Materials: Strength of materials and theory of elasticity

Bun-bheachdan

Is e dleastanas neart stuthan dearbhadh dè na feachdan a-muigh as urrainn do chorp cruaidh a ghiùlan (me., togalach, pàirt structarail no talamh). Gus freagairt a thoirt air a’ cheist seo, thèid dà shlat-tomhais a ghabhail os làimh: air aon làimh, chan fhaod na cuideaman crìochan àraidh a tha an urra ri seòrsa an stuth a dhol thairis air, agus air an làimh eile feumaidh an co-chothromachadh eadar na feachdan a-muigh agus a-staigh a bhith seasmhach. A rèir seo, faodar gach duilgheadas neart stuthan a roinn ann an “Duilgheadasan cuideam” agus “duilgheadasan seasmhachd.”

Ann an slatan agus giùlan, agus ann an giùlan a tha air an dèanamh dhiubh (lìonraidhean, frèamaichean), bithear a’ dearbhadh nan cuideaman ann an dà cheum, is e sin, an toiseach tha toradh nan feachdan a-staigh a thèid troimhe an t-earrann chroise air a thomhas air bunait nam feachdan a-muigh a chaidh a shònrachadh, agus an uair sin tha na cuideaman air an dearbhadh bho na “feachdan earrainne”. Tha a’ chiad phàirt den mhodh seo a’ riochdachadh raon sònraichte, farsaing, staitig nan structaran togail, aig a bheil na modhan fhèin air an leasachadh agus a tha mar as trice air a sgaradh bho neart stuthan, aig a bheil an dleastanas air a chuingealachadh ri bhith a’ dearbhadh nan cuideaman bho na feachdan earrainne a chaidh a thoirt seachad.

Bun-bheachdan neart stuthan

Thig sinn gu mìneachadh an t-stròic tro na beachdan bunaiteach a leanas. Gabhamaid gu bheil siostam cothromachaidh de fheachdan bhon taobh a-muigh ag obair air a’ chorp. Smaoinicheamaid gu bheil sinn air a’ chorp a roinn le gearradh sam bith ann an dà phàirt, agus gun do rinn sinn air falbh aon dhiubh còmhla ris na feachdan a tha ag obair air; an uair sin, gus am fuirich cothromachadh nam feachdan agus sgaoileadh nan deformaidhean gun atharrachadh, feumar a bhuaidh air a’ phàirt eile a chur an àite le feachdan a bharrachd a thèid tro uachdar a’ ghearraidh. Tha na feachdan “a-staigh” seo air an sgaoileadh gu leantainneach thairis air uachdar a’ ghearraidh, gus am bi feachd dβ a’ freagairt ri gach eileamaid de dh’fhoirdeal dF. Ma thèid an co-mheas dβ dF a chruthachadh agus a’ chrìoch-ghluasad dF -> 0 a dhèanamh, an uair sin tha an co-mheas seo a’ dol a dh’ionnsaigh luach crìche ris an canar stròc. Tha an stròc ann an eileamaid shònraichte de dh’fhoirdeal, mar a tha dβ, agus faodar a bhriseadh sìos gu co-phàirtean àbhaisteach agus tangeantach ri dF, an stròc àbhaisteach σ agus an stròc rùsgaidh τ.

Ma thèid earrannan a tharraing tro’n aon phuing ann an diofar stiùiridhean, bidh cuideaman eadar-dhealaichte a’ freagairt riutha cuideachd. Gu h-àraidh ma thèid ciùb eileamaideach a sgaradh a-mach às a’ bhodhaig, mar a chithear ann am fig. 1, obraichidh vectar cuideim air gach aon de na sia uachdaran aige, agus faodar a bhriseadh sìos gu trì co-phàirtean ann an stiùireadh nan làmhan-co-chomharran x, y, z. Bidh na cuideaman a tha ag obrachadh air na taobhan mu choinneamh de dh’uachdar eadar-dhealaichte bho chèile, gu dearbh, dìreach airson an diofar, agus mar sin feumar eadar-dhealachadh a dhèanamh eadar 3 * 3 = 9 de na cuideaman co-phàirteach, a tha air an comharrachadh mar a leanas:

Thèid fo-sgrìobhadh nan aiseal a thoirt do na cuideaman àbhaisteach σ anns an t-slighe air a bheil iad suidhichte, agus thathar gan meas deimhinneach ma dh’adhbhraicheas iad sìneadh, àicheil ma dh’adhbhraicheas iad teannachadh. Gheibh na cuideaman rùsgaidh τ dà fho-sgrìobhadh, agus ’s e a’ chiad fhear dhiubh an aon fho-sgrìobhadh ris a’ chuideam àbhaisteach co-fhreagarrach, agus tha an dàrna fear a’ buntainn ris an aiseal anns an t-slighe air a bheil an cuideam rùsgaidh ag obair. Ma tha an taobh deimhinneach den chuideam àbhaisteach co-fhreagarrach ann an stiùir na h-aiseal cho-chomharran dheimhinneach (àicheil), thathar cuideachd a’ meas an cuideam rùsgaidh deimhinneach ma tha e ag obair ann an stiùir na h-aiseal cho-chomharran dheimhinneach (àicheil).

Fig. 1.

 Co-cheangailteachd nan cuideaman rùsgaidh

Ma thèid, airson a’ chuboid bhunasach, fig. 1, suidheachadh a chur air dòigh gum bi am momennt de na feachdan uile a thaobh an aiseil x co-ionann ri neoni, gheibhear τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz À seo, agus à dà cho-aontar iomchaidh eile airson na h-aisealan y agus z, gheibhear gu bheil na cuideaman rùsgachaidh leis na h-aon chlàran co-ionann ri chèile τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

Deformachdan pàirteach

Gus am bi na teannaichean a chaidh a mhìneachadh roimhe seo a’ dèanamh ciall chorporra, tha seo a’ tighinn bhon cheangal aca ris a’ mhìneachadh a tha gach corp a’ fulang fo bhuaidh fheachdan bhon taobh a-muigh. Tha Fig. 2 a’ sealltainn ciùb bunasach, a bha ron deformation ceart-cheàrnach agus aig an robh faid nan oirean dx, dy, dz. Faodar faid nan oirean às dèidh an deformation a chomharrachadh le dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; canar dilatations ris na cuibhreannan εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz. ’S e meudan gun tomhas a tha seo agus, airson a h-uile stuth a tha buntainneach ann an togail, tha iad beaga an coimeas ri 1. A bharrachd air leudachadh nan oirean, faodaidh an ciùb bunasach dx * dy * dz cuideachd am pìos-atharrachadh a dhèanamh air na ceàrnan a bha roimhe dìreach eadar a thaobhan.

Ìomhaigh 2. deformachadh co-phàirt

Gabhaibh ris, an dèidh deformachaidh, gu bheil an ceàrn eadar na plèanaichean a bhios a’ tighinn còmhla air feadh na h-oire OC co-ionann ri , agus mar an ceudna gum bi an lùghdachadh den cheàrn cheart air feadh na h-oire AO co-ionann ri γyz, agus an lùghdachadh air feadh na h-oire OB co-ionann ri γzx. Canar sleamhnachaidhean ris na trì atharrachaidhean ceàrnach seo γxy, γyz, γzx, agus tha iad an-còmhnaidh beag an taca ri 1. Le sia pàirtean ε agus γ tha deformachadh a’ chubhair eileamaideach “deformachadh beag” air a dhearbhadh gu tur. Tha an t-atharrachadh ann an eileamaid an tomhais-lìonaidh d_V = dx * dy * dz_ co-ionann ri ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, agus às an seo, nuair a thèid toraidhean nan sìneadh mar mheudan nas lugha de dh’òrdugh nas àirde a leigeil seachad, gheibhear an sìneadh ciùbach ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Gluasadan

Faodar deformachadh buidhne cruaidh a mhìneachadh gu h-iomlan cuideachd san dòigh seo, le bhith a’ toirt gluasaid do gach puing dheth mar a dh’fhuiling a’ phuing sin e. Ma thèid gluasadan de mheud crìche a tha a’ freagairt ri gluasad buidhne teanna a chur a-mach à beachdachadh, san dòigh seo, is e sin ma thèid siostam cho-chomharran gluasadach a ghabhail anns an àireamhachadh ma tha feum air, an uair sin tha na gluasadan co-phàirteach μ, ν, ω an-còmhnaidh beag, agus tha na h-iomlaidean aca a rèir nan co-chomharran beag an taca ri 1. Fon bharail sin, a rèir fig. 3 tha fad an eileamaid loidhneich OA = dx às dèidh deformachaidh

mar sin  (3)

San aon dòigh chithear à fig. 3 gu bheil an sleamhnachadh γxy γ1 + γ2: agus cuideachd

 (4)

Figear 3 sleamhnachadh

(5)  (6)

Canar cumhaichean co-chòrdalachd ris na ceanglaichean sin agus tha iad a’ sealltainn gum faodar na h-eileamaidean air an deformed a chur ri chèile mar mhòsaig gus am bi an t-àite air a lìonadh gu leantainneach, rud nach gabh a choileanadh ma tha deformaidhean nan eileamaidean air thuaiream. Tha na cumhaichean co-chòrdalachd nan co-aontaran diofarach, agus mar sin, gu dearbh, tha na sia co-phàirtean deformachaidh uile airson gach bloc fa leth neo-eisimeileach bho chèile, ach tha an rèiteachadh aca anns gach raon crìochnaichte a tha air a sgaoileadh ceangailte ris na cumhaichean (5) agus (6).

Leis gu bheil na cumhaichean sin air am faighinn le eadar-dhealachadh bho cho-aontaran (3) agus (4), thèid pàirt de na ceanglaichean a tha anns na co-aontaran tùsail a chall nuair a thèid an toirt a-mach. Mar sin chan eil e gu leòr nach tèid ach aon de na dà shiostam co-aontaran seo a choileanadh; feumar an dà shiostam co-aontaran a choileanadh, ma thathar airson gum bi co-chòrdalachd an deformachaidh air a dhèanamh cinnteach.

Co-aontaran diofraichte an t-siostaim sùbailteachd

Airson àireamhachadh air cuideaman agus deformachdan ann an cuirp shùbailte, bithear a’ cleachdadh nan co-aontaran a leanas:

Cumhaichean co-chothromachd eileamaid lìonaidh. Chaidh na cumhaichean gum bi na mionaidean timcheall air trì aisealan co-ionnan ri neoni a chleachdadh mar-thà ann an toirt a-mach a’ cho-aontair (1). Tha na cumhaichean co-chothromachd fheachdan a’ toirt seachad a rèir fig. 4

Figear 4

(7a-c)

Ma chomharraichear le X, Y, Z na co-phàirtean de na feachdan tomhas-lìonaidh (m.e. cuideam, feachd ceud-dìreach) gach aonad tomhas-lìonaidh. Ceanglaichean eadar cuideaman agus deformachdan. Fo seo tha ceangal eadar cuideaman co-phàirteach agus deformachdan co-phàirteach air a thuigsinn. Ann an teòiridh na h-elastaigs, mar riaghailt, chan eil ach ceangal loidhneach a’ tighinn an seo, a tha air a chur an cèill le lagh Hooke:

(8a-c)

(8d-f)

Ma thèid na co-aontaran (8a-c) fhuasgladh a rèir nan cuideaman, gheibhear

(8 a)

kso agus dà cho-aontar fhreagarrach. Chan eil lagh Hooke, air a chur an cèill leis a’ cho-aontar (8), na lagh nàdarra a thèid a choileanadh gu teann, ach na dhealbhachadh air giùlan fìor, a tha a’ gluasad bhuaithe barrachd no nas lugha, a rèir an stuth agus meud na cuideam. Leis gu bheil làimhseachadh matamataigeach duilgheadasan strì stuthan le ceanglaichean iom-fhillte, neo-loidhneach eadar na strìthean agus na deformations a’ toirt tòrr nas motha de dhuilgheadasan agus nach gabh a dhèanamh ann an da-rìribh ach anns na cùisean as sìmplidh, feumar fiù ’s a thaobh nan stuthan sin (cruadhtan!) aig a bheil giùlan a’ gluasad gu mòr bho lagh Hooke, na cunntasan a tha stèidhichte air a chleachdadh an toiseach, agus sa mhòr-chuid mar an aon fhuasgladh tuairmseach, a tha co-dhiù mar as trice gu math feumail agus a’ toirt tuigse a tha nas motha na dìreach càileachdail. G = E|2 (1+μ).

Tha e riatanach a’ tighinn bho cheangal eadar cuideam agus deformachadh (8), bho cho-aontaran an atharrachaidh (16) airson na cuideaman agus bhon t-siostam iomchaidh de cho-aontaran airson na deformachaidhean co-phàirteach. Tha modalan E agus G le tomhas cuideam agus, anns a h-uile stuth togail, tha iad mòra an taca ris na cuideaman σ agus τ a dh’fhaodadh nochdadh. Air an fhìrinn seo tha a’ bhun-bheachd a chaidh a ghabhail os làimh anns a h-uile àite ann an teòiridh na h-elastaigs, gur beag na deformachaidhean. Tha an co-èifeachd dilataidh tharsainn (àireamh Poisson) μ gun tomhas agus tha e an-còmhnaidh eadar 0 agus 1/2 .

Na ceanglaichean eadar na deformaidhean co-phàirteach agus na gluasadan. Tha na ceanglaichean seo air an toirt seachad le co-aontaran (3), (4). Tha iad gu tur de nàdar geoimeatrach. Bheir na trì siostaman seo 3+6+6=15 co-aontar airson 15 de neo-aithnichte, i.e. airson 6 de chuideaman co-phàirteach, 6 de dheformaidhean co-phàirteach agus 3 de ghluasadan co-phàirteach. Tha iad mar sin gu leòr gus na neo-aithnichte seo a dhearbhadh. Tha e so-thuigsinn nach eil e comasach dèiligeadh gu matamataigeach ri siostam cho mòr de cho-aontaran diofaraile ach ann an cùisean sònraichte. Ma thèid na deformaidhean co-phàirteach anns a’ cho-aontar (8) a chur an àite le gluasadan co-phàirteach a rèir nan co-aontaran (3) agus (4), agus an uairsin na cuideaman àbhaisteach σ agus na cuideaman rùsgaidh τ, a rèir nan co-aontaran (8 d - f), a thoirt a-steach do na cumhachan co-chothromachaidh, co-aont. (7), gheibhear co-aontaran diofaraile ris an canar na prìomh cho-aontaran teòiridh na h-elastaigeachd.

(9)

far a bheil  air a chomharrachadh an obraiche Laplace. A thaobh (2), ’s e seo trì co-aontaran diofrachaidh le trì gluasadan co-phàirteach μ, ν, ω; às an seo faodar, le eadar-dhealachadh air bunait (3), (4) agus (8), a h-uile cuideam agus deformachadh co-phàirteach fhaighinn. Tha co-aontaran (9) gu tric a’ riochdachadh toiseach-tòiseachaidh goireasach airson sgrùdadh a dhèanamh air cùisean sònraichte.

Obair deformachaidh

Mìneachadh

Nuair a thèid an giùlan a luchdachadh, bidh na puingean far am bi na feachdan a-muigh ag obair a’ fulang gluasadan elastagach agus bidh na feachdan a’ dèanamh obair shònraichte san phròiseas. San dòigh seo, faodaidh an lùth a thèid a thoirt a-steach gluasad gu diofar chruthan. Ma thèid an luchdadh a chur air gu h-obann, gus am bi pròiseas an deformachaidh aig astar mòr, tionndaidhidh pàirt den lùth seo gu lùth cineatach, a sgaoiltear thar ùine, an dara cuid leis gu bheil e air a ghluasad don ùir mar thonn elastagach a chailleas e fhèin san neo-chrìochnachd, no leis gu bheil e air a thionndadh gu teas le suathadh a-staigh. Ma thèid na luchdan a chur air cho socair is nach èirich àrdachadh follaiseach ann an lùth cineatach, mar sin, gu bheil na luchdan a bhios a’ fàs mean air mhean, a’ tòiseachadh bho neoni, ann an co-chothrom cunbhalach leis na feachdan a-staigh, tha e follaiseach gu bheil an lùth air a chaitheamh a-mhàin air deformachadh a’ chuirp agus canar obair deformachaidh ris an sin.

Seallaidh sinn an toiseach àireamhachadh obair an deformachaidh air pìos fo luchd teannachaidh ann an aon stiùir (f. 5).

Gabhaidh sinn gu bheil an cuideam a th’ ann σ agus an sìneadh co-fhreagarrach ε a’ fulang àrdachaidhean dσ agus dε. An uair sin nì an fheachd σdF air an t-slighe dε * dl obair σdF * dεdl = σdεdV, ma tha dV a’ comharrachadh meud a’ phìos. Ma dh’èireas an cuideam bho neoni gu a luach deireannach agus an sìneadh a rèir sin bho 0 gu ε, bidh an obair iomlan a chaidh a dhèanamh gach aonad tomhas-lìonaidh mar a leanas:

Mar an ceudna tha e airson eileamaid air a luchdachadh le cuideam rùsgaidh τ (fig. 6) an obair deformachaidh a rèir aonad tomhas-lìonaidh (obair deformachaidh shònraichte, comas elastagach):

leis nach eil ach aon de na ceithir feachdan τ * dF a’ dèanamh obair.

Anns a’ chùis choitcheann, nuair a bheir na sia pàirtean de chuideam ionnsaigh air a’ phìos bhunasach, gheibhear an obair deformachaidh shònraichte le bhith a’ cur ri chèile obair nan cuideaman pàirteach fa leth:

(10)

Le bhith a’ diofrachadh a rèir na crìche àrd aig gach aon de na h-ighearan sin gheibhear na dàimhean a tha dligheach anns a’ chùis as coitcheann:

(11)

agus mar sin airson na deformachdan co-phàirteach eile. Ma tha a’ bhuidheann sùbailte, tha an aon staid deformachaidh an-còmhnaidh a’ freagairt ri gach staid shònraichte cuideam, ge bith an deach an staid a ruigsinn rè luchdachadh no rè dì-luchdachadh. An uair sin tha gnìomhan aon-luachach fon integraidhean, agus is e an lùth iomlan a thèid a chosg rè luchdachadh agus an uair sin rè dì-luchdachadh iomlan a = 0, leis gu bheil crìochan àrda nan integraidhean sa chùis seo a’ fàs neoni. Mar sin, gheibhear air ais an lùth iomlan a chaidh a thoirt don bhuidheann rè luchdachadh nuair a thèid a dhì-luchdachadh.

Ìomhaigh 6

Figear 7

Airson corp neo-iomlan-elastach tha an ceangal eadar na h-ìrean cuideam agus na deformaidhean airson a’ chuairt slàn de luchdachadh agus dì-luchdachadh coltach ris an riochd a tha air a shealltainn timcheall air fig. 7 leis na loidhnichean O A B. Tha an lùth a thèid a thoirt a-steach rè luchdachaidh co-ionann ris an raon OAA, agus tha an lùth a thèid a thilleadh aig dì-luchdachadh co-ionann ris an raon ABA, gus am bi an obair a fhreagras air an raon sgàilichte air a call (air a thionndadh gu teas). Ma dh’atharraicheas an cuideam gu h-àireamhach ann am pròiseas crathaidh eadar an luach crìche deimhinneach agus an luach crìche àicheil bidh an deformachadh neo-elastach a’ dol mar an ceudna ri mar a tha air a shealltainn le loidhnichean briste sa fig. 7 agus rè gach ùine de chrathadh bidh an lùth DABCD air a thionndadh gu teas gach aonad de mheud. Canar histeresis elastach ris a leithid de ghiùlan rè deformachaidh, far a bheil an deformachadh a’ fuireach air dheireadh air a’ chuideam, agus canar lùb histeresis ris a’ chruinneag DABCD.

Obair deformachaidh agus lagh Hooke

Ma chuirear lagh Hooke a-steach do na h-integralan san cho-aontar (10), faodar an t-amalachadh a dhèanamh, agus mar sin gheibhear na h-abairtean airson an obair deformation shònraichte:

(12a)

(12b)

(12c)

Ma chuirear an dàrna de na foirmean sin a-steach don cho-aontar (11), gheibhear a-rithist lagh Hooke, na co-aontaran (8), ann an cruth air fhuasgladh a rèir nam bholtaid. Tha an aithris gu bheil obair an deformachaidh an urra ri co-phàirtean nan deformaidhean, mar a tha air a shealltainn leis a’ cho-aontar (12b), co-ionann mar sin ri lagh Hooke. Nuair a thèid an co-aontar (12c) a dh’eadar-dhealachadh a rèir nam bholtaid, gheibhear

(13)

Tha na foirmlean seo, an taca ris na foirmlean (11), dligheach a-mhàin airson cuirp a tha gan giùlan fhèin a rèir lagh Hooke agus chan urrainnear an cur an sàs nuair a tha na ceanglaichean eadar na cuideaman agus na deformachaidhean eadar-dhealaichte. Tha e so-thuigsinn gu bheil taobh deas nan co-aontaran (13) a’ gabhail a-steach a-mhàin na deformachaidhean co-phàirteach a tha air an adhbharachadh le cuideaman, agus gu bheil a h-uile gin eile a dh’fhaodadh èirigh air sgàth atharrachadh teothachd, crìonadh slaodach, at, ath-chriostalachadh, msaa, air an dùnadh a-mach.

FO-SGRÙDAIDHEAN INTEGRAL ANN AN TEÒIRIDH ELASTICITY

Gluasadan brìgheil. Prionnsabal an lùtha chomasach as ìsle

Mar a ghabhas lagh Hooke, co-aontaran (8) a chur an àite le aon cho-aontar (12b), mar sin faodar, an àite nan cumhachan co-chothromachd, prionnsapal nan gluasadan brìgheil a thoirt a-steach cuideachd, mar phrìomh-lagh meacanaig a tha dligheach gu coitcheann. Tha an lagh seo ag ràdh gu bheil stàitean co-chothromachd air an comharrachadh leis gu bheil an obair iomlan a nì na feachdan uile ann an atharrachadh beag air staid an deformation co-ionann ri neoni. Ma chomharraicheas sinn atharrachaidhean beaga air gluasadan elastaich mar δμ δν, δω, an uairsin nì na feachdan tomhas-lìonaidh a tha air am mìneachadh leis a’ cho-aontar (7) obair bhrìgheil

agus na feachdan uachdar px, py, pz a tha ag obair air an eileamaid dF de uachdar a-muigh a’ chuirp obair 

far a bheil an trì-fhillte iomlan a’ buntainn ris an tomhas-lìonaidh air fad, agus an dà-fhillte ris an uachdar a-muigh air fad den chorp. Airson obrachadh a-mach na h-obrach a nì na feachdan a-staigh, thathar a’ cleachdadh an co-aontar (12b), agus mar sin airson an obair gach aonad tomhas-lìonaidh gheibhear

Air a’ bhunait seo tha prionnsapal nan gluasadan brìgheil a’ toirt seachad

(14)

Ma thèid na luchdan X, Y, Z px, py., pz a thuigsinn mar cho-phàirtean den fheachd thromachd (cuideam fhèin agus luchdachadh a-muigh), tha na h-ionadail air an taobh dheas a’ riochdachadh an lùth phuinnseanta a chaill na luchdan seo, agus tha an taobh chlì a’ riochdachadh àrdachadh lùth phuinnseanta (elastaich) a’ chuirp, gus am bi am prionnsapal seo a’ nochdadh gu bheil lùth phuinnseanta iomlan an giùlain agus nan luchdan a tha na laighe air ann an staid cothromachaidh a’ gabhail luach as àirde no as ìsle. Ma tha an luach as àirde no as ìsle seo na mhinimum, tha an cothromachadh seasmhach.

Tha prionnsapal an ìre as lugha de lùth comasach, air a chur an cèill leis a’ cho-aontar (14), agus an abairt (12b) airson an obair deformation, còmhla ri cumhaichean co-chòrdalachd nan deformachadh (5), (6), a’ riochdachadh siostam de cho-aontaran a tha gu leòr airson teòiridh na h-elastachd a thogail, agus a tha gu bunasach co-ionann ri siostam nan co-aontaran. Faodaidh an siostam seo a bhith gu h-àraidh feumail anns na cùisean far a bheil coileanadh nan co-aontaran diofrachaidh (9) a’ cruthachadh duilgheadasan àireamhachaidh, agus mar sin feumar fuasgladh tuairmseach a shireadh; mar eisimpleir, thèid na gluasadan a ghabhail ro-làimh ann an cumadh freagarrach anns a bheil grunn chonstaintan saor, agus thèid iad sin a dhearbhadh à riatanas gum bi co-aontar (14) air a choileanadh. Mar sin chan fhaighear fuasgladh teann air an duilgheadas, ach dìreach an tuairmse as fheàrr a ghabhas ruigsinn leis an cumadh fuasglaidh a chaidh a thaghadh. Co-dhiù a tha an tuairmse gu leòr an crochadh, sa chiad àite, air an cumadh fuasglaidh a chaidh gabhail ris, agus mar sin tha soirbheas an dòigh seo an eisimeil sgil agus eòlais.

Prionnsapal Castigliano

Fhad ’s a thathar, aig prionnsabal a’ char as lugha de lùth comasach, a’ dèanamh coimeas eadar a h-uile staid deformachaidh a choileanas cumhaichean co-chòrdalachd nan deformachdan agus a’ taghadh às an cuid sin an fheadhainn airson am bi na cuideaman co-fhreagarrach a’ coinneachadh ri cumhaichean cothromachaidh, thathar aig prionnsabal Castigliano a’ dèanamh coimeas eadar a h-uile staid cuideam a choileanas cumhaichean cothromachaidh agus a’ taghadh às an cuid sin an fheadhainn airson am bi na deformachdan co-fhreagarrach a’ coinneachadh ri cumhaichean co-chòrdalachd nan deformachdan. Tha am prionnsabal seo ag ràdh: de na h-uile staid cothromachaidh a ghabhas a bhith ann, ’s ann a thachras gu dearbh an staid ris an co-fhreagair an obair deformachaidh as lugha. Tha prionnsabal Castigliano, còmhla ris a’ cho-aontar (12c) airson an obair deformachaidh agus na cumhaichean cothromachaidh, a’ dèanamh suas siostam cho-aontaran a tha gu leòr airson neart stuthan a dhealbhadh. Leis gu bheil lagh Hooke sa phrionnsapal seo, tha comas a chur an sàs ceangailte ris a’ bharail gum faodar na deformachdan a mhìneachadh gu h-iomlan leis an lagh seo. Tha seo a’ cur feum chan ann a-mhàin air giùlan elastaig loidhneach an stuth, ach tha e cuideachd a’ dùnadh a-mach atharrachaidhean teòthachd.

Giùlan stuthan os cionn nan crìochan elasticity

Tachartasan fo luchdadh statach

Tha deformachadh stuth fo bhuaidh cuideam na iongantas glè iom-fhillte, agus mar sin feumar a dhèanamh nas sìmplidhe ann an diofar dhòighean gus am faodar a thuigsinn. ’S e aon de na sìmplidheachaidhean sin am beachd gun tèid na luchdan a chur an sàs mean air mhean, mar a thèid, mar eisimpleir, a dhèanamh le sampallan rè deuchainnean tensile agus teannachaidh.

Ma thèid slat stàilinn a tha fo luchd tarraing a chur fo luchd a tha a’ dol am meud mean air mhean agus a dilation ε a thomhas, gheibhear an diagram a tha air a shealltainn ann am fig. 8. Aig an toiseach tha an dilation glè bheag agus co-rèireach ris an teannachadh, mar a tha lagh Hooke ag iarraidh. Bhon teannachadh shònraichte a-mach, sguiridh an co-rèireachd agus bidh an dilation a’ meudachadh nas luaithe. Tha e duilich suidheachadh ceart na crìche seo den cho-rèireachd a dhearbhadh. Mar as mionaidiche a bhios an tomhas, ’s ann as ìsle a gheibhear i. Airson a’ mhòr-chuid de stuthan tha i aig σ = 0, agus tha lagh Hooke an uair sin dìreach na chiad thuairmse de ghiùlan elastagach, a’ chiad bhall ann an leasachadh ann an sreath Taylor den ghnìomh ε = ε(σ) faisg air tùs nan co-chomharran.

Ma thèid an t-slat a luchdachadh às, thathar a’ mothachadh, nuair nach robh an teannachadh ro mhòr, gu bheil an deformachadh cuideachd a’ dol à sealladh, a rèir lagh Hooke. Ach tha seo cuideachd ag atharrachadh ma thèid teannachadh sònraichte a tha faisg air a’ chrìoch cho-roinneach, an canar crìoch na h-elasticity ris, a thar-chur; an uair sin tha an deformachadh iomlan a’ dèanamh suas de phàirt elastach (tillidh) agus de phàirt neo-elastach (maireannach). Chan urrainnear crìoch na h-elasticity a dhearbhadh gu mionaideach cuideachd; tha i suidhichte nas ìsle buileach mar as motha a tha cruinneas tomhais. Ge-tà, leis gu bheil cudrom teicnigeach mòr aice, oir tha i a’ riochdachadh a’ chrìoch chudromach ann an cha mhòr a h-uile àireamhachadh ann an neart stuthan, agus aig an aon àm a’ chrìoch far a nochdas a’ chiad mhilleadh maireannach, tha i airson deuchainn shampaill air a mìneachadh gu teann le co-chruinneachadh a chaidh a ghabhail ris, agus mar eisimpleir, mar chrìoch 0.2% tha an teannachadh sin air ainmeachadh far am bi an dilatadh maireannach a’ ruighinn 0.2%.

Dìreach an dèidh do chrìoch na h-elastaigs a bhith air a dol thairis, bidh an deformachadh a’ meudachadh gu h-obann agus faodar fhaicinn leis an t-sùil rùisgte; aig cuideam cha mhòr seasmhach bidh an t-slat a’ sìneadh gu leantainneach. Canar crìoch an t-sruthadh ris a’ chuideam seo. Aig innealan uisgeach airson stuthan a dhearbhadh, faodar lùghdachadh ann an cuideam, barrachd no nas lugha follaiseach, a thoirt fa-near cuideachd an dèidh toiseach an t-sruthadh; mar a tha air a chomharrachadh air fig. 8 leis an lùb bhriste; an uair sin canar a’ chrìoch shuas an t-sruthadh ris a’ mhullach, agus an cuideam seasmhach an t-sruthadh a leanas ris a’ chrìoch ìosal an t-sruthadh.

Cho luath ’s a ruigear leudachadh sònraichte, a tha cha mhòr gu tur neo-elastaigeach, tòisicheas an cuideam ag èirigh a-rithist, agus bidh an stuth a’ cruadhachadh. Anns an raon luchdachaidh seo bidh lùghdachadh follaiseach air an earrann-tarsainn den t-slat air sgàth co-chrìonadh taobhach (neo-elastaigeach), agus tha tuilleadh leasachaidh air an diagram cuideam is deformachaidh an urra sa chiad àite air co-dhiù, nuair a thathar a’ cunntadh an cuideim σ, a bheil an fheachd teannachaidh P a tha ag obair air an t-slat air a roinn leis an earrann thùsail F0 no leis an earrann làithreach F. Airson adhbharan teicnigeach, tha an cuideam P|F0 cudromach. Bidh an cuideam seo a’ ruith tro àrd-ìre ris an canar neart an stuth, agus nuair a thèid an àrd-ìre seo seachad, bidh an t-slat a’ caolachadh gu mòr ann an aon àite agus a’ briseadh. Bidh an “fìor chuideam” P|F a’ dol suas gus an sgrios.

Figear 8.

Tha giùlan mheatailtean eile gu mòr eadar-dhealaichte bhon tuairisgeul a tha air a thoirt seachad an seo. Chan eil sruthadh gu tric follaiseach, agus bidh cruadhachadh a’ tòiseachadh dìreach às dèidh crìoch na h-elastachd a dhol thairis. Ann an stuthan brisg (clach, glainne, concrait) tha deformaidhean neo-elastagach glè bheag sa chumantas, agus eadhon le dilatation beag thig briseadh. Is e an dilatation iomlan a dh’fhuilingeas an stuth gu briseadh tomhas air sìneadh (an aghaidh: brisgeachd) an stuth, agus tha seo air a shònrachadh gu mionaideach airson stàilinn anns na cumhaichean teicnigeach. Ach, leis gu bheil an deformachadh a bharrachd dìreach ro bhriseadh a’ cruinneachadh aig na h-àiteachan faisg air earrann-chrois chaolaichte, gheibhear luach eadar-dhealaichte de dhilatachadh aig briseadh, a rèir an gabhar pàirt nas motha no nas lugha den t-slat mar an fhaid tomhais; mar sin, gus toraidhean aon-chiallach agus coimeasach a choileanadh feumar ro-làimh gabhail ri co-chruinneachadh sònraichte. Mar riaghailt, thathar a’ tomhas an dilatation aig briseadh le bhith a’ comharrachadh an fhaid tomhais Ι = 10 d air slat chruinn le trast-thomhas d mus tèid an deuchainn a dhèanamh, agus bho a leudachadh ΔΙ a’ cunntadh an dilatation aig briseadh εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Ma tha feum air slatan de roinn-tarsainn eile a dhearbhadh, tha an fhaid tomhais air a dhearbhadh a rèir trast-thomhas slat chruinn siolandair aig a bheil an aon raon earrann-tarsainn.

Luchdachadh fad-ùine

A thaobh cùrsa an deuchainn teannachaidh, chan eil e gu mòr diofraichte a bheil an luchd gu ruige fàilligeadh air a mheudachadh taobh a-staigh 10 m mionaid no grunn uairean. Ach, ma tha an luchd ag obair fad bhliadhnaichean no dheicheadan, fo chumhachan àraidh thathar a’ mothachadh gu bheil an deformation eadhon fo chrìoch an t-sruthaidh, fo chuideam seasmhach, a’ fàs gu mall thar ùine. Aig an aon àm, chan eil am pàirt elastic, is e sin am pàirt a dh’fhalbhas nuair a thèid an t-uallach a thoirt air falbh gu tur, ag atharrachadh gu mòr. Canar snàgadh ris an àrdachadh seo ann an deformation neo-elastic a thachras thar ùine fhada. Aig meatailtean, ach a-mhàin luaidhe, chan eil snàgadh cudromach ach aig teodhachd àrd; ge-tà, airson innleadair togail tha pàirt aige ann am concrait a bheir beagan gèillidh fo dhlùthadh, gus am fàs an cuideam anns an daingneachadh teannaichte, ma tha sin ann.

Luchd caochlaideach

Gus am faigheadh na feartan meacanaigeach den stuth, a gheibhear ann an deuchainn tensile, a bhith air an cleachdadh mar thomhas airson luchd ceadaichte nan structaran, tha e riatanach gum bi an stuth, aig gach ath-luchdachadh, comasach air an cuideam a ghiùlan a ghiùlain e aon uair gun mhilleadh. Chan eil an riatanas seo air a choileanadh ma tha an stuth fosgailte do ath-aithris tric air luchdachadh agus dì-luchdachadh, mar a thachras, mar eisimpleir, ann an giùlan a tha air an luchdachadh le feachdan inertial bho innealan nach eil air an cothromachadh gu h-iomlan. Le ath-aithris gu leòr tric air an luchdachadh, faodar pàirt den togail a thoirt gu briseadh eadhon aig cuideam a tha fada fo neart an stuth a chaidh a dhearbhadh le deuchainn statach àbhaisteach. Canar briseadh air sgàth sgìths ris an t-seòrsa briseadh seo. Tha an àireamh n de chuairtean luchdachaidh a dh’fhaodas an stuth a ghiùlan an urra ri meud a’ chuideim σ, agus mar sin tha e nas motha mar as lugha an cuideam. Tha eisimpleir àbhaisteach den eisimeileachd seo ri fhaicinn ann am fig. 9, às am faicear gu bheil crìoch ìosal ann airson neart an stuth, a sheasas e eadhon fo àireamh sam bith de chuairtean luchdachaidh, agus ris an canar neart dîonamach an stuth Tha diagraman den t-seòrsa seo (fig. 9) air an ainmeachadh mar lùban Wӧhler.

Figear 9.

Sàbhailteachd structaran

Tha dà luchd-crìche cudromach airson structaran: an luchd far a bheil a’ chiad mhilleadh maireannach a’ nochdadh (crìoch toraidh), agus an luchd far a bheil comas giùlain an structair air a chall gu tur, agus mar sin bidh e a’ briseadh (crìoch brisidh). Leis gu bheil na barailean aig saidheans an aghaidh stuthan dligheach co-dhiù gu garbh ron chrìoch toraidh (gluasadan beaga, lagh Hooke), faodar sàbhailteachd an aghaidh deformachadh maireannach a mheas gu h-earbsach anns a h-uile cùis anns a bheil e comasach na duilgheadasan matamataigeach a cheannsachadh. Ma tha an cuideam co-rèireach ris an luchd, tha an co-mheas eadar cuideam toraidh agus an cuideam as motha a nochdas san structar co-ionann ris a’ cho-mheas eadar an luchd aig a bheil an toradh a’ tachairt agus an luchd fìor, agus tha e a’ riochdachadh co-èifeachd sàbhailteachd a rèir toraidh. Ach, ann an grunn chùisean chan eil an co-mheas sìmplidh seo ann: lùbadh nuair a thèid teannachadh a chur à dèidh, brùthadh eadar uachdaran bulgach, siostaman aig a bheil an structar caochlaideach agus, rud a tha gu sònraichte mì-fhàbharach, lùbadh le feachd aiseach. Anns na cùisean sin uile faodaidh àrdachadh car beag san luchd leantainn gu àrdachadh mòr ann an cuideam, agus an uair sin chan eil e gu leòr an co-èifeachd sàbhailteachd àbhaisteach a chur air na cuideaman, ach feumar a chur air an luchd.

Chan urrainnear na h-ìomraidhean a thachras an dèidh a’ chrìoch shìneachaidh a bhith air a dhol thairis gus an tèid briseadh a leantainn ach gu càileachdail sa mhòr-chuid de chùisean. Ma tha an stuth sùbailte, bidh na pàirtean far an ruigear a’ chrìoch shìneachaidh an toiseach, agus a tha a’ dì-dhealbhadh nas fhaide fo chuideam seasmhach no fo chuideam a tha a’ dol am meud beagan, a’ gabhail pàirt glè bheag ann an gabhail ri tuilleadh luchdachaidh, gus am bi na pàirtean eile, a tha nas lugha fo chuideam, ma tha e comasach a rèir structair na h-òbrach, a’ gabhail pàirt nas motha ann a bhith a’ giùlan an luchd. Anns an strì seo a dh’ionnsaigh na h-ìrean cuideam a chothromachadh tha tèarmann àraidh de shàbhailteachd, a ghabhas a chleachdadh gu àireamhach mura h-eil an deformachadh maireannach ann am pàirtean fa leth, a thig bho aon luchd mòr a-mhàin, cronail (dòigh an luchd-crìche).

Ma tha an stuth brisg, nochdaidh a’ chiad mhilleadh maireannach ann an sgàinidhean, air sgàth am bi dlùthsachadh eadhon nas làidire de na cuideaman aig an àite ann an cunnart, a dh’adhbhraicheas briseadh sa bhad. Tha briseadh air sgàth sgìths, fiù ’s ann an stuthan sìnte, a’ nochdadh feartan briseadh brisg.

 Na ceanglaichean eadar na cuideaman airson diofar phlèanaichean tar-roinne

Co-aontaran cruth-atharrachaidh

Tha naoi cuideaman co-phàirteach air an dealbh 1, agus tha iad ceangailte ri trì cumhaichean co-chothromachaidh. Faodaidh na sia meudan a tha air fhàgail σx, σy, σz τxy, τyz, τzx luachan sam bith fhaighinn, gu neo-eisimeileach bho chèile, mar a chithear bho dhìolaidhean nan co-aontaran diofraichte de theòiridh na h-elasticity. Ach, nuair a thèid na luachan seo a thoirt seachad, tha staid nan cuideaman ann am puing air choreigin de chorp cruaidh air a dhearbhadh gu tur, i.e. nuair a tha na cuideaman airson trì plèanaichean a tha ceart-cheàrnach ri chèile aithnichte, faodar cuideam airson ceathramh plèana sam bith a tha a’ dol tron phuing sin agus aig a bheil an àbhaist ann an stiùireadh sam bith a dhearbhadh gun teagamh cuideachd.

Anns an fhigear 10 tha tetrahedron OABC air a shealltainn, aig a bheil trì taobhan co-shìnte ri plèanaichean an t-siostaim cho-chomharran x, y, z, agus tha an ceathramh fear na eileamaid uachdair air a stiùireadh gu neo-eisimeileach ABC = dF. Gus a stiùireadh agus stiùireadh an cuideam a thèid troimhe a chomharrachadh, thathar a’ toirt a-steach siostam co-chomharran eile, aig a bheil an ξ-aise ceart-cheàrnach ri dF.

Dealbh 10

Tha an cumha co-chothromachd airson nam feachdan a tha ag obair air an tetrahedron seo ann an stiùireadh na h-aiseal ξ a’ toirt seachad

Ma thèid beachdachadh air gu bheil

gheibhear

agus mar an ceudna bho na cumhaichean cothromachaidh a thaobh axis η:

Seo na co-aontaran a tha a’ frithealadh airson na cuideaman a thomhas ann an cruth-atharrachadh cho-chomharran. Tha e gu sònraichte cudromach beachdachadh a-mhàin air na h-eileamaidean uachdair dF sin far a bheil an t-ais ξ a’ tighinn co-ionann ris an ais z. Gheibhear na pàtrain airson a’ chùis seo le bhith a’ sìmpleachadh nam pàtrain roimhe no gan leughadh gu dìreach à fig. 11:

Sl. 11

Bidh an cuideam àbhaisteach a’ gabhail nan luachan as àirde airson stiùiridhean α = α0 , airson a bheil dσξ/dα = 0. Le bhith a’ dèanamh eadar-dhealachadh gheibhear on cho-aontar (16)

agus mar sin, nuair a thèid an abairt seo a cho-ionnanachadh ri neoni

Bidh an t-strì 0 mar an ceudna na strì rùsgadh iomlan anns na plèanaichean seo, ma tha τyz = τzx = 0. An uair sin, leis a’ cho-aontar (17), tha dà stiùir eadar-cheàrnach air an dearbhadh far a bheil: 1. tha an strì rùsgadh iomlan neoni agus, 2. tha an strì àbhaisteach air luachan fìor-chorrach (as motha agus as lugha). Canar stiùirichean nam prìomh strìthean ris na stiùirichean seo, agus canar prìomh strìthean ris na strìthean co-fhreagarrach. Tha iad air an comharrachadh le σ1 agus σ2 agus faodar an àireamhachadh gu dìreach bhon fhoirmle

 Cearcall Mohr

Faodar co-aontaran (16) a thaisbeanadh gu grafaigeach ann an dòigh shoilleir. Air an adhbhar seo bu chòir an cruth-atharrachadh gu cruth:

Tha na co-aontaran seo a’ riochdachadh, san t-siostam cho-òrdanachaidh σ, τ, cruth paramatrach co-aontar a’ chearcaill, air a tharraing ann am fig. 12, aig a bheil co-chomharran an ionaid σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 agus aig a bheil an rèididheachd

Canar cearcall Mhoir ris a’ chearcall seo. Ma thèid loidhne a tharraing tron phuing x co-shìnte ris a’ ghearradh-tarsainn x =const., tron tèid na cuideaman σx, τxy a ghluasad, gearraidh i an cearcall aig a’ phuing p, ris an canar pòla cearcall Mhoir. Gheàrr gach loidhne pξ a thèid tron phòla seo an cearcall aig a’ phuing ξ, a tha a’ dearbhadh na cuideaman σξ, τξη a thèid a ghluasad tron ghearradh-tarsainn co-shìnte ri pξ.

A thaobh soidhne nan cuideaman rùsgaidh nuair a thathar a’ tarraing cearcall Mhoir, feumar aire a thoirt gu bheil iad air an cur suas ma tha an stiùireadh aca mar a chithear ann am fig. 12c. Mar sin, de dhà chuideam co-cheangailte τxy, τyx, bidh aon an-còmhnaidh deimhinneach agus am fear eile àicheil.

Ri luachan crìche nan cuideaman àbhaisteach σ1, σ2 tha puingean 1 agus 2 air a’ chearcall a’ freagairt, agus tha na loidhnichean _p_1 agus _p_2 a’ toirt seachad stiùiridhean nam prìomh chuideaman.

Chan eil taisbeanadh nan cuideaman a tha nan laighe ann am plèana x-y le cearcall Mhair ceangailte ri beachd sam bith mu na cuideaman σz, τxz, τyz a tha ceart-cheàrnach ris a’ phlèana seo.

Figear 12

Tha sin cuideachd dligheach mar sin airson an staid cuideim trì-thaobhach as coitcheann, ma thathar a’ dèanamh coimeas a-mhàin eadar na plèanaichean gearraidh sin uile a tha uile a’ dol tron aon loidhne, a chaidh a thaghadh an seo mar axis z agus ξ. Leis nach urrainn, a rèir nan co-aontaran cruth-atharrachaidh coitcheann (15), an cuideam àbhaisteach σ a bhith neo-chrìochnach airson plèana gearraidh sam bith, feumaidh gum bi maximum crìche σ1 aige airson plèana air choreigin, agus minimum σ3 airson plèana eile, agus faodaidh an dà chuid, gu dearbh, a bhith àicheil cuideachd. Ma thèid plèana a tharraing tro na vectaran σ1 agus σ3 agus cearcall Mhòir a tharraing (fig. 13)

Ìomhaigh 13

airson na cuideaman a tha san raon seo (i.e. a h-uile treòrachadh ceart-cheàrnach ris an raon seo), tha σ1 agus σ3 nan cuideaman àbhaisteach as motha agus as lugha a dh’fhaodas nochdadh, agus mar sin feumaidh iad a bhith ceart-cheàrnach ri chèile. Ma thèid na treòrachadh 1 agus 3 a lìonadh a-steach le treòrachadh 2, gus am bi na trì treòrachadh sin a’ dèanamh siostam co-chomharran ceart-cheàrnach, agus ma thèid cearcallan Mahr a tharraing airson na plèanaichean 1 ~2 agus 2 ~ 3, an uair sin tha σ2 airson aon de na cearcallan sin as motha, agus airson an tè eile as lugha de na cuideaman àbhaisteach, agus mar sin ann an gearraidhean ceart-cheàrnach ri treòrachadh 1, 2 agus 3 tha an cuideam lomadh co-ionann ri neoni. Canar na prìomh chuideaman ris na trì cuideaman àbhaisteach ceart-cheàrnach σ1, σ2 agus σ3, ris nach eil cuideaman lomadh co-cheangailte.

    Crìoch an t-sruthaidh agus crìoch an fhàilligeadh ann an staid chuideaman spàsail

Canar stàit an cuideim aon-thaobhach, dà-thaobhach no trì-thaobhach rithe, no air dhòigh eile: loidhneach, rèidh no spàsail, a rèir a bheil aon, dhà no na trì prìomh chuideaman uile eadar-dhealaichte bho neoni. A thaobh nam pàirtean togail a thathar a’ cleachdadh mar as trice, is e sin slat shìnte, shàthaichte no chromte, tha an stàit cuideim, co-dhiù aig na h-àiteachan as motha fo luchd, aon-thaobhach, agus mar an ceudna ann an deuchainnean air sìneadh, teannachadh no lùbadh, a thathar ann an deuchainn stuthan a’ cleachdadh cha mhòr a-mhàin airson na cuideaman ceadaichte a dhearbhadh. Air an làimh eile, ann am plaidean air an luchdachadh taobh a-staigh an aon phlèana aca no ceart-cheàrnach ris, a bharrachd air ann an sligean, tha an stàit cuideim dà-thaobhach, agus ann an cuid de chùisean nochdaidh stàitean cuideim trì-thaobhach cuideachd, gus am feumar, stèidhichte air crìoch an t-sruthachaidh agus an sgrios, a chaidh a dhearbhadh ann an stàit cuideim aon-thaobhach, co-dhùnaidhean a tharraing mu ghiùlan an stuth ann an cùis stàit cuideim spàsail.