien kautta. Olkoon kappaleeseen vaikuttamassa ulkoisten voimien tasapainojärjestelmä. Kuvitelkaamme, että olemme jakaneet kappaleen mielivaltaisella leikkauksella kahteen osaan ja poistaneet toisen niistä yhdessä siihen vaikuttavien voimien kanssa; tällöin sen vaikutus toiseen osaan, jotta voimien tasapaino ja muodonmuutosten jakautuminen pysyisivät muuttumattomina, on korvattava lisävoimilla, jotka välittyvät leikkauspinnan kautta. Nämä “sisäiset” voimat jakautuvat jatkuvasti leikkauspinnalle, niin että jokaista pinta-alaa dF vastaa voima dβ. Jos muodostetaan suhde dβ dF ja tehdään raja-arvon siirtymä dF -> 0, tämä suhde lähestyy raja-arvoa, jota kutsutaan jännitykseksi. Jännitys määrätyssä pinta-alan osassa on, kuten dβ, jaettavissa dF:ää vastaan normaaliin ja tangentiaaliseen komponenttiin, normaalijännitys σ ja leikkausjännitys τ.
Jos saman pisteen kautta vedetään leikkauksia eri suunnissa, niitä vastaavat myös erilaiset jännitykset. Erityisesti, jos kappaleesta erotetaan alkeisortogonaalinen särmiö, joka on esitetty kuvassa 1, sen kaikilla kuudella pinnalla vaikuttaa jännitysvektori, joka voidaan hajottaa kolmeen komponenttiin koordinaattiakselien x, y ja z suuntaan. Vastaavilla vastakkaisilla pinnoilla vaikuttavat jännitykset eroavat toisistaan tietenkin vain differentiaalin verran, joten on erotettava 3 * 3 = 9 komponenttijännitystä, jotka merkitään seuraavasti:
Normaalijännityksille σ annetaan sen akselin indeksi, jonka suuntaisina ne vaikuttavat, ja niitä pidetään positiivisina, jos ne aiheuttavat vetoa, negatiivisina, jos ne aiheuttavat puristusta. Leikkausjännityksille τ annetaan kaksi indeksiä, joista ensimmäinen on sama kuin vastaavan normaalijännityksen indeksi ja toinen viittaa akseliin, jonka suuntaan leikkausjännitys vaikuttaa. Jos vastaavan normaalijännityksen positiivinen suunta on positiivisen (negatiivisen) koordinaattiakselin suuntaan, myös leikkausjännitystä pidetään positiivisena, jos se vaikuttaa positiivisen (negatiivisen) koordinaattiakselin suuntaan.
Kuva 1.
Leikkausjännitysten konjugoivuus
Jos alkeiskuutiossa, kuva 1, asetetaan ehto, että kaikkien voimien momentti x-akselin suhteen on nolla, saadaan τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Tästä sekä kahdesta vastaavasta y- ja z-akselia koskevasta yhtälöstä seuraa, että saman indeksin leikkausjännitykset ovat keskenään yhtä suuret τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponenttiset muodonmuutokset
Se, että edellä määritellyillä jännityksillä on fysikaalinen merkitys, seuraa niiden yhteydestä määritelmään, jonka jokainen ulkoisten voimien vaikutuksen alainen kappale kokee. Kuva 2 esittää erään alkeisprismakappaleen, joka ennen muodonmuutosta oli suorakulmainen ja jonka särmien pituudet olivat dx, dy, dz. Särmien pituudet muodonmuutoksen jälkeen voidaan merkitä muodossa dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; suhteita εx = Δdx|dx, εy = Δdy|dy, εz = Δdz|dz kutsutaan venymiksi. Nämä ovat dimensioittomia suureita ja kaikilla rakennusalalla huomioon tulevilla materiaaleilla pieniä suhteessa 1. Särmien pitenemisen lisäksi alkeisprismakappale dx * dy * dz voi lisäksi muuttua sivujensa välillä alun perin olleiden suorien kulmien osalta.
Kuva 2. komponenttimuodonmuutos
Olkoon deformoinnin jälkeen kulma niiden tasojen välillä, jotka kohtaavat reunaa OC pitkin, yhtä suuri kuin 
, ja vastaavasti olkoon suorakulman pieneneminen reunaa AO pitkin yhtä suuri kuin γyz, ja reunaa OB pitkin yhtä suuri kuin γzx. Näitä kolmea kulmanmuutosta γxy, γyz, γzx kutsutaan liukumiksi, ja ne ovat myös aina pieniä suhteessa 1. Kuudella komponentilla ε ja γ elementaarisen kuution muodonmuutos “pieni muodonmuutos” määräytyy täysin. Tilavuuselementin d_V = dx * dy * dz_ muutos on ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, josta, kun venymien tulot jätetään huomiotta korkeampaa kertalukua olevina pieninä suureina, saadaan kuutiovenymä ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Siirtymät
Kiinteän kappaleen muodonmuutos voidaan kuvata täysin myös siten, että jokaiselle sen pisteelle annetaan tämän pisteen kokema siirtymä. Jos tarkastelusta suljetaan pois äärellisen suuruiset siirtymät, jotka vastaavat jäykän kappaleen siirtymää, niin että tarvittaessa laskennassa käytetään liikkuvaa koordinaatistoa, komponenttisiirtymät μ, ν, ω ovat aina pieniä, ja niiden derivaatat koordinaattien suhteen ovat pieniä verrattuna 1. Tämän oletuksen mukaan kuvan 3 perusteella viivaelementin OA = dx pituus muodonmuutoksen jälkeen
siis 
(3)
Vastaavasti kuvasta 3 nähdään, että leikkauma γxy on γ1 + γ2: ja myös
(4)
Kuva 3 liukuma
(5) 
(6)
Näitä yhteyksiä kutsutaan yhteensopivuusehdoiksi, ja ne osoittavat, että deformoituneet elementit voidaan sovittaa kuin mosaiikki siten, että tila täyttyy jatkuvasti, mitä ei voida saavuttaa, jos elementtien muodonmuutokset ovat mielivaltaisia. Yhteensopivuusehdot ovat differentiaaliyhtälöitä, joten on tietysti niin, että kaikki kuusi komponenttimuodonmuutosta kussakin yksittäisessä kappaleessa ovat keskenään riippumattomia, mutta niiden järjestys missä tahansa äärellisessä venyneessä alueessa määräytyy ehtojen (5) ja (6).
Koska nämä ehdot on saatu differentoimalla yhtälöistä (3) ja (4), menetettäessä niiden johtamisessa osa alkuperäisiin yhtälöihin sisältyvistä yhteyksistä. Siksi ei riitä, että vain toinen näistä kahdesta yhtälöryhmästä täyttyy, vaan molempien yhtälöryhmien on täytyttävä, jos muodon yhteensopivuus halutaan varmistaa.
Differentiaaliyhtälöt elastisuusjärjestelmälle
Jännitysten ja muodonmuutosten laskemiseen elastisissa kappaleissa käytetään seuraavia yhtälöitä:
Tilavuuselementin tasapainoehdot. Momenttien kolmen akselin ympäri on oltava nolla, ja nämä ehdot on jo hyödynnetty yhtälön (1) johtamisessa. Voimien tasapainoehdot saadaan kuvan 4 mukaan
Kuva 4
(7a-c)
Jos X, Y, Z:llä merkitään tilavuusvoimien komponentteja (esim. paino, keskipakoisvoima) tilavuusyksikköä kohti. Jännitysten ja muodonmuutosten väliset yhteydet. Tällä tarkoitetaan komponenttijännitysten ja komponenttimuodonmuutosten välistä yhteyttä. Kimmoisuusteoriassa tulee yleensä kyseeseen vain lineaarinen yhteys, joka ilmaistaan Hooken lailla:
(8a-c)
(8d-f)
Jos yhtälöt (8a-c) ratkaistaan jännitysten suhteen, saadaan
(8 a)
ja kaksi vastaavaa yhtälöä. Hooken laki, joka esitetään yhtälöllä (8), ei ole mikään tiukasti toteutuva luonnonlaki, vaan todellisen käyttäytymisen idealisointi, joka poikkeaa siitä enemmän tai vähemmän materiaalista ja jännityksen suuruudesta riippuen. Koska materiaalien lujuusongelmien matemaattinen käsittely monimutkaisilla, epälineaarisilla jännityksen ja muodonmuutoksen välisillä suhteilla aiheuttaa verrattomasti suurempia vaikeuksia ja voidaan käytännössä toteuttaa vain yksinkertaisimmissa tapauksissa, on myös niiden materiaalien (betoni!) kohdalla, joiden käyttäytyminen poikkeaa huomattavasti Hooken laista, siihen perustuvia laskelmia käytettävä ensimmäisenä ja useimmiten myös ainoana likimääräisenä ratkaisuna, joka on muuten yleensä varsin käyttökelpoinen ja antaa enemmän kuin pelkästään kvalitatiivisen käsityksen. G = E|2 (1+μ).
Se seuraa välttämättä jännityksen ja muodonmuutoksen välisestä yhteydestä (8), jännitysten muunnosyhtälöistä (16) sekä vastaavasta yhtälöjärjestelmästä komponenttimuodonmuutoksille E ja G:llä on jännityksen dimensio ja kaikilla rakennusmateriaaleilla ne ovat suuria verrattuna mahdollisesti esiintyviin jännityksiin σ ja τ. Tähän perustuu koko kimmoisuusopissa kaikkialla omaksuttu oletus, että muodonmuutokset ovat pieniä. Poikittaislaajenemisen kerroin (Poissonin luku) μ on dimensioton ja on aina välillä 0 ja 1/2 .
Yhteydet komponenttimuodonmuutosten ja siirtymien välillä. Nämä yhteydet esitetään yhtälöillä (3), (4). Ne ovat puhtaasti geometrisia. Nämä kolme järjestelmää antavat 3+6+6=15 yhtälöä 15 tuntemattomalle, ts. 6 komponenttijännitykselle, 6 komponenttimuodonmuutokselle ja 3 komponenttisiirtymälle. Ne ovat siten riittävät näiden tuntemattomien määrittämiseen. Tällaisen laajan differentiaaliyhtälöjärjestelmän matemaattinen hallitseminen on luonnollisesti mahdollista vain erikoistapauksissa. Jos yhtälössä (8) komponenttimuodonmuutokset korvataan komponenttisiirtymillä yhtälöiden (3) ja (4) mukaisesti ja sitten normaalijännitykset σ ja leikkausjännitykset τ, yhtälöiden (8 d - f) mukaisesti, otetaan tasapainoehtoihin, yht. (7), saadaan differentiaaliyhtälöt, joita kutsutaan kimmoisuusteorian perusyhtälöiksi.
(9)
jossa 
on merkitty Laplace’n operaattori. Kun otetaan huomioon (2), kyseessä on kolme differentiaaliyhtälöä, joissa on kolme komponenttisiirtymää μ, ν, ω; näistä voidaan puolestaan differentioimalla yhtälöiden (3), (4) ja (8) perusteella johtaa kaikki komponenttijännitykset ja -muodonmuutokset. Yhtälöt (9) muodostavat usein sopivan lähtökohdan erikoistapausten tutkimiselle.
Muodonmuutostyö
Määritelmä
Kun palkki kuormitetaan, ulkoisten voimien vaikutuspisteet kokevat elastisia siirtymiä ja voimat suorittavat samalla tietyn työn. Näin tuotu energia voi muuttua eri muotoihin. Jos kuormitus kohdistetaan äkillisesti niin, että muodonmuutosprosessi etenee huomattavan nopeasti, osa tästä energiasta muuttuu liike-energiaksi, joka ajan kuluessa häviää joko siten, että se siirtyy maahan elastisena aaltona, joka katoaa äärettömyyteen, tai siten, että se muuttuu sisäisen kitkan vaikutuksesta lämmöksi. Jos kuormat asetetaan niin varovasti, ettei havaittavaa liike-energian kasvua synny, siis jos nollasta alkaen vähitellen kasvavat kuormat ovat jatkuvassa tasapainossa sisäisten voimien kanssa, energia kuluu ilmeisesti yksinomaan kappaleen muodonmuutokseen, ja sitä kutsutaan muodonmuutostyöksi.
Muodonmuutostyö esitetään ensin osalla, johon vaikuttaa yksisuuntainen vetokuormitus (kuv. 5).
Olkoon olemassa oleva jännitys σ ja sitä vastaava venymä ε alttiina lisäyksille dσ ja dε. Tällöin voima σdF kulkiessaan matkan dε * dl tekee työn σdF * dεdl = σdεdV, jos dV:llä tarkoitetaan osasen tilavuutta. Jos jännitys kasvaa nollasta lopulliseen arvoonsa ja venymä sen mukaisesti arvosta 0 arvoon ε, kokonaisuudessaan tehty työ tilavuusyksikköä kohti on:
Samoin myös elementille, johon vaikuttaa leikkausjännitys τ (kuva 6), muodonmuutostyö tilavuusyksikköä kohti (ominaismuodonmuutostyö, elastinen potentiaali):
jolloin vain yksi neljästä voimasta τ * dF tekee työtä.
Yleisessä tapauksessa, kun alkeisosiota kuormittavat kaikki kuusi jännityskomponenttia, saadaan ominainen muodonmuutostyö summaamalla yksittäisten jännityskomponenttien työt:
(10)
Derivoimalla kunkin näistä integraaleista niiden ylärajan suhteen saadaan suhteet, jotka pätevät yleisimmässä tapauksessa:
(11)
ja niin edelleen muillekin komponenttimuodonmuutoksille. Jos kappale on elastinen, jokaista määrättyä jännitystilaa vastaa aina sama muodonmuutostila riippumatta siitä, onko tila saavutettu kuormituksen vai kuormituksen poiston aikana. Tällöin integraalien alla ovat yksikäsitteiset funktiot ja kuormituksen sekä sen jälkeen tapahtuvan täydellisen kuormituksen poiston aikana kulunut kokonaisenergia on a = 0, koska tässä tapauksessa integraalien ylärajat muuttuvat nollaksi. Näin ollen kappaleeseen kuormituksen aikana syötetty kokonaisenergia saadaan takaisin kuormituksen poistettaessa.
Kuva 6
Kuva 7
Osittain elastisessa kappaleessa jännityksen ja muodonmuutoksen välinen suhde koko kuormitus- ja kuormituksenpoistosyklin aikana on muodoltaan likimain kuvassa 7 esitetyillä viivoilla O A B. Kuormituksessa tuotu energia 
on yhtä suuri kuin pinta OAA, ja kuormituksen poiston aikana palautunut energia pinta ABA, joten hukkaan menee (muuttuu lämmöksi) viivoitetun pinta-alan vastaava työ. Jos värähtelyprosessissa jännitys muuttuu periodisesti positiivisen raja-arvon 
ja negatiivisen raja-arvon 
välillä, epäelastinen muodonmuutos etenee samankaltaisesti kuin katkoviivoilla on esitetty kuvassa 7, ja muuttuu kunkin värähtelyjakson aikana tilavuusyksikköä kohti lämmöksi energia DABCD. Tällaista käyttäytymistä muodonmuutoksen aikana, jossa muodonmuutos jää jälkeen jännityksestä, kutsutaan elastiseksi hystereesiksi, ja käyrä DABCD hystereesisilmukaksi.
Muodonmuutostyö ja Hooken laki
Jos yhtälön (10) integraaleihin otetaan käyttöön Hooken laki, voidaan integroida, jolloin ominaismuodonmuutostyölle saadaan lausekkeet:
(12a)
(12b)
(12c)
Jos näistä muodoista toinen sijoitetaan yhtälöön (11), saadaan jälleen Hooken laki, yhtälöt (8), jännitysten suhteen ratkaistussa muodossa. Väite, että muodonmuutostyö riippuu komponenttimuodonmuutoksista, kuten yhtälössä (12b) on esitetty, on siten Hooken lain kanssa ekvivalentti. Kun yhtälö (12c) differentioidaan jännitysten suhteen, saadaan
(13)
Nämä kaavat, toisin kuin kaavat (11), pätevät vain kappaleille, jotka käyttäytyvät Hooken lain mukaisesti, eikä niitä voida soveltaa silloin, kun jännitysten ja muodonmuutosten välinen yhteys on toisenlainen. On selvää, että yhtälöiden (13) oikealla puolella ovat vain jännitysten aiheuttamat komponenttimuodonmuutokset, ja kaikki muut mahdolliset lämpötilan muutoksesta, ryömisestä, turpoamisesta, rekristallisaatiosta jne. johtuvat muodonmuutokset suljetaan pois.
INTEGRAALISET LAUSEKET ELASTISUUSTEORIASSA
Virtuaaliset siirtymät. Potentiaalienergian minimin periaate
Aivan kuten Hooken lakia, yhtälöt (8) voidaan korvata yhdellä yhtälöllä (12b), voidaan myös tasapainoehtojen sijasta ottaa käyttöön virtuaalisten siirtymien periaate yleispätevänä mekaniikan peruslakina. Tämä laki ilmaisee, että tasapainotiloille on ominaista se, että kaikkien voimien kokonaisuudessaan tekemä työ pienen muodonmuutostilan muutoksen aikana on yhtä suuri kuin nolla. Jos merkitsemme pienet elastisten siirtymien muutokset δμ δν, δω, niin tilavuusvoimat, jotka on määritelty yhtälöllä (7), tekevät virtuaalista työtä
ja pintavoimat px, py, pz, jotka vaikuttavat kappaleen ulkopinnan dF-elementtiin työ 
jolloin kolmoisintegraali koskee koko tilavuutta ja kaksoisintegraali koko kappaleen ulkopintaa. Sisäisten voimien tekemän työn laskemiseksi käytetään yhtälöä (12b), jolloin saadaan tilavuusyksikköä kohti tehtävä työ
Virtuaalisten siirtymien periaate antaa tämän perusteella
(14)
Jos kuormat X, Y, Z px, py., pz ymmärretään painovoiman komponentteina (oma paino ja ulkoinen kuormitus), oikealla puolella olevat integraalit esittävät näiden kuormien menettämää potentiaalienergiaa, kun taas vasen puoli esittää kappaleen potentiaalisen (elastisen) energian kasvua, joten tämä periaate ilmaisee, että palkin ja sen päällä olevien kuormien kokonaispotentiaalienergialla on tasapainotilassa äärimmäisarvo. Jos tämä äärimmäisarvo on minimi, tasapaino on vakaa.
Periaate potentiaalisen energian minimistä, joka on esitetty yhtälöllä (14), lauseke (12b) muodonmuutostyölle ja muodonmuutosten yhteensopivuusehdot (5), (6) muodostavat yhtälöryhmän, joka riittää elastisuusteorian rakentamiseen ja joka on periaatteessa yhtäpitävä yhtälöryhmän kanssa. Tämä järjestelmä voi olla erityisen hyödyllinen silloin, kun differentiaaliyhtälöiden (9) täyttäminen aiheuttaa laskennallisia vaikeuksia ja siksi on etsittävä likimääräinen ratkaisu, esimerkiksi siirtymille oletetaan etukäteen sopiva muoto, joka sisältää muutamia vapaita vakioita, ja nämä määritetään vaatimuksesta, että yhtälön (14) on täytyttävä. Näin ei tosin saada ongelmalle tarkkaa ratkaisua, vaan vain paras mahdollinen likiarvo, joka voidaan saavuttaa valitulla ratkaisumuodolla. Se, onko approksimaatio riittävä, riippuu ensi sijassa omaksutusta ratkaisumuodosta, ja tämän menetelmän onnistunut käyttö vaatii siksi taitoa ja kokemusta.
Castiglianon periaate
Kun potentiaalienergian minimin periaatteessa verrataan kaikkia muodonmuutostiloja, jotka täyttävät muodonmuutosten yhteensopivuusehdot, ja niiden joukosta erotetaan ne, joille vastaavat jännitykset täyttävät tasapainoehdot, Castiglianon periaatteessa verrataan kaikkia jännitystiloja, jotka täyttävät tasapainoehdot, ja niiden joukosta erotetaan ne, joille vastaavat muodonmuutokset täyttävät muodonmuutosten yhteensopivuusehdot. Tämä periaate kuuluu: kaikista mahdollisista tasapainotiloista toteutuu se, jota vastaa pienin muodonmuutostyö. Castiglianon periaate yhdessä muodonmuutostyötä koskevan yhtälön (12c) ja tasapainoehtojen kanssa muodostaa yhtälöryhmän, joka riittää materiaalin kestävyyden määrittämiseen. Koska tämä periaate sisältää Hooken lain, sen sovellettavuus perustuu oletukseen, että muodonmuutokset voidaan kuvata täysin tämän lain avulla. Tämä edellyttää paitsi materiaalin lineaarista elastista käyttäytymistä myös sulkee pois lämpötilan muutokset.
Materiaalin käyttäytyminen kimmoisuuden rajojen yläpuolella
Ilmiöt staattisen kuormituksen yhteydessä
Materiaalin muodonmuutos jännityksen vaikutuksesta on erittäin monimutkainen ilmiö, joten sitä on yksinkertaistettava eri tavoin, jotta sitä voidaan ymmärtää. Yksi näistä yksinkertaistuksista on oletus, että kuormat kohdistetaan vähitellen, kuten esimerkiksi tehdään näytteille veto- ja puristuskokeissa.
Jos vetorasitukselle alistettuun terästankoon kohdistetaan vähitellen kasvavaa kuormitusta ja mitataan sen venymä ε, saadaan kuvassa 8 esitetty diagrammi. Aluksi venymä on hyvin pieni ja verrannollinen jännitykseen, kuten Hooken laki edellyttää. Tietystä jännityksestä alkaen verrannollisuus lakkaa ja venymä kasvaa nopeammin. Tämän verrannollisuuden rajan tarkkaa sijaintia on vaikea määrittää. Mitä tarkempi mittaus on, sitä alemmaksi se saadaan. Useimmille materiaaleille se on kohdassa σ = 0, ja Hooken laki edustaa silloin vain ensimmäistä likiarvoa elastiselle käyttäytymiselle, ensimmäistä termiä Taylorin sarjassa funktion ε = ε (σ) kehitelmässä koordinaatiston alkupisteen ympärillä.
Kun tanko vapautetaan kuormituksesta, havaitaan, että jos jännitys ei ollut liian suuri, myös muodonmuutos häviää Hooken lain mukaisesti. Tämäkin kuitenkin muuttuu, jos ylitetään tietty jännitys, joka sijaitsee lähellä verrannollisuusrajaa, ns. kimmoisuusraja; silloin kokonaismuodonmuutos koostuu kimmoisesta (palautuvasta) ja kimmoamattomasta (pysyvästä) osasta. Eikä kimmoisuusrajaakaan voida määrittää tarkasti; se sijaitsee sitä alempana mitä tarkempi mittaus on. Koska sillä on kuitenkin suuri tekninen merkitys, sillä se on lähes kaikkien materiaalinlujuuslaskelmien merkitysraja ja samalla raja, jolla syntyvät ensimmäiset pysyvät vauriot, se määritellään näytteiden tutkimusta varten tiukasti jonkin hyväksytyn konvention mukaan, ja esimerkiksi rajana 0.2% merkitään se jännitys, jossa pysyvä venymä saavuttaa 0.2%.
Heti kimmorajan ylittymisen jälkeen muodonmuutos kasvaa äkillisesti ja on havaittavissa paljain silmin; lähes vakion jännityksen vallitessa tanko pitenee jatkuvasti. Tätä jännitystä kutsutaan myötörajaksi. Hydraulisissa materiaalikokeisiin tarkoitetuissa koneissa voidaan lisäksi havaita myötämisen alkamisen jälkeen enemmän tai vähemmän selvä jännityksen aleneminen; kuten kuvassa 8 on osoitettu katkoviivalla; silloin huippua kutsutaan ylämyötörajaksi, ja sen jälkeen vakioksi asettuvaa myötöjännitystä alamyötörajaksi.
Kun saavutetaan tietty venymä, joka on lähes täysin epäelastinen, jännitys alkaa jälleen kasvaa, materiaali lujittuu. Tällä kuormitusalueella sauvan poikkipinta-ala pienenee huomattavasti (epäelastisen) sivuttaissupistuman seurauksena, ja jännitys- ja muodonmuutosdiagrammin myöhempi kulku riippuu ensisijaisesti siitä, jaetaanko jännitystä σ laskettaessa sauvaan vaikuttava vetovoima P alkuperäisellä poikkipinnalla F0 vai hetkellisellä poikkipinnalla F. Teknisissä tarkoituksissa kiinnostava on jännitys P|F0 . Tämä jännitys saavuttaa maksimin, jota kutsutaan materiaalin lujuudeksi, ja kun tämä maksimi ylittyy, sauva kapenee voimakkaasti yhdestä kohdasta ja katkeaa. “Todellinen jännitys” P|F kasvaa murtumiseen saakka.
Kuva 8.
Muiden metallien käyttäytyminen poikkeaa monin tavoin tässä kuvatusta. Viruminen ei useinkaan ole selvästi havaittavaa, ja lujittuminen alkaa välittömästi myötörajan ylittymisen jälkeen. Haurailla materiaaleilla (kivi, lasi, betoni) epäelastiset muodonmuutokset ovat yleensä pieniä, ja jo vähäisellä venymällä tapahtuu murtuminen. Materiaalin murtumiseen asti kokema kokonaisvenymä on materiaalin sitkeyden (vastakohta: haurastavuus) mitta, ja teräksen osalta se määrätään tarkasti teknisissä ehdoissa. Koska juuri ennen murtumista lisämuodonmuutos keskittyy ympäröiviin kaventuneen poikkileikkauksen kohtiin, murtovenymälle saadaan erilainen arvo sen mukaan, lasketaanko mittapituuteen suurempi vai pienempi osa tangosta; jotta tuloksista saadaan yksiselitteisiä ja keskenään vertailukelpoisia, on etukäteen sovittava jokin määrätty käytäntö. Murtovenymä mitataan yleensä siten, että pyöreään tankoon, jonka halkaisija on d, merkitään ennen koetta mittapituus Ι = 10 d, ja sen pitenemisestä ΔΙ lasketaan murtovenymä εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Jos on tarpeen tutkia muun poikkileikkauksen omaavia tankoja, mittapituus määritetään sellaisen pyöreän lieriötangon halkaisijan perusteella, jolla on sama poikkipinta-ala.
Pitkäaikainen kuormitus
Vetokokeen kulun kannalta on melko yhdentekevää, kasvaako kuormitus murtumiseen asti 10 m minuutin vai muutaman tunnin aikana. Jos kuormitus kuitenkin vaikuttaa vuosia tai vuosikymmeniä, tietyissä olosuhteissa havaitaan, että myös myötörajan alapuolella muodonmuutos kasvaa ajan myötä hitaasti vakiolla jännityksellä. Tällöin elastinen osa, eli se osa, joka häviää lopullisessa kuormituksen poistossa, ei muutu merkittävästi. Tätä pitkän ajan kuluessa tapahtuvaa plastisen muodonmuutoksen kasvua kutsutaan virumiseksi. Metalleissa, lyijyä lukuun ottamatta, viruminen on merkityksellistä vain korkeissa lämpötiloissa; rakennusinsinöörille sillä on kuitenkin merkitystä betonissa, joka antaa hieman myöten puristuksessa, niin että jännitys kasvaa puristetussa raudoituksessa, jos sellaista on.
Vaihtuva kuormitus
Jotta vetokokeessa saadut materiaalin mekaaniset ominaisuudet voitaisiin käyttää rakenteiden sallitun kuormituksen mittapuuna, on ehtona, että materiaali kestää jokaisella uudella kuormituksella jännityksen, jonka se on kerran kestänyt ilman vaurioita. Tämä ehto ei täyty, jos materiaali altistuu toistuville kuormitus- ja kuormituksen poistokierroille, kuten esimerkiksi palkkien tapauksessa, joita kuormittavat epätasapainossa olevien koneiden hitausvoimat. Riittävän usein toistuvalla kuormituksella rakenneosa voidaan saada murtumaan jo jännityksessä, joka on selvästi alle tavanomaisella staattisella kokeella määritetyn materiaalin lujuuden. Tämänkaltaista murtumista kutsutaan väsymismurtumiseksi. Kuormitussyklien määrä n, jonka materiaali voi kestää, riippuu jännityksen σ suuruudesta, joten se on sitä suurempi, mitä pienempi jännitys on. Tämän riippuvuuden tyypillinen esimerkki on esitetty kuvassa 9, josta nähdään, että materiaalin lujuudelle on olemassa alaraja, jonka se kestää myös mielivaltaisen suurella kuormitussyklien määrällä, ja jota kutsutaan materiaalin dynaamiseksi lujuudeksi. Tämänkaltaisia diagrammeja (kuva 9) kutsutaan Wӧhlerin käyriksi.
Kuva 9.
Rakenteiden turvallisuus
Rakenteiden kannalta merkittäviä ovat kaksi rajakuormaa: kuorma, jolla syntyvät ensimmäiset pysyvät vauriot (myötöraja), ja kuorma, jolla rakenteen kantokyky on kulunut loppuun, jolloin se murtuu (murtoraja). Koska myötörajaan asti pätevät ainakin likimäärin materiaalin kestävyysoppiin perustuvat oletukset (pienet siirtymät, Hooken laki), pysyvien muodonmuutosten turvallisuus voidaan arvioida luotettavasti kaikissa niissä tapauksissa, joissa matemaattiset vaikeudet onnistutaan ratkaisemaan. Jos jännitys on verrannollinen kuormitukseen, myötöjännityksen suhde rakenteessa esiintyvään suurimpaan jännitykseen on sama kuin myötöä aiheuttavan kuormituksen ja todellisen kuormituksen suhde, ja se edustaa myötämisen turvallisuuskerrointa. Useissa tapauksissa tätä yksinkertaista suhdetta ei kuitenkaan ole: taivutus, kun veto jätetään pois, puristus kuperien pintojen välillä, järjestelmät, joiden rakenne muuttuu, ja erityisen epäedullisena taivutus aksiaalivoiman kanssa. Kaikissa näissä tapauksissa suhteellisen pieni kuormituksen lisäys voi johtaa jännityksen suureen kasvuun, jolloin tavallista turvallisuuskerrointa ei riitä soveltamaan jännityksiin, vaan se on sovellettava kuormitukseen.
Ilmiöitä, jotka tapahtuvat myötörajan ylittymisen jälkeen murtumiseen asti, voidaan useimmissa tapauksissa seurata enää vain kvalitatiivisesti. Jos materiaali on sitkeää, ne osat, joissa myötöraja saavutetaan ensin ja jotka edelleen muovautuvat vakion jännityksen tai vain hieman kasvavan jännityksen vallitessa, osallistuvat vain vähän lisäkuormituksen vastaanottamiseen, niin että muut, vähemmän kuormitetut rakenteen osat osallistuvat, mikäli sen rakenne sen sallii, enemmän kantamiseen. Tässä pyrkimyksessä jännityshuippujen tasoittumiseen piilee tietty turvallisuusvara, jota voidaan hyödyntää laskennallisesti, jos yksittäisten osien pysyvä muodonmuutos, joka syntyy yhden ainoan merkittävän kuormituksen vaikutuksesta, ei ole haitallinen (murtokuormamenetelmä).
Jos materiaali on hauras, ensimmäinen pysyvä vaurio ilmenee halkeamina, joiden vuoksi vaarapaikassa jännitykset keskittyvät entistä voimakkaammin ja aiheuttavat välittömästi murtuman. Väsymismurtumalla on myös sitkeillä materiaaleilla haurasmurtuman piirteitä.
Jännitysten väliset yhteydet eri leikkaustasoille
Muunnosyhtälöt
Kuvan 1 yhdeksän komponenttijännitystä liittyvät kolmeen tasapainoehtoon. Jäljelle jäävät kuusi suuretta σx, σy, σz τxy, τyz, τzx voivat toisistaan riippumatta saada mielivaltaisia arvoja, kuten elastisuusteorian differentiaaliyhtälöiden johtamisesta käy ilmi. Kun nämä arvot kuitenkin on annettu, jännitystila jossakin kiinteän kappaleen pisteessä määräytyy täysin, eli kun kolmeen toisiaan vastaan kohtisuoraan tasoon vaikuttavat jännitykset ovat tunnetut, voidaan yksikäsitteisesti määrittää myös jonkin neljännen tason jännitys, taso kulkee annetun pisteen kautta ja sen normaali voi olla mihin tahansa suuntaan.
Kuvassa 10 on esitetty tetraedri OABC, jonka kolme sivua ovat yhdensuuntaiset koordinaatiston x, y, z tasojen kanssa ja neljäs edustaa mielivaltaisesti suunnattua pintaelementtiä ABC = dF. Sen suunnan ja sen kautta välittyvän jännityksen suunnan osoittamiseksi otetaan käyttöön toinen koordinaatisto, jonka ξ-akseli on kohtisuorassa dF:ää vastaan.
Kuva 10
Voimien tasapainoehto, jotka vaikuttavat tähän tetraedriin ξ-akselin suunnassa, antaa
Jos otetaan huomioon, että
saadaan
ja vastaavasti tasapainoehdoista akselin η suunnassa:
Nämä ovat yhtälöitä, joita käytetään jännitysten laskemiseen koordinaattimuunnoksessa. Erityisen tärkeää on tarkastella vain sellaisia pinta-alkioita _dF, joille ξ-akseli yhtyy z-akseliin. Tämän tapauksen kaavat voidaan saada yksinkertaistamalla edellisiä kaavoja tai lukea ne suoraan kuvasta 11:
Kuva 11
Normaalijännitys saa ääriarvot suunnissa α = α0, joille dσξ/dα = 0. Derivoimalla yhtälöstä (16) saadaan
jolloin, kun tämä lauseke asetetaan nollaksi
Jännitys τξη on samalla näiden tasojen kokonaisleikkausjännitys, jos τyz = τzx = 0. Tällöin yhtälöllä (17) määräytyvät kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa suuntaa, joille: 1. kokonaisleikkausjännitys on nolla ja, 2. normaalijännityksellä on ääriarvot (maksimi ja minimi). Näitä suuntia kutsutaan pääjännitysten suunniksi, ja vastaavia jännityksiä pääjännityksiksi. Ne merkitään σ1 ja σ2 ja ne voidaan laskea suoraan kaavasta
Mooren ympyrä
Yhtälöt (16) voidaan esittää havainnollisesti graafisesti. Tätä varten ne on muunnettava muotoon:
Nämä yhtälöt muodostavat koordinaatistossa σ, τ parametristen muodon ympyrän yhtälöstä, joka on piirretty kuvassa 12, jonka keskipisteen koordinaatit ovat σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0, ja jonka säde on
Tätä ympyrää kutsutaan Mohrin ympyräksi. Jos x-pisteen kautta vedetään suora, joka on yhdensuuntainen leikkauksen x =const. kanssa, jonka kautta jännitykset σx, τxy siirtyvät, se leikkaa ympyrän pisteessä p, jota kutsutaan Mohrin ympyrän navaksi. Jokainen tämän navan kautta vedetty suora pξ leikkaa ympyrän pisteessä ξ, joka määrää jännitykset σξ, τξη, jotka siirtyvät pξ:n suuntaisen leikkauksen kautta.
Leikkausjännitysten merkkiä Mohrin ympyrää piirrettäessä on huomattava, että ne merkitään ylöspäin, jos niiden suunta on kuvassa 12c esitetty. Tämän mukaan kahdesta konjugoidusta jännityksestä τxy, τyx toinen on aina positiivinen ja toinen negatiivinen.
Raja-arvoja σ1, σ2 vastaavat pisteet 1 ja 2 ympyrällä, ja suorat _p_1 ja _p_2 osoittavat pääjännitysten suunnat.
X-y-tasossa sijaitsevien jännitysten esittäminen Mahrin ympyrän avulla ei ole sidottu mihinkään oletukseen tästä tasosta kohtisuorista jännityksistä σz, τxz, τyz.
Kuva 12
Sama pätee näin ollen myös yleisimpään kolmiulotteiseen jännitystilaan, jos vertaillaan vain niitä leikkaustasoja, jotka kaikki kulkevat saman suoran kautta; tämä on tässä valittu z- ja ξ-akseliksi. Koska yleisten muunnosyhtälöiden (15) mukaan normaalijännitys σ ei voi tulla äärettömäksi millään leikkaustasolla, sillä täytyy olla jollekin tasolle äärellinen maksimi σ1 ja toiselle minimi σ3, joista molemmat voivat tietenkin olla myös negatiivisia. Jos σ1- ja σ3-vektorien kautta kulkeva taso leikkautuu ja piirretään Mohrin ympyrä (kuva 13)
Kuva 13
jännityksille, jotka sijaitsevat tässä tasossa (eli kaikille tähän tasoon kohtisuorille suunnille), niin σ1 ja σ3 ovat suurimmat ja pienimmät esiintyvät normaalijännitykset, ja niiden on siten oltava toisiinsa nähden kohtisuorassa. Jos suunnat 1 ja 3 täydennetään suunnalla 2, niin että nämä kolme suuntaa muodostavat suorakulmaisen koordinaatiston, ja jos piirretään Mahrin ympyrät tasoille 1 ~2 ja 2 ~ 3, niin σ2 on toisen näistä ympyröistä suurin ja toisen pienin normaalijännitys, ja tällöin kohtisuorissa leikkauksissa suuntiin 1, 2 ja 3 leikkausjännitys on nolla. Kolmea toisiinsa nähden kohtisuoraa normaalijännitystä σ1, σ2 ja σ3, joille ei vastaa leikkausjännityksiä, kutsutaan pääjännityksiksi.
Myötöraja ja murtoraja kolmiulotteisessa jännitystilassa
Jännitystila nimitetään yksi-, kaksi- tai kolmiulotteiseksi, toisin sanoen lineaariseksi, tasomaiseksi tai avaruudelliseksi, sen mukaan ovatko yksi, kaksi vai kaikki kolme pääjännitystä nollasta poikkeavia. Yleisimmin käytettävissä rakenneosissa, eli vedetyssä, puristetussa ja taivutetussa sauvassa, jännitystila on ainakin eniten kuormitetuissa kohdissa yksiulotteinen, samoin kuin veto-, puristus- tai taivutuskokeissa, joita materiaalien testauksessa lähes yksinomaan käytetään sallittujen jännitysten määrittämiseen. Sitä vastoin levyissä, joihin kohdistuu kuormitus niiden tasossa tai sitä vastaan kohtisuorasti, sekä kuorissa jännitystila on kaksiulotteinen, ja joissakin tapauksissa esiintyy myös kolmiulotteisia jännitystiloja, joten on tarpeen tehdä yksiulotteisessa jännitystilassa määritetyn myötö- ja murtorajan perusteella päätelmiä materiaalin käyttäytymisestä avaruudellisen jännitystilan tapauksessa.