Основи
Zadatokot na odpornosta na materijalite e da utvrdi koi nadvoreshni sili može da gi izdrži tvrdo telo (napr., gradež, konstruktiven del ili zemjишte). Za da se dade odgovor na ova prašanje, se poaǵa od dva kriteriuma: od edna strana naponite ne smeat da gi nadminat opredeleni granici koi zavisat od vidot na materijalot, a od druga strana ramnotežata među nadvoreshnite i vnatrešnite sili mora da bide stabilna. Vo soglasnost so ova, site problemi na odpornosta na materijalite može da se podelat na „Problemi na napon“ i „problemi na stabilnost.“
Кај прачките и гредите и носачите составени од нив (решетки, рамки) определувањето на напоните се врши во два чекора, и тоа така што прво врз основа на зададените надворешни сили се пресметува резултантата на внатрешните сили што се пренесуваат преку попречниот пресек, а потоа од овие „пресечни сили“ се определуваат напоните. Првиот дел од постапката претставува посебна, обемна дисциплина, статиката на градежните конструкции, која има разработени сопствени методи и која обично се одвојува од отпорноста на материјали, чија задача се сведува на определување на напоните од дадени пресечни сили.
Основни поими на отпорноста на материјалите
До дефиниција на напрегањето се доаѓа преку следните основни разгледувања. Нека на телото дејствува рамнотежен систем на надворешни сили. Да замислиме дека телото сме го поделиле со произволен пресек на два дела и дека сме го отстраниле едниот од нив заедно со силите што дејствуваат на него; тогаш неговото дејство на другиот дел, за да останат непроменети внатрешната рамнотежа на силите и распоредот на деформациите, мора да се замени со дополнителни сили што се пренесуваат преку површината на пресекот. Овие „внатрешни“ сили се непрекинато распоредени по површината на пресекот, така што на секој елемент од површината dF му одговара сила dβ. Ако се формира количник dβ dF и се направи граничен премин dF -> 0, тогаш овој количник тежнее кон граничната вредност што се нарекува напрегање. Напрегањето во определен елемент од површината е, како и dβ, и може да се разложи на компоненти нормална и тангенцијална на dF, нормално напрегање σ смолкнувачко напрегање τ.
Ако низ истата точка се повлечат пресечни линии во различни правци, нив ќе им одговараат и различни напрегања. Особено ако од телото се издвои елементарен квадар, прикажан на сл. 1, на секоја од неговите шест површини ќе дејствува вектор на напрегање што може да се разложи на три компоненти во правец на координатните оски x, y z. Напрегањата што дејствуваат на спротивните страни на површината меѓусебно се разликуваат, секако, само за диференцијал, па затоа треба да се разликуваат 3 * 3 = 9 компонентни напрегања, кои се обележуваат на следниов начин:
На нормалните напрегања σ им се дава индексот на оската во чиј правец лежат и се сметаат за позитивни ако предизвикуваат затегање, а негативни ако предизвикуваат притисок. Сечните напрегања τ добиваат два индекси, првиот од нив е ист како и индексот на соодветниот нормален напон, а вториот се однесува на оската во чиј правец дејствува сечниот напон. Ако позитивниот правец на соодветниот нормален напон е во правец на позитивната (негативната) координатна оска, тогаш и сечниот напон се смета за позитивен ако дејствува во правец на позитивната (негативната) координатна оска.
Слика 1.
Конјугираност на смолкнувачките напрегања
Ако за елементарниот квадар, сл. 1, се постави услов дека моментот на сите сили во однос на оската x е нула, се добива τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Оттука, и од двете соодветни равенки за оските y и z, се добива дека смолкувачките напрегања со истите индекси се меѓусебно еднакви τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Компонентални деформации
Тоа што погоре дефинираните напрегања имаат физичка смисла произлегува од нивната врска со деформацијата што ја трпи секое тело под влијание на надворешни сили. Сл. 2 прикажува еден елементарен квадар, кој пред деформацијата бил правоаголен и имал должини на рабовите dx, dy, dz. Должините на рабовите по деформацијата можеме да ги означиме со dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; количниците εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz се нарекуваат дилатации. Ова се големини без димензија и кај сите материјали што доаѓаат предвид во градежништвото се мали според 1. Освен издолжувањето на рабовите, елементарниот квадар dx * dy * dz може да претрпи и промена на првобитно правите агли меѓу своите страни.
Слика 2. компонентна деформација
Нека по деформацијата аголот меѓу рамнините што се сечат долж работ OC е еднаков на 
и слично на тоа нека намалувањето на правиот агол долж работ AO е еднакво на γyz, а намалувањето долж работ OB е еднакво на γzx. Овие три промени на аглите γxy, γyz, γzx се нарекуваат лизгања и исто така секогаш се мали според 1. Со шесте компонентални ε и γ целосно е определена деформацијата на елементарниот квадар „деформација во мало“. Промената на елементот на запремнина d_V = dx * dy * dz_ е ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, од каде, кога се занемарат производите на дилатации како мали величини од повисок ред, се добива кубната дилатација ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Поместувања
Деформацијата на цврстото тело може целосно да се опише и на тој начин, што за секоја од неговите точки се задава поместувањето што таа точка го претрпела. Ако од разгледување се исклучат поместувањата од конечна големина што одговараат на поместувањето на круто тело, на тој начин, што, ако е потребно, во пресметката се усвои подвижен координатен систем, тогаш и компонентните поместувања μ, ν, ω се секогаш мали величини, а нивните изводи според координатите мали во однос на 1. Под таа претпоставка е според сл. 3 должината на лисинскиот елемент OA = dx по деформацијата
значи 
(3)
На сличен начин од сл. 3 се гледа дека лизгањето γxy е γ1 + γ2: и исто така
(4)
Слика 3 лизгање
(5) 
(6)
Овие врски се нарекуваат услови на компатибилност и изразуваат дека деформираните елементи можат да се вклопат како мозаик така што при тоа просторот континуирано да биде исполнет, што не може да се постигне ако деформациите на елементите се произволни. Условите на компатибилност се диференцијални равенки, па се, се разбира, сите шест компонентни деформации за секој поединечен паралелепипед меѓусебно независни, но нивниот распоред во секоја конечна распрострена област е врзан со условите (5) и (6).
Бидејќи овие услови се добиени со диференцирање од равенките (3) и (4), при нивното изведување се губи дел од врските содржани во првобитните равенки. Затоа не е доволно да биде исполнет само еден од овие два системи равенки, туку мора да се задоволат двата система равенки, ако се сака да се обезбеди компатибилноста на деформацијата.
Диференцијални равенки на системот на еластичност
За пресметување на напрегањата и деформациите кај еластични тела служат следните равенки:
Услови на рамнотежа на волуменски елемент. Условите дека моментите околу три оски се еднакви на нула се искористени веќе при изведувањето на равенката (1). Условите на рамнотежа на силите даваат според сл. 4
Слика 4
(7a-c)
Ако со X, Y, Z се означат компонентите на запреминските сили (на пр. тежина, центрифугална сила) на единица запремина. Врски меѓу напрегањата и деформациите. Под ова се подразбира врската меѓу компоненталните напрегања и компоненталните деформации. Во теоријата на еластичност по правило доаѓа предвид само линеарна врска, која се изразува со Hooke-овиот закон:
(8a-c)
(8d-f)
Ако равенките (8a-c) се решат по напрегањата, се добива
(8 a)
ксо и две соодветни равенки. Hooke-овиот закон изразен со равенката (8) не претставува некаков строго исполнет природен закон, туку идеализација на реалното однесување, кое отстапува од него повеќе или помалку, во зависност од материјалот и од големината на напрегањето. Со оглед на тоа што математичката обработка на проблемите на отпорноста на материјалите со комплицирани, нелинеарни врски меѓу напоните и деформациите предизвикува неспоредливо поголеми тешкотии и може навистина да се спроведе само во наједноставните случаи, мора и кај оние материјали (бетон!) чие однесување значително отстапува од Hooke-овиот закон, пресметките засновани на него да се користат како прво, а во најголем дел и единствено приближно решение, кое, патем, по правило е многу употребливо и дава увид што е повеќе од само квалитативен. G = E|2 (1+μ).
Таа нужно произлегува од врската меѓу напрегањето и деформацијата (8), од равенките на трансформација (16) за напрегањата и од соодветниот систем равенки за компоненталните деформации E и G имаат димензија на напрегање и кај сите градежни материјали се големи во однос на напрегањата σ и τ што можат да се појават. На оваа чињеница се темели претпоставката усвоена насекаде во теоријата на еластичноста, дека деформациите се мали. Коефициентот на попречно ширење (Поасонов број) μ е без димензија и се наоѓа секогаш меѓу 0 и 1/2 .
Врски меѓу компоненталните деформации и поместувања. Овие врски се дадени со равенките (3), (4). Тие се од чисто геометриска природа. Овие три системи даваат 3+6+6=15 равенки за 15 непознати, т.е. за 6 компонентални напрегања, 6 компонентални деформации и 3 компонентални поместувања. Тие се, значи, доволни за определување на овие непознати. Математичкото совладување на ваков обемен систем диференцијални равенки е можно, се разбира, само во специјални случаи. Ако во равенката (8) компоненталните деформации се заменат со компоненталните поместувања според равенките (3) и (4) и потоа нормалните напрегања σ и смолкнувачките напрегања τ, според равенките (8 d - f), се внесат во условите на рамнотежа, рав. (7), се добиваат диференцијални равенки што се нарекуваат основни равенки на теоријата на еластичноста.
(9)
при што е 
означен Лапласовиот оператор. Со оглед на (2) ова се три диференцијални равенки со три компонентни поместувања μ, ν, ω; од овие, пак, со диференцирање врз основа на (3), (4) и (8) можат да се добијат сите компонентни напони и деформации. Равенките (9) претставуваат често погодна појдовна точка за проучување на специјални случаи.
Деформациска работа
Дефиниција
Кога носачот се оптовари, нападните точки на надворешните сили трпат еластични поместувања и силите при тоа вршат извесна работа. На овој начин доведената енергија може да премине во различни облици. Ако оптоварувањето се воведува нагло, така што процесот на деформација има значителна брзина, еден дел од оваа енергија се претвора во кинетичка енергија, која со текот на времето се распрснува, било така што се пренесува на земјата како еластичен бран што се губи во бесконечноста, било што со внатрешно триење се претвора во топлина. Ако товарите се нанесуваат толку лесно што при тоа не настанува забележлив прираст на кинетичката енергија, значи дека товарите што постепено растат, почнувајќи од нула, се во постојана рамнотежа со внатрешните сили, енергијата очигледно исклучиво се троши на деформирање на телото и тогаш се нарекува деформациона работа.
Пресметувањето на деформациската работа најнапред ќе го прикажеме на делче оптоварено на затегање во една насока (сл. 5).
Нека постојниот напон σ и соодветната дилатација ε претрпат прирасти dσ и dε. Тогаш силата σdF на патот dε * dl ќе изврши работа σdF * dεdl = σdεdV, ако со dV се означи запремнината на делчето. Ако напонот расте од нула до својата конечна вредност и дилатацијата соодветно на тоа од 0 до ε, вкупно извршената работа по единица запремнина ќе изнесува:
Слично и за елемент оптоварен со смолкнувачки напон τ (сл. 6) деформациската работа по единица волумен (специфична деформациска работа, еластичен потенцијал):
при што само една од четирите сили τ * dF врши работа.
Во општ случај, кога на елементарниот дел делуваат сите шест компонентни напони, се добива специфичниот деформациски напор со собирање на работите на поединечните компонентни напони:
(10)
Со диференцирање по горната граница на секој од овие интеграли се добиваат односи што важат во најопштиот случај:
(11)
и слично за останатите компонентни деформации. Ако телото е еластично, на секое определено напрегање секогаш одговара истата состојба на деформација, без оглед на тоа дали состојбата е постигната при оптоварување или растоварување. Тогаш под интегралите стојат еднозначни функции и вкупната енергија потрошена при оптоварувањето и потоа при целосното растоварување е a = 0, со оглед на тоа што во овој случај горните граници на интегралите стануваат нула. Според тоа вкупната енергија доведена на телото при оптоварување се добива назад при растоварување.
Слика 6
Слика 7
За нецелосно еластично тело, врската меѓу напонот и деформациите за целиот циклус на оптоварување и растоварување има облик приближно прикажан на сл. 7 со линиите O A B. Енергијата 
доведена при оптоварувањето е еднаква на површината OAA, а енергијата вратена при растоварувањето на површината ABA, така што се губи (се претвора во топлина) работата што одговара на шрафираната површина. Ако во осцилаторен процес напонот периодично се менува меѓу позитивната гранична вредност 
и негативната гранична вредност, 
нееластичната деформација тече слично како што е прикажано со испрекинатите линии на сл. 7 и при секој период на осцилација се претвора во топлина по единица запремнина енергијата DABCD. Ваквото однесување при деформација, при кое деформацијата заостанува зад напонот, се нарекува еластична хистереза, а кривата DABCD хистерезисна јамка.
Деформациска работа и Хуковиот закон
Ако во интегралите во равенката (10) се воведе Хуковиот закон, може да се изврши интегрирање, па за специфичната деформациска работа се добиваат изрази:
(12a)
(12b)
(12c)
Ако вториот од овие облици се внесе во равенката (11), повторно се добива Хуковиот закон, равенките (8), во облик решен по напрегањата. Тврдењето дека деформациската работа зависи од компоненталните деформации, како што е прикажано со равенката (12b), е според тоа еквивалентно на Хуковиот закон. Кога равенката (12c) се диференцира по напрегањата, се добива
(13)
Овие обрасци, за разлика од обрасците (11), важат само за тела што се однесуваат според Hooke-овиот закон и не можат да се применат кога врските меѓу напрегањата и деформациите се поинакви. Се разбира, на десната страна на равенките (13) се наоѓаат само компонентните деформации предизвикани од напрегањата, а се исклучуваат сите други што евентуално можеле да настанат поради промена на температурата, лази, набубрување, рекристализација итн.
ИНТЕГРАЛНИ СТАВОВИ ВО ТЕОРИЈАТА НА ЕЛАСТИЧНОСТА
Виртуелни поместувања. Принцип на минимум потенцијална енергија
Како што Хуковиот закон, равенките (8) може да се замени со една равенка (12b), така и наместо условот на рамнотежа може да се воведе принципот на виртуелни поместувања, како општоважечки основен закон на механиката. Овој закон кажува дека рамнотежните состојби се одликуваат со тоа што кај нив вкупно извршената работа на сите сили при мала промена на состојбата на деформации е еднаква на нула. Ако малите промени на еластичните поместувања ги означиме δμ δν, δω, тогаш волуменските сили дефинирани со равенката (7) вршат виртуелна работа
а површинските сили px, py, pz што дејствуваат на елементот dF од надворешната површина на телото работа 
при што тројниот интеграл се однесува на целокупниот волумен, а двојниот на целата надворешна површина на телото. За пресметување на работата што ја вршат внатрешните сили се користи равенката (12b), па за работата по единица волумен се добива
Принципот на виртуелни поместувања врз основа на тоа дава
(14)
Ако оптоварувањата X, Y, Z px, py., pz се сфатат како компоненти на силата на тежата (сопствена тежина и надворешно оптоварување), интегралите на десната страна ја претставуваат потенцијалната енергија што овие товари ја изгубиле, додека левата страна ја претставува промената на потенцијалната (еластична) енергија на телото, така што овој принцип укажува дека вкупната потенцијална енергија на носачот и товарите што лежат на него во случај на рамнотежа има екстремна вредност. Ако оваа екстремна вредност е минимум, рамнотежата е стабилна.
Принципот за минимум на потенцијалната енергија изразен со равенката (14), изразот (12b) за деформационата работа и условите за компатибилност на деформациите (5), (6) претставуваат систем равенки што е доволен за изградба на теоријата на еластичноста, и кој во основа е еквивалентен на системот равенки. Овој систем може да биде особено корисен во случаи кога задоволувањето на диференцијалните равенки (9) претставува пресметковни тешкотии и затоа мора да се бара приближно решение, напр., за поместувањата однапред да се претпостави погоден облик што содржи неколку слободни константи, па овие да се одредат од барањето равенката (14) да биде задоволена. Така, секако, не се добива строго решение на проблемот, туку само најдобрата апроксимација што може да се постигне со избраниот облик на решението. Дали приближувањето е доволно, зависи пред сè од усвоениот облик на решението, и успешната примена на оваа метода затоа бара умешност и искуство.
Кастилијанов принцип
Додека кај принципот на минимум на потенцијална енергија се споредуваат сите состојби на деформација што ги исполнуваат условите на компатибилност на деформациите и меѓу нив се издвојуваат оние за кои соодветните напрегања ги задоволуваат условите на рамнотежа, кај Кастиљановиот принцип се споредуваат сите состојби на напрегање што ги задоволуваат условите на рамнотежа и меѓу нив се издвојуваат оние за кои соодветните деформации ги задоволуваат условите на компатибилност на деформациите. Овој принцип гласи: од сите можни рамнотежни состојби навистина настапува онаа на која ѝ одговара најмала деформациска работа. Кастиљановиот принцип заедно со равенката (12c) за деформациска работа и условите на рамнотежа образува систем равенки што е доволен за градење на отпорноста на материјалите. Со оглед на тоа што овој принцип го содржи Хуковиот закон, можноста за неговата примена е врзана за претпоставката дека деформациите можат целосно да се опишат со овој закон. Ова бара не само линеарно еластично однесување на материјалот, туку и ги исклучува температурните промени.
Odnesuvanje na materijalite nad granicite na elastičnosta
Појави при статичко оптоварување
Деформацијата на материјалот под дејство на напрегања е многу комплицирана појава, така што мора на различни начини да се поедностави за да може да се разбере. Едно од овие поедноставувања е претпоставката дека товарите се нанесуваат постепено, како што се, напр., прави со примероците при испитување на затегнување и притисок.
Ако челична шипка оптоварена на затегнување се изложи на оптоварување што постепено расте и се мери нејзината дилатација ε, се добива дијаграмот прикажан на сл. 8. На почетокот дилатацијата е многу мала и пропорционална на напрегањето, како што тоа го бара Хуковиот закон. Почнувајќи од одредено напрегање, пропорционалноста престанува и дилатацијата расте побрзо. Точната положба на границата на оваа пропорционалност тешко може да се одреди. Колку е мерењето поточно, толку таа се добива пониска. За повеќето материјали таа лежи на σ = 0, а Хуковиот закон тогаш претставува само прво приближување на еластичното однесување, првиот член од развојот во Тејлоров ред на функцијата ε = ε (σ) во околината на координатниот почеток.
Ако стапот се растовари, се забележува дека, кога напрегањето не било премногу големо, исчезнува и деформацијата, во согласност со Хуковиот закон. Но и ова се менува ако се надмине извесно напрегање што лежи блиску до границата на пропорционалност, т.н. граница на еластичност; тогаш вкупната деформација се состои од еластичен (повратен) и нееластичен (траен) дел. Ни границата на еластичност не може точно да се одреди, таа се наоѓа толку пониско колку што е поголема точноста на мерењето. Меѓутоа, бидејќи таа има големо техничко значење, затоа што претставува граница на важност кај речиси сите пресметки во отпорноста на материјали, а истовремено и граница на која настануваат првите трајни оштетувања, таа за испитување на примероци строго се дефинира со некоја усвоена конвенција, па се, напр., како граница 0.2% означува она напрегање при кое трајната дилатација достигнува 0.2%.
Непосредно по надминувањето на границата на еластичност, деформацијата нагло расте и може да се забележи со голо око; при речиси константен напон прачката непрекинато се издолжува. Овој напон се нарекува граница на течење. Кај хидрауличните машини за испитување на материјали може при тоа да се забележи по почетокот на течењето повеќе или помалку изразен пад на напонот; како што е означено на сл. 8 со испрекината крива; тогаш максимумот се нарекува горна граница на течење, а константниот напон на течење што потоа следи - долна граница на течење.
Откако ќе се достигне одредена дилатација, која е речиси целосно нееластична, напрегањето повторно почнува да расте, материјалот се зацврстува. Во оваа област на оптоварување настанува забележително намалување на попречниот пресек на стапчето поради (нееластична) странична контракција, а понатамошниот тек на дијаграмот на напрегање и деформација зависи пред сè од тоа дали при пресметување на напрегањето σ силата на затегање P што делува на стапчето се дели со првобитниот пресек F0 или со тековниот пресек F. За технички цели интересен е напрегот P|F0. Овој напрег минува низ максимум што се нарекува цврстина на материјалот и кога ќе се помине тој максимум, стапчето на едно место силно се стеснува и пука. „Вистинското напрегање“ P|F расте до лом.
Слика 8.
Однесувањето на другите метали во голема мера отстапува од овде опишаното. Течењето често не е изразено, а зацврстувањето започнува непосредно по надминувањето на границата на еластичност. Кај кршливите материјали (камен, стакло, бетон) нееластичните деформации воопшто се мали и веќе при мала дилатација доаѓа до лом. Вкупната дилатација што материјалот ја претрпува до лом е мерка на растегливоста (спротивно: кршливоста) на материјалот и таа за челик точно се пропишува во техничките услови. Меѓутоа, бидејќи непосредно пред лом понатамошната деформација се концентрира на околните места на стеснетиот пресек, се добива различна вредност на дилатацијата при лом, во зависност од тоа дали за мерната должина се зема поголем или помал дел од прачката, така што за добивање еднозначни и меѓусебно споредливи резултати мора однапред да се усвои некаква определена конвенција. Дилатацијата при лом по правило се мери така што на тркалезна прачка со пречник d пред испитувањето се означи мерната должина Ι = 10 d и од нејзиното издолжување ΔΙ се пресмета дилатацијата при лом εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Ако е потребно да се испитуваат прачки со друг пресек, мерната должина се одредува според пречникот на кружна цилиндрична прачка што има иста површина на попречниот пресек.
Долготрајно оптоварување
За текот на опитот на затегање прилично е сèедно дали оптоварувањето до лом се зголемува во текот на 10 m минути или неколку часа. Меѓутоа, ако оптоварувањето дејствува со години или децении, под одредени услови се забележува дека и под границата на течење деформацијата при константен напон со текот на времето бавно расте. При тоа еластичниот дел, односно оној дел што при конечното растоварување исчезнува, не се менува осетно. Овој пораст на нееластичната деформација што се случува во текот на подолго време се нарекува ползење. Кај металите, освен кај оловото, ползењето е значајно само на високи температури; меѓутоа, за градежниот инженер тоа игра улога кај бетонот кој под притисок бавно попушта, така што напонот расте во притиснатата арматура, ако таа постои.
Променливо оптоварување
За механичките карактеристики на материјалот, добиени при испитување на затегнување, да можат да се применат како мерило за дозволеното оптоварување на конструкциите, услов е материјалот при секое повторно оптоварување да го издржи напонот што еднаш без оштетување го поднел. Овој услов не е исполнет ако материјалот е изложен на често повторување на оптоварувања и растоварувања, како што е тоа, на пр., случај кај носачи оптоварени со инерциски сили на непотполно избалансирани машини. Со доволно често повторување на оптоварувањето конструктивниот елемент може да се доведе до лом и при напон што е далеку под јачината на материјалот одредена со обично статичко испитување. Појавата на лом од ваков вид се нарекува лом поради замор. Бројот n циклуси на оптоварување што материјалот може да ги поднесе зависи од големината на напонот σ, така што е толку поголем, колку што е напонот помал. Типичен пример на оваа зависност е прикажан на сл. 9, од која се гледа дека за јачината на материјалот постои долна граница, што ја поднесува и при произволно голем број циклуси на оптоварување и која се нарекува динамичка јачина на материјалот. Дијаграмите од овој вид (сл. 9) се нарекуваат Wӧhler-ови криви.
Слика 9.
Безбедност на конструкции
Две гранични оптоварувања се значајни за конструкциите: оптоварувањето при кое настануваат првите трајни оштетувања (граница на течење), и оптоварувањето при кое носивоста на конструкцијата е исцрпена, па таа се ломи (граница на лом). Бидејќи пред границата на течење бар приближно важат претпоставките на отпорноста на материјалите (мали поместувања, Hooke-ов закон), сигурноста во однос на трајни деформации може сигурно да се процени во сите оние случаи во кои ќе успее да се надминат математичките тешкотии. Ако напрегањето е пропорционално со оптоварувањето, односот на напрегањето на течење кон најголемото напрегање што се појавува во конструкцијата е еднаков на односот меѓу оптоварувањето при кое настанува течењето и стварното оптоварување и претставува коефициент на сигурност во однос на течење. Меѓутоа, во низа случаи овој едноставен однос не постои: свиткување кога се исклучува затегањето, притисок меѓу испакнати површини, системи чија структура е променлива и, што е особено неповолно, свиткување со аксијална сила. Во сите овие случаи релативно мало зголемување на оптоварувањето може да доведе до големо зголемување на напрегањето, и тогаш не е доволно вообичаениот коефициент на сигурност да се примени на напрегањата, туку мора да се примени на оптоварувањето.
Појавите што се случуваат по надминувањето на границата на течење до ломот во повеќето случаи можат да се следат само квалитативно. Ако материјалот е растеглив, деловите во кои најпрво е достигната границата на течење, и кои понатаму се деформираат при константен напон или напон што незначително расте, малку учествуваат во преземањето на натамошното оптоварување, така што останатите, послабо напрегнати делови на конструкцијата, ако тоа е можно со оглед на нејзината структура, повеќе учествуваат во носењето. Во оваа тежнеење кон изедначување на врвовите на напоните лежи извесна резерва на сигурност, која пресметковно може да се искористи ако трајната деформација на поединечни делови, настаната при само едно значително оптоварување, не е штетна (метода на гранично оптоварување).
Ако материјалот е крт, првото трајно оштетување се јавува во пукнатини, поради кои на загрозеното место доаѓа до уште посилна концентрација на напони, што веднаш предизвикува лом. Ломот поради замор и кај растегливите материјали има карактеристики на кршливо кршење.
Vrzkite među naponite za različni presečni ravni
Равенки на трансформација
Деветте компоненти на напоните на сл. 1 се поврзани со три услови на рамнотежа. Шесте преостанати големини σx, σy, σz τxy, τyz, τzx можат, независно една од друга, да добијат произволни вредности, како што се гледа од изведувањето на диференцијалните равенки на теоријата на еластичноста. Меѓутоа, кога овие вредности се зададени, состојбата на напоните во некоја точка на цврсто тело е целосно определена, т.е. кога се познати напоните за три меѓусебно нормални рамнини, може еднозначно да се одреди и напонот за некоја четврта рамнина што минува низ дадената точка и чија нормала има произволен правец.
На сл 10 е прикажан тетраедарот OABC чии три страни се паралелни со рамнините на координатниот систем x, y, z а четвртата претставува некој произволно ориентиран елемент на површина ABC = dF. За да се означи неговиот правец и правецот на напонот што се пренесува преку него, се воведува втор координатен систем, чија ξ оска е нормална на dF.
Слика 10
Условот на рамнотежа на силите што дејствуваат на овој тетраедар во правец на ξ-оската дава
Ако се земе предвид дека е
се добива
и слично од условот на рамнотежа во насока на оската η:
Ова се равенки што служат за пресметување на напони при трансформација на координатите. Од особено значење е да се разгледуваат само такви елементи на површината dF за кои ξ-оската се поклопува со z-оската. Обрасците за овој случај можеме да ги добиеме со поедноставување на претходните обрасци или да ги прочитаме непосредно од сл. 11:
Слика 11
Нормалното напрегање зема екстремни вредности за насоки α = α0 , за кои dσξ/dα = 0. Со диференцирање од равенката (16) се добива
па е, кога овој израз се изедначи со нула
Напонот τξη ќе биде воедно и тотален смолкнувачки напон во овие рамнини, ако τyz = τzx = 0. Тогаш со равенката (17) се определени две меѓусебно нормални насоки за кои: 1. тоталниот смолкнувачки напон е нула и, 2. нормалниот напон има екстремни вредности (максимум и минимум). Овие насоки се нарекуваат насоки на главни напони, а соодветните напони главни напони. Тие се означуваат со σ1 и σ2 и можат да се пресметаат непосредно од образецот
Мооров круг
Равенките (16) можат графички да се прикажат на јасен начин. За таа цел треба да се трансформираат во облик:
Овие равенки претставуваат во координатниот систем σ, τ параметарска форма на равенката на кругот, нацртан на сл. 12, чии координати на средиштето се σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 и чиј полупречник
Овој круг се нарекува Мооров круг. Ако низ точката x се повлече права паралелна со пресекот x =const., преку кој се пренесуваат напрегањата σx, τxy, таа ќе го пресече кругот во точката p, која се нарекува пол на Мооровиот круг. Секоја права pξ повлечена низ овој пол го сече кругот во точката ξ која ги одредува напрегањата σξ, τξη што се пренесуваат преку пресекот паралелен со pξ.
Во поглед на знакот на смолкнувачките напрегања при цртањето на Мооровиот круг треба да се има предвид дека тие се нанесуваат нагоре ако имаат насока прикажана на сл. 12c. Според тоа, од двете конјугирани напрегања τxy, τyx, едното секогаш е позитивно, а другото негативно.
На граничните вредности σ1, σ2 на нормалните напони им одговараат точките 1 и 2 на кругот, а правите _p_1 и _p_2 ги даваат правците на главните напони.
Прикажувањето на напрегањата што лежат во x-y рамнината со помош на Махровиот круг не е врзано за никаква претпоставка за напрегањата σz, τxz, τyz нормални на оваа рамнина.
Слика 12
Тоа, според тоа, важи и за најопштата тридимензионална состојба на напон, ако се споредуваат само оние пресечни рамнини што сите минуваат низ истата права, која тука е избрана за z и ξ оска. Бидејќи според општите трансформациски равенки (15) нормалниот напон σ не може да стане бесконечен ни за една пресечна рамнина, тој мора да има за некоја рамнина конечен максимум σ1, а за друга минимум σ3, од кои и двата, се разбира, можат да бидат и негативни. Ако низ векторите σ1 и σ3 се повлече рамнина и се нацрта Mohr-овиот круг (сл. 13)
Слика 13
за напоните што лежат во оваа раван (т.е. сите правци што се нормални на оваа раван), тогаш се σ1 и σ3 најголемите и најмалите нормални напони што можат да се појават и според тоа мора да бидат меѓусебно нормални. Ако правците 1 и 3 се дополнат со правецот 2, така што овие три правци чинат правоаголен координатен систем, и ако се нацртаат Маxр-ови кругови за рамнините 1 ~2 и 2 ~ 3, тогаш σ2 за еден од овие кругови е најголем, а за другиот најмал нормален напон, и според тоа во пресеците нормални на правците 1, 2 и 3 смолкнувачкиот напон е еднаков на нула. Трите меѓусебно нормални нормални напони σ1, σ2 и σ3, на кои не одговараат смолкнувачки напони, се нарекуваат главни напони.
Граница на течење и граница на лом при просторно напрегнато состојба
Состојбата на напрегање се нарекува еднодимензионална, дводимензионална или тродимензионална, односно: линеарна, рамна или просторна, зависно од тоа дали еден, два или сите три главни напрегања се различни од нула. Кај конструктивните делови што најчесто се применуваат, т.е. кај затегнат, притиснат и свиткан прачкаст елемент, состојбата на напрегање, барем на најоптоварените места, е еднодимензионална, а исто така и кај испитувањата на затегање, притисок или свиткување, кои при испитување на материјалите речиси исклучиво се применуваат за одредување на дозволените напрегања. Спротивно на тоа, кај плочи оптоварени во својата рамнина или нормално на неа, како и кај школки, состојбата на напрегање е дводимензионална, а во одредени случаи се појавуваат и тродимензионални состојби на напрегање, така што е потребно врз основа на границата на течење и лом, утврдени при еднодимензионална состојба на напрегање, да се извлечат заклучоци за однесувањето на материјалот во случај на просторна состојба на напрегање.