Materials: Resistència dels materials i teoria de l’elasticitat

Bases

La tasca de la resistència dels materials és determinar quines forces externes pot suportar un cos sòlid (per ex., una construcció, una part estructural o el terreny). Per donar resposta a aquesta pregunta es parteix de dos criteris: d’una banda, les tensions no han de superar uns determinats límits que depenen del tipus de material, i, d’altra banda, l’equilibri entre les forces externes i internes ha de ser estable. D’acord amb això, tots els problemes de la resistència dels materials es poden dividir en “Problemes de tensions” i “problemes d’estabilitat.”

En barres i bigues i en els suports formats per aquestes (encavallades, marcs), la determinació de les tensions es fa en dues etapes, de manera que primer, a partir de les forces externes prescrites, es calcula la resultant de les forces internes transmeses a través de la secció transversal, i després, a partir d’aquestes «forces seccionals», es determinen les tensions. La primera part del procediment constitueix una disciplina especial i extensa, l’estàtica de les estructures de construcció, que té desenvolupats els seus propis mètodes i que normalment se separa de la resistència dels materials, la tasca de la qual es redueix a determinar les tensions a partir de les forces seccionals donades.

Conceptes bàsics de la resistència dels materials

S’arriba a la definició de tensió mitjançant les següents consideracions bàsiques. Suposem que sobre el cos actua un sistema equilibrat de forces externes. Imaginem que hem dividit el cos en dues parts amb una secció arbitrària i que n’hem retirat una juntament amb les forces que hi actuen; aleshores, la seva acció sobre l’altra part, perquè l’equilibri de forces i la distribució de deformacions continuïn inalterats, s’ha de substituir per forces complementàries que es transmeten a través de la superfície de secció. Aquestes forces «internes» es distribueixen contínuament per la superfície de la secció, de manera que a cada element de superfície dF correspon una força dβ. Si es forma el quocient dβ dF i es fa el pas límit dF -> 0, aleshores aquest quocient tendeix al valor límit que s’anomena tensió. La tensió en un element determinat de superfície és, com dβ, i es pot descompondre en components normal i tangencial a dF, tensió normal σ i tensió tallant τ.

Si es tracen seccions per un mateix punt en diferents direccions, correspondran també tensions diferents. En particular, si del cos se’n separa un cub elemental, representat a la fig. 1, a cadascuna de les seves sis superfícies actuarà un vector de tensió que es pot descompondre en tres components en la direcció dels eixos coordinats x, y z. Les tensions que actuen sobre les cares oposades de la superfície es diferencien entre si, naturalment, només en el diferencial, de manera que cal distingir 3 * 3 = 9 components de tensions, que s’indiquen de la manera següent:

Als esforços normals σ se’ls assigna l’índex de l’eix en la direcció del qual actuen i es consideren positius si provoquen tracció, negatius si provoquen compressió. Els esforços tallants τ tenen dos índexs; el primer és el mateix que l’índex de l’esforç normal corresponent, i el segon es refereix a l’eix en la direcció del qual actua l’esforç tallant. Si la direcció positiva de l’esforç normal corresponent coincideix amb la direcció de l’eix de coordenades positiu (negatiu), l’esforç tallant també es considera positiu si actua en la direcció de l’eix de coordenades positiu (negatiu).

Figura 1.

 Conjugació de les tensions tallants

Si, per al paral·lelepípede elemental, fig. 1, s’estableix la condició que el moment de totes les forces respecte de l’eix x sigui zero, s’obté τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz D’aquí, i de dues equacions corresponents per als eixos y i z, es dedueix que les tensions tallants amb els mateixos índexs són iguals entre si τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

Deformacions componentals

Que les tensions definides anteriorment tinguin un sentit físic es desprèn de la seva relació amb la deformació que pateix qualsevol cos sota l’acció de forces externes. La fig. 2 mostra un paral·lelepípede elemental, que abans de la deformació era rectangular i tenia arestes de longitud dx, dy, dz. Les longituds de les arestes després de la deformació es poden indicar com dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; els quocients εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz =Δdz|dz s’anomenen dilatacions. Són magnituds sense dimensió i, per a tots els materials que entren en consideració en la construcció, són petites en comparació amb 1. A més de l’allargament de les arestes, el paral·lelepípede elemental dx * dy * dz també pot patir un canvi en els angles rectes originals entre les seves cares.

Figura 2. deformació componental

Sigui, després de la deformació, l’angle entre els plans que convergeixen al llarg de la aresta OC igual a  i, de manera semblant, sigui la disminució de l’angle recte al llarg de la aresta AO igual a γyz, i la disminució al llarg de la aresta OB igual a γzx. Aquestes tres variacions d’angle γxy, γyz, γzx s’anomenen lliscaments i també són sempre petites en comparació amb 1. Amb les sis components ε i γ queda completament determinada la deformació de l’hexaedre elemental, “deformació petita”. La variació de l’element de volum d_V = dx * dy * dz_ és ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, d’on, en negligir els productes de dilatació com a magnituds petites d’ordre superior, s’obté la dilatació cúbica ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Desplaçaments

La deformació d’un cos sòlid es pot descriure completament també d’aquesta manera, assignant a cada un dels seus punts el desplaçament que ha experimentat aquell punt. Si s’exclouen de l’observació els desplaçaments finits corresponents al moviment d’un cos rígid, adoptant si cal en el càlcul un sistema de coordenades mòbil, aleshores els desplaçaments componentals μ, ν, ω són sempre petits, i les seves derivades respecte de les coordenades són petites en comparació amb 1. Sota aquesta hipòtesi, segons la fig. 3 la longitud de l’element lineal OA = dx després de la deformació

així doncs  (3)

De manera semblant, de la fig. 3 es veu que el lliscament γxy és γ1 + γ2: i també

 (4)

Figura 3 desplaçament

(5)  (6)

Aquestes relacions s’anomenen condicions de compatibilitat i indiquen que els elements deformats es poden encaixar com un mosaic de manera que l’espai quedi contínuament omplert, cosa que no es pot aconseguir si les deformacions dels elements són arbitràries. Les condicions de compatibilitat són equacions diferencials, per tant, és clar, totes sis components de deformació per a cada paral·lelepípede són mútuament independents, però la seva distribució en qualsevol àrea finita desplegada està lligada per les condicions (5) i (6).

Com que aquestes condicions s’obtenen per diferenciació de les equacions (3) i (4), en derivar-les es perd una part de les relacions contingudes en les equacions originals. Per això no n’hi ha prou que només es compleixi un d’aquests dos sistemes d’equacions, sinó que s’han de satisfer tots dos sistemes si es vol garantir la compatibilitat de la deformació.

Equacions diferencials del sistema d’elasticitat

Per al càlcul de les tensions i deformacions en cossos elàstics serveixen les equacions següents:

Condicions d’equilibri de l’element volumètric. Les condicions que els moments al voltant dels tres eixos siguin iguals a zero ja s’han utilitzat en la deducció de l’equació (1). Les condicions d’equilibri de forces, segons la fig. 4

Figura 4

(7a-c)

Si amb X, Y, Z s’indiquen les components de les forces volumètriques (p. ex. pes, força centrífuga) per unitat de volum. Relacions entre tensions i deformacions. Amb això s’entén la relació entre les tensions componentals i les deformacions componentals. En teoria de l’elasticitat, per regla general només es considera la relació lineal, que s’expressa mitjançant la llei de Hooke:

(8a-c)

(8d-f)

Si les equacions (8a-c) es resolen respecte a les tensions, s’obté

(8 a)

i dues equacions corresponents. La llei de Hooke expressada per l’equació (8) no representa una llei natural estrictament complerta, sinó una idealització del comportament real, que se’n desvia més o menys, segons el material i la magnitud de l’esforç. Atès que el tractament matemàtic dels problemes de resistència dels materials amb relacions complicades i no lineals entre tensions i deformacions comporta dificultats incomparablement més grans i, de fet, només es pot aplicar en els casos més simples, també en aquells materials (formigó!) el comportament dels quals s’allunya notablement de la llei de Hooke, els càlculs basats en ella s’han d’utilitzar com a primera, i en la majoria dels casos també única, solució aproximada, que, al cap i a la fi, per regla general és molt utilitzable i proporciona una visió més que merament qualitativa. G = E|2 (1+μ).

Es dedueix necessàriament de la relació entre tensió i deformació (8), de les equacions de transformació (16) de les tensions i del sistema corresponent d’equacions per a les deformacions componentals. E i G tenen la dimensió de tensió i, en tots els materials de construcció, són grans en comparació amb les tensions σ i τ que poden aparèixer. Sobre aquest fet es basa la hipòtesi adoptada arreu en la teoria de l’elasticitat, que les deformacions són petites. El coeficient de dilatació transversal (nombre de Poisson) μ és adimensional i es troba sempre entre 0 i 1/2 .

Relacions entre les deformacions componentals i els desplaçaments. Aquestes relacions venen donades per les equacions (3), (4). Són de naturalesa purament geomètrica. Aquests tres sistemes donen 3+6+6=15 equacions per a 15 incògnites, és a dir, per a 6 tensions componentals, 6 deformacions componentals i 3 desplaçaments componentals. Per tant, són suficients per determinar aquestes incògnites. El tractament matemàtic d’un sistema tan extens d’equacions diferencials és possible, és clar, només en casos especials. Si a l’equació (8) les deformacions componentals se substitueixen pels desplaçaments componentals segons les equacions (3) i (4) i després les tensions normals σ i les tensions tallants τ, segons les equacions (8 d - f), s’introdueixen en les condicions d’equilibri, eq. (7), s’obtenen equacions diferencials que s’anomenen equacions fonamentals de la teoria de l’elasticitat.

(9)

on  s’indica l’operador de Laplace. Tenint en compte (2), aquestes són tres equacions diferencials amb tres desplaçaments componentals μ, ν, ω; a partir d’aquestes, mitjançant diferenciació sobre la base de (3), (4) i (8), es poden obtenir totes les tensions i deformacions componentals. Les equacions (9) constitueixen sovint un punt de partida adequat per a l’estudi de casos especials.

Treball de deformació

Definició

Quan es carrega una estructura, els punts d’aplicació de les forces externes experimenten desplaçaments elàstics i les forces hi realitzen un cert treball. D’aquesta manera, l’energia aportada pot transformar-se en diverses formes. Si la càrrega s’aplica bruscament, de manera que el procés de deformació tingui una velocitat considerable, una part d’aquesta energia es transforma en energia cinètica, que al llarg del temps es dissipa, ja sigui perquè es transmet al terreny com una ona elàstica que es perd a l’infinit, o bé perquè es converteix en calor per fricció interna. Si les càrregues s’apliquen tan suaument que no es produeix un augment perceptible de l’energia cinètica, és a dir, si les càrregues que creixen gradualment a partir de zero estan en equilibri constant amb les forces internes, l’energia es consumeix evidentment només en deformar el cos i aleshores s’anomena treball de deformació.

El càlcul del treball de deformació el mostrarem primer en un element sotmès a tracció en una sola direcció (fig. 5).

Suposem que la tensió existent σ i la dilatació corresponent ε experimenten increments dσ i dε. Aleshores la força σdF, en el camí dε * dl, realitzarà un treball σdF * dεdl = σdεdV, si amb dV s’indica el volum del petit element. Si la tensió augmenta des de zero fins al seu valor final i la dilatació, en conseqüència, des de 0 fins a ε, el treball total realitzat per unitat de volum serà:

De manera semblant, per a un element sotmès a una tensió tallant τ (fig. 6), el treball de deformació per unitat de volum (treball específic de deformació, potencial elàstic):

sent que només una de les quatre forces τ * dF realitza treball.

En el cas general, quan sobre l’element elemental actuen totes sis components de tensió, s’obté el treball específic de deformació sumant els treballs de les diverses components de tensió:

(10)

Derivant respecte al límit superior de cadascun d’aquests integrals s’obtenen relacions que són vàlides en el cas més general:

(11)

i igualment per a les altres deformacions components. Si el cos és elàstic, a cada estat determinat de tensions li correspon sempre el mateix estat de deformació, independentment de si l’estat s’ha assolit durant la càrrega o la descàrrega. Aleshores, sota els integrals hi ha funcions unívoques i l’energia total consumida durant la càrrega i després la descàrrega completa és a = 0, atès que en aquest cas els límits superiors dels integrals passen a ser zero. Per tant, l’energia total aportada al cos durant la càrrega es recupera durant la descàrrega.

Figura 6

Figura 7

Per a un cos viscoelàstic, la relació entre tensions i deformacions durant tot el cicle de càrrega i descàrrega té una forma aproximadament representada a la fig. 7 per les línies O A B. L’energia  aportada en carregar és igual a l’àrea OAA, i l’energia retornada en descarregar és l’àrea ABA, de manera que es perd (es transforma en calor) el treball corresponent a l’àrea ratllada. Si en el procés oscil·latori la tensió canvia periòdicament entre el valor límit positiu  i el valor límit negatiu,  la deformació inelàstica transcorre d’una manera semblant a la representada per les línies discontínues a la fig. 7 i, durant cada període d’oscil·lació, l’energia DABCD es transforma en calor per unitat de volum. Aquest comportament durant la deformació, en què la deformació va darrere de la tensió, s’anomena histeresi elàstica, i la corba DABCD és el bucle d’histeresi.

Treball de deformació i llei de Hooke

Si a les integrals de l’equació (10) s’introdueix la llei de Hooke, es pot fer la integració, i per al treball específic de deformació s’obtenen les expressions:

(12a)

(12b)

(12c)

Si la segona d’aquestes formes s’introdueix a l’equació (11), s’obté de nou la llei de Hooke, equacions (8), en la forma resolta segons les tensions. L’afirmació que el treball de deformació depèn de les deformacions components, tal com es mostra a l’equació (12b), és per tant equivalent a la llei de Hooke. Quan l’equació (12c) es diferencia respecte de les tensions, s’obté

(13)

Aquestes expressions, a diferència de les expressions (11), només són vàlides per a cossos que es comporten segons la llei de Hooke i no es poden aplicar quan les relacions entre tensions i deformacions són diferents. Naturalment, al costat dret de les equacions (13) només hi ha les deformacions componentals provocades per les tensions, i se n’exclouen totes les altres que eventualment hagin pogut aparèixer a causa de canvis de temperatura, fluència, inflament, recristal·lització, etc.

POSTULATS INTEGRALS EN LA TEORIA DE L’ELASTICITAT

Desplaçaments virtuals. Principi del mínim d’energia potencial

Així com la llei de Hooke, les equacions (8) poden substituir-se per una sola equació (12b), igualment, en lloc de les condicions d’equilibri es pot introduir el principi dels desplaçaments virtuals, com a llei fonamental de la mecànica d’aplicació general. Aquesta llei expressa que els estats d’equilibri es caracteritzen pel fet que el treball total realitzat per totes les forces en una petita variació de l’estat de deformació és igual a zero. Si designem petites variacions dels desplaçaments elàstics com δμ δν, δω, aleshores les forces volumètriques definides per l’equació (7) fan un treball virtual

i les forces de superfície px, py, pz que actuen sobre l’element dF de la superfície exterior del cos treball 

on la integral triple es refereix a tot el volum, i la doble a tota la superfície exterior del cos. Per al càlcul del treball realitzat per les forces internes s’utilitza l’equació (12b), i així per al treball per unitat de volum s’obté

El principi dels desplaçaments virtuals dona, sobre aquesta base,

(14)

Si les càrregues X, Y, Z px, py., pz s’entenen com a components de la força de gravetat (pes propi i càrrega externa), els integrals de la banda dreta representen l’energia potencial perduda per aquestes càrregues, mentre que la banda esquerra representa l’increment de l’energia potencial (elàstica) del cos, de manera que aquest principi expressa que l’energia potencial total de la biga i de les càrregues que s’hi troben, en cas d’equilibri, té un valor extrem. Si aquest valor extrem és un mínim, l’equilibri és estable.

El principi del mínim d’energia potencial expressat per l’equació (14), l’expressió (12b) per al treball de deformació i les condicions de compatibilitat de les deformacions (5), (6) constitueixen un sistema d’equacions que és suficient per a la construcció de la teoria de l’elasticitat, i que en essència és equivalent al sistema d’equacions. Aquest sistema pot ser particularment útil en els casos en què satisfer les equacions diferencials (9) representa dificultats de càlcul i, per això, cal buscar una solució aproximada; per exemple, per als desplaçaments s’assumeix per endavant una forma adequada que conté diverses constants lliures, i aquestes es determinen a partir de l’exigència que l’equació (14) sigui satisfeta. D’aquesta manera, certament no s’obté una solució estricta del problema, sinó només la millor aproximació que es pot assolir amb la forma de solució escollida. Si l’aproximació és suficient depèn en primer lloc de la forma adoptada de la solució, i l’aplicació reeixida d’aquest mètode requereix, per tant, habilitat i experiència.

Principi de Castigliano

Mentre que en el principi del mínim d’energia potencial es comparen tots els estats de deformació que compleixen les condicions de compatibilitat de deformacions i, entre ells, s’eliminen aquells per als quals les tensions corresponents satisfan les condicions d’equilibri, en el principi de Castigliano es comparen tots els estats de tensió que compleixen les condicions d’equilibri i, entre ells, s’eliminen aquells per als quals les deformacions corresponents satisfan les condicions de compatibilitat de deformacions. Aquest principi diu: de tots els possibles estats d’equilibri, es produeix realment aquell al qual correspon el treball de deformació més petit. El principi de Castigliano, juntament amb l’equació (12c) per al treball de deformació i les condicions d’equilibri, forma un sistema d’equacions que és suficient per a la resistència dels materials. Atès que aquest principi conté la llei de Hooke, la possibilitat d’aplicar-lo està vinculada a la hipòtesi que les deformacions poden descriure’s completament amb aquesta llei. Això exigeix no només un comportament elàstic lineal del material, sinó que també exclou els canvis de temperatura.

Comportament dels materials per sobre dels límits d’elasticitat

Fenòmens sota càrrega estàtica

La deformació del material sota l’acció de tensions és un fenomen molt complex, de manera que s’ha de simplificar de diferents formes per poder entendre’l. Una d’aquestes simplificacions és la hipòtesi que les càrregues s’apliquen gradualment, com es fa, per exemple, amb els provetes en els assaigs de tracció i compressió.

Si una barra d’acer sotmesa a tracció es carrega amb una càrrega que augmenta gradualment i se’n mesura la dilatació ε, s’obté el diagrama mostrat a la fig. 8. Al principi, la dilatació és molt petita i proporcional a la tensió, tal com exigeix la llei de Hooke. A partir d’una tensió determinada, la proporcionalitat deixa de complir-se i la dilatació creix més ràpidament. La posició exacta del límit d’aquesta proporcionalitat és difícil de determinar. Com més precisa és la mesura, més baixa s’obté. Per a la majoria dels materials se situa a σ = 0, i la llei de Hooke representa aleshores només una primera aproximació al comportament elàstic, el primer terme del desenvolupament en sèrie de Taylor de la funció ε = ε (σ) al voltant de l’origen de coordenades.

Si es descarrega la barra, s’observa que, quan la tensió no ha estat massa gran, també desapareix la deformació, d’acord amb la llei de Hooke. Però això també canvia si se supera una determinada tensió que es troba prop del límit de proporcionalitat, l’anomenat límit elàstic; llavors la deformació total consta d’una part elàstica (reversible) i d’una part no elàstica (permanent). Tampoc el límit elàstic no es pot determinar amb exactitud; es troba tant més baix com més gran és la precisió de mesura. Tanmateix, com que té una gran importància tècnica, ja que representa el límit de validesa en gairebé tots els càlculs de resistència dels materials i, alhora, el límit en què apareixen els primers danys permanents, per a l’assaig de mostres es defineix estrictament mitjançant una convenció adoptada, de manera que, per exemple, com a límit 0.2% s’indica aquella tensió a la qual la dilatació permanent assoleix 0.2%.

Immediatament després de superar el límit d’elasticitat, la deformació augmenta bruscament i es pot observar a ull nu; amb una tensió gairebé constant, la barra s’allarga de manera continuada. Aquesta tensió s’anomena límit de fluència. En les màquines hidràuliques d’assaig de materials també es pot observar, després de l’inici de la fluència, una baixada de tensió més o menys pronunciada; com s’indica a la fig. 8 amb una corba discontínua; llavors el màxim s’anomena límit superior de fluència, i la tensió constant de fluència que segueix és el límit inferior de fluència.

Un cop s’assoleix una determinada dilatació, que és gairebé completament inelàstica, la tensió torna a augmentar, el material s’endureix. En aquest àmbit de càrrega es produeix una reducció notable de la secció transversal de la barra a causa de la contracció lateral (inelàstica), i l’evolució posterior del diagrama de tensions i deformacions depèn principalment de si, en calcular la tensió σ, la força de tracció P que actua sobre la barra es divideix per la secció original F0 o per la secció actual F. Per a finalitats tècniques és interessant la tensió P|F0 . Aquesta tensió arriba a un màxim que s’anomena resistència del material i, un cop superat aquest màxim, la barra s’estreny fortament en un punt i es trenca. La “tensió real” P|F augmenta fins a la ruptura.

Figura 8.

El comportament d’altres metalls difereix en molts aspectes del que s’ha descrit aquí. L’estricció sovint no és pronunciada, i l’enduriment comença immediatament després de superar el límit elàstic. En els materials fràgils (pedra, vidre, formigó) les deformacions no elàstiques són en general petites i, fins i tot amb una petita dilatació, es produeix la ruptura. La dilatació total que el material suporta fins a la ruptura és una mesura de l’allargament (oposat: fragilitat) del material i, per a l’acer, es prescriu exactament en les condicions tècniques. Tanmateix, com que just abans de la ruptura la deformació posterior es concentra als llocs veïns de secció reduïda, s’obté un valor diferent de dilatació en la ruptura segons si per a la longitud de mesura s’adopta una part més gran o més petita de la barra, de manera que, per obtenir resultats unívocs i comparables entre si, cal adoptar prèviament una convenció determinada. La dilatació en la ruptura, per regla general, es mesura de manera que en una barra rodona de diàmetre d, abans de l’assaig, s’assenyala la longitud de mesura Ι = 10 d i, a partir del seu allargament ΔΙ, es calcula la dilatació en la ruptura εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Si cal assajar barres d’una secció diferent, la longitud de mesura es determina segons el diàmetre de la barra cilíndrica circular que té la mateixa superfície de secció transversal.

Càrrega de llarga durada

Per al curs de l’assaig de tracció és força indiferent si la càrrega fins a la ruptura augmenta al llarg de 10 m minut o de diverses hores. Tanmateix, si la càrrega actua durant anys o desenes d’anys, sota determinades condicions s’observa que fins i tot per sota del límit de fluència la deformació, amb una tensió constant, augmenta lentament amb el temps. En aquest procés, la part elàstica, és a dir, la part que desapareix en descarregar completament, no es modifica de manera apreciable. Aquest augment de la deformació inelàstica que es produeix al llarg d’un temps llarg s’anomena fluència. En els metalls, excepte en el cas del plom, la fluència només té importància a temperatures elevades; tanmateix, per a l’enginyer civil té un paper en el formigó, que cedeix lleugerament sota compressió, de manera que la tensió augmenta en l’armadura comprimida, si n’hi ha.

Càrrega variable

Perquè les característiques mecàniques del material, obtingudes en l’assaig de tracció, es puguin utilitzar com a criteri de la càrrega admissible de les estructures, cal que el material suporti, en cada nova càrrega, la tensió que ja va suportar una vegada sense danys. Aquesta condició no es compleix si el material està sotmès a repeticions freqüents de càrrega i descàrrega, com és el cas, per exemple, de bigues carregades per forces inercials de màquines incompletament equilibrades. Amb repeticions prou freqüents de la càrrega, una peça constructiva pot arribar a la ruptura fins i tot sota una tensió molt inferior a la resistència del material determinada mitjançant un assaig estàtic ordinari. Aquest tipus de ruptura s’anomena ruptura per fatiga. El nombre n de cicles de càrrega que el material pot suportar depèn de la magnitud de la tensió σ, de manera que és més gran com més petita és la tensió. Un exemple típic d’aquesta dependència es mostra a la fig. 9, de la qual es veu que per a la resistència del material hi ha un límit inferior, que suporta fins i tot amb un nombre arbitràriament gran de cicles de càrrega i que s’anomena resistència dinàmica del material. Els diagrames d’aquest tipus (fig. 9) s’anomenen corbes de Wöhler.

Imatge 9.

Seguretat de les estructures

Per a les estructures són significatives dues càrregues límit: la càrrega a la qual apareixen els primers danys permanents (límit de fluència) i la càrrega a la qual es consumeix la capacitat portant de l’estructura, de manera que es trenca (límit de ruptura). Com que abans del límit de fluència es compleixen almenys aproximadament les hipòtesis de la resistència dels materials (petits desplaçaments, llei de Hooke), la seguretat davant les deformacions permanents es pot avaluar de manera fiable en tots aquells casos en què es puguin superar les dificultats matemàtiques. Si la tensió és proporcional a la càrrega, la relació entre la tensió de fluència i la màxima tensió que apareix a l’estructura és igual a la relació entre la càrrega a la qual es produeix la fluència i la càrrega real, i constitueix el coeficient de seguretat respecte a la fluència. Tanmateix, en una sèrie de casos aquesta relació simple no existeix: flexió quan es descarta la tracció, pressió entre superfícies convexes, sistemes la estructura dels quals és variable i, cosa especialment desfavorable, flexió amb força axial. En tots aquests casos, un augment relativament petit de la càrrega pot provocar un gran augment de la tensió, i llavors no n’hi ha prou d’aplicar el coeficient de seguretat habitual a les tensions, sinó que s’ha d’aplicar a la càrrega.

Els fenòmens que es produeixen després de superar el límit de fluència fins a la ruptura, en la majoria dels casos, només es poden seguir qualitativament. Si el material és dúctil, les parts en què primer s’assoleix el límit de fluència, i que es continuen deformant sota una tensió constant o lleugerament creixent, contribueixen poc a suportar la càrrega addicional, de manera que les altres parts de l’estructura, menys carregades, en la mesura que ho permet la seva estructura, participen més en la resistència. En aquesta tendència a igualar els pics de tensió rau una certa reserva de seguretat, que es pot aprofitar en el càlcul si la deformació permanent d’algunes parts, produïda per una sola càrrega important, no és perjudicial (mètode de càrrega límit).

Si el material és fràgil, el primer dany permanent es manifesta en esquerdes, a causa de les quals, en el punt afectat, es produeix una concentració d’esforços encara més gran, que provoca immediatament la ruptura. La ruptura per fatiga, fins i tot en materials dúctils, té les característiques d’una fractura fràgil.

 Relacions entre les tensions per a diferents plans de secció

Equacions de transformació

Les nou tensions components de la fig. 1, estan lligades per tres condicions d’equilibri. Les sis magnituds restants σx, σy, σz τxy, τyz, τzx poden, independentment les unes de les altres, prendre valors arbitraris, tal com es veu de la derivació de les equacions diferencials de la teoria de l’elasticitat. Tanmateix, quan aquests valors són donats, l’estat de tensió en un punt determinat d’un cos sòlid queda completament definit; és a dir, quan es coneixen les tensions per a tres plans mútuament perpendiculars, també es pot determinar de manera unívoca la tensió per a un quart pla que passi pel punt donat i la normal del qual tingui una direcció arbitrària.

A la fig. 10 es mostra el tetraedre OABC, tres cares del qual són paral·leles als plans del sistema de coordenades x, y, z i la quarta representa un element de superfície orientat arbitràriament ABC = dF. Per indicar-ne la direcció i la direcció de la tensió que s’hi transmet, s’introdueix un altre sistema de coordenades, l’eix ξ del qual és perpendicular a dF.

Imatge 10

La condició d’equilibri de les forces que actuen sobre aquest tetràedre en la direcció de l’eix ξ dona

Si es té en compte que

s’obté

i de manera semblant a partir de les condicions d’equilibri en la direcció de l’eix η:

Aquestes són equacions que serveixen per al càlcul de tensions en la transformació de coordenades. És de particular importància considerar només aquells elements de superfície _dF per als quals l’eix ξ- coincideix amb l’eix z. Els esquemes per a aquest cas es poden obtenir simplificant els esquemes anteriors o llegir directament de la fig. 11:

Figura 11

La tensió normal pren valors extrems per a les direccions α = α0 , per a les quals dσξ/dα = 0. Diferenciant, de l’equació (16) s’obté

i, per tant, quan aquesta expressió s’igual a zero

La tensió τξη serà alhora la tensió tallant total en aquests plans, si τyz = τzx = 0. Llavors, l’equació (17) determina dues direccions mútuament perpendiculars per a les quals: 1. la tensió tallant total és zero i, 2. la tensió normal té valors extrems (màxim i mínim). Aquestes direccions s’anomenen direccions de les tensions principals, i les tensions corresponents tensions principals. Es designen amb σ1 i σ2 i es poden calcular directament amb la fórmula

 Cercle de Mohr

Les equacions (16) es poden representar gràficament d’una manera clara. Amb aquesta finalitat cal transformar-les a la forma:

Aquestes equacions representen en el sistema de coordenades σ, τ la forma paramètrica de l’equació del cercle, dibuixat a la fig. 12, les coordenades del centre del qual són σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 i el radi del qual

Aquest cercle s’anomena cercle de Mohr. Si per la punta x es traça una recta paral·lela a la secció x = const., a través de la qual es transmeten les tensions σx, τxy, aquesta tallarà el cercle en el punt p, que s’anomena pol del cercle de Mohr. Cada recta pξ traçada per aquest pol talla el cercle en el punt ξ, que determina les tensions σξ, τξη, transmeses a través d’una secció paral·lela a pξ.

Pel que fa al signe de les tensions tallants en dibuixar el cercle de Mohr, cal tenir en compte que s’han de representar cap amunt si tenen la direcció indicada a la fig. 12c. Per tant, de les dues tensions conjugades τxy, τyx, una és sempre positiva i l’altra negativa.

Als valors límit de σ1, σ2 de les tensions normals corresponen els punts 1 i 2 al cercle, i les rectes _p_1 i _p_2 donen les direccions de les tensions principals.

La representació de les tensions que jeuen al pla x-y mitjançant el cercle de Mahr no està lligada a cap hipòtesi sobre les tensions σz, τxz, τyz perpendiculars a aquest pla.

Figura 12

Això també val, per tant, per a l’estat tridimensional de tensions més general, si només es comparen aquells plans de secció que passen tots per una mateixa recta, que aquí s’ha escollit com a eix z i ξ. Com que, segons les equacions generals de transformació (15), la tensió normal σ no pot esdevenir infinita per a cap pla de secció, ha de tenir per a un cert pla un màxim finit σ1 i, per a un altre, un mínim σ3, tots dos, és clar, poden ser també negatius. Si es traça un pla pels vectors σ1 i σ3 i es dibuixa el cercle de Mohr (fig. 13)

Figura 13

per a tensions que jeuen en aquest pla (és a dir, totes les direccions perpendiculars a aquest pla), aleshores σ1 i σ3 són les tensions normals màxima i mínima que poden aparèixer i, per tant, han de ser mútuament perpendiculars. Si les direccions 1 i 3 es completen amb la direcció 2, de manera que aquestes tres direccions formen un sistema de coordenades ortogonal, i si es dibuixen els cercles de Mohr per als plans 1 ~2 i 2 ~ 3, llavors σ2 per a un d’aquests cercles és la tensió normal màxima, i per a l’altre la mínima, i per tant en les seccions perpendiculars a les direccions 1, 2 i 3 la tensió tallant és igual a zero. Les tres tensions normals mútuament perpendiculars σ1, σ2 i σ3, a les quals no corresponen tensions tallants, s’anomenen tensions principals.

    Límit de fluència i límit de ruptura en estat tridimensional de tensió

L’estat de tensió s’anomena unidimensional, bidimensional o tridimensional, d’una altra manera: lineal, pla o espacial, segons si una, dues o totes tres tensions principals són diferents de zero. En els elements estructurals d’ús més freqüent, és a dir, en la barra sotmesa a tracció, compressió o flexió, l’estat de tensió, almenys als punts més sol·licitats, és unidimensional, i també ho és en els assaigs de tracció, compressió o flexió, que en l’assaig de materials s’apliquen gairebé exclusivament per determinar les tensions admissibles. En canvi, en les plaques carregades en el seu pla o perpendicularment a aquest, així com en les closques, l’estat de tensió és bidimensional, i en alguns casos apareixen també estats de tensió tridimensionals, de manera que cal extreure conclusions sobre el comportament del material en el cas d’un estat de tensió espacial a partir del límit de fluència i de ruptura determinats en un estat de tensió unidimensional.