Pagrindai
Medžiagų atsparumo uždavinys yra nustatyti, kokias išorines jėgas gali atlaikyti kietas kūnas (pvz., statinys, konstrukcinė dalis arba gruntas). Norint atsakyti į šį klausimą, remiamasi dviem kriterijais: viena vertus, įtempiai neturi viršyti tam tikrų ribų, kurios priklauso nuo medžiagos rūšies, kita vertus, pusiausvyra tarp išorinių ir vidinių jėgų turi būti stabili. Atsižvelgiant į tai, visi medžiagų atsparumo uždaviniai gali būti suskirstyti į „įtempių uždavinius“ ir „stabilumo uždavinius“.
Strypuose ir sijose bei iš jų sudarytuose nešančiuosiuose elementuose (grotelėse, rėmuose) įtempiai nustatomi dviem etapais: pirmiausia pagal duotas išorines jėgas apskaičiuojama vidinių jėgų, perduodamų per skerspjūvį, rezultantė, o paskui iš šių „skerspjūvio jėgų“ nustatomi įtempiai. Pirmoji procedūros dalis yra atskira, plati disciplina – statybinė konstrukcijų statika, kuri turi išplėtotus savus metodus ir paprastai atskiriama nuo medžiagų atsparumo, kurio užduotis apsiriboja įtempių nustatymu iš duotų skerspjūvio jėgų.
Pagrindinės medžiagų atsparumo sąvokos
Į įtampos apibrėžimą prieinama remiantis šiais pagrindiniais svarstymais. Tegul kūną veikia pusiausvyrinė išorinių jėgų sistema. Įsivaizduokime, kad kūną bet kokiu pjūviu padalijome į dvi dalis ir vieną iš jų pašalinome kartu su ją veikiančiomis jėgomis; tuomet jos poveikis kitai daliai, kad jėgų pusiausvyra ir deformacijų pasiskirstymas liktų nepakitę, turi būti pakeistas papildomomis jėgomis, perduodamomis per pjūvio paviršių. Šios „vidinės“ jėgos tolygiai pasiskirsčiusios po pjūvio paviršių, taip kad kiekvienam paviršiaus elementui dF tenka jėga dβ. Jei sudaromas santykis dβ dF ir atliekamas ribinis perėjimas dF -> 0, tada šis santykis artėja prie ribinės vertės, vadinamos įtampa. Įtempis tam tikrame paviršiaus elemente yra, kaip ir dβ, ir gali būti suskaidytas į komponentes, normalias ir tangencines dF atžvilgiu, normalųjį įtempį σ ir kirpimo įtempį τ.
Jei per tą patį tašką brėžiami pjūviai skirtingomis kryptimis, jiems atitiks ir skirtingi įtempiai. Ypač jei iš kūno išskiriamas elementarus gretasienis, pavaizduotas pav. 1, kiekviename iš šešių jo paviršių veiks įtempio vektorius, kurį galima išskaidyti į tris komponentes x, y ir z koordinačių ašių kryptimis. Įtempiai, veikiantys priešingose paviršiaus pusėse, skiriasi vienas nuo kito, žinoma, tik diferencialu, todėl reikia skirti 3 * 3 = 9 komponentinius įtempius, kurie žymimi taip:
Normaliesiems įtempimams σ suteikiamas tos ašies indeksas, kurios kryptimi jie veikia, ir jie laikomi teigiamais, jei sukelia tempimą, neigiamais, jei sukelia gniuždymą. Šlyties įtempiai τ gauna du indeksus: pirmasis iš jų sutampa su atitinkamo normaliojo įtempio indeksu, o antrasis nurodo ašį, kurios kryptimi veikia šlyties įtempis. Jei teigiama atitinkamo normaliojo įtempio kryptis sutampa su teigiama (neigiama) koordinačių ašimi, tai ir šlyties įtempis laikomas teigiamu, jei jis veikia teigiama (neigiama) koordinačių ašies kryptimi.
Paveikslas 1.
Slinkio įtempių konjuguotumas
Jei elementariam gretasieniui, pav. 1, nustatoma sąlyga, kad visų jėgų momentas x ašies atžvilgiu yra lygus nuliui, gaunama τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. Iš čia ir iš dviejų atitinkamų lygties ašims y ir z gaunama, kad vienodų indeksų kirpimo įtempiai yra tarpusavyje lygūs τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponentinės deformacijos
Tai, kad anksčiau apibrėžti įtempiai turi fizikinę prasmę, išplaukia iš jų ryšio su deformacija, kurią patiria kiekvienas kūnas, veikiamas išorinių jėgų. Pav. 2 pavaizduotas elementarus gretasienis, kuris prieš deformaciją buvo stačiakampis ir turėjo briaunų ilgius dx, dy, dz. Briaunų ilgius po deformacijos galime žymėti dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; santykiai εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz vadinami pailgėjimais. Tai yra bedimensiai dydžiai ir visoms statyboje naudojamoms medžiagoms yra maži, palyginti su 1. Be briaunų pailgėjimo, elementarusis gretasienis dx * dy * dz gali patirti ir iš pradžių statų kampų tarp savo sienų pokytį.
Paveikslas 2. komponentinė deformacija
Tarkime, kad po deformacijos kampas tarp plokštumų, susikertančių išilgai briaunos OC, yra lygus 
, ir panašiai tegu stačiojo kampo sumažėjimas išilgai briaunos AO yra lygus γyz, o išilgai briaunos OB — γzx. Šie trys kampų pokyčiai γxy, γyz, γzx vadinami slinktimis ir taip pat visada yra maži, palyginti su 1. Su šešiomis komponentėmis ε ir γ visiškai apibrėžiama elementaraus šešiakampio „mažosios deformacijos“ deformacija. Tūrio elemento pokytis d_V = dx * dy * dz_ yra ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, iš kur, kai neatsižvelgiama į deformacijų sandaugas kaip į aukštesnės eilės mažas reikšmes, gaunama kubinė deformacija ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Poslinkiai
Griežtojo kūno deformaciją galima visiškai aprašyti ir taip, kiekvienam jo taškui nurodant to taško patirtą poslinkį. Jei iš nagrinėjimo pašalinami baigtinio dydžio poslinkiai, atitinkantys standžiojo kūno poslinkį, taip, kad prireikus skaičiavimuose pasirenkama slenkamoji koordinačių sistema, tuomet ir komponentiniai poslinkiai μ, ν, ω visada yra maži dydžiai, o jų išvestinės pagal koordinates yra mažos, palyginti su 1. Remiantis šia prielaida, pagal pav. 3 linijinio elemento OA = dx ilgis po deformacijos
taigi 
(3)
Panašiai iš pav. 3 matyti, kad slydimas γxy = γ1 + γ2; taip pat
(4)
Pav. 3 slydimas
(5) 
(6)
Šie ryšiai vadinami suderinamumo sąlygomis ir rodo, kad deformuoti elementai gali būti sudėti kaip mozaika taip, jog erdvė būtų nepertraukiamai užpildyta, o to negalima pasiekti, jei elementų deformacijos yra savavališkos. Suderinamumo sąlygos yra diferencialinės lygtys, todėl, savaime suprantama, visos šešios komponentinės deformacijos kiekvienam atskiram gretasieniui yra tarpusavyje nepriklausomos, tačiau jų išsidėstymas kiekvienoje baigtinėje išplėstoje srityje yra susietas sąlygomis (5) ir (6).
Kadangi šios sąlygos gautos diferencijuojant iš lygčių (3) ir (4), jas išvedant prarandama dalis ryšių, esančių pradinėse lygybėse. Todėl nepakanka, kad būtų patenkinta tik viena iš šių dviejų lygčių sistemų; abi lygčių sistemos turi būti patenkintos, jei norima užtikrinti deformacijų suderinamumą.
Diferencialinės lygtys elastingumo sistemai
Tampriųjų kūnų įtempiams ir deformacijoms apskaičiuoti naudojamos šios lygtys:
Pusiausvyros sąlygos tūrio elementui. Sąlygos, kad momentai apie tris ašis būtų lygūs nuliui, jau panaudotos išvedant lygtį (1). Jėgų pusiausvyros sąlygos pagal pav. 4 duoda
Pav. 4
(7a-c)
Jei X, Y, Z žymimi tūrinių jėgų komponentai (pvz., svoris, išcentrinė jėga) vienam tūrio vienetui. Įtempių ir deformacijų sąsajos. Tai reiškia sąsają tarp komponentinių įtempių ir komponentinių deformacijų. Elastичumo teorijoje paprastai nagrinėjama tik linijinė sąsaja, kuri išreiškiama Huko dėsniu:
(8a-c)
(8d-f)
Jei lygtys (8a-c) išsprendžiamos įtempių atžvilgiu, gaunama
(8 a)
kso ir dvi atitinkamos lygtys. Hooke’o dėsnis, išreikštas lygtimi (8), nėra koks nors griežtai galiojantis gamtos dėsnis, o tik realaus elgesio idealizacija, nuo kurios daugiau ar mažiau nukrypstama priklausomai nuo medžiagos ir įtempimo dydžio. Kadangi medžiagų atsparumo problemų matematinis nagrinėjimas, kai įtempių ir deformacijų ryšiai yra sudėtingi, netiesiniai, sukelia nepalyginamai didesnių sunkumų ir praktiškai gali būti taikomas tik pačiais paprasčiausiais atvejais, net ir toms medžiagoms (betonui!), kurių elgsena smarkiai nukrypsta nuo Hooke’o dėsnio, pagal jį pagrįsti skaičiavimai turi būti naudojami kaip pirmasis, o dažniausiai ir vienintelis apytikris sprendimas, kuris, be to, paprastai yra labai naudingas ir suteikia įžvalgą, kuri yra daugiau nei vien kokybinė. G = E|2 (1+μ).
Ji būtinai išplaukia iš ryšio tarp įtempių ir deformacijų (8), iš transformacijos lygčių (16) įtempiams ir atitinkamos lygčių sistemos komponentinėms deformacijoms. E ir G turi įtempio matmenį ir visoms statybinėms medžiagoms yra dideli, palyginti su galinčiais atsirasti įtempiais σ ir τ. Tačiau būtent šiuo faktu grindžiama visur elastingumo teorijoje taikoma prielaida, kad deformacijos yra mažos. Skersinės dilatacijos koeficientas (Puasono skaičius) μ yra bedimensis ir visada yra tarp 0 ir 1/2 .
Ryšiai tarp komponentinių deformacijų ir poslinkių. Šie ryšiai pateikti lygtimis (3), (4). Jie yra grynai geometrinio pobūdžio. Šios trys sistemos duoda 3+6+6=15 lygčių 15 nežinomųjų, t. y. 6 komponentinių įtempių, 6 komponentinių deformacijų ir 3 komponentinių poslinkių. Todėl jų pakanka šioms nežinomosioms nustatyti. Matematiškai įveikti tokią apimtą diferencialinių lygčių sistemą, žinoma, įmanoma tik ypatingais atvejais. Jei lygties (8) komponentinės deformacijos pakeičiamos komponentiniais poslinkiais pagal lygtis (3) ir (4), o po to normalieji įtempiai σ ir šlyties įtempiai τ, pagal lygtis (8 d - f), įvedami į pusiausvyros sąlygas, lygt. (7), gaunamos diferencialinės lygtis, vadinamos pagrindinėmis elastingumo teorijos lygtimis.
(9)
pri kuriam 
pažymėtas Laplaso operatorius. Atsižvelgiant į (2) tai yra trys diferencialinės lygtys su trimis komponentiniais poslinkiais μ, ν, ω; iš šių, diferencijuojant remiantis (3), (4) ir (8), galima gauti visus komponentinius įtempius ir deformacijas. Lygtys (9) dažnai yra patogi atspirties vieta specialiesiems atvejams nagrinėti.
Deformacinis darbas
Apibrėžimas
Kai apkraunama sija, išorinių jėgų veikimo taškai patiria elastingus poslinkius, o jėgos tuo metu atlieka tam tikrą darbą. Taip įnešta energija gali virsti įvairiomis formomis. Jei apkrova uždedama staiga, taip, kad deformacijos procesas vyksta gana sparčiai, dalis šios energijos virsta kinetine energija, kuri laikui bėgant išsisklaido arba taip, kad perduodama grunto paviršiui kaip elastingoji banga, kuri dingsta begalybėje, arba tuo, kad vidinės trinties būdu virsta šiluma. Jei apkrovos dedamos taip lėtai, kad neatsiranda pastebimo kinetinės energijos приростo, vadinasi, kai palaipsniui didėjančios apkrovos nuo nulio yra pusiausvyroje su vidinėmis jėgomis, energija akivaizdžiai sunaudojama vien kūno deformavimui ir tada ji vadinama deformacijos darbu.
Deformacinio darbo skaičiavimą pirmiausia parodysime elementui, apkrautam tempimu viena kryptimi (pav. 5).
Tegu esamas įtempis σ ir atitinkama deformacija ε patiria prieaugius dσ ir dε. Tada jėga σdF kelyje dε * dl atliks darbą σdF * dεdl = σdεdV, jei dV žymės elementinio tūrio tūrį. Jeigu įtempis didėja nuo nulio iki galutinės reikšmės, o deformacija atitinkamai nuo 0 iki ε, bendras atliktas darbas vienam tūrio vienetui bus:
Panašiai ir elementui, veikiamam kirpimo įtempiu τ (pav. 6), deformacijos darbas tūrio vienetui (savitasis deformacijos darbas, elastingasis potencialas):
kai darbą atlieka tik viena iš keturių jėgų τ * dF.
Bendruoju atveju, kai į elementarią dalelę veikia visos šešios komponentinės įtampos, specifinis deformacijos darbas gaunamas sudedant atskirų komponentinių įtampų darbus:
(10)
Diferencijuojant pagal kiekvieno iš šių integralų viršutinę ribą, gaunami ryšiai, galiojantys bendriausiu atveju:
(11)
ir panašiai kitoms sudėtinėms deformacijoms. Jei kūnas yra elastingas, kiekvienai tam tikrai įtempių būsenai visada atitinka ta pati deformacijų būsena, nesvarbu, ar būsena pasiekta apkrovimo, ar nuėmimo metu. Tada po integralais yra vienareikšmės funkcijos, o bendra energija, sunaudota apkrovimo ir po to visiško nuėmimo metu, yra a = 0, atsižvelgiant į tai, kad šiuo atveju viršutinės integralų ribos tampa nulinės. Taigi bendra energija, perduota kūnui apkrovimo metu, nuėmimo metu susigrąžinama.
Paveikslas 6
Paveikslas 7
Nepilnai elastingam kūnui ryšys tarp įtempių ir deformacijų per visą apkrovimo ir nuėmimo ciklą yra tokios formos, kuri apytikriai pavaizduota pav. 7 linijomis O A B. Apkrovimo metu įnešta energija 
lygi plotui OAA, o nuėmimo metu grąžinta energija — plotui ABA, todėl prarandamas (į šilumą paverčiamas) darbas, atitinkantis šešėliuotą plotą. Jei osciliaciniame procese įtempis periodiškai keičiasi tarp teigiamos ribinės reikšmės 
ir neigiamos ribinės reikšmės, 
, neelastinga deformacija vyksta panašiai, kaip parodyta brūkšninėmis linijomis pav. 7, ir kiekvienos osciliacijos periodo metu tūrio vienetui į šilumą paverčiama energija DABCD. Toks elgsena deformacijos metu, kai deformacija vėluoja įtempiui, vadinama elastine histereze, o kreivė DABCD — histerezės kilpa.
Deformacijos darbas ir Huko dėsnis
Jei į lygties (10) integralus įvedamas Hooke’o dėsnis, galima atlikti integravimą, ir specifinio deformacijos darbo išraiškos yra šios:
(12a)
(12b)
(12c)
Jei antrasis iš šių formų įrašomas į lygtį (11), vėl gaunamas Huko dėsnis, lygtys (8), išreikštos įtempių pavidalu. Teiginys, kad deformacinis darbas priklauso nuo komponentinių deformacijų, kaip parodyta lygtimi (12b), todėl yra ekvivalentiškas Huko dėsniui. Kai lygtis (12c) diferencijuojama pagal įtempius, gaunama
(13)
Šios schemos, skirtingai nuo schemų (11), galioja tik kūnams, kurie elgiasi pagal Huko dėsnį, ir negali būti taikomos, kai ryšys tarp įtempių ir deformacijų yra kitoks. Suprantama, kad dešinėje lygčių (13) pusėje yra tik įtempimų sukeltos komponentinės deformacijos, o visos kitos, kurios galėjo atsirasti dėl temperatūros pokyčio, valkšnumo, brinkimo, rekristalizacijos ir t. t., neįtraukiamos.
INTEGRALINIAI DĖSNIAI ELASTINGUMO TEORIJOJE
Virtualūs poslinkiai. Mažiausios potencialios energijos principas
Kaip Hooke’o dėsnis, lygtys (8) gali būti pakeistos viena lygtimi (12b), taip ir vietoje pusiausvyros sąlygų galima įvesti virtualių poslinkių principą, kaip visuotinai galiojantį pagrindinį mechanikos dėsnį. Šis dėsnis teigia, kad pusiausvyros būsenoms būdinga tai, jog jose visų jėgų atliktas bendras darbas, kai deformacijos būsena kinta nedaug, yra lygus nuliui. Jei mažus elastingųjų poslinkių pokyčius žymime δμ δν, δω, tada tūrinės jėgos, apibrėžtos lygtimi (7), atlieka virtualų darbą
o paviršiaus jėgos px, py, pz, veikiančios kūno išorinio paviršiaus elemento dF, darbą 
čia trigubasis integralas taikomas visam tūriui, o dvigubasis – visam išoriniam kūno paviršiui. Vidaus jėgų atliekamam darbui apskaičiuoti naudojama lygtis (12b), todėl darbui iš tūrio vieneto gaunama
Virtualiųjų poslinkių principas tuo pagrindu duoda
(14)
Jei apkrovos X, Y, Z px, py., pz laikomos sunkio jėgos komponentėmis (savasis svoris ir išorinė apkrova), integralai dešinėje pusėje vaizduoja potencialiąją energiją, kurią šios apkrovos prarado, o kairioji pusė vaizduoja kūno potencialiosios (tampriosios) energijos приростį, taigi šis principas teigia, kad bendra sijos ir ant jos gulinčių apkrovų potencialioji energija pusiausvyros atveju turi ekstremaliąją reikšmę. Jeigu ši ekstremalioji reikšmė yra minimumas, pusiausvyra yra stabili.
Potencialiosios energijos minimumo principas, išreikštas lygtimi (14), reiškinys (12b) deformacijos darbui, deformacijų suderinamumo sąlygos (5), (6) sudaro lygčių sistemą, kurios pakanka elastingumo teorijai sudaryti ir kuri iš esmės yra lygiavertė lygčių sistemai. Ši sistema gali būti ypač naudinga tais atvejais, kai diferencialinių lygčių (9) tenkinimas kelia skaičiavimo sunkumų ir todėl reikia ieškoti apytikrio sprendinio, pvz., poslinkiams iš anksto parenkama tinkama forma, kurioje yra keletas laisvųjų konstantų, o šios nustatomos iš reikalavimo, kad lygtis (14) būtų patenkinta. Taip, žinoma, negaunamas griežtas problemos sprendinys, o tik geriausia aproksimacija, kurią galima pasiekti pasirinkta sprendinio forma. Ar aproksimacija pakankama, pirmiausia priklauso nuo pasirinktos sprendinio formos, todėl sėkmingas šio metodo taikymas reikalauja įgūdžių ir patirties.
Castigliano principas
Kai pagal mažiausios potencialiosios energijos principą lyginamos visos deformacijos būsenos, kurios tenkina deformacijų suderinamumo sąlygas, ir iš jų atrenkamos tos, kurioms atitinkantys įtempiai tenkina pusiausvyros sąlygas, pagal Castigliano principą lyginamos visos įtempių būsenos, kurios tenkina pusiausvyros sąlygas, ir iš jų atrenkamos tos, kurioms atitinkamos deformacijos tenkina deformacijų suderinamumo sąlygas. Šis principas skamba taip: iš visų galimų pusiausvyros būsenų realiai įvyksta ta, kuriai atitinka mažiausias deformacijos darbas. Castigliano principas kartu su lygtimi (12c) deformacijos darbui ir pusiausvyros sąlygomis sudaro lygčių sistemą, kurios pakanka medžiagos atsparumui nustatyti. Kadangi šis principas apima Huko dėsnį, jo taikymo galimybė siejama su prielaida, kad deformacijas galima visiškai aprašyti šiuo dėsniu. Tai reikalauja ne tik linijinio elastingo medžiagos elgesio, bet ir neapima temperatūros pokyčių.
Medžiagų elgsena virš elastingumo ribų
Pasirodymai esant statinei apkrovai
Medžiagos deformacija veikiant įtampoms yra labai sudėtingas reiškinys, todėl, kad būtų galima jį suprasti, jį tenka įvairiais aspektais supaprastinti. Vienas iš šių supaprastinimų yra prielaida, kad apkrovos dedamos pamažu, kaip, pavyzdžiui, daroma su bandiniais tempiant ir gniuždant.
Jei tempiamas plieninis strypas apkraunamas palaipsniui didėjančia apkrova ir matuojamas jo pailgėjimas ε, gaunama diagrama, pavaizduota pav. 8. Iš pradžių pailgėjimas yra labai mažas ir proporcingas įtempiui, kaip to reikalauja Huko dėsnis. Nuo tam tikro įtempio proporcingumas baigiasi ir pailgėjimas didėja greičiau. Tiksli šios proporcingumo ribos padėtis nustatoma sunkiai. Kuo matavimas tikslesnis, tuo ji gaunama žemesnė. Daugumai medžiagų ji yra ties σ = 0, o Huko dėsnis tada tėra tik pirmas elastingo elgesio artinys, pirmasis Tayloro eilutės funkcijos ε = ε (σ) narys koordinačių pradžios aplinkoje.
Jei strypas atleidžiamas nuo apkrovos, pastebima, kad, kai įtempimas nebuvo per didelis, išnyksta ir deformacija, pagal Hooke’o dėsnį. Tačiau ir tai keičiasi, jei viršijamas tam tikras įtempimas, esantis arti proporcingumo ribos, vadinamosios elastingumo ribos; tada bendroji deformacija susideda iš elastingos (grįžtamosios) ir neelastingos (nuolatinės) dalių. Net ir elastingumo ribos tiksliai nustatyti negalima, ji tuo žemesnė, kuo didesnis matavimo tikslumas. Tačiau kadangi ji turi didelę techninę reikšmę, nes yra reikšmingumo riba beveik visuose medžiagų atsparumo skaičiavimuose, kartu ir riba, kurioje atsiranda pirmieji nuolatiniai pažeidimai, bandant mėginius ji griežtai apibrėžiama tam tikra priimta konvencija, todėl, pavyzdžiui, kaip 0.2% riba žymimas tas įtempimas, kuriam esant nuolatinė dilatacija pasiekia 0.2%.
Iškart viršijus tamprumo ribą, deformacija staiga didėja ir tai galima pastebėti plika akimi; esant beveik pastoviai įtampai strypas nuolat ilgėja. Ši įtampa vadinama takumo riba. Hidraulinėse medžiagų bandymo mašinose papildomai galima pastebėti daugiau ar mažiau ryškų įtampos kritimą prasidėjus takumui; kaip pažymėta pav. 8 punktyrine kreive; tada maksimumas vadinamas viršutine takumo riba, o po to atsirandanti pastovi takumo įtampa – apatine takumo riba.
Pasiekus tam tikrą dilataciją, kuri beveik visiškai neelastinga, įtempis vėl pradeda didėti, medžiaga kietėja. Šioje apkrovos srityje dėl (neelastingos) šoninės kontrakcijos pastebimai sumažėja strypo skerspjūvis, o tolesnė įtempių ir deformacijų diagramos eiga pirmiausia priklauso nuo to, ar skaičiuojant įtempį σ tempiamoji jėga P, veikianti strypą, dalijama iš pradinio skerspjūvio F0 ar iš momentinio skerspjūvio F. Techniniams tikslams įdomus yra įtempis P|F0 . Šis įtempis pasiekia maksimumą, vadinamą medžiagos stipriu, ir kai šis maksimumas viršijamas, strypas vienoje vietoje smarkiai susiaurėja ir lūžta. „Tikrasis įtempis“ P|F didėja iki suirimo.
Pav. 8.
Kitų metalų elgsena daugeliu atžvilgių skiriasi nuo čia aprašytos. Takumas dažnai nėra ryškus, o sukietėjimas prasideda iš karto po tamprumo ribos viršijimo. Trapių medžiagų (akmens, stiklo, betono) netamprios deformacijos apskritai yra mažos ir jau esant nedidelei deformacijai įvyksta lūžis. Bendra deformacija, kurią medžiaga patiria iki lūžio, yra medžiagos tamprumo (priešingai: trapumo) matas, ir plienui ji tiksliai nurodoma techninėse sąlygose. Tačiau kadangi tiesiai prieš lūžį tolesnė deformacija susitelkia į aplinkines susiaurinto skerspjūvio vietas, gaunama skirtinga lūžio deformacijos reikšmė, priklausomai nuo to, ar matavimo ilgiui imama didesnė ar mažesnė strypo dalis, todėl siekiant gauti vienareikšmius ir tarpusavyje palyginamus rezultatus iš anksto turi būti priimta tam tikra konvencija. Lūžio deformacija paprastai matuojama taip, kad ant apvalaus, d skersmens strypo prieš bandymą pažymimas matavimo ilgis Ι = 10 d ir iš jo pailgėjimo ΔΙ apskaičiuojama lūžio deformacija εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Jei reikia bandyti kitokio skerspjūvio strypus, matavimo ilgis nustatomas pagal apvalaus cilindrinio strypo, turinčio tą patį skerspjūvio plotą, skersmenį.
Ilgalaikė apkrova
Tempiamojo bandymo eigai beveik nesvarbu, ar apkrova iki lūžio didėja per 10 m minučių, ar per kelias valandas. Tačiau, jei apkrova veikia metus ar dešimtmečius, tam tikromis sąlygomis pastebima, kad net ir žemiau takumo ribos deformacija esant pastoviam įtempiui laikui bėgant pamažu didėja. Tuo tarpu elastingoji dalis, t. y. ta dalis, kuri visiškai išnyksta galutinai nuėmus apkrovą, pastebimai nesikeičia. Šis neelastinės deformacijos padidėjimas, vykstantis ilgą laiką, vadinamas šliaužimu. Metalams, išskyrus šviną, šliaužimas svarbus tik esant aukštai temperatūrai, tačiau statybos inžinieriui jis turi reikšmę betonui, kuris veikiamas gniuždymo šiek tiek atleidžia, todėl įtempis didėja gniuždomoje armatūroje, jei tokia yra.
Kintamoji apkrova
Kad medžiagos mechanines charakteristikas, gautas atliekant tempimo bandymą, būtų galima taikyti kaip konstrukcijų leidžiamosios apkrovos matą, sąlyga yra ta, kad medžiaga kiekvieno pakartotinio apkrovimo metu atlaikytų įtempį, kurį kartą atlaikė nepažeista. Ši sąlyga neįvykdoma, jei medžiaga dažnai patiria apkrovos ir nuėmimo kartojimą, kaip, pvz., yra sijų, apkraunamų nevisiškai subalansuotų mašinų inercinėmis jėgomis, atveju. Pakankamai dažnai kartojant apkrovą, konstrukcinė dalis gali lūžti ir esant įtempiui, kuris yra gerokai mažesnis už medžiagos stiprį, nustatytą įprastu statiniu bandymu. Tokio tipo lūžio reiškinys vadinamas lūžiu dėl nuovargio. Apkrovos ciklų n, kuriuos medžiaga gali atlaikyti, skaičius priklauso nuo įtempio σ dydžio, todėl jis tuo didesnis, kuo mažesnis įtempis. Tipinis šios priklausomybės pavyzdys parodytas pav. 9, iš kur matyti, kad medžiagos stipriui egzistuoja apatinė riba, kurią ji atlaiko net esant savavališkai dideliam apkrovos ciklų skaičiui ir kuri vadinama dinamine medžiagos stiprybe. Tokio tipo diagramos (pav. 9) vadinamos Wӧhlerio kreivėmis.
Pav. 9.
Konstrukcijų sauga
Konstrukcijoms svarbios dvi ribinės apkrovos: apkrova, kuriai veikiant atsiranda pirmieji negrįžtamieji pažeidimai (takumo riba), ir apkrova, kuriai veikiant konstrukcijos laikomoji galia išsenka, todėl ji lūžta (lūžio riba). Kadangi iki takumo ribos bent apytikriai galioja medžiagų atsparumo prielaidos (maži poslinkiai, Hooke’o dėsnis), patikimumą pagal negrįžtamas deformacijas galima patikimai įvertinti visais tais atvejais, kai pavyksta įveikti matematinius sunkumus. Jei įtempis proporcingas apkrovai, takumo įtempių ir didžiausio konstrukcijoje atsirandančio įtempio santykis yra lygus santykiui tarp apkrovos, kuriai esant atsiranda takumas, ir tikrosios apkrovos, ir reiškia saugos koeficientą takumo atžvilgiu. Tačiau daugeliu atvejų šio paprasto ryšio nėra: lenkimas, kai neįtraukiamas tempimas, spaudimas tarp išgaubtų paviršių, sistemos, kurių struktūra kintama, ir, kas ypač nepalanku, lenkimas su ašine jėga. Visais šiais atvejais santykinai nedidelis apkrovos padidėjimas gali sukelti didelį įtempių padidėjimą, ir tuomet nepakanka įprasto saugos koeficiento taikyti įtempiams, jį reikia taikyti apkrovai.
Pasirodymai, kurie vyksta po takumo ribos viršijimo iki lūžio, daugeliu atvejų gali būti stebimi jau tik kokybiniu požiūriu. Jei medžiaga yra tampri, dalys, kuriose takumo riba pasiekiama pirmiausia ir kurios toliau deformuojasi esant pastoviai arba tik nežymiai didėjančiai įtampai, menkai prisideda prie tolimesnės apkrovos perėmimo, todėl likusios, silpniau įtemptos konstrukcijos dalys, jei tai leidžia jos sandara, labiau dalyvauja nešime. Šiame siekyje suvienodinti įtempimų viršūnes slypi tam tikra saugumo atsarga, kurią skaičiavimais galima panaudoti, jei atskirų dalių nuolatinė deformacija, atsiradusi esant tik vienai didelei apkrovai, nėra žalinga (ribinės apkrovos metodas).
Jei medžiaga trapi, pirmasis nuolatinis pažeidimas pasireiškia įtrūkimais, dėl kurių pažeistoje vietoje įtempiai dar labiau susikoncentruoja, ir tai iš karto sukelia lūžį. Nuovargio sukeltas lūžis net ir plastiškose medžiagose turi trapaus lūžio požymių.
Ryšiai tarp įtempių skirtingose skerspjūvio plokštumose
Transformacijos lygtys
Devyni komponentiniai įtempiai pav. 1 yra susieti trimis pusiausvyros sąlygomis. Likusios šešios reikšmės σx, σy, σz τxy, τyz, τzx gali, nepriklausomai viena nuo kitos, įgyti bet kokias reikšmes, kaip matyti iš elastingumo teorijos diferencialinių lygčių išvedimo. Tačiau kai šios reikšmės yra duotos, įtempių būsena tam tikrame kietojo kūno taške yra visiškai apibrėžta, t. y. kai žinomi įtempiai trijose tarpusavyje statmenose plokštumose, galima vienareikšmiškai nustatyti ir įtempį kokioje nors ketvirtoje plokštumoje, einančioje per duotą tašką ir kurios normalė turi bet kokią kryptį.
Pav. 10 parodytas tetraedras OABC, kurio trys sienos lygiagrečios koordinačių sistemos x, y, z plokštumoms, o ketvirtoji sudaro bet kokios orientacijos paviršiaus elementą ABC = dF. Norint pažymėti jo kryptį ir įtempių, perduodamų per jį, kryptį, įvedama kita koordinačių sistema, kurios ξ ašis statmena dF.
Pav. 10
Sąlyga jėgų, veikiančių šį tetraedrą ξ ašies kryptimi, pusiausvyrai duoda
Jei atsižvelgiama į tai, kad
gaunama
ir panašiai iš pusiausvyros sąlygų η ašies kryptimi:
Tai yra lygtys, skirtos įtempiams apskaičiuoti, transformuojant koordinates. Ypač svarbu nagrinėti tik tokius paviršiaus elementus dF, kurių ξ-ašis sutampa su z ašimi. Šio atvejo schemas galime gauti supaprastinę ankstesnes schemas arba tiesiogiai perskaityti iš pav. 11:
Paveikslas 11
Normalinis įtempis įgauna ekstremalias reikšmes kryptims α = α0 , kurioms dσξ/dα = 0. Diferencijuojant iš lygties (16) gaunama
todėl, kai ši išraiška sulyginama su nuliu
Įtempis τξη taip pat bus bendrasis kirpimo įtempis šiose plokštumose, jei τyz = τzx = 0. Tada lygtimi (17) nustatomos dvi tarpusavyje statmenos kryptys, kurioms: 1. bendrasis kirpimo įtempis yra lygus nuliui ir 2. normalinis įtempis turi ekstremalias reikšmes (maksimumą ir minimumą). Šios kryptys vadinamos pagrindinių įtempių kryptimis, o atitinkami įtempiai – pagrindiniais įtempiais. Jie žymimi σ1 ir σ2 ir gali būti apskaičiuojami tiesiogiai pagal formulę
Moro apskritimas
Lygtys (16) gali būti grafiškai pavaizduotos akivaizdžiu būdu. Šiam tikslui jas reikia pertvarkyti į formą:
Šios lygtis koordinačių sistemoje σ, τ vaizduoja apskritimo lygties parametrinę formą, nubraižyto pav. 12, kurio centro koordinatės σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 ir kurio spindulys
Šis apskritimas vadinamas Moro apskritimu. Jei per tašką x nubrėžiama tiesė, lygiagreti pjūviui x =const., per kurį perduodami įtempiai σx, τxy, ji kirs apskritimą taške p, kuris vadinamas Moro apskritimo poliumi. Kiekviena tiesė pξ, nubrėžta per šį polių, kerta apskritimą taške ξ, kuris nustato įtempius σξ, τξη, perduodamus per pjūvį, lygiagretų pξ.
Kalbant apie šlyties įtempių ženklą braižant Moro apskritimą, reikia atsižvelgti į tai, kad jie žymimi į viršų, jei jų kryptis yra tokia, kaip parodyta pav. 12c. Taigi iš dviejų konjuguotų įtempių τxy, τyx vienas visada yra teigiamas, o kitas neigiamas.
Ribinėms normalinių įtempių reikšmėms σ1, σ2 atitinka taškai 1 ir 2 apskritime, o tiesės _p_1 ir _p_2 duoda pagrindinių įtempių kryptis.
Įtempių, esančių x-y plokštumoje, vaizdavimas naudojant Mahr’o apskritimą nėra susijęs su jokiomis prielaidomis apie įtempius σz, τxz, τyz, statmenus šiai plokštumai.
Paveikslas 12
Tai galioja ir pačiai bendriausiai trimatėje įtempių būsenoje, jei lyginamos tik tos skerspjūvio plokštumos, kurios visos eina per tą pačią tiesę, čia pasirinktą z ir ξ ašimi. Kadangi pagal bendrąsias transformacijos lygtis (15) normalinis įtempis σ negali tapti begalinis nė vienoje skerspjūvio plokštumoje, jis turi turėti vienai plokštumai baigtinį maksimumą σ1, o kitai minimumą σ3, iš kurių abu, savaime suprantama, gali būti ir neigiami. Jei per vektorius σ1 ir σ3 nubrėžiama plokštuma ir nubraižomas Mohro apskritimas (pav. 13)
Paveikslas 13
kai įtempiai guli šioje plokštumoje (t. y. visi kryptys, statmenos šiai plokštumai), tada σ1 ir σ3 yra didžiausi ir mažiausi galimi normalieji įtempiai ir todėl turi būti tarpusavyje statmeni. Jei kryptys 1 ir 3 papildomos kryptimi 2, taip kad šios trys kryptys sudarytų stačiakampę koordinačių sistemą, ir jei nubrėžiami Mohr’o apskritimai plokštumoms 1 ~2 ir 2 ~ 3, tada σ2 vienam iš šių apskritimų yra didžiausias, o kitam mažiausias normalusis įtempis, todėl pjūviuose, statmenuose kryptims 1, 2 ir 3, šlyties įtempis yra lygus nuliui. Trys tarpusavyje statmeni normalieji įtempiai σ1, σ2 ir σ3, kurių nepapildo šlyties įtempiai, vadinami pagrindiniais įtempiais.
Takumo riba ir irimo riba esant erdvinei įtempių būklei
Įtempių būsena vadinama vienmatė, dvimatė arba trimatė, kitaip: linijinė, plokščia arba erdvinė, priklausomai nuo to, ar vienas, du ar visi trys pagrindiniai įtempiai skiriasi nuo nulio. Dažniausiai naudojamose konstrukcinėse dalyse, t. y. tempiamame, gniuždomame ir lenkiamame strype, įtempių būsena bent jau labiausiai apkrautose vietose yra vienmatė, taip pat ir tempiamųjų, gniuždomųjų arba lenkiamųjų bandymų metu, kurie tiriant medžiagas beveik išimtinai taikomi leistiniesiems įtempiams nustatyti. Priešingai, plokštėse, apkrautose savo plokštumoje arba statmenai jai, taip pat kevaluose, įtempių būsena yra dvimatė, o tam tikrais atvejais pasireiškia ir trimatės įtempių būsenos, todėl reikia, remiantis takumo ir lūžio riba, nustatyta esant vienmačiai įtempių būsenai, daryti išvadas apie medžiagos elgseną erdvinės įtempių būsenos atveju.