مواد: مواد جي مزاحمت ۽ لچڪ جو نظريو

بنيادون

مادّي جي مزاحمت جو ڪم اهو طئي ڪرڻ آهي ته ڪاٺ جسم (مثلاً عمارت، جوڙجڪ جو حصو يا زمين) ڪهڙيون خارجي قوتون برداشت ڪري سگهي ٿو. هن سوال جو جواب ڏيڻ لاءِ ٻه معيار اختيار ڪيا وڃن ٿا: هڪ طرف دٻاءَ مواد جي قسم تي دارومدار رکندڙ ڪجهه حدن کان نه وڌڻ گهرجن، ۽ ٻئي طرف خارجي ۽ داخلي قوتن جي وچ ۾ توازن مستحڪم هئڻ گهرجي. ان مطابق، مادّي جي مزاحمت جا سڀ مسئلا “دٻاءَ وارا مسئلا” ۽ “استحڪام وارا مسئلا” ۾ ورهائي سگهجن ٿا.

ڏنڊن ۽ بيمن ۽ انهن مان ٺهيل ڪيريئرن (ٽرس، فريم) ۾ دٻائن جو تعين ٻن مرحلن ۾ ڪيو وڃي ٿو، يعني پهرين ڏنل ٻاهرين قوتن جي بنياد تي ڪراس-سيڪشن ذريعي منتقل ٿيندڙ اندروني قوتن جو حاصل جمع ڳڻيو وڃي ٿو، ۽ پوءِ انهن “سيڪشنل قوتن” مان دٻاءَ طئي ڪيا وڃن ٿا. عمل جو پهريون حصو هڪ الڳ، وسيع شعبو آهي، تعميراتي ڍانچن جي اسٽيٽڪس، جنهن جا پنهنجا ترقي يافته طريقا آهن ۽ جيڪا عام طور تي مواد جي مزاحمت کان الڳ ڪئي ويندي آهي، جنهن جو ڪم ڏنل سيڪشنل قوتن مان دٻاءَ جو تعين ڪرڻ تائين محدود آهي.

مواد جي مزاحمت جا بنيادي تصور

دٻاءَ جي تعريف هيٺين بنيادي غور و فڪر وسيلي ملي ٿي. فرض ڪريو ته جسم تي خارجي قوتن جو هڪ توازن وارو نظام اثرانداز ٿي رهيو آهي. سوچي ڏسو ته اسان جسم کي ڪنهن به ڪٽ سان ٻن حصن ۾ ورهايو آهي، ۽ انهن مان هڪ کي ان تي اثرانداز ٿيندڙ قوتن سميت هٽائي ڇڏيو آهي؛ پوءِ، جيئن ته قوتن جو توازن ۽ بگاڙن جي ورڇ اڻبدل رهڻ گهرجي، ان حصي جي اثر کي ٻئي حصي تي ڪٽ واري سطح مان منتقل ٿيندڙ اضافي قوتن سان مٽائڻو پوندو. اهي “اندروني” قوتون ڪٽ واري سطح تي لڳاتار ورهايل هونديون آهن، تنهنڪري سطح جي هر عنصر dF لاءِ هڪ قوت dβ ملندي آهي. جيڪڏهن dβ/dF جو تناسب ٺهي ۽ حد وارو گذر dF -> 0 ڪيو وڃي، ته اهو تناسب هڪ حد واري قدر ڏانهن وڌندو جنهن کي دٻاءُ چيو ويندو آهي. سطح جي ڪنهن خاص عنصر ۾ دٻاءُ، dβ وانگر، dF تي عمودي ۽ ڇڪائي واري جزن ۾ ورهائي سگهجي ٿو: عام دٻاءُ σ ۽ ڇڪڻ وارو دٻاءُ τ.

جيڪڏهن هڪ ئي نقطي مان مختلف رخن ۾ ڪٽون ڪڍيون وڃن، ته انهن سان مختلف تناؤ پڻ لاڳاپيل هوندا. خاص طور تي جيڪڏهن جسم مان هڪ ابتدائي مکعب الڳ ڪيو وڃي، جيڪو شڪل 1 ۾ ڏيکاريل آهي، ته ان جي ڇهنهي سطحن مان هر هڪ تي تناؤ جو ویکٽر عمل ڪندو، جنهن کي x، y، z ڪوآرڊينيٽ محور جي رخ ۾ ٽن جزن ۾ ورهائي سگهجي ٿو. سامهون وارن سطحن تي عمل ڪندڙ تناؤ هڪ ٻئي کان، يقيناً، رڳو تفاضل لاءِ مختلف هوندا آهن، تنهنڪري 3 * 3 = 9 جزوي تناؤن ۾ فرق ڪرڻ گهرجي، جن کي هيٺين ريت نشان لڳايو ويندو آهي:

عام تناؤ σ کي ان محور جو انڊيڪس ڏنو ويندو آهي جنهن جي رخ ۾ اهي هوندا آهن، ۽ جيڪڏهن اهي ڇڪ پيدا ڪن ته مثبت، ۽ جيڪڏهن دٻاءُ پيدا ڪن ته منفي سمجهيا ويندا آهن. ڪترڻ وارا تناؤ τ ٻه انڊيڪس وٺن ٿا، انهن مان پهريون ساڳيو هوندو آهي جيئن لاڳاپيل عام تناؤ جو انڊيڪس، ۽ ٻيو ان محور سان لاڳاپيل هوندو آهي جنهن جي رخ ۾ ڪترڻ وارو تناؤ عمل ڪري ٿو. جيڪڏهن لاڳاپيل عام تناؤ جي مثبت رخ جو رخ مثبت (منفي) همراهي محور ڏانهن هجي، ته ڪترڻ وارو تناؤ به مثبت سمجهيو ويندو آهي جيڪڏهن اهو مثبت (منفي) همراهي محور جي رخ ۾ عمل ڪري.

تصوير 1.

 ڪٽڻ وارين دٻائن جي گڏيل لاڳاپيداري

جيڪڏهن ابتدائي ڪعب لاءِ، شڪل 1, شرط رکي وڃي ته x محور جي حوالي سان سڀني قوتن جو مومنٽ صفر هجي، ته حاصل ٿئي ٿو τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. هتان، ۽ y ۽ z محور لاءِ ٻه لاڳاپيل مساواتون وٺڻ سان، معلوم ٿئي ٿو ته ساڳين اشارن وارا شيئر دٻاءَ هڪ ٻئي جي برابر آهن τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

جزوي بگاڙ

مٿان بيان ڪيل دٻاءُ کي فزيڪل معنيٰ حاصل آهي، اهو ان جي ان تعريف سان لاڳاپي مان ظاهر ٿئي ٿو، جيڪا خارجي قوتن جي اثر هيٺ هر جسم تي لاڳو ٿئي ٿي. شڪل 2 هڪ ابتدائي ڳاڙهو ڏيکاري ٿي، جيڪو ڊي فارميشن کان اڳ مستطيل هو ۽ جنهن جي ڪنڊن جي ڊيگهه dx, dy, dz هئي. ڊي فارميشن کان پوءِ ڪنڊن جون ڊيگههون dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz طور ظاهر ڪري سگهجن ٿيون؛ تناسب εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz کي ڊگهه وڌڻ وارا مقدار چيو ويندو آهي. اهي بنا ماپيءَ وارا مقدار آهن ۽ تعميراتي ڪم ۾ استعمال ٿيندڙ سڀني موادن لاءِ ننڍا آهن 1 جي ڀيٽ ۾. ڪنڊن جي ڊگهي ٿيڻ کان علاوه، ابتدائي ڳاڙهو dx * dy * dz پنهنجي پاسن جي وچ ۾ شروعاتي سڌن ڪنڊن جي تبديلي به برداشت ڪري سگهي ٿو.

شڪل 2. جزوي بگاڙ

اچو ته deform ٿيڻ کان پوءِ ڪنڊ OC سان ملندڙ سطحن جي وچ وارو زاويه جي برابر هجي ۽ ساڳيءَ طرح ڪنڊ AO سان سڌي زاويه جي گهٽتائي γyz جي برابر هجي، ۽ ڪنڊ OB سان گهٽتائي γzx جي برابر هجي. اهي ٽي زاويائي تبديليون _γxy, _γyz, γzx، sliding سڏجن ٿيون ۽ هميشه 1 جي نسبت ننڍيون هونديون آهن. ڇهن جزوي ε ۽ γ سان عنصر جي ابتدائي ڪعب جي مڪمل deformation طئي ٿي وڃي ٿي، “ننڍي deformation”. حجم جي عنصر d_V = dx * dy * dz ۾ تبديلي _ΔdV = (dx + Δdx)(dy + Δdy)(dz + _Δdz) - dx dy dz, ٿيندي آهي، جتان، جڏهن dilation جي پيداوار کي اعليٰ درجي جي ننڍين مقدارَن طور نظرانداز ڪيو وڃي ٿو، ته ڪعبي dilation ϱ = _ΔdV|dV = _εx, _εy, _εz (2) ملي ٿي

ٿلهن ۾ حرڪتون

سخت جسم جي deformation کي مڪمل طور تي هن طريقي سان پڻ بيان ڪري سگهجي ٿو، جو ان جي هر نقطي کي اهو displacement ڏنو وڃي جيڪو ان نقطي کي پيش آيو هجي. جيڪڏهن مشاهدي مان اهڙا محدود ماپ وارا displacement خارج ڪيا وڃن، جيڪي rigid body جي منتقلي سان لاڳاپيل هجن، ۽ جيڪڏهن ضرورت هجي ته ڳڻپ ۾ هڪ منتقل ٿيندڙ coordinate system اختيار ڪئي وڃي، ته پوءِ componental displacement μ، ν، ω هميشه ننڍي مقدار جا هوندا آهن، ۽ انهن جا coordinates جي لحاظ کان derivations پڻ 1 جي ڀيٽ ۾ ننڍا هوندا آهن. انهيءَ مفروضي تحت، شڪل 3 موجب لِنيار element OA = dx جي ڊيگهه deformation کان پوءِ

تنهنڪري  (3)

ساڳئي طرح، شڪل 3 مان ڏسجي ٿو ته ڪترڻ γxy γ1 + γ2: ۽ پڻ

 (4)

شڪل 3 سرڪڻ

(5)  (6)

انهن لاڳاپن کي مطابقت جا شرط چيو ويندو آهي ۽ اهي ظاهر ڪن ٿا ته بگڙيل عنصر موزائيڪ وانگر اهڙيءَ طرح گڏ ٿي سگهن ٿا جو ان سان جڳهه لڳاتار ڀرجي وڃي، جيڪو تڏهن ممڪن نه هوندو جيڪڏهن عنصرن جون بگاڙون آزادانه هجن. مطابقت جا شرط تفاضلي مساواتون آهن، تنهنڪري، ظاهر آهي، هر هڪ الڳ خاني لاءِ سڀئي ڇهه جزوي بگاڙ هڪ ٻئي کان آزاد آهن، پر انهن جي ترتيب هر محدود پکڙيل علائقي ۾ شرطن (5) ۽ (6) سان لاڳاپيل آهي.

ڇو ته اهي حالتون مساواتن (3) ۽ (4) مان تفريق ڪرڻ سان حاصل ٿيون آهن، انهن جي نڪتل ۾ ابتدائي مساواتن ۾ شامل ڪجهه لاڳاپا گم ٿي وڃن ٿا. تنهن ڪري صرف انهن ٻن مان هڪ ئي مساواتي نظام پورو ٿيڻ ڪافي ناهي؛ جيڪڏهن بگاڙ جي موافقت کي يقيني بڻائڻو هجي ته ٻنهي مساواتي نظامن کي پورو ڪرڻ ضروري آهي.

لچڪداريءَ جو نظام: جزوي تفاضلي مساواتون

لچڪدار جسمن ۾ دٻاءُ ۽ بگاڙن جي حساب لاءِ هيٺيون مساواتون استعمال ٿين ٿيون:

حجمي عنصر جي توازن جون شرطون. ٽنهي محورَن جي چوڌاري لمحن جي صفر هجڻ واريون شرطون اڳ ئي مساوات (1) جي اخراج ۾ استعمال ڪيون ويون آهن. قوتن جي توازن جون شرطون شڪل 4 موجب ڏين ٿيون

شڪل 4

(7a-c)

جيڪڏهن X، Y، Z سان حجمي قوتن جا جزا (مثلاً وزن، مرڪزي ڀڄائي قوت) في يونٽ حجم ظاهر ڪيا وڃن. دٻائن ۽ بگاڙن جا لاڳاپا. ان سان مراد جزوي دٻائن ۽ جزوي بگاڙن جي وچ ۾ لاڳاپو آهي. لچڪ جي نظريي ۾ عام طور تي صرف خطي لاڳاپو نظر ۾ ورتو ويندو آهي، جيڪو Hooke-ov قانون سان ظاهر ٿئي ٿو:

(8a-c)

(8d-f)

جيڪڏهن مساواتون (8a-c) کي وولٽيجن جي لحاظ سان حل ڪيو وڃي، ته حاصل ٿئي ٿو

(8 a)

kso ۽ ٻه لاڳاپيل مساواتون. Hooke- جو قانون جيڪو مساوات (8) سان بيان ٿيل آهي، ڪو سختيءَ سان پورو ٿيندڙ فطري قانون نه آهي، بلڪه حقيقي روَيّي جي هڪ مثالي شڪل آهي، جيڪا مواد ۽ دٻاءَ جي مقدار تي دارومدار رکي وڌيڪ يا گهٽ حد تائين ان کان هٽي ٿي. جيئن ته دٻاءَ ۽ ٺهڻن جي وچ ۾ پيچيده، غير خطي لاڳاپن سان مواد جي مزاحمت جي مسئلي جي رياضيائي پروسيسنگ تمام گهڻيون ڏکيائون پيدا ڪري ٿي ۽ حقيقت ۾ رڳو سڀ کان سادن حالتن ۾ ئي لاڳو ٿي سگهي ٿي، تنهنڪري انهن موادن (ڪنڪريٽ!) لاءِ به، جن جو رويو Hooke- جي قانون کان گهڻو هٽي ٿو، ان تي ٻڌل حساب ڪتاب کي پهرين، ۽ گهڻو ڪري واحد به، لڳ ڀڳ حل طور استعمال ڪرڻو پوي ٿو، جيڪو باقي عام طور تي تمام ڪارائتو هوندو آهي ۽ اهڙي بصيرت مهيا ڪري ٿو جيڪا رڳو معيارِي نه پر ان کان وڌيڪ هجي. G = E|2 (1+μ).

اها لازماً دٻاءُ ۽ بگاڙ جي لاڳاپي (8) مان، دٻاءُن لاءِ تبديلي جي مساواتن (16) مان ۽ جزوي بگاڙن لاءِ لاڳاپيل مساواتي نظام مان نڪري ٿي. E ۽ G وٽ دٻاءُ جي جهڙي ئي ماپ آهي ۽ سڀني تعميراتي موادن لاءِ اهي انهن دٻاءُن σ ۽ τ جي ڀيٽ ۾ وڏا ٿين ٿا، جيڪي پيدا ٿي سگهن ٿا. پر هن حقيقت تي ئي، ايلاسٽيسيٽي جي نظريي ۾ هر هنڌ اختيار ڪيل اها مفروضي بنياد رکي ٿي ته بگاڙ ننڍا آهن. ڪراس-وائڊ ڊائيليٽيشن جو ڪوئفينٽ (پوئسن جو عدد) μ بي بُعد آهي ۽ هميشه 0 ۽ 1/2 جي وچ ۾ هوندو آهي.

جزوي بگاڙن ۽ سرڪڻن جي وچ ۾ لاڳاپا. اهي لاڳاپا مساواتن (3), (4) سان ڏنا ويا آهن. اهي خالص هندسي نوعيت جا آهن. هي ٽي نظام 3+6+6=15 مساواتون 15 نامعلومن لاءِ ڏين ٿا، يعني 6 جزوي دٻائن، 6 جزوي بگاڙن ۽ 3 جزوي سرڪڻن لاءِ. تنهنڪري اهي انهن نامعلومن کي طئي ڪرڻ لاءِ ڪافي آهن. اهڙي وڏي ڊفرينشيل مساواتن واري نظام کي رياضيءَ جي لحاظ کان حل ڪرڻ، يقيناً، رڳو خاص حالتن ۾ ممڪن آهي. جيڪڏهن مساوات (8) ۾ جزوي بگاڙن کي مساواتن (3) ۽ (4) موجب جزوي سرڪڻن سان بدلايو وڃي ۽ پوءِ عام دٻاءُ σ ۽ ڪترڻ وارا دٻاءُ τ، مساواتن (8 d - f) موجب، توازن جي حالتن ۾ شامل ڪيا وڃن، يعني مساواتون (7), ته پوءِ اهي ڊفرينشيل مساواتون حاصل ٿين ٿيون، جن کي لچڪ جي نظريي جون بنيادي مساواتون سڏيو وڃي ٿو.

(9)

جتي  سان Laplace جو آپريٽر نشان لڳايل آهي. (2) جي لحاظ کان، هي ٽي تفاضلي مساواتون آهن جن ۾ ٽن جزوي سرڪن μ، ν، ω شامل آهن؛ انهن مان وري (3), (4) ۽ (8) جي بنياد تي تفريق ذريعي سڀئي جزوي دٻاءَ ۽ بگاڙ حاصل ڪري سگهجن ٿا. مساواتون (9) خاص صورتن جي مطالعي لاءِ گهڻو ڪري هڪ مناسب شروعاتي نقطو پيش ڪن ٿيون.

شڪل بدلجڻ جو ڪم

تعريف

جڏهن ڪاٺي کي بار ڏنو وڃي ٿو ته ٻاهرين قوتن جي اثر جا نقطا لچڪدار سَرن کي برداشت ڪن ٿا، ۽ قوتون ان دوران ڪجهه ڪم انجام ڏين ٿيون. هن طريقي سان آيل توانائي مختلف شڪلن ۾ تبديل ٿي سگهي ٿي. ‚جيڪڏهن بار اوچتو لاڳو ڪيو وڃي، اهڙيءَ طرح جو بگاڙ جو عمل وڏي رفتار سان هلي، ته هن توانائي جو هڪ حصو حرڪي توانائي ۾ تبديل ٿي وڃي ٿو، جيڪا وقت سان گڏ يا ته زمين ڏانهن لچڪدار لهر جي صورت ۾ منتقل ٿي وڃڻ سبب ختم ٿي وڃي ٿي، جيڪا لامحدود ۾ گم ٿي وڃي ٿي، يا اندروني رگڙ سبب حرارت ۾ تبديل ٿي وڃي ٿي. جيڪڏهن بار ايتري آهستگي سان لڳايا وڃن جو ان دوران حرڪي توانائي جو نمايان اضافو نه ٿئي، يعني صفر کان آهستي وڌندڙ بار اندروني قوتن سان مستقل توازن ۾ رهن، ته توانائي واضح طور رڳو جسم کي بگاڙڻ تي خرچ ٿئي ٿي ۽ ان کي ان وقت بگاڙ جو ڪم چيو وڃي ٿو.

ڊيفارميشن ڪم جو حساب پهرين هڪ اهڙي حصي تي ڏيکارينداسين جيڪو هڪ رخ ۾ تناوَ هيٺ لوڊ ٿيل آهي (شڪل 5).

اچو ته موجوده تناؤ σ ۽ ان سان لاڳاپيل dilation ε ۾ وڌارا dσ ۽ dε پيدا ٿين. تڏهن قوت σdF، جيڪا dε * dl جي رستي تي ڪم ڪندي، ڪم _σdF * dεdl = σdεdV ڪندي، جيڪڏهن dV سان جزوي حجم ظاهر ڪيو وڃي. جيڪڏهن تناؤ صفر کان پنهنجي آخري قدر تائين وڌي ۽ ان سان گڏ dilation به 0 کان ε تائين وڃي، ته في يونٽ حجم ڪل ڪيل ڪم هي هوندو:

ساڳي طرح، ڪترڻ واري دٻاءُ τ سان لوڊ ٿيل جزو لاءِ به (شڪل 6) في يونٽ حجم بگاڙي ڪم (خاص بگاڙي ڪم، لچڪدار پوٽينشل):

جڏهن ته انهن چئن قوتن مان رڳو هڪ قوت τ * dF ڪم ڪندي آهي.

عام حالت ۾، جڏهن ابتدائي جز تي ڇهن ئي جزوي دٻائن جا سڀئي جز اثر ڪن ٿا، ته هر جزوي دٻاءَ جي ڪيل ڪم کي گڏ ڪري مخصوص بگاڙ وارو ڪم حاصل ڪيو وڃي ٿو:

(10)

انهن مان هر انٽيگرل جي مٿئين حد موجب differentiation ڪرڻ سان اهي لاڳاپا حاصل ٿين ٿا، جيڪي سڀ کان عام حالت ۾ لاڳو ٿين ٿا:

(11)

۽ اهڙي طرح ٻين جزوي بگاڙن لاءِ به. جيڪڏهن جسم لچڪدار هجي، ته دٻاءَ جي هر مقرر حالت سان هميشه ساڳي بگاڙ جي حالت لاڳو ٿئي ٿي، ڀلي اها حالت لوڊ ڪرڻ وقت حاصل ٿي هجي يا لوڊ هٽائڻ وقت. تڏهن انٽيگرلن هيٺ هڪ معنيٰ واريو ڪم ڪندڙ فنڪشنون هونديون آهن ۽ لوڊ ڪرڻ ۽ پوءِ مڪمل لوڊ هٽائڻ دوران خرچ ٿيل ڪل توانائي a = 0 آهي، ڇو ته هن حالت ۾ انٽيگرلن جون مٿيون حدون صفر ٿي وڃن ٿيون. تنهن ڪري لوڊ ڪرڻ وقت جسم کي ڏنل ڪل توانائي، لوڊ هٽائڻ وقت واپس ملي وڃي ٿي.

شڪل 6

شڪل 7

غير مڪمل لچڪدار جسم لاءِ، لوڊ ۽ ان لوڊ جي سڄي چڪر دوران دٻاءُ ۽ شڪل-بدلجڻ جو تعلق تقريباً اهڙي صورت رکي ٿو، جيئن sl. 7 تي O A B. لائينن سان ڏيکاريو ويو آهي. لوڊ ڪرڻ وقت آندل توانائي سطح OAA, جي برابر آهي، ۽ ان لوڊ ڪرڻ وقت واپس ملندڙ توانائي سطح ABA, جي برابر آهي، تنهنڪري اهو ڪم ضايع ٿئي ٿو (گرمي ۾ تبديل ٿي وڃي ٿو) جيڪو ڇانيل سطح سان لاڳاپيل آهي. جيڪڏهن ارتعاشي عمل ۾ دٻاءُ وقت بوقت مثبت حدّي قدر ۽ منفي حدّي قدر جي وچ ۾ بدلجي، ته غير لچڪدار شڪل-بدلجڻ اهڙيءَ طرح اڳتي وڌي ٿو جيئن sl. 7 تي ٽُٽل لڪيرن سان ڏيکاريو ويو آهي، ۽ هر هڪ ارتعاشي دور دوران في يونٽ حجم توانائي DABCD گرمي ۾ تبديل ٿي وڃي ٿي. اهڙي برتاءَ کي، جنهن ۾ شڪل-بدلجڻ دٻاءُ کان پوئتي رهي ٿو، لچڪدار هستيريسس چيو وڃي ٿو، ۽ وکر DABCD کي هستيريسس لوپ چيو وڃي ٿو.

بگاڙ ڪم ۽ هوڪ جو قانون

جيڪڏهن مساوات (10) ۾ موجود انٽيگرالن ۾ هوڪ جو قانون داخل ڪيو وڃي، ته انٽيگريشن ڪري سگهجي ٿو، ۽ پوءِ مخصوص بگاڙ واري ڪم لاءِ هيٺيان اظهار حاصل ٿين ٿا:

(12a)

(12b)

(12c)

جيڪڏهن انهن مان ٻي صورت کي مساوات (11) ۾ وجھجي، ته وري به هوڪ جو قانون، مساوات (8), دٻائن جي حل ٿيل صورت ۾ حاصل ٿئي ٿو. اهو بيان ته بيهڪ جو ڪم جزوي بيهڪُن تي دارومدار رکي ٿو، جيئن مساوات (12b) سان ڏيکاريو ويو آهي، تنهنڪري هوڪ جي قانون جي برابر آهي. جڏهن مساوات (12c) کي دٻائن جي لحاظ سان تفريق ڪيو وڃي ٿو، ته حاصل ٿئي ٿو

(13)

اهي فارمولا، فارمولا (11) جي ابتڙ، صرف انهن جسمن لاءِ لاڳو ٿين ٿا جيڪي هوڪ جي قانون مطابق برتاءُ ڪن ٿا، ۽ انهن حالتن ۾ لاڳو نٿا ٿي سگهن جڏهن دٻاءُ ۽ بگاڙ جي وچ ۾ لاڳاپا مختلف هجن. ظاهر آهي ته مساوات (13) جي ساڄي پاسي صرف اهي جزوي بگاڙ موجود آهن جيڪي دٻاءُ سبب پيدا ٿيا هجن، ۽ ٻيا سڀ بگاڙ خارج ڪيا ويا آهن، جيڪي ممڪن آهي ته گرمي پد جي تبديلي، ڪريپ، ڦهلاءُ، ٻيهر ڪرسٽلائزيشن وغيره سبب پيدا ٿيا هجن.

لازمي نظريي ۾ ادغامي اصول

ورچوئل حرڪتون. امڪاني توانائي جي گهٽ ۾ گهٽتائي جو اصول

جيئن هوڪ جو قانون، مساواتون (8) کي هڪ ئي مساوات (12b) سان بدلي سگهجي ٿو، تيئن توازن جي شرط جي بدران ورچوئل بيهڪَن جو اصول پڻ متعارف ڪرائي سگهجي ٿو، جيئن عام طور تي لاڳو ٿيندڙ ميڪانيڪس جو بنيادي قانون. هي قانون ٻڌائي ٿو ته توازن واري حالتن جي سڃاڻپ ان ڳالهه سان ٿئي ٿي ته انهن ۾ حالتِ deformation جي ٿوري تبديلي دوران سڀني قوتن پاران ڪيل ڪل ڪم صفر برابر هوندو آهي. جيڪڏهن لچڪدار بيهڪَن جي ننڍين تبديليَن کي δμ δν, δω سان ظاهر ڪريون، ته حجمِي قوتون، جيئن مساوات (7) ۾ بيان ٿيل آهن، ورچوئل ڪم ڪن ٿيون

۽ سطحي قوتون px, py, pz جيڪي جسم جي ٻاهرئين سطح جي عنصر dF تي عمل ڪن ٿيون، ڪم  

جنهن ۾ ٽرپل انٽيگرل سڄي مقدار تي لاڳو ٿئي ٿو، ۽ ڊبل انٽيگرل جسم جي سڄي ٻاهرئين سطح تي. اندروني قوتن پاران ڪيل ڪم کي حساب ڪرڻ لاءِ مساوات (12b) استعمال ٿئي ٿي، پوءِ مقدار جي في يونٽ ڪم لاءِ حاصل ٿئي ٿو

انهيءَ بنياد تي مجازي displacement جو اصول ڏئي ٿو

(14)

جيڪڏهن بار X، Y، Z px, py., pz کي ثقلي قوت جي جزن (پنهنجو وزن ۽ ٻاهرين بار) طور سمجهيو وڃي، ته ساڄي پاسي جا انٽيگرل انهي امڪاني توانائي جي نمائندگي ڪن ٿا، جيڪا انهن بارن وڃائي آهي، جڏهن⁠ته کاٻي پاسي جسم جي امڪاني (لچڪدار) توانائيءَ ۾ واڌ کي ظاهر ڪري ٿي، تنهنڪري هي اصول ظاهر ڪري ٿو ته سپورٽ ۽ ان تي رکيل بارن جي ڪل امڪاني توانائي، توازن جي حالت ۾، هڪ انتهائي قدر رکي ٿي. جيڪڏهن هي انتهائي قدر گهٽ ۾ گهٽ هجي، ته توازن مستحڪم آهي.

امڪاني توانائي جي گهٽ ۾ گهٽ قدر جو اصول، جيڪو مساوات (14) سان بيان ڪيو ويو آهي، ۽ بگاڙ واري ڪم لاءِ اظهار (12b)، بگاڙن جي مطابقت جون شرطون (5), (6) هڪ اهڙو مساواتي نظام پيش ڪن ٿا جيڪو لچڪ جي نظريي جي تعمير لاءِ ڪافي آهي، ۽ جيڪو بنيادي طور تي مساواتن جي نظام جي برابر آهي. هي نظام خاص طور تي انهن حالتن ۾ ڪارآمد ٿي سگهي ٿو جڏهن تفاضلي مساواتن (9) جي پوري ڪرڻ سان حسابي ڏکيائيون پيش اچن، ۽ تنهنڪري لڳ ڀڳ حل ڳولڻو پوي، مثال طور، سرڪڻين لاءِ اڳواٽ ڪنهن مناسب شڪل جو فرض ڪيو وڃي جنهن ۾ ڪجهه آزاد مستقل هجن، ۽ پوءِ انهن کي ان گهرج مان طئي ڪيو وڃي ته مساوات (14) پوري ٿئي. اهڙيءَ ريت سخت حل ته نه ٿو ملي، پر صرف بهترين لڳ ڀڳ نتيجو ملي ٿو جيڪو چونڊيل حل جي شڪل سان حاصل ڪري سگهجي ٿو. ڇا هي لڳ ڀڳ ڪرڻ ڪافي آهي، اهو سڀ کان پهرين اختيار ڪيل حل جي شڪل تي دارومدار رکي ٿو، ۽ هن طريقي جي ڪامياب استعمال لاءِ ان ڪري مهارت ۽ تجربو ضروري آهي.

ڪاسٽيگليانو-و جو اصول

جڏهن گهٽ ۾ گهٽ امڪاني توانائي جي اصول ۾ انهن سڀني بگاڙ واري حالتن جو مقابلو ڪيو وڃي ٿو جيڪي بگاڙ جي مطابقت جون شرطون پوريون ڪن ٿيون ۽ انهن مان اهي الڳ ڪيا وڃن ٿا جن لاءِ لاڳاپيل تناؤ توازن جون شرطون پوريون ڪن ٿا، تڏهن Castigliano جي اصول ۾ انهن سڀني تناؤ وارين حالتن جو مقابلو ڪيو وڃي ٿو جيڪي توازن جون شرطون پوريون ڪن ٿيون ۽ انهن مان اهي الڳ ڪيا وڃن ٿا جن لاءِ لاڳاپيل بگاڙ بگاڙ جي مطابقت جون شرطون پوريون ڪن ٿا. هي اصول هن ريت آهي: سڀني ممڪن توازني حالتن مان حقيقي اها حالت پيدا ٿئي ٿي جنهن سان سڀ کان ننڍو بگاڙ ڪم لاڳاپيل هجي. Castigliano جو اصول، بگاڙ ڪم لاءِ مساوات (12c) ۽ توازن جي شرطُن سان گڏ، اهڙو مساواتي نظام ٺاهي ٿو جيڪو مواد جي مزاحمت جي تعمير لاءِ ڪافي آهي. جيئن ته هي اصول Hooke جو قانون به شامل ڪري ٿو، تنهنڪري ان جي استعمال جي امڪان جو دارومدار ان مفروضي تي آهي ته بگاڙن کي مڪمل طور تي هن قانون سان بيان ڪري سگهجي ٿو. اهو نه رڳو مواد جي خطي لچڪدار روين جي گهرج ڪري ٿو، پر گرمي پد جي تبديلين کي به خارج ڪري ٿو.

لچڪ جي حدن کان مٿي مواد جو رويو

جامد لوڊ هيٺ ظاهر ٿيندڙ حالتون

دٻاءَ جي اثر هيٺ مواد جي ڦيرڦار هڪ تمام پيچيده عمل آهي، تنهنڪري ان کي سمجهڻ لاءِ مختلف رخن ۾ سولو بڻائڻو پوندو. انهن سادگين مان هڪ اها مفروضو آهي ته بار تدريجي طور وڌايا وڃن، جيئن مثال طور، ڇڪ ۽ دٻاءَ جي تجربن دوران نمونن سان ڪيو ويندو آهي.

جيڪڏهن ڇڪ تي لوڊ ٿيل فولادي ڇڙ کي اهڙي لوڊ هيٺ آندو وڃي جيڪو آهستي آهستي وڌندو رهي ۽ ان جي ڊگھائي وڌڻ کي ε ماپيو وڃي، ته تصوير 8 ۾ ڏيکاريل ڊاياگرام ملي ٿو. شروعات ۾ ڊگھائي وڌڻ تمام گهٽ هوندي آهي ۽ دٻاءَ سان متناسب هوندي آهي، جيئن هوڪ جي قانون موجب ضروري آهي. هڪ خاص دٻاءَ کان پوءِ هي تناسب ختم ٿي وڃي ٿو ۽ ڊگھائي وڌڻ تيزيءَ سان وڌي ٿو. هن تناسب واري حد جي صحيح جاءِ طئي ڪرڻ ڏکيو آهي. ماپ جيتري وڌيڪ صحيح هوندي، اوترو ئي اها حد گهٽ نڪري ٿي. گهڻن مادّن لاءِ اها σ = 0 تي هوندي آهي، ۽ پوءِ هوڪ جو قانون صرف لچڪدار روئيي جي پهرين لڳ ڀڳ صورت، يعني ڪوآرڊينيٽ جي شروعات ڀرسان ε = ε (σ) فنڪشن جي ٽيلر سيريز جي ترقيءَ جو پهريون رڪن، هوندو آهي.

جيڪڏهن ڇڙ کي لوڊ کان آزاد ڪيو وڃي، تڏهن ڏٺو وڃي ٿو ته، جڏهن دٻاءُ تمام وڏو نه هو، Hook-e جي قانون مطابق وڪر به ختم ٿي وڃي ٿو. پر جيڪڏهن هڪ مخصوص دٻاءُ، جيڪو تناسب جي حد جي ويجهو هوندو آهي، يعني لچڪ جي حد، ان کان وڌي وڃي ٿو ته هي به بدلجي ٿو؛ پوءِ ڪل وڪر لچڪدار (واپس ايندڙ) ۽ غيرلچڪدار (مستقل) حصي تي مشتمل هوندو آهي. لچڪ جي حد کي به صحيح نموني مقرر نٿو ڪري سگهجي؛ ماپ جي درستي جيتري وڌيڪ هوندي، اها اوتري هيٺ ملي ٿي. تنهن هوندي به، ڇو⁠تہ ان جي وڏِي فني اهميت آهي، ڇاڪاڻ⁠تہ اها مواد جي مزاحمت بابت تقريباً سڀني حسابن ۾ اهميت جي حد کي ظاهر ڪري ٿي، ۽ ساڳئي وقت اها حد آهي جتي پهريان مستقل نقص پيدا ٿين ٿا، انڪري نمونن جي جاچ لاءِ ان کي ڪنهن منظور ٿيل ڪنوينشن سان سختيءَ سان بيان ڪيو وڃي ٿو، ۽ مثال طور، حد 0.2% طور اهو دٻاءُ ظاهر ڪيو وڃي ٿو جنهن تي مستقل ڊگهه وڌڻ 0.2% تائين پهچي ٿي.

ايلاسٽيسيٽي حد کان ٿورو ئي پوءِ ڊيگهه ۾ واڌ اوچتو وڌي ٿي ۽ اها اک سان صاف نظر اچي سگهي ٿي؛ لڳ ڀڳ مستقل دٻاءَ تي راڊ لڳاتار ڊگهو ٿيندو رهي ٿو. هن دٻاءَ کي وهڪري جي حد چيو وڃي ٿو. مواد جي جاچ ڪندڙ هائيڊرولڪ مشينن ۾ وهڪري شروع ٿيڻ کان پوءِ دٻاءَ ۾ گهٽ يا وڌيڪ نمايان گهٽتائي پڻ ڏسي سگهجي ٿي؛ جيئن شڪل 8 ۾ ٽوٽل وکر سان ڏيکاريل آهي؛ تڏهن وڌ ۾ وڌ قدر کي مٿئين وهڪري جي حد ۽ ان کان پوءِ قائم رهندڙ مستقل وهڪري واري دٻاءَ کي هيٺئين وهڪري جي حد چيو وڃي ٿو.

جڏهن هڪ خاص ڊگھائي وڌڻ حاصل ٿئي ٿي، جيڪا لڳ ڀڳ مڪمل طور غيرلچڪدار هوندي آهي، ته دٻاءُ وري وڌڻ شروع ڪري ٿو، ۽ مواد وڌيڪ سخت ٿي وڃي ٿو. لوڊ جي هن مرحلي ۾ ڇڙ جي عرضي حصي ۾ نمايان گهٽتائي (غيرلچڪدار) پاسي واري سڪڙجڻ سبب پيدا ٿئي ٿي، ۽ دٻاءُ ۽ بگاڙ واري خاڪي جي اڳتي هلي صورت بنيادي طور ان ڳالهه تي دارومدار رکي ٿي ته دٻاءُ σ ڳڻڻ وقت ڇڙ تي لڳندڙ ڇڪڻ واري قوت P کي شروعاتي حصي F0 سان ورهايو وڃي ٿو يا موجوده حصي F سان. فني مقصدن لاءِ دلچسپ دٻاءُ P|F0 آهي. هي دٻاءُ هڪ وڌ ۾ وڌ قدر مان گذري ٿو، جنهن کي مواد جي طاقت چيو وڃي ٿو، ۽ جڏهن اهو وڌ ۾ وڌ قدر پار ٿئي ٿو، ته ڇڙ هڪ هنڌ تمام گهڻو سوڙهو ٿي ٽٽي پوي ٿو. “حقيقي دٻاءُ” P|F ڀڃڻ تائين وڌندو رهي ٿو.

شڪل 8.

ٻين ڌاتن جو رويو هتي بيان ڪيل روَيَي کان گهڻو مختلف هوندو آهي. وهڻ اڪثر نمايان نه هوندو آهي، ۽ سخت ٿيڻ لچڪ جي حد پار ڪرڻ کان پوءِ ئي شروع ٿيندو آهي. ڀُر ڀُر مواد (پٿر، شيشو، ڪنڪريٽ) ۾ غير لچڪدار ڊيڊي فارمشنون عام طور تي ننڍيون هونديون آهن ۽ ننڍڙي ئي ڊگھائي وڌڻ سان ڀڃ ڊاهه اچي ويندي آهي. ٽٽڻ تائين مواد جيڪا ڪل ڊگھائي وڌائڻ برداشت ڪري ٿو، اها مواد جي ڊگھائي وڌائڻ واري صلاحيت (ان جي اُلٽ: ڀُر ڀُر هجڻ) جو ماپو آهي ۽ اسٽيل لاءِ اها فني شرطن ۾ صحيح نموني مقرر ڪئي ويندي آهي. تنهن هوندي به، ڇاڪاڻ⁠تہ ٽٽڻ کان ذرو اڳ وڌيڪ ڊيڊي فارمشن ويجهن تنگ ڪراس سيڪشن وارن هنڌن تي مرڪوز ٿي ويندي آهي، ٽٽڻ وقت ڊگھائي وڌائڻ جي قدر مختلف ملي ٿي، ان ڳالهه تي دارومدار ڪندي ته ماپڻ واري ڊيگهه لاءِ راڊ جو وڏو يا ننڍو حصو ورتو وڃي ٿو؛ تنهنڪري هڪجهڙا ۽ پاڻ ۾ ڀيٽڻ لائق نتيجا حاصل ڪرڻ لاءِ اڳواٽ ڪا مخصوص روايت اختيار ڪرڻي پوندي. ٽٽڻ وقت ڊگھائي وڌائڻ عام طور تي ائين ماپي ويندي آهي جو گول راڊ جنهن جو قطر d هجي، ان تي آزمائش کان اڳ ماپڻ واري ڊيگهه Ι = 10 d نشان لڳائجي ۽ ان جي وڌڻ ΔΙ مان ٽٽڻ وقت ڊگھائي وڌائڻ εs_Ι = ΔΙ|Ι حساب ڪيو وڃي._ جيڪڏهن ڪنهن ٻئي ڪراس سيڪشن وارا راڊ جاچڻا هجن، ته ماپڻ واري ڊيگهه ان گول سلينڊر راڊ جي قطر موجب طئي ڪئي ويندي آهي، جنهن جو ڪراس سيڪشن ساڳئي ايراضيءَ وارو هجي.

ڊگهي مدي وارو لوڊ

تناوَ واري آزمائش جي دوران اهو ڪافي حد تائين بي اثر آهي ته ڀڃجڻ تائين لوڊ وڌائڻ ۾ 10 m منٽ لڳن يا ڪجهه ڪلاڪ. پر جيڪڏهن لوڊ سالن يا ڏهاڪن تائين اثر ڪندو رهي، ڪجهه حالتن ۾ ڏٺو وڃي ٿو ته ييلڊ حد کان هيٺ به، مستقل دٻاءَ هيٺ وقت سان گڏ بگاڙ آهستي آهستي وڌي ٿو. ان ۾ لچڪدار حصو، يعني اهو حصو جيڪو آخري لوڊ هٽائڻ تي ختم ٿي وڃي ٿو، گهڻو نٿو بدلجي. غير لچڪدار بگاڙ جو اهو اضافو جيڪو ڊگهي عرصي دوران ٿئي ٿو، ڪريپ سڏجي ٿو. ڌاتن ۾، ليڊ کانسواءِ، ڪريپ رڳو تيز گرمي پد تي اهم آهي؛ پر تعميراتي انجنيئر لاءِ اهو ڪنڪريٽ ۾ اهم آهي، جيڪو دٻاءَ هيٺ آهستي آهستي ويهي ٿو، تنهنڪري دٻيل آرميچر ۾ تناؤ وڌي ٿو، جيڪڏهن اها موجود هجي.

بدلجندڙ لوڊ

جئين ته ڇڪڻ جي آزمائش مان حاصل ڪيل مواد جون ميخانيڪي خاصيتون اڏاوتن تي جائز لوڊ جي معيار طور استعمال ڪري سگهجن، شرط اهو آهي ته مواد هر ٻيهر لوڊنگ تي اهو تناؤ سهاري جيڪو هن هڪ ڀيرو بنا نقصان جي سَهيو هو. هي شرط تڏهن پورو نٿو ٿئي جڏهن مواد تي بار بار لوڊ ۽ ان لوڊ جو عمل ٿئي، جيئن مثال طور انهن بيمز ۾، جيڪي مڪمل طور تي متوازن نه ٿيندڙ مشينن جي جمودي قوتن جي لوڊ هيٺ هجن. بار بار ڪافي لوڊ ڪرڻ سان تعميراتي حصو اهڙي تناؤ تي به ڀڄي سگهي ٿو، جيڪو عام جامد آزمائش سان طئي ٿيل مواد جي طاقت کان گهڻو هيٺ هجي. اهڙي قسم جي ڀڃڪڙيءَ کي ٿڪاوٽ سبب ڀڃڪڙي. چيو وڃي ٿو. لوڊنگ چڪرَن جو تعداد n، جنهن کي مواد سهاري سگهي ٿو، تناؤ σ جي مقدار تي دارومدار رکي ٿو، تنهنڪري تناؤ جيترو گهٽ هوندو، اوترو ئي اهو تعداد وڌيڪ هوندو. هن دارومدار جو هڪ عام مثال شڪل 9 ۾ ڏيکاريو ويو آهي، جنهن مان ظاهر ٿئي ٿو ته مواد جي طاقت لاءِ هڪ هيٺيون حد موجود آهي، جنهن کي اهو ڪنهن به وڏي تعداد جي لوڊنگ چڪرَن ۾ به سهاري ٿو، ۽ جنهن کي مواد جي ديناميڪي طاقت چيو وڃي ٿو. اهڙي قسم جا ڊائياگرام (شڪل 9) وُهلر وکر سڏجن ٿا.

شڪل 9.

ڍانچن جي حفاظت

ٻه حدّي لوڊ جوڙجڪ لاءِ اهم آهن: اهو لوڊ، جنهن تي پهريان مستقل نقصان پيدا ٿين ٿا (وهڻ جي حد)، ۽ اهو لوڊ، جنهن تي جوڙجڪ جي برداشت ختم ٿي وڃي ٿي ۽ اها ڀڄي پوي ٿي (ٽٽڻ جي حد). ڇو⁠تہ وهڻ جي حد کان اڳ گهٽ ۾ گهٽ لڳ ڀڳ مواد جي مزاحمت بابت فرضون صحيح رهنديون آهن (ننڍيون حرڪتون، Hooke جو قانون)، مستقل بگاڙن جي حوالي سان حفاظت انهن سڀني حالتن ۾ اعتماد سان پرکي سگهجي ٿي، جن ۾ رياضيائي ڏکيائون حل ڪرڻ ۾ ڪاميابي ملي وڃي. جيڪڏهن دٻاءُ لوڊ جي متناسب هجي، ته وهڻ واري دٻاءُ جو اُن وڌ ۾ وڌ دٻاءُ سان تناسب، جيڪو جوڙجڪ ۾ ظاهر ٿئي ٿو، اُن لوڊ جي تناسب جي برابر هوندو آهي جنهن تي وهڻ شروع ٿئي ٿو ۽ اصل لوڊ جي، ۽ اهو وهڻ خلاف حفاظتي عامل بڻجي ٿو. پر ڪيترين صورتن ۾ هي سادو لاڳاپو موجود ناهي: اهڙو موڙ جتي ڇڪڻ شامل نه هجي، اُڀريل سطحن وچ ۾ دٻاءُ، اهڙا نظام جن جي جوڙجڪ بدلجندڙ هجي، ۽ خاص طور تي غير مناسب حالتن ۾، محوري قوت سان گڏ موڙ. انهن سڀني حالتن ۾ لوڊ جو نسبتن ننڍو وڌاءُ دٻاءَ ۾ وڏو وڌاءُ آڻي سگهي ٿو، ۽ پوءِ رائج حفاظتي عامل کي دٻاءَ تي لاڳو ڪرڻ ڪافي نه هوندو، پر ان کي لوڊ تي لاڳو ڪرڻو پوندو.

وهڪري جي حد کان وٺي ٽٽڻ تائين جيڪي واقعا ٿين ٿا، سي اڪثر ڪيسن ۾ هاڻي فقط معياري طور تي ئي ڏسي سگهجن ٿا. جيڪڏهن مواد لچڪدار هجي، ته اهي حصا جن ۾ سڀ کان اڳ وهڪري جي حد پهچي وڃي ٿي، ۽ جيڪي پوءِ مستقل دٻاءَ يا ٿورو وڌندڙ دٻاءَ هيٺ وڌيڪ بگڙن ٿا، وڌيڪ لوڊ کڻڻ ۾ ٿورو حصو وٺن ٿا، تنهنڪري جوڙجڪ جا ٻيا، گهٽ دٻايل حصا، جيڪڏهن ان جي بناوت کي نظر ۾ رکندي ممڪن هجي، ته لوڊ کڻڻ ۾ وڌيڪ حصو وٺن ٿا. دٻاءَ جي چوٽين کي برابر ڪرڻ جي هن ڪوشش ۾ هڪ خاص حفاظتي ذخيرو موجود آهي، جنهن کي حسابي طور تڏهن استعمال ڪري سگهجي ٿو جڏهن ڪجهه حصن جي مستقل بگڙجڻ، جيڪا صرف هڪ وڏي لوڊنگ سان پيدا ٿي هجي، نقصانڪار نه هجي (حدّي لوڊ واري طريقي).

جيڪڏهن مواد ڀُرڀرو هجي، ته پهريون مستقل نقصان ڏارَن جي صورت ۾ ظاهر ٿئي ٿو، جنهن سبب خطري واري هنڌ تي دٻاءُ جي اڃا وڌيڪ ارتڪاز پيدا ٿئي ٿي، جيڪا فوراً ڀڃ ڊاهه جو سبب بڻجي ٿي. ٿڪاوٽ سبب ڀڃ ڊاهه، لچڪدار مواد ۾ به، ڀُرڀري ٽٽڻ جون خاصيتون رکي ٿي.

 مختلف مقطعي سطحن لاءِ دٻائن جي وچ ۾ لاڳاپا

تبديل جا مساوات

شڪل 1 ۾ نون جزوي دٻائن جو تعلق ٽن توازن شرطن سان آهي. باقي ڇهه مقدارون σx, σy, σz τxy, τyz, τzx هڪ ٻئي کان آزاد طور تي ڪا به قيمت اختيار ڪري سگهن ٿيون، جيئن لچڪ جي نظريي جي فرق مساواتن جي اخذ مان معلوم ٿئي ٿو. بهرحال، جڏهن اهي قيمتون ڏنل هجن، ته سخت جسم جي ڪنهن نقطي تي دٻاءُ جي حالت مڪمل طور تي مقرر ٿي وڃي ٿي، يعني جڏهن ٽن هڪ ٻئي تي عمودي سطحن جا دٻاءُ معلوم هجن، تڏهن ڪنهن چوٿين سطح لاءِ به، جيڪا ڏنل نقطي مان لنگهي ٿي ۽ جنهن جي نارمل جو رخ ڪا به هجي، دٻاءُ هڪ معنيٰ سان طئي ڪري سگهجي ٿو.

شڪل 10 تي tetrahedron OABC ڏيکاريل آهي، جنهن جا ٽي پاسا x, y, z همعصبي نظام جي سطحن سان متوازي آهن ۽ چوٿون پاسو سطح جو هڪ منجهيل رخ رکندڙ عنصر ABC = dF. نمائندگي ڪري ٿو. ان جي رخ ۽ ان مان منتقل ٿيندڙ تناؤ جي رخ کي ظاهر ڪرڻ لاءِ هڪ ٻيو همعصبي نظام متعارف ڪرايو وڃي ٿو، جنهن جي ξ محور dF. تي عمودي آهي.

شڪل 10

ξ محور جي رخ ۾ هن ٽٽرايڊر تي عمل ڪندڙ قوتن جي توازن جي شرط ڏئي ٿي

جيڪڏهن ان ڳالهه کي نظر ۾ رکيو وڃي ته

حاصل ٿئي ٿو

۽ اهڙي طرح، محور η جي رخ ۾ توازن جي شرط مان:

اهي مساواتون آهن، جيڪي ڪوآرڊينيٽن جي تبديلي دوران تناءَ جي ڳڻپ لاءِ ڪم اچن ٿيون. خاص اهميت هيءَ آهي ته فقط اهڙا سطح جا عنصر dF ڏٺا وڃن، جن لاءِ _ξ-_محور z-محور سان ٺهڪي اچي. هن حالت لاءِ نمونا اسان اڳين نمونن کي سادگيءَ سان حاصل ڪري سگهون ٿا يا سڌو سنئون شڪل 11 مان پڙهي سگهون ٿا:

تصوير 11

نارمل تناؤ انتهايي قدر وٺي ٿو انهن رخن لاءِ α = α0 ، جن لاءِ dσξ/dα = 0. فرق ڪرڻ سان مساوات (16) مان حاصل ٿئي ٿو

۽ پوءِ، جڏهن هي اظهار صفر سان برابر ڪيو وڃي ٿو

تناؤ τξη انهن سطحن ۾ ساڳئي وقت ڪُل ڪٽڻ وارو تناؤ ٿيندو، جيڪڏهن τyz = τzx = 0 هجي. تڏهن مساوات (17) سان ٻه هڪٻئي تي عمودي رخ مقرر ٿين ٿا جن لاءِ: 1. ڪُل ڪٽڻ وارو تناؤ صفر آهي ۽، 2. عام تناؤ جون انتهائي قيمتون (وڌ ۾ وڌ ۽ گهٽ ۾ گهٽ) آهن. انهن رخن کي مکيه تناؤ جا رخ چيو وڃي ٿو، ۽ لاڳاپيل تناؤ مکيه تناؤ سڏجن ٿا. انهن کي σ1 ۽ σ2 سان ظاهر ڪيو وڃي ٿو ۽ سڌو سنئون فارمولي مان ڳڻي سگهجن ٿا

 موهر جو دائرو

مساواتون (16) واضح طريقي سان گرافڪ صورت ۾ ڏيکاري سگهجن ٿيون. ان مقصد لاءِ انهن کي هن شڪل ۾ تبديل ڪرڻ گهرجي:

اهي مساواتون همديسي نظام σ, τ ۾ دائري جي مساوات جو پيراميٽريڪ روپ پيش ڪن ٿيون، جيڪو شڪل. 12 ۾ ڏيکاريل آهي، جنهن جي مرڪز جا هم آهنگ σ = 1/2 (σx + σy)، τ = 0 آهن ۽ جنهن جو شعاع

هن دائري کي موهر جو دائرو چيو ويندو آهي. جيڪڏهن x نقطي مان x =const. واري ڪٽ مطابق هڪ سڌي ليڪ، جنهن ذريعي تناؤ σx، τxy منتقل ٿين ٿا، ڪڍبي، ته اها دائري کي p نقطي تي ڪٽيندي، جنهن کي موهر جي دائري جو قطب چيو ويندو آهي. هن قطب مان ڪڍيل هر سڌي pξ دائري کي ξ نقطي تي ڪٽيندي آهي، جيڪو اهي تناؤ σξ، τξη مقرر ڪري ٿو، جيڪي pξ سان متوازي ڪٽ مان منتقل ٿين ٿا.

موهر جي دائري کي ٺاهيندي ڪٽڻ وارن تناؤن جي نشان بابت اهو خيال رکڻ گهرجي ته جيڪڏهن انهن جي رخ شڪل 12c تي ڏيکاريل هجي ته انهن کي مٿي طرف رکيو وڃي. تنهنڪري ٻه گڏيل تناءَ τxy، τyx مان هڪ هميشه مثبت ۽ ٻيو منفي هوندو آهي.

عام دٻاءُ جي حدّي قيمتن σ1, σ2 لاءِ دائري تي نقطا 1 ۽ 2 لاڳو ٿين ٿا، ۽ سڌيون _p_1 ۽ _p_2 مکيه دٻاءُ جون هدايتون ڏين ٿيون.

x-y جهاز ۾ موجود تناؤن کي ماهر جي دائري ذريعي ڏيکارڻ ڪنهن به اهڙي مفروضي سان لاڳاپيل ناهي جيڪو هن جهاز تي عمودي σz، τxz، τyz تناؤ بابت هجي.

شڪل 12

تنهنڪري اهو سڀ کان عام ٽن-بعدي دٻاءُ واري حالت تي به لاڳو ٿئي ٿو، جيڪڏهن صرف اهي ڪراس سيڪشنل ميدان ڀيٽيا وڃن جيڪي سڀ هڪ ئي سڌيءَ مان گذرن ٿا، جيڪا هتي z ۽ ξ محور طور چونڊي وئي آهي. ڇو ته عام تبديليءَ جي مساواتن (15) موجب عام دٻاءُ σ ڪنهن به ڪراس سيڪشنل ميدان لاءِ لامحدود نه ٿو ٿي سگهي، تنهنڪري ڪنهن هڪ ميدان لاءِ ان جي هڪ حتمي وڌ ۾ وڌ قيمت σ1، ۽ ٻي لاءِ گهٽ ۾ گهٽ قيمت σ3 هجڻ گهرجي، جن مان ٻئي، ظاهر آهي، منفي به ٿي سگهن ٿا. جيڪڏهن σ1 ۽ σ3 وڪٽرن مان هڪ ميدان ڪڍي Mohr جو دائرو ٺاهيو وڃي (شڪل 13)

تصوير 13

انهن دٻائن لاءِ جيڪي هن ميدان ۾ واقع آهن (يعني هن ميدان تي عمودي سڀ رخ)، تڏهن σ1 ۽ σ3 سڀ کان وڏا ۽ سڀ کان ننڍا نارمل دٻاءَ آهن، جيڪي ظاهر ٿي سگهن ٿا، ۽ انهيءَ ڪري اهي پاڻ ۾ عمودي هئڻ گهرجن. جيڪڏهن رخ 1 ۽ 3 کي رخ 2 سان مڪمل ڪيو وڃي، ته جيئن اهي ٽيئي رخ هڪ مستطيل ڪوآرڊينيٽ نظام بڻائن، ۽ جيڪڏهن مائهر جا دائرا ميدانن 1 ~2 ۽ 2 ~ 3 لاءِ ٺهرايا وڃن، ته پوءِ σ2 انهن مان هڪ دائري لاءِ سڀ کان وڏو، ۽ ٻئي لاءِ سڀ کان ننڍو نارمل دٻاءُ آهي، ۽ انڪري رخ 1, 2 ۽ 3 تي عمودي سيڪشنن ۾ ڪٽڻ وارو دٻاءُ صفر جي برابر آهي. ٽي پاڻ ۾ عمودي نارمل دٻاءَ σ1, σ2 ۽ σ3, جن سان ڪٽڻ وارا دٻاءَ لاڳاپيل نه هوندا آهن، بنيادي دٻاءَ سڏبا آهن.

    پلاسٽڪ وهڪري جي حد ۽ ٽٽڻ جي حد، جڏهن دٻاءَ جي حالتون فضائي هجن

تناؤ جي حالت کي هڪ-، ٻه- يا ٽي-پکيڙي سڏيو ويندو آهي، ٻي صورت ۾: لڪيرِي، سطحي يا فضائي، ان ڳالهه تي دارومدار ڪندي ته ڇا هڪ، ٻه يا ٽئي مکيه تناؤ صفر کان مختلف آهن. انهن تعميري حصن ۾ جيڪي سڀ کان وڌيڪ استعمال ٿين ٿا، يعني ڇڪيل، دٻيل ۽ وڪريل راڊ ۾، تناؤ جي حالت، گهٽ ۾ گهٽ سڀ کان وڌيڪ بار برداشت ڪندڙ هنڌن تي، هڪ-پکيڙي هوندي آهي، ۽ ساڳي طرح ڇڪ، دٻاءَ يا وڪڙ جي تجربن ۾ به، جيڪي مواد جي جاچ ۾ لڳ ڀڳ خاص طور تي جائز تناؤ طئي ڪرڻ لاءِ استعمال ٿين ٿا. ان جي ابتڙ، انهن پليٽن ۾ جيڪي پنهنجي جهاز ۾ يا ان جي عمودي بار سان لوڊ ٿيل هجن، جيئن ته شيلن ۾، تناؤ جي حالت ٻه-پکيڙي هوندي آهي، ۽ ڪن حالتن ۾ ٽي-پکيڙي تناؤ جون حالتون به ظاهر ٿين ٿيون، تنهنڪري ضروري آهي ته هڪ-پکيڙي تناؤ جي حالت ۾ مقرر ڪيل وهڻ ۽ ڀڃجڻ جي حدن جي بنياد تي مواد جي فضائي تناؤ واري حالت ۾ روَيَي بابت نتيجا ڪڍيا وڃن.