Basisprincipes
De taak van de sterkteleer is vast te stellen welke uitwendige krachten een vast lichaam (bijv. een bouwwerk, constructief onderdeel of grond) kan weerstaan. Om op deze vraag een antwoord te geven wordt uitgegaan van twee criteria: enerzijds mogen de spanningen bepaalde grenzen, die afhangen van het soort materiaal, niet overschrijden, en anderzijds moet het evenwicht tussen uitwendige en inwendige krachten stabiel zijn. In overeenstemming hiermee kunnen alle problemen van de sterkteleer worden onderverdeeld in „spanningsproblemen“ en „stabiliteitsproblemen.“
Bij staven en balken en uit hen samengestelde draagconstructies (vakwerken, raamwerken) wordt de spanningsbepaling in twee stappen uitgevoerd, en wel zo dat eerst op basis van de opgegeven uitwendige krachten de resultante van de inwendige krachten die via de dwarsdoorsnede worden overgedragen wordt berekend, waarna uit deze “doorsnedekrachten” de spanningen worden bepaald. Het eerste deel van deze procedure vormt een afzonderlijke, omvangrijke discipline, de statica van bouwconstructies, die over uitgewerkte eigen methoden beschikt en die gewoonlijk wordt losgemaakt van de materiaalsterkteleer, waarvan de taak neerkomt op het bepalen van de spanningen uit gegeven doorsnedekrachten.
Basisbegrippen van de materiaallast
Tot de definitie van spanning komt men via de volgende grondoverwegingen. Laat een evenwichtsysteem van uitwendige krachten op het lichaam werken. Stel u voor dat wij het lichaam met een willekeurige doorsnede in twee delen hebben gesplitst en één daarvan samen met de krachten die erop werken hebben verwijderd; dan moet de werking ervan op het andere deel, om het krachtenevenwicht en de verdeling van de vervormingen onveranderd te laten, worden vervangen door aanvullende krachten die via het doorsnedevlak worden overgedragen. Deze “inwendige” krachten zijn continu over het doorsnedevlak verdeeld, zodat aan elk oppervlakteelement dF een kracht dβ beantwoordt. Als men de verhouding dβ dF vormt en de limietovergang dF -> 0 maakt, dan nadert deze verhouding tot de grenswaarde die spanning wordt genoemd. De spanning in een bepaald oppervlakteelement is, evenals dβ, en kan worden ontbonden in componenten normaal en tangentieel op dF, de normale spanning σ en de schuifspanning τ.
Als door hetzelfde punt doorsneden in verschillende richtingen worden gelegd, zullen daarbij ook verschillende spanningen horen. Met name, als uit het lichaam een elementaire kubus wordt afgescheiden, weergegeven in afb. 1, zal op elk van de zes vlakken een spanningsvector werken die kan worden ontbonden in drie componenten in de richting van de assen x, y z. De spanningen die op tegenoverliggende vlakken werken, verschillen onderling uiteraard slechts in differentiaalvorm, zodat men onderscheid moet maken tussen 3 * 3 = 9 componentspanningen, die als volgt worden aangeduid:
Normale spanningen σ krijgen een index van de as in wiens richting zij liggen en worden als positief beschouwd als zij trek veroorzaken, negatief als zij druk veroorzaken. Schuifspanningen τ krijgen twee indices; de eerste is dezelfde als de index van de overeenkomstige normale spanning, en de tweede verwijst naar de as in de richting waarvan de schuifspanning werkt. Als de positieve richting van de overeenkomstige normale spanning in de richting van de positieve (negatieve) coördinaatas ligt, wordt de schuifspanning ook als positief beschouwd als zij in de richting van de positieve (negatieve) coördinaatas werkt.
Afbeelding 1.
Conjugatie van schuifspanningen
Als voor een elementair blokje, fig. 1, de voorwaarde wordt gesteld dat het moment van alle krachten ten opzichte van de x-as nul is, volgt τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. Hieruit, en uit de twee overeenkomstige vergelijkingen voor de y- en z-assen, volgt dat de schuifspanningen met dezelfde indices onderling gelijk zijn τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Componentvervormingen
Dat de hierboven gedefinieerde spanningen een fysieke betekenis hebben, blijkt uit hun verband met de vervorming die elk lichaam onder invloed van externe krachten ondergaat. Afb. 2 toont een elementair blokje dat vóór de vervorming rechthoekig was en zijden had met lengten dx, dy, dz. De lengten van de zijden na de vervorming kunnen we aanduiden met dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; de verhoudingen εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz worden rekken genoemd. Dit zijn grootheden zonder dimensie en bij alle voor de bouw in aanmerking komende materialen klein ten opzichte van 1. Naast het verlengen van de randen kan het elementaire blokje dx * dy * dz ook een verandering ondergaan van de oorspronkelijk rechte hoeken tussen zijn vlakken.
Afbeelding 2. componentvervorming
Stel dat na de vervorming de hoek tussen de vlakken die elkaar snijden langs de rand OC gelijk is aan 
en laat overeenkomstig de verkleining van de rechte hoek langs de rand AO gelijk zijn aan γyz, en de verkleining langs de rand OB gelijk aan γzx. Deze drie hoekveranderingen γxy, γyz, γzx worden schuivingen genoemd en zijn eveneens altijd klein ten opzichte van 1. Met de zes componenten ε en γ is de vervorming van het elementaire kubusje volledig bepaald, de „kleine vervorming”. De verandering van het volume-element d_V = dx * dy * dz_ is ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, waaruit, wanneer de producten van rekken als kleine grootheden van hogere orde worden verwaarloosd, de volumieke rek ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) wordt verkregen
Verplaatsingen
De vervorming van een vast lichaam kan ook volledig zo worden beschreven, dat aan elk van zijn punten de verplaatsing wordt toegekend die dat punt heeft ondergaan. Als uit de beschouwing de eindige verplaatsingen worden weggelaten die overeenkomen met de verplaatsing van een star lichaam, door indien nodig in de berekening een verplaatsbaar coördinatenstelsel aan te nemen, dan zijn ook de componentverplaatsingen μ, ν, ω steeds kleine grootheden, en hun afgeleiden naar de coördinaten klein ten opzichte van 1. Onder deze aanname is volgens afb. 3 de lengte van het linienelement OA = dx na vervorming
dus 
(3)
Op vergelijkbare wijze blijkt uit afb. 3 dat de schuiving γxy γ1 + γ2: en eveneens
(4)
Afbeelding 3 glijden
(5) 
(6)
Deze verbanden worden compatibiliteitsvoorwaarden genoemd en geven aan dat de vervormde elementen als een mozaïek kunnen worden ingepast, zodat de ruimte daarbij continu gevuld blijft, wat niet kan worden bereikt als de vervormingen van de elementen willekeurig zijn. Compatibiliteitsvoorwaarden zijn differentiaalvergelijkingen, zodat uiteraard alle zes componentvervormingen voor elke afzonderlijke blokvormige element onderling onafhankelijk zijn, maar hun ordening in elk eindig uitgestrekt gebied gebonden is aan de voorwaarden (5) en (6).
Aangezien deze voorwaarden zijn verkregen door differentiatie uit de vergelijkingen (3) en (4), gaat bij hun afleiding een deel van de in de oorspronkelijke vergelijkingen vervatte verbanden verloren. Daarom is het niet voldoende dat slechts één van deze twee stelsels vergelijkingen vervuld is, maar moeten beide stelsels worden voldaan als men wil dat de vervormingscompatibiliteit gewaarborgd is.
Differentiaalvergelijkingen van het elastisch systeem
Voor de berekening van spanningen en vervormingen bij elastische lichamen dienen de volgende vergelijkingen:
Evenwichtsvoorwaarden van een volume-element. De voorwaarden dat de momenten om de drie assen gelijk zijn aan nul, zijn reeds gebruikt bij de afleiding van vergelijking (1). De voorwaarden van krachtenevenwicht geven volgens afb. 4
Afbeelding 4
(7a-c)
Als met X, Y, Z de componenten van volumekrachten (bijv. gewicht, centrifugale kracht) per volume-eenheid worden aangeduid. Verbanden tussen spanningen en vervormingen. Hieronder wordt het verband tussen componentenspanningen en componentvervormingen verstaan. In de theorie van de elasticiteit komt in de regel alleen een lineair verband in aanmerking, dat wordt uitgedrukt door de wet van Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
Als de vergelijkingen (8a-c) worden opgelost naar de spanningen, verkrijgt men
(8 a)
kso en twee overeenkomstige vergelijkingen. De wet van Hooke, uitgedrukt door vergelijking (8), vormt geen strikt geldende natuurwet, maar een idealisering van het werkelijke gedrag, dat er meer of minder van afwijkt, afhankelijk van het materiaal en de grootte van de spanning. Aangezien de wiskundige behandeling van sterkteproblemen met ingewikkelde, niet-lineaire verbanden tussen spanningen en vervormingen aanzienlijk grotere moeilijkheden oplevert en in feite alleen in de eenvoudigste gevallen kan worden uitgevoerd, moeten ook bij die materialen (beton!) waarvan het gedrag aanzienlijk afwijkt van de wet van Hooke, op deze wet gebaseerde berekeningen in de eerste plaats, en meestal ook als enige, als benaderde oplossing worden gebruikt; deze is overigens in de regel zeer bruikbaar en geeft meer dan alleen kwalitatief inzicht. G = E|2 (1+μ).
Zij volgt noodzakelijkerwijs uit het verband tussen spanning en vervorming (8), uit de transformatievergelijkingen (16) voor spanningen en uit het overeenkomstige stelsel vergelijkingen voor de componentvervormingen E en G hebben de dimensie van spanning en zijn bij alle bouwmaterialen groot ten opzichte van de spanningen σ en τ die kunnen optreden. Op dit feit berust de overal in de elasticiteitstheorie aanvaarde veronderstelling dat de vervormingen klein zijn. De coëfficiënt van dwarsuitzetting (Poissongetal) μ is dimensieloos en ligt altijd tussen 0 en 1/2 .
Verbanden tussen componentale vervormingen en verplaatsingen. Deze verbanden worden gegeven door de vergelijkingen (3), (4). Zij zijn zuiver van geometrische aard. Deze drie stelsels leveren 3+6+6=15 vergelijkingen voor 15 onbekenden, namelijk voor 6 componentale spanningen, 6 componentale vervormingen en 3 componentale verplaatsingen. Zij zijn derhalve voldoende om deze onbekenden te bepalen. De wiskundige beheersing van een zo omvangrijk stelsel differentiaalvergelijkingen is uiteraard slechts in bijzondere gevallen mogelijk. Als in vergelijking (8) de componentale vervormingen worden vervangen door componentale verplaatsingen volgens de vergelijkingen (3) en (4) en vervolgens de normale spanningen σ en de schuifspanningen τ, volgens de vergelijkingen (8 d - f), in de evenwichtsvoorwaarden, verg. (7), worden ingevoerd, ontstaan differentiaalvergelijkingen die de basisvergelijkingen van de elasticiteitstheorie worden genoemd.
(9)
waarbij 
de Laplace-operator is aangeduid. Gezien (2) zijn dit drie differentiaalvergelijkingen met drie componentverplaatsingen μ, ν, ω; daaruit kunnen door differentiatie op basis van (3), (4) en (8) alle componentspanningen en -vervormingen worden verkregen. De vergelijkingen (9) vormen vaak een geschikte uitgangspositie voor de bestudering van bijzondere gevallen.
Deformatiewerk
Definitie
Wanneer een draagconstructie wordt belast, ondergaan de aangrijpingspunten van de uitwendige krachten elastische verplaatsingen en verrichten de krachten daarbij een zekere arbeid. Op deze wijze kan de toegevoerde energie in verschillende vormen overgaan. Als de belasting plotseling wordt aangebracht, zodat het vervormingsproces een aanzienlijke snelheid heeft, wordt een deel van deze energie omgezet in kinetische energie, die in de loop van de tijd weer verdwijnt, hetzij doordat zij als elastische golf naar de ondergrond wordt overgedragen en daar in het oneindige verloren gaat, hetzij doordat zij door inwendige wrijving in warmte wordt omgezet. Als de belastingen zo geleidelijk worden aangebracht dat daarbij geen merkbare toename van de kinetische energie ontstaat, dus als de geleidelijk toenemende belastingen vanaf nul voortdurend in evenwicht zijn met de inwendige krachten, dan wordt de energie duidelijk uitsluitend verbruikt voor de vervorming van het lichaam en wordt zij dan vervormingsarbeid genoemd.
De berekening van het vervormingswerk zullen wij eerst tonen aan een deeltje dat in één richting op trek wordt belast (afb. 5).
Stel dat de bestaande spanning σ en de bijbehorende rek ε toenemen met dσ en dε. Dan zal de kracht σdF over de weg dε * dl arbeid verrichten σdF * dεdl = σdεdV, als met dV het volume van het element wordt aangeduid. Als de spanning toeneemt van nul tot haar eindwaarde en de rek dienovereenkomstig van 0 tot ε, dan bedraagt de totale verrichte arbeid per volume-eenheid:
Evenzo geldt voor een element dat wordt belast met afschuifspanning τ (afb. 6) de vervormingsarbeid per volume-eenheid (specifieke vervormingsarbeid, elastische potentiaal):
waarbij slechts één van de vier krachten τ * dF arbeid verricht.
In het algemeen, wanneer op het elementaire deeltje alle zes componentspanningen inwerken, wordt de specifieke vervormingsarbeid verkregen door de som van de arbeid van de afzonderlijke componentspanningen:
(10)
Door differentiatie naar de bovengrens van elk van deze integralen worden betrekkingen verkregen die in het meest algemene geval gelden:
(11)
en dergelijke voor de overige componentvervormingen. Als het lichaam elastisch is, komt bij elke bepaalde spanningstoestand altijd dezelfde vervormingstoestand overeen, ongeacht of die toestand is bereikt tijdens belasten of ontlasten. Dan staan onder de integralen eenduidige functies en de totale energie die bij het belasten en vervolgens volledig ontlasten wordt verbruikt is a = 0, aangezien in dit geval de bovengrenzen van de integralen nul worden. Daarom wordt de totale energie die aan het lichaam wordt toegevoerd bij het belasten, bij het ontlasten teruggewonnen.
Afbeelding 6
Afbeelding 7
Voor een slechts gedeeltelijk elastisch lichaam heeft het verband tussen spanning en vervorming voor de gehele cyclus van belasten en ontlasten ongeveer de vorm zoals weergegeven op afb. 7 met de lijnen O A B. De bij het belasten toegevoerde energie 
is gelijk aan de oppervlakte OAA, en de bij het ontlasten teruggegeven energie aan de oppervlakte ABA, zodat de arbeid die overeenkomt met het gearceerde oppervlak verloren gaat (in warmte wordt omgezet). Als in een oscillatieproces de spanning periodiek verandert tussen de positieve grenswaarde 
en de negatieve grenswaarde, 
, verloopt de inelastische vervorming op een vergelijkbare wijze als weergegeven door de gestippelde lijnen op afb. 7, en wordt bij elke oscillatieperiode per volume-eenheid energie DABCD in warmte omgezet. Zulk gedrag bij vervorming, waarbij de vervorming achterblijft bij de spanning, wordt elastische hysterese genoemd, en de curve DABCD een hysteresislus.
Vervormingsarbeid en de wet van Hooke
Als men in de integralen in vergelijking (10) de wet van Hooke invoert, kan worden geïntegreerd, zodat voor de specifieke vervormingsarbeid de volgende uitdrukkingen worden verkregen:
(12a)
(12b)
(12c)
Als de tweede van deze vormen in vergelijking (11) wordt ingevoerd, ontstaat opnieuw de wet van Hooke, vergelijkingen (8), in naar spanningen opgelost vorm. De stelling dat de vervormingsarbeid afhangt van de componentvormige vervormingen, zoals weergegeven in vergelijking (12b), is daarom equivalent aan de wet van Hooke. Wanneer vergelijking (12c) naar de spanningen wordt gedifferentieerd, krijgt men
(13)
Deze formules, in tegenstelling tot de formules (11), gelden alleen voor lichamen die zich volgens de wet van Hooke gedragen en kunnen niet worden toegepast wanneer de verbanden tussen spanningen en vervormingen anders zijn. Uiteraard staan aan de rechterzijde van de vergelijkingen (13) alleen componentvervormingen als gevolg van spanningen, en worden alle overige uitgesloten die eventueel konden ontstaan door temperatuurverandering, kruip, zwelling, recristallisatie, enz.
INTEGRALE STELLINGEN IN DE ELASTICITEITSTHEORIE
Virtuele verplaatsingen. Principe van de minimale potentiële energie
Zoals de Hooke-wet, vergelijkingen (8), door één vergelijking (12b) kan worden vervangen, zo kan ook in plaats van de evenwichtsvoorwaarden het principe van de virtuele verplaatsingen worden ingevoerd, als algemeen geldige basiswet van de mechanica. Deze wet geeft aan dat evenwichtstoestanden zich kenmerken doordat bij hen de totale verrichte arbeid van alle krachten bij een kleine verandering van de vervormingstoestand gelijk is aan nul. Als we kleine veranderingen van elastische verplaatsingen aanduiden met δμ δν, δω, dan verrichten de volumekrachten gedefinieerd door vergelijking (7) virtuele arbeid
en de oppervlakkige krachten px, py, pz die werken op het element dF van het buitenoppervlak van het lichaam arbeid 
waarbij de driedubbele integraal betrekking heeft op het gehele volume en de dubbele op het gehele buitenoppervlak van het lichaam. Voor de berekening van de arbeid verricht door inwendige krachten wordt vergelijking (12b) gebruikt, zodat voor de arbeid per eenheid volume wordt verkregen
Het principe van de virtuele verplaatsingen levert op basis daarvan
(14)
Als de belastingen X, Y, Z px, py., pz worden opgevat als componenten van de zwaartekracht (eigengewicht en externe belasting), stellen de integralen aan de rechterzijde de potentiële energie voor die deze lasten hebben verloren, terwijl de linkerzijde de toename van de potentiële (elastische) energie van het lichaam weergeeft, zodat dit principe aangeeft dat de totale potentiële energie van de drager en de lasten die erop rusten in geval van evenwicht een extremale waarde heeft. Als deze extremale waarde een minimum is, is het evenwicht stabiel.
Het principe van de minimale potentiële energie, uitgedrukt door vergelijking (14), de uitdrukking (12b) voor de vervormingsarbeid, en de compatibiliteitsvoorwaarden voor vervormingen (5), (6) vormen een stelsel van vergelijkingen dat voldoende is voor de opbouw van de theorie van de elasticiteit, en dat in wezen equivalent is aan het stelsel van vergelijkingen. Dit stelsel kan bijzonder nuttig zijn in gevallen waarin het voldoen aan de differentiaalvergelijkingen (9) rekenkundige moeilijkheden oplevert en daarom een benaderde oplossing moet worden gezocht, bijvoorbeeld door voor de verplaatsingen vooraf een geschikte vorm te veronderstellen die enkele vrije constanten bevat, waarna deze worden bepaald uit de eis dat vergelijking (14) vervuld moet zijn. Zo verkrijgt men weliswaar geen strikte oplossing van het probleem, maar alleen de beste benadering die met de gekozen oplossingsvorm kan worden bereikt. Of de benadering voldoende is, hangt in de eerste plaats af van de gekozen oplossingsvorm, en een succesvolle toepassing van deze methode vereist daarom vaardigheid en ervaring.
Castigliano’s principe
Terwijl bij het principe van de minimale potentiële energie alle vervormingstoestanden worden vergeleken die voldoen aan de voorwaarden van vervormingscompatibiliteit en daaruit die worden geselecteerd waarvoor de bijbehorende spanningen voldoen aan de evenwichtsvoorwaarden, worden bij het Castigliano-principe alle spanningstoestanden vergeleken die aan de evenwichtsvoorwaarden voldoen en daaruit die geselecteerd waarvoor de overeenkomstige vervormingen voldoen aan de voorwaarden van vervormingscompatibiliteit. Dit principe luidt: van alle mogelijke evenwichtstoestanden treedt in werkelijkheid die toestand op waaraan de kleinste vervormingsarbeid beantwoordt. Het Castigliano-principe vormt samen met de vergelijking (12c) voor de vervormingsarbeid en de evenwichtsvoorwaarden een stelsel vergelijkingen dat voldoende is voor de bepaling van de materiaalweerstand. Aangezien dit principe de wet van Hooke bevat, is de toepassingsmogelijkheid ervan gekoppeld aan de veronderstelling dat de vervormingen volledig door deze wet kunnen worden beschreven. Dit vereist niet alleen lineair elastisch gedrag van het materiaal, maar sluit ook temperatuurveranderingen uit.
Gedrag van materialen boven de elasticiteitsgrenzen
Verschijnselen bij statische belasting
De vervorming van materiaal onder invloed van spanning is een zeer ingewikkeld verschijnsel, zodat het op verschillende manieren moet worden vereenvoudigd om het te kunnen begrijpen. Een van deze vereenvoudigingen is de aanname dat de belastingen geleidelijk worden aangebracht, zoals dit bijvoorbeeld bij proefstukken gebeurt tijdens trek- en drukproeven.
Als een op trek belaste stalen staaf wordt blootgesteld aan een belasting die geleidelijk toeneemt en de rek ε ervan wordt gemeten, dan ontstaat het diagram dat op afb. 8 is weergegeven. In het begin is de rek zeer klein en evenredig met de spanning, zoals de wet van Hooke vereist. Vanaf een bepaalde spanning houdt de evenredigheid op en neemt de rek sneller toe. De exacte ligging van de grens van deze evenredigheid is moeilijk vast te stellen. Hoe nauwkeuriger de meting, des te lager deze uitvalt. Voor de meeste materialen ligt zij bij σ = 0, en de wet van Hooke vormt dan slechts een eerste benadering van het elastische gedrag, de eerste term van de ontwikkeling in de Taylorreeks van de functie ε = ε (σ) in de omgeving van de oorsprong van het assenstelsel.
Wanneer de staaf wordt ontlast, merkt men dat, als de spanning niet al te groot was, ook de vervorming verdwijnt, overeenkomstig de wet van Hooke. Maar ook dit verandert wanneer een bepaalde spanning wordt overschreden die dicht bij de proportionaliteitsgrens ligt, de zogenaamde elasticiteitsgrens; dan bestaat de totale vervorming uit een elastisch (terugverend) en een niet-elastisch (blijvend) deel. Ook de elasticiteitsgrens kan niet exact worden bepaald; zij ligt des te lager naarmate de meetnauwkeurigheid groter is. Omdat zij echter van groot technisch belang is, aangezien zij de grens van geldigheid vormt bij bijna alle berekeningen in de sterkteleer van materialen en tegelijkertijd de grens is waarop de eerste blijvende beschadigingen ontstaan, wordt zij voor het beproeven van proefstukken scherp gedefinieerd volgens een aangenomen conventie, en wordt bijvoorbeeld als grens 0.2% de spanning aangeduid waarbij de blijvende rek 0.2% bereikt.
Onmiddellijk nadat de elasticiteitsgrens is overschreden, neemt de vervorming plotseling toe en kan zij met het blote oog worden waargenomen; bij vrijwel constante spanning rekt de staaf voortdurend uit. Deze spanning wordt de vloeigrens genoemd. Bij hydraulische materiaalbeproevingsmachines kan bovendien na het begin van het vloeien een min of meer uitgesproken daling van de spanning worden waargenomen; zoals aangegeven in fig. 8 met een onderbroken kromme; dan wordt het maximum de bovenste vloeigrens genoemd, en de daaropvolgende constante vloeispanning de onderste vloeigrens.
Nadat een bepaalde rek is bereikt, die vrijwel volledig niet-elastisch is, begint de spanning opnieuw toe te nemen; het materiaal verhardt. In dit belastingsgebied treedt een merkbare verkleining van de dwarsdoorsnede van de staaf op als gevolg van de (niet-elastische) dwarscontractie, en het verdere verloop van het spannings-rekdiagram hangt in de eerste plaats ervan af of bij de berekening van de spanning σ de trek kracht P die op de staaf werkt wordt gedeeld door de oorspronkelijke doorsnede F0 of door de actuele doorsnede F. Voor technische doeleinden is de spanning P|F0 van belang. Deze spanning bereikt een maximum dat de sterkte van het materiaal wordt genoemd, en zodra dit maximum is overschreden, versmalt de staaf op één plaats sterk en breekt. De “werkelijke spanning” P|F stijgt tot aan het bezwijken.
Afbeelding 8.
Het gedrag van andere metalen wijkt in veel opzichten af van wat hier is beschreven. Vloeiing is vaak niet duidelijk aanwezig, en verharding begint onmiddellijk na het overschrijden van de elasticiteitsgrens. Bij brosse materialen (steen, glas, beton) zijn de niet-elastische vervormingen over het algemeen klein en leidt zelfs een geringe dilatatie tot breuk. De totale dilatatie die een materiaal tot aan de breuk ondergaat, is een maat voor de rekbaarheid (tegenovergesteld: brosheid) van het materiaal en wordt voor staal nauwkeurig voorgeschreven in de technische voorwaarden. Omdat echter vlak vóór de breuk verdere vervorming zich concentreert op de omliggende plaatsen van de versmalde doorsnede, ontstaat een verschillende waarde van de dilatatie bij breuk, afhankelijk van of voor de meetlengte een groter of kleiner deel van de staaf wordt genomen, zodat voor het verkrijgen van eenduidige en onderling vergelijkbare resultaten vooraf een bepaalde conventie moet worden aangenomen. De dilatatie bij breuk wordt in de regel gemeten door op een ronde staaf met diameter d vóór de proef de meetlengte Ι = 10 d te markeren en uit de verlenging ervan ΔΙ de dilatatie bij breuk εs_Ι = ΔΙ|Ι te berekenen._ Indien staven met een andere doorsnede moeten worden onderzocht, wordt de meetlengte bepaald volgens de diameter van een ronde cilindrische staaf die hetzelfde dwarsdoorsnede-oppervlak heeft.
Langdurige belasting
Voor het verloop van de trekproef maakt het vrij weinig uit of de belasting tot bezwijken in de loop van 10 m minuten of enkele uren wordt verhoogd. Als de belasting echter jarenlang of tientallen jaren inwerkt, wordt onder bepaalde omstandigheden waargenomen dat ook onder de vloeigrens de vervorming bij constante spanning in de loop van de tijd langzaam toeneemt. Daarbij verandert het elastische deel, dat wil zeggen het deel dat bij volledige ontlasting verdwijnt, nauwelijks. Deze toename van de niet-elastische vervorming die over langere tijd optreedt, wordt kruip genoemd. Bij metalen, behalve bij lood, is kruip alleen van betekenis bij hoge temperaturen; voor de bouwkundig ingenieur speelt het echter een rol bij beton, dat onder druk langzaam bezwijkt, zodat de spanning toeneemt in de samengedrukte wapening, indien aanwezig.
Variabele belasting
Om de mechanische eigenschappen van een materiaal, verkregen bij een trekproef, als maatstaf voor de toelaatbare belasting van constructies te kunnen toepassen, is het vereist dat het materiaal bij elke herhaalde belasting de spanning kan verdragen die het eenmaal zonder schade heeft gedragen. Aan deze voorwaarde is niet voldaan wanneer het materiaal is blootgesteld aan vaak herhaalde belasting en ontlasting, zoals bijvoorbeeld het geval is bij balken die worden belast door traagheidskrachten van machines die onvolledig uitgebalanceerd zijn. Door voldoende vaak herhaalde belasting kan een constructiedeel bezwijken, zelfs bij een spanning die ver onder de sterkte van het materiaal ligt, zoals bepaald door een gewone statische proef. Dit soort bezwijken wordt vermoeiingsbreuk genoemd. Het aantal n belastingscycli dat een materiaal kan verdragen, hangt af van de grootte van de spanning σ; het is des te groter naarmate de spanning kleiner is. Een typisch voorbeeld van deze afhankelijkheid is weergegeven in afb. 9, waaruit blijkt dat voor de materiaalsterkte een ondergrens bestaat die ook bij een willekeurig groot aantal belastingscycli wordt verdragen en die de duursterkte van het materiaal wordt genoemd. Diagrammen van dit type (afb. 9) worden Wöhler-curven genoemd.
Afbeelding 9.
Constructieve veiligheid
Twee grensbelastingen zijn van belang voor constructies: de belasting waarbij de eerste blijvende beschadigingen ontstaan (vloeigrens), en de belasting waarbij het draagvermogen van de constructie uitgeput is en zij breekt (breukgrens). Aangezien vóór de vloeigrens ten minste benaderend de aannames van de materiaalweerstand gelden (kleine verplaatsingen, wet van Hooke), kan de veiligheid tegen blijvende vervormingen betrouwbaar worden beoordeeld in al die gevallen waarin de wiskundige moeilijkheden kunnen worden overwonnen. Als de spanning evenredig is met de belasting, is de verhouding van de vloeispanning tot de grootste spanning die in de constructie optreedt gelijk aan de verhouding tussen de belasting waarbij vloeien optreedt en de werkelijke belasting en vormt zij de veiligheidsfactor tegen vloeien. In een aantal gevallen bestaat deze eenvoudige verhouding echter niet: buiging wanneer trekspanning wordt uitgesloten, druk tussen bolle oppervlakken, systemen waarvan de structuur veranderlijk is en, wat bijzonder ongunstig is, buiging met axiale kracht. In al deze gevallen kan een relatief kleine toename van de belasting tot een grote toename van de spanning leiden, en dan is het niet voldoende om de gebruikelijke veiligheidsfactor op de spanningen toe te passen, maar moet deze op de belasting worden toegepast.
De verschijnselen die optreden na het overschrijden van de vloeigrens tot aan het bezwijken kunnen in de meeste gevallen nog slechts kwalitatief worden gevolgd. Als het materiaal ductiel is, nemen de delen waar eerst de vloeigrens is bereikt en die zich verder vervormen bij een constante spanning of een slechts weinig toenemende spanning, weinig deel aan het opnemen van de verdere belasting, zodat de overige, minder sterk belaste delen van de constructie, voor zover haar structuur dat toelaat, meer bijdragen aan de draagwerking. In deze neiging tot egalisering van spanningspieken ligt een zekere veiligheidsreserve, die rekenkundig kan worden benut als de blijvende vervorming van afzonderlijke delen, ontstaan door slechts één aanzienlijke belasting, niet schadelijk is (grensbelastingmethode).
Als het materiaal bros is, treedt de eerste blijvende beschadiging op in scheuren, waardoor op de gevaarlijke plaats nog sterkere spanningsconcentratie ontstaat, die onmiddellijk tot breuk leidt. Breuk door vermoeiing heeft ook bij taaie materialen de kenmerken van brosse breuk.
Verbanden tussen de spanningen voor verschillende doorsnedevlakken
Vergelijkingen van de transformatie
De negen componentspanningen op afb. 1 zijn verbonden met drie evenwichtsvoorwaarden. De zes overige grootheden σx, σy, σz τxy, τyz, τzx kunnen, onafhankelijk van elkaar, willekeurige waarden aannemen, zoals blijkt uit de afleiding van de differentiaalvergelijkingen van de elasticiteitstheorie. Wanneer deze waarden echter zijn gegeven, is de spanningstoestand in een bepaald punt van het vaste lichaam volledig bepaald; dat wil zeggen, wanneer de spanningen voor drie onderling loodrechte vlakken bekend zijn, kan ook ondubbelzinnig de spanning voor een vierde vlak worden bepaald, een vlak dat door het gegeven punt gaat en waarvan de normaal een willekeurige richting heeft.
In fig. 10 is de tetraëder OABC getoond, waarvan drie zijden parallel zijn aan de vlakken van het coördinatenstelsel x, y, z, terwijl de vierde een willekeurig georiënteerd oppervlakte-element ABC = dF. voorstelt. Om zijn richting en de richting van de via hem overgedragen spanning aan te geven, wordt een tweede coördinatenstelsel ingevoerd, waarvan de ξ-as loodrecht staat op dF.
Afbeelding 10
De evenwichtsvoorwaarde van de krachten die op deze tetraëder werken in de richting van de ξ-as geeft
Als men in aanmerking neemt dat er
wordt verkregen
en eveneens daaruit, uit de evenwichtsvoorwaarde in de richting van de as η:
Dit zijn vergelijkingen die dienen voor de berekening van spanningen bij de transformatie van coördinaten. Van bijzonder belang is dat alleen zulke oppervlakte-elementen dF worden beschouwd waarvoor de ξ-as samenvalt met de z-as. De vormvoorbeelden voor dit geval kunnen worden verkregen door vereenvoudiging van de voorgaande vormen of rechtstreeks worden afgelezen uit afb. 11:
Afbeelding 11
De normaals spanning neemt extreme waarden aan voor de richtingen α = α0 , waarvoor dσξ/dα = 0. Door differentiatie wordt uit vergelijking (16) verkregen
dus, wanneer deze uitdrukking gelijk wordt gesteld aan nul
De spanning τξη zal tevens de totale schuifspanning in deze vlakken zijn, als τyz = τzx = 0. Dan worden met vergelijking (17) twee onderling loodrechte richtingen bepaald waarvoor: 1. de totale schuifspanning nul is en, 2. de normale spanning extreme waarden heeft (maximum en minimum). Deze richtingen worden de richtingen van de hoofdspanningen genoemd, en de overeenkomstige spanningen hoofdspanningen. Zij worden aangeduid met σ1 en σ2 en kunnen rechtstreeks uit de formule worden berekend
Moiré-cirkel
De vergelijkingen (16) kunnen op een aansprekende manier grafisch worden weergegeven. Daartoe moeten zij worden omgezet naar de vorm:
Deze vergelijkingen stellen in het coördinatenstelsel σ, τ de parametervorm voor van de vergelijking van de cirkel, getekend in fig. 12, waarvan de coördinaten van het middelpunt σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 en waarvan de straal
Deze cirkel wordt de Mohr-cirkel genoemd. Als men door het punt x een rechte trekt evenwijdig aan de snede x = const., waarover de spanningen σx, τxy worden overgebracht, dan snijdt zij de cirkel in het punt p, dat het poolpunt van de Mohr-cirkel wordt genoemd. Elke rechte pξ die door dit poolpunt wordt getrokken, snijdt de cirkel in het punt ξ, dat de spanningen σξ, τξη bepaalt die worden overgebracht via de snede evenwijdig aan pξ.
Wat betreft het teken van de schuifspanningen bij het tekenen van de Mohr-cirkel moet erop worden gelet dat zij omhoog worden uitgezet als zij de richting hebben die op afb. 12c is weergegeven. Daarom is van de twee geconjugeerde spanningen τxy, τyx er altijd één positief en de andere negatief.
Aan de grenswaarden van σ1, σ2 van de normale spanningen beantwoorden de punten 1 en 2 op de cirkel, en de rechten _p_1 en _p_2 geven de richtingen van de hoofspanningen aan.
De weergave van de spanningen die in het x-y-vlak liggen met behulp van de Mahr-cirkel is niet verbonden aan enige veronderstelling over de spanningen σz, τxz, τyz loodrecht op dit vlak.
Afbeelding 12
Dat geldt bijgevolg ook voor de meest algemene driedimensionale spanningstoestand, als alleen die doorsnedevlakken worden vergeleken die alle door dezelfde rechte gaan, welke hier is gekozen als de z- en ξ-as. Aangezien volgens de algemene transformatievergelijkingen (15) de normale spanning σ voor geen enkel doorsnedevlak oneindig kan worden, moet zij voor een bepaald vlak een eindig maximum σ1 hebben, en voor een ander een minimum σ3, waarvan beide natuurlijk ook negatief kunnen zijn. Als men door de vectoren σ1 en σ3 een vlak trekt en de Mohr-cirkel tekent (afb. 13)
Afbeelding 13
voor spanningen die in dit vlak liggen (d.w.z. alle richtingen die loodrecht op dit vlak staan), dan zijn σ1 en σ3 de grootste en kleinste normaalspanningen die kunnen optreden en moeten zij dus onderling loodrecht zijn. Als de richtingen 1 en 3 worden aangevuld met de richting 2, zodat deze drie richtingen een rechthoekig assenstelsel vormen, en als de cirkels van Mohr worden getekend voor de vlakken 1 ~2 en 2 ~ 3, dan is σ2 voor een van deze cirkels de grootste, en voor de andere de kleinste normaalspanning, en is dus in de doorsneden loodrecht op de richtingen 1, 2 en 3 de schuifspanning gelijk aan nul. Drie onderling loodrechte normaalspanningen σ1, σ2 en σ3, waarvoor geen schuifspanningen bestaan, worden hoofdspanningen genoemd.
Vloeigrens en breukgrens bij een driedimensionale spanningstoestand
De spanningstoestand wordt eendimensionaal, tweedimensionaal of driedimensionaal genoemd, anders gezegd lineair, vlak of ruimtelijk, al naargelang één, twee of alle drie de hoofdspanningen van nul verschillen. Bij constructiedelen die het meest worden toegepast, dus bij een trek-, druk- en buigstaf, is de spanningstoestand, ten minste op de meest belaste plaatsen, eendimensionaal; hetzelfde geldt ook voor proeven op trek, druk of buiging, die bij materiaalonderzoek vrijwel uitsluitend worden toegepast om toelaatbare spanningen vast te stellen. Daarentegen is bij platen die in hun vlak of loodrecht daarop worden belast, evenals bij schalen, de spanningstoestand tweedimensionaal, en in bepaalde gevallen treden ook driedimensionale spanningstoestanden op, zodat op basis van de bij een eendimensionale spanningstoestand vastgestelde vloeigrens en breukgrens conclusies moeten worden getrokken over het gedrag van het materiaal bij een ruimtelijke spanningstoestand.