Werkstoffe: Festigkeitslehre und Elastizitätstheorie

Grundlagen

Die Aufgabe der Baustatik besteht darin festzustellen, welche äußeren Kräfte ein fester Körper (z. B. ein Bauwerk, ein Konstruktionsteil oder der Boden) aufnehmen kann. Um diese Frage zu beantworten, geht man von zwei Kriterien aus: einerseits dürfen die Spannungen gewisse, von der Materialart abhängige Grenzen nicht überschreiten, andererseits muss das Gleichgewicht zwischen äußeren und inneren Kräften stabil sein. Dementsprechend lassen sich alle Probleme der Baustatik in „Spannungsprobleme“ und „Stabilitätsprobleme“ einteilen.

Bei Stäben und Trägern sowie den daraus zusammengesetzten Tragwerken (Fachwerke, Rahmen) erfolgt die Spannungsbestimmung in zwei Schritten, und zwar so, dass zunächst auf Grundlage der vorgegebenen äußeren Kräfte die Resultierende der inneren Kräfte berechnet wird, die über den Querschnitt übertragen werden, und anschließend aus diesen “Querschnittskräften” die Spannungen bestimmt werden. Der erste Teil des Verfahrens ist eine eigene, umfangreiche Disziplin, die Baustatik, die ihre eigenen ausgearbeiteten Methoden besitzt und gewöhnlich von der Festigkeitslehre getrennt wird, deren Aufgabe sich auf die Bestimmung der Spannungen aus gegebenen Querschnittskräften beschränkt.

Grundbegriffe der Festigkeitslehre

Zur Definition der Spannung gelangt man durch die folgenden grundlegenden Überlegungen. Auf den Körper wirke ein Gleichgewichtssystem äußerer Kräfte. Stellen wir uns vor, der Körper sei durch einen beliebigen Schnitt in zwei Teile geteilt worden und einer davon sei samt den auf ihn wirkenden Kräften entfernt worden; dann muss seine Wirkung auf den anderen Teil, damit Kräftegleichgewicht und Verteilung der Verformungen unverändert bleiben, durch zusätzliche Kräfte ersetzt werden, die über die Schnittfläche übertragen werden. Diese „inneren“ Kräfte sind kontinuierlich über die Schnittfläche verteilt, sodass jedem Flächenelement dF eine Kraft dβ entspricht. Bildet man den Quotienten dβ/dF und lässt man den Grenzübergang dF -> 0 zu, so strebt dieser Quotient gegen den Grenzwert, der Spannung genannt wird. Die Spannung in einem bestimmten Flächenelement ist, ebenso wie dβ, und sie kann in die zu dF normale und tangentiale Komponente zerlegt werden, Normalspannung σ, Schubspannung τ.

Wenn durch denselben Punkt Schnitte in unterschiedlichen Richtungen gelegt werden, sind ihnen auch unterschiedliche Spannungen zuzuordnen. Insbesondere wenn aus dem Körper ein elementarer Quader herausgelöst wird, dargestellt in Abb. 1, wirkt auf jede seiner sechs Flächen ein Spannungsvektor, der sich in drei Komponenten in Richtung der Koordinatenachsen x, y, z zerlegen lässt. Die auf gegenüberliegenden Flächen wirkenden Spannungen unterscheiden sich natürlich nur um ein Differential, sodass 3 * 3 = 9 Komponenten der Spannungen zu unterscheiden sind, die wie folgt bezeichnet werden:

Den Normalspannungen σ wird der Achsenindex desjenigen Koordinatensystems zugewiesen, in dessen Richtung sie liegen, und sie gelten als positiv, wenn sie Zug bewirken, negativ, wenn sie Druck bewirken. Schubspannungen τ erhalten zwei Indizes; der erste ist derselbe wie der Index der entsprechenden Normalspannung, der zweite bezieht sich auf die Achse, in deren Richtung die Schubspannung wirkt. Wenn die positive Richtung der entsprechenden Normalspannung in Richtung der positiven (negativen) Koordinatenachse liegt, gilt die Schubspannung ebenfalls als positiv, wenn sie in Richtung der positiven (negativen) Koordinatenachse wirkt.

Abbildung 1.

 Konjugiertheit der Schubspannungen

Wird für den elementaren Quader, Abb. 1, die Bedingung gestellt, dass das Moment aller Kräfte bezüglich der x-Achse null ist, ergibt sich τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Daraus und aus den beiden entsprechenden Gleichungen für die Achsen y und z folgt, dass die Schubspannungen mit denselben Indizes einander gleich sind τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz  (1)

Komponentendeformationen

Dass die zuvor definierten Spannungen einen physikalischen Sinn haben, ergibt sich aus ihrem Zusammenhang mit der Definition, der jeder Körper unter dem Einfluss äußerer Kräfte unterliegt. Abb. 2 zeigt einen elementaren Quader, der vor der Verformung rechteckig war und die Kantenlängen dx, dy, dz hatte. Die Kantenlängen nach der Verformung können wir mit dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz bezeichnen; die Quotienten εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz werden Dehnungen genannt. Dies sind dimensionslose Größen und bei allen im Bauwesen in Betracht kommenden Materialien klein gegenüber 1. Außer der Verlängerung der Kanten kann der elementare Quader dx * dy * dz auch eine Änderung der ursprünglich rechten Winkel zwischen seinen Seiten erfahren.

Abbildung 2. Komponentendeformation

Sei nach der Verformung der Winkel zwischen den Ebenen, die sich entlang der Kante OC schneiden, gleich  , und ebenso sei die Verringerung des rechten Winkels entlang der Kante AO gleich γyz, und die Verringerung entlang der Kante OB gleich γzx. Diese drei Winkeländerungen γxy, γyz, γzx werden Schubverzerrungen genannt und sind ebenfalls stets klein gegenüber 1.  Mit den sechs Komponenten ε und γ ist die Verformung des elementaren Quaders „Verformung im Kleinen“ vollständig bestimmt. Die Änderung des Volumenelements d_V = dx * dy * dz_ beträgt ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, woraus sich, wenn die Produkte der Dehnungen als Kleinigkeiten höherer Ordnung vernachlässigt werden, die kubische Dilatation ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) ergibt

Verschiebungen

Die Verformung eines festen Körpers kann auch vollständig so beschrieben werden, dass jedem seiner Punkte die von diesem Punkt erfahrene Verschiebung zugeordnet wird. Werden aus der Betrachtung Verschiebungen endlicher Größe ausgeschlossen, die einer Bewegung des starren Körpers entsprechen, indem gegebenenfalls im Rechenverfahren ein bewegliches Koordinatensystem zugrunde gelegt wird, dann sind auch die Komponentenverschiebungen μ, ν, ω stets klein, und ihre Ableitungen nach den Koordinaten klein gegenüber 1. Unter dieser Annahme ist gemäß Abb. 3 die Länge des Linienelements OA = dx nach der Verformung

also  (3)

Auf ähnliche Weise ist aus Abb. 3 zu erkennen, dass die Schubung γxy γ1 + γ2 beträgt: und außerdem

 (4)

Abbildung 3 Gleiten

(5)  (6)

Diese Beziehungen werden als Kompatibilitätsbedingungen bezeichnet und besagen, dass sich die verformten Elemente wie ein Mosaik zusammenfügen lassen, so dass der Raum dabei kontinuierlich ausgefüllt wird, was nicht erreicht werden kann, wenn die Verformungen der Elemente beliebig sind. Die Kompatibilitätsbedingungen sind Differentialgleichungen, daher sind selbstverständlich alle sechs Komponentendeformationen für jeden einzelnen Quader voneinander unabhängig, ihre Anordnung in jedem endlich ausgedehnten Bereich ist jedoch durch die Bedingungen (5) und (6) gebunden.

Da diese Bedingungen durch Differenzierung aus den Gleichungen (3) und (4) gewonnen werden, geht bei ihrer Herleitung ein Teil der in den ursprünglichen Gleichungen enthaltenen Zusammenhänge verloren. Daher genügt es nicht, nur eines dieser beiden Gleichungssysteme zu erfüllen, vielmehr müssen beide Gleichungssysteme erfüllt sein, wenn die Verformungskompatibilität gewährleistet sein soll.

Differentialgleichungen des Systems der Elastizität

Für die Berechnung von Spannungen und Verformungen bei elastischen Körpern dienen die folgenden Gleichungen:

Gleichgewichtsbedingungen des Volumenelements. Die Bedingungen, dass die Momente um die drei Achsen gleich Null sind, wurden bereits bei der Herleitung der Gleichung (1) verwendet. Die Bedingungen des Kräftegleichgewichts ergeben sich nach Abb. 4

Abbildung 4

(7a-c)

Wenn mit X, Y, Z die Komponenten der Volumenkräfte (z. B. Gewicht, Zentrifugalkraft) je Volumeneinheit bezeichnet werden. Zusammenhänge zwischen Spannungen und Verformungen. Darunter versteht man den Zusammenhang zwischen Komponenten der Spannungen und Komponenten der Verformungen. In der Elastizitätstheorie kommt in der Regel nur ein linearer Zusammenhang in Betracht, der durch das Hooke’sche Gesetz ausgedrückt wird:

(8a-c)

(8d-f)

Wenn die Gleichungen (8a-c) nach den Spannungen gelöst werden, erhält man

(8 a)

kso i dve odgovarajuće jednačine. Das Hooke’sche Gesetz, ausgedrückt durch die Gleichung (8), stellt kein strikt erfülltendes Naturgesetz dar, sondern eine Idealisierung des tatsächlichen Verhaltens, das je nach Werkstoff und Größe der Beanspruchung mehr oder weniger davon abweicht. Da die mathematische Behandlung von Festigkeitsproblemen mit komplizierten, nichtlinearen Zusammenhängen zwischen Spannungen und Verformungen ungleich größere Schwierigkeiten bereitet und tatsächlich nur in den einfachsten Fällen durchgeführt werden kann, müssen auch bei jenen Werkstoffen (Beton!), deren Verhalten erheblich vom Hooke’schen Gesetz abweicht, auf ihm beruhende Berechnungen zunächst und zumeist auch als einzige Näherungslösung verwendet werden, die übrigens in der Regel sehr brauchbar ist und eine Einsicht vermittelt, die mehr als nur qualitativ ist. G = E|2 (1+μ).

Sie folgt zwangsläufig aus dem Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung (8), aus den Transformationsgleichungen (16) für Spannungen und dem entsprechenden Gleichungssystem für die Komponentenverformungen E und G haben die Dimension einer Spannung und sind bei allen Baustoffen groß im Verhältnis zu den auftretenden Spannungen σ und τ. Auf dieser Tatsache beruht die in der gesamten Elastizitätstheorie übernommene Annahme, dass die Verformungen klein sind. Der Querdehnungskoeffizient (Poisson-Zahl) μ ist dimensionslos und liegt stets zwischen 0 und 1/2 .

Zusammenhänge zwischen Komponentendehnungen und Verschiebungen. Diese Zusammenhänge sind durch die Gleichungen (3), (4) gegeben. Sie sind rein geometrischer Natur. Diese drei Systeme liefern 3+6+6=15 Gleichungen für 15 Unbekannte, d. h. für 6 Komponenten der Spannungen, 6 Komponenten der Dehnungen und 3 Komponentenverschiebungen. Sie sind somit zur Bestimmung dieser Unbekannten ausreichend. Die mathematische Bewältigung eines derart umfangreichen Systems von Differentialgleichungen ist selbstverständlich nur in Spezialfällen möglich. Wenn in der Gleichung (8) die Komponentendehnungen gemäß den Gleichungen (3) und (4) durch Komponentverschiebungen ersetzt werden und anschließend die Normalspannungen σ und die Schubspannungen τ gemäß den Gleichungen (8 d - f) in die Gleichgewichtsbedingungen, Gl. (7), eingeführt werden, erhält man Differentialgleichungen, die als Grundgleichungen der Elastizitätstheorie bezeichnet werden.

(9)

wobei  der Laplace-Operator bezeichnet ist. In Anbetracht von (2) sind dies drei Differentialgleichungen mit drei Komponentenverschiebungen μ, ν, ω; aus diesen lassen sich durch Differenzieren auf Grundlage von (3), (4) und (8) alle Komponenten der Spannungen und Verformungen gewinnen. Die Gleichungen (9) stellen oft einen geeigneten Ausgangspunkt für die Untersuchung spezieller Fälle dar.

Verformungsarbeit

Definition

Wird der Träger belastet, so erfahren die Angriffspunkte der äußeren Kräfte elastische Verschiebungen, und die Kräfte leisten dabei eine gewisse Arbeit. Die so zugeführte Energie kann in verschiedene Formen übergehen. Wird die Belastung plötzlich aufgebracht, sodass der Verformungsvorgang eine beträchtliche Geschwindigkeit hat, so verwandelt sich ein Teil dieser Energie in kinetische Energie, die sich mit der Zeit wieder abbaut, entweder dadurch, dass sie als elastische Welle in den Untergrund übertragen wird und in der Unendlichkeit verloren geht, oder dadurch, dass sie sich durch innere Reibung in Wärme umwandelt. Werden die Lasten so behutsam aufgebracht, dass dabei kein merklicher Zuwachs an kinetischer Energie entsteht, also die von null an allmählich zunehmenden Lasten mit den inneren Kräften im ständigen Gleichgewicht sind, so wird die Energie offensichtlich ausschließlich zur Verformung des Körpers verbraucht und dann als Verformungsarbeit bezeichnet.

Die Berechnung der Verformungsarbeit zeigen wir zunächst an einem auf einachsige Zugbeanspruchung belasteten Teilchen (Abb. 5).

Nehmen wir an, dass die vorhandene Spannung σ und die entsprechende Dehnung ε die Zuwächse dσ und dε erfahren. Dann verrichtet die Kraft σdF auf dem Weg dε * dl die Arbeit σdF * dεdl = σdεdV, wenn mit dV das Volumen des Teilstücks bezeichnet wird. Steigt die Spannung von null bis zu ihrem Endwert und die Dehnung entsprechend von 0 bis ε, so beträgt die insgesamt verrichtete Arbeit je Volumeneinheit:

Entsprechend ist bei einem Element, das durch die Schubspannung τ beansprucht wird (Abb. 6), die Verformungsarbeit je Volumeneinheit (spezifische Verformungsarbeit, elastisches Potenzial):

wobei nur eine der vier Kräfte τ * dF Arbeit verrichtet.

Im allgemeinen Fall, wenn auf das Element alle sechs Spannungskomponenten einwirken, erhält man die spezifische Verformungsarbeit durch Addition der Arbeiten der einzelnen Spannungskomponenten:

(10)

Durch Differentiation nach der oberen Grenze jedes dieser Integrale erhält man Beziehungen, die im allgemeinsten Fall gelten:

(11)

und entsprechend für die übrigen Komponentenverformungen. Ist der Körper elastisch, entspricht jedem bestimmten Spannungszustand immer derselbe Verformungszustand, unabhängig davon, ob der Zustand beim Belasten oder Entlasten erreicht wurde. Dann stehen unter den Integralen eindeutige Funktionen, und die gesamte beim Belasten und anschließend vollständigen Entlasten aufgewendete Energie ist a = 0, da in diesem Fall die oberen Integrationsgrenzen zu null werden. Somit wird die dem Körper beim Belasten zugeführte Gesamtenergie beim Entlasten zurückgewonnen.

Bild 6

Abbildung 7

Für einen unvollkommen elastischen Körper hat die Beziehung zwischen Spannungen und Verformungen für den gesamten Belastungs- und Entlastungszyklus die in Abb. 7 durch die Linien O A B. näherungsweise dargestellte Form. Die bei der Belastung zugeführte Energie ist gleich der Fläche OAA, und die bei der Entlastung zurückgegebene Energie der Fläche ABA, so dass die der schraffierten Fläche entsprechende Arbeit verloren geht (in Wärme umgewandelt wird). Wenn sich im Schwingungsprozess die Spannung periodisch zwischen dem positiven Grenzwert und dem negativen Grenzwert ändert, verläuft die inelastische Verformung ähnlich wie durch die gestrichelten Linien in Abb. 7 dargestellt, und bei jeder Schwingungsperiode wird die Energie DABCD je Volumeneinheit in Wärme umgewandelt. Ein solches Verhalten bei der Verformung, bei dem die Verformung hinter der Spannung zurückbleibt, wird elastische Hysterese genannt, und die Kurve DABCD Hystereseschleife.

Verformungsarbeit und Hooke’sches Gesetz

Wenn in die Integrale in Gleichung (10) das Hooke’sche Gesetz eingesetzt wird, kann integriert werden, und für die spezifische Verformungsarbeit erhält man die Ausdrücke:

(12a)

(12b)

(12c)

Wird die zweite dieser Formen in die Gleichung (11) eingesetzt, erhält man wiederum das Hooke’sche Gesetz, Gleichungen (8), in nach den Spannungen aufgelöster Form. Die Aussage, dass die Verformungsarbeit von den Komponenten der Deformation abhängt, wie sie durch Gleichung (12b) dargestellt ist, ist demnach dem Hooke’schen Gesetz äquivalent. Wenn Gleichung (12c) nach den Spannungen differenziert wird, erhält man

(13)

Diese Formeln gelten im Unterschied zu den Formeln (11) nur für Körper, die sich nach dem Hooke’schen Gesetz verhalten, und können nicht angewendet werden, wenn die Beziehungen zwischen Spannungen und Verformungen anders sind. Selbstverständlich sind auf der rechten Seite der Gleichungen (13) nur die durch Spannungen hervorgerufenen Komponentenverformungen enthalten; alle übrigen, die möglicherweise infolge von Temperaturänderung, Kriechen, Quellen, Rekristallisation usw. entstanden sind, werden ausgeschlossen.

INTEGRALE SÄTZE IN DER ELASTIZITÄTSTHEORIE

Virtuelle Verschiebungen. Prinzip des Minimums der potentiellen Energie

So wie das Hooke’sche Gesetz, die Gleichungen (8), durch eine einzige Gleichung (12b) ersetzt werden kann, so kann auch anstelle der Gleichgewichtsbedingungen das Prinzip der virtuellen Verschiebungen als allgemein gültiges Grundgesetz der Mechanik eingeführt werden. Dieses Gesetz besagt, dass sich Gleichgewichtszustände dadurch auszeichnen, dass die bei einer kleinen Änderung des Verformungszustands insgesamt verrichtete Arbeit aller Kräfte gleich null ist. Bezeichnen wir kleine Änderungen der elastischen Verschiebungen mit δμ δν, δω, dann leisten die durch Gleichung (7) definierten Volumenkräfte virtuelle Arbeit

und die Oberflächenkräfte px, py, pz, die auf das Element dF der äußeren Oberfläche des Körpers wirken, Arbeit

wobei sich das Dreifachintegral auf das gesamte Volumen und das Doppelintegral auf die gesamte äußere Oberfläche des Körpers bezieht. Zur Berechnung der Arbeit, die von den inneren Kräften verrichtet wird, wird die Gleichung (12b) verwendet, sodass sich für die Arbeit je Volumeneinheit ergibt

Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen ergibt daraus

(14)

Wenn die Belastungen X, Y, Z px, py., pz als Komponenten der Schwerkraft (Eigengewicht und äußere Belastung) aufgefasst werden, so stellen die Integrale auf der rechten Seite die potentielle Energie dar, die diese Lasten verloren haben, während die linke Seite den Zuwachs an potentieller (elastischer) Energie des Körpers darstellt, sodass dieser Grundsatz aussagt, dass die gesamte potentielle Energie des Trägers und der auf ihm liegenden Lasten im Gleichgewicht einen Extremwert besitzt. Ist dieser Extremwert ein Minimum, so ist das Gleichgewicht stabil.

Der in Gleichung (14) ausgedrückte Grundsatz des Minimums der potentiellen Energie, der Ausdruck (12b) für die Verformungsarbeit und die Kompatibilitätsbedingungen der Verformungen (5), (6) stellen ein Gleichungssystem dar, das für den Aufbau der Elastizitätstheorie ausreicht und im Wesentlichen dem Gleichungssystem äquivalent ist. Dieses System kann besonders nützlich sein in Fällen, in denen die Erfüllung der Differentialgleichungen (9) rechnerische Schwierigkeiten bereitet und deshalb eine näherungsweise Lösung gesucht werden muss, z. B. indem für die Verschiebungen im Voraus eine geeignete Form mit mehreren freien Konstanten angenommen wird, die dann aus der Forderung bestimmt werden, dass die Gleichung (14) erfüllt ist. Dadurch erhält man zwar keine strenge Lösung des Problems, sondern nur die beste Approximation, die mit der gewählten Lösungsform erreicht werden kann. Ob die Annäherung ausreichend ist, hängt in erster Linie von der gewählten Lösungsform ab, und die erfolgreiche Anwendung dieser Methode erfordert daher Geschick und Erfahrung.

Castiglianos Prinzip

Während beim Prinzip des Minimums der potentiellen Energie alle Verformungszustände verglichen werden, die die Bedingungen der Verformungskompatibilität erfüllen, und unter ihnen diejenigen ausgewählt werden, für die die entsprechenden Spannungen die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen, werden beim Castigliano-Prinzip alle Spannungszustände verglichen, die die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen, und unter ihnen diejenigen ausgewählt, für die die entsprechenden Verformungen die Bedingungen der Verformungskompatibilität erfüllen. Dieses Prinzip lautet: Von allen möglichen Gleichgewichtszuständen tritt tatsächlich jener ein, dem die kleinste Verformungsarbeit entspricht. Das Castigliano-Prinzip bildet zusammen mit der Gleichung (12c) für die Verformungsarbeit und den Gleichgewichtsbedingungen ein Gleichungssystem, das für die Auslegung des Materialwiderstands ausreichend ist. Da dieses Prinzip das Hooke’sche Gesetz enthält, ist seine Anwendung an die Voraussetzung gebunden, dass Verformungen vollständig durch dieses Gesetz beschrieben werden können. Dies erfordert nicht nur ein linear-elastisches Verhalten des Materials, sondern schließt auch Temperaturänderungen aus.

Verhalten des Materials oberhalb der Elastizitätsgrenzen

Erscheinungen bei statischer Belastung

Die Verformung von Materialien unter Spannungseinwirkung ist ein äußerst kompliziertes Phänomen, sodass es in verschiedener Hinsicht vereinfacht werden muss, um verständlich zu sein. Eine dieser Vereinfachungen ist die Annahme, dass die Lasten allmählich aufgebracht werden, wie dies z. B. bei Proben im Zug- und Druckversuch geschieht.

Wenn ein auf Zug beanspruchter Stahlstab einer allmählich zunehmenden Belastung ausgesetzt wird und seine Dehnung ε gemessen wird, erhält man das in Abb. 8 dargestellte Diagramm. Zunächst ist die Dehnung sehr klein und proportional zur Spannung, wie es das Hooke’sche Gesetz verlangt. Ab einer bestimmten Spannung hört die Proportionalität auf, und die Dehnung nimmt schneller zu. Die genaue Lage der Grenze dieser Proportionalität lässt sich schwer bestimmen. Je genauer die Messung ist, desto niedriger wird sie ermittelt. Für die meisten Werkstoffe liegt sie bei σ = 0, und das Hooke’sche Gesetz stellt dann nur eine erste Annäherung an das elastische Verhalten dar, das erste Glied der Entwicklung in der Taylor-Reihe der Funktion ε = ε (σ) in der Umgebung des Koordinatenursprungs.

Wenn die Stange entlastet wird, stellt man fest, dass bei nicht zu großer Spannung auch die Verformung verschwindet, entsprechend dem Hooke’schen Gesetz. Dies ändert sich jedoch ebenfalls, wenn eine bestimmte Spannung überschritten wird, die nahe der Proportionalitätsgrenze liegt, der sogenannten Elastizitätsgrenze; dann setzt sich die Gesamtverformung aus einem elastischen (rückgängigen) und einem nichtelastischen (bleibenden) Anteil zusammen. Auch die Elastizitätsgrenze lässt sich nicht genau bestimmen; sie liegt umso tiefer, je größer die Messgenauigkeit ist. Da sie jedoch große technische Bedeutung hat, weil sie die Gültigkeitsgrenze bei fast allen Berechnungen der Festigkeitslehre darstellt und gleichzeitig die Grenze, an der die ersten bleibenden Schäden entstehen, wird sie für die Prüfung von Proben durch eine bestimmte Konvention scharf definiert, und so wird z. B. als Grenze 0.2% jene Spannung bezeichnet, bei der die bleibende Dehnung 0.2% erreicht.

Unmittelbar nach Überschreiten der Elastizitätsgrenze nimmt die Verformung sprunghaft zu und kann mit bloßem Auge beobachtet werden; bei nahezu konstanter Spannung verlängert sich der Stab fortlaufend. Diese Spannung wird als Streckgrenze bezeichnet. Bei hydraulischen Werkstoffprüfmaschinen kann außerdem nach Beginn des Fließens ein mehr oder weniger ausgeprägter Spannungsabfall festgestellt werden; wie in Abb. 8 durch die gestrichelte Kurve angedeutet; dann wird das Maximum als obere Streckgrenze bezeichnet, und die danach eintretende konstante Fließspannung als untere Streckgrenze.

Sobald eine bestimmte Dehnung erreicht ist, die fast vollständig unelastisch ist, beginnt die Spannung wieder anzusteigen, das Material verfestigt sich. In diesem Belastungsbereich tritt infolge der (unelastischen) Querkontraktion eine deutliche Verringerung des Querschnitts des Stabes auf, und der weitere Verlauf des Spannungs-Dehnungs-Diagramms hängt in erster Linie davon ab, ob bei der Berechnung der Spannung σ die Zugkraft P, die auf den Stab wirkt, durch den ursprünglichen Querschnitt F0 oder den aktuellen Querschnitt F geteilt wird. Für technische Zwecke ist die Spannung P|F0 interessant. Diese Spannung erreicht ein Maximum, das als Festigkeit des Materials bezeichnet wird, und nach Überschreiten dieses Maximums schnürt sich der Stab an einer Stelle stark ein und reißt. “Die tatsächliche Spannung” P|F steigt bis zum Bruch an.

Abbildung 8.

Das Verhalten anderer Metalle weicht in vieler Hinsicht von dem hier beschriebenen ab. Das Fließen ist oft nicht ausgeprägt, und die Verfestigung beginnt unmittelbar nach Überschreiten der Elastizitätsgrenze. Bei spröden Werkstoffen (Stein, Glas, Beton) sind die nichtelastischen Verformungen überhaupt gering, und bereits bei kleiner Dehnung kommt es zum Bruch. Die Gesamtdilatation, die ein Werkstoff bis zum Bruch erfährt, ist ein Maß für die Dehnbarkeit (Gegenteil: Sprödigkeit) des Werkstoffs, und sie ist für Stahl in den technischen Bedingungen genau vorgeschrieben. Da sich jedoch unmittelbar vor dem Bruch die weitere Verformung auf die benachbarten Stellen des verjüngten Querschnitts konzentriert, erhält man je nach dem, ob für die Messlänge ein größerer oder kleinerer Teil des Stabs zugrunde gelegt wird, unterschiedliche Werte der Bruchdehnung, sodass zur Erzielung eindeutiger und untereinander vergleichbarer Ergebnisse im Voraus eine bestimmte Konvention festgelegt werden muss. Die Bruchdehnung wird in der Regel so gemessen, dass an einem Rundstab mit dem Durchmesser d vor dem Versuch die Messlänge Ι = 10 d markiert und aus ihrer Verlängerung ΔΙ die Bruchdehnung εs_Ι = ΔΙ|Ι berechnet wird._ Wenn Stäbe mit anderem Querschnitt geprüft werden müssen, wird die Messlänge nach dem Durchmesser eines runden zylindrischen Stabs bestimmt, der dieselbe Querschnittsfläche hat.

Langzeitbeanspruchung

Für den Verlauf des Zugversuchs ist es ziemlich gleichgültig, ob die Belastung bis zum Bruch innerhalb von 10 m Minuten oder einigen Stunden gesteigert wird. Wenn die Belastung jedoch jahrelang oder jahrzehntelang wirkt, stellt man unter bestimmten Bedingungen fest, dass auch unterhalb der Streckgrenze die Verformung bei konstanter Spannung mit der Zeit langsam zunimmt. Dabei ändert sich der elastische Anteil, also der Teil, der bei vollständiger Entlastung verschwindet, nur unwesentlich. Diese Zunahme der nichtelastischen Verformung, die sich im Laufe längerer Zeit ergibt, nennt man Kriechen. Bei Metallen, außer bei Blei, ist Kriechen nur bei hohen Temperaturen von Bedeutung; für den Bauingenieur spielt es jedoch bei Beton eine Rolle, der unter Druck langsam nachgibt, so dass die Spannung in der gedrückten Bewehrung steigt, falls eine solche vorhanden ist.

Veränderliche Belastung

Damit die mechanischen Eigenschaften des Materials, die bei einem Zugversuch ermittelt wurden, als Maßstab für die zulässige Belastung von Konstruktionen verwendet werden können, muss das Material bei jeder erneuten Belastung die Spannung aufnehmen, die es einmal ohne Beschädigung ertragen hat. Diese Voraussetzung ist nicht erfüllt, wenn das Material häufigen Last- und Entlastungswechseln ausgesetzt ist, wie es z. B. bei Trägern der Fall ist, die durch Trägheitskräfte unvollständig ausgewuchteter Maschinen belastet werden. Durch ausreichend häufige Wiederholung der Belastung kann ein Bauteil auch bei einer Spannung versagen, die weit unter der durch eine gewöhnliche statische Prüfung bestimmten Festigkeit des Materials liegt. Das Auftreten eines solchen Versagens nennt man Versagen infolge Ermüdung. Die Zahl n der Belastungszyklen, die das Material ertragen kann, hängt von der Größe der Spannung σ ab und ist umso größer, je kleiner die Spannung ist. Ein typisches Beispiel für diesen Zusammenhang ist in Abb. 9 gezeigt, aus der hervorgeht, dass es für die Festigkeit des Materials eine untere Grenze gibt, die es auch bei beliebig großer Zahl von Belastungszyklen erträgt und die dynamische Festigkeit des Materials genannt wird. Diagramme dieser Art (Abb. 9) werden Wöhler-Kurven genannt.

Abbildung 9.

Sicherheit von Konstruktionen

Zwei Grenzbelastungen sind für Konstruktionen von Bedeutung: die Belastung, bei der die ersten bleibenden Schäden entstehen (Streckgrenze), und die Belastung, bei der die Tragfähigkeit der Konstruktion erschöpft ist und sie bricht (Bruchgrenze). Da bis zur Streckgrenze zumindest näherungsweise die Voraussetzungen der Festigkeitslehre gelten (kleine Verschiebungen, Hooke’sches Gesetz), kann die Sicherheit gegen bleibende Verformungen in allen Fällen zuverlässig beurteilt werden, in denen es gelingt, die mathematischen Schwierigkeiten zu überwinden. Ist die Spannung proportional zur Belastung, so ist das Verhältnis der Streckspannung zur größten in der Konstruktion auftretenden Spannung gleich dem Verhältnis zwischen der Belastung, bei der Streckung eintritt, und der tatsächlichen Belastung, und es stellt den Sicherheitsbeiwert gegen Streckung dar. In einer Reihe von Fällen besteht dieses einfache Verhältnis jedoch nicht: Biegung unter Ausschluss der Zugbeanspruchung, Druck zwischen gewölbten Flächen, Systeme mit veränderlicher Struktur und, was besonders ungünstig ist, Biegung mit Axialkraft. In all diesen Fällen kann eine verhältnismäßig geringe Erhöhung der Belastung zu einer großen Erhöhung der Spannung führen, und dann genügt es nicht, den üblichen Sicherheitsbeiwert auf die Spannungen anzuwenden, sondern er muss auf die Belastung angewendet werden.

Die Erscheinungen, die nach dem Überschreiten der Streckgrenze bis zum Bruch auftreten, lassen sich in den meisten Fällen nur noch qualitativ verfolgen. Ist das Material dehnbar, so beteiligen sich die Teile, in denen die Streckgrenze zuerst erreicht wird und die sich bei konstanter oder nur wenig ansteigender Spannung weiter verformen, nur wenig an der Aufnahme der weiteren Belastung, so dass die übrigen, schwächer beanspruchten Teile der Konstruktion, soweit es ihre Struktur zulässt, stärker zur Tragwirkung beitragen. In diesem Bestreben nach Ausgleich der Spannungsspitzen liegt eine gewisse Sicherheitsreserve, die rechnerisch ausgenutzt werden kann, wenn die bleibende Verformung einzelner Teile, die bei nur einer erheblichen Belastung entsteht, nicht schädlich ist (Grenzlastverfahren).

Ist das Material spröde, zeigt sich die erste bleibende Schädigung in Rissen, durch die es an der gefährdeten Stelle zu einer noch stärkeren Spannungskonzentration kommt, die sofort zum Bruch führt. Der Ermüdungsbruch hat auch bei dehnbaren Werkstoffen die Merkmale eines spröden Bruchs.

 Zusammenhänge zwischen den Spannungen für verschiedene Schnittebenen

Transformationsgleichungen

Die neun Komponenten-Spannungen in Abb. 1 sind durch drei Gleichgewichtsbedingungen verbunden. Die sechs übrigen Größen σx, σy, σz τxy, τyz, τzx können unabhängig voneinander beliebige Werte annehmen, wie sich aus der Herleitung der Differentialgleichungen der Elastizitätstheorie ergibt. Wenn diese Werte jedoch vorgegeben sind, ist der Spannungszustand in einem Punkt eines festen Körpers vollständig bestimmt, d. h. wenn die Spannungen für drei zueinander senkrechte Ebenen bekannt sind, kann eindeutig auch die Spannung für eine vierte Ebene bestimmt werden, die durch den gegebenen Punkt verläuft und deren Normale eine beliebige Richtung hat.

In Abb. 10 ist das Tetraeder OABC dargestellt, dessen drei Seiten parallel zu den Ebenen des Koordinatensystems x, y, z sind, während die vierte einen beliebig orientierten Flächenelement ABC = dF. darstellt. Um seine Richtung und die Richtung der über ihn übertragenen Spannung zu kennzeichnen, wird ein zweites Koordinatensystem eingeführt, dessen ξ-Achse senkrecht zu dF. steht.

Abb. 10

Die Bedingung des Gleichgewichts der Kräfte, die auf diesen Tetraeder in Richtung der ξ-Achse wirken, ergibt

Wenn man berücksichtigt, dass

ergibt sich

und ebenso aus dem Gleichgewichtsbedingung in Richtung der Achse η:

Dies sind Gleichungen zur Berechnung der Spannungen bei der Koordinatentransformation. Von besonderer Bedeutung ist, dass nur solche Flächenelemente dF betrachtet werden, für die die ξ-Achse mit der z-Achse zusammenfällt. Die Formeln für diesen Fall können durch Vereinfachung der vorhergehenden Formeln gewonnen oder unmittelbar aus Abb. 11 abgelesen werden:

Abbildung 11

Die Normalspannung nimmt Extremwerte für die Richtungen α = α0 an, für die dσξ/dα = 0. Durch Differenzieren erhält man aus Gleichung (16)

also, wenn dieser Ausdruck gleich null gesetzt wird

Die Spannung τξη ist zugleich die totale Schubspannung in diesen Ebenen, wenn τyz = τzx = 0. Dann sind durch die Gleichung (17) zwei zueinander senkrechte Richtungen bestimmt, für die: 1. die totale Schubspannung null ist und 2. die Normalspannung Extremwerte (Maximum und Minimum) annimmt. Diese Richtungen werden Hauptspannungsrichtungen genannt, die zugehörigen Spannungen Hauptspannungen. Sie werden mit σ1 und σ2 bezeichnet und können unmittelbar aus der Formel berechnet werden

 Mohr’scher Kreis

Die Gleichungen (16) können anschaulich grafisch dargestellt werden. Zu diesem Zweck müssen sie in die Form umgewandelt werden:

Diese Gleichungen stellen im Koordinatensystem σ, τ die parametrische Form der Kreisgleichung dar, eingezeichnet in Abb. 12, deren Mittelpunkt die Koordinaten σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 hat und deren Radius

Dieser Kreis wird Mohrscher Kreis genannt. Wenn durch den Punkt x eine Gerade parallel zum Schnitt x =const. gezogen wird, über den die Spannungen σx, τxy übertragen werden, schneidet sie den Kreis im Punkt p, der als Pol des Mohrschen Kreises bezeichnet wird. Jede Gerade pξ, die durch diesen Pol gezogen wird, schneidet den Kreis im Punkt ξ, der die Spannungen σξ, τξη bestimmt, die über den zur pξ parallelen Schnitt übertragen werden.

Hinsichtlich des Vorzeichens der Schubspannungen beim Zeichnen des Mohr’schen Kreises ist zu beachten, dass sie nach oben eingetragen werden, wenn sie die in Abb. 12c gezeigte Richtung haben. Demnach ist von den beiden konjugierten Spannungen τxy, τyx stets eine positiv und die andere negativ.

Den Grenzwerten der normalen Spannungen σ1, σ2 entsprechen die Punkte 1 und 2 auf dem Kreis, und die Geraden _p_1 und _p_2 geben die Richtungen der Hauptspannungen an.

Die Darstellung der in der x-y-Ebene liegenden Spannungen mit Hilfe des Mahr-Kreises ist an keine Annahme über die Spannungen σz, τxz, τyz gebunden, die senkrecht auf diese Ebene stehen.

Abbildung 12

Dies gilt folglich auch für den allgemeinsten dreidimensionalen Spannungszustand, wenn nur jene Schnittebenen miteinander verglichen werden, die alle durch dieselbe Gerade verlaufen, die hier als z- und ξ-Achse gewählt ist. Da gemäß den allgemeinen Transformationsgleichungen (15) die Normalspannung σ für keine Schnittebene unendlich werden kann, muss sie für eine Ebene ein endliches Maximum σ1 und für eine andere ein Minimum σ3 haben, die beide, versteht sich, auch negativ sein können. Wenn durch die Vektoren σ1 und σ3 eine Ebene gelegt und der Mohr’sche Kreis (Abb. 13) gezeichnet wird

Abbildung 13

für Spannungen, die in dieser Ebene liegen (d. h. alle Richtungen, die senkrecht auf diese Ebene stehen), sind dann σ1 und σ3 die größten und kleinsten auftretenden Normalspannungen und müssen daher zueinander senkrecht sein. Werden die Richtungen 1 und 3 durch die Richtung 2 ergänzt, so dass diese drei Richtungen ein rechtwinkliges Koordinatensystem bilden, und werden die Mohr’schen Kreise für die Ebenen 1 ~2 und 2 ~ 3 gezeichnet, dann ist σ2 für einen dieser Kreise die größte und für den anderen die kleinste Normalspannung, und folglich ist in den auf die Richtungen 1, 2 und 3 senkrechten Schnitten die Schubspannung gleich Null. Drei zueinander senkrechte Normalspannungen σ1, σ2 und σ3, denen keine Schubspannungen entsprechen, werden Hauptspannungen genannt.

    Streckgrenze und Bruchgrenze im räumlichen Spannungszustand

Der Spannungszustand wird als ein-, zwei- oder dreidimensional bezeichnet, anders: linear, eben oder räumlich, je nachdem, ob einer, zwei oder alle drei Hauptspannungen von Null verschieden sind. Bei konstruktiven Bauteilen, die am häufigsten verwendet werden, also bei dem auf Zug, Druck und Biegung beanspruchten Stab, ist der Spannungszustand, zumindest an den am stärksten beanspruchten Stellen, eindimensional; ebenso bei Zug-, Druck- oder Biegeversuchen, die bei der Werkstoffprüfung fast ausschließlich zur Ermittlung zulässiger Spannungen angewandt werden. Dagegen ist bei Platten, die in ihrer Ebene oder senkrecht dazu belastet werden, sowie bei Schalen der Spannungszustand zweidimensional; in bestimmten Fällen treten auch dreidimensionale Spannungszustände auf, sodass auf Grundlage der bei eindimensionalem Spannungszustand bestimmten Streck- und Bruchgrenze Rückschlüsse auf das Verhalten des Werkstoffs im Fall eines räumlichen Spannungszustands gezogen werden müssen.