Základy
Úkolem pevnosti materiálů je zjistit, jakým vnějším silám může odolávat pevné těleso (např. stavba, konstrukční díl nebo zemina). Aby bylo možné na tuto otázku odpovědět, vychází se ze dvou kritérií: na jedné straně napětí nesmějí překročit určité meze, které závisí na druhu materiálu, a na druhé straně rovnováha mezi vnějšími a vnitřními silami musí být stabilní. V souladu s tím lze všechny problémy pevnosti materiálů rozdělit na „problémy napětí“ a „problémy stability.“
U prutů a nosníků i u z nich sestavených nosných konstrukcí (příhradové konstrukce, rámy) se stanovování napětí provádí ve dvou krocích, a to tak, že se nejprve na základě zadaných vnějších sil vypočte výslednice vnitřních sil přenášených přes průřez, a poté se z těchto „průřezových sil“ určí napětí. První část postupu představuje zvláštní, rozsáhlou disciplínu, statiku stavebních konstrukcí, která má propracované vlastní metody a která se obvykle odděluje od nauky o pevnosti materiálů, jejímž úkolem se omezuje na určování napětí z daných průřezových sil.
Základní pojmy pevnosti materiálů
K definici napětí se dospívá prostřednictvím následujících základních úvah. Uvažujme, že na těleso působí vyrovnaná soustava vnějších sil. Představme si, že jsme těleso libovolným řezem rozdělili na dvě části a jednu z nich odstranili spolu se silami, které na ni působí; pak musí být její působení na druhou část, aby rovnováha sil a rozložení deformací zůstaly nezměněny, nahrazeno doplňkovými silami přenášenými přes plochu řezu. Tyto „vnitřní“ síly jsou spojitě rozloženy po ploše řezu, takže každému elementu plochy dF odpovídá síla dβ. Sestaví-li se podíl dβ dF a provede-li se limitní přechod dF -> 0, pak tento podíl směřuje k mezní hodnotě, která se nazývá napětí. Napětí v příslušném elementu plochy je, stejně jako dβ, a lze je rozložit na složku normální a tečnou k dF, normální napětí σ a smykové napětí τ.
Pokud se skrz tentýž bod vedou řezy v různých směrech, budou jim odpovídat i různé napětí. Zejména pokud se z tělesa vyjme elementární kvádr, znázorněný na obr. 1, bude na každé z jeho šesti ploch působit napěťový vektor, který lze rozložit na tři složky ve směru souřadnicových os x, y, z. Napětí působící na protilehlé strany plochy se navzájem liší, samozřejmě pouze o diferenciál, takže je třeba rozlišovat 3 * 3 = 9 složkových napětí, která se označují následujícím způsobem:
Normálním napětím σ se přiřazuje index osy, v jejímž směru působí, a považují se za kladná, pokud vyvolávají tah, za záporná, pokud vyvolávají tlak. Smyková napětí τ mají dva indexy; první z nich je stejný jako index příslušného normálního napětí a druhý se vztahuje k ose, ve směru které smykové napětí působí. Je-li kladný směr příslušného normálního napětí ve směru kladné (záporné) souřadnicové osy, považuje se smykové napětí za kladné, působí-li ve směru kladné (záporné) souřadnicové osy.
Obr. 1.
Konjugovanost smykových napětí
Pokud se pro elementární kvádr, obr. 1, stanoví podmínka, že moment všech sil vzhledem k ose x je nulový, dostává se τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. Odtud a z dalších dvou odpovídajících rovnic pro osy y a z plyne, že smyková napětí se stejnými indexy jsou navzájem stejná τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponentální deformace
Z toho, že výše definovaná napětí mají fyzikální smysl, vyplývá jejich vztah k definici, kterou podléhá každé těleso působením vnějších sil. Obr. 2 znázorňuje jeden elementární kvádr, který byl před deformací pravoúhlý a měl délky hran dx, dy, dz. Délky hran po deformaci můžeme označit jako dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; podíly εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz se nazývají prodloužení. Jde o bezrozměrné veličiny a u všech materiálů, které přicházejí v úvahu ve stavebnictví, jsou malé ve srovnání s 1. Kromě prodloužení hran může elementární kvádr dx * dy * dz utrpět také změnu původně pravých úhlů mezi svými stranami.
Obrázek 2. složková deformace
Nechť je po deformaci úhel mezi rovinami, které se stýkají podél hrany OC, roven 
a obdobně nechť je zmenšení pravého úhlu podél hrany AO rovno γyz a zmenšení podél hrany OB rovno γzx. Tyto tři změny úhlů γxy, γyz, γzx se nazývají kluzání a jsou také vždy malé vzhledem k 1. Šesti složkami ε a γ je deformace elementárního kvádru „deformace v malém“ zcela určena. Změna objemového elementu d_V = dx * dy * dz_ je ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, odkud po zanedbání součinů dilatací jako malých veličin vyššího řádu dostáváme kubickou dilataci ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Posuny
Deformaci pevného tělesa lze zcela popsat i tím způsobem, že se pro každý z jeho bodů uvede posunutí, které tento bod prodělal. Vyloučí-li se z úvahy posunutí konečné velikosti odpovídající pohybu tuhého tělesa, a to tak, že se podle potřeby ve výpočtu zavede pohyblivá souřadnicová soustava, jsou i složkové posuny μ, ν, ω vždy malé a jejich derivace podle souřadnic jsou malé vzhledem k 1. Za tohoto předpokladu je podle obr. 3 délka liniového elementu OA = dx po deformaci
tedy 
(3)
Stejným způsobem je z obr. 3 patrné, že smyk je γxy γ1 + γ2: a také
(4)
Obr. 3 smyk
(5) 
(6)
Tato spojení se nazývají podmínky kompatibility a vyjadřují, že deformované prvky lze sestavit jako mozaiku tak, aby přitom prostor byl spojitě vyplněn, čehož nelze dosáhnout, jsou-li deformace prvků libovolné. Podmínky kompatibility jsou diferenciální rovnice, a proto jsou, přirozeně, všech šest složkových deformací pro každý jednotlivý kvádr vzájemně nezávislých, avšak jejich rozvržení v každé konečně rozšířené oblasti je vázáno podmínkami (5) a (6).
Protože byly tyto podmínky získány diferenciací z rovnic (3) a (4), při jejich odvozování se ztrácí část vazeb obsažených v původních rovnicích. Proto nestačí, aby byl splněn pouze jeden z těchto dvou systémů rovnic; je nutné splnit oba systémy rovnic, má-li být zajištěna slučitelnost deformace.
Diferenciální rovnice soustavy pružnosti
Pro výpočet napětí a deformací u pružných těles slouží následující rovnice:
Podmínky rovnováhy objemového elementu. Podmínky, že momenty kolem tří os jsou rovny nule, byly již využity při odvození rovnice (1). Podmínky rovnováhy sil dávají podle obr. 4
Obrázek 4
(7a-c)
Označí-li se X, Y, Z složky objemových sil (např. tíha, odstředivá síla) na jednotku objemu. Vztahy mezi napětími a deformacemi. Pod tím se rozumí vztah mezi složkovými napětími a složkovými deformacemi. V teorii pružnosti přichází zpravidla v úvahu pouze lineární vztah, který se vyjadřuje Hookeovým zákonem:
(8a-c)
(8d-f)
Vyřeší-li se rovnice (8a-c) vzhledem k napětím, dostane se
(8 a)
kso a dvě odpovídající rovnice. Hookeův zákon vyjádřený rovnicí (8) nepředstavuje nějaký přísně platný přírodní zákon, nýbrž idealizaci skutečného chování, které se od něj více či méně odchyluje v závislosti na materiálu a velikosti namáhání. Vzhledem k tomu, že matematické zpracování úlohy pevnosti materiálů se složitými, nelineárními vztahy mezi napětím a deformací působí nesrovnatelně větší obtíže a lze je ve skutečnosti provést jen v nejjednodušších případech, musí se i u těch materiálů (beton!), jejichž chování se od Hookeova zákona podstatně odchyluje, používat výpočty založené na něm jako první, a převážně i jediný přibližný výsledek, který je ostatně zpravidla velmi použitelný a poskytuje pohled, jenž je více než jen kvalitativní. G = E|2 (1+μ).
Nutně vyplývá ze vztahu mezi napětím a deformací (8), z transformačních rovnic (16) pro napětí a z odpovídající soustavy rovnic pro složkové deformace E a G mají rozměr napětí a u všech stavebních materiálů jsou ve srovnání s napětími σ a τ, která se mohou vyskytnout, velké. Na této skutečnosti je založeno všude v teorii pružnosti přijaté předpoklad, že deformace jsou malé. Součinitel příčné kontrakce (Poissonovo číslo) μ je bezrozměrný a leží vždy mezi 0 a 1/2 .
Vztahy mezi komponentními deformacemi a posuvy. Tyto vztahy jsou dány rovnicemi (3), (4). Mají čistě geometrickou povahu. Tyto tři soustavy dávají 3+6+6=15 rovnic pro 15 neznámých, tj. pro 6 komponentních napětí, 6 komponentních deformací a 3 komponentních posuvů. Jsou tedy dostatečné pro určení těchto neznámých. Matematické zvládnutí tak rozsáhlé soustavy diferenciálních rovnic je samozřejmě možné jen ve zvláštních případech. Jestliže se v rovnici (8) komponentní deformace nahradí komponentními posuvy podle rovnic (3) a (4) a poté se normálová napětí σ a smyková napětí τ podle rovnic (8 d - f) vloží do podmínek rovnováhy, rovn. (7), získají se diferenciální rovnice, které se nazývají základní rovnice teorie pružnosti.
(9)
přičemž je 
označen Laplaceův operátor. S ohledem na (2) jsou to tři diferenciální rovnice se třemi komponentními posuny μ, ν, ω; z nich lze pak diferenciováním na základě (3), (4) a (8) získat všechna komponentní napětí a přetvoření. Rovnice (9) představují často vhodný výchozí bod pro studium zvláštních případů.
Deformační práce
Definice
Když se nosník zatíží, body působení vnějších sil podléhají elastickým posunům a síly při tom vykonávají určitou práci. Tímto způsobem přivedená energie může přecházet do různých forem. Pokud je zatížení na nosník náhlé, takže proces deformace probíhá značnou rychlostí, mění se část této energie v kinetickou energii, která se postupně rozptyluje, a to buď tak, že se přenese do podloží jako elastická vlna, jež v nekonečnu zaniká, nebo se vnitřním třením přemění na teplo. Jestliže jsou zatížení přiváděna tak pozvolna, že při tom nevzniká patrný přírůstek kinetické energie, tedy jestliže se postupně rostoucí zatížení od nuly nachází v trvalé rovnováze s vnitřními silami, energie se zjevně spotřebovává výhradně na deformaci tělesa a tehdy se nazývá deformační práce.
Výpočet deformační práce ukážeme nejprve na části namáhané tahem v jednom směru (obr. 5).
Nechť stávající napětí σ a odpovídající poměrné prodloužení ε utrpí přírůstky dσ a dε. Pak síla σdF na dráze dε * dl vykoná práci σdF * dεdl = σdεdV, označí-li se dV jako objem elementární části. Jestliže napětí roste od nuly do své konečné hodnoty a poměrné prodloužení tomu odpovídá od 0 do ε, bude celkově vykonaná práce na jednotku objemu činit:
Podobně je tomu i u prvku zatíženého smykovým napětím τ (obr. 6) deformační práce na jednotku objemu (specifická deformační práce, elastický potenciál):
přičemž práci vykonává pouze jedna ze čtyř sil τ * dF.
V obecném případě, když na elementární díl působí všech šest složek napětí, získá se specifická deformační práce sečtením prací jednotlivých složek napětí:
(10)
Diferencováním podle horní meze každého z těchto integrálů se získají vztahy platné v nejobecnějším případě:
(11)
a obdobně i pro ostatní složkové deformace. Je-li těleso pružné, každému danému stavu napětí odpovídá vždy stejný stav deformace, bez ohledu na to, zda bylo stavu dosaženo při zatěžování nebo odlehčování. Pak jsou pod integrály jednoznačné funkce a celková energie vynaložená při zatěžování a poté při úplném odlehčení je a = 0, neboť v tomto případě se horní meze integrálů stávají nulou. Celková energie dodaná tělesu při zatěžování se tedy při odlehčení vrací.
Obrázek 6
Obrázek 7
U neúplně elastického tělesa má vztah mezi napětím a deformací pro celý cyklus zatěžování a odlehčování tvar přibližně znázorněný na obr. 7 přímkami O A B. Energie 
přivedená při zatížení se rovná ploše OAA, a energie vrácená při odlehčování ploše ABA, takže se ztrácí (mění v teplo) práce odpovídající vyšrafované ploše. Pokud se v oscilačním procesu napětí periodicky mění mezi kladnou mezní hodnotou 
a zápornou mezní hodnotou, 
probíhá neelastická deformace podobně, jak je znázorněno přerušovanými čarami na obr. 7, a při každé periodě oscilace se na jednotku objemu mění v teplo energie DABCD. Takové chování při deformaci, při němž deformace zaostává za napětím, se nazývá elastická hystereze, a křivka DABCD hysterezní smyčka.
Deformační práce a Hookeův zákon
Pokud se do integrálů v rovnici (10) dosadí Hookeův zákon, lze provést integraci, a pro specifickou deformační práci dostaneme výrazy:
(12a)
(12b)
(12c)
Pokud se druhý z těchto tvarů dosadí do rovnice (11), získá se opět Hookeův zákon, rovnice (8), ve tvaru řešeném podle napětí. Tvrzení, že deformační práce závisí na složkách deformace, jak je ukázáno rovnicí (12b), je tedy ekvivalentní Hookeovu zákonu. Když se rovnice (12c) zderivuje podle napětí, dostává se
(13)
Tyto vztahy, na rozdíl od vztahů (11), platí pouze pro tělesa, která se chovají podle Hookeova zákona, a nelze je použít, když jsou vztahy mezi napětími a deformacemi jiné. Je samozřejmé, že na pravé straně rovnic (13) jsou pouze složkové deformace vyvolané napětími, a vylučují se všechny ostatní, které mohly případně vzniknout v důsledku změny teploty, tečení, bobtnání, rekristalizace atd.
INTEGRAČNÍ POSTUPY V TEORII PRUŽNOSTI
Virtuální posuny. Princip minima potenciální energie
Tak jako lze Hookeův zákon, rovnice (8), nahradit jednou rovnicí (12b), lze i místo podmínek rovnováhy zavést princip virtuálních posunů jako obecně platný základní zákon mechaniky. Tento zákon říká, že rovnovážné stavy se vyznačují tím, že celková práce všech sil při malé změně stavu deformace je rovna nule. Označíme-li malé změny elastických posunů δμ δν, δω, pak objemové síly definované rovnicí (7) vykonávají virtuální práci
a plošné síly px, py, pz působící na element dF vnějšího povrchu tělesa práce 
přičemž trojitý integrál se vztahuje na celý objem a dvojitý na celý vnější povrch tělesa. Pro výpočet práce vykonané vnitřními silami se používá rovnice (12b), a pro práci na jednotku objemu se získá
Princip virtuálních posunutí na tom základě dává
(14)
Jestliže se zatížení X, Y, Z px, py., pz chápou jako složky tíhy (vlastní tíha a vnější zatížení), pak integrály na pravé straně představují potenciální energii, kterou tato zatížení ztratila, zatímco levá strana představuje přírůstek potenciální (pružné) energie tělesa, takže tento princip vyjadřuje, že celková potenciální energie nosiče a zatížení, která na něm leží, má v případě rovnováhy extrémní hodnotu. Je-li tato extrémní hodnota minimum, je rovnováha stabilní.
Princip minimální potenciální energie vyjádřený rovnicí (14), výraz (12b) pro deformační práci a podmínky slučitelnosti přetvoření (5), (6) představují soustavu rovnic, která je dostatečná pro vybudování teorie pružnosti a která je v podstatě ekvivalentní soustavě rovnic. Tato soustava může být zvláště užitečná v případech, kdy splnění diferenciálních rovnic (9) představuje výpočetní obtíže, a proto je nutno hledat přibližné řešení, např. pro posuny se předem předpokládá vhodný tvar obsahující několik volných konstant, a ty se pak určují z požadavku, aby byla rovnice (14) splněna. Tím se ovšem nezíská přesné řešení problému, nýbrž jen nejlepší aproximace, které lze svoleným tvarem řešení dosáhnout. Zda je přiblížení dostatečné, závisí především na zvoleném tvaru řešení, a úspěšné použití této metody proto vyžaduje zručnost a zkušenost.
Castiglianův princip
Zatímco u principu minima potenciální energie se porovnávají všechny stavy deformace, které splňují podmínky kompatibility deformací, a z nich se vybírají ty, pro něž odpovídající napětí splňují podmínky rovnováhy, u Castiglianova principu se porovnávají všechny stavy napětí, které splňují podmínky rovnováhy, a z nich se vybírají ty, pro něž odpovídající deformace splňují podmínky kompatibility deformací. Tento princip zní: ze všech možných rovnovážných stavů nastává skutečně ten, kterému odpovídá nejmenší deformační práce. Castiglianův princip spolu s rovnicí (12c) pro deformační práci a podmínkami rovnováhy tvoří soustavu rovnic, která je dostačující pro konstrukci odolnosti materiálů. Vzhledem k tomu, že tento princip obsahuje Hookeův zákon, je možnost jeho použití spojena s předpokladem, že deformace lze tímto zákonem zcela popsat. To vyžaduje nejen lineárně elastické chování materiálu, ale také vylučuje změny teploty.
Chování materiálu nad mezemi pružnosti
Jevy při statickém zatížení
Deformace materiálu vlivem napětí je velmi složitý jev, a proto je třeba jej v různých směrech zjednodušit, aby byl pochopitelný. Jedním z těchto zjednodušení je předpoklad, že zatížení se zavádějí postupně, jak se to např. dělá se vzorky při zkoušce v tahu a tlaku.
Je-li ocelová tyč namáhaná tahem vystavena zatížení, které postupně roste, a měří-li se její dilatace ε, získá se diagram znázorněný na obr. 8. Zpočátku je dilatace velmi malá a úměrná napětí, jak to vyžaduje Hookeův zákon. Od určitého napětí přestává být úměrnost zachována a dilatace roste rychleji. Přesnou polohu hranice této úměrnosti lze jen těžko určit. Čím přesnější je měření, tím níže se určí. Pro většinu materiálů leží při σ = 0, a Hookeův zákon pak představuje pouze první přiblížení elastického chování, první člen rozvoje funkce ε = ε (σ) v okolí počátku souřadnic.
Když se tyč odlehčí, zjistí se, že při nepříliš velkém napětí mizí i deformace, v souladu s Hookeovým zákonem. Ale i to se mění, překročí-li se určité napětí ležící blízko meze úměrnosti, tzv. meze pružnosti; tehdy se celková deformace skládá z pružné (vratné) a nepružné (trvalé) části. Ani mez pružnosti nelze přesně určit, nachází se tím níže, čím je přesnost měření vyšší. Avšak protože má velký technický význam, neboť představuje mez důležitosti téměř ve všech výpočtech pevnosti materiálů a současně i mez, při níž vznikají první trvalá poškození, je pro zkoušení vzorků přesně vymezována nějakou přijatou konvencí, takže se např. jako mez 0.2% označuje takové napětí, při němž trvalé prodloužení dosahuje 0.2%.
Bezprostředně po překročení meze pružnosti deformace prudce roste a lze ji pozorovat pouhým okem; při téměř konstantním napětí se tyč neustále prodlužuje. Toto napětí se nazývá mez kluzu. U hydraulických zkušebních strojů materiálů lze kromě toho po začátku kluzu pozorovat více či méně výrazný pokles napětí; jak je naznačeno na obr. 8 přerušovanou křivkou; pak se maximum nazývá horní mez kluzu a konstantní kluzné napětí, které poté nastává, dolní mez kluzu.
Po dosažení určité dilatace, která je téměř zcela neelastická, začne napětí znovu růst, materiál se zpevňuje. V této oblasti zatížení dochází k patrnému zmenšení průřezu tyče v důsledku (neelastické) boční kontrakce a další průběh diagramu napětí a přetvoření závisí především na tom, zda se při výpočtu napětí σ dělí tahová síla P působící na tyč původním průřezem F0 nebo okamžitým průřezem F. Pro technické účely je zajímavé napětí P|F0 . Toto napětí prochází maximem, které se nazývá pevnost materiálu, a když je toto maximum překročeno, tyč se na jednom místě silně zúží a přetrhne. “Skutečné napětí” P|F roste až do porušení.
Obrázek 8.
Chování ostatních kovů se v mnohém liší od zde popsaného. Tečení často není výrazné a zpevnění začíná bezprostředně po překročení meze pružnosti. U křehkých materiálů (kámen, sklo, beton) jsou neelastické deformace vůbec malé a už při malém prodloužení dochází k porušení. Celkové prodloužení, které materiál podstoupí do porušení, je mírou tažnosti (opak: křehkosti) materiálu a u oceli je přesně předepsáno v technických podmínkách. Protože se však bezprostředně před porušením další deformace soustřeďuje na okolní místa zúženého průřezu, získává se různá hodnota prodloužení při porušení podle toho, zda se jako měrná délka vezme větší nebo menší část tyče, takže pro získání jednoznačných a vzájemně srovnatelných výsledků je třeba předem přijmout určitou konvenci. Prodloužení při porušení se zpravidla měří tak, že se na kulaté tyči o průměru d před zkouškou označí měrná délka Ι = 10 d a z jejího prodloužení ΔΙ se vypočte prodloužení při porušení εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Je-li třeba zkoušet tyče jiného průřezu, určuje se měrná délka podle průměru kruhové válcové tyče, která má stejnou plochu příčného průřezu.
Dlouhodobé zatížení
Pro průběh tahové zkoušky je celkem jedno, zda se zatížení až do porušení zvětšuje během 10 m minut nebo několika hodin. Jestliže však zatížení působí roky nebo desítky let, za určitých podmínek se pozoruje, že i pod mezí kluzu deformace při konstantním napětí v čase pomalu roste. Přitom se pružná část, tj. ta část, která při konečném odlehčení zmizí, podstatně nemění. Tento nárůst neelastické deformace, ke kterému dochází po delší dobu, se nazývá tečení. U kovů, kromě olova, má tečení význam jen při vysokých teplotách, pro stavebního inženýra však hraje roli u betonu, který pod tlakem mírně povoluje, takže napětí roste v tlačené výztuži, pokud tato existuje.
Proměnné zatížení
Aby bylo možné mechanické vlastnosti materiálu získané při zkoušce v tahu použít jako měřítko dovoleného zatížení konstrukcí, je podmínkou, aby materiál při každém opětovném zatížení snesl napětí, které jednou bez poškození snesl. Tato podmínka není splněna, je-li materiál vystaven častému opakování zatížení a odlehčení, jako je to např. případ nosníků zatížených setrvačnými silami ne zcela vyvážených strojů. Dostatečně častým opakováním zatížení lze konstrukční prvek dovést k porušení i při napětí, které leží daleko pod pevností materiálu stanovenou běžnou statickou zkouškou. Tento druh porušení se nazývá porušení z únavy. Počet n cyklů zatížení, které materiál snese, závisí na velikosti napětí σ, takže je tím větší, čím menší je napětí. Typický příklad této závislosti je znázorněn na obr. 9, z něhož je patrno, že pro pevnost materiálu existuje dolní hranice, kterou snáší i při libovolně velkém počtu cyklů zatížení a která se nazývá dynamická pevnost materiálu. Diagramy tohoto druhu (obr. 9) se nazývají Wöhlerovy křivky.
Obr. 9.
Bezpečnost konstrukcí
Pro konstrukce jsou významná dvě mezní zatížení: zatížení, při němž vznikají první trvalá poškození (mez kluzu), a zatížení, při němž je nosnost konstrukce vyčerpána, takže se zlomí (mez porušení). Protože před mezí kluzu přibližně platí předpoklady mechaniky materiálů (malá přemístění, Hookeův zákon), lze bezpečnost proti trvalým deformacím spolehlivě odhadnout ve všech těch případech, v nichž se podaří překonat matematické obtíže. Je-li napětí úměrné zatížení, pak poměr napětí kluzu k největšímu napětí, které se v konstrukci vyskytuje, se rovná poměru mezi zatížením, při němž nastává kluz, a skutečným zatížením a představuje součinitel bezpečnosti proti kluzu. V řadě případů však tento jednoduchý vztah neexistuje: ohyb při vyloučení tahu, tlak mezi vypouklými plochami, systémy s proměnnou strukturou a, co je zvlášť nepříznivé, ohyb s osovou silou. Ve všech těchto případech může poměrně malé zvětšení zatížení vést k velkému zvětšení napětí, a pak nestačí použít obvyklý bezpečnostní součinitel na napětí, ale musí se použít na zatížení.
Jevy, které se objevují po překročení meze kluzu až do porušení, lze ve většině případů sledovat už jen kvalitativně. Je-li materiál tažný, části, v nichž byla mez kluzu dosažena jako první a které se dále deformují při konstantním napětí nebo při napětí, které nepatrně roste, se na přenášení dalšího zatížení podílejí jen málo, takže ostatní, méně namáhané části konstrukce, je-li to vzhledem k její struktuře možné, se na přenášení zatížení podílejí více. V této snaze o vyrovnání špiček napětí spočívá určitá bezpečnostní rezerva, kterou lze výpočtově využít, jestliže trvalá deformace některých částí vzniklá při jediném značném zatížení není škodlivá (metoda mezního zatížení).
Je-li materiál křehký, první trvalé poškození se projevuje trhlinami, v jejichž důsledku dochází na ohroženém místě k ještě silnější koncentraci napětí, která okamžitě vyvolá lom. Lom z únavy má i u tažných materiálů charakteristiky křehkého lomu.
Vztahy mezi napětími pro různé průřezové roviny
Rovnice transformace
Devět složkových napětí na obr. 1 je vázáno třemi podmínkami rovnováhy. Šest zbývajících veličin σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx může nezávisle na sobě nabývat libovolných hodnot, jak vyplývá z odvození diferenciálních rovnic teorie pružnosti. Když jsou však tyto hodnoty zadány, je napjatost v bodě tuhého tělesa zcela určena, tj. jsou-li známa napětí pro tři navzájem kolmé roviny, lze jednoznačně určit i napětí pro nějakou čtvrtou rovinu procházející daným bodem a jejíž normála má libovolný směr.
Na obr. 10 je znázorněn tetraedr OABC, jehož tři stěny jsou rovnoběžné s rovinami souřadného systému x, y, z a čtvrtá představuje libovolně orientovaný plošný element ABC = dF. Aby bylo možné označit jeho směr a směr napětí, které se přes něj přenáší, zavádí se druhá souřadná soustava, jejíž osa ξ je kolmá na dF.
Obrázek 10
Podmínka rovnováhy sil působících na tento tetraedr ve směru osy ξ dává
Pokud vezmeme v úvahu, že
získává se
a obdobně z podmínek rovnováhy ve směru osy η:
Toto jsou rovnice, které slouží k výpočtu napětí při transformaci souřadnic. Zvláštní význam má uvažovat pouze takové plošné elementy dF, pro něž se osa ξ shoduje s osou z. Vzorce pro tento případ můžeme získat zjednodušením předchozích vzorců nebo je přímo přečíst z obr. 11:
Obr. 11
Normálové napětí nabývá extrémních hodnot pro směry α = α0 , pro které platí dσξ/dα = 0. Diferencováním se z rovnice (16) získá
a tedy, když se tento výraz položí roven nule
Napětí τξη bude zároveň celkové smykové napětí v těchto rovinách, jestliže τyz = τzx = 0. Pak jsou rovnicí (17) určeny dva navzájem kolmé směry, pro které: 1. celkové smykové napětí je nulové a, 2. normální napětí má krajní hodnoty (maximum a minimum). Tyto směry se nazývají směry hlavních napětí a odpovídající napětí hlavní napětí. Označují se symbolem σ1 a σ2 a lze je vypočítat přímo ze vzorce
Mohrův kruh
Rovnice (16) lze názorně graficky znázornit. K tomuto účelu je třeba je převést do tvaru:
Tyto rovnice představují v souřadnicové soustavě σ, τ parametrický tvar rovnice kruhu, zakresleného na obr. 12, jehož souřadnice středu jsou σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 a jehož poloměr
Tento kruh se nazývá Mohrův kruh. Když se přes bod x vede přímka rovnoběžná s úsečkou x = const., přes niž se přenášejí napětí σx, τxy, protne kruh v bodě p, který se nazývá pól Mohrůvho kruhu. Každá přímka pξ vedená tímto pólem protíná kruh v bodě ξ, který určuje napětí σξ, τξη, jež se přenášejí přes průřez rovnoběžný s pξ.
Pokud jde o znaménko smykových napětí při kreslení Mohr-ova kruhu, je třeba pamatovat na to, že se nanášejí nahoru, mají-li směr uvedený na obr. 12c. Z toho plyne, že ze dvou konjugovaných napětí τxy, τyx je jedno vždy kladné a druhé záporné.
Mezním hodnotám σ1, σ2 normálních napětí odpovídají body 1 a 2 na kružnici a přímky _p_1 a _p_2 udávají směry hlavních napětí.
Zobrazení napětí ležících v rovině x-y pomocí Mahr-ova kruhu není vázáno na žádný předpoklad o napětích σz, τxz, τyz kolmých na tuto rovinu.
Obrázek 12
Totéž tedy platí i pro nejobecnější trojrozměrný stav napětí, pokud se porovnávají pouze ty průřezné roviny, které všechny procházejí touž přímkou, jež je zde zvolena jako osa z a ξ. Poněvadž podle obecných transformačních rovnic (15) nemůže normální napětí σ pro žádnou průřeznou rovinu nabýt nekonečné hodnoty, musí mít pro jednu rovinu konečné maximum σ1 a pro jinou minimum σ3, přičemž obě mohou být, jak rozuměno, i záporné. Vezme-li se rovina procházející vektory σ1 a σ3 a sestrojí-li se Mohrova kružnice (obr. 13)
Obrázek 13
pro napětí ležící v této rovině (tj. všechny směry kolmé na tuto rovinu), pak jsou σ1 a σ3 největší a nejmenší normální napětí, která se mohou vyskytnout, a proto musí být navzájem kolmá. Pokud se směry 1 a 3 doplní směrem 2, tak aby tyto tři směry tvořily pravoúhlou souřadnou soustavu, a pokud se sestrojí Mahrovy kružnice pro roviny 1 ~2 a 2 ~ 3, pak je σ2 pro jednu z těchto kružnic největší a pro druhou nejmenší normální napětí, a proto je v řezech kolmých na směry 1, 2 a 3 smykové napětí rovno nule. Tři navzájem kolmá normální napětí σ1, σ2 a σ3, jimž neodpovídají smyková napětí, se nazývají hlavní napětí.
Mez kluzu a mez porušení při prostorovém napjatém stavu
Stav napětí se nazývá jedno-, dvou- nebo trojrozměrný, jinak: lineární, rovinný nebo prostorový, podle toho, zda jsou jedno, dvě nebo všechna tři hlavní napětí různá od nuly. U konstrukčních prvků, které se nejčastěji používají, tj. u tažené, tlačené a ohýbané tyče, je stav napětí alespoň v nejvíce namáhaných místech jednorozměrný, a stejně tak i při zkouškách tahem, tlakem nebo ohybem, které se při zkoušení materiálů téměř výhradně používají k určování dovolených napětí. Naopak u desek zatížených v jejich rovině nebo kolmo na ni, jakož i u skořepin, je stav napětí dvojrozměrný, a v některých případech se objevují i trojrozměrné stavy napětí, takže je třeba na základě meze kluzu a porušení, stanovené při jednorozměrném stavu napětí, vyvodit závěry o chování materiálu v případě prostorového stavu napětí.