חומרים: חוזק חומרים ותורת האלסטיות

יסודות

תפקידה של עמידות החומרים הוא לקבוע אילו כוחות חיצוניים יכול גוף מוצק לעמוד בהם (למשל, מבנה, חלק מבני או קרקע). כדי להשיב על שאלה זו יוצאים משני קריטריונים: מצד אחד המאמצים אינם רשאים לחרוג מגבולות מסוימים התלויים בסוג החומר, ומצד שני שיווי המשקל בין הכוחות החיצוניים והפנימיים חייב להיות יציב. בהתאם לכך, כל בעיות עמידות החומרים ניתנות לחלוקה ל“בעיות מאמצים” ול“בעיות יציבות.”

במוטות ובקורות ובנשאים המורכבים מהם (סבכות, מסגרות) קביעת המאמצים נעשית בשני שלבים, כך שקודם על סמך הכוחות החיצוניים הנתונים מחושב שקול הכוחות הפנימיים המועברים דרך החתך הרוחבי, ולאחר מכן מן “כוחות חתך” אלה נקבעים המאמצים. החלק הראשון של ההליך הוא תחום נפרד ונרחב, סטטיקה של מבנים הנדסיים, שיש לה שיטות משלה המפותחות היטב ושבדרך כלל מופרדת מחוזק החומרים, שתפקידה מצטמצם לקביעת המאמצים מכוחות החתך הנתונים.

מושגי יסוד של חוזק החומרים

להגדרת המאמץ מגיעים באמצעות ההיבטים הבסיסיים הבאים. נניח שפועל על הגוף מערכת מאוזנת של כוחות חיצוניים. נניח שחילקנו את הגוף באמצעות חתך שרירותי לשני חלקים, והסרנו אחד מהם יחד עם הכוחות הפועלים עליו; אזי את פעולתו על החלק השני, כדי ששיווי המשקל של הכוחות והסידור של העיוותים יישארו ללא שינוי, יש להחליף בכוחות משלימים המועברים דרך משטח החתך. הכוחות ה“פנימיים” הללו מפוזרים ברציפות על פני משטח החתך, כך שלכל אלמנט שטח dF מתאים כוח dβ. אם יוצרים את המנה dβ dF ועושים מעבר גבולי dF -> 0, אזי מנה זו שואפת לערך הגבולי הנקרא מאמץ. המאמץ באלמנט מסוים של המשטח הוא, כמו dβ, וניתן לפרקו לרכיבים נורמליים ומשיקים ל־dF, מאמץ נורמלי σ ומאמץ גזירה τ.

אם מעבירים חתכים דרך אותה נקודה בכיוונים שונים, יתאימו להם גם מאמצים שונים. בפרט, אם מוציאים מן הגוף קובייה אלמנטרית, המוצגת באיור 1, בכל אחד מששת שטחיה יפעל וקטור מאמץ שניתן לפרקו לשלושה רכיבים בכיוון הצירים הקואורדינטיים x, y z. המאמצים הפועלים על צדי שטח מנוגדים שונים זה מזה, כמובן, רק באלמנט דיפרנציאלי, ולכן יש להבחין בין 3 * 3 = 9 רכיבי המאמצים, המסומנים כדלקמן:

למאמצים נורמליים σ ניתן אינדקס של הציר שלאורכו הם פועלים, והם נחשבים חיוביים אם הם גורמים למתיחה, ושליליים אם הם גורמים ללחיצה. מאמצי הגזירה τ מקבלים שני אינדקסים; הראשון שבהם זהה לאינדקס של המאמץ הנורמלי המתאים, והשני מתייחס לציר שבכיוונו פועל מאמץ הגזירה. אם הכיוון החיובי של המאמץ הנורמלי המתאים הוא בכיוון הציר הקואורדינטי החיובי (השלילי), גם מאמץ הגזירה נחשב חיובי אם הוא פועל בכיוון הציר הקואורדינטי החיובי (השלילי).

תמונה 1.

 קונג’וגטיביות של מאמצי גזירה

אם עבור הקובייה האלמנטרית, איור 1, מציבים תנאי שמומנט כל הכוחות ביחס לציר x שווה לאפס, מתקבל τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz מכאן, ומשתי המשוואות המתאימות לצירים y ו־z, מתקבל כי מאמצי הגזירה בעלי אותם אינדקסים שווים זה לזה τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

דפורמציות רכיביות

מכך שהמאמצים שהוגדרו לעיל הם בעלי משמעות פיזיקלית, עולה הקשר שלהם להגדרה שכל גוף נתון לה בהשפעת כוחות חיצוניים. איור 2 מציג קובייה יסודית אחת, שלפני העיוות הייתה מלבנית והיו לה אורכי צלעות dx, dy, dz. את אורכי הצלעות לאחר העיוות ניתן לסמן כ־dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; היחסים εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz נקראים התארכויות. אלה גדלים חסרי ממד, ובכל החומרים הרלוונטיים לבנייה הם קטנים לעומת 1. מלבד התארכות הצלעות, הקובייה היסודית dx * dy * dz יכולה לעבור גם שינוי של הזוויות הישרות המקוריות בין פאותיה.

איור 2. עיוות רכיבי

נניח שלאחר העיוות הזווית בין המישורים הנפגשים לאורך השפה OC תהיה שווה ל-, ובדומה לכך שהקטנת הזווית הישרה לאורך השפה AO תהיה שווה ל-γyz, והקטנתה לאורך השפה OB תהיה שווה ל-γzx. שלושת שינויי הזווית הללו γxy, γyz, γzx נקראים הסטות, וגם הם תמיד קטנים ביחס ל-1. באמצעות שש הרכיבים ε ו-γ מתוארת במלואה העיוות של הקובייה היסודית “עיוות קטן”. השינוי של יסוד הנפח d_V = dx * dy * dz_ הוא ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, ומכאן, כאשר מזניחים את מכפלי ההתארכות כגדלים קטנים מסדר גבוה יותר, מתקבלת ההתארכות הנפחית הקובייתית ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

תזוזות

את עיוותו של גוף מוצק ניתן לתאר במלואו גם כך, שלכל אחת מנקודותיו נותנים את ההעתקה שעברה אותה נקודה. אם מוציאים מן ההתבוננות את ההעתקות בגודל סופי המתאימות להעתקת גוף קשיח, באופן כזה שאם יש צורך בכך מאמצים בחישוב מערכת צירים ניידת, אזי גם ההעתקות הרכיביות μ, ν, ω הן תמיד קטנות, ונגזרותיהן לפי הקואורדינטות קטנות ביחס ל־1. תחת הנחה זו, לפי איור 3 אורכו של האלמנט הקווי OA = dx לאחר העיוות

אם כן  (3)

באופן דומה ניתן לראות מן האיור 3 שההחלקה γxy = γ1 + γ2: וכן גם

 (4)

תמונה 3 החלקה

(5)  (6)

קשרים אלה נקראים תנאי התאמה, והם מראים כי ניתן להתאים את האיברים המעוותים כמעין פסיפס כך שהמרחב יתמלא באופן רציף, דבר שלא ניתן להשיג אם העיוותים של האיברים שרירותיים. תנאי ההתאמה הם משוואות דיפרנציאליות, ולכן, מובן מאליו, כל ששת רכיבי העיוות לכל קובייה בנפרד הם בלתי תלויים זה בזה, אך סידורם בכל תחום פרוש סופי כפוף לתנאים (5) ו-(6).

מאחר שהתנאים הללו מתקבלים על ידי גזירה מן המשוואות (3) ו־(4), במהלך הוצאתם אובד חלק מן הקשרים הכלולים במשוואות המקוריות. לכן אין די בכך שרק אחת משתי מערכות המשוואות הללו תתקיים, אלא יש לקיים את שתי מערכות המשוואות, אם רוצים להבטיח תאימות של העיוות.

משוואות דיפרנציאליות של מערכת האלסטיות

לחישוב המאמצים והעיוותים בגופים אלסטיים משמשות המשוואות הבאות:

תנאי שיווי המשקל של אלמנט נפחי. התנאים לכך שמומנטים סביב שלושת הצירים יהיו שווים לאפס כבר שימשו בעת גזירת המשוואה (1). תנאי שיווי המשקל של הכוחות נותנים לפי איור 4

איור 4

(7a-c)

אם ב-X, Y, Z מסמנים את רכיבי הכוחות הנפחיים (למשל משקל, כוח צנטריפוגלי) ליחידת נפח. קשרים בין מאמצים לעיוותים. בכך הכוונה לקשר בין המאמצים הרכיביים לבין העיוותים הרכיביים. בתורת האלסטיות בדרך כלל נלקח בחשבון רק קשר ליניארי, המתבטא בחוק הוק:

(8a-c)

(8d-f)

אם פותרים את המשוואות (8a-c) לפי המאמצים, מתקבל

(8 a)

כמו כן שתי משוואות מתאימות. חוק הוק, כפי שהוא מבוטא במשוואה (8), אינו חוק טבע שמתקיים באופן מוחלט, אלא אידיאליזציה של ההתנהגות האמיתית, החורגת ממנו פחות או יותר, בהתאם לחומר ולגודל המאמצים. מאחר שהטיפול המתמטי בבעיות עמידות חומרים עם קשרים מורכבים ולא־ליניאריים בין מאמצים לעיוותים כרוך בקשיים גדולים בהרבה, וניתן לבצעו למעשה רק במקרים הפשוטים ביותר, יש גם לגבי אותם חומרים (בטון!) שהתנהגותם חורגת במידה ניכרת מחוק הוק להשתמש בחישובים המבוססים עליו כפתרון ראשון, וברוב המקרים גם יחיד בקירוב, אשר בכל מקרה שימושי למדי ומעניק תובנה שהיא יותר מאשר איכותית בלבד. G = E|2 (1+μ).

היא נובעת בהכרח מן הקשר בין המאמצים והמעוות (8), מן משוואות ההמרה (16) עבור המאמצים, וממערכת המשוואות המתאימה עבור מעוותי הרכיבים. ל־E ול־G ממד של מאמץ, ובכל חומרי הבנייה ערכיהם גדולים ביחס למאמצים σ ו־ τ העלולים להופיע. על עובדה זו נשענת ההנחה המקובלת בכל תורת האלסטיות, שהמעוותים קטנים. מקדם ההתפשטות הרוחבית (מספר פואסון) μ הוא חסר ממד ונמצא תמיד בין 0 ו־1/2 .

הקשרים בין העיוותים המרכיביים לבין ההעתקים. קשרים אלה נתונים במשוואות (3), (4). הם בעלי אופי גאומטרי טהור. שלוש מערכות אלה נותנות 3+6+6=15 משוואות עבור 15 נעלמים, כלומר עבור 6 מאמצים מרכיביים, 6 עיוותים מרכיביים ו-3 העתקים מרכיביים. לפיכך הן מספיקות לקביעת נעלמים אלה. פתרון מתמטי של מערכת כה נרחבת של משוואות דיפרנציאליות אפשרי, כמובן, רק במקרים מיוחדים. אם במשוואה (8) מחליפים את העיוותים המרכיביים בהעתקים מרכיביים לפי המשוואות (3) ו-(4) ולאחר מכן מכניסים את המאמצים הנורמליים σ והמאמצים הגזירה τ, לפי המשוואות (8 d - f), לתנאי שיווי המשקל, משוואה (7), מתקבלות משוואות דיפרנציאליות הנקראות המשוואות הבסיסיות של תורת האלסטיות.

(9)

כאשר  מסומן אופרטור לפלס. בהתחשב ב־(2) אלו שלוש משוואות דיפרנציאליות עם שלושה הסטות רכיביות μ, ν, ω; מהן ניתן, על ידי גזירה על בסיס (3), (4) ו־(8), לקבל את כל המאמצים והעיוותים הרכיביים. משוואות (9) מהוות לעיתים נקודת מוצא נוחה לחקר מקרים מיוחדים.

עבודת דפורמציה

הגדרה

כאשר הקורה מוטענת, נקודות פעולת הכוחות החיצוניים עוברות היסטים אלסטיים והכוחות מבצעים בכך עבודה מסוימת. באופן זה האנרגיה המובאת יכולה לעבור לצורות שונות. אם העומס מופעל בפתאומיות, כך שתהליך העיוות מתרחש במהירות ניכרת, חלק מן האנרגיה הזאת הופך לאנרגיה קינטית, המתפזרת עם הזמן, בין אם בכך שהיא מועברת לקרקע כגל אלסטי הנעלם באינסוף, ובין אם בכך שהיא הופכת לחום באמצעות חיכוך פנימי. אם העומסים מופעלים בעדינות רבה כל כך שלא נוצר גידול מורגש באנרגיה הקינטית, כלומר העומסים הגדלים בהדרגה, החל מאפס, נמצאים בשיווי משקל מתמיד עם הכוחות הפנימיים, האנרגיה מושקעת, כמובן, אך ורק בעיוות הגוף, ואז היא נקראת עבודה דפורמטיבית.

נציג תחילה את חישוב עבודת העיוות על חלק זעיר הנתון למתיחה בכיוון אחד (איור 5).

נניח שהמאמץ הקיים σ וההתארכות המתאימה ε עוברים תוספות dσ ו-dε. אז הכוח σdF במהלך dε * dl יבצע עבודה  σdF * dεdl = σdεdV, אם ב-dV מסומן נפח היסוד. אם המאמץ גדל מאפס עד ערכו הסופי וההתארכות בהתאם לכך מ-0 עד ε, העבודה הכוללת ליחידת נפח תהיה:

באופן דומה, גם עבור יסוד הנתון למאמץ גזירה τ (איור 6) עבודת העיוות ליחידת נפח (עבודת עיוות סגולית, פוטנציאל אלסטי):

כאשר רק אחד מארבעת הכוחות τ * dF מבצע עבודה.

במקרה הכללי, כאשר על רכיב יסודי פועלים כל ששת מרכיבי המאמצים, מתקבל העבודה הספציפית של העיוות על ידי חיבור עבודותיהם של מרכיבי המאמץ השונים:

(10)

על ידי גזירה לפי הגבול העליון של כל אחד מן האינטגרלים הללו מתקבלים היחסים התקפים במקרה הכללי ביותר:

(11)

וכדומה לגבי שאר העיוותים הרכיביים. אם הגוף אלסטי, לכל מצב מאמצים מסוים מתאים תמיד אותו מצב עיוות, בלי קשר אם המצב הושג בזמן העמסה או בזמן פריקה. אז תחת האינטגרלים מופיעים פונקציות חד־ערכיות, והאנרגיה הכוללת שהושקעה בעת ההעמסה ולאחר מכן בפריקה מלאה היא a = 0, מכיוון שבמקרה זה הגבולות העליונים של האינטגרלים נעשים אפס. לפיכך האנרגיה הכוללת שהועברה לגוף בעת ההעמסה מוחזרת בעת הפריקה.

איור 6

איור 7

עבור גוף אלסטי בלתי מושלם הקשר בין המאמצים והעיוותים עבור כל מחזור ההעמסה וההפריקה מתואר בקירוב כפי שמוצג באיור 7 בקווים O A B. האנרגיה שהובאה בעת ההעמסה שווה לשטח OAA, ואילו האנרגיה שהוחזרה בעת ההפריקה שווה לשטח ABA, כך שהעבודה המתאימה לשטח המוצלל אובדת (מומרת לחום). אם בתהליך תנודתי המאמצים משתנים מחזורית בין הערך המגביל החיובי לבין הערך המגביל השלילי, העיוות הלא־אלסטי מתפתח בדומה לכך כפי שמוצג בקווים המקווקווים באיור 7 ובכל מחזור תנודה מומרת, ליחידת נפח, אנרגיית DABCD לחום. התנהגות כזו בעת עיוות, שבה העיוות מפגר אחרי המאמץ, נקראת היסטרזיס אלסטי, והעקומה DABCD לולאת היסטרזיס.

עבודה עיוותית וחוק הוק

אם נכניס לאינטגרלים במשוואה (10) את חוק הוק, ניתן לבצע אינטגרציה, ואז עבור העבודה המעוותת הספציפית מתקבלים הביטויים:

(12a)

(12b)

(12c)

אם את הצורה השנייה מבין אלה מציבים במשוואה (11), מתקבל שוב חוק הוק, המשוואות (8), בצורה פתורה לפי המאמצים. הקביעה שעבודת העיוות תלויה במרכיבי העיוות, כפי שמוצג במשוואה (12b), שקולה אפוא לחוק הוק. כאשר משוואה (12c) נבדלת לפי המאמצים, מתקבל

(13)

צורות אלה, בניגוד לצורות (11), תקפות רק לגופים המתנהגים לפי חוק הוק, ואינן ניתנות ליישום כאשר הקשרים בין מאמצים לעיוותים שונים. מובן שבצד ימין של המשוואות (13) נמצאים רק עיוותי רכיב שנגרמו על ידי מאמצים, וכל היתר שאולי נוצרו עקב שינוי טמפרטורה, זחילה, התנפחות, התגבשות מחדש וכו’ — אינם נכללים.

עקרונות אינטגרליים בתורת האלסטיות

העתקות וירטואליות. עקרון המינימום של האנרגיה הפוטנציאלית

כשם שאפשר להחליף את חוק הוק, המשוואות (8) במשוואה אחת (12b), כך אפשר גם במקום תנאי שיווי המשקל להציג את עקרון ההעתקות הווירטואליות, כחוק יסוד כללי ומחייב של המכניקה. חוק זה קובע שמצבי שיווי משקל מתאפיינים בכך שהעבודה הכוללת שבוצעה על ידי כל הכוחות בשינוי קטן של מצב העיוות שווה לאפס. אם נסמן שינויים קטנים של ההעתקות האלסטיות δμ δν, δω, אזי הכוחות הנפחיים המוגדרים על ידי המשוואה (7) מבצעים עבודה וירטואלית

וכן הכוחות המשטחיים px, py, pz הפועלים על אלמנט dF של המשטח החיצוני של הגוף עבודה 

כאשר האינטגרל המשולש מתייחס לכל הנפח, והאינטגרל הכפול לכל המעטפת החיצונית של הגוף. לחישוב העבודה שמבצעים הכוחות הפנימיים משתמשים במשוואה (12b), ולכן עבור עבודה ליחידת נפח מתקבל

עקרון ההעתקות הווירטואליות נותן על סמך זאת

(14)

אם העומסים X, Y, Z px, py., pz נתפסים כמרכיבי כוח הכובד (משקל עצמי ועומס חיצוני), האינטגרלים בצד הימני מייצגים את האנרגיה הפוטנציאלית שאיבדו עומסים אלה, בעוד שהצד השמאלי מייצג את הגידול באנרגיה הפוטנציאלית (האלסטית) של הגוף, כך שעיקרון זה מציין שהאנרגיה הפוטנציאלית הכוללת של הקורה ושל העומסים שעליה, במקרה של שיווי־משקל, מקבלת ערך קיצוני. אם ערך קיצוני זה הוא מינימום, שיווי־המשקל יציב.

עקרון המינימום של האנרגיה הפוטנציאלית, המובא באמצעות המשוואה (14), הביטוי (12b) עבור עבודת העיוות ותנאי התאימות של העיוותים (5), (6) מהווים מערכת משוואות המספיקה לבניית תורת האלסטיות, והיא שקולה בעיקרה למערכת המשוואות. מערכת זו יכולה להיות שימושית במיוחד במקרים שבהם קיום משוואות דיפרנציאליות (9) גורם לקשיים חישוביים, ולכן יש לחפש פתרון מקורב, למשל להניח מראש עבור ההסטות צורה מתאימה המכילה כמה קבועים חופשיים, ואז לקבוע אותם מן הדרישה שמשוואה (14) תקוים. כך אמנם לא מתקבל פתרון מדויק של הבעיה, אלא רק הקירוב הטוב ביותר שניתן להשיג באמצעות צורת הפתרון שנבחרה. האם הקירוב מספיק, תלוי בראש ובראשונה בצורה המאומצת של הפתרון, ולכן יישום מוצלח של שיטה זו דורש מיומנות וניסיון.

עקרון קסטיליאנו

בעוד שבקריטריון של המינימום של האנרגיה הפוטנציאלית משווים את כל מצבי העיוות המקיימים את תנאי התאימות של העיוותים ומבחינים ביניהם את אלה שעבורם המאמצים המתאימים מקיימים את תנאי שיווי המשקל, בקריטריון של קסטיליאנו משווים את כל מצבי המאמצים המקיימים את תנאי שיווי המשקל ומבחינים ביניהם את אלה שעבורם העיוותים המתאימים מקיימים את תנאי התאימות של העיוותים. עיקרון זה קובע: מכל מצבי שיווי המשקל האפשריים מתרחש בפועל זה שלו מתאים העבודה הדפורמטיבית הקטנה ביותר. עקרון קסטיליאנו יחד עם המשוואה (12c) לעבודה דפורמטיבית ותנאי שיווי המשקל יוצר מערכת משוואות המספיקה לקביעת התנגדות החומר. מאחר שעיקרון זה כולל את חוק הוק, אפשרות יישומו קשורה להנחה שניתן לתאר את העיוותים במלואם באמצעות חוק זה. הדבר מחייב לא רק התנהגות אלסטית ליניארית של החומר, אלא גם שולל שינויים בטמפרטורה.

התנהגות החומר מעל גבולות האלסטיות

תופעות תחת עומס סטטי

עיוות החומר בהשפעת מאמצים הוא תופעה מורכבת מאוד, ולכן יש לפשט אותה בכיוונים שונים כדי שניתן יהיה להבין אותה. אחד מפישוטים אלה הוא ההנחה שהעומסים מופעלים בהדרגה, כפי שנעשה, למשל, עם דגימות בעת ניסוי מתיחה ולחיצה.

אם מוט פלדה הנתון למתיחה נחשף לעומס ההולך וגדל בהדרגה ונמדד ההארכה שלו ε, מתקבלת הדיאגרמה המוצגת באיור 8. בתחילה ההארכה קטנה מאוד ופרופורציונלית למאמץ, כפי שדורש חוק הוק. החל ממאמץ מסוים חדלה הפרופורציונליות וההארכה גדלה מהר יותר. קשה לקבוע במדויק את מיקול הגבול של פרופורציונליות זו. ככל שהמדידה מדויקת יותר, כך הגבול מתקבל נמוך יותר. עבור רוב החומרים הוא נמצא ב- σ = 0, ואז חוק הוק מייצג רק קירוב ראשון להתנהגות האלסטית, האיבר הראשון בפיתוח בטור טיילור של הפונקציה ε = ε (σ) בסביבת ראשית הצירים.

כאשר משחררים את המוט מן העומס, רואים שאם המאמץ לא היה גדול מדי, גם העיוות נעלם, בהתאם לחוק הוק. אך גם זה משתנה אם חורגים ממאמץ מסוים הנמצא סמוך לגבול הפרופורציונליות, כלומר גבול האלסטיות; אז העיוות הכולל מורכב מחלק אלסטי (הפיך) ומחלק לא-אלסטי (קבוע). גם את גבול האלסטיות אי אפשר לקבוע במדויק; הוא נמצא נמוך יותר ככל שדיוק המדידה גבוה יותר. אולם מאחר שיש לו חשיבות טכנית גדולה, שכן הוא מהווה גבול משמעותי כמעט בכל החישובים בעמידות חומרים, ובו בזמן גם הגבול שבו מופיעים הנזקים הקבועים הראשונים, מגדירים אותו לצורך בדיקת דגימות באופן חד באמצעות מוסכמה מקובלת כלשהי, ולכן, למשל, כגבול 0.2% מסמנים את המאמץ שבו ההתארכות הקבועה מגיעה ל-0.2%.

מיד לאחר מעבר גבול האלסטיות העיוות גדל בחדות וניתן להבחין בו בעין בלתי מזוינת; תחת מאמץ כמעט קבוע המוט מתארך ללא הרף. מאמץ זה נקרא גבול הזרימה. במכונות הידראוליות לבדיקת חומרים ניתן בנוסף להבחין לאחר תחילת הזרימה בירידה פחות או יותר בולטת במאמץ; כפי שמצוין באיור 8 בעקומה המקווקוות; אז המקסימום נקרא גבול הזרימה העליון, ואילו מאמץ הזרימה הקבוע שבא לאחר מכן נקרא גבול הזרימה התחתון.

לאחר שמושגת התארכות מסוימת, שהיא כמעט בלתי־אלסטית לחלוטין, המאמצים מתחילים לעלות שוב, והחומר מתקשה. בתחום עומס זה חלה ירידה ניכרת בשטח החתך של המוט עקב התכווצות צדדית (בלתי־אלסטית), והמשך מהלך דיאגרמת המאמצים והעיוותים תלוי בראש ובראשונה בשאלה האם בעת חישוב המאמץ σ מחלקים את כוח המתיחה P הפועל על המוט בשטח החתך המקורי F0 או בשטח החתך המיידי F. לצרכים טכניים מעניין המאמץ P|F0. מאמץ זה עובר דרך ערך מרבי הנקרא חוזק החומר, וכאשר עוברים את המקסימום הזה, המוט מצטמצם מאוד במקום אחד ונקרע. “המאמץ האמיתי” P|F גדל עד לכשל.

איור 8.

התנהגותם של מתכות אחרות חורגת במידה רבה מן המתואר כאן. הזרימה הפלסטית אינה בולטת לעיתים קרובות, וההתקשות מתחילה מיד לאחר חציית גבול האלסטיות. בחומרים שבירים (אבן, זכוכית, בטון) העיוותים הבלתי־אלסטיים הם בדרך כלל קטנים, וכבר בעיוות קטן מתרחש שבר. הדילטציה הכוללת שהחומר עובר עד לשבר היא מדד לדוקטיליות (ההפך: שבירות) של החומר, ולגבי פלדה היא נקבעת במדויק בתנאים הטכניים. ואולם, משום שלפני השבר עצמו העיוות הנוסף מתרכז במקומות הסמוכים של החתך המצומצם, מתקבל ערך שונה של הדילטציה בשבר, בהתאם לכך אם אורך המדידה נלקח מחלק גדול או קטן יותר של המוט, ולכן כדי לקבל תוצאות חד־משמעיות וניתנות להשוואה הדדית יש לקבוע מראש מוסכמה מסוימת. בדרך כלל מודדים את הדילטציה בשבר כך שעל מוט עגול בקוטר d מסמנים לפני הניסוי אורך מדידה Ι = 10 d ומתוך התארכותו ΔΙ מחשבים את דילטציית השבר εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ אם יש צורך לבדוק מוטות בעלי חתך שונה, אורך המדידה נקבע לפי קוטרו של מוט גלילי עגול שיש לו אותה שטח חתך.

עומס ממושך

לצורך מהלך ניסוי המתיחה, כמעט לא משנה אם העומס עד לכשל גדל בתוך 10 m דקות או כמה שעות. עם זאת, אם העומס פועל במשך שנים או עשרות שנים, בתנאים מסוימים נצפה כי גם מתחת לגבול הזרימה העיוות תחת מאמץ קבוע גדל באיטיות עם הזמן. עם זאת, החלק האלסטי, כלומר החלק שנעלם בעת פריקה מלאה, אינו משתנה באופן ניכר. עלייה זו של העיוות הבלתי אלסטי המתרחשת במשך זמן ארוך נקראת זחילה. במתכות, פרט לעופרת, לזחילה יש חשיבות רק בטמפרטורות גבוהות; אולם עבור מהנדס הבניין היא ממלאת תפקיד בבטון, שנרפה מעט תחת לחץ, כך שהמאמץ גדל בזיון הדחוס, אם יש כזה.

עומס משתנה

כדי שניתן יהיה להשתמש במאפיינים המכניים של החומר, שהתקבלו בניסוי מתיחה, כמדד לעומס המותר על מבנים, נדרש שהחומר יעמוד בכל טעינה חוזרת במאמץ שהוא כבר עמד בו פעם אחת ללא נזק. תנאי זה אינו מתקיים אם החומר נתון לחזרה תכופה של העמסה ופריקה, כמו למשל במקרה של קורות הנתונות לכוחות אינרציה של מכונות שאינן מאוזנות לחלוטין. די בחזרות תכופות מספיק של העמסה כדי להביא רכיב מבני לשבר גם תחת מאמץ הנמוך בהרבה מחוזק החומר שנקבע בניסוי סטטי רגיל. תופעת שבר זו נקראת שבר עקב עייפות. מספר n מחזורי ההעמסה שהחומר יכול לשאת תלוי בגודל המאמץ σ, כך שהוא גדול יותר ככל שהמאמץ קטן יותר. דוגמה טיפוסית לתלות זו מוצגת באיור 9, ממנו ניתן לראות כי לחוזק החומר יש גבול תחתון, שהוא נושא גם במספר מחזורי העמסה גדול כרצוננו, והוא נקרא חוזק דינמי של החומר דיאגרמות מסוג זה (איור 9) נקראות עקומות ווהלר.

איור 9.

בטיחות מבנים

שני עומסי סף חשובים עבור מבנים: העומס שבו מתחילים הנזקים הקבועים הראשונים (גבול הזרימה), והעומס שבו כושר הנשיאה של המבנה מתמצה, ולכן הוא נשבר (גבול השבירה). מאחר שלפני גבול הזרימה מתקיימות לפחות בקירוב הנחות תורת ההתנגדות של חומרים (תזוזות קטנות, חוק הוק), ניתן להעריך באופן מהימן את הבטיחות מפני עיוותים קבועים בכל אותם מקרים שבהם מצליחים להתגבר על הקשיים המתמטיים. אם המאמץ פרופורציונלי לעומס, היחס בין מאמץ הזרימה לבין המאמץ המרבי המופיע במבנה שווה ליחס בין העומס שבו מתרחשת הזרימה לבין העומס בפועל, ומהווה את מקדם הבטיחות לפי זרימה. אולם, במספר מקרים יחס פשוט זה אינו מתקיים: כיפוף כאשר מתעלמים ממתיחה, לחץ בין משטחים קמורים, מערכות שמבנן משתנה, ובעיקר לא נוח, כיפוף עם כוח צירי. בכל המקרים הללו עלייה קטנה יחסית בעומס יכולה להביא לעלייה גדולה במאמץ, ואז אין די בכך שמקדם הבטיחות המקובל יחול על המאמצים, אלא יש ליישמו על העומס.

התופעות המתרחשות לאחר חריגה מגבול הזרימה ועד לכשל ניתנות ברוב המקרים למעקב רק באופן איכותי. אם החומר בעל גמישות גבוהה, החלקים שבהם הושג תחילה גבול הזרימה, ואשר ממשיכים להתעוות תחת מאמץ קבוע או מאמץ העולה במעט, משתתפים במידה מועטה בקליטת העומס הנוסף, כך שהחלקים האחרים, המאומצים פחות, משתתפים יותר בנשיאה, ככל שהדבר אפשרי בהתחשב במבנהו. בתשוקה זו להשוואת שיאי המאמצים טמונה רזרבה מסוימת של ביטחון, שניתן לנצלה חישובית אם העיוות הקבוע של חלקים מסוימים, שנוצר בעת עומס משמעותי יחיד בלבד, אינו מזיק (שיטת העומס הגביל).

אם החומר פריך, הנזק הקבוע הראשון מתבטא בסדקים, שבעקבותיהם נוצרת במקום המועמד לפגיעה ריכוז מאמצים חזק יותר, הגורם מיד לשבר. שבר עקב עייפות, גם בחומרים דוקטיליים, מאופיין בתכונות של שבירה פריכה.

 הקשרים בין המאמצים עבור מישורי חתך שונים

משוואות הטרנספורמציה

תשעת מאמצי הרכיב באיור 1 מקושרים לשלושה תנאי שיווי משקל. לשש הגדלים הנותרים σx, σy, σz τxy, τyz, τzx  יכולים, באופן בלתי תלוי זה בזה, לקבל ערכים שרירותיים, כפי שניתן לראות מהגזירה של משוואות הדיפרנציאל של תורת האלסטיות. אולם כאשר ערכים אלה נתונים, מצב המאמצים בנקודה כלשהי של גוף קשיח מוגדר במלואו, כלומר כאשר ידועים המאמצים עבור שלושה מישורים ניצבים זה לזה, ניתן לקבוע באופן חד-משמעי גם את המאמצים עבור מישור רביעי כלשהו העובר דרך הנקודה הנתונה ושנורמל שלו בעל כיוון שרירותי.

באיור 10 מוצג הטטראהדרון OABC ששלוש פאותיו מקבילות למישורי מערכת הקואורדינטות x, y, z, ואילו הרביעית מייצגת אלמנט משטח בעל כיוון שרירותי ABC = dF. כדי לציין את כיוונו ואת כיוון המאמץ המועבר דרכו, מציגים מערכת קואורדינטות שנייה, שציר ה-ξ שלה ניצב ל-dF.

איור 10

תנאי שיווי המשקל של הכוחות הפועלים על הטטרהדרון הזה בכיוון ציר ξ נותן

אם מביאים בחשבון כי

מתקבל

וכן בדומה לכך מן תנאי השיווי־משקל בכיוון ציר η:

אלה הן המשוואות המשמשות לחישוב המאמצים בעת טרנספורמציה של קואורדינטות. חשיבות מיוחדת יש לבחון רק רכיבי שטח dF כאלה שעבורם ציר ξ חופף לציר z. את הנוסחים למקרה זה אפשר לקבל על ידי פישוט הנוסחים הקודמים או לקרוא ישירות מאיור 11:

תמונה 11

המאמץ הנורמלי מקבל ערכים קיצוניים עבור הכיוונים α = α0 , שעבורם dσξ/dα = 0. בהבדלה מתקבל מן המשוואה (16)

ולכן, כאשר ביטוי זה משווים לאפס

המאמץ τξη יהיה גם המאמץ הגזירה הכולל במישורים אלה, אם τyz = τzx = 0. אזי המשוואה (17) קובעת שני כיוונים ניצבים זה לזה שעבורם: 1. המאמץ הגזירה הכולל הוא אפס ו, 2. המאמץ הנורמלי מקבל ערכים קיצוניים (מקסימום ומינימום). כיוונים אלה נקראים כיווני המאמצים הראשיים, והמאמצים המתאימים הם מאמצים ראשיים. הם מסומנים ב־ σ1 ו־ σ2 וניתן לחשבם ישירות לפי הנוסחה

 מעגל מוֹהר

את המשוואות (16) אפשר להציג באופן גרפי בצורה ברורה. לשם כך יש להפוך אותן לצורה:

משוואות אלה מייצגות במערכת הקואורדינטות σ, τ את הצורה הפרמטרית של משוואת המעגל, המצויר באיור 12, שמרכזו בקואורדינטות σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 ושברדיוס שלו

מעגל זה נקרא מעגל מוהר. אם דרך הנקודה x מעבירים ישר מקביל לחתך x =const., שדרכו מועברים המאמצים σx, τxy, הוא יחתוך את המעגל בנקודה p, הנקראת הקוטב של מעגל מוהר. כל ישר pξ המועבר דרך קוטב זה חותך את המעגל בנקודה ξ, הקובעת את המאמצים σξ, τξη המועברים דרך חתך המקביל ל־pξ.

לגבי סימן מאמצי הגזירה בעת שרטוט מעגל מוהר יש לשים לב שהם נרשמים כלפי מעלה אם כיוונם כפי שמוצג באיור 12c. לפיכך, מבין שני המאמצים הצמודים τxy, τyx, אחד תמיד חיובי והאחר שלילי.

לערכי הגבול של σ1, σ2 של המאמצים הנורמליים מתאימות הנקודות 1 ו-2 על המעגל, והישרים _p_1 ו-_p_2 נותנים את כיווני המאמצים הראשיים.

הצגת המאמצים השוכנים במישור x-y באמצעות מעגל מחר אינה קשורה לשום הנחה לגבי המאמצים σz, τxz, τyz הניצבים למישור זה.

איור 12

לכן הדבר תקף גם לגבי מצב המאמצים התלת-ממדי הכללי ביותר, אם משווים רק את מישורי החתך העוברים כולם דרך אותו ישר, שנבחר כאן כציר z ו-ξ. מאחר שלפי משוואות הטרנספורמציה הכלליות (15) המאמץ הנורמלי σ אינו יכול להיות אינסופי באף מישור חתך, עליו להיות בעל מקסימום סופי σ1 עבור מישור אחד, ומינימום σ3 עבור מישור אחר, ושניהם, כמובן, יכולים להיות גם שליליים. אם מעבירים מישור דרך הווקטורים σ1 ו-σ3 ומשרטטים את מעגל מוהר (איור 13)

איור 13

עבור מאמצים הנמצאים במישור זה (כלומר כל הכיוונים המאונכים למישור זה), אזי σ1 ו-σ3 הם המאמץ הנורמלי הגדול ביותר והקטן ביותר שיכולים להופיע, ולפיכך הם חייבים להיות מאונכים זה לזה. אם משלימים את הכיוונים 1 ו-3 בכיוון 2, כך ששלושת הכיוונים הללו יוצרים מערכת צירים אורתוגונלית, ואם מציירים את מעגלי מאהר עבור המישורים 1 ~2 ו-2 ~ 3, אזי σ2 עבור אחד המעגלים הללו הוא המאמץ הנורמלי הגדול ביותר, ועבור האחר - הקטן ביותר, ולפיכך בחיתוכים המאונכים לכיוונים 1, 2 ו-3 מאמץ הגזירה שווה לאפס. שלושת המאמצים הנורמליים המאונכים זה לזה σ1, σ2 ו-σ3, שלא מתאימים להם מאמצי גזירה, נקראים מאמצים ראשיים.

    גבול הזרימה וגבול הכשל במצב מאמצים מרחבי

מצב המאמצים נקרא חד־, דו־ או תלת־ממדי, או אחרת: ליניארי, מישורי או מרחבי, בהתאם לכך אם אחד, שניים או כל שלושת המאמצים הראשיים שונים מאפס. ברכיבי מבנה הנפוצים ביותר, כלומר במוט מתוח, לחוץ ומכופף, מצב המאמצים, לפחות במקומות המאומצים ביותר, הוא חד־ממדי, וכך גם בניסויי מתיחה, לחיצה או כפיפה, המשמשים בבדיקת חומרים כמעט אך ורק לקביעת המאמצים המותרים. לעומת זאת, בלוחות העמוסים במישור שלהם או בניצב לו, וכן בקונכיות, מצב המאמצים הוא דו־ממדי, ובמקרים מסוימים מופיעים גם מצבי מאמצים תלת־ממדיים, ולכן יש להסיק, על סמך גבול הזרימה והשבר שנקבעו במצב מאמצים חד־ממדי, מסקנות לגבי התנהגות החומר במקרה של מצב מאמצים מרחבי.