Bazat
Detyra e rezistencës së materialeve është të përcaktojë se cilat forca të jashtme mund të përballojë një trup i ngurtë (p.sh., ndërtim, pjesë konstruktive ose tokë). Për t’iu përgjigjur kësaj pyetjeje, nisemi nga dy kritere: nga njëra anë, sforcimet nuk duhet të tejkalojnë kufij të caktuar që varen nga lloji i materialit, ndërsa nga ana tjetër ekuilibri ndërmjet forcave të jashtme dhe të brendshme duhet të jetë i qëndrueshëm. Në përputhje me këtë, të gjitha problemet e rezistencës së materialeve mund të ndahen në “Probleme të sforcimeve” dhe “probleme të qëndrueshmërisë.”
Te shufrat dhe trarët dhe te mbajtëset e përbëra prej tyre (trarë rrjetë, korniza) përcaktimi i tensioneve kryhet në dy hapa, dhe atë në atë mënyrë që së pari, mbi bazën e forcave të jashtme të dhëna, llogaritet rezultantja e forcave të brendshme që transmetohen nëpërmjet prerjes tërthore, e pastaj nga këto “forca prerëse” përcaktohen tensionet. Pjesa e parë e procedurës përbën një disiplinë të veçantë, të gjerë, statikën e konstruksioneve ndërtimore, e cila ka metoda të veta të zhvilluara dhe zakonisht ndahet nga rezistenca e materialeve, detyra e së cilës kufizohet në përcaktimin e tensioneve nga forcat e dhëna prerëse.
Konceptet themelore të rezistencës së materialeve
Te përkufizimi i tensionit arrihet përmes shqyrtimeve themelore në vijim. Le të veprojë mbi trupin një sistem i ekuilibruar forcash të jashtme. Ta imagjinojmë se trupin e kemi ndarë me një prerje të çfarëdoshme në dy pjesë dhe se njërën prej tyre e kemi hequr bashkë me forcat që veprojnë mbi të; atëherë veprimi i saj mbi pjesën tjetër, që ekuilibri i forcave dhe shpërndarja e deformimeve të mbeten të pandryshuara, duhet të zëvendësohet me forca plotësuese që transmetohen nëpër sipërfaqen e prerjes. Këto forca “të brendshme” janë të shpërndara vazhdimisht në sipërfaqen e prerjes, kështu që çdo elementi të sipërfaqes dF i përgjigjet forca dβ. Nëse formohet raporti dβ/dF dhe bëhet kalimi kufitar dF -> 0, atëherë ky raport priret drejt vlerës kufitare që quhet tension. Tensioni në një element të caktuar të sipërfaqes është, si dβ, dhe mund të zbërthehet në përbërësin normal dhe tangjencial ndaj dF, tensionin normal σ dhe tensionin prerës τ.
Nëse nëpër të njëjtën pikë kalojnë prerje në drejtime të ndryshme, atyre do t’u përgjigjen edhe tensione të ndryshme. Veçanërisht, nëse nga trupi veçohet një kub elementar, i paraqitur në fig. 1, në secilën nga gjashtë faqet e tij do të veprojë një vektor tensioni që mund të zbërthehet në tri komponentë në drejtimin e boshtit koordinativ x, y z. Tensionet që veprojnë në faqet përballë dallojnë ndërmjet tyre, natyrisht, vetëm për një diferencial, prandaj duhet dalluar 3 * 3 = 9 tensione komponentale, të cilat shënohen në mënyrën vijuese:
Tensioneve normale σ u jepet indeksi i boshtit në drejtimin e të cilit ato shtrihen dhe konsiderohen pozitive nëse shkaktojnë tërheqje, negative nëse shkaktojnë shtypje. Tensionet prerëse τ marrin dy indekse, i pari prej tyre është i njëjtë me indeksin e tensionit përkatës normal, ndërsa i dyti i referohet boshtit në drejtimin e të cilit vepron tensioni prerës. Nëse drejtimi pozitiv i tensionit përkatës normal është në drejtimin e boshtit koordinativ pozitiv (negativ), edhe tensioni prerës konsiderohet pozitiv nëse vepron në drejtimin e boshtit koordinativ pozitiv (negativ).
Figura 1.
Konjugimi i tensioneve prerëse
Nëse për kuboidin elementar, fig. 1, vendoset kushti që momenti i të gjitha forcave ndaj boshtit x të jetë zero, merret τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Prej këtej, dhe nga dy ekuacionet përkatëse për boshtet y dhe z, del se tensionet prerëse me indekse të njëjta janë të barabarta me njëra-tjetrën τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Deformimet komponentale
Që sforcimet e përcaktuara më sipër të kenë kuptim fizik, del nga lidhja e tyre me deformimin që pëson çdo trup nën ndikimin e forcave të jashtme. Fig. 2 paraqet një paralelepiped elementar, i cili para deformimit ishte drejtkëndor dhe kishte gjatësitë e brinjëve dx, dy, dz. Gjatësitë e brinjëve pas deformimit mund t’i shënojmë me dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; koeficientët εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz quhen dilatime. Këto janë madhësi pa dimension dhe, për të gjitha materialet që merren në konsideratë në ndërtimtari, janë të vogla sipas 1. Përveç zgjatjes së brinjëve, paralelepipedi elementar dx * dy * dz mund të pësojë edhe ndryshimin e këndeve fillimisht të drejta midis faqeve të tij.
Fig. 2. deformimi komponental
Le të jetë, pas deformimit, këndi ndërmjet rrafsheve që takohen përgjatë skajit OC i barabartë me 
dhe, në mënyrë të ngjashme, le të jetë zvogëlimi i këndit të drejtë përgjatë skajit AO i barabartë me γyz, dhe zvogëlimi përgjatë skajit OB i barabartë me γzx. Këto tri ndryshime këndesh γxy, γyz, γzx quhen rrëshqitje dhe gjithashtu janë gjithmonë të vogla sipas 1. Me gjashtë komponentët ε dhe γ përcaktohet plotësisht deformimi i kuboidit elementar “deformim i vogël”. Ndryshimi i elementit të vëllimit d_V = dx * dy * dz_ është ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, prej nga, kur neglizhohen prodhimet e zgjatjeve si madhësi të vogla të rendit më të lartë, merret zgjatja kubike ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Zhvendosjet
Deformimi i trupit të ngurtë mund të përshkruhet plotësisht edhe në këtë mënyrë, që për secilën prej pikave të tij të jepet zhvendosja që ajo pikë ka pësuar. Nëse nga vëzhgimi përjashtohen zhvendosjet me madhësi të fundme që i përgjigjen zhvendosjes së trupit të ngurtë, në këtë mënyrë që, nëse është e nevojshme, në llogaritje të merret një sistem koordinativ i lëvizshëm, atëherë edhe zhvendosjet komponentale μ, ν, ω janë gjithmonë madhësi të vogla, dhe derivatet e tyre sipas koordinatave të vegjël ndaj 1. Sipas këtij supozimi, nga fig. 3 gjatësia e elementit linear OA = dx pas deformimit
pra 
(3)
Në mënyrë të ngjashme, nga fig. 3 shihet se rrëshqitja γxy γ1 + γ2: dhe gjithashtu
(4)
Figura 3 rrëshqitja
(5) 
(6)
Këto lidhje quhen kushte të përputhshmërisë dhe shprehin se elementet e deformuar mund të përshtaten si mozaik, në mënyrë që hapësira të mbushet pa ndërprerje, gjë që nuk mund të arrihet nëse deformimet e elementeve janë të rastësishme. Kushtet e përputhshmërisë janë ekuacione diferenciale, prandaj, kuptohet, të gjitha gjashtë komponentet e deformimit për secilin bllok të veçantë janë të pavarura reciprokisht, por vendosja e tyre në çdo zonë të shtrirë përfundimtare është e lidhur me kushtet (5) dhe (6).
Meqenëse këto kushte janë marrë duke diferencuar nga ekuacionet (3) dhe (4), gjatë nxjerrjes së tyre humbet një pjesë e lidhjeve të përfshira në ekuacionet fillestare. Prandaj nuk mjafton që të plotësohet vetëm një nga këto dy sisteme ekuacionesh, por duhet të plotësohen të dy sistemet e ekuacioneve, nëse dëshirohet që përputhshmëria e deformimit të sigurohet.
Ekuacionet diferenciale të sistemit të elasticitetit
Për llogaritjen e sforcimeve dhe deformimeve te trupat elastikë shërbejnë këto ekuacione:
Kushtet e ekuilibrit të elementit vëllimor. Kushtet që momentet rreth tre boshteve të jenë të barabarta me zero janë shfrytëzuar tashmë gjatë nxjerrjes së ekuacionit (1). Kushtet e ekuilibrit të forcave japin sipas fig. 4
Figura 4
(7a-c)
Nëse me X, Y, Z shënohen komponentët e forcave vëllimore (p.sh. pesha, forca centrifugale) për njësi vëllimi. Marrëdhëniet midis tensioneve dhe deformimeve. Me këtë nënkuptohet lidhja midis tensioneve komponentale dhe deformimeve komponentale. Në teorinë e elasticitetit, si rregull merret parasysh vetëm lidhja lineare, e cila shprehet me ligjin e Hooke-ut:
(8a-c)
(8d-f)
Nëse ekuacionet (8a-c) zgjidhen sipas tensioneve, fitohet
(8 a)
dhe dy ekuacione përkatëse. Ligji i Hooke-it i shprehur me ekuacionin (8) nuk paraqet ndonjë ligj natyror të zbatuar në mënyrë të rreptë, por një idealizim të sjelljes reale, e cila devijon prej tij më shumë ose më pak, në varësi të materialit dhe madhësisë së sforcimit. Duke qenë se përpunimi matematik i problemeve të rezistencës së materialeve me lidhje të ndërlikuara, jolineare midis tensioneve dhe deformimeve sjell vështirësi shumë më të mëdha dhe mund të kryhet realisht vetëm në rastet më të thjeshta, edhe te ato materiale (betoni!) sjellja e të cilëve devijon ndjeshëm nga ligji i Hooke-it, llogaritjet e bazuara në të duhet të përdoren si zgjidhja e parë, dhe në shumicën e rasteve edhe e vetmja zgjidhje përafërsisht, e cila për më tepër zakonisht është shumë e përdorshme dhe jep një pasqyrë më shumë se thjesht cilësore. G = E|2 (1+μ).
Ajo rrjedh domosdoshmërisht nga lidhja midis tensionit dhe deformimit (8), nga ekuacionet e transformimit (16) për tensionet dhe sistemi përkatës i ekuacioneve për deformimet komponentale. E dhe G kanë dimensionin e tensionit dhe te të gjitha materialet ndërtimore janë të mëdha krahasuar me tensionet σ dhe τ që mund të paraqiten. Në këtë fakt mbështetet supozimi i pranuar kudo në teorinë e elasticitetit, se deformimet janë të vogla. Koeficienti i dilatimit tërthor (numri i Poisson-it) μ është pa dimension dhe gjendet gjithmonë midis 0 dhe 1/2 .
Lidhjet ndërmjet deformimeve komponentale dhe zhvendosjeve. Këto lidhje jepen me ekuacionet (3), (4). Ato janë me natyrë thjesht gjeometrike. Këto tre sisteme japin 3+6+6=15 ekuacione për 15 të panjohura, dmth. për 6 tensione komponentale, 6 deformime komponentale dhe 3 zhvendosje komponentale. Prandaj ato janë të mjaftueshme për përcaktimin e këtyre të panjohurave. Përballimi matematik i një sistemi kaq të gjerë ekuacionesh diferenciale është i mundur, kuptohet, vetëm në raste të veçanta. Nëse në ekuacionin (8) deformimet komponentale zëvendësohen me zhvendosjet komponentale sipas ekuacioneve (3) dhe (4) dhe pastaj tensionet normale σ dhe tensionet prerëse τ, sipas ekuacioneve (8 d - f), futen në kushtet e ekuilibrit, ekuacioni (7), merren ekuacione diferenciale që quhen ekuacionet themelore të teorisë së elasticitetit.
(9)
ku 
është shënuar operatori Laplace. Duke pasur parasysh (2), këto janë tri ekuacione diferenciale me tri zhvendosje komponentale μ, ν, ω; prej tyre, me diferencim mbi bazën e (3), (4) dhe (8) mund të fitohen të gjitha tensionet dhe deformimet komponentale. Ekuacionet (9) përbëjnë shpesh një pikënisje të përshtatshme për studimin e rasteve të veçanta.
Puna e deformimit
Përkufizimi
Kur ngarkohet mbajtësi, pikat e veprimit të forcave të jashtme pësojnë zhvendosje elastike dhe forcat gjatë kësaj kryejnë një punë të caktuar. Në këtë mënyrë, energjia e sjellë mund të kalojë në forma të ndryshme. Nëse ngarkesa ushtrohet papritur, në mënyrë që procesi i deformimit të ketë shpejtësi të konsiderueshme, një pjesë e kësaj energjie shndërrohet në energji kinetike, e cila me kalimin e kohës shpërndahet, ose duke u transmetuar në terren si valë elastike që humbet në pafundësi, ose duke u shndërruar në nxehtësi përmes fërkimit të brendshëm. Nëse ngarkesat vendosen aq lehtë sa nuk krijohet rritje e dallueshme e energjisë kinetike, pra, ngarkesat që rriten gradualisht duke nisur nga zero janë në ekuilibër të vazhdueshëm me forcat e brendshme, energjia qartazi shpenzohet vetëm për deformimin e trupit dhe atëherë quhet punë deformuese.
Llogaritjen e punës së deformimit do ta paraqesim fillimisht në një copëz të ngarkuar në tërheqje në një drejtim (fig. 5).
Le të pësojnë shtesa dσ dhe dε tensioni ekzistues σ dhe deformimi përkatës ε. Atëherë forca σdF në rrugën dε * dl do të kryejë punën σdF * dεdl = σdεdV, nëse me dV shënohet vëllimi i pjesëzës. Nëse tensioni rritet nga zero deri në vlerën e tij përfundimtare dhe deformimi sipas kësaj nga 0 deri te ε, puna e përgjithshme e kryer për njësi vëllimi do të jetë:
Në mënyrë të ngjashme, për elementin e ngarkuar me tension prerës τ (fig. 6) puna e deformimit për njësi vëllimi (puna specifike e deformimit, potenciali elastik):
ku vetëm një nga katër forcat τ * dF kryen punë.
Në rastin e përgjithshëm, kur në elementin e vogël veprojnë të gjashtë komponentët e tensionit, fitohet puna specifike e deformimit duke mbledhur punët e secilit komponent tensioni:
(10)
Duke diferencuar sipas kufirit të sipërm të secilit prej këtyre integraleve, merren marrëdhënie që vlejnë në rastin më të përgjithshëm:
(11)
e ngjashëm për deformimet e tjera komponentale. Nëse trupi është elastik, çdo gjendje e caktuar e sforcimeve i përgjigjet gjithmonë e njëjta gjendje deformimi, pavarësisht nëse gjendja është arritur gjatë ngarkimit apo gjatë shkarkimit. Atëherë nën integralet qëndrojnë funksione njëkuptimëshe dhe energjia totale e shpenzuar gjatë ngarkimit dhe pastaj gjatë shkarkimit të plotë është a = 0, duke qenë se në këtë rast kufijtë e sipërm të integraleve bëhen zero. Prandaj energjia totale e dhënë trupit gjatë ngarkimit merret mbrapsht gjatë shkarkimit.
Figura 6
Figura 7
Për një trup pjesërisht elastik lidhja midis tensioneve dhe deformimeve për të gjithë ciklin e ngarkimit dhe shkarkimit ka formën e paraqitur përafërsisht në fig. 7 me vijat O A B. Energjia 
e sjellë gjatë ngarkimit është e barabartë me sipërfaqen OAA, ndërsa energjia e kthyer gjatë shkarkimit me sipërfaqen ABA, kështu që humbet (shndërrohet në nxehtësi) puna që i përgjigjet sipërfaqes së hatchuar. Nëse në procesin oscilator tensioni ndryshon periodikisht ndërmjet vlerës kufitare pozitive 
dhe vlerës kufitare negative, 
deformimi joelastik zhvillohet në mënyrë të ngjashme siç është paraqitur me vijat e ndërprera në fig. 7 dhe gjatë çdo periode oscilimi shndërrohet për njësi vëllimi në nxehtësi energjia DABCD. Sjellje e tillë gjatë deformimit, gjatë së cilës deformimi mbetet prapa tensionit, quhet histerezë elastike, ndërsa kurba DABCD lak histerezis.
Puna e deformimit dhe ligji i Hooke-it
Nëse në integrale në ekuacionin (10) futet ligji i Hooke-it, mund të bëhet integrimi, dhe për punën specifike të deformimit merren shprehjet:
(12a)
(12b)
(12c)
Nëse forma e dytë ndër këto futet në ekuacionin (11), merret përsëri ligji i Hooke-it, ekuacionet (8), në formë të zgjidhur sipas tensioneve. Pohimi se puna e deformimit varet nga komponentët e deformimeve, ashtu siç paraqitet me ekuacionin (12b), është pra ekuivalent me ligjin e Hooke-it. Kur ekuacioni (12c) diferencohet sipas tensioneve, merret
(13)
Këto forma, ndryshe nga format (11), vlejnë vetëm për trupat që sillen sipas ligjit të Hooke-it dhe nuk mund të zbatohen kur lidhjet midis sforcimeve dhe deformimeve janë të tjera. Kuptohet se në anën e djathtë të ekuacioneve (13) gjenden vetëm deformimet komponentale të shkaktuara nga sforcimet, ndërsa përjashtohen të gjitha të tjerat që mund të kenë lindur si pasojë e ndryshimit të temperaturës, zvarritjes, fryrjes, rikristalizimit, etj.
SHTEGËSITË INTEGRALE NË TEORINË E ELASTICITETIT
Zhvendosjet virtuale. Parimi i minimumit të energjisë potenciale
Ashtu siç ligji i Hooke-ut, ekuacionet (8) mund të zëvendësohen me një ekuacion të vetëm (12b), po ashtu edhe në vend të kushteve të ekuilibrit mund të futet parimi i zhvendosjeve virtuale, si ligj themelor i përgjithshëm i mekanikës. Ky ligj shpreh se gjendjet e ekuilibrit karakterizohen nga fakti që te ato puna e përgjithshme e kryer nga të gjitha forcat gjatë një ndryshimi të vogël të gjendjes së deformimeve është e barabartë me zero. Nëse ndryshimet e vogla të zhvendosjeve elastike i shënojmë δμ δν, δω, atëherë forcat vëllimore të përcaktuara nga ekuacioni (7) kryejnë punë virtuale
dhe forcat sipërfaqësore px, py, pz që veprojnë mbi elementin dF të sipërfaqes së jashtme të trupit punë 
ku integrali trefishtë i referohet të gjithë vëllimit, ndërsa ai i dyfishtë të gjithë sipërfaqes së jashtme të trupit. Për llogaritjen e punës që kryejnë forcat e brendshme përdoret ekuacioni (12b), prandaj për punën për njësi vëllimi merret
Parimi i zhvendosjeve virtuale, mbi këtë bazë, jep
(14)
Nëse ngarkesat X, Y, Z px, py., pz kuptohen si përbërës të forcës së rëndesës (pesha vetjake dhe ngarkesa e jashtme), integralet në anën e djathtë paraqesin energjinë potenciale të humbur prej këtyre ngarkesave, ndërsa ana e majtë paraqet shtesën e energjisë potenciale (elastike) të trupit, kështu që ky parim shpreh se energjia totale potenciale e mbajtësit dhe e ngarkesave që qëndrojnë mbi të, në rast ekuilibri, ka një vlerë ekstreme. Nëse kjo vlerë ekstreme është minimum, ekuilibri është i qëndrueshëm.
Parimi i minimumit të energjisë potenciale i shprehur me ekuacionin (14), shprehja (12b) për punën e deformimit, kushtet e përputhshmërisë së deformimeve (5), (6) përbëjnë një sistem ekuacionesh që është i mjaftueshëm për ndërtimin e teorisë së elasticitetit, dhe që në thelb është ekuivalent me sistemin e ekuacioneve. Ky sistem mund të jetë veçanërisht i dobishëm në rastet kur plotësimi i ekuacioneve diferenciale (9) paraqet vështirësi llogaritëse dhe për këtë arsye duhet kërkuar një zgjidhje e përafërt; p.sh. për zhvendosjet paraprakisht supozohet një formë e përshtatshme që përmban disa konstante të lira, e pastaj këto përcaktohen nga kërkesa që ekuacioni (14) të jetë i përmbushur. Kështu, megjithëse nuk merret një zgjidhje e saktë e problemit, merret vetëm përafrimi më i mirë që mund të arrihet me formën e zgjedhur të zgjidhjes. Nëse përafrimi është i mjaftueshëm, varet para së gjithash nga forma e pranuar e zgjidhjes, dhe zbatimi i suksesshëm i kësaj metode kërkon prandaj shkathtësi dhe përvojë.
Parimi i Castiglionos
Ndërsa te parimi i minimumit të energjisë potenciale krahasohen të gjitha gjendjet e deformimit që plotësojnë kushtet e përputhshmërisë së deformimeve dhe prej tyre veçohen ato për të cilat tensionet përkatëse plotësojnë kushtet e ekuilibrit, te parimi i Castigliano-s krahasohen të gjitha gjendjet e tensioneve që plotësojnë kushtet e ekuilibrit dhe prej tyre veçohen ato për të cilat deformimet përkatëse plotësojnë kushtet e përputhshmërisë së deformimeve. Ky parim thotë: nga të gjitha gjendjet e mundshme të ekuilibrit, ndodh ajo reale për të cilën korrespondon puna më e vogël e deformimit. Parimi i Castigliano-s, së bashku me ekuacionin (12c) për punën e deformimit dhe kushtet e ekuilibrit, formon një sistem ekuacionesh që është i mjaftueshëm për ndërtimin e rezistencës së materialeve. Duke qenë se ky parim përmban ligjin e Hooke-it, mundësia e zbatimit të tij lidhet me supozimin se deformimet mund të përshkruhen plotësisht me këtë ligj. Kjo kërkon jo vetëm sjellje lineare elastike të materialit, por përjashton edhe ndryshimet e temperaturës.
Sjellja e materialeve mbi kufijtë e elasticitetit
Shfaqjet gjatë ngarkimit statik
Deformimi i materialit nën ndikimin e sforcimeve është një dukuri shumë e ndërlikuar, prandaj duhet të thjeshtohet në mënyra të ndryshme që të mund të kuptohet. Një nga këto thjeshtime është supozimi se ngarkesat vendosen gradualisht, ashtu siç bëhet, p.sh., me mostrat gjatë provës në tërheqje dhe shtypje.
Nëse një shufër çeliku e ngarkuar në tërheqje i nënshtrohet një ngarkese që rritet gradualisht dhe matet dilatimi i saj ε, merret diagrami i paraqitur në fig. 8. Në fillim dilatimi është shumë i vogël dhe proporcional me tensionin, ashtu siç kërkon ligji i Hooke-it. Duke filluar nga një tension i caktuar, proporcionaliteti pushon dhe dilatimi rritet më shpejt. Pozicioni i saktë i kufirit të këtij proporcionaliteti vështirë se mund të përcaktohet. Sa më e saktë të jetë matja, aq më i ulët del ai. Për shumicën e materialeve ai ndodhet në σ = 0, dhe ligji i Hooke-it atëherë paraqet vetëm përafrimin e parë të sjelljes elastike, anëtarin e parë të zhvillimit në vargun Taylor të funksionit ε = ε (σ) në afërsinë e origjinës së koordinatave.
Nëse shufra lirohet nga ngarkesa, vërehet se, kur tensioni nuk ka qenë tepër i madh, zhduket edhe deformimi, në përputhje me ligjin e Hukit. Por edhe kjo ndryshon nëse tejkalohet një tension i caktuar që ndodhet afër kufirit të proporcionalitetit, i ashtuquajturi kufi i elasticitetit; atëherë deformimi i përgjithshëm përbëhet nga pjesa elastike (e kthyeshme) dhe pjesa joelastike (e përhershme). As kufiri i elasticitetit nuk mund të përcaktohet saktësisht; ai gjendet aq më poshtë sa më e madhe të jetë saktësia e matjes. Megjithatë, duke qenë se ka rëndësi të madhe teknike, sepse paraqet kufirin e rëndësisë në pothuajse të gjitha llogaritjet në rezistencën e materialeve, dhe njëkohësisht kufirin në të cilin shfaqen dëmtimet e para të përhershme, për provimin e mostrave ai përcaktohet rreptësisht me ndonjë konventë të pranuar, prandaj, p.sh., si kufi 0.2% shënohet ai tension në të cilin dilatacioni i përhershëm arrin 0.2%.
Menjëherë pas tejkalimit të kufirit të elasticitetit, deformimi rritet papritur dhe mund të vërehet me sy të lirë; nën një tension pothuajse konstant shufra zgjatet vazhdimisht. Ky tension quhet kufiri i rrjedhjes. Te makinat hidraulike për provimin e materialeve mund të vihet re, përveç kësaj, pas fillimit të rrjedhjes një rënie më e vogël ose më e theksuar e tensionit; siç është shënuar në fig. 8 me vijë të ndërprerë; atëherë maksimumi quhet kufiri i sipërm i rrjedhjes, ndërsa tensioni konstant i rrjedhjes që pason më pas quhet kufiri i poshtëm i rrjedhjes.
Pasi arrihet një dilatim i caktuar, që është pothuajse krejtësisht joelastik, tensioni fillon të rritet përsëri, materiali forcohet. Në këtë zonë ngarkimi ndodh një zvogëlim i dukshëm i prerjes tërthore të shufrës për shkak të kontraksionit anësor (joelastik), dhe rrjedha e mëtejshme e diagramit të tensioneve dhe deformimeve varet në radhë të parë nga ajo nëse gjatë llogaritjes së tensionit σ forca tërheqëse P që vepron mbi shufrën pjesëtohet me prerjen fillestare F0 ose me prerjen e çastit F. Për qëllime teknike interesant është tensioni P|F0. Ky tension kalon nëpër një maksimum që quhet qëndrueshmëria e materialit dhe kur ky maksimum tejkalohet, shufra ngushtohet shumë në një vend dhe çahet. “Tensioni i vërtetë” P|F rritet deri në thyerje.
Figura 8.
Sjellja e metaleve të tjera në shumë aspekte ndryshon nga ajo e përshkruar këtu. Rrjedhja shpesh nuk shprehet qartë, ndërsa forcimi fillon menjëherë pas tejkalimit të kufirit elastik. Te materialet e brishta (guri, qelqi, betoni) deformimet joelastike janë përgjithësisht të vogla dhe që në një dilatim të vogël ndodh thyerja. Dilatimi i përgjithshëm që materiali pëson deri në thyerje është masë e zgjatshmërisë (e kundërta: brishtësia) e materialit dhe për çelikun përcaktohet saktësisht në kushtet teknike. Megjithatë, meqenëse menjëherë para thyerjes deformimi i mëtejshëm përqendrohet në vendet përreth të prerjes së ngushtuar, merret një vlerë e ndryshme e dilatimit në thyerje, varësisht nëse për gjatësinë matëse merret një pjesë më e madhe ose më e vogël e shufrës, prandaj për të marrë rezultate të njëkuptimta dhe të krahasueshme ndërmjet tyre duhet paraprakisht të pranohet një konvencion i caktuar. Dilatimi në thyerje zakonisht matet kështu: në një shufër të rrumbullakët me diametër d, para provës shënohet gjatësia matëse Ι = 10 d dhe nga zgjatja e saj ΔΙ llogaritet dilatimi në thyerje εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Nëse është e nevojshme të provohen shufra me prerje tjetër, gjatësia matëse caktohet sipas diametrit të një shufre cilindrike të rrumbullakët që ka të njëjtën sipërfaqe të prerjes tërthore.
Ngarkesë afatgjatë
Për zhvillimin e provës së tërheqjes është pothuajse njësoj nëse ngarkesa deri në thyerje rritet gjatë 10 m minutave ose disa orëve. Megjithatë, nëse ngarkesa vepron për vite ose dhjetëra vite, në kushte të caktuara vërehet se edhe nën kufirin e rrjedhjes deformimi nën tension konstant me kalimin e kohës rritet ngadalë. Pjesa elastike, pra ajo pjesë që zhduket pas shkarkimit përfundimtar, nuk ndryshon dukshëm. Kjo rritje e deformimit joelastik që ndodh gjatë një kohe të gjatë quhet zvarritje. Te metalet, përveç plumbit, zvarritja ka rëndësi vetëm në temperatura të larta; megjithatë, për inxhinierin ndërtimor ajo luan rol te betoni, i cili nën presion lëshon pak, kështu që tensioni rritet në armaturën e ngjeshur, nëse kjo ekziston.
Ngarkesë e ndryshueshme
Që karakteristikat mekanike të materialit, të fituara gjatë provës në tërheqje, të mund të përdoren si masë për ngarkesën e lejuar të konstruksioneve, kusht është që materiali, në çdo ngarkim të përsëritur, të përballojë tensionin që e ka përballuar një herë pa u dëmtuar. Ky kusht nuk përmbushet nëse materiali është i ekspozuar ndaj përsëritjes së shpeshtë të ngarkimit dhe shkarkimit, siç është, për shembull, rasti te bartësit e ngarkuar me forca inerciale të makinave të pabalancuara plotësisht. Me përsëritje mjaft të shpeshtë të ngarkesës, një pjesë konstruktive mund të çohet në thyerje edhe në një tension që qëndron shumë poshtë qëndrueshmërisë së materialit të përcaktuar me provë të zakonshme statike. Shfaqja e thyerjes së këtij lloji quhet thyerje nga lodhja. Numri n i cikleve të ngarkesës që materiali mund të përballojë varet nga madhësia e tensionit σ, kështu që është aq më i madh sa më i vogël të jetë tensioni. Një shembull tipik i kësaj varësie është paraqitur në fig. 9, nga e cila shihet se për qëndrueshmërinë e materialit ekziston një kufi i poshtëm, të cilin ai e përballon edhe për një numër arbitrarisht të madh ciklesh ngarkese dhe i cili quhet qëndrueshmëri dinamike e materialit Diagramet e këtij lloji (fig.9) quhen kurbat e Wӧhler-it.
Figura 9.
Siguria e konstrukteve
Dy ngarkesa kufitare janë të rëndësishme për konstruksionet: ngarkesa me të cilën shfaqen dëmtimet e para të përhershme (kufiri i rrjedhjes), dhe ngarkesa me të cilën kapaciteti mbajtës i konstruksionit shteron, kështu që ai thyhet (kufiri i thyerjes). Meqenëse para kufirit të rrjedhjes të paktën përafërsisht vlejnë supozimet e rezistencës së materialeve (zhvendosje të vogla, ligji i Hooke-ut), siguria ndaj deformimeve të përhershme mund të vlerësohet me besueshmëri në të gjitha ato raste kur arrin të kapërcehen vështirësitë matematikore. Nëse tensioni është proporcional me ngarkesën, raporti i tensionit të rrjedhjes me tensionin më të madh që shfaqet në konstruksion është i barabartë me raportin midis ngarkesës me të cilën ndodh rrjedhja dhe ngarkesës reale dhe paraqet koeficientin e sigurisë ndaj rrjedhjes. Megjithatë, në një sërë rastesh ky raport i thjeshtë nuk ekziston: përkulja kur përjashtohet tërheqja, shtypja midis sipërfaqeve të fryra, sistemet me strukturë të ndryshueshme dhe, çka është veçanërisht e pafavorshme, përkulja me forcë aksiale. Në të gjitha këto raste, një rritje relativisht e vogël e ngarkesës mund të çojë në një rritje të madhe të tensionit, dhe atëherë nuk mjafton që koeficienti i zakonshëm i sigurisë të zbatohet mbi tensionet, por duhet të zbatohet mbi ngarkesën.
Fenomenet që shfaqen pas tejkalimit të kufirit të rrjedhjes deri në thyerje, në shumicën e rasteve mund të ndiqen vetëm në mënyrë cilësore. Nëse materiali është duktil, pjesët ku kufiri i rrjedhjes arrihet së pari dhe që më pas deformohen nën tension konstant ose nën tension që rritet pak, marrin pak pjesë në përballimin e ngarkesës së mëtejshme, kështu që pjesët e tjera, më pak të sforcuara të konstruksionit, nëse kjo është e mundur duke pasur parasysh strukturën e tij, marrin pjesë më shumë në mbajtje. Në këtë prirje drejt barazimit të kulmeve të tensionit qëndron një rezervë e caktuar sigurie, e cila mund të shfrytëzohet në llogaritje nëse deformimi i përhershëm i pjesëve të veçanta, i krijuar nga vetëm një ngarkesë e madhe, nuk është i dëmshëm (metoda e ngarkesës kufitare).
Nëse materiali është i brishtë, dëmtimi i parë i përhershëm shfaqet në çarje, si pasojë e të cilave në vendin e rrezikuar ndodh përqendrim edhe më i madh i tensioneve, që menjëherë shkakton thyerjen. Thyerja nga lodhja edhe te materialet elastike ka karakteristikat e një thyerjeje të brishtë.
Lidhjet ndërmjet sforcimeve për plane të ndryshme prerëse
Ekuacionet e transformimit
Nëntë tensionet komponentale në fig. 1, janë të lidhura me tri kushte ekuilibri. Gjashtë madhësitë e mbetura σx, σy, σz τxy, τyz, τzx mund të marrin, në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra, vlera të çfarëdoshme, siç shihet nga nxjerrja e ekuacioneve diferenciale të teorisë së elasticitetit. Megjithatë, kur këto vlera jepen, gjendja e tensioneve në një pikë të caktuar të trupit të ngurtë përcaktohet plotësisht, d.m.th. kur njihen tensionet për tre plane reciprokisht pingule, mund të përcaktohet në mënyrë të njëkuptimtë edhe tensioni për ndonjë plan të katërt që kalon nëpër pikën e dhënë dhe norma e të cilit ka drejtim të çfarëdoshëm.
Në fig. 10 është paraqitur tetraedri OABC, tre faqet e të cilit janë paralele me rrafshet e sistemit koordinativ x, y, z, ndërsa e katërta paraqet një element të orientuar arbitrarisht të sipërfaqes ABC = dF. Për të shënuar drejtimin e tij dhe drejtimin e tensionit që transmetohet nëpërmjet tij, futet një sistem i dytë koordinativ, boshti ξ i të cilit është pingul me dF.
Figura 10
Kushti i ekuilibrit të forcave që veprojnë mbi këtë tetraedër në drejtimin e boshtit ξ jep
Nëse merret parasysh se është
merret
dhe ngjashëm me këtë nga kushtet e ekuilibrit në drejtimin e boshtit η:
Këto janë ekuacionet që shërbejnë për llogaritjen e tensioneve gjatë transformimit të koordinatave. Është me rëndësi të veçantë të shqyrtohen vetëm elemente të tilla të sipërfaqes dF për të cilat boshti ξ përputhet me boshtin z. Modelet për këtë rast mund t’i marrim duke i thjeshtuar modelet e mëparshme ose t’i lexojmë drejtpërdrejt nga fig. 11:
Figura 11
Tensioni normal merr vlera ekstreme për drejtimet α = α0 , për të cilat dσξ/dα = 0. Duke diferencuar, nga ekuacioni (16) merret
paqë, kur ky shprehje barazohet me zero
Tensioni τξη njëkohësisht do të jetë tensioni total prerës në këto rrafshe, nëse τyz = τzx = 0. Atëherë me ekuacionin (17) përcaktohen dy drejtime reciprokisht pingule për të cilat: 1. tensioni total prerës është zero dhe, 2. tensioni normal ka vlera ekstreme (maksimum dhe minimum). Këto drejtime quhen drejtime të tensioneve kryesore, ndërsa tensionet përkatëse tensione kryesore. Ato shënohen me σ1 dhe σ2 dhe mund të llogariten drejtpërdrejt nga formula
Rrethi i Mohr-it
Ekuacionet (16) mund të paraqiten grafikisht në mënyrë të qartë. Për këtë qëllim duhet të transformohen në formën:
Këto ekuacione paraqesin në sistemin koordinativ σ, τ formën parametrike të ekuacionit të rrethit, të vizatuar në fig. 12, me koordinatat e qendrës σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 dhe me rrezen e tij
Ky rreth quhet rrethi i Mohr-it. Nëse nëpër pikën x vizatohet një drejtëz paralele me prerjen x =const., nëpër të cilën transmetohen sforcimet σx, τxy ajo do ta presë rrethin në pikën p, e cila quhet poli i rrethit të Mohr-it. Çdo drejtëz pξ e vizatuar nëpër këtë pol e pret rrethin në pikën ξ, e cila përcakton sforcimet σξ, τξη që transmetohen nëpër prerjen paralele me pξ.
Sa i përket shenjës së sforcimeve prerëse gjatë vizatimit të rrethit të Mohr-it, duhet pasur parasysh që ato vendosen lart nëse kanë drejtimin e treguar në fig. 12c. Prandaj, nga dy sforcimet konjuguese τxy, τyx, njëri është gjithmonë pozitiv, ndërsa tjetri negativ.
Vlerave kufitare të σ1, σ2 të tensioneve normale u përgjigjen pikat 1 dhe 2 në rreth, ndërsa drejtëzat _p_1 dhe _p_2 japin drejtimet e tensioneve kryesore.
Paraqitja e sforcimeve që ndodhen në rrafshin x-y me anë të rrethit të Mahr-it nuk është e lidhur me asnjë supozim për sforcimet σz, τxz, τyz pingul me këtë rrafsh.
Figura 12
Kjo vlen gjithashtu edhe për gjendjen më të përgjithshme tredimensionale të tensionit, nëse krahasohen vetëm ato plane prerëse që kalojnë të gjitha nëpër të njëjtën drejtëz, e cila këtu është zgjedhur si boshti z dhe ξ. Meqenëse, sipas ekuacioneve të përgjithshme të transformimit (15), tensioni normal σ nuk mund të bëhet i pafund për asnjë plan prerës, ai duhet të ketë për një plan një maksimum të fundëm σ1, ndërsa për një tjetër një minimum σ3, prej të cilëve të dy, kuptohet, mund të jenë edhe negativë. Nëse përmes vektorëve σ1 dhe σ3 kalohet një plan dhe vizatohet rrethi i Mohr-it (fig. 13)
Fig. 13
për sforcimet që shtrihen në këtë plan (dmth. të gjitha drejtimet që janë pingule me këtë plan), atëherë σ1 dhe σ3 janë sforcimet normale më të mëdha dhe më të vogla që mund të shfaqen dhe për këtë arsye duhet të jenë pingule me njëra-tjetrën. Nëse drejtimet 1 dhe 3 plotësohen me drejtimin 2, në mënyrë që këto tri drejtime të formojnë një sistem koordinativ kënddrejtë, dhe nëse vizatohen rrethet e Mahr-it për planet 1 ~2 dhe 2 ~ 3, atëherë σ2 për një nga këta rrethe është sforcimi normal më i madh, ndërsa për tjetrin më i vogli, dhe për këtë arsye në prerjet pingule me drejtimet 1, 2 dhe 3, sforcimi prerës është i barabartë me zero. Tri sforcimet normale pingule me njëra-tjetrën σ1, σ2 dhe σ3, të cilave nuk u përgjigjen sforcime prerëse, quhen sforcime kryesore.
Kufiri i rrjedhjes dhe kufiri i thyerjes në gjendjen hapësinore të sforcimeve
Gjendja e sforcimeve quhet një-, dy- ose tredimensionale, ndryshe: lineare, e rrafshët ose hapësinore, sipas asaj nëse njëri, dy ose të tre sforcimet kryesore janë të ndryshme nga zero. Te pjesët konstruktive që përdoren më shpesh, d.m.th. te shufra e tërhequr, e ngjeshur dhe e përkulur, gjendja e sforcimeve, të paktën në vendet më të ngarkuara, është njëdimensionale, dhe po kështu edhe te provat në tërheqje, ngjeshje ose përkulje, të cilat gjatë provimit të materialeve përdoren pothuajse ekskluzivisht për përcaktimin e sforcimeve të lejuara. Përkundrazi, te pllakat e ngarkuara në rrafshin e tyre ose pingul me të, si edhe te guaskat, gjendja e sforcimeve është dydimensionale, ndërsa në disa raste paraqiten edhe gjendje tredimensionale sforcimesh, prandaj është e nevojshme që, në bazë të kufirit të rrjedhjes dhe thyerjes, të përcaktuar në gjendje njëdimensionale sforcimesh, të nxirren përfundime për sjelljen e materialit në rastin e gjendjes hapësinore të sforcimeve.