Grunder
Materialhållfasthetens uppgift är att fastställa vilka yttre krafter en fast kropp kan tåla (t.ex. en byggnad, en konstruktionsdel eller mark). För att besvara denna fråga utgår man från två kriterier: å ena sidan får spänningarna inte överskrida vissa gränser som beror på materialets typ, och å andra sidan måste jämvikten mellan yttre och inre krafter vara stabil. I enlighet med detta kan alla problem inom materialhållfasthet delas in i “spänningsproblem” och “stabilitetsproblem.”
För stänger och balkar samt bärverk som sammansätts av dessa (fackverk, ramar) sker bestämningen av spänningar i två steg, genom att man först utifrån de givna yttre krafterna beräknar resultanten av de inre krafter som överförs genom tvärsnittet, och därefter bestäms spänningarna ur dessa “tvärsnittskrafter”. Den första delen av förfarandet utgör en särskild, omfattande disciplin, konstruktionernas statik, som har utvecklade egna metoder och som vanligen skiljs från hållfasthetslära, vars uppgift inskränker sig till att bestämma spänningar utifrån givna tvärsnittskrafter.
Grundläggande begrepp inom materialhållfasthet
Till definitionen av spänning kommer man genom följande grundläggande överväganden. Anta att ett jämviktsystem av yttre krafter verkar på kroppen. Låt oss tänka oss att vi har delat kroppen med ett godtyckligt snitt i två delar och att vi har avlägsnat den ena tillsammans med de krafter som verkar på den; då måste dess verkan på den andra delen, för att kraftjämvikten och deformationernas fördelning ska förbli oförändrade, ersättas av kompletterande krafter som överförs genom snittytan. Dessa “inre” krafter är kontinuerligt fördelade över snittytan, så att varje ytelement dF motsvaras av kraften dβ. Om kvoten dβ dF bildas och gränsövergången dF -> 0 görs, så tenderar denna kvot mot ett gränsvärde som kallas spänning. Spänningen i ett givet ytelement är, liksom dβ, och kan delas upp i komponenter normal och tangentiell mot dF, normalspänning σ och skjuvspänning τ.
Om snitt dras genom samma punkt i olika riktningar, kommer olika spänningar att motsvara dem. Särskilt om ett elementärt rätblock, visat i fig. 1, avgränsas ur kroppen, kommer i var och en av dess sex ytor en spänningsvektor att verka, som kan delas upp i tre komponenter i riktningarna för koordinataxlarna x, y och z. Spänningarna som verkar på motsatta sidor av ytan skiljer sig naturligtvis endast med ett differentialelement, så man måste skilja mellan 3 * 3 = 9 komponentspänningar, som betecknas på följande sätt:
Normala spänningar σ ges ett index för den axel i vars riktning de verkar och betraktas som positiva om de orsakar dragning, negativa om de orsakar tryck. Skjuvspänningar τ får två index, där det första är detsamma som indexet för motsvarande normala spänning, och det andra avser den axel i vars riktning skjuvspänningen verkar. Om den positiva riktningen för den motsvarande normala spänningen är i riktning mot den positiva (negativa) koordinataxeln, betraktas även skjuvspänningen som positiv om den verkar i riktning mot den positiva (negativa) koordinataxeln.
Bild 1.
Konjugering av skjuvspänningar
Om man för ett elementärt rätblock, fig. 1, ställer villkoret att momentet av alla krafter med avseende på x-axeln är noll, erhålls τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Härav, och ur de två motsvarande ekvationerna för y- och z-axlarna, erhålls att skjuvspänningarna med samma index är lika med varandra τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponentdeformationer
Att ovan definierade spänningar har fysikalisk innebörd framgår av deras samband med den definition som varje kropp under inverkan av yttre krafter utsätts för. Fig. 2 visar ett elementärt block, som före deformationen var rektangulärt och hade kantlängderna dx, dy, dz. Kantlängderna efter deformation kan betecknas med dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz. Kvoterna εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz kallas töjningar. Detta är dimensionslösa storheter och, för alla material som är aktuella inom byggandet, små enligt 1. Förutom förlängningen av kanterna kan det elementära blocket dx * dy * dz även utsättas för en förändring av de ursprungligen räta vinklarna mellan sina sidor.
Bild 2. komponentdeformation
Låt vinkeln mellan planen som möts längs kanten OC efter deformationen vara lika med 
och låt på liknande sätt minskningen av den räta vinkeln längs kanten AO vara lika med γyz, och minskningen längs kanten OB vara lika med γzx. Dessa tre vinkeländringar γxy, γyz, γzx kallas glidningar och är också alltid små i förhållande till 1. Med de sex komponenterna ε och γ är deformationen hos ett elementärt kvaderfullständigt bestämd som “liten deformation”. Förändringen av volymelementet d_V = dx * dy * dz_ är ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, varifrån, när produkterna av töjningarna som små storheter av högre ordning försummas, den kubiska töjningen ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) erhålls
Förskjutningar
Deformationen av en fast kropp kan också fullständigt beskrivas på så sätt att varje punkt tilldelas den förskjutning som just den punkten har genomgått. Om man från betraktelsen bortser från förskjutningar av ändlig storlek som motsvarar en rigid kropps rörelse, genom att, om så behövs, införa ett förflyttbart koordinatsystem i beräkningen, så är även de komponentvisa förskjutningarna μ, ν, ω alltid små storheter, och deras derivator med avseende på koordinaterna små i förhållande till 1. Under detta antagande är enligt fig. 3 längden av linjelementet OA = dx efter deformationen
således 
(3)
På liknande sätt framgår av fig. 3 att glidningen γxy γ1 + γ2: och även
(4)
Bild 3 glidning
(5) 
(6)
Dessa samband kallas kompatibilitetsvillkor och innebär att de deformerade elementen kan fogas samman som ett mosaikmönster så att rummet samtidigt fylls kontinuerligt, vilket inte kan uppnås om elementens deformationer är godtyckliga. Kompatibilitetsvillkoren är differentialekvationer, och därför är, förstås, alla sex komponentdeformationer för varje enskild kuboid ömsesidigt oberoende, men deras fördelning inom varje ändligt utbrett område är bunden av villkoren (5) och (6).
Eftersom dessa villkor erhålls genom differentiering från ekvationerna (3) och (4), går en del av de samband som ingår i de ursprungliga ekvationerna förlorade vid härledningen. Därför räcker det inte att endast ett av dessa två ekvationssystem är uppfyllt, utan båda ekvationssystemen måste vara uppfyllda om deformitetskompatibiliteten ska säkerställas.
Differentialekvationer för elasticitetssystemet
För beräkning av spänningar och deformationer hos elastiska kroppar används följande ekvationer:
Jämviktsvillkor för ett volymelement. Villkoren att momenten kring de tre axlarna är lika med noll har redan utnyttjats vid härledningen av ekvation (1). Kraftjämviktsvillkoren ger enligt fig. 4
Figur 4
(7a-c)
Om komponenterna av volymkrafterna (t.ex. tyngd, centrifugalkraft) per volymenhet betecknas med X, Y, Z. Samband mellan spänningar och deformationer. Med detta avses sambandet mellan komponentspänningar och komponentdeformationer. Inom elasticitetsteorin kommer i regel endast ett linjärt samband i fråga, vilket uttrycks genom Hookes lag:
(8a-c)
(8d-f)
Om ekvationerna (8a-c) löses med avseende på spänningarna, erhålls
(8 a)
kso och två motsvarande ekvationer. Hookes lag uttryckt genom ekvation (8) är inte någon strikt uppfylld naturlag, utan en idealisering av det verkliga beteendet, som avviker mer eller mindre från den beroende på materialet och spänningsnivån. Med tanke på att den matematiska behandlingen av hållfasthetsproblem med komplicerade, icke-linjära samband mellan spänningar och deformationer medför ojämförligt större svårigheter och i praktiken endast kan genomföras i de enklaste fallen, måste även för de material (betong!) vars beteende avviker avsevärt från Hookes lag, beräkningar som bygger på den användas som den första, och oftast enda, approximativa lösningen, som för övrigt i regel är mycket användbar och ger en mer än bara kvalitativ insikt. G = E|2 (1+μ).
Den följer nödvändigt av sambandet mellan spänning och deformation (8), av transformationssambanden (16) för spänningar och det motsvarande ekvationssystemet för komponentdeformationer. E och G har spänningsdimension och är för alla byggmaterial stora i förhållande till de spänningar σ och τ som kan uppträda. På detta faktum grundar sig den antagande som överallt inom elasticitetsteorin antas, nämligen att deformationerna är små. Koefficienten för tvärgående dilatation (Poissons tal) μ är dimensionslös och ligger alltid mellan 0 och 1/2 .
Sambandet mellan komponentdeformationer och förskjutningar. Dessa samband ges av ekvationerna (3), (4). De är av rent geometrisk natur. Dessa tre system ger 3+6+6=15 ekvationer för 15 obekanta, dvs. för 6 komponentspänningar, 6 komponentdeformationer och 3 komponentförskjutningar. De är därför tillräckliga för att bestämma dessa obekanta. Den matematiska hanteringen av ett så omfattande system av differentialekvationer är, naturligtvis, endast möjlig i specialfall. Om komponentdeformationerna i ekvation (8) ersätts av komponentförskjutningar enligt ekvationerna (3) och (4) och därefter normalspänningarna σ och skjuvspänningarna τ, enligt ekvationerna (8 d - f), införs i jämviktsvillkoren, ekv. (7), erhålls differentialekvationer som kallas elasticitetsteorins grundekvationer.
(9)
varvid 
betecknar Laplace-operatorn. Med hänsyn till (2) är detta tre differentialekvationer med tre komponentförskjutningar μ, ν, ω; ur dessa kan man genom differentiering på grundval av (3), (4) och (8) erhålla alla komponentspänningar och deformationer. Ekvationerna (9) utgör ofta en lämplig utgångspunkt för studiet av specialfall.
Deformationsarbete
Definition
När en bärande konstruktion belastas, utsätts angreppspunkterna för de yttre krafterna för elastiska förskjutningar och krafterna utför därvid ett visst arbete. På detta sätt kan den tillförda energin övergå i olika former. Om belastningen påföres plötsligt, så att deformeringen sker med avsevärd hastighet, omvandlas en del av denna energi till kinetisk energi, som med tiden försvinner, antingen genom att den överförs till marken som en elastisk våg som går förlorad i oändligheten, eller genom att den omvandlas till värme genom inre friktion. Om belastningarna påförs så långsamt att ingen märkbar ökning av den kinetiska energin uppstår, alltså att de successivt växande lasterna från noll är i ständig jämvikt med de inre krafterna, används energin uppenbarligen uteslutande för att deformera kroppen och kallas då deformationsarbete.
Beräkningen av deformativt arbete kommer vi först att visa på en liten del som belastas i drag i en riktning (fig. 5).
Låt den befintliga spänningen σ och den motsvarande töjningen ε utsättas för tillväxten dσ och dε. Då kommer kraften σdF på vägen dε * dl att utföra arbetet σdF * dεdl = σdεdV, om dV betecknar delvolymen. Om spänningen ökar från noll till sitt slutliga värde och töjningen i enlighet därmed från 0 till ε, blir det totalt utförda arbetet per volymenhet:
På liknande sätt gäller för ett element belastat med skjuvspänningen τ (fig. 6) deformationsarbetet per volymenhet (specifikt deformationsarbete, elastisk potential):
varvid endast en av de fyra krafterna τ * dF utför arbete.
I allmänhet, när alla sex komponentspänningarna verkar på ett elementärt delområde, erhålls det specifika deformationsarbetet genom att summera arbetena från de enskilda komponentspänningarna:
(10)
Genom att differentiera med avseende på den övre gränsen för vart och ett av dessa integraler erhålls samband som gäller i det mest allmänna fallet:
(11)
och så vidare för övriga komponentdeformationer. Om kroppen är elastisk svarar varje bestämt spänningstillstånd alltid mot samma deformationstillstånd, oavsett om tillståndet uppnåtts vid belastning eller avlastning. Då står entydiga funktioner under integralerna och den totala energi som förbrukas vid belastning och därefter fullständig avlastning är a = 0, med hänsyn till att de övre integreringsgränserna i detta fall blir noll. Därmed fås tillbaka den totala energi som tillförts kroppen vid belastningen vid avlastningen.
Bild 6
Bild 7
För ett ofullständigt elastiskt kropp har sambandet mellan spänningar och deformationer under hela lastnings- och avlastningscykeln den form som ungefär visas i fig. 7 med linjerna O A B. Den energi 
som tillförs vid belastning är lika med arean OAA, och den energi som återges vid avlastning arean ABA, så att det arbete som motsvarar den skuggade arean går förlorat (omvandlas till värme). Om spänningen i en oscillationsprocess periodiskt ändras mellan det positiva gränsvärdet 
och det negativa gränsvärdet, 
förlöper den inelastiska deformationen på liknande sätt som visas med streckade linjer i fig. 7 och vid varje oscillationsperiod omvandlas energin DABCD till värme per volymenhet. Sådant beteende vid deformation, där deformationen släpar efter spänningen, kallas elastisk hysteresis, och kurvan DABCD en hysteresisloop.
Deformationsarbete och Hookes lag
Om Hookes lag införs i integralerna i ekvation (10), kan integrering utföras, och för det specifika deformationsarbetet erhålls uttrycken:
(12a)
(12b)
(12c)
Om den andra av dessa former sätts in i ekvationen (11), erhålls åter Hookes lag, ekvationerna (8), i den form som är löst med avseende på spänningarna. Påståendet att deformationsarbetet beror på de komponentvisa deformationerna, såsom det framgår av ekvation (12b), är därför ekvivalent med Hookes lag. När ekvation (12c) deriveras med avseende på spänningarna, fås
(13)
Dessa formler gäller, till skillnad från formlerna (11), endast för kroppar som beter sig enligt Hookes lag och kan inte tillämpas när sambanden mellan spänningar och deformationer är annorlunda. Det är självklart att endast de komponentdeformationer som orsakas av spänningarna finns på höger sida i ekvationerna (13), medan alla övriga som eventuellt kan ha uppstått till följd av temperaturändring, krypning, svällning, rekristallisation, osv. utesluts.
INTEGRALA ANSKÅDNINGAR I ELASTICITETSTEORIN
Virtuella förskjutningar. Principen om minimal potentiell energi
Liksom Hookes lag, ekvationerna (8), kan ersättas av en enda ekvation (12b), kan man också i stället för jämviktsvillkoren införa principen om virtuella förskjutningar som en allmänt giltig grundlag i mekaniken. Denna lag anger att jämviktslägen kännetecknas av att det totala arbete som utförs av alla krafter vid en liten förändring av deformationstillståndet är lika med noll. Om vi betecknar små förändringar av elastiska förskjutningar med δμ δν, δω, utför volymkrafterna definierade av ekvation (7) virtuellt arbete
och ytspänningarna px, py, pz som verkar på elementet dF på kroppens yttre yta arbete 
varvid den tredubbla integralen avser hela volymen och den dubbla hela kroppens yttre yta. För beräkning av arbetet som utförs av inre krafter används ekvation (12b), varpå arbetet per volymenhet erhålls
Principen om virtuella förskjutningar ger därför
(14)
Om lasterna X, Y, Z px, py., pz uppfattas som komponenter av tyngdkraften (egen vikt och yttre belastning), så representerar integralerna på högra sidan den potentiella energi som dessa laster har förlorat, medan vänstra sidan representerar ökningen av kroppens potentiella (elastiska) energi, så att denna princip uttrycker att den totala potentiella energin hos bärverket och de laster som ligger på det i jämviktstillstånd har ett extremvärde. Om detta extremvärde är ett minimum, är jämvikten stabil.
Principen om minsta potentiella energi, uttryckt genom ekvation (14), uttrycket (12b) för deformationsarbete och villkoren för deformationernas kompatibilitet (5), (6) utgör ett ekvationssystem som är tillräckligt för uppbyggnaden av elasticitetsteorin och som i grunden är ekvivalent med ekvationssystemet. Detta system kan vara särskilt användbart i fall där uppfyllandet av de differentiella ekvationerna (9) medför beräkningssvårigheter och därför måste en approximativ lösning sökas, t.ex. genom att förskjutningarna på förhand antas i en lämplig form som innehåller några fria konstanter, vilka sedan bestäms utifrån kravet att ekvation (14) ska vara uppfylld. På så sätt erhålls visserligen inte någon exakt lösning av problemet, utan endast den bästa approximation som kan uppnås med den valda lösningsformen. Om approximationen är tillräcklig beror i första hand på den antagna lösningsformen, och en framgångsrik tillämpning av denna metod kräver därför skicklighet och erfarenhet.
Castiglianos princip
Medan man vid principen om minsta potentiella energi jämför alla deformationstillstånd som uppfyller villkoren för deformationskompatibilitet och bland dem väljer ut dem för vilka de motsvarande spänningarna uppfyller jämviktsvillkoren, jämför man vid Castiglianos princip alla spänningstillstånd som uppfyller jämviktsvillkoren och bland dem väljer ut dem för vilka de motsvarande deformationerna uppfyller villkoren för deformationskompatibilitet. Denna princip lyder: av alla möjliga jämviktstillstånd inträffar i verkligheten det som motsvarar det minsta deformationsarbetet. Castiglianos princip tillsammans med ekvationen (12c) för deformationsarbete och jämviktsvillkoren bildar ett ekvationssystem som är tillräckligt för uppbyggnaden av materialets hållfasthet. Eftersom denna princip innehåller Hookes lag är möjligheten att tillämpa den knuten till antagandet att deformationerna kan beskrivas fullständigt med denna lag. Detta kräver inte bara linjärt elastiskt beteende hos materialet, utan utesluter också temperaturförändringar.
Materialets beteende över elasticitetsgränserna
Företeelser vid statisk belastning
Materialdeformation under påverkan av spänningar är ett mycket komplicerat fenomen, så det måste förenklas på olika sätt för att kunna förstås. En av dessa förenklingar är antagandet att belastningarna påförs successivt, såsom man t.ex. gör med provkroppar vid drag- och tryckprovning.
Om en stång som belastas i drag utsätts för en last som gradvis ökar och dess töjning ε mäts, erhålls det diagram som visas i fig. 8. Inledningsvis är töjningen mycket liten och proportionell mot spänningen, i enlighet med Hookes lag. Från en viss spänning upphör proportionaliteten och töjningen ökar snabbare. Den exakta gränsen för denna proportionalitet kan svårligen fastställas. Ju noggrannare mätningen är, desto lägre blir den. För de flesta material ligger den vid σ = 0, och Hookes lag utgör då endast en första approximation av det elastiska beteendet, den första termen i Taylorutvecklingen av funktionen ε = ε (σ) i närheten av koordinatorigo.
Om stången avlastas, märker man att, när spänningen inte var alltför stor, försvinner också deformationen, i enlighet med Hookes lag. Men även detta förändras om en viss spänning överskrids, som ligger nära proportionalitetsgränsen, den s.k. elasticitetsgränsen; då består den totala deformationen av en elastisk (återgående) och en oelastisk (varaktig) del. Inte heller elasticitetsgränsen kan bestämmas exakt, den ligger desto lägre ju större mätprecisionen är. Eftersom den emellertid har stor teknisk betydelse, då den utgör en gräns av vikt vid nästan alla beräkningar inom materialstyrka och samtidigt gränsen där de första bestående skadorna uppstår, definieras den vid provning av prover skarpt genom en antagen konvention, så att man t.ex. som gränsen 0.2% betecknar den spänning vid vilken den varaktiga dilatationen når 0.2%.
Omedelbart efter att elasticitetsgränsen överskridits ökar deformationen hastigt och kan observeras med blotta ögat; vid nästan konstant spänning förlängs stången kontinuerligt. Denna spänning kallas flytgräns. I hydrauliska materialprovningsmaskiner kan man dessutom efter flytningens början iaktta ett mer eller mindre tydligt spänningsfall; såsom anges i fig. 8 med den streckade kurvan; då kallas maximum övre flytgräns, medan den därefter följande konstanta flytspänningen kallas nedre flytgräns.
När en viss töjning har uppnåtts, som nästan helt är oelastisk, börjar spänningen åter öka; materialet hårdnar. I detta lastområde uppträder en märkbar minskning av stavens tvärsnitt på grund av den (oelastiska) sidokontraktionen, och den fortsatta utvecklingen av spännings–deformationsdiagrammet beror i första hand på om dragkraften P som verkar på staven vid beräkning av spänningen σ divideras med det ursprungliga tvärsnittet F0 eller med det aktuella tvärsnittet F. För tekniska syften är spänningen P|F0 av intresse. Denna spänning når ett maximum som kallas materialets hållfasthet, och när detta maximum passeras smalnar staven kraftigt av på ett ställe och brister. “Den verkliga spänningen” P|F ökar fram till brott.
Bild 8.
Andra metallers beteende avviker i mycket från det som beskrivs här. Flytning är ofta inte tydlig, och härdningen börjar omedelbart efter att elasticitetsgränsen överskridits. För spröda material (sten, glas, betong) är de oelastiska deformationerna i allmänhet små, och redan vid liten dilatation inträffar brott. Den totala dilatation som materialet genomgår fram till brott är ett mått på materialets töjbarhet (motsats: sprödhet), och för stål föreskrivs den exakt i de tekniska villkoren. Eftersom den fortsatta deformationen strax före brott koncentreras till de omgivande delarna av det insnävade tvärsnittet erhålls dock olika värden på dilatationen vid brott beroende på om en större eller mindre del av stången tas som mätlängd, så att man för att få entydiga och inbördes jämförbara resultat måste fastställa en viss konvention i förväg. Dilatationen vid brott mäts regelmässigt så att man på en rund stång med diametern d före provningen markerar mätlängden Ι = 10 d och beräknar brottdilatationen εs_Ι = _ΔΙ|Ι ur dess förlängning ΔΙ. Om det är nödvändigt att prova stänger med annat tvärsnitt bestäms mätlängden enligt diametern hos en cirkulär cylindrisk stång som har samma tvärsnittsarea.
Långvarig belastning
För dragprovet spelar det ganska liten roll om belastningen fram till brott ökas under 10 m minuter eller under flera timmar. Om belastningen däremot verkar under år eller årtionden, iakttas under vissa förutsättningar att deformationen, även under flytgränsen, långsamt ökar vid konstant spänning över tiden. Den elastiska delen, dvs. den del som försvinner vid fullständig avlastning, ändras då inte märkbart. Denna ökning av den oelastiska deformationen som sker under lång tid kallas krypning. Hos metaller, med undantag för bly, är krypning av betydelse endast vid höga temperaturer; för byggnadsingenjören spelar den dock en roll hos betong som under tryck ger efter något, så att spänningen ökar i den tryckta armeringen, om sådan finns.
Variabel belastning
För att de mekaniska egenskaper hos materialet som erhållits vid dragprov ska kunna användas som ett mått på konstruktioners tillåtna belastning, är det en förutsättning att materialet vid varje ny belastning klarar den spänning som det en gång har burit utan skada. Detta villkor är inte uppfyllt om materialet utsätts för ofta upprepade belastnings- och avlastningscykler, såsom t.ex. fallet är för balkar som belastas av tröghetskrafter från ofullständigt balanserade maskiner. Genom tillräckligt täta upprepningar av belastningen kan en konstruktionsdel bringas till brott även vid en spänning som ligger långt under materialets hållfasthet bestämd genom vanliga statiska prov. Detta slags brott kallas utmattningsbrott. Antalet n belastningscykler som materialet kan tåla beror på spänningens storlek σ, så att det blir desto större ju mindre spänningen är. Ett typiskt exempel på detta beroende visas i fig. 9, av vilken framgår att det för materialets hållfasthet finns en nedre gräns som det klarar även vid ett godtyckligt stort antal belastningscykler och som kallas materialets dynamiska hållfasthet Diagram av denna typ (fig.9) kallas Wӧhlers kurvor.
Bild 9.
Konstruktioners säkerhet
Två gränsbelastningar är betydelsefulla för konstruktioner: den belastning vid vilken de första bestående skadorna uppstår (flytgränsen), och den belastning vid vilken konstruktionens bärförmåga är uttömd, varpå den bryts (brottgränsen). Eftersom antagandena inom hållfasthetsläran åtminstone ungefär gäller före flytgränsen (små deformationer, Hookes lag), kan säkerheten mot bestående deformationer bedömas på ett tillförlitligt sätt i alla de fall där man lyckas övervinna de matematiska svårigheterna. Om spänningen är proportionell mot belastningen, är förhållandet mellan flytspänningen och den största spänning som uppträder i konstruktionen lika med förhållandet mellan den belastning vid vilken flytning uppstår och den verkliga belastningen, och utgör säkerhetskoefficienten mot flytning. I ett antal fall finns dock inte detta enkla samband: böjning när dragkrafter utesluts, tryck mellan välvda ytor, system vars struktur är föränderlig och, vilket är särskilt ogynnsamt, böjning med axiell kraft. I alla dessa fall kan en relativt liten belastningsökning leda till en stor spänningsökning, och då räcker det inte att den vanliga säkerhetskoefficienten tillämpas på spänningarna, utan den måste tillämpas på belastningen.
De företeelser som inträffar efter att flytgränsen överskridits fram till brott kan i de flesta fall endast följas kvalitativt. Om materialet är duktilt, deltar de delar där flytgränsen först uppnås, och som fortsätter att deformeras vid konstant spänning eller vid en spänning som endast obetydligt ökar, i liten grad i att ta upp den fortsatta belastningen, så att övriga, svagare belastade delar av konstruktionen, i den mån dess struktur medger det, i högre grad bidrar till bärandet. I denna strävan att utjämna spänningsspetsarna finns en viss säkerhetsreserv, som beräkningsmässigt kan utnyttjas om den bestående deformationen hos enskilda delar, uppkommen vid endast en betydande belastning, inte är skadlig (gränsbärförmådsmetoden).
Om materialet är sprött visar sig den första bestående skadan som sprickor, varigenom en ännu starkare spänningskoncentration uppstår på den utsatta platsen, vilket omedelbart orsakar brott. Brott till följd av utmattning har även hos duktila material karaktär av sprött brott.
Sambandet mellan spänningar för olika snittplan
Transformations-ekvationer
De nio komponentspänningarna i fig. 1 är bundna till tre jämviktsvillkor. De sex återstående storheterna σx, σy, σz τxy, τyz, τzx kan, oberoende av varandra, anta godtyckliga värden, vilket framgår av härledningen av elasticitetsteorins differentialekvationer. När dessa värden är givna är emellertid spänningstillståndet i en punkt i en fast kropp fullständigt bestämt, dvs. när spänningarna för tre inbördes vinkelräta plan är kända, kan även spänningen för ett fjärde plan, ett plan som går genom den givna punkten och vars normal har godtycklig riktning, entydigt bestämmas.
I fig. 10 visas tetraedern OABC, vars tre sidor är parallella med koordinatsystemets plan x, y, z, medan den fjärde utgör ett godtyckligt orienterat ytelement ABC = dF. För att ange dess riktning och riktningen för den spänning som överförs genom det, införs ett annat koordinatsystem, vars ξ-axel är vinkelrät mot dF.
Bild 10
Villkoret för jämvikt mellan de krafter som angriper denna tetraeder i ξ-axelns riktning ger
Om man tar hänsyn till att
erhålls
och på liknande sätt från jämviktsvillkoren i riktning mot axeln η:
Dessa är ekvationer som används för beräkning av spänningar vid koordinattransformation. Av särskild vikt är att endast betrakta sådana ytelement _dF för vilka ξ-_axeln sammanfaller med z-axeln. Uttrycken för detta fall kan erhållas genom förenkling av de föregående uttrycken eller läsas direkt ur fig. 11:
Bild 11
Normalspänningen antar extremvärden för riktningarna α = α0 , för vilka dσξ/dα = 0. Genom differentiering erhålls ur ekvation (16)
så när detta uttryck sätts lika med noll
Spänningen τξη kommer samtidigt att vara den totala skjuvspänningen i dessa plan, om τyz = τzx = 0. Då bestäms av ekvation (17) två inbördes vinkelräta riktningar för vilka: 1. den totala skjuvspänningen är noll och, 2. normalspänningen har extremvärden (maximum och minimum). Dessa riktningar kallas huvudspänningsriktningar, och de motsvarande spänningarna huvudspänningar. De betecknas med σ1 och σ2 och kan beräknas direkt ur formeln
Mohrs cirkel
Ekvationerna (16) kan på ett tydligt sätt visas grafiskt. För detta ändamål bör de omformas till formen:
Dessa ekvationer utgör i koordinatsystemet σ, τ den parametriska formen av cirkelekvationen, inritad i fig. 12, vars mittkoordinater är σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 och vars radie
Denna cirkel kallas Mohrs cirkel. Om man genom punkten x drar en rät linje parallell med snittet x =const., genom vilket spänningarna σx, τxy överförs, kommer den att skära cirkeln i punkten p, som kallas polen för Mohrs cirkel. Varje rät linje pξ dragen genom denna pol skär cirkeln i punkten ξ som bestämmer spänningarna σξ, τξη som överförs genom ett snitt parallellt med pξ.
När det gäller tecknet för skjuvspänningarna vid ritning av Mohrs cirkel bör man tänka på att de läggs uppåt om de har den riktning som visas på fig. 12c. Därför är en av de två konjugerade spänningarna τxy, τyx alltid positiv och den andra negativ.
Gränsvärdena för σ1, σ2 av normala spänningar motsvaras av punkterna 1 och 2 på cirkeln, och linjerna _p_1 och _p_2 ger riktningarna för huvudspänningarna.
Redovisningen av spänningar som ligger i x-y-planet med hjälp av Mahrs cirkel är inte knuten till någon som helst antagande om spänningarna σz, τxz, τyz vinkelräta mot detta plan.
Bild 12
Detta gäller därför också för det mest allmänna tredimensionella spänningstillståndet, om man endast jämför de tvärsnittsrutplan som alla går genom samma räta linje, vilken här har valts som z- och ξ-axel. Eftersom den normala spänningen σ enligt de allmänna transformationsformlerna (15) inte kan bli oändlig för något tvärsnitt, måste den för en viss plan ha ett ändligt maximum σ1 och för en annan ett minimum σ3, vilka båda, för övrigt, också kan vara negativa. Om man genom vektorerna σ1 och σ3 drar ett plan och ritar Mohrs cirkel (fig. 13)
Bild 13
för spänningar som ligger i detta plan (dvs. alla riktningar som är vinkelräta mot detta plan), då är σ1 och σ3 de största och minsta normala spänningar som kan uppträda och måste därför vara inbördes vinkelräta. Om riktningarna 1 och 3 kompletteras med riktningen 2, så att dessa tre riktningar bildar ett rätvinkligt koordinatsystem, och om Mahr-cirklarna ritas för planen 1 ~2 och 2 ~ 3, då är σ2 för den ena av dessa cirklar den största, och för den andra den minsta normala spänningen, och därför är skjuvspänningen lika med noll i snitt vinkelräta mot riktningarna 1, 2 och 3. De tre inbördes vinkelräta normala spänningarna σ1, σ2 och σ3, som inte har motsvarande skjuvspänningar, kallas huvudspänningar.
Flytgräns och brottgräns vid rumsligt spänningstillstånd
Spänningstillståndet kallas endimensionellt, tvådimensionellt eller tredimensionellt, på annat sätt: linjärt, plant eller rumsligt, beroende på om en, två eller alla tre huvudspänningar är skilda från noll. För de konstruktionsdelar som används mest, dvs. i en drag- eller tryckt stång samt en böjd stång, är spänningstillståndet, åtminstone på de mest belastade ställena, endimensionellt, liksom även vid drag-, tryck- eller böjprov, som vid materialprovning nästan uteslutande används för bestämning av tillåtna spänningar. Däremot är spänningstillståndet tvådimensionellt i plattor som belastas i sitt plan eller vinkelrätt mot det, liksom i skal, och i vissa fall förekommer även tredimensionella spänningstillstånd, så att det är nödvändigt att utifrån flyt- och brottgränsen, bestämd vid ett endimensionellt spänningstillstånd, dra slutsatser om materialets beteende vid ett rumsligt spänningstillstånd.