Grûnbegjinsels
De taak fan de materiaalfêstens is om fêst te stellen hokker eksterne krêften in fêst lichem ferneare kin (bgl. in gebou, in konstruktyf ûnderdiel of grûn). Om op dizze fraach te antwurdzjen giet men út fan twa kritearia: oan de iene kant meie de spanningen bepaalde grinzen, dy’t fan it type materiaal ôfhingje, net oerskriuwe, en oan de oare kant moat it lykwicht tusken eksterne en ynterne krêften stabyl wêze. Neffens dit kinne alle problemen fan de materiaalfêstens opdield wurde yn “spanningsproblemen” en “stabiliteitsproblemen.”
By staven en balken en de dêrút gearstalde draachkonstruksjes (trussen, ramen) wurdt de spanningsbepaling yn twa stappen útfierd, en wol sa dat earst op basis fan de jûne eksterne krêften de resultearjende ynterne krêften berekkene wurde dy’t oer de trochsneed oerbrocht wurde, en dêrnei wurde út dizze “trochsneedkrêften” de spanningen bepaald. It earste diel fan de proseduere foarmet in aparte, wiidweidige dissipline, de statika fan boukonstruksjes, dy’t eigen útwurke metoaden hat en meastal skieden wurdt fan de materiaalferset, waans taak him ta it bepalen fan spanningen út jûne trochsneedkrêften beheint.
Basisbegripen fan materiaalsterkte
Ta de definysje fan spanning komt men troch de folgjende basisbeskôgingen. Lit op it lichem in evenwichtich systeem fan eksterne krêften wurkje. Stel ús foar dat wy it lichem mei in willekeurige snede yn twa dielen splitst hawwe, en dat wy ien dêrfan fuorthelle hawwe tegearre mei de krêften dy’t derop wurkje; dan moat syn wurking op it oare diel, om it evenwicht fan krêften en de ferdieling fan ferfoarmingen ûnferoare te litten, ferfongen wurde troch oanfoljende krêften dy’t oer it snijflak oerdroegen wurde. Dizze “ynterne” krêften binne kontinu oer it flak fan de snede ferdield, sadat by elk elemint fan it flak dF in krêft dβ heart. As de ferhâlding dβ dF foarmet en de limyt oergong dF -> 0 makke wurdt, dan giet dizze ferhâlding nei de limytwearde dy’t spanning hjit. De spanning yn in bepaald elemint fan it flak is, lykas dβ, en kin ûntbûn wurde yn de komponinten normaal en tangensjaal op dF: normale spanning σ en skuorspanning τ.
As troch itselde punt sneden yn ferskillende rjochtingen lutsen wurde, hearre dêr ek ferskillende spanningen by. Benammen as út it lichem in elemintêre kubus, werjûn op ôfb. 1, losmakke wurdt, sil op elk fan syn seis oerflakdielen in spanningsfektor wurkje dy’t ûntbûn wurde kin yn trije komponinten yn de rjochting fan de koördinaatasen x, y z. De spanningen dy’t wurkje op tsjinoer elkoar lizzende oerflakken ferskille ûnderling fansels allinnich troch it differinsjaal, sadat der ûnderskied makke wurde moat tusken 3 * 3 = 9 komponintspanningen, dy’t op de folgjende wize oantsjut wurde:
By de normale spanningen σ wurdt in yndeks jûn fan de as yn waans rjochting se lizze, en se wurde posityf achte as se trek feroarsaakje, negatyf as se druk feroarsaakje. Skuorspanningen τ krije twa yndeksen; de earste dêrfan is itselde as de yndeks fan de oerienkommende normale spanning, en de twadde ferwiist nei de as yn waans rjochting de skuorspanning wurket. As de positive rjochting fan de oerienkommende normale spanning yn de rjochting fan de positive (negative) koördinaatas is, dan wurdt de skuorspanning ek as posityf beskôge as dy yn de rjochting fan de positive (negative) koördinaatas wurket.
Figuer 1.
Konjugaatheid fan skuorspanningen
As foar in elemintêre kubus, ôfb. 1, de betingst stelt dat it momint fan alle krêften ten opsichte fan de as x nul is, krijt men τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Dêrfandinne, en út de twa oerienkommende fergelikingen foar de assen y en z, folget dat de skuorspanningen mei deselde yndeksen ûnderling gelyk binne τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponintdeformaasje
Dat de hjirboppe definiearre spanningen in fysike betsjutting hawwe, blykt út harren ferbân mei de deformaasje dêr’t elk lichem ûnder ynfloed fan eksterne krêften oan ûnderwurpen is. Ofb. 2 lit in ienfâldige kuboïde sjen, dy’t foar de deformaasje rjochthoekich wie en rânelengten dx, dy, dz hie. De rânelengten nei de deformaasje kinne wy oantsjutte mei dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; de ferhâldingen εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz wurde dilataasjes neamd. Dit binne grutte sûnder diminsje en by alle materialen dy’t yn de bou yn oanmerking komme lyts yn ferhâlding ta 1. Njonken it ferlingjen fan de rânen kin de ienfâldige kuboïde dx * dy * dz ek in feroaring ûndergean fan de oars rjochte hoeken tusken syn sydkanten.
Ofbylding 2. komponintferfoarming
Lit nei de ferfoarming de hoeke tusken de flakken dy’t by de râne OC byinoar komme gelyk wêze oan 
en ek dêrmei jilde dat de fermindering fan de rjochte hoeke lâns de râne AO gelyk is oan γyz, en de fermindering lâns de râne OB gelyk is oan γzx. Dizze trije hoekeferoarings γxy, γyz, γzx wurde gliden neamd en binne ek altyd lyts yn ferhâlding ta 1. Mei de seis komponintale ε en γ is de ferfoarming fan it elemintêre kûbyske elemint “ferfoarming yn it lytse” folslein bepaald. De feroaring fan it folumeelemint d_V = dx * dy * dz_ is ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, dêr’t, as de produkten fan de dilataasjes as lytse hegere-oarderhoemannichten negearre wurde, de kubyske dilataasje ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) út krigen wurdt
Ferpleatsingen
De deformaasje fan in fêst lichem kin ek folslein beskreaun wurde troch foar elk fan syn punten de ferpleatsing op te jaan dy’t dat punt ûndergien hat. As ferpleatsingen fan einige grutte, dy’t oerienkomme mei de ferpleatsing fan in stiif lichem, bûten beskôging litten wurde troch, as it nedich is, yn de berekkening in ferpleatsber koördinatestelsel oan te nimmen, dan binne ek de komponintferpleatsingen μ, ν, ω altyd lytse gruttes, en har ôflaaten nei de koördinaten lyts yn ferliking mei 1. Under dy oanname is neffens fig. 3 de lingte fan it lineêre elemint OA = dx nei de deformaasje
dêrom 
(3)
Op in ferlykbere wize blykt út fig. 3 dat de skuor γxy γ1 + γ2: is en ek
(4)
Ofbylding 3 gliden
(5) 
(6)
Dizze ferbiningen wurde kompatibiliteitsbetingsten neamd en jouwe oan dat ferfoarme eleminten as in mozaïek yninoar passe kinne, sadat de romte dêrby trochgeande folset bliuwt, wat net berikt wurde kin as de ferfoarmingen fan de eleminten willekeurich binne. De kompatibiliteitsbetingsten binne differinsjaalferlikingen, dus binne fansels alle seis komponintferfoarmingen foar elk apart kuboïde ûnderling ûnôfhinklik, mar har ferdieling yn elk einich útinoar sprate gebiet is bûn oan de betingsten (5) en (6).
Om’t dizze betingsten krigen binne troch differinsjearjen út fergelikingen (3) en (4), giet by har ôflieding in diel fan de ferbiningen ferlern dat yn de oarspronklike fergelikingen befette is. Dêrom is it net genôch dat mar ien fan dizze twa systemen fan fergelikingen foldien is; beide systemen moatte foldien wurde as men de deformaasje-kompatibiliteit garandearje wol.
Differinsjaalfergelikingen fan it elastisiteitssysteem
Foar it berekkenjen fan spanningen en ferfoarmingen by elastyske lichems tsjinje de folgjende fergelikingen:
Balanseasken fan it folume-elemint. De betingsten dat de mominten om de trije assen gelyk oan nul binne, binne al brûkt by it ôflieden fan fergeliking (1). De krêftebalanseasken jouwe neffens ôfb. 4
Ofbylding 4
(7a-c)
As mei X, Y, Z de komponinten fan volumekrêften (bygelyks gewicht, sintrifugale krêft) per ienheid folume oanjûn wurde. Ferbiningen tusken spanningen en ferfoarmingen. Hjirmei wurdt de ferbining bedoeld tusken komponintspanningen en komponintferfoarmingen. Yn de elastisiteitsteory komt yn ’e regel allinnich in lineêre ferbining yn oanmerking, dy’t útdrukt wurdt troch de wet fan Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
As de fergelikingen (8a-c) nei de spanningen oplost wurde, kriget men
(8 a)
kso en twa oerienkommende fergelikingen. De wet fan Hooke, útdrukt mei de fergeliking (8), foarmet gjin strang jildjende natuerwet, mar in idealisaasje fan it werklike gedrach, dat der min of mear fan ôfwiket, ôfhinklik fan it materiaal en de grutte fan de belesting. Sjoen it feit dat de wiskundige behanneling fan it probleem fan de materiaalsterkte mei yngewikkelde, net-lineêre ferbiningen tusken spanningen en ferfoarmings folle gruttere swierrichheden meibringt en yn ’e praktyk allinnich yn de ienfâldichste gefallen útfierd wurde kin, moatte ek by dy materialen (beton!) waans gedrach dúdlik ôfwykt fan de wet fan Hooke, berekkeningen dy’t dêrop basearre binne as earste, en meastentiids ek iennichste oanlike oplossing brûkt wurde, wat boppedat yn ’e regel tige brûkber is en mear as allinne kwalitative ynsjoggen jout. G = E|2 (1+μ).
Dat folget needsaaklik út de ferbining tusken spanning en deformaasje (8), út de transformaasjefergelikingen (16) foar spanningen en it byhearrende systeem fan ferlikingen foar de komponintdeformaasje. E en G hawwe de diminsje fan spanning en binne by alle boumaterialen grut yn ferliking mei de spanningen σ en τ dy’t foarkomme kinne. Op dit feit basearret de oeral yn de teory fan de elastisiteit oannommen ferûnderstelling dat de deformaasjes lyts binne. De koëffisjint fan dwarsdilataasje (Poisson-getal) μ is dimensjeloos en leit altyd tusken 0 en 1/2 .
Ferbiningen tusken komponintdeformaasje en ferpleatsingen. Dizze ferbiningen wurde jûn troch de fergelikingen (3), (4). Se binne suver fan geometryske aard. Dizze trije systemen jouwe 3+6+6=15 fergelikingen foar 15 ûnbekenden, dat wol sizze foar 6 komponintspanningen, 6 komponintdeformaasje en 3 komponintferpleatsingen. Dêrom binne se foldwaande foar it bepalen fan dizze ûnbekenden. De wiskundige behearsking fan sa’n útwreide systeem differinsjaalfergelikingen is, fansels, allinnich yn spesjale gefallen mooglik. As yn fergeliking (8) de komponintdeformaasje ferfongen wurdt troch komponintferpleatsingen neffens de fergelikingen (3) en (4), en dêrnei de normale spanningen σ en skearspanningen τ, neffens de fergelikingen (8 d - f), yn de evenwichtsbetingsten ynbrocht wurde, ferg. (7), dan ûntsteane differinsjaalfergelikingen dy’t de basisfergelikingen fan de elastysiteitsteory neamd wurde.
(9)
dêrby is 
de Laplace-operator oantsjut. Sjoen nei (2) binne dit trije differinsjale ferlikingen mei trije komponinteferpleatsingen μ, ν, ω; dêrút kinne troch differinsjearjen op basis fan (3), (4) en (8) alle komponintspanningen en -ferfoarmingen krigen wurde. Ferlikingen (9) foarmje faak in gaadlik útgongspunt foar it ûndersyk fan spesjale gefallen.
Ferfoarmingswurk
Definysje
As in draachkonstruksje belêste wurdt, ûndergeane de oanfalspunten fan de bûtenkrêften elastyske ferpleatsingen en leverje de krêften dêrby in beskate arbeid. Op dizze wize kin de oanbrochte enerzjy yn ferskate foarmen oergean. ‚As de belêsting op ‘e ese ynienen tapast wurdt, sadat it deformaasjeproses in grutte snelheid hat, feroaret in diel fan dizze enerzjy yn kinetyske enerzjy, dy’t yn de tiid ferdwynt, óf trochdat se as in elastyske golf nei de ûndergrûn oerbrocht wurdt en yn it ûneinige ferlern giet, óf trochdat se troch ynterne wriuwing yn waarmte omset wurdt. As de belêstingen sa sêft oanbrocht wurde dat der gjin opmerklike tanimming fan kinetyske enerzjy ûntstiet, dus dat de belêstingen dy’t stadichoan fan nul ôf groeie yn konstante lykwicht binne mei de ynterne krêften, wurdt de enerzjy fansels allinnich brûkt foar it ferfoarmjen fan it lichem en wurdt dan deformaasje-arbeid neamd.
De berekkening fan de ferfoarmingsarbeid sille wy earst sjen litte oan in dieltsje dat yn ien rjochting op trek belêste is (fig. 5).
Lit de besteande spanning σ en de oerienkommende rek ε in tanimming ûnderfine fan dσ en dε. Dan sil de krêft σdF op it paad dε * dl wurk leverje σdF * dεdl = σdεdV, as mei dV it folume fan it dieltsje bedoeld wurdt. As de spanning fan nul ta syn definitive wearde tanimt en de rek dêrmei fan 0 oant ε, dan is it totale levere wurk per ienheid folume:
Op deselde wize jildt foar in elemint dat belast is mei de skuorspanning τ (ôfb. 6) it ferfoarmingswurk per ienheid folume (spesifyk ferfoarmingswurk, elastysk potinsjeel):
wêrtroch allinnich ien fan de fjouwer krêften τ * dF wurk docht.
Yn it algemien, as op it elemintêre dieltsje alle seis komponintspanninge ynwurkje, wurdt de spesifike deformaasje-arbeid fûn troch de arbeid fan de aparte komponintspanninge byinoar op te tellen:
(10)
Troch nei de boppeste grins fan elk fan dizze yntegralen te differinsjearjen, krije wy ferhâldingen dy’t yn it meast algemiene gefal jilde:
(11)
en sa fierder foar de oare komponintale ferfoarmingen. As it lichem elastysk is, heart by elke bepaalde spanningssteat altyd deselde ferfoarmingssteat, ûnôfhinklik fan oft de steat berikt is by belêsting of ûntlasting. Dan steane ûnder de yntegralen unifoarme funksjes en de totale enerzjy ferbrûkt by belêsting en dêrnei folsleine ûntlasting is a = 0, sjoen dat yn dit gefal de boppengrinzen fan de yntegralen nul wurde. Dêrom wurdt de totale enerzjy dy’t by belêsting oan it lichem tafoege wurdt by ûntlasting weromkrigen.
Ofbylding 6
Ofbylding 7
Foar in net folslein elastysk lichem hat de ferhâlding tusken spanningen en ferfoarmingen foar de hiele syklus fan belesting en ûntlasting de foarm dy’t sawat werjûn wurdt yn fig. 7 mei de linen O A B. De enerzjy 
dy’t by de belesting oanbrocht wurdt is gelyk oan it flak OAA, en de by ûntlasting weromjûne enerzjy oan it flak ABA, sadat it wurk dat oerienkomt mei it skaaide flak ferlern giet (omset wurdt yn waarmte). As yn in oscillearjend proses de spanning periodyk feroaret tusken de positive grinswearde 
en de negative grinswearde, 
rint de net-elastyske ferfoarming ferlykber mei wat mei streepte linen werjûn is yn fig. 7 en by elke oscillaasjperioade wurdt per ienheid folume de enerzjy DABCD omset yn waarmte. Soks gedrach by ferfoarming, wêrby’t de ferfoarming efterbliuwt by de spanning, hjit elastyske hysteresis, en de kromme DABCD is de hysteresislus.
Ferfoarmingswurk en de wet fan Hooke
As men yn de yntegralen yn fergeliking (10) de wet fan Hooke ynfiert, kin yntegraasje útfierd wurde, en foar it spesifike ferfoarmingswurk krijt men de útdrukkingen:
(12a)
(12b)
(12c)
As de twadde fan dizze foarmen yn de fergeliking (11) ynfoege wurdt, ûntstiet op ’e nij de wet fan Hooke, fergelikingen (8), yn de foarm oplost nei de spanningen. De útspraak dat de deformaasje-arbeid ôfhinklik is fan de komponintefoarmen fan deformaasje, sa’t werjûn troch fergeliking (12b), is dêrom ekwivalint mei de wet fan Hooke. As fergeliking (12c) nei de spanningen differinsjearre wurdt, krijt men
(13)
Dizze foarmen jilde, oars as de foarmen (11), allinnich foar lichems dy’t har gedrage neffens de wet fan Hooke en kinne net tapast wurde as de ferbannen tusken spanningen en ferfoarmingen oars binne. Fansels steane oan de rjochterkant fan de fergelikingen (13) allinnich de komponintferfoarmingen feroarsake troch spanningen, en wurde alle oare útsletten dy’t mooglik ûntstien binne troch feroaring fan temperatuer, krûp, swoljen, rekristallisaasje, ensfh.
INTEGRALE STELLINGEN YN DE ELASTISITEITSTEORY
Firtuele ferpleatsingen. Prinsipe fan it minimum fan potinsjele enerzjy
Lykas de wet fan Hooke, de ferlikingen (8) ferfongen wurde kinne troch ien ferliking (12b), sa kin ynstee fan de lykwichtsbetingsten ek it prinsipe fan firtuele ferpleatsingen ynfierd wurde, as in algemien jildende fûnemintele wet fan de meganika. Dizze wet jout oan dat lykwichtstastannen har derfan ûnderskiede dat by harren de totaal útfierde arbeid fan alle krêften by in lytse feroaring fan de deformaasje-tastân gelyk is oan nul. As wy lytse feroarings fan elastyske ferpleatsingen oantsjutte mei δμ δν, δω, dan dogge de yn it folume wurkjende krêften definiearre troch ferliking (7) firtuele arbeid
en de oerflaktekrachten px, py, pz dy’t wurkje op it elemint dF fan it bûtenoerflak fan it lichem wurk 
wêrby’t it trijefâldige yntegraal jildt foar it hiele folume, en it twafâldige foar it hiele bûtenoerflak fan it lichem. Foar it berekkenjen fan it wurk dat troch de ynterne krêften ferrjochte wurdt, wurdt de fergeliking (12b) brûkt, en foar it wurk per ienheid folume krijt men
It prinsipe fan de firtuele ferpleatsingen jout dêrmei
(14)
As de belêstingen X, Y, Z px, py., pz sjoen wurde as ûnderdielen fan de swiertekrêft (eigen gewicht en eksterne belêsting), fertsjinwurdigje de yntegralen oan de rjochterkant de potinsjele enerzjy dy’t dizze belêstingen ferlern hawwe, wylst de lofterkant de tafoeging fan potinsjele (elastyske) enerzjy fan it lichem foarstelt, sadat dit prinsipe oanjout dat de totale potinsjele enerzjy fan drager en de belêstingen dy’t derop lizze yn it gefal fan lykwicht in ekstreem wearde hat. As dy ekstreem wearde in minimum is, is it lykwicht stabyl.
It prinsipe fan de minimale potinsjele enerzjy, útdrukt troch ferliking (14), de útdrukking (12b) foar de deformaasje-arbeid en de kompatibiliteitsbetingsten foar ferfoarmingen (5), (6) foarmje in systeem fan ferlikingen dat foldwaande is foar de opbou fan de elastisiteitsteory, en dat yn wêzen lykweardich is oan it systeem fan ferlikingen. Dit systeem kin benammen nuttich wêze yn gefallen dêr’t it foldwaan oan de differinsjale ferlikingen (9) rekkentechnyske swierrichheden opsmyt en dêrmei in benaderjende oplossing socht wurde moat, bygelyks troch foar ferpleatsingen foaroan in gaadlike foarm oan te nimmen mei in pear frije konstanten, wêrnei’t dizze fêststeld wurde út de eask dat ferliking (14) foldien is. Sa wurdt wol gjin strang oplossing fan it probleem krigen, mar allinne de bêste approksimaasje dy’t mei de keazen oplossingsfoarm berikt wurde kin. Oft de benadering foldwaande is, hinget yn it foarste plak ôf fan de oannommen oplossingsfoarm, en it suksesfol tapassen fan dizze metoade freget dêrom feardigens en ûnderfining.
Castigliano syn prinsipe
Wylst by it prinsipe fan de minimale potinsjele enerzjy alle deformaasje-tastannen dy’t oan de easken fan de kompatibiliteit fan deformaasje foldogge mei-inoar ferlike wurde en dêrút dy keazen wurde dêr’t de byhearrende spanningen de lykwichtseasken foldogge, wurde by it prinsipe fan Castigliano alle spannings-tastannen dy’t de lykwichtseasken foldogge ferlike en dêrút dy keazen wurde dêr’t de byhearrende deformaasje de kompatibiliteitseasken foldogge. Dit prinsipe seit: út alle mooglike lykwichtstastannen ûntstiet yn werklikheid dyjinge dêr’t de lytste deformaasje-arbeid by heart. It prinsipe fan Castigliano foarmet tegearre mei de fergeliking (12c) foar de deformaasje-arbeid en de lykwichtseasken in stelsel fan fergelikingen dat foldwaande is foar de opbou fan de sterkte fan materialen. Mei it each op dat dit prinsipe de wet fan Hooke befettet, is de tapassing derfan bûn oan de oanname dat de deformaasje folslein troch dizze wet beskreaun wurde kinne. Dit freget net allinnich om lineêr elastysk gedrach fan it materiaal, mar slút ek temperatuerferoarings út.
Gedrach fan materialen boppe de elastisiteitsgrinzen
Ferskynsels by statyske belesting
Deformaasje fan it materiaal ûnder ynfloed fan spanningen is in tige yngewikkeld ferskynsel, sadat it op ferskate manieren ferienfâldige wurde moat om begrepen te wurden. Ien fan dizze ferienfâldigingen is de oanname dat de lesten stadichoan oanbrocht wurde, sa’t dat bygelyks dien wurdt mei proefstikken by trek- en drukproeven.
As in stielen stêf, belêste yn trek, ûnderwurpen wurdt oan in lading dy’t stadichoan tanimt en syn ferlinging ε mjitten wurdt, ûntstiet it diagram werjûn yn ôf. 8. Yn it begjin is de ferlinging tige lyts en evenredich mei de spanning, sa’t de wet fan Hooke dat easket. Fan in bepaalde spanning ôf hâldt de evenredigens op en nimt de ferlinging flugger ta. De krekte posysje fan de grins fan dizze evenredigens is dreech fêst te stellen. Hoe krekt it mjitten is, hoe leger dy útkomt. Foar de measte materialen leit dy by σ = 0, en de wet fan Hooke stelt dan allinnich in earste benadering foar fan elastysk gedrach, de earste term yn de ûntwikkeling yn de Taylor-searje fan de funksje ε = ε (σ) om de koördinatoarsprong hinne.
As de stêf ûntlêsten wurdt, wurdt waarnommen dat, as de spanning net te grut wie, ek de deformaasje ferdwynt, yn oerienstimming mei de wet fan Hooke. Mar ek dit feroaret as in beskate spanning oerskreaun wurdt dy’t ticht by de proporsjonaliteitsgrins leit, de saneamde elastisiteitsgrins; dan bestiet de totale deformaasje út in elastysk (weromkommend) en in net-elastysk (permanint) diel. Ek de elastisiteitsgrins kin net krekt fêststeld wurde; dy leit sa folle leger as de mjittingskrektens grutter is. Omdat se lykwols grutte technyske betsjutting hat, om’t se de wichtichheidsgrins foarstelt by hast alle berekkeningen yn de materiaalsterkte, en tagelyk de grins dêr’t de earste permaninte skea ûntstiet, wurdt se foar it ûndersyk fan samples strak definiearre troch in oannommen konvinsje, en wurdt, bygelyks, as grins 0.2% de spanning oantsjut dêr’t de permaninte dilataasje 0.2% berikt.
Fuort nei it oerskriuwen fan de elastisiteitsgrins nimt de ferfoarming ynienen ta en kin se mei it bleate each waarnommen wurde; by in hast konstante spanning ferlinget de stêf him trochgeand. Dizze spanning hjit de strekkingsgrins. By hydraulyske materialen-testmasines kin dêrneist nei it begjin fan de strekkingsfaze in mear of minder útsprutsen fal fan de spanning waarnommen wurde; sa’t oanjûn is op ôfbylding 8 mei de stippelline; dan hjit it maksimum de boppeste strekkingsgrins, en de dêrnei optredende konstante strekkingsspanning de ûnderste strekkingsgrins.
As in bepaalde ferlinging berikt is, dy’t hast folslein net-elastysk is, begjint de spanning wer ta te nimmen, it materiaal ferhurdet. Yn dit belastingsgebiet ûntstiet in dúdlike fermindering fan de trochsneed fan de stêf troch (net-elastyske) sydkontraksje, en it fierdere ferrin fan it spannings- en ferfoarmingsdiagram hinget foaral dêrfan ôf oft by it berekkenjen fan de spanning σ de trekkrêft P dy’t op de stêf wurket dield wurdt troch de oarspronklike trochsneed F0 of troch de hjoeddeiske trochsneed F. Foar technyske doelen is de spanning P|F0 fan belang. Dizze spanning giet troch in maksimum dat de sterkte fan it materiaal neamd wurdt, en as dat maksimum foarby is, wurdt de stêf op ien plak sterk smeller en brekt. De “werklike spanning” P|F nimt ta oant it brekpunt.
Ofbylding 8.
It gedrach fan oare metalen wykt yn in protte opsichten ôf fan wat hjir beskreaun is. Strekkjen is faak net dúdlik oanwêzich, en ferhurding begjint fuort nei’t de elastisiteitsgrins oerskreaun is. By bros materialen (stien, glês, beton) binne net-elastyske deformaasje yn it algemien lyts, en al by lytse ferlinging treedt brek op. De totale ferlinging dy’t it materiaal oant it brekpunt ûnderfynt, is in mjitte foar de rekberens (it tsjinoerstelde: de broosheid) fan it materiaal, en dy wurdt foar stiel krekt foarskreaun yn de technyske betingsten. Omdat lykwols fuort foar it brekpunt fierdere deformaasje him konsintrearret op de omlizzende plakken fan ferlinge trochsneed, wurdt in oare wearde fan de ferlinging by brek krigen, ôfhinklik derfan oft foar de mjitlingte in grutter of lytser part fan de stêf nommen wurdt, sadat foar it krijen fan unifoarme en ûnderling ferlykbere resultaten foarôf in bepaalde konvinsje fêstlein wurde moat. De ferlinging by brek wurdt yn ‘e regel metten troch op in rûne stêf mei diameter d foar it ûndersyk de mjitlingte Ι = 10 d oan te jaan en út de ferlinging dêrfan ΔΙ de ferlinging by brek te berekkenjen εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ As it nedich is om stêven fan in oare trochsneed te ûndersykjen, wurdt de mjitlingte bepaald neffens de diameter fan in rûne silindryske stêf mei itselde oerflak fan de trochsneed.
Langduorjende belêsting
Foar it ferrin fan de trekproef makket it frijwat neat út oft de belesting oant brekken yn ’e rin fan 10 m minuten of in pear oeren tanimt. As de belesting lykwols jierren of tsientallen jierren wurket, wurdt ûnder bepaalde omstannichheden waarnommen dat ek ûnder de rekgrins de ferfoarming by konstante spanning yn de rin fan de tiid stadich tanimt. Dêrby feroaret it elastyske diel, dat wol sizze it part dat by de definitive ûntlastingen ferdwynt, net merkber. Dizze tanimming fan de net-elastyske ferfoarming dy’t him yn langere tiid ôfspilet hjit krûpen. By metalen, útsein by lead, is krûpen allinnich fan betsjutting by hege temperatueren; foar de bou-ynjener spilet it lykwols in rol by beton dat ûnder druk stadichoan ta jout, sadat de spanning yn de drukt wapening tanimt, as dy der is.
Fariabele belêsting
Om de meganyske eigenskippen fan it materiaal, krigen by de trekproef, as maatstaf foar de tastiene belêsting fan konstruksjes brûke te kinnen, is de betingst dat it materiaal by elke werhelle belêsting de spanning ferneare moat dy’t it ien kear sûnder skea trochstien hat. Dizze betingst wurdt net ferfolle as it materiaal bleatsteld wurdt oan faak werheljen fan belêsting en ûntlastiging, lykas bygelyks it gefal is by dragers dy’t belêste wurde troch ynertiale krêften fan ûnfolslein balansearre masines. Troch foldwaande faak werheljen fan de belêsting kin in konstruktive ûnderdiel ta breuk komme, sels by in spanning dy’t fier ûnder de sterkte fan it materiaal leit, bepaald troch in gewoane statyske proef. It ferskynsel fan breuk fan dizze soarte hjit breuk troch wurgens. It tal n belêstingssykly dat it materiaal ferneare kin hinget ôf fan de grutte fan de spanning σ, sadat it safolle grutter is, hoe lytser de spanning. In typysk foarbyld fan dizze ôfhinklikens is toand op fig. 9, dêr’t út bliken docht dat foar de sterkte fan it materiaal in ûndergrins bestiet, dy’t it ek by in willekeurich grut tal belêstingssykly ferneart en dy’t de dynamyske sterkte fan it materiaal hjit. Diagrammen fan dit type (fig. 9) wurde Wöhler-kurven neamd.
Ofbylding 9.
Feiligens fan konstruksjes
Twa grinsbelêstingen binne fan belang foar konstruksjes: de belêsting by hokker de earste permaninte skea ûntstiet (strekkingsgrins), en de belêsting by hokker it draachfermogen fan de konstruksje útput is, sadat dy brekt (brekgrins). Om’t foar de strekkingsgrins teminsten by benadering de oannames fan de materiaalleer jilde (lytse ferpleatsingen, de wet fan Hooke), kin de feiligens tsjin permaninte ferfoarmingen betrouber beoardiele wurde yn al dy gefallen dêr’t it slagget de wiskundige swierrichheden te oerwinnen. As de spanning evenredich is mei de belêsting, is de ferhâlding fan de strekkingsspanning ta de grutste spanning dy’t yn de konstruksje optreedt gelyk oan de ferhâlding tusken de belêsting wêrby’t strekkingsfoarming ûntstiet en de werklike belêsting en foarmet de feiligenskoëffisjint tsjin strekkingsfoarming. Lykwols bestiet yn in rige gefallen dizze ienfâldige ferhâlding net: bûging wêrby’t trek útsletten wurdt, druk tusken bolle oerflakken, systemen wêrfan de struktuer fariabel is en, wat benammen ûngeunstich is, bûging mei in aksiale krêft. Yn al dizze gefallen kin in relatyf lytse ferheging fan de belêsting ta in grutte ferheging fan de spanning liede, en dan is it net genôch om de gewoane feiligenskoëffisjint op de spanningen ta te passen, mar moat dy op de belêsting tapast wurde.
De ferskynsels dy’t foarkomme nei it oerskriuwen fan de streamgrins oant de breuk kinne yn de measte gefallen noch allinne kwalitatyf folge wurde. As it materiaal duktyl is, dogge de parten dêr’t earst de streamgrins berikt waard, en dy’t fierder ferfoarmje by in konstante spanning of in spanning dy’t mar bytsje tanimt, mar lyts mei oan it opnimmen fan fierdere belesting, sadat de rest, minder belêste dielen fan de konstruksje, as dat mei it each op har struktuer mooglik is, mear meidwaan oan it dragen. Yn dizze tendins ta it lykmeitsjen fan spanningspieken leit in beskate feiligensreserve, dy’t rekkenkundich brûkt wurde kin as de permaninte ferfoarming fan bepaalde ûnderdielen, ûntstien by mar ien grutte belesting, net skealik is (grinsbelestingsmetoade).
As it materiaal bros is, docht de earste permaninte skea him foar yn skuorren, wêrtroch op it bedrige plak noch sterkere spanningskonsintraasje ûntstiet, dy’t fuortendaliks brek feroarsaket. Brek troch wurgens hat ek by duktilere materialen de eigenskippen fan bros brekken.
Ferbiningen tusken spanningen foar ferskillende trochsneedflakken
Ferfoarmingsfergelikingen
De njoggen komponintespenningen op sl. 1 binne ferbûn mei trije lykwichtsbetingsten. De seis oerbleaune grutheden σx, σy, σz τxy, τyz, τzx kinne, ûnôfhinklik faninoar, willekeurige wearden krije, sa’t bliken docht út de ôflieding fan de differinsjaalfergelikingen fan de elastisiteitsteory. As dizze wearden lykwols jûn binne, is de spanningssteat yn in bepaald punt fan in fêst lichem folslein fêstlein, dat wol sizze: as de spanningen foar trije ûnderling loodrjochte flakken bekend binne, kin ek de spanning foar in fjirde flak, dat troch it jûne punt giet en wêrfan de normaal in willekeurige rjochting hat, ienriedich bepaald wurde.
Op ôfb 10 is in tetraëder OABC toand waans trije sydflakken parallel binne oan de flakken fan it koördinatesysteem x, y, z en it fjirde in willekeurich oriïntearre oerflakselemint ABC = dF foarstelt. Om syn rjochting en de rjochting fan de spanning dy’t dermei oerdroegen wurdt oan te jaan, wurdt in twadde koördinatesysteem ynfierd, waans ξ-as loodrjocht stiet op dF.
Ofbylding 10
De betingst fan lykwicht fan de krêften dy’t op dizze tetraëder ynwurkje yn de rjochting fan de ξ-as jout
As men der rekken mei hâldt dat
wurdt krigen
en ferlykber dêrmei út de lykwichtsomstannichheden yn de rjochting fan de as η:
Dit binne fergelikingen dy’t tsjinje foar de berekkening fan spanningen by de transformaasje fan koördinaten. Fan bysûnder belang is dat allinne sokke eleminten fan it oerflak dF beskôge wurde, dêr’t de ξ-as gearfalt mei de z-as. De foarmen foar dit gefal kinne wy krije troch ferienfâldiging fan de foarige foarmen of streekrjocht lêze út ôfbylding 11:
Figuer 11
De normale spanning nimt ekstreme wearden oan foar rjochtingen α = α0 , wêrfoar dσξ/dα = 0. Troch differinsjaasje wurdt út fergeliking (16) krigen
en dus, as dizze útdrukking op nul set wurdt
De spanning τξη sil tagelyk de totale skuorspanning yn dizze flakken wêze, as τyz = τzx = 0. Dan binne troch fergeliking (17) twa ûnderling loodrjochte rjochtingen bepaald wêrfoar: 1. de totale skuorspanning nul is en, 2. de normaalspanning ekstreme wearden hat (maksimum en minimum). Dizze rjochtingen wurde de rjochtingen fan de haadspanningen neamd, en de oerienkommende spanningen haadspanningen. Se wurde oanjûn mei σ1 en σ2 en kinne streekrjocht berekkene wurde út de formule
Mohr-sirkel
De fergelikingen (16) kinne op in dúdlike manier grafysk werjûn wurde. Dêrfoar moat men se transformearje nei de foarm:
Dizze fergelikingen foarmje yn it koördinatestelsel σ, τ de parametryske foarm fan de fergeliking fan de sirkel, tekene op ôfbylding 12, waans koördinaten fan it sintrum σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 binne en waans straal
Dizze sirkel hjit de Mohr-sirkel. As troch it punt x in line lutsen wurdt dy’t parallel is oan it snijflak x =const., wêrtroch de spanningen σx, τxy oerdroegen wurde, dan sil dy de sirkel snije yn it punt p, dat it poal fan de Mohr-sirkel hjit. Elke line pξ dy’t troch dizze poal lutsen wurdt, snijt de sirkel yn it punt ξ dat de spanningen σξ, τξη oanjout dy’t oerdroegen wurde oer de snede parallel oan pξ.
Wat de tekens fan de skuorspanningen oanbelanget by it tekenjen fan de Mohr-sirkel moat der rekken mei holden wurde dat se omheech oanbrocht wurde as se de rjochting hawwe dy’t op ôf. 12c sjen litten wurdt. Dêrom is fan de twa konjugearre spanningen τxy, τyx de iene altyd posityf en de oare negatyf.
By de grinswearden σ1, σ2 fan de normale spanningen hearre de punten 1 en 2 op de sirkel, en de linen _p_1 en _p_2 jouwe de rjochtingen fan de haadspanningen.
It werjaan fan spanningen dy’t yn it x-y-fak lizze mei help fan de Mahr-sirkel is net ferbûn mei hokker ferûnderstelling dan ek oer de spanningen σz, τxz, τyz loodrecht op dit flak.
Ofbylding 12
Dat jildt dêrmei ek foar de meast algemiene trijediminsjonale spanningssteat, as allinnich dy snijflakken mei-inoar ferlike wurde dy’t allegear troch deselde rjochte geane, dy’t hjir keazen is as de z- en ξ-as. Omdat neffens de algemiene transformaasjelykingen (15) de normale spanning σ foar gjin inkeld snijflak ûneinich wurde kin, moat dy foar ien flak in einige maksimum σ1 hawwe en foar in oar in minimum σ3, dy’t beide, fansels, ek negatyf wêze kinne. As troch de fektoren σ1 en σ3 in flak lutsen en de Mohr-sirkel tekene wurdt (ôfb. 13)
Ofbylding 13
foar spanningen dy’t yn dit flak lizze (dat wol sizze alle rjochtingen dy’t loodrecht steane op dit flak), dan binne σ1 en σ3 de grutste en lytste normale spanningen dy’t foarkomme kinne en dêrom moatte se ûnderling loodrecht wêze. As de rjochtingen 1 en 3 oanfolle wurde mei de rjochting 2, sadat dizze trije rjochtingen in rjochthoekich koördinatestelsel foarmje, en as de Mohr-sirkels tekene wurde foar de flakken 1 ~2 en 2 ~ 3, dan is σ2 foar ien fan dizze sirkels de grutste, en foar de oare de lytste normale spanning, en dêrom is yn de snitten loodrecht op de rjochtingen 1, 2 en 3 de skuorspanning gelyk oan nul. Trije ûnderling loodrechte normale spanningen σ1, σ2 en σ3, dêr’t gjin skuorspanningen by hearre, wurde de haadspanningen neamd.
Floeigrins en brekgrins by romtlike spanningsstân
De spanningstastân wurdt ien-, twa- of trijediminsjonaal neamd, oars sein: lineêr, flak of romtelik, ôfhinklik fan oft ien, twa of alle trije haadspanningen oars binne as nul. By konstruktive ûnderdielen dy’t it meast tapast wurde, dus by de trekke, drukke en bûgde stêf, is de spanningstastân, alteast op de meast belêste plakken, ien-diminsjonaal, en itselde jildt foar trek-, druk- of bûgproeven, dy’t by materiaalûndersyk hast allinnich brûkt wurde foar it fêststellen fan tastiene spanningen. Dêrfoaroer is by platen dy’t yn harren flak of loodrecht dêrop belêste wurde, lykas by skellen, de spanningstastân twadiminsjonaal, en yn beskate gefallen komme ek trijediminsjonale spanningstastannen foar, sadat it needsaaklik is om op basis fan de streamgrins en brekgrins, fêststeld by ien-diminsjonale spanningstastân, konklúzjes te lûken oer it gedrach fan it materiaal by in romtelike spanningstastân.