材料：材料力学と弾性理論

基礎

材料力学の課題は、剛体（たとえば建築物、構造部材、または地盤）がどの外力に耐えられるかを明らかにすることである。この問いに答えるために、二つの基準を出発点とする。すなわち、第一に応力は材料の種類に応じた一定の限界を超えてはならず、第二に外力と内力の釣り合いが安定していなければならない。これに従えば、材料力学のすべての問題は「応力の問題」と「安定性の問題」に分けられる。

棒および梁、それらから構成される支持構造（トラス、フレーム）では、応力の算定は2段階で行う。まず、与えられた外力に基づいて、断面を通じて伝達される内力の合力を計算し、次にこれらの「断面力」から応力を求める。前者は、独自の洗練された手法を有し、通常は材料力学とは区別される構造力学という別個の大きな分野をなす。材料力学の役割は、与えられた断面力から応力を求めることに帰着する。

材料強度の基本概念

応力の定義は、次の基本的考察によって導かれます。ある物体に外力のつり合い系が作用しているとします。物体を任意の断面で2つに分け、その一方を、それに作用する力とともに取り除いたと考えます。その場合、力のつり合いと変形の分布を変えないためには、断面を通じて伝えられる付加的な力によって、その作用を他方に置き換えなければなりません。これらの「内部」力は断面上に連続的に分布しており、面積要素 dF に対して力 dβ が対応します。dβ/dF の比を作り、dF -> 0 の極限をとると、この比は応力と呼ばれる極限値に近づきます。ある面要素における応力は dβ と同様に、dF に対する法線成分と接線成分、すなわち法線応力 σ とせん断応力 τ に分解できます。

同じ点を通る断面を異なる方向に取れば、それに対応する応力も異なる。特に、図 1 に示すような微小直方体を物体から切り出すと、その6つの各面には、座標軸 x、y、z の方向に3つの成分へ分解できる応力ベクトルが作用する。向かい合う面に作用する応力はもちろん微小量だけ相互に異なるので、3 * 3 = 9 個の成分応力を区別し、次のように表記する必要がある:

法線応力 σ には、その作用方向の軸の添字が付けられ、引張を生じる場合は正、圧縮を生じる場合は負とされます。せん断応力 τ には2つの添字が付き、最初の添字は対応する法線応力の添字と同じで、2つ目はせん断応力が作用する方向の軸を示します。対応する法線応力の正方向が座標軸の正方向（負方向）に一致する場合、せん断応力も座標軸の正方向（負方向）に作用するとき正とみなされます。

図 1

 せん断応力の共役性

要素立方体（図 1）について、x 軸まわりの全ての力のモーメントがゼロであるという条件を設定すると、τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz が得られる。ここから、y 軸および z 軸に対する対応する2つの式とあわせて、同じ添字をもつせん断応力は互いに等しい、すなわち τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz  (1) ことが導かれる

成分変形

上で定義した応力が物理的な意味を持つことは、それが外力の作用を受けるあらゆる物体に生じる変形との関係から分かる。図 2 は、変形前に直方体で、辺の長さが dx, dy, dz であった基本小直方体を示している。変形後の辺の長さは dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz と表せる。比 εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz を伸び率という。これらは無次元量であり、建築で対象となるすべての材料において 1 に比べて小さい。辺の伸びのほか、基本小直方体 dx * dy * dz は、各面の間にあった当初直角の角度にも変化を生じることがある。

図 2。成分ひずみ

変形後、辺 OC に沿って交わる面どうしのなす角が に等しいとし、同様に辺 AO に沿う直角の減少が γyz、辺 OB に沿う減少が γzx に等しいとする。これら三つの角度変化 γxy、γyz、γzx はすべりと呼ばれ、また常に 1 に対して小さい。六つの成分 ε と γ によって、微小変形の直方体要素の変形が完全に規定される。体積要素 d_V = dx * dy * dz_ の変化は ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, であり、ひずみの積を高次の微小量として無視すると、立方ひずみ ϱ = ΔdV|dV = εx、εy、εz (2) が得られる

移動

固体の変形は、各点が受けた変位をその点ごとに与えることによって、完全に記述することもできます。剛体の変位に対応する有限の変位を観察から除外するなら、必要に応じて移動座標系を採用することにより、成分変位 μ、ν、ω はいずれも常に小さく、その座標に関する微分も1に対して小さいものになります。この仮定のもとでは、図3により、変形後の線素 OA = dx の長さは

したがって  (3)

同様に、図 3 から、すべり γxy は γ1 + γ2 であることがわかり、また

 (4)

図 3 すべり

(5)  (6)

これらの関係は適合条件と呼ばれ、変形した要素がモザイクのように組み合わさって空間を連続的に満たすことができることを示している。要素の変形が任意である場合には、これは達成できない。適合条件は微分方程式であるため、言うまでもなく、各個々の直方体について6つの成分ひずみはすべて互いに独立であるが、任意の有限な広がりをもつ領域におけるそれらの配置は条件 (5) および (6) に拘束される。

これらの条件は方程式（3）および（4）を微分して得られたものであるため、それらを導く過程で元の方程式に含まれていた関係の一部が失われる。したがって、変形の整合性を確保したいなら、これら二つの方程式系のうち一方だけを満たせば足りず、両方の方程式系を満足しなければならない。

弾性体系の微分方程式

弾性体の応力および変形を計算するために、次の方程式を用いる。

体積要素の釣り合い条件。 3つの軸まわりのモーメントがゼロであるという条件は、すでに方程式 (1) の導出時に用いられている。力のつり合い条件は図 4 に従って与えられる

図 4

(7a-c)

X、Y、Z で単位体積当たりの体積力（たとえば重力、遠心力）の成分を表す。応力と変形の関係。 ここでは、成分応力と成分ひずみの関係を意味する。弾性理論では、原則として線形関係のみが考慮され、これはフックの法則で表される:

(8a-c)

(8d-f)

方程式（8a-c）を応力について解くと、

(8 a)

kso と2つの対応する方程式。方程式 (8) で表されるフックの法則は、厳密に満たされる自然法則ではなく、実際の挙動を理想化したものであり、その乖離の程度は材料と応力の大きさによってさまざまである。応力とひずみの間に複雑な非線形関係をもつ材料力学の問題を数学的に扱うことは、はるかに大きな困難を伴い、実際には最も単純な場合にしか行えないため、フックの法則から大きく外れる挙動を示す材料（コンクリート！）に対しても、それに基づく計算を第一の、そして多くの場合には唯一の近似解として用いなければならない。しかもそれは、通常、十分に有用であり、単なる定性的理解を超える洞察を与える。 G = E|2 (1+μ).

それは、応力とひずみの関係（8）、応力の変換式（16）、および対応する成分ひずみの方程式系から必然的に導かれる。E と G は応力の次元を持ち、あらゆる建設材料において、発生しうる応力 σ および τ に比べて大きい。しかし、この事実に基づいて、弾性理論のあらゆる場所で採用されている仮定、すなわちひずみは小さいという仮定が成り立つ。横ひずみ係数（ポアソン比） μ は無次元であり、常に 0 と 1/2 の間にある。

成分変形と変位の関係。 これらの関係は式 (3)、(4) で与えられる。これらは純粋に幾何学的な性質を持つ。この3つの系は、3+6+6=15 個の方程式を、15 個の未知数、すなわち 6 個の成分応力、6 個の成分変形、および 3 個の成分変位に対して与える。したがって、これらの未知数を決定するのに十分である。このように大規模な微分方程式系を数学的に解くことは、いうまでもなく特別な場合に限られる。式 (8) において、成分変形を式 (3) および (4) に従って成分変位に置き換え、さらに法線応力 σ とせん断応力 τ を式 (8 d - f) に従って平衡条件、式 (7) に導入すると、弾性理論の基本方程式と呼ばれる微分方程式が得られる。

(9)

ここで  はラプラス演算子を示す。(2) を考慮すると、これは3つの成分変位 μ、ν、ω をもつ3本の微分方程式であり、これらからはさらに(3)、(4) および (8) に基づいて微分することにより、すべての成分応力とひずみを得ることができる。方程式 (9) は、特殊な場合を研究する際のしばしば便利な出発点をなす。

変形仕事

定義

部材に荷重がかかると、外力の作用点は弾性的変位を受け、その際、力は一定の仕事を行う。このようにして与えられたエネルギーは、さまざまな形に変化しうる。『荷重を急激に加え、変形過程の速度がかなり大きい場合、このエネルギーの一部は運動エネルギーに変わり、それは時間の経過とともに、無限遠へ消えていく弾性波として地盤に伝わるか、あるいは内部摩擦によって熱に変わることで散逸する。荷重がきわめてゆっくり加えられ、運動エネルギーの有意な増加が生じない、すなわち、ゼロから徐々に増大する荷重が内部力と常に釣り合っている場合、エネルギーは明らかに物体の変形のみに費やされ、このとき変形仕事と呼ばれる。』

変形仕事の計算は、まず一方向の引張荷重を受ける小片について示す（図 5）。

既存の応力 σ と、それに対応するひずみ ε に増分 dσ と dε が生じるとする。このとき、力 σdF は経路 dε * dl に沿って σdF * dεdl = σdεdV の仕事を行う。ただし、dV は小部分の体積を表すものとする。応力がゼロから最終値まで増加し、それに応じてひずみも 0 から ε まで変化するとき、単位体積当たりの総仕事は次のようになる:

同様に、せん断応力 τ を受ける要素（図 6）についても、単位体積当たりの変形仕事（比変形仕事、弾性ポテンシャル）は次のとおりである：

ただし、4 つの力 τ * dF のうち仕事をするのは 1 つだけである。

一般の場合、6つすべての応力成分が微小要素に作用するとき、各応力成分の仕事を加算することによって、比変形仕事が得られる：

(10)

これら各積分の上限で微分すると、最も一般的な場合に成り立つ関係式が得られる：

(11)

その他の成分ひずみについても同様である。物体が弾性体であれば、どの応力状態にも、荷重時であれ除荷時であれ、常に同一のひずみ状態が対応する。このとき積分の下には一価関数が入り、荷重後に完全に除荷するまでに費やされた全エネルギーは a = 0 となる。というのも、この場合、積分の上限がゼロになるからである。したがって、荷重時に物体へ与えられた全エネルギーは、除荷時に回収される。

図 6

図 7

不完全弾性体では、荷重および除荷の全サイクルにおける応力とひずみの関係は、図 7 の O A B 線でおおむね示される形をとる。荷重時に与えられるエネルギー は面積 OAA, に等しく、除荷時に返されるエネルギーは面積 ABA, であるため、斜線部分に相当する仕事が失われる（熱に変わる）。振動過程で応力が正の限界値 と負の限界値 の間で周期的に変化する場合、非弾性変形は図 7 の破線で示すのと同様に進み、各振動周期ごとに単位体積当たりのエネルギー DABCD が熱に変換される。このように、変形が応力に遅れる変形挙動を 弾性ヒステリシス と呼び、曲線 DABCD をヒステリシスループという。

変形仕事とフックの法則

式（10）の積分に Hooke の法則を導入すると、積分が実行でき、比ひずみエネルギーについて次の式が得られる：

(12a)

(12b)

(12c)

これらの形のうち第二のものを式 (11) に代入すると、再び Hooke - ov の法則、式 (8) が、応力で解いた形で得られる。変形仕事が、式 (12b) に示されるように各成分変形に依存するという記述は、したがって Hooke の法則と等価である。式 (12c) を応力について微分すると、次が得られる

(13)

これらの式は、式（11）とは異なり、フックの法則に従って挙動する物体に対してのみ有効であり、応力とひずみの関係が異なる場合には適用できない。もちろん、式（13）の右辺には、応力によって生じた成分ひずみだけがあり、温度変化、クリープ、膨張、再結晶などによって生じうる他のすべてのひずみは除外される。

弾性理論における積分定理

仮想変位。位置エネルギー最小の原理

フックの法則の式（8）を一つの式（12b）で置き換え得るのと同様に、平衡条件の代わりに、力学の一般に妥当する基本法則として仮想変位の原理を導入することができる。この法則は、平衡状態は、変形状態のわずかな変化の際にすべての力がなした総仕事がゼロであることによって特徴づけられると述べる。弾性変位の微小変化を δμ δν, δω とすると、式（7）で定義される体積力は仮想仕事をする。

および、物体の外表面の要素 dF に作用する表面力 px, py, pz の仕事　

ここで三重積分は物体全体の体積に、二重積分は物体全体の外表面に対するものである。内部力が行う仕事の算定には式 (12b) を用いるので、単位体積当たりの仕事は次のようになる。

これに基づき、仮想変位の原理は次を与えます

(14)

荷重X、Y、Z、px、py.、pzを重力の成分（自重および外部荷重）とみなすと、右辺の積分はこれらの荷重が失った位置エネルギーを表し、左辺は物体の位置エネルギー（弾性エネルギー）の増分を表す。したがって、この原理は、つり合い状態におけるはりとその上に載る荷重の全位置エネルギーが極値をとることを示している。この極値が最小値であれば、つり合いは安定である。

式 (14) で示される最小ポテンシャルエネルギーの原理、変形仕事の式 (12b)、変形の適合条件 (5)、(6) は、弾性理論を構築するのに十分な方程式系をなしており、基本的には方程式系に等価である。この系は、微分方程式 (9) を満足させることが計算上困難であり、そのため近似解を求めなければならない場合、特に有用である。たとえば変位について、自由定数をいくつか含む適切な形をあらかじめ仮定し、式 (14) が満たされるという要請からそれらを決定する。こうして厳密な解が得られるのではなく、選んだ解の形で達成しうる最良の近似だけが得られる。近似が十分かどうかは、まず採用した解の形に依存し、この方法をうまく適用するには、そのための熟練と経験が必要である。

カスティリアーノの原理

最小ポテンシャルエネルギーの原理では、変形適合条件を満たすすべての変形状態を比較し、その中から、それに対応する応力が平衡条件を満たすものを選ぶのに対し、Castigliano の原理では、平衡条件を満たすすべての応力状態を比較し、その中から、それに対応する変形が変形適合条件を満たすものを選ぶ。この原理は次のように表される。可能なすべての平衡状態のうち、実際に生じるのは、最小の変形仕事に対応する状態である。Castigliano の原理は、変形仕事に関する式 (12c) および平衡条件とともに、材料力学を構築するのに十分な方程式系を形成する。この原理には Hooke の法則が含まれるため、その適用可能性は、変形がこの法則によって完全に記述できるという仮定に結びついている。これは材料の線形弾性挙動だけでなく、温度変化も排除する。

弾性限界を超えた材料の挙動

静荷重時に生じる現象

応力の作用下における材料の変形は非常に複雑な現象であるため、理解するにはさまざまな方向から単純化しなければならない。これらの単純化の一つは、荷重を徐々に加えるという仮定であり、たとえば引張試験や圧縮試験の試料に対して行うのと同様である。

引張荷重を受ける鋼棒に、徐々に増加する荷重を与え、その伸び ε を測定すると、図 8 に示す図が得られる。初めは伸びは非常に小さく、フックの法則が要求するように応力に比例する。ある特定の応力から比例関係は失われ、伸びはより速く増加する。この比例限界の正確な位置を決定することは難しい。測定が正確であるほど、その値は低く得られる。多くの材料ではそれは σ = 0 にあり、そのときフックの法則は弾性挙動の第一近似、すなわち座標原点近傍における関数 ε = ε (σ) のテイラー級数展開の第一項にすぎない。

棒を荷重から解放すると、応力が大きすぎなかった場合には、変形もフックの法則に従って消失することが分かる。しかし、比例限度、すなわち弾性限界に近いある応力を超えると、この関係も変わる。そのとき全変形は、弾性的（可逆的）部分と非弾性的（永久的）部分から成る。弾性限界も正確には定められず、測定精度が高いほどその値は低くなる。ただし、これは材料力学におけるほとんどすべての計算で重要な限界を表し、同時に最初の永久損傷が生じる限界でもあるため、技術上非常に重要である。そのため試験片の評価では、ある採用された規約によって厳密に定義され、たとえば限界 0.2% として、永久ひずみが 0.2% に達する応力を示す。

弾性限界をわずかに超えると、変形は急激に増大し、肉眼でも認められるようになる。ほぼ一定の応力のもとで、棒は連続的に伸びる。この応力を降伏限界という。材料試験用の油圧機では、降伏開始後に応力がある程度低下することも観察される。図 8 に破線で示すように、このときの最大値を上降伏点、続いて生じる一定の降伏応力を下降伏点という。

ほぼ完全に非弾性的な一定の伸びに達すると、応力は再び増加し始め、材料は加工硬化する。この荷重域では、（非弾性的な）横収縮のために棒の断面積が著しく減少し、応力・ひずみ図のその後の経過は、応力 σ を算定する際に棒に作用する引張力 P を初期断面 F0 で割るか、あるいは瞬時断面 F で割るかにまず依存する。技術上重要なのは応力 P|F0 である。この応力は最大値に達し、この最大値を材料強度という。いったんこの最大値を越えると、棒は一か所で著しく細くなって破断する。「真応力」 P|F は破断まで増加する。

図 8.

他の金属の挙動は、ここで述べたものとは多くの点で異なる。流動はしばしば明確でなく、硬化は弾性限界を超えた直後に始まる。脆性材料（石、ガラス、コンクリート）では非弾性変形は一般に小さく、わずかなひずみで破壊に至る。材料が破壊までに受ける全ひずみは、その材料の延性（反対は脆性）の尺度であり、鋼については技術条件で厳密に規定されている。しかし、破壊直前にはさらなる変形が周囲の絞り断面部に集中するため、測定長さとして棒材の大きい部分を採るか小さい部分を採るかによって破断時ひずみの値が異なる。そのため、一意で相互比較可能な結果を得るには、あらかじめ一定の規約を定めておかなければならない。破断時ひずみは通常、直径 d の丸棒に試験前に測定長さ Ι = 10 d を記し、その伸び ΔΙ から破断時ひずみ εs_Ι = _ΔΙ|Ι を算出して測定する。断面の異なる棒材を試験する必要がある場合は、同じ断面積を持つ円柱棒の直径に従って測定長さを定める。

長期荷重

引張試験の経過において、破断までの荷重が 10 m分で増加するのか、あるいは数時間かは、ほとんど重要ではない。しかし、荷重が何年も、あるいは何十年も作用する場合、特定の条件下では、降伏点以下でも、一定応力下での変形が時間とともに徐々に増加することが認められる。このとき、弾性部分、すなわち最終的な除荷時に消失する部分は、ほとんど変化しない。このように長時間にわたって生じる非弾性変形の増加は、クリープと呼ばれる。金属では、鉛を除いて、クリープは高温でのみ重要であるが、建設技術者にとっては、圧縮下でわずかに緩むコンクリートにおいて意味を持ち、その結果、圧縮鉄筋がある場合にはその応力が増加する。

変動荷重

引張試験で得られた材料の機械的特性を構造物の許容荷重の指標として用いるためには、その材料が再負荷のたびに、かつて損傷なく受けた応力に耐えられることが条件である。この条件は、材料が頻繁な荷重と除荷の繰り返しにさらされる場合、たとえば完全に釣り合っていない機械の慣性力によって荷重を受ける梁のような場合には満たされない。荷重の繰り返しが十分に多ければ、通常の静的試験で定められる材料強度をはるかに下回る応力でも、構造部材を破壊に至らせることができる。この種の破壊現象は 疲労破壊 と呼ばれる。材料が耐えられる荷重繰返し回数 n は応力 σ の大きさに依存し、応力が小さいほどその回数は大きくなる。この依存関係の典型例を図 9 に示す。そこから、材料強度には下限があり、任意に大きな荷重繰返し回数でも耐えうること、これを 材料の耐久限度 と呼ぶことがわかる。この種の図（図 9）は Wöhler 曲線と呼ばれる。

図 9.

構造物の安全性

構造物にとって重要なのは2つの限界荷重である。すなわち、最初の永久損傷が生じる荷重（降伏限界）と、構造物の耐力が尽きて破壊に至る荷重（破壊限界）である。降伏限界以前には材料力学の仮定（微小変位、フックの法則）が少なくとも近似的に成り立つので、永久変形に対する安全性は、数学的困難を克服できるすべての場合において、信頼性をもって評価できる。応力が荷重に比例するなら、降伏応力と構造物に生じる最大応力との比は、降伏が生じる荷重と実際の荷重との比に等しく、降伏に対する安全係数を表す。しかし、多くの場合この単純な関係は成り立たない。すなわち、引張を伴わない曲げ、凸面同士の間の圧縮、構造が変化する系、そして特に不利なのは軸力を伴う曲げである。これらすべての場合、比較的小さな荷重増加が応力の大きな増加を招くことがあり、その場合は通常の安全係数を応力に適用するだけでは不十分で、荷重に適用しなければならない。

降伏限度を超えて破壊に至るまでの現象は、多くの場合、もはや定性的にしか追跡できない。材料が延性であるなら、最初に降伏限度に達した部分は、その後、一定の応力またはわずかに増加する応力の下で変形し続けるため、以後の荷重負担への寄与は小さくなり、他の、より低応力の構造部分が、構造の性質上可能であれば、より大きく荷重を担うことになる。この応力集中を均す傾向の中には一定の安全余裕があり、個々の部分に一度だけ大きな荷重が作用して生じた永久変形が有害でない場合には、計算上これを利用できる（極限荷重法）。

材料が脆い場合、最初の永久損傷は亀裂として現れ、その結果、危険箇所で応力集中がさらに強まり、直ちに破断を引き起こす。疲労による破断は、延性材料においても脆性破壊の特徴を示す。

 各断面における応力の関係

変換方程式

図 1 の九つの成分応力は、三つのつり合い条件によって関係づけられている。残りの六つの量 σx, σy, σz τxy, τyz, τzx は、弾性理論の微分方程式を導くことから分かるように、それぞれ互いに独立に任意の値をとることができる。しかし、これらの値が与えられると、固体のある点における応力状態は完全に定まる。すなわち、互いに直交する三つの平面について応力が分かれば、その点を通り法線が任意方向をとる第四の平面についての応力も一意に定めることができる。

図 10 に、OABC という四面体が示されている。これは、座標系 x, y, z の三つの面が座標平面に平行で、第四の面は任意の向きをもつ面要素 ABC = dF を表している。その方向と、そこを通じて伝達される応力の方向を示すために、別の座標系が導入され、その ξ 軸は dF に垂直である。

図 10

このテトラエドロンに ξ 軸方向に作用する力のつり合い条件は次を与える

〜であることを考慮すると

得られる

および同様に、軸η方向のつり合い条件から:

これは、座標変換における応力計算に用いる方程式である。特に重要なのは、ξ軸が z 軸と一致するような面素 dF のみを考えることである。この場合の式は、前の式を簡略化して求めることも、図 11 から直接読むこともできる:

図 11

正規応力は、dσξ/dα = 0 となる方向 α = α0 において極値をとる。微分することにより、式 (16) から

したがって、この式をゼロと等置すると

応力 τξη は、τyz = τzx = 0 であれば、これらの平面における全せん断応力でもある。すると、式（17）により、互いに直交する2つの方向が定まり、その方向では：1 全せん断応力はゼロであり、また、2。法線応力は極値（最大値と最小値）をとる。これらの方向は主応力方向と呼ばれ、対応する応力は 主応力 である。これらは σ1 および σ2 と表され、式から直接計算できる

 モールの円

方程式（16）は、図示によって直観的に表すことができる。そのためには、次の形に変換しなければならない：

これらの式は、座標系 σ, τ において、図 12 に描かれた円の方程式のパラメータ表示を表しており、その中心の座標は σ = 1/2（σx + σy）、τ = 0、およびその半径は

この円はモールの円と呼ばれます。x 点を通って、応力 σx, τxy が伝達される断面 x =const. に平行な直線を引くと、その直線は円と p 点で交わり、この点はモールの円の極と呼ばれます。この極を通って引かれる任意の直線 pξ は円と ξ 点で交わり、その点が pξ に平行な断面を通じて伝達される応力 σξ, τξη を決定します。

モールの円を作図する際のせん断応力の符号については、図 12c に示す向きをもつ場合は上向きに記入することに注意する必要があります。したがって、共役応力 τxy, τyx のうち、必ず一方は正、他方は負です。

境界値 σ1, σ2 の正規応力に対応するのは円上の点 1 と 2 であり、直線 _p_1 と _p_2 は主応力の方向を与える。

Mahrの円によるx-y平面内の応力表示は、この平面に垂直な応力 σz, τxz, τyz について何らの仮定にも結びついていません。

図 12

したがって、これは最も一般的な三次元応力状態にも当てはまる。ただし、同じ直線をすべて通る断面平面のみを比較し、その直線をここでは z および ξ 軸として選ぶ。一般の変換方程式（15）によれば、法線応力 σ はいかなる断面平面に対しても無限大にはなり得ないため、ある平面で有限の最大値 σ1、別の平面で最小値 σ3 を持たねばならず、これらはいずれも、いうまでもなく負であることもあり得る。σ1 と σ3 のベクトルを通る平面を取り、モールの円（図 13）を描くと

図 13

この平面上にある応力（すなわち、この平面に垂直なすべての方向）については、σ1 と σ3 が生じうる最大および最小の垂直応力であり、したがって互いに直交していなければならない。方向 1 と 3 に、これら 3 方向が直交座標系をなすように方向 2 を加え、平面 1 ~2 および 2 ~ 3 に対するモールの円を描くと、σ2 はこれらの円の一方で最大垂直応力、他方で最小垂直応力となる。したがって、方向 1、2 および 3 に垂直な断面では、せん断応力はゼロである。せん断応力を伴わない、互いに直交する 3 つの垂直応力 σ1、σ2 および σ3 は、主応力と呼ばれる。

    空間応力状態における降伏限界と破壊限界

応力状態は、一、二、または三次元、別の言い方では線状、平面、または空間的と呼ばれ、1つ、2つ、または3つの主応力がゼロでないかによって区別されます。最も一般的に用いられる構造部材、すなわち引張棒、圧縮棒、曲げ棒では、少なくとも最も高い応力が生じる箇所において応力状態は一次元であり、材料試験で許容応力を決定するためにほぼ専ら用いられる引張、圧縮、曲げ試験でも同様です。これに対して、面内または面外に荷重を受ける板、ならびにシェルでは応力状態は二次元であり、場合によっては三次元の応力状態も現れるため、一次元応力状態で定められた降伏限界および破壊限界に基づいて、空間的応力状態における材料の挙動を判断する必要があります。