Mga batayan
Ang gawain ng resistensya ng mga materyal ay tukuyin kung aling panlabas na puwersa ang kayang tiisin ng isang matigas na katawan (hal., gusali, bahaging estruktural o lupa). Upang masagot ang tanong na ito, nagsisimula sa dalawang pamantayan: sa isang banda, ang mga tensyon ay hindi dapat lumampas sa ilang hangganang nakabatay sa uri ng materyal, at sa kabilang banda, ang balanse sa pagitan ng panlabas at panloob na mga puwersa ay dapat maging matatag. Alinsunod dito, lahat ng mga problema sa resistensya ng mga materyal ay maaaring hatiin sa “mga problema ng tensyon” at “mga problema ng katatagan.”
Sa mga baras at biga at sa mga tagapasan na binubuo mula sa mga ito (trus, balangkas), ang pagtukoy ng mga tensiyon ay isinasagawa sa dalawang hakbang, sa ganitong paraan na una, batay sa ibinigay na mga panlabas na puwersa, kinukuwenta ang resultant ng mga panloob na puwersang ipinapasa sa pamamagitan ng krus na seksiyon, at pagkatapos mula sa mga “puwersang seksiyon” na ito ay tinutukoy ang mga tensiyon. Ang unang bahagi ng proseso ay isang hiwalay at malawak na disiplina, ang statika ng mga konstruksiyong panggusali, na may sariling masusing mga pamamaraan at karaniwang inihihiwalay sa resistansiya ng mga materyales, na ang tungkulin ay nakatuon sa pagtukoy ng mga tensiyon mula sa ibinigay na mga puwersang seksiyon.
Pangunahing mga konsepto ng lakas ng materyales
Nararating ang depinisyon ng diin sa pamamagitan ng mga sumusunod na pangunahing pagsasaalang-alang. Ipagpalagay na kumikilos sa katawan ang isang balanseng sistema ng panlabas na mga puwersa. Isipin natin na hinati natin ang katawan sa dalawang bahagi sa pamamagitan ng anumang hiwa, at inalis natin ang isa sa kanila kasama ang mga puwersang kumikilos dito; kung gayon ang pagkilos nito sa kabilang bahagi, upang manatiling hindi nagbabago ang balanse ng mga puwersa at ang ayos ng mga deformasyon, ay dapat palitan ng mga pandagdag na puwersang naipapasa sa pamamagitan ng ibabaw ng hiwa. Ang mga “panloob” na puwersang ito ay tuluy-tuloy na nakapamahagi sa ibabaw ng hiwa, kaya sa bawat elemento ng ibabaw dF ay tumutugma ang puwersang dβ. Kung bubuuin ang kabuuan dβ dF at gagawin ang limitang paglipat dF -> 0, kung gayon ang kabuuang ito ay tumutungo sa limitang halaga na tinatawag na diin. Ang diin sa isang tiyak na elemento ng ibabaw ay, gaya ng dβ, at maaaring hatiin sa mga bahagi na normal at tangensiyal sa dF, ang normal na diin σ at ang shear na diin τ.
Kung ang mga hiwa ay iguguhit sa iisang punto sa iba’t ibang direksyon, magkakaroon din ang mga ito ng iba’t ibang tensyon. Lalo na kung mula sa katawan ay hihiwalayin ang elementong kubo, na ipinakita sa fig. 1, sa bawat isa sa anim na ibabaw nito ay kikilos ang vector ng tensyon na maaaring hatiin sa tatlong bahagi sa direksyon ng mga coordinate axis x, y at z. Ang mga tensyon na kumikilos sa magkatapat na gilid ng ibabaw ay nagkakaiba sa isa’t isa, siyempre, nang diferensiyal lamang, kaya dapat pag-ibahin ang 3 * 3 = 9 na mga komponent na tensyon, na minamarkahan sa sumusunod na paraan:
Ang mga normal na diin σ ay binibigyan ng indeks ng axis kung saan sila nakahimlay at itinuturing na positibo kung nagdudulot ng paghatak, negatibo kung nagdudulot ng pagpiga. Ang mga puwersang paggugupit τ ay binibigyan ng dalawang indeks, ang una ay kapareho ng indeks ng kaukulang normal na diin, at ang ikalawa ay tumutukoy sa axis sa direksiyon kung saan kumikilos ang puwersang paggugupit. Kung ang positibong direksiyon ng kaukulang normal na diin ay nasa direksiyon ng positibo (negatibong) coordinate axis, ang puwersang paggugupit ay itinuturing ding positibo kung kumikilos ito sa direksiyon ng positibo (negatibong) coordinate axis.
Larawan 1.
Pagsasanib ng mga shear stress
Kung sa elementong paralelepipedo, fig. 1, itatakda ang kundisyong ang sandali ng lahat ng puwersa kaugnay ng axis x ay zero, makukuha ang τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Mula rito, at mula sa dalawang kaukulang ekwasyon para sa mga axis y at z, lumalabas na ang mga shear stress na may magkaparehong indeks ay magkapantay sa isa’t isa τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Mga deformasiyon ng mga bahagi
Na ang naunang tinukoy na mga tensyon ay may pisikal na kahulugan ay malinaw mula sa kanilang ugnayan sa depinisyon na nararanasan ng bawat katawan sa ilalim ng impluwensiya ng mga panlabas na puwersa. Ipinapakita ng Lar. 2 ang isang elementong kubo, na bago ang deformasyon ay parihaba at may mga gilid na may habang dx, dy, dz. Ang mga haba ng mga gilid pagkatapos ng deformasyon ay maaaring markahan bilang dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; ang mga bahaging εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz ay tinatawag na mga dilatasyon. Ito ay mga daming walang dimensiyon at, para sa lahat ng materyales na isinasaalang-alang sa pagtatayo, ay maliit kumpara sa 1. Bukod sa paghabà ng mga gilid, ang elementong kubo dx * dy * dz ay maaari ring makaranas ng pagbabago sa orihinal na mga tamang anggulo sa pagitan ng mga gilid nito.
Larawan 2. komponental na deformasyon
Ipagpalagay na matapos ang deformasyon, ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano na nagtatagpo sa kahabaan ng gilid na OC ay katumbas ng 
at gayundin na ang pagbawas ng tamang anggulo sa kahabaan ng gilid na AO ay katumbas ng γyz, at ang pagbawas sa kahabaan ng gilid na OB ay katumbas ng γzx. Ang tatlong pagbabagong ito ng mga anggulo, γxy, γyz, γzx, ay tinatawag na mga pagdulas at palaging maliit din kumpara sa 1. Sa anim na component na ε at γ, ganap na natutukoy ang deformasyon ng elementong kubo na “maliit na deformasyon”. Ang pagbabago ng elementong volume d_V = dx * dy * dz_ ay ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, kung saan, kapag isinantabi ang mga produkto ng dilatasyon bilang maliliit na daming mas mataas na antas, nakukuha ang kubikong dilatasyon ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Paglipat
Ang deformasyon ng isang matigas na katawan ay maaaring ganap na mailarawan sa paraang ito rin, na sa bawat isa sa mga punto nito ay itinutukoy ang paggalaw na dinanas ng puntong iyon. Kung ang mga paggalaw na may may takdang laki na tumutugma sa paggalaw ng matigas na katawan ay alisin sa pagsasaalang-alang, sa paraang, kung kinakailangan, ay ipinapalagay sa pagkalkula ang isang nakagagalaw na sistemang koordinado, kung gayon ang mga bahaging paggalaw na μ, ν, ω ay palaging maliliit na halaga, at ang kanilang mga derivatibo ayon sa mga koordinado ay maliliit kumpara sa 1. Sa ilalim ng palagay na ito, ayon sa fig. 3 ang haba ng elementong linya OA = dx pagkatapos ng deformasyon
kaya 
(3)
Sa katulad na paraan, makikita mula sa fig. 3 na ang pagdulas γxy γ1 + γ2: at gayundin
(4)
Larawan 3 pagdudulas
(5) 
(6)
Ang mga ugnayang ito ay tinatawag na mga kondisyon ng kompatibilidad at nagsasaad na ang mga nadeform na elemento ay maaaring pagdugtung-dugtungin na parang mosaiko upang ang espasyo ay patuloy na mapuno, na hindi maisasakatuparan kung ang mga deformasyon ng mga elemento ay basta-basta lamang. Ang mga kondisyon ng kompatibilidad ay mga diferensiyal na ekwasyon, kaya, siyempre, ang lahat ng anim na komponent ng deformasyon para sa bawat hiwalay na bloke ay magkakahiwalay na independiyente, ngunit ang kanilang pagkakaayos sa bawat may hangganang kalat na rehiyon ay nakatali sa mga kundisyon (5) at (6).
Dahil ang mga kundisyong ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdi-diferensiya mula sa mga ekwasyon (3) at (4), sa kanilang pagbuo ay nawawala ang bahagi ng mga ugnayang nakapaloob sa orihinal na mga ekwasyon. Kaya hindi sapat na matupad lamang ang isa sa dalawang sistemang ito ng mga ekwasyon, kundi kapwa sistema ng mga ekwasyon ay dapat matugunan kung nais na matiyak ang pagiging magkakatugma ng deformasyon.
Mga differential na ekwasyon ng sistema ng elastisidad
Para sa pagkalkula ng mga tensyon at pagpapapangit sa mga elastikong katawan, ginagamit ang mga sumusunod na equation:
Mga kondisyon ng balanse ng isang elementong pangdami. Ang mga kundisyon na ang mga sandali sa palibot ng tatlong aksis ay katumbas ng sero ay nagamit na sa pagdedebisa ng ekwasyon (1). Ang mga kondisyon ng balanse ng mga puwersa ay nagbibigay ayon sa sl. 4
Larawan 4
(7a-c)
Kung ang X, Y, Z ay tumutukoy sa mga bahagi ng mga puwersang volumetriko (hal., bigat, puwersang sentripugal) sa bawat yunit ng bolyum. Mga ugnayan sa pagitan ng tensyon at deformasyon. Dito ay ang ugnayan sa pagitan ng mga komponent na tensyon at mga komponent na deformasyon. Sa teoriya ng elastisidad, karaniwan ay tanging linear na ugnayan lamang ang isinasaalang-alang, na ipinapahayag ng batas ni Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
Kung ang mga ekwasyon (8a-c) ay lutasin ayon sa mga diin, makukuha
(8 a)
kso at dalawang kaukulang ekwasyon. Ang batas ni Hooke na ipinahayag sa pamamagitan ng ekwasyon (8) ay hindi kumakatawan sa isang mahigpit na natutupad na likas na batas, kundi isang idealisasyon ng aktuwal na pag-uugali, na lumilihis dito nang mas malaki o mas maliit, depende sa materyal at sa laki ng pag-igting. Dahil ang matematikal na pagpoproseso ng problema ng resistensiya ng mga materyales na may komplikado, di-linear na ugnayan sa pagitan ng tensiyon at deformasyon ay nagdudulot ng hindi maihahambing na mas malalaking hirap at tunay na maisasagawa lamang sa pinakasimpleng mga kaso, maging sa mga materyal (kongkreto!) na ang pag-uugali ay malaki ang paglihis sa batas ni Hooke, ang mga pagkukuwentang nakabatay dito ay dapat gamitin bilang una, at kadalasan ay tanging, humigit-kumulang na solusyon, na bukod pa rito ay karaniwang lubhang magagamit at nagbibigay ng higit pa sa purong kwalitatibong pag-unawa. G = E|2 (1+μ).
Ito ay kinakailangang sumusunod mula sa ugnayan sa pagitan ng tensyon at deformasyon (8), mula sa mga ekwasyon ng transposisyon (16) para sa mga tensyon at sa kaukulang sistema ng mga ekwasyon para sa mga bahaging deformasyon. Ang E at G ay may dimensiyon ng tensyon at sa lahat ng materyales sa konstruksyon ay malaki kumpara sa mga tensyong σ at τ na maaaring lumitaw. Sa katotohanang ito nakabatay ang palagay na tinatanggap saanman sa teorya ng elastisidad, na ang mga deformasyon ay maliit. Ang koepisyent ng nakahalang dilatasyon (bilang ni Poisson) μ ay walang dimensiyon at laging nasa pagitan ng 0 at 1/2 .
Mga ugnayan sa pagitan ng mga komponental na deformasyon at paggalaw. Ang mga ugnayang ito ay ibinibigay ng mga ekwasyong (3), (4). Ang mga ito ay likas na purong heometriko. Ang tatlong sistemang ito ay nagbibigay ng 3+6+6=15 na ekwasyon para sa 15 na hindi alam, ibig sabihin, para sa 6 komponental na mga tensyon, 6 komponental na mga deformasyon at 3 komponental na mga paggalaw. Samakatuwid, sapat ang mga ito upang matukoy ang mga hindi alam na ito. Ang matematikal na paghawak sa ganitong kalawak na sistema ng mga diferensyal na ekwasyon ay, siyempre, posible lamang sa mga espesyal na kaso. Kung sa ekwasyong (8) ang mga komponental na deformasyon ay papalitan ng mga komponental na paggalaw ayon sa mga ekwasyong (3) at (4) at pagkatapos ang normal na mga tensyon σ at mga shear stress τ, ayon sa mga ekwasyong (8 d - f), ay ilalagay sa mga kundisyon ng balanse, ekw. (7), makukuha ang mga diferensyal na ekwasyon na tinatawag na pangunahing mga ekwasyon ng teoriya ng elastisidad.
(9)
kung saan ang 
ay tinukoy ang operator na Laplace. Dahil sa (2), ito ay tatlong ekwasyong diperensiyal na may tatlong komponent na paglipat μ, ν, ω; mula sa mga ito, sa pamamagitan ng pagdiferensiya batay sa (3), (4) at (8) maaaring makuha ang lahat ng komponent na mga tensiyon at deformasyon. Ang mga ekwasyong (9) ay madalas na nagsisilbing kapaki-pakinabang na panimulang punto sa pag-aaral ng mga espesyal na kaso.
Trabahong deformasiyon
Kahulugan
Kapag ang isang suportang elemento ay nilagyan ng karga, ang mga puntong kinapapasanan ng mga panlabas na puwersa ay dumaranas ng elastikong pag-aalis, at ang mga puwersa ay nagsasagawa ng isang tiyak na trabaho. Sa ganitong paraan, ang dinalang enerhiya ay maaaring lumipat sa iba’t ibang anyo. Kung ang karga ay inilapat nang biglaan, upang ang proseso ng pagpapapangit ay may malaking bilis, ang isang bahagi ng enerhiyang ito ay nagiging kinetikong enerhiya, na sa paglipas ng panahon ay nalulusaw, alinman sa pamamagitan ng paglipat nito sa lupa bilang isang elastikong alon na nawawala sa kawalan, o sa pamamagitan ng pag-convert nito sa init dahil sa panloob na alitan. Kung ang mga karga ay inilalapat nang napakabagal na walang kapansin-pansing pagtaas ng kinetikong enerhiya, samakatuwid, ang mga kargang unti-unting tumataas mula sa sero ay nasa palagiang balanse sa mga panloob na puwersa, malinaw na ang enerhiya ay eksklusibong nauubos sa pagpapapangit ng katawan at tinatawag itong deformation work.
Ang pagkukuwenta ng gawaing pagde-deform ay ipapakita muna natin sa isang pirasong may kargang tensiyon sa isang direksiyon (fig. 5).
Ipagpalagay na ang umiiral na tensyon σ at ang kaukulang dilatasyon ε ay magbago ng dulo na dσ at dε. Kung gayon ang puwersang σdF sa lakbay na dε * dl ay magsasagawa ng trabaho na σdF * dεdl = σdεdV, kung saan ang dV ay tumutukoy sa dami ng maliit na bahagi. Kung ang tensyon ay tumaas mula sa sero hanggang sa huling halaga nito at ang dilatasyon ay mula sa 0 hanggang ε, ang kabuuang nagawang trabaho bawat yunit ng volume ay magiging:
Gayundin para sa elementong sinasailalim sa shear stress na τ (lar. 6) ang gawa ng deformasyon bawat unit ng bolyum (tukoy na gawa ng deformasyon, elastic potential):
kung saan isa lamang sa apat na puwersa τ * dF ang gumagawa ng trabaho.
Sa pangkalahatang kaso, kapag ang lahat ng anim na komponent na tensiyon ay kumikilos sa isang elementong bahagi, nakukuha ang espesipikong gawa ng deformasyon sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga gawa ng bawat komponent na tensiyon:
(10)
Sa pamamagitan ng pagkuha ng derivative ayon sa itaas na hangganan ng bawat isa sa mga integral na ito, nakukuha ang mga ugnayang totoo sa pinakalahatang kaso:
(11)
at gayundin para sa iba pang mga komponentong pagpapapangit. Kung ang katawan ay elastiko, sa bawat tiyak na kalagayan ng tensyon ay laging tumutugma ang parehong kalagayan ng pagpapapangit, gaano man ito naabot sa panahon ng pagkarga o pag-alis ng karga. Sa gayon, sa ilalim ng mga integral ay naroon ang mga natatanging tungkulin, at ang kabuuang enerhiyang nagugol sa panahon ng pagkarga at pagkatapos ng ganap na pag-alis ng karga ay a = 0, dahil sa kasong ito ang mga itaas na hangganan ng integral ay nagiging sero. Samakatuwid, ang kabuuang enerhiyang naipapasok sa katawan sa panahon ng pagkarga ay nababawi sa pag-alis ng karga.
Larawan 6
Larawan 7
Para sa isang hindi ganap na elastikong katawan, ang ugnayan sa pagitan ng mga stress at deformasyon para sa buong siklo ng paglo-load at pag-alis ng karga ay may anyong humigit-kumulang na ipinakita sa lar. 7 ng mga linya O A B. Ang enerhiyang 
na naihahatid sa paglo-load ay katumbas ng lugar na OAA, at ang enerhiyang naibabalik sa pag-alis ng karga ay lugar ABA, kaya’t nawawala ang trabahong katumbas ng may guhit na lugar (nababagong maging init). Kung sa isang prosesong osilatoryo ang stress ay pana-panahong nagbabago sa pagitan ng positibong hangganang halaga 
at negatibong hangganang halaga, 
ang di-elastikong deformasyon ay dumadaloy na katulad ng ipinakita ng mga putol-putol na linya sa lar. 7 at sa bawat panahon ng osilasyon ay nagiging init ang enerhiyang DABCD kada yunit ng bolyum. Ang ganitong pag-uugali sa pagde-deform, kung saan nahuhuli ang deformasyon sa stress, ay tinatawag na elastikong histeresis, at ang kurbang DABCD ay ang loop ng histeresis.
Trabahong deformasyon at batas ni Hooke
Kung sa mga integral sa ekwasyon (10) ay ipasok ang batas ni Hooke, maaaring isagawa ang pag-iintegral, at para sa espesipikong gawaing deformasyon ay makukuha ang mga pahayag:
(12a)
(12b)
(12c)
Kung ang ikalawa sa mga anyong ito ay isasama sa ekwasyon (11), muling makukuha ang batas ni Hooke, mga ekwasyon (8), sa anyong nalutas ayon sa mga stress. Ang pahayag na ang deformasiyong gawain ay nakasalalay sa mga sangkap na deformasyon, tulad ng ipinakita ng ekwasyon (12b), ay samakatuwid katumbas ng batas ni Hooke. Kapag ang ekwasyon (12c) ay dineperensiyahan ayon sa mga stress, makukuha
(13)
Ang mga anyong ito, hindi tulad ng mga anyo (11), ay wasto lamang para sa mga katawan na kumikilos ayon sa batas ni Hooke at hindi maaaring gamitin kapag iba ang ugnayan sa pagitan ng mga tensiyon at mga deformasyon. Mauunawaan na sa kanang bahagi ng mga ekwasyon (13) ay tanging ang mga komponental na deformasyong dulot ng mga tensiyon ang matatagpuan, at hindi kasama ang lahat ng iba na maaaring lumitaw dahil sa pagbabago ng temperatura, paggapang, pamamaga, rekristalisasyon, atbp.
INTEGRAL NA MGA PANGANIN SA TEORYA NG ELASTISIDAD
Mga virtual na paglipat. Prinsipyo ng pinakamababang potensiyal na enerhiya
Kung paanong ang Batas ni Hooke, ang mga equation (8) ay maaaring palitan ng isang equation (12b), gayundin sa halip na mga kondisyon ng ekwilibriyo ay maaaring ipakilala ang prinsipyo ng mga virtual na paggalaw, bilang isang pangkalahatang bisa at pangunahing batas ng mekanika. Ipinahahayag ng batas na ito na ang mga kalagayan ng ekwilibriyo ay nailalarawan sa katunayang ang kabuuang nagawang trabaho ng lahat ng puwersa sa isang maliit na pagbabago ng kalagayan ng deformasyon ay katumbas ng sero. Kung ang maliliit na pagbabago ng elastikong paggalaw ay tinutukoy bilang δμ δν, δω, kung gayon ang mga pwersang pangdami na tinukoy ng equation (7) ay gumagawa ng virtual na trabaho
at ang mga puwersang pang-ibabaw px, py, pz na kumikilos sa elementong dF ng panlabas na ibabaw ng katawan rad 
kung saan ang tatluhang integral ay tumutukoy sa buong volume, at ang dobleng integral sa buong panlabas na ibabaw ng katawan. Para sa pagkukuwenta ng trabahong ginagawa ng mga panloob na puwersa ginagamit ang ekwasyon (12b), kaya para sa trabaho bawat unit ng volume ay nakukuha
Sa batayan nito, ang prinsipyo ng virtual na paglipat ay nagbibigay
(14)
Kung ang mga kargang X, Y, Z px, py., pz ay ituturing bilang mga bahagi ng puwersa ng grabidad (sariling bigat at panlabas na karga), ang mga integral sa kanang panig ay kumakatawan sa potensiyal na enerhiyang nawala ng mga kargang ito, samantalang ang kaliwang panig ay kumakatawan sa pagtaas ng potensiyal (elastikong) enerhiya ng katawan, kaya ipinapakita ng prinsipyong ito na ang kabuuang potensiyal na enerhiya ng tagapagdaloy at ng mga kargang nakapatong dito ay may ekstremong halaga sa kaso ng ekilibriyo. Kung ang ekstremong halagang ito ay minimum, matatag ang ekilibriyo.
Ang prinsipyo ng pinakamababang potensiyal na enerhiya na ipinahayag ng ekwasyong (14), ang pahayag (12b) para sa trabahong pampormasyon, at ang mga kundisyon ng pagkakatugma ng mga deformasyon (5), (6) ay bumubuo ng isang sistema ng mga ekwasyon na sapat para sa pagbuo ng teorya ng elastisidad, at sa esensiya ay katumbas ng sistema ng mga ekwasyon. Ang sistemang ito ay lalo nang kapaki-pakinabang sa mga kaso kung saan ang pagsunod sa mga ekwasyong diperensiyal (9) ay nagdudulot ng kahirapan sa pagkukuwenta at dahil dito ay kailangang humanap ng tinatayang solusyon, hal., para sa mga paglipat ay paunang ipalagay ang isang angkop na anyo na naglalaman ng ilang malalayang konstant at pagkatapos ay tukuyin ang mga ito mula sa kahingian na matupad ang ekwasyong (14). Sa gayon, hindi nga nakukuha ang eksaktong solusyon ng problema, kundi ang pinakamainam na aproksimasyon na maaaring makamit sa napiling anyo ng solusyon. Kung sapat ang paglapit ay nakasalalay, una sa lahat, sa pinagtibay na anyo ng solusyon, kaya ang matagumpay na paggamit ng paraang ito ay nangangailangan ng kasanayan at karanasan.
Prinsipyo ni Castigliano
Samantalang sa prinsipyong may minimum na potensyal na enerhiya ay inihahambing ang lahat ng estado ng deformasyon na tumutupad sa mga kundisyon ng kompatibilidad ng deformasyon at mula sa mga ito ay hinihiwalay ang yaong mga estado kung saan ang kaukulang mga tensyon ay tumutupad sa mga kundisyon ng balanse, sa prinsipyo ni Castigliano ay inihahambing ang lahat ng estado ng tensyon na tumutupad sa mga kundisyon ng balanse at mula sa mga ito ay hinihiwalay ang yaong mga estado kung saan ang kaukulang mga deformasyon ay tumutupad sa mga kundisyon ng kompatibilidad ng deformasyon. Ang prinsipyong ito ay nagsasaad: sa lahat ng posibleng estado ng balanse, ang talagang nangyayari ay yaong may pinakamaliit na gawaing deformasyon. Ang prinsipyo ni Castigliano, kasama ang equation (12c) para sa gawaing deformasyon at ang mga kundisyon ng balanse, ay bumubuo ng isang sistema ng mga equation na sapat para sa pagbuo ng resistensya ng materyal. Dahil ang prinsipyong ito ay naglalaman ng batas ni Hooke, ang posibilidad ng paglalapat nito ay nakabatay sa palagay na ang mga deformasyon ay maaaring ganap na mailarawan sa batas na ito. Nangangailangan ito hindi lamang ng linear na elastikong pag-uugali ng materyal, kundi nag-aalis din ng mga pagbabago sa temperatura.
Pag-uugali ng materyal sa itaas ng mga hangganan ng elastisidad
Mga pangyayaring nagaganap sa statikong karga
Ang deformasyon ng materyal sa ilalim ng impluwensiya ng mga pwersa ay isang napakakomplikadong penomenon, kaya’t kailangan itong pasimplehin sa iba’t ibang paraan upang maunawaan ito. Isa sa mga pagpapasimpleng ito ay ang pagpapalagay na ang mga kargang inilalapat ay unti-unti, gaya ng ginagawa, halimbawa, sa mga sample kapag nagsasagawa ng tensile at compressive test.
Kapag ang isang bakal na baras na kargado sa hatak ay inilagay sa unti-unting lumalaking karga at sinusukat ang pag-uunat nito na ε, nakukuha ang diyagram na ipinakita sa ting. 8. Sa simula, napakaliit ng pag-uunat at proporsyonal ito sa stress, gaya ng hinihingi ng batas ni Hooke. Mula sa isang tiyak na stress, nawawala ang proporsyonalidad at mas mabilis na lumalaki ang pag-uunat. Mahirap tukuyin ang eksaktong lokasyon ng hangganan ng proporsyonalidad na ito. Kung mas tumpak ang pagsukat, mas mababa ito nakukuha. Para sa karamihan ng mga materyales, ito ay nasa σ = 0, at ang batas ni Hooke ay kumakatawan noon lamang sa unang aproximasyon sa elastikong pag-uugali, ang unang termino sa paglawak sa serye ni Taylor ng funksiyon ε = ε (σ) sa paligid ng pinagmulan ng mga koordinado.
Kapag inalis ang bigat sa baras, mapapansin na, kung hindi masyadong malaki ang stress, nawawala rin ang deformasyon, alinsunod sa batas ni Hooke. Ngunit nagbabago rin ito kapag nalampasan ang isang tiyak na stress na malapit sa hangganan ng proporsyonalidad, ang tinatawag na hangganan ng elastisidad; kung gayon ang kabuuang deformasyon ay binubuo ng elastikong (babalik) at inelastikong (permanente) bahagi. Hindi rin matutukoy nang eksakto ang hangganan ng elastisidad; mas bumababa ito habang mas mataas ang katumpakan ng pagsukat. Gayunman, dahil ito ay may malaking teknikal na kahalagahan, sapagkat ito ang hangganan ng bisa sa halos lahat ng pagkukuwenta sa resistensiya ng mga materyales, at kasabay nito ay ang hangganan kung saan lumilitaw ang unang permanenteng pinsala, ito ay mahigpit na tinutukoy para sa pagsusuri ng mga halimbawa sa pamamagitan ng isang tinanggap na kumbensiyon, kaya, halimbawa, bilang hangganan ng 0.2% ay itinatakda ang stress kung saan ang permanenteng dilatasyon ay umaabot sa 0.2%.
Kaagad pagkaraang malampasan ang hangganan ng elastisidad, ang deformasyon ay biglang lumalaki at mapapansin sa pamamagitan ng mata; sa halos konstanteng tensiyon, ang baras ay patuloy na humahaba. Ang tensiyong ito ay tinatawag na hangganan ng pagdaloy. Sa mga haydrolikong makina para sa pagsubok ng mga materyal, maaari ring mapansin, pagkatapos magsimula ang pagdaloy, ang higit o kulang na malinaw na pagbaba ng tensiyon; gaya ng ipinakikita sa fig. 8 ng putol-putol na kurba; kung gayon ang maksimum ay tinatawag na itaas na hangganan ng pagdaloy, at ang konstanteng tensiyon ng pagdaloy na kasunod na lumilitaw ang ibabang hangganan ng pagdaloy.
Kapag naabot ang isang tiyak na pag-unat, na halos ganap na hindi naelastiko, muling nagsisimulang tumaas ang tensiyon, tumitigas ang materyal. Sa bahaging ito ng pagkakarga, nagkakaroon ng kapansin-pansing pagbabawas ng sukat ng pahalang na seksyon ng baras dahil sa (hindi elastikong) gilid na pag-urong, at ang karagdagang takbo ng diyagram ng tensiyon at deformasyon ay pangunahing nakasalalay kung, sa pagkukuwenta ng tensiyon σ, ang puwersang humihila na P na kumikilos sa baras ay hinahati sa orihinal na seksyon F0 o sa kasalukuyang seksyon F. Para sa mga teknikal na layunin, mahalaga ang tensiyon P|F0 . Ang tensiyong ito ay dumaraan sa isang maksimum na tinatawag na lakas ng materyal at kapag nalampasan ang maksimum na iyon, ang baras ay labis na numinipis sa isang bahagi at napupunit. Ang “tunay na tensiyon” P|F ay tumataas hanggang sa pagkasira.
Larawan 8.
Ang pag-uugali ng iba pang mga metal ay sa maraming paraan ay naiiba sa inilarawan dito. Ang pagdaloy ay kadalasang hindi malinaw, at ang pagpapatigas ay nagsisimula kaagad matapos lampasan ang hangganan ng elastisidad. Sa mga marurupok na materyal (bato, salamin, kongkreto) ang di-elastikong pag-deform ay karaniwang maliit at kahit sa maliit na paglawak ay nagkakaroon ng pagkasira. Ang kabuuang paglawak na dinaranas ng materyal hanggang sa pagkasira ay sukat ng kahabaan (kabaligtaran: pagkamarupok) ng materyal, at para sa bakal ito ay eksaktong itinatakda sa mga teknikal na kundisyon. Gayunman, dahil kaagad bago ang pagkasira ang karagdagang pagde-deform ay nakatuon sa mga katabing bahagi ng makitid na seksiyon, nagkakaroon ng magkakaibang halaga ng paglawak sa pagkasira, depende kung mas malaki o mas maliit na bahagi ng pamalo ang kinukuha bilang haba ng pagsukat, kaya upang makakuha ng malinaw at mapaghahambing na mga resulta, kailangang maagang magtakda ng tiyak na kumbensiyon. Ang paglawak sa pagkasira ay karaniwang sinusukat sa paraang sa isang bilog na pamalong may diyametrong d, bago ang pagsusuri, minamarkahan ang haba ng pagsukat Ι = 10 d at mula sa pag-uunat nito ΔΙ kinukuwenta ang paglawak sa pagkasira εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Kung kinakailangang subukan ang mga pamalong may ibang seksiyon, ang haba ng pagsukat ay itinatakda ayon sa diyametro ng bilog na silindrikong pamalo na may kaparehong sukat ng kabuuang seksiyon.
Pangmatagalang karga
Sa takbo ng pagsusulit sa pag-igting, halos walang pagkakaiba kung ang kargang hanggang sa pagkabigo ay dumarami sa loob ng 10 m minuto o ilang oras. Gayunman, kung ang karga ay kumikilos sa loob ng mga taon o mga dekada, sa ilang kundisyon napapansin na kahit nasa ibaba ng hangganan ng pagdaloy, ang deformasyon sa ilalim ng konstanteng diin ay dahan-dahang lumalaki sa paglipas ng panahon. Samantala, ang elastikong bahagi, ibig sabihin ang bahaging nawawala kapag ganap na inaalis ang karga, ay hindi gaanong nagbabago. Ang pagtaas na ito ng hindi elastikong deformasyon na nagaganap sa mahabang panahon ay tinatawag na paggapang. Sa mga metal, maliban sa tingga, mahalaga lamang ang paggapang sa mataas na temperatura; gayunman, para sa inhinyerong sibil, may papel ito sa kongkreto na unti-unting lumuluwag sa ilalim ng presyon, kaya tumataas ang diin sa pinipisil na rebar, kung mayroon man.
Nagbabagong kargamento
Upang magamit ang mga mekanikal na katangian ng materyal na nakuha sa pagsubok na makunat bilang batayan para sa pinahihintulutang kargang dala ng mga estruktura, kailangan na sa bawat muling pagkakarga ay mapaglabanan ng materyal ang boltahe na minsan na nitong nalabanan nang walang pinsala. Hindi natutupad ang kundisyong ito kung ang materyal ay nalalantad sa madalas na paulit-ulit na pagkarga at pagluwag, gaya ng, halimbawa, sa kaso ng mga bigang nakakararanas ng mga inersiyal na puwersa mula sa hindi ganap na balanseng mga makina. Sa sapat na dalas ng pag-ulit ng pagkarga, maaaring mauwi sa pagkabigo ang isang bahagi ng estruktura kahit sa boltahe na nasa malayo pang ibaba ng lakas ng materyal na tinukoy sa karaniwang pagsusuring statiko. Ang pangyayaring ito ng pagkabigo ay tinatawag na pagkabigo dahil sa pagkapagod. Ang bilang n ng mga siklo ng pagkarga na kayang tiisin ng materyal ay nakadepende sa laki ng boltahe σ, kaya mas malaki ito habang mas maliit ang boltahe. Ang tipikal na halimbawa ng ugnayang ito ay ipinakita sa fig. 9, kung saan makikitang may mas mababang hangganan ang lakas ng materyal, na kaya nitong tiisin kahit sa anumang napakalaking bilang ng mga siklo ng pagkarga, at ito ay tinatawag na dinamikong lakas ng materyal Ang mga diagram ng ganitong uri (fig.9) ay tinatawag na mga kurba ni Wӧhler.
Larawan 9.
Kaligtasan ng mga estruktura
Dalawang hanggahang karga ang mahalaga sa mga istruktura: ang kargang nagdudulot ng unang permanenteng pinsala (hangganan ng pagluwag), at ang kargang sa ilalim nito ay lubusang nagagamit ang kapasidad ng pagdadala ng istruktura, kaya nabibiyak ito (hangganan ng pagkabali). Dahil bago ang hangganan ng pagluwag ay humigit-kumulang na totoo ang mga palagay ng resistensya ng materyales (maliliit na paggalaw, batas ni Hooke), ang kaligtasan laban sa permanenteng mga deformasyon ay mapagkakatiwalaang matitiyak sa lahat ng mga kasong nagagapi ang mga suliraning matematika. Kung ang stress ay proporsyonal sa karga, ang ugnayan ng stress sa pagluwag sa pinakamataas na stress na lumilitaw sa istruktura ay katumbas ng ugnayan sa pagitan ng kargang nagdudulot ng pagluwag at ng aktuwal na karga at kumakatawan sa koepisyent ng kaligtasan laban sa pagluwag. Gayunman, sa ilang mga kaso ay wala ang simpleng ugnayang ito: pagbaluktot kapag hindi isinasaalang-alang ang paghatak, presyon sa pagitan ng mga umbok na ibabaw, mga sistemang nagbabago ang estruktura, at, na lalong hindi kanais-nais, pagbaluktot na may aksiyal na puwersa. Sa lahat ng mga kasong ito, kahit bahagyang pagtaas ng karga ay maaaring magdulot ng malaking pagtaas ng stress, at sa gayon hindi sapat na ilapat ang karaniwang koepisyent ng kaligtasan sa mga stress; sa halip, dapat itong ilapat sa karga.
Ang mga penomenang nagaganap matapos malampasan ang hangganan ng pagkalastiko hanggang sa pagkabigo ay sa karamihan ng mga kaso maaari nang masubaybayan lamang nang kwalitatibo. Kung ang materyal ay duktil, ang mga bahagi kung saan unang naabot ang hangganan ng pagkalastiko, at na patuloy na nagde-deform sa ilalim ng konstanteng tensyon o tensyong bahagyang tumataas, ay bahagyang nakikibahagi sa pagsalo ng karagdagang kargang ipinapataw, kaya’t ang natitirang mga bahagi ng estruktura na mas kaunti ang pagkakapwersa, kung maaari batay sa estruktura nito, ay higit na nakikibahagi sa pagbubuhat. Sa tendensiyang ito na pagpantayin ang mga taluktok ng tensyon nakasalalay ang isang tiyak na reserba ng kaligtasan, na maaaring gamitin sa pagkukuwenta kung ang permanenteng deformasyon ng ilang bahagi, na naganap sa iisang malaking paglo-load lamang, ay hindi nakasasama (pamamaraan ng limit state load).
Kung ang materyal ay marupok, ang unang permanenteng pinsala ay makikita sa mga bitak, na dahil dito ay mas lalong tumitindi ang konsentrasyon ng tensyon sa napinsalang bahagi, na agad na nagdudulot ng pagkabigo. Ang pagkabigo dahil sa pagkapagod maging sa mga madaling humaba o umunat na materyales ay may katangian ng marupok na pagkaputol.
Mga ugnayan sa pagitan ng mga tensyon para sa iba’t ibang mga seksiyonal na eroplano
Mga ekwasyon ng transformasyon
Ang siyam na komponental na tensiyon sa fig. 1, ay kaugnay ng tatlong kundisyon ng balanse. Ang natitirang anim na laki na σx, σy, σz τxy, τyz, τzx ay maaaring, nang hiwa-hiwalay sa isa’t isa, tumanggap ng anumang mga halaga gaya ng makikita sa pagdedebisa ng mga diferensiyal na ekwasyon ng teorya ng elastisidad. Gayunman, kapag ang mga halagang ito ay ibinigay, ang estado ng tensiyon sa isang punto ng isang solidong katawan ay ganap na natutukoy, ibig sabihin, kapag alam ang mga tensiyon para sa tatlong magka-perpendikulong eroplano, maaari ring matukoy nang walang kalabuan ang tensiyon para sa isang ikaapat na eroplano na dumaraan sa ibinigay na punto at ang normal nito ay may anumang direksiyon.
Sa fig. 10 ipinakita ang tetrahedron OABC na ang tatlong mukha ay kahanay ng mga eroplano ng coordinate system na x, y, z at ang ikaapat ay kumakatawan sa isang anumang naka-orient na elemento ng ibabaw na ABC = dF. Upang maipahiwatig ang direksiyon nito at ang direksiyon ng tensiyong naipapasa rito, ipinakikilala ang isang ikalawang coordinate system, na ang ξ axis ay patayo sa dF.
Larawan 10
Ang kundisyon ng balanse ng mga puwersang tumatama sa tetraedrong ito sa direksiyon ng axis na ξ ay nagbibigay
Kung isasaalang-alang na
nakukuha
at gayundin mula sa kondisyon ng ekilibriyo sa direksyon ng axis η:
Ito ang mga ekwasyon na nagsisilbi para sa pagkukuwenta ng mga stress sa pagbabago ng mga koordinado. Lalong mahalaga na isaalang-alang lamang ang gayong mga elemento ng ibabaw _dF kung saan ang ξ-aksis ay tumutugma sa z-aksis. Ang mga porma para sa kasong ito ay maaari nating makuha sa pamamagitan ng pagpapasimple sa mga naunang porma o direktang mabasa sa fig. 11:
Larawan 11
Ang normal na tensyon ay umaabot sa mga ekstremong halaga para sa mga direksiyong α = α0 , kung saan dσξ/dα = 0. Sa pagdidiferensiya, mula sa ekwasyon (16) ay nakukuha
kaya, kapag ang ekspresyong ito ay itinumbas sa sero
Ang stress τξη ay magiging kabuuang shear stress din sa mga eroplanong ito, kung ang τyz = τzx = 0. Kung gayon, sa pamamagitan ng ekwasyon (17) natutukoy ang dalawang magkapendikular na direksiyon kung saan: 1. ang kabuuang shear stress ay zero at, 2. ang normal stress ay may mga ekstremong halaga (maksimum at minimum). Ang mga direksiyong ito ay tinatawag na mga direksiyon ng pangunahing mga stress, at ang mga kaukulang stress ay pangunahing mga stress. Ang mga ito ay tinutukoy bilang σ1 at σ2 at maaaring kalkulahin nang tuwiran mula sa pormula
Bilog ni Mohr
Ang mga ekwasyon (16) ay maaaring ilarawang grapikong sa malinaw na paraan. Para rito, dapat silang baguhin sa anyong:
Ang mga ekwasyong ito ay kumakatawan sa koordinat na sistema σ, τ sa parametric na anyo ng ekwasyon ng bilog na iginuhit sa fig. 12, na ang mga koordinado ng sentro ay σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 at ang radius nito ay
Ang bilog na ito ay tinatawag na Mohr na bilog. Kung sa pamamagitan ng puntong x ay gumuhit ng tuwid na linyang parallel sa seksyong x =const., kung saan naililipat ang mga tensyon na σx, τxy, ito ay sasalubong sa bilog sa puntong p, na tinatawag na pol ng Mohr na bilog. Ang bawat tuwid na linyang pξ na iginuhit sa pamamagitan ng pol na ito ay sumasalubong sa bilog sa puntong ξ na tumutukoy sa mga tensyon na σξ, τξη na naililipat sa pamamagitan ng seksiyong parallel sa pξ.
Tungkol sa tanda ng mga tensyong panggupit sa pagguhit ng Mohr na bilog, dapat tandaan na inilalagay ang mga ito pataas kung ang direksiyon ay tulad ng ipinakita sa fig. 12c. Samakatuwid, sa dalawang magkapares na tensyon na τxy, τyx, ang isa ay laging positibo at ang isa ay negatibo.
Sa mga limit na halaga ng σ1, σ2 ng mga normal na stress ay tumutugma ang mga puntong 1 at 2 sa bilog, at ang mga tuwid na _p_1 at _p_2 ay nagbibigay ng mga direksyon ng pangunahing mga stress.
Ang pagpapakita ng mga tensyong nasa x-y na eroplano sa pamamagitan ng Mahr na bilog ay hindi nakatali sa anumang palagay tungkol sa mga tensyong σz, τxz, τyz na patayo sa eroplanong ito.
Larawan 12
Kaya gayundin ito sa pinakalahatang tatlong-dimensiyong kalagayan ng mga tensiyon, kung ihahambing lamang ang mga hiwang eroplano na pawang dumaraan sa iisang tuwid na linya, na dito ay pinili bilang z at ξ na aksis. Dahil ayon sa mga pangkalahatang ekwasyon ng transpormasyon (15) ang normal na tensiyon σ ay hindi maaaring maging walang-hanggan para sa alinmang hiwang eroplano, dapat itong magkaroon para sa isang eroplano ng may hangganang maksimum na σ1, at para sa isa pa ng minimum na σ3, na ang dalawa, siyempre, ay maaari ring maging negatibo. Kung sa pamamagitan ng mga vector na σ1 at σ3 ay iguguhit ang isang eroplano at iguguhit ang bilog ni Mohr (sl. 13)
Larawan 13
para sa mga stress na nasa eroplanong ito (ibig sabihin, lahat ng direksiyong patayo sa eroplanong ito), kung gayon ang σ1 at σ3 ang pinakamalaki at pinakamaliit na normal na stress na maaaring lumitaw at samakatuwid ay dapat na magkakapatong nang patayo sa isa’t isa. Kung ang mga direksiyong 1 at 3 ay dagdagan ng direksiyong 2, upang ang tatlong direksiyong ito ay bumuo ng isang ortogonal na koordinatong sistema, at kung iguguhit ang mga bilog ni Mahr para sa mga eroplano 1 ~2 at 2 ~ 3, kung gayon ang σ2 para sa isa sa mga bilog na ito ay ang pinakamalaki, at para sa isa pa ang pinakamaliit na normal na stress, at samakatuwid sa mga hiwang patayo sa mga direksiyong 1, 2 at 3 ang shear stress ay katumbas ng sero. Ang tatlong magkakapatong na normal na stress σ1, σ2 at σ3, na walang katumbas na shear stress, ay tinatawag na pangunahing mga stress.
Hangganan ng pagyeyield at hangganan ng pagkabigo sa tatlong-dimensional na kalagayan ng stress
Ang kalagayan ng tensyon ay tinatawag na isa-, dalawa- o tatlong-dimensiyon, sa ibang salita: lineyal, patag o pangkalawakan, depende sa kung ang isa, dalawa o lahat ng tatlong pangunahing tensyon ay naiiba sa zero. Sa mga bahagi ng estruktura na pinakakaraniwang ginagamit, ibig sabihin sa hinihila, pinipisil at binabaluktot na baras, ang kalagayan ng tensyon, kahit man lamang sa mga lugar na pinaka-naeestress, ay isang-dimensiyon, at gayundin sa mga pagsubok na paghila, pagpisil o pagbaluktot, na halos eksklusibong ginagamit sa pagsusuri ng mga materyales upang matukoy ang mga pinapayagang tensyon. Sa kabaligtaran, sa mga plato na pinapasan sa loob ng kanilang eroplano o patayo rito, gayundin sa mga shell, ang kalagayan ng tensyon ay dalawang-dimensiyon, at sa ilang kaso ay lumilitaw din ang mga tatlong-dimensiyong kalagayan ng tensyon, kaya kinakailangang, batay sa hangganan ng pagyield at pagkasira na tinutukoy sa ilalim ng isang-dimensiyong kalagayan ng tensyon, makabuo ng mga konklusyon tungkol sa pag-uugali ng materyal sa kaso ng pangkalawakang kalagayan ng tensyon.