పదార్థాలు: పదార్థాల బలం మరియు ఎలాస్టిసిటీ సిద్ధాంతం

ఆధారాలు

పదార్థ బలశాస్త్రం యొక్క పని, ఒక ఘన దేహం (ఉదా., నిర్మాణం, నిర్మాణ భాగం లేదా భూమి) ఏ బాహ్య బలాలను తట్టుకోగలదో నిర్ధారించడం. ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి రెండు ప్రమాణాలను ఆధారంగా తీసుకుంటారు: ఒకవైపు, ఒత్తిళ్లు పదార్థ రకంపై ఆధారపడి ఉండే కొన్ని పరిమితులను మించకూడదు; మరోవైపు, బాహ్య మరియు అంతర్గత బలాల మధ్య సమతుల్యం స్థిరంగా ఉండాలి. దీనికి అనుగుణంగా, పదార్థ బలశాస్త్రంలోని అన్ని సమస్యలను “ఒత్తిడి సమస్యలు” మరియు “స్థిరత్వ సమస్యలు” గా విభజించవచ్చు.

రాడ్లు మరియు గీర్డర్లు, అలాగే వాటితో రూపొందించిన మద్దతులు (ట్రస్సులు, ఫ్రేములు) లో నామధోరణుల నిర్ధారణ రెండు దశల్లో జరుగుతుంది. ముందుగా, ఇవ్వబడిన బాహ్య బలాల ఆధారంగా అడ్డ విభాగం ద్వారా బదిలీ అయ్యే అంతర్గత బలాల ఫలిత బలం లెక్కించబడుతుంది; తరువాత ఈ “విభాగ బలాల” నుండి నామధోరణులు నిర్ణయించబడతాయి. ప్రక్రియలోని మొదటి భాగం ప్రత్యేకమైన, విస్తృతమైన శాస్త్రశాఖ అయిన నిర్మాణాల స్థితిస్థాపకత, దీనికి స్వంతంగా అభివృద్ధి చెందిన పద్ధతులు ఉన్నాయి మరియు ఇది సాధారణంగా పదార్థాల ప్రతిఘటన నుండి వేరుగా పరిగణించబడుతుంది; పదార్థాల ప్రతిఘటన యొక్క పని ఇచ్చిన విభాగ బలాల నుండి నామధోరణులను నిర్ణయించడమే.

సామగ్రి బల నిరోధకత యొక్క మౌలిక భావనలు

ఒత్తిడి నిర్వచనానికి ఈ క్రింది ప్రాథమిక పరిశీలనల ద్వారా చేరుకుంటారు. ఒక శరీరంపై బాహ్య బలాల సమతుల్య వ్యవస్థ పనిచేస్తుంది అని అనుకుందాం. మనం ఆ శరీరాన్ని యాదృచ్ఛిక విభాగంతో రెండు భాగాలుగా విభజించి, వాటిలో ఒకదాన్ని దానిపై పనిచేసే బలాలతో పాటు తొలగించామని ఊహించండి; అప్పుడు, బలాల సమతుల్యత మరియు రూపాంతరాల పంపిణీ యథాతథంగా ఉండాలంటే, ఆ భాగం మరో భాగంపై చూపే ప్రభావాన్ని విభాగ ఉపరితలం ద్వారా ప్రసారం అయ్యే అదనపు బలాలతో భర్తీ చేయాలి. ఈ “అంతర్గత” బలాలు విభాగ ఉపరితలంపై నిరంతరంగా పంపిణీ అయి ఉంటాయి, కాబట్టి ఉపరితల మూలకం dF కు dβ బలం సరిపోతుంది. dβ/dF నిష్పత్తిని ఏర్పరచి, dF -> 0 అనే పరిమిత మార్పు చేస్తే, ఆ నిష్పత్తి ఒత్తిడి అని పిలిచే పరిమిత విలువ వైపు దూసుకుపోతుంది. నిర్దిష్ట ఉపరితల మూలకంలో ఒత్తిడి, dβ లాగానే, dF కు లంబ మరియు స్పర్శీయ భాగాలుగా విభజించవచ్చు: సాధారణ ఒత్తిడి σ, కత్తిరింపు ఒత్తిడి τ.

ఒకే బిందువు ద్వారా వేర్వేరు దిశల్లో కోతలను తీసుకుంటే, వాటికి వేర్వేరు ఒత్తిళ్లు కూడా అనుగుణంగా ఉంటాయి. ముఖ్యంగా, శరీరంలో నుంచి చిత్రం 1లో చూపిన మూలక ఘనాన్ని వేరు చేస్తే, దాని ఆరు ఉపరితలాల ప్రతి ఒక్కదానిపై x, y, z సమన్వయ అక్షాల దిశలో మూడు భాగాలుగా విడదీయగల ఒత్తిడి వెక్టర్作用 చేస్తుంది. ఎదురెదురు ఉపరితలాలపై作用 చేసే ఒత్తిళ్లు పరస్పరం, సహజంగా, కేవలం డిఫరెన్షియల్ మేరకే భిన్నంగా ఉంటాయి, కాబట్టి 3 * 3 = 9 భాగీయ ఒత్తిళ్లను వేరు చేయాలి, అవి కింది విధంగా సూచించబడతాయి:

సాధారణ ఒత్తిళ్లు σ కు అవి ఉన్న అక్షం యొక్క సూచిక ఇస్తారు, మరియు అవి తన్యతను కలిగిస్తే ధనాత్మకంగా, సంకోచాన్ని కలిగిస్తే రుణాత్మకంగా పరిగణిస్తారు. షీర్ ఒత్తిళ్లు τ కు రెండు సూచికలు ఇస్తారు; మొదటిది సంబంధిత సాధారణ ఒత్తిడి సూచికతో సమానం, రెండవది షీర్ ఒత్తిడి పనిచేసే దిశలోని అక్షానికి సంబంధించినది. సంబంధిత సాధారణ ఒత్తిడి యొక్క ధన దిశ, ధనాత్మక (రుణాత్మక) సమన్వయ అక్ష దిశలో ఉంటే, షీర్ ఒత్తిడిని కూడా అది ధనాత్మక (రుణాత్మక) సమన్వయ అక్ష దిశలో పనిచేస్తే ధనాత్మకంగా పరిగణిస్తారు.

చిత్రం 1.

 కత్తిరింపు ఒత్తిడుల సంయోగత

ఒక ప్రాథమిక ఘనాకారానికి, చిత్రము 1, x అక్షం పట్ల అన్ని బలాల మోమెంట్ శూన్యమనే షరతును విధిస్తే, పొందబడుతుంది τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. ఇక్కడి నుండి, మరియు y మరియు z అక్షాల కోసం సంబంధించిన మరో రెండు సమీకరణల నుండి, ఒకే సూచికలతో ఉన్న కత్తిరింపు ఒత్తిళ్లు పరస్పరం సమానమని పొందబడుతుంది τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

భాగాల వికృతులు

పైగా నిర్వచించిన ఒత్తిళ్లకు భౌతిక అర్థం ఉందని, బాహ్య బలాల ప్రభావంలో ప్రతి దేహం అనుభవించే నిర్వచనంతో వాటి సంబంధం నుండి తెలుస్తుంది. చిత్రం 2 వికృతికి ముందు దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉండి, dx, dy, dz అంచు పొడవులు కలిగిన ఒక ప్రాథమిక ఘనాన్ని చూపిస్తుంది. వికృతి తర్వాత అంచుల పొడవులను dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz గా సూచించవచ్చు; గుణకాలు εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz ను విస్తరణలు అంటారు. ఇవి ప్రమాణరహిత పరిమాణాలు, మరియు నిర్మాణ రంగంలో పరిగణనలోకి వచ్చే అన్ని పదార్థాలకూ 1 కంటే తక్కువగా ఉంటాయి. అంచుల పొడవులు పెరగడమే కాక, dx * dy * dz అనే ప్రాథమిక ఘనం తన పక్కల మధ్య మొదటిగా ఉన్న సరైన కోణాలలో మార్పును కూడా అనుభవించవచ్చు.

చిత్రం 2. భాగాత్మక వక్రీకరణ

వికృతి తర్వాత, OC అంచు వెంట కలిసే సమతలాల మధ్య కోణం  కు సమానం అనుకుందాం; అలాగే AO అంచు వెంట ఉన్న నూటికి నూరు కోణంలో తగ్గుదల γyz కు, మరియు OB అంచు వెంట తగ్గుదల γzx కు సమానం అనుకుందాం. ఈ మూడు కోణ మార్పులు γxy, γyz, γzxలను స్లిప్పులు అంటారు మరియు అవి కూడా ఎల్లప్పుడూ 1తో పోల్చితే చిన్నవే. ఆరు భాగాల ε మరియు γలతోనే “చిన్న వికృతి” అనే ప్రాథమిక క్వాడర్ యొక్క వికృతి పూర్తిగా నిర్ధారించబడుతుంది. పరిమాణ మూలకం d_V = dx * dy * dz_ లో మార్పు ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, అవుతుంది; ఇక్కడ వికాసాల గుణితాలను అధిక క్రమంలోని చిన్న పరిమాణాలుగా పరిగణించకుండా వదిలివేస్తే, ఘన వికాసం ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) పొందబడుతుంది

స్థానాంతరాలు

ఘన దేహ వికృతిని, దేహంలోని ప్రతి బిందువుకు ఆ బిందువు అనుభవించిన స్థానచలనాన్ని ఇవ్వడం ద్వారా కూడా పూర్తిగా వివరించవచ్చు. కఠిన దేహ స్థానచలనానికి సంబంధించిన పరిమిత పరిమాణ స్థానచలనాలను పరిశీలన నుండి తొలగిస్తే, అవసరమైతే గణనలో కదిలే సమన్వయ వ్యవస్థను స్వీకరించడం ద్వారా, భాగ స్థానచలనాలు μ, ν, ω ఎల్లప్పుడూ చిన్న పరిమాణాల్లో ఉంటాయి, మరియు వాటి సమన్వయాల పట్ల ఉత్పన్నాలు 1 తో పోల్చితే చిన్నవిగా ఉంటాయి. ఆ అనుమానం ప్రకారం, చిత్రం 3 లో OA = dx అనే రేఖా అంశం వికృతి తర్వాత పొడవు

అందువల్ల  (3)

ఇలాగే, చిత్రం 3 నుండి కూడా γxy γ1 + γ2 అని కనిపిస్తుంది: అలాగే

 (4)

చిత్రం 3 జారింపు

(5)  (6)

ఈ సంబంధాలను అనుకూలత పరిస్థితులు అంటారు; ఇవి వంకరపడిన అంశాలు ఒక మోజాయిక్‌లా కలిసిపోయి, స్థలం నిరంతరంగా నిండి ఉండేలా చేయగలవని సూచిస్తాయి, కానీ అంశాల వంకరలు యాదృచ్ఛికంగా ఉంటే ఇది సాధ్యం కాదు. అనుకూలత పరిస్థితులు డిఫరెన్షియల్ సమీకరణాలు, కాబట్టి, సహజంగానే, ప్రతి విడి ఘనానికి సంబంధించిన ఆరు భాగ వంకరలు పరస్పరం స్వతంత్రంగా ఉంటాయి; అయితే ఏ పరిమితంగా విస్తరించిన ప్రాంతంలోనైనా వాటి అమరికలు (5) మరియు (6) పరిస్థితులతో బంధించబడి ఉంటాయి.

ఈ షరతులు (3) మరియు (4 ) సమీకరణాల నుంచి భిన్నీకరణ ద్వారా పొందినందున, వాటి ఉత్పత్తి సమయంలో మూల సమీకరణాలలో ఉన్న సంబంధాలలో కొంత భాగం కోల్పోతుంది. అందుకే ఈ రెండు సమీకరణాల సమితుల్లో ఒక్కదాన్ని మాత్రమే తీరుస్తే సరిపోదు; వికృతి అనుకూలత హామీ కావాలంటే రెండు సమితుల సమీకరణాలనూ తీరాలి.

స్థితిస్థాపకత యొక్క భిన్న సమీకరణాలు వ్యవస్థ

స్థితిస్థాపక దేహాలలో ఒత్తిడి మరియు వికృతులను గణించడానికి క్రింది సమీకరణాలు ఉపయోగిస్తారు:

ఘన అంశం సమతుల్యత షరతులు. మూడు అక్షాల చుట్టూ ఉన్న మోమెంట్లు సున్నాకు సమానంగా ఉండాలనే షరతులు ఇప్పటికే సమీకరణ (1) ఉత్పన్నంలో ఉపయోగించబడ్డాయి. బలాల సమతుల్యత షరతులు చిత్రం 4 ప్రకారం ఇస్తాయి

చిత్రం 4

(7a-c)

X, Y, Z లతో పరిమాణ బలాల భాగాలను (ఉదా., బరువు, కేంద్రాపసార బలం) యూనిట్ పరిమాణానికి సూచిస్తే. ఒత్తిడులు మరియు వికృతుల మధ్య సంబంధాలు. దీనితో ఒత్తిడి భాగాలు మరియు వికృతి భాగాల మధ్య సంబంధం ఉద్దేశించబడుతుంది. సాగే సిద్ధాంతంలో సాధారణంగా రేఖీయ సంబంధమే పరిగణనలోకి వస్తుంది, అది Hooke-ov నియమంతో వ్యక్తమవుతుంది:

(8a-c)

(8d-f)

సమీకరణలు (8a-c) ను ఒత్తిడుల పరంగా పరిష్కరిస్తే, ఇలా లభిస్తుంది

(8 a)

kso మరియు రెండు అనువర్తిత సమీకరణాలు. సమీకరణ (8) ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన Hooke-వ నియమం ఖచ్చితంగా నెరవేరే ప్రకృతి నియమం కాదు, బదులుగా వాస్తవ ప్రవర్తనకు ఒక ఆదర్శీకరణ మాత్రమే; అది పదార్థం మరియు ఒత్తిడి పరిమాణాన్ని బట్టి దీనినుండి ఎక్కువ లేదా తక్కువగా భిన్నంగా ఉంటుంది. సంక్లిష్టమైన, అరేఖీయమైన ఒత్తిడి-వికృతి సంబంధాలతో కూడిన పదార్థ బల నిరోధకత సమస్యలను గణితపరంగా పరిష్కరించడం చాలా ఎక్కువ కష్టాలను కలిగిస్తుంది మరియు నిజంగా అత్యంత సరళమైన సందర్భాల్లో మాత్రమే అమలు చేయవచ్చు కనుక, Hooke-వ నియమం నుండి గణనీయంగా భిన్నంగా ప్రవర్తించే పదార్థాలకైనా (కాంక్రీట్!) దానిపై ఆధారపడిన లెక్కలను మొదటి, మరియు ఎక్కువగా ఏకైక సన్నిహిత పరిష్కారంగా ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది; అంతేకాక అవి సాధారణంగా చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి మరియు కేవలం గుణాత్మకమైనదానికంటే ఎక్కువగా అవగాహనను ఇస్తాయి. G = E|2 (1+μ).

ఇది తప్పనిసరిగా ఒత్తిడి మరియు రూపాంతరం మధ్య సంబంధం (8), ఒత్తిళ్ల కోసం మార్పిడి సమీకరణాలు (16) మరియు భాగ రూపాంతరాల కోసం సంబంధిత సమీకరణ వ్యవస్థ నుండి వస్తుంది. E మరియు G కి ఒత్తిడి పరిమాణమే ఉంటుంది, అలాగే ఏర్పడగల σ మరియు τ ఒత్తిళ్లతో పోలిస్తే అన్ని నిర్మాణ పదార్థాల్లో ఇవి ఎక్కువగా ఉంటాయి. అయితే ఈ వాస్తవంపై స్థితిస్థాపకత సిద్ధాంతంలో ఎక్కడైనా స్వీకరించిన అనుమానం ఆధారపడింది, అంటే రూపాంతరాలు చిన్నవిగా ఉంటాయని. అడ్డ విస్తరణ గుణకం (Poisson సంఖ్య) μ పరిమాణరహితం మరియు ఎల్లప్పుడూ 0 మరియు 1/2 మధ్య ఉంటుంది .

కాంపోనెంటల్ వికృతులు మరియు స్థానచలనాల మధ్య సంబంధాలు. ఈ సంబంధాలు సమీకరణాలు (3), (4) ద్వారా ఇవ్వబడ్డాయి. అవి పూర్తిగా జ్యామితీయ స్వభావం కలవి. ఈ మూడు వ్యవస్థలు 3+6+6=15 సమీకరణలను 15 తెలియని చరరాసుల కోసం ఇస్తాయి, అంటే 6 కాంపోనెంటల్ ఒత్తిళ్లు, 6 కాంపోనెంటల్ వికృతులు మరియు 3 కాంపోనెంటల్ స్థానచలనాలు. కాబట్టి ఇవి ఈ తెలియని చరరాసులను నిర్ధారించడానికి సరిపోతాయి. ఇంత విస్తృతమైన డిఫరెన్షియల్ సమీకరణాల వ్యవస్థను గణితపరంగా పరిష్కరించడం, సహజంగానే, ప్రత్యేక సందర్భాల్లో మాత్రమే సాధ్యం. సమీకరణ (8) లో కాంపోనెంటల్ వికృతులను సమీకరణాలు (3) మరియు (4) ప్రకారం కాంపోనెంటల్ స్థానచలనాలతో భర్తీ చేసి, తరువాత సాధారణ ఒత్తిళ్లు σ మరియు కత్తిరింపు ఒత్తిళ్లు τ, సమీకరణాలు (8 d - f) ప్రకారం, సమతుల్యత నిబంధనలైన సమీకరణ (7) లో ప్రవేశపెట్టినప్పుడు, ఎలాస్టిసిటీ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక సమీకరణలు అని పిలువబడే డిఫరెన్షియల్ సమీకరణాలు లభిస్తాయి.

(9)

ఇందులో  ద్వారా లాప్లాస్ ఆపరేటర్ సూచించబడింది. (2) ప్రకారం ఇవి μ, ν, ω అనే మూడు భాగ స్థానచలనాలతో కూడిన మూడు డిఫరెన్షియల్ సమీకరణలు; వీటినుంచి, (3), (4) మరియు (8) ఆధారంగా వ్యుత్పన్నీకరణ ద్వారా అన్ని భాగీయ నామధోరణులు మరియు వక్రీభావాలు పొందవచ్చు. సమీకరణలు (9) ప్రత్యేక సందర్భాల అధ్యయనానికి తరచుగా అనుకూలమైన ప్రారంభ బిందువును సూచిస్తాయి.

వికృతి పని

నిర్వచనం

ఒక ఆధారాన్ని లోడ్ చేసినప్పుడు, బయటి బలాల ప్రయోగ బిందువులు సాగే స్థితిగత మార్పులను అనుభవిస్తాయి, మరియు బలాలు ఆ సమయంలో కొంత పని చేస్తాయి. ఈ విధంగా అందించబడిన శక్తి వివిధ రూపాలకు మారవచ్చు. లోడ్ ఒక్కసారిగా పెట్టినప్పుడు, అంటే వికృతి ప్రక్రియకు గణనీయమైన వేగం ఉన్నప్పుడు, ఈ శక్తిలో ఒక భాగం గతి శక్తిగా మారుతుంది, అది కాలక్రమంలో వ్యయమవుతుంది; అది భూమికి ఒక స్థితిస్థాపక తరంగంగా చేరి అనంతంలో నశించడం ద్వారా కావచ్చు లేదా అంతర్గత ఘర్షణ ద్వారా వేడిగా మారడం ద్వారా కావచ్చు. లోడ్లు అంత నెమ్మదిగా పెట్టినప్పుడు గమనించదగిన గతి శక్తి పెరుగుదల ఏర్పడకపోతే, అంటే శూన్యం నుండి క్రమంగా పెరుగుతున్న లోడ్లు అంతర్గత బలాలతో నిరంతర సమతుల్యంలో ఉన్నప్పుడు, ఆ శక్తి స్పష్టంగా కేవలం దేహాన్ని వికృతిపరచడానికే ఖర్చవుతుంది, అప్పుడు దానిని వికృతి పని అంటారు.

వక్రీకరణ పనిని లెక్కించడాన్ని ముందుగా ఒకే దిశలో లాగింపు భారం మోసే చిన్న భాగంపై చూపిస్తాము (ఆకు. 5).

ఉన్న ఒత్తిడి σ మరియు తగిన విస్తరణ ε కు dσ మరియు dε అనే పెరుగుదలలు కలుగుతాయని అనుకుందాం. అప్పుడు σdF బలం dε * dl మార్గంలో పని చేస్తుంది, మరియు dV ను చిన్న భాగం వాల్యూమ్‌గా సూచిస్తే, σdF * dεdl = σdεdV. ఒత్తిడి శూన్యం నుండి తన తుది విలువ వరకు పెరిగి, దానికి అనుగుణంగా విస్తరణ కూడా 0 నుండి ε వరకు పెరిగితే, ఘనత యూనిట్‌కు మొత్తం చేసిన పని ఇలా ఉంటుంది:

అదే విధంగా, కత్తిరింపు ఒత్తిడి τ తో లోడైన అంశం కోసం (ఫిగ్. 6) యూనిట్ పరిమాణానికి వికృతి పని (ప్రత్యేక వికృతి పని, ఇలాస్టిక్ పొటెన్షియల్):

దీంతో నాలుగు బలాలలో కేవలం ఒకటి τ * dF మాత్రమే పని చేస్తుంది.

సాధారణ సందర్భంలో, ఒక మూలక భాగంపై ఆరు భాగ ఒత్తిడులన్నీ ప్రభావం చూపినప్పుడు, ప్రతి భాగ ఒత్తిడి చేసిన పనులను కలిపి నిర్దిష్ట వికృతి పని పొందబడుతుంది:

(10)

ఈ సమాకలనాల ప్రతీదాని పై పరిమితి ప్రకారం వ్యుత్పన్నం చేయడం ద్వారా, అత్యంత సాధారణ సందర్భంలో వర్తించే సంబంధాలు లభిస్తాయి:

(11)

మరియు ఇతర భాగాల వికృతులకు కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. శరీరం లోచించగలిగినదైతే, ప్రతి నిర్దిష్ట ఒత్తిడి స్థితికి ఎప్పుడూ అదే వికృతి స్థితి అనుగుణంగా ఉంటుంది, అది లోడింగ్ సమయంలో చేరినా లేదా అన్‌లోడింగ్ సమయంలో చేరినా సంబంధం లేదు. అప్పుడు సమాకలికల క్రింద ఏకార్థ ఫంక్షన్లు ఉంటాయి, మరియు లోడ్ చేసిన తర్వాత పూర్తిగా అన్‌లోడ్ చేయడానికి ఖర్చైన మొత్తం శక్తి a = 0, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో సమాకలికల పై సరిహద్దులు సున్నాగా మారుతాయి. కాబట్టి, లోడింగ్ సమయంలో శరీరానికి అందించిన మొత్తం శక్తి అన్‌లోడింగ్ సమయంలో తిరిగి పొందబడుతుంది.

చిత్రం 6

చిత్రం 7

పూర్తిగా ఇలాస్టిక్ కాని శరీరానికి, మొత్తం లోడింగ్ మరియు అన్‌లోడింగ్ చక్రంలో ఒత్తిళ్లు మరియు వంకరల మధ్య సంబంధం సుమారు చిత్రం 7 లోని O A B. రేఖలతో చూపిన రూపంలో ఉంటుంది. లోడింగ్ సమయంలో అందించిన శక్తి OAA, ప్రాంతానికి సమానం; అన్‌లోడింగ్ సమయంలో తిరిగి పొందిన శక్తి ABA, ప్రాంతానికి సమానం; అందువల్ల షేడెడ్ ప్రాంతానికి అనుగుణమైన పని నష్టం అవుతుంది (ఉష్ణంగా మారుతుంది). ఒక ఆందోళనాత్మక ప్రక్రియలో ఒత్తిడి సానుకూల పరిమిత విలువ మరియు ప్రతికూల పరిమిత విలువ మధ్య క్రమానుసారంగా మారితే, ఇలాస్టిక్ కాని వంకరం చిత్రం 7 లో చూపినట్టు డాటెడ్ రేఖల వెంట ప్రవహిస్తుంది మరియు ప్రతి ఆందోళనావర్తనంలో పరిమాణ యూనిట్‌కు DABCD శక్తి ఉష్ణంగా మారుతుంది. వంకర సమయంలో వంకరం ఒత్తిడికి వెనుకబడే ఈ ప్రవర్తనను ఇలాస్టిక్ హిస్టరిసిస్ అంటారు, మరియు DABCD వక్రాన్ని హిస్టరిసిస్ లూప్ అంటారు.

రూపాంతర పని మరియు హూక్ చట్టం

సమీకరణ (10) లోని సమాకలాలలో Hooke-వ నియమాన్ని ప్రవేశపెడితే, సమాకలనం చేయవచ్చు, తద్వారా నిర్దిష్ట వికృతి పనికి ఈ వ్యక్తీకరణలు లభిస్తాయి:

(12a)

(12b)

(12c)

ఈ ఆకారాలలో రెండవదాన్ని సమీకరణ (11)లో ప్రతిస్థాపిస్తే, మళ్లీ హుక్ - యొక్క నియమం, సమీకరణలు (8), ఒత్తిడుల రూపంలో పరిష్కరించబడిన రూపంలో లభిస్తుంది. డిఫార్మేషన్ పని భాగాల డిఫార్మేషన్లపై ఆధారపడి ఉంటుంది, సమీకరణ (12b)లో చూపినట్లుగా, అనే ప్రకటన అందువల్ల హుక్ నియమానికి సమానమే. సమీకరణ (12c)ను ఒత్తిడుల పరంగా వ్యుత్పన్నం చేస్తే, పొందబడేది

(13)

ఈ నమూనాలు, (11) నమూనాలతో భిన్నంగా, హుక్ చట్టం ప్రకారం ప్రవర్తించే దేహాలకే వర్తిస్తాయి, మరియు ఒత్తిడులు మరియు వికృతుల మధ్య సంబంధాలు భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు వీటిని ఉపయోగించలేము. అర్థం ఏమిటంటే, సమీకరణల (13) కుడి వైపున ఒత్తిడుల వల్ల కలిగిన భాగాత్మక వక్రీకరణలు మాత్రమే ఉంటాయి; ఉష్ణోగ్రత మార్పు, క్రీప్, ఉబ్బడం, పునఃస్ఫటికీకరణ మొదలైన కారణాల వల్ల సంభవించగల మిగతావన్నీ మినహాయించబడతాయి.

ఎలాస్టిసిటీ సిద్ధాంతంలోని సమగ్ర సూత్రాలు

ఆభాస స్థానచలనాలు. సంభావ్య శక్తి కనిష్ఠ సూత్రం

హూక్ నియమాన్ని, సమీకరణలను (8) ఒకే సమీకరణ (12b)తో భర్తీ చేయగలిగినట్లే, సమతుల్యత షరతుల స్థానంలో కూడా వర్చువల్ స్థానచలనాల సూత్రాన్ని సాధారణంగా వర్తించే ప్రాథమిక యాంత్రిక నియమంగా ప్రవేశపెట్టవచ్చు. ఈ నియమం, రూపాంతర స్థితిలో చిన్న మార్పు జరిగినప్పుడు అన్ని బలాలు కలిపి చేసిన పని సున్నా అని సమతుల్య స్థితులు లక్షణంగా కలిగి ఉంటాయని తెలియజేస్తుంది. చిన్న స్థితిస్థాపక స్థానచలన మార్పులను δμ δν, δω గా సూచిస్తే, సమీకరణ (7) ద్వారా నిర్వచించబడిన పరిమాణ బలాలు వర్చువల్ పనిని చేస్తాయి

మరియు శరీరపు బయటి ఉపరితలంలోని dF మూలకంపై పనిచేసే ఉపరితల బలాలు px, py, pz పని 

ఇందులో త్రిగుణ సమాకలనం మొత్తం పరిమాణానికి సంబంధించినది, మరియు ద్విగుణ సమాకలనం దేహం యొక్క మొత్తం బాహ్య ఉపరితలానికి సంబంధించినది. అంతర్గత బలాలు చేసే పనిని గణించడానికి సమీకరణ (12b) ఉపయోగిస్తారు, అప్పుడు యూనిట్ పరిమాణానికి పని పొందబడుతుంది

ఆ ఆధారంపై వర్చువల్ స్థానచలనాల సూత్రం ఇస్తుంది

(14)

లోడ్లు X, Y, Z px, py., pz లను గురుత్వ బలంలోని భాగాలుగా (స్వంత బరువు మరియు బాహ్య లోడ్) పరిగణిస్తే, కుడి వైపున ఉన్న సమాకలనాలు ఈ లోడ్లు కోల్పోయిన సామర్థ్య శక్తిని సూచిస్తాయి, కాగా ఎడమ వైపు శరీరంలోని సామర్థ్య (స్థితిస్థాపక) శక్తి పెరుగుదలను సూచిస్తుంది; అలా ఈ సూత్రం సమతుల్య స్థితిలో బీమ్ మరియు దానిపై ఉన్న లోడ్ల మొత్తం సామర్థ్య శక్తి ఒక అత్యంత విలువను పొందుతుందని తెలియజేస్తుంది. ఈ అత్యంత విలువ కనిష్టమైతే, సమతుల్యం స్థిరంగా ఉంటుంది.

కనిష్ఠ సంభావ్య శక్తి సూత్రం సమీకరణ (14) ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది, రూపభంగ పనికి సంబంధించిన వ్యక్తీకరణ (12b) మరియు వక్రీభావ అనుకూలత షరతులు (5), (6) ఎలాస్టిసిటీ సిద్ధాంతం నిర్మాణానికి సరిపడే సమీకరణల వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి, ఇది ప్రాథమికంగా సమీకరణల వ్యవస్థకు సమానమైనదే. ఈ వ్యవస్థ, డిఫరెన్షియల్ సమీకరణలు (9) ను తీరుస్తే లెక్కింపు కష్టాలు ఎదురయ్యే సందర్భాల్లో, ముఖ్యంగా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది; అందువల్ల సుమారు పరిష్కారం వెతకాలి. ఉదాహరణకు, స్థానచలనాల కోసం ముందుగానే అనువైన రూపాన్ని ఊహించి, కొన్ని స్వేచ్ఛా స్థిరాంకాలను కలిగి ఉండేలా చేసి, వాటిని సమీకరణ (14) తీరేలా నిర్ణయిస్తారు. ఇలా చేయడం వల్ల సమస్యకు కచ్చితమైన పరిష్కారం రాదు, ఎంపిక చేసిన పరిష్కార రూపంతో సాధించగలిగిన ఉత్తమ అంచనా మాత్రమే లభిస్తుంది. అంచనా సరిపోతుందా లేదా అనేది ప్రధానంగా స్వీకరించిన పరిష్కార రూపంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ విధానాన్ని విజయవంతంగా ఉపయోగించడానికి నైపుణ్యం మరియు అనుభవం అవసరం.

కాస్టిగ్లియానో సూత్రం

కనిష్ఠ సంభావ్య శక్తి సూత్రంలో, వంకరల అనుకూలత నిబంధనలను తీరుస్తున్న అన్ని వికృతి స్థితులను పోల్చి, వాటిలో సంబంధిత ఒత్తిళ్లు సమతుల్యత నిబంధనలను తీరుస్తున్న వాటిని వేరు చేస్తారు; కాగా కాస్టిగ్లియానో సూత్రంలో సమతుల్యత నిబంధనలను తీరుస్తున్న అన్ని ఒత్తిడి స్థితులను పోల్చి, వాటిలో సంబంధిత వికృతులు వంకరల అనుకూలత నిబంధనలను తీరుస్తున్న వాటిని వేరు చేస్తారు. ఈ సూత్రం ఇలా ఉంటుంది: సాధ్యమైన అన్ని సమతుల్యత స్థితులలో, వాస్తవంగా జరిగేది కనిష్ఠ వికృతి పనికి సరిపోలినది. కాస్టిగ్లియానో సూత్రం, వికృతి పనికి సమీకరణ (12c) మరియు సమతుల్యత నిబంధనలతో కలిసి, పదార్థ ప్రతిఘటన నిర్మాణానికి సరిపడే సమీకరణాల వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తుంది. ఈ సూత్రంలో హుక్ చట్టం ఉన్నందున, దీని వినియోగ సాధ్యత వికృతులను ఈ చట్టంతో పూర్తిగా వివరించగలమనే ఊహపై ఆధారపడి ఉంటుంది. దీని కోసం పదార్థం రేఖీయ స్థితిస్థాపక ప్రవర్తనను మాత్రమే కాకుండా, ఉష్ణోగ్రత మార్పులను కూడా నిరోధిస్తుంది.

స్థితిస్థాపక పరిమితులకన్నా పైగా పదార్థాల ప్రవర్తన

స్థిర లోడింగ్ సమయంలో జరిగే పరిణామాలు

ఒత్తిడుల ప్రభావంలో పదార్థం వికృతి చెందడం అత్యంత సంక్లిష్టమైన సంఘటన, అందువల్ల దాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి వివిధ దిశల్లో సరళీకరించాల్సి వస్తుంది. ఈ సరళీకరణలలో ఒకటి భారాలు క్రమంగా వేయబడతాయని భావించడం; ఉదాహరణకు, లాగుడు మరియు పీడన పరీక్షల సమయంలో నమూనాలపై చేయునట్లు.

ఒక లాగింపునకు లోనైన ఉక్కు కడ్డీని క్రమంగా పెరుగుతున్న భారం కింద ఉంచి, దాని విస్తరణ ε ను కొలిస్తే, చిత్రం 8 లో చూపిన డయాగ్రామ్ లభిస్తుంది. ప్రారంభంలో విస్తరణ చాలా చిన్నదిగా ఉంటుంది మరియు హుక్ చట్టం కోరినట్లుగా ఒత్తిడికి అనుపాతంగా ఉంటుంది. ఒక నిర్దిష్ట ఒత్తిడి నుండి ఈ అనుపాతం ముగిసి, విస్తరణ వేగంగా పెరుగుతుంది. ఈ అనుపాతత్వ సరిహద్దు యొక్క ఖచ్చిత స్థానం నిర్ధారించడం కష్టం. కొలత ఎంత ఖచ్చితంగా ఉంటే, అది అంత తక్కువగా లభిస్తుంది. చాలా పదార్థాల కోసం అది σ = 0 వద్ద ఉంటుంది, మరియు హుక్ చట్టం అప్పుడు కేవలం స్థితిస్థాపక ప్రవర్తనకు మొదటి సుమారు అంచనాగా, అంటే координేట్ ప్రారంభం సమీపంలో ε = ε (σ) ఫంక్షన్ యొక్క టేలర్ శ్రేణి విస్తరణలో మొదటి పదంగా మాత్రమే ఉంటుంది.

కడ్డీపై లోడును తీసివేసినప్పుడు, ఒత్తిడి అధికంగా లేకపోతే, హుక్ నియమం ప్రకారం వికృతి కూడా తొలగిపోతుందని గమనించవచ్చు. కానీ సానుపాత పరిమితి సమీపంలో ఉన్న ఒక నిర్దిష్ట ఒత్తిడిని మించితే, ఇది కూడా మారిపోతుంది; అప్పుడు మొత్తం వికృతి స్థితిస్థాపక (తిరిగి వచ్చే) మరియు అస్థితిస్థాపక (స్థిరమైన) భాగాలుగా ఉంటుంది. స్థితిస్థాపక పరిమితిని కూడా ఖచ్చితంగా నిర్ణయించలేం; కొలతల ఖచ్చితత్వం ఎంత ఎక్కువగా ఉంటే అది అంత తక్కువగా ఉంటుంది. అయితే దానికి గొప్ప సాంకేతిక ప్రాధాన్యం ఉన్నందున, ఇది పదార్థ బలం సంబంధిత దాదాపు అన్ని లెక్కల్లో ప్రాముఖ్యత సరిహద్దును సూచిస్తుంది మరియు అదే సమయంలో మొదటి శాశ్వత నష్టాలు ఉద్భవించే సరిహద్దు కూడా, నమూనాల పరీక్ష కోసం దాన్ని ఒక స్వీకరించిన సంప్రదాయం ద్వారా కచ్చితంగా నిర్వచిస్తారు; ఉదాహరణకు, 0.2% పరిమితిగా స్థిరమైన వికృతి 0.2% చేరే ఒత్తిడిని సూచిస్తారు.

స్థితిస్థాపక పరిమితిని మించిన వెంటనే వికృతి అకస్మాత్తుగా పెరుగుతుంది మరియు కంటికి కనిపిస్తుంది; దాదాపు స్థిరమైన ఒత్తిడిలో కడ్డీ నిరంతరం పొడవవుతుంది. ఈ ఒత్తిడిని ప్రవాహ పరిమితి అంటారు. పదార్థ పరీక్ష కోసం ఉపయోగించే హైడ్రాలిక్ యంత్రాలలో, ప్రవాహం ప్రారంభమైన తరువాత ఒత్తిడి మరింత లేదా తక్కువ స్పష్టంగా తగ్గడాన్ని కూడా గమనించవచ్చు; చిత్రం 8 లో చుక్కల రేఖతో చూపినట్లుగా; అప్పుడు గరిష్ఠాన్ని పై ప్రవాహ పరిమితి అంటారు, ఆ తరువాత వచ్చే స్థిర ప్రవాహ ఒత్తిడిని క్రింది ప్రవాహ పరిమితి అంటారు.

ఒక నిర్దిష్ట విస్తరణను సాధించిన తర్వాత, అది దాదాపు పూర్తిగా అనెళాస్టిక్‌గా ఉంటుంది, ఒత్తిడి మళ్లీ పెరగడం ప్రారంభిస్తుంది; పదార్థం కఠినమవుతుంది. లోడింగ్ యొక్క ఈ ప్రాంతంలో, (అనెళాస్టిక్) పక్క సంకోచం కారణంగా రాడ్ యొక్క అడ్డ విభాగం గణనీయంగా తగ్గుతుంది, మరియు ఒత్తిడి మరియు వికృతి రేఖాచిత్రం యొక్క తదుపరి ప్రవర్తన ప్రధానంగా σ ఒత్తిడిని లెక్కించేటప్పుడు రాడ్‌పై పనిచేసే లాగుదల బలం P ను ఆరంభ విభాగం F0 తో భాగిస్తారా లేదా తక్షణ విభాగం F తో భాగిస్తారా అన్నదానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. సాంకేతిక అవసరాల కోసం ఆసక్తికరమైనది ఒత్తిడి P|F0. ఈ ఒత్తిడి గరిష్ఠాన్ని దాటి పోతుంది, దానిని పదార్థ బలం అంటారు; ఆ గరిష్ఠం దాటినప్పుడు రాడ్ ఒక చోట బాగా సన్నగిల్లి తెగిపోతుంది. “నిజమైన ఒత్తిడి” P|F విరిగే వరకు పెరుగుతుంది.

చిత్రం 8.

ఇతర లోహాల ప్రవర్తన ఇక్కడ వివరించిన దానినుండి అనేక విధాలుగా భిన్నంగా ఉంటుంది. ప్రవాహం చాలా సార్లు స్పష్టంగా కనిపించదు, మరియు ప్రత్యస్థితి పరిమితి దాటిన వెంటనే గట్టిపడటం ప్రారంభమవుతుంది. భంగుర పదార్థాల (రాయి, గాజు, కాంక్రీటు) విషయంలో, అనిలాస్టిక్ వికృతులు సాధారణంగా చిన్నవిగా ఉంటాయి మరియు చిన్న విస్తరణతోనే విరుగుడు సంభవిస్తుంది. పదార్థం విరుగుడువరకు అనుభవించే మొత్తం విస్తరణ, పదార్థం యొక్క లంబత్వం (వ్యతిరేకంగా: భంగురత్వం) యొక్క కొలత, మరియు ఇది ఉక్కు కోసం సాంకేతిక నిబంధనల్లో ఖచ్చితంగా నిర్దేశించబడుతుంది. అయితే, విరుగుడుకు తక్షణం ముందు మరింత వికృతి సన్నని విభాగం ఉన్న చుట్టుపక్కల ప్రాంతాలపై కేంద్రీకరించబడటంతో, కొలత పొడవు కోసం దండం యొక్క పెద్ద లేదా చిన్న భాగాన్ని తీసుకోవడాన్ని బట్టి విరుగుడు వద్ద విస్తరణ యొక్క వేర్వేరు విలువలు లభిస్తాయి; కాబట్టి ఏకార్థకమైన మరియు పరస్పరం సరిపోల్చగల ఫలితాలను పొందడానికి ముందుగానే ఒక నిర్దిష్ట సాంప్రదాయాన్ని స్వీకరించాలి. విరుగుడు వద్ద విస్తరణను సాధారణంగా, వ్యాసం d గల గుండ్రని దండంపై పరీక్షకు ముందు కొలత పొడవు Ι = 10 d గా గుర్తించి, దాని పొడవు పెరుగుదల ΔΙ నుండి విరుగుడు వద్ద విస్తరణ εs_Ι = _ΔΙ|Ι గా లెక్కిస్తారు. అవసరమైతే, వేరే విభాగం కలిగిన దండాలను పరీక్షించాలంటే, కొలత పొడవు సమాన అడ్డ విభాగ విస్తీర్ణం కలిగిన వృత్తాకార సిలిండర్ దండం యొక్క వ్యాసం ప్రకారం నిర్ణయించబడుతుంది.

దీర్ఘకాలిక లోడ్

తన్యత పరీక్ష ప్రక్రియలో, లోడ్ విరిగే వరకు 10 m నిమిషాల్లోనా లేదా కొన్ని గంటల్లోనా పెరుగుతుందా అన్నది చాలా వరకు తేడా లేదు. అయితే, లోడ్ సంవత్సరాలపాటు లేదా దశాబ్దాలపాటు పనిచేస్తే, కొన్ని పరిస్థితుల్లో యీల్డ్ పరిమితికి దిగువన కూడా స్థిర ఒత్తిడిలో కాలక్రమేణా వికృతి స్వల్పంగా పెరుగుతుందని గమనించబడుతుంది. ఇందులో ఇలాస్టిక్ భాగం, అంటే తుది డీకంప్రెషన్ సమయంలో అదృశ్యమయ్యే భాగం, గణనీయంగా మారదు. దీర్ఘకాలంలో జరిగే ఈ నాన్-ఇలాస్టిక్ వికృతి పెరుగుదలను క్రీప్ అంటారు. లోహాల్లో, సీసం మినహా, క్రీప్ అధిక ఉష్ణోగ్రతల వద్ద మాత్రమే ప్రాధాన్యం కలిగి ఉంటుంది; అయితే నిర్మాణ ఇంజనీర్‌కు ఇది కాంక్రీటులో ప్రాధాన్యం కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే అది ఒత్తిడిలో స్వల్పంగా నెమ్మదిగా వదులుతుంది, దాంతో కుదించిన రీన్ఫోర్స్‌మెంట్‌లో, అది ఉంటే, ఒత్తిడి పెరుగుతుంది.

మార్పు లోడ్

లాగింపు పరీక్షలో పొందిన పదార్థాల యాంత్రిక లక్షణాలను నిర్మాణాల అనుమతించదగిన భారానికి ప్రమాణంగా ఉపయోగించాలంటే, పదార్థం ప్రతి మళ్లీ లోడ్ చేసినప్పుడు ఒకసారి నష్టంలేకుండా భరించిన ఒత్తిడిని తట్టుకోవాలి. పదార్థం తరచుగా లోడ్ మరియు అన్‌లోడ్ పునరావృతాలకు గురైనప్పుడు ఈ షరతు నెరవేరదు, ఉదాహరణకు పూర్తిగా సమతుల్యం కాని యంత్రాల జడబలాల వల్ల భారం మోసే బీమ్‌ల విషయంలో ఇది జరుగుతుంది. తగినంత తరచుగా లోడింగ్ పునరావృతమైతే, నిర్మాణ భాగం సాధారణ స్థిర పరీక్షల ద్వారా నిర్ణయించిన పదార్థ బలానికి చాలా దిగువన ఉన్న ఒత్తిడిలో కూడా విఫలమవచ్చు. ఈ రకమైన విఫలతను అలసట వల్ల విఫలత అంటారు. పదార్థం భరించగల n లోడ్ చక్రాల సంఖ్య ఒత్తిడి σ పరిమాణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది; కాబట్టి ఒత్తిడి తక్కువగా ఉంటే ఆ సంఖ్య ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఈ సంబంధానికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణ ఆకు. 9లో చూపబడింది, దాని ద్వారా పదార్థ బలానికి ఒక కనిష్ఠ పరిమితి ఉందని, అది ఎంత పెద్ద లోడ్ చక్రాల సంఖ్యలోనైనా భరించగలదని, మరియు దాన్ని దైనమిక్ పదార్థ బలం అని పిలుస్తారని తెలుస్తుంది. ఈ రకమైన రేఖాచిత్రాలు (ఆకు. 9) Wӧhler వక్రరేఖలు అని అంటారు.

చిత్రం 9.

నిర్మాణాల భద్రత

రెండు పరిమిత లోడ్లు నిర్మాణాల కోసం ముఖ్యమైనవి: మొదటి స్థిర నష్టం కలిగే లోడ్ (yield పరిమితి), మరియు నిర్మాణ సామర్థ్యం పూర్తిగా ఖర్చై అది విరిగే లోడ్ (fracture పరిమితి). yield పరిమితికి ముందు కనీసం సుమారుగా పదార్థ నిరోధకత సూత్రాలు (చిన్న స్థానచలనాలు, Hooke-చట్టం) వర్తిస్తాయి కాబట్టి, శాశ్వత వికృతులకు వ్యతిరేక భద్రతను గణితపరమైన కష్టాలను అధిగమించగలిగిన అన్ని సందర్భాలలో నమ్మకంగా అంచనా వేయవచ్చు. ఒత్తిడి లోడ్‌కు అనుపాతంగా ఉంటే, yield ఒత్తిడి మరియు నిర్మాణంలో కనిపించే గరిష్ట ఒత్తిడి నిష్పత్తి, yield కలిగే లోడ్ మరియు వాస్తవ లోడ్ మధ్య నిష్పత్తికి సమానం, మరియు ఇది yieldకు వ్యతిరేక భద్రతా గుణకాన్ని సూచిస్తుంది. అయితే, అనేక సందర్భాల్లో ఈ సరళ సంబంధం ఉండదు: టెన్షన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోని వంపు, ఉబ్బిన ఉపరితలాల మధ్య పీడనం, నిర్మాణం మారుతూ ఉండే వ్యవస్థలు మరియు, ముఖ్యంగా అనుకూలంగా లేని విషయం, అక్ష బలంతో కూడిన వంపు. ఈ అన్ని సందర్భాల్లో లోడ్‌లో తక్కువ పెరుగుదలే ఒత్తిడిలో పెద్ద పెరుగుదలకు దారితీయవచ్చు; అప్పుడు సాధారణ భద్రతా గుణకాన్ని ఒత్తిడులకు కాకుండా లోడ్‌కు వర్తించాలి.

వచ్చే పరిమితిని దాటి భంగం వరకు జరిగే సంఘటనలను చాలా సందర్భాల్లో ఇంకా కేవలం గుణాత్మకంగా మాత్రమే అనుసరించగలం. పదార్థం నెమ్మదిగా లాగబడే స్వభావమైంది అయితే, ముందుగా యీల్డ్ పరిమితి చేరిన భాగాలు, తరువాత స్థిర ఒత్తిడిలో లేదా స్వల్పంగా పెరుగుతున్న ఒత్తిడిలో మరింత రూపాంతరం చెందేవి, తదుపరి లోడును మోయడంలో తక్కువగా పాల్గొంటాయి; అందువల్ల నిర్మాణంలోని మిగతా, తక్కువగా ఒత్తిడికి లోనైన భాగాలు, దాని నిర్మాణాన్ని బట్టి సాధ్యమైనంతవరకు, మోయడంలో ఎక్కువగా పాల్గొంటాయి. ఒత్తిడి శిఖరాలను సమానీకరించాలనే ఈ ధోరణిలో భద్రతకు ఒక నిర్దిష్ట నిల్వ ఉంటుంది; కొన్ని భాగాలలో ఒక్కటే పెద్ద లోడుతో ఏర్పడిన శాశ్వత రూపాంతరం హానికరం కాకపోతే, దాన్ని గణనాపరంగా ఉపయోగించుకోవచ్చు (పరిమిత లోడ్ విధానం).

పదార్థం భంగురంగా ఉంటే, మొదటి శాశ్వత నష్టం పగుళ్ల రూపంలో కనిపిస్తుంది; వాటి వల్ల ప్రమాదంలో ఉన్న స్థలంలో ఇంకా ఎక్కువ ఒత్తిడి కేంద్రీకరణ ఏర్పడి, వెంటనే విరుగు సంభవిస్తుంది. అలసట వల్ల కలిగే విరుగు, లాగే గుణం ఉన్న పదార్థాలలో కూడా, భంగుర విరిగినట్లే లక్షణాలను చూపుతుంది.

 విభిన్న విభాగ తలాల కోసం ఒత్తిళ్ల మధ్య సంబంధాలు

మార్పిడి సమీకరణాలు

చిత్రం 1 లోని తొమ్మిది భాగీయ ఒత్తిడులు మూడు సమతుల్యత షరతులతో సంబంధించబడ్డాయి. మిగిలిన ఆరు పరిమాణాలు σx, σy, σz τxy, τyz, τzx ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా, ఏ విలువలనైనా పొందగలవు, ఇది స్నిగ్ధత సిద్ధాంతం యొక్క డిఫరెన్షియల్ సమీకరణాల అవకలనంలో కనిపిస్తుంది. అయితే, ఈ విలువలు ఇచ్చినప్పుడు, ఘన దేహంలోని ఏదో ఒక బిందువులో ఒత్తిడి స్థితి పూర్తిగా నిర్ణయించబడుతుంది; అంటే, పరస్పరం లంబమైన మూడు సమతలాల కోసం ఒత్తిడులు తెలిసినప్పుడు, ఇచ్చిన బిందువుగా గుండా పోయే మరియు దాని సాధారణం ఏదైనా దిశలో ఉండే నాలుగో సమతలానికి కూడా ఒత్తిడిని ఏకార్థంగా నిర్ణయించవచ్చు.

చిత్రం 10 లో OABC టెట్రాహెడ్రాన్ చూపబడింది; దాని మూడు ముఖాలు సమన్వయ వ్యవస్థ x, y, z సమతలాలకు సమాంతరంగా ఉన్నాయి, నాలుగోది అనిశ్చిత దిశలో ఉన్న ఉపరితల మూలకం ABC = dF. ను సూచిస్తుంది. దాని దిశను మరియు దాని ద్వారా ప్రసారమయ్యే ఒత్తిడి దిశను సూచించడానికి, రెండో సమన్వయ వ్యవస్థను ప్రవేశపెడతారు, దాని ξ అక్షం dF కు లంబంగా ఉంటుంది.

చిత్రం 10

ξ అక్ష దిశలో ఈ టెట్రాహెడ్రాన్‌పై పనిచేసే బలాల సమతుల్యత నిబంధన ఇస్తుంది

ఇది పరిగణనలోకి తీసుకుంటే

లభిస్తుంది

అలాగే η అక్ష దిశలో సమతుల్య పరిస్థితుల నుండి ఇదే విధంగా:

ఇవి సమన్వయాల మార్పులో ఒత్తిడిని లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సమీకరణలు. ιδιαίτερα σημαντικό的是 कि ఉపరితల అంశాలు dF మాత్రమే పరిగణించబడతాయి, వాటి కోసం ξ-అక్షం z-అక్షంతో సరిపోతుంది. ఈ సందర్భానికి నమూనాలను మునుపటి నమూనాలను సరళీకరించడం ద్వారా లేదా చిత్రం 11 నుండి నేరుగా చదవడం ద్వారా పొందవచ్చు:

చిత్రం 11

సాధారణ ఒత్తిడి α = α0 దిశల వద్ద అత్యధిక మరియు అతి తక్కువ విలువలను పొందుతుంది, వీటి కోసం dσξ/dα = 0. వ్యుత్పన్నం చేస్తే సమీకరణ (16) నుండి

కాబట్టి ఈ వ్యక్తీకరణను శూన్యానికి సమానం చేసినప్పుడు

ఒత్తిడి τξη ఈ సమతలాలలో మొత్తం కత్తిరింపు ఒత్తిడిగాను ఉంటుంది, యెడల τyz = τzx = 0. అప్పుడు సమీకరణ (17) ద్వారా పరస్పరం లంబంగా ఉన్న రెండు దిశలు నిర్ణయించబడతాయి, వాటి కోసం: 1. మొత్తం కత్తిరింపు ఒత్తిడి శూన్యం మరియు, 2. సాధారణ ఒత్తిడి తీవ్ర విలువలు (గరిష్ఠం మరియు కనిష్ఠం) కలిగి ఉంటుంది. ఈ దిశలను ప్రధాన ఒత్తిడుల దిశలు అంటారు, మరియు అనుగుణమైన ఒత్తిడులను ప్రధాన ఒత్తిడులు అంటారు. అవి σ1 మరియు σ2తో సూచించబడతాయి మరియు నేరుగా సూత్రం నుండి లెక్కించవచ్చు

 మోర్ వృత్తం

సమీకరణలు (16)ను స్పష్టంగా గ్రాఫికల్ రూపంలో చూపించవచ్చు. ఇందుకోసం వాటిని ఈ రూపానికి మార్చాలి:

ఈ సమీకరణాలు σ, τ సమన్వయ వ్యవస్థలో, చిత్రంలో 12 గీయబడిన వృత్త సమీకరణ యొక్క పారామెట్రిక్ రూపాన్ని సూచిస్తాయి; దాని కేంద్ర సమన్వయాలు σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 మరియు దాని వ్యాసార్థం

ఈ వృత్తాన్ని Mohr-వృత్తం అంటారు. x బిందువు గుండా x =const. కి సమాంతరమైన రేఖను గీయగానే, దాని ద్వారా σx, τxy ఒత్తిళ్లు ప్రసారమయ్యే ఆ విభాగాన్ని దాటి, అది p అనే బిందువులో వృత్తాన్ని ఛేదిస్తుంది; దానిని Mohr-వృత్తపు ధ్రువం అంటారు. ఈ ధ్రువం గుండా గీయబడిన ప్రతి pξ రేఖ వృత్తాన్ని ξ బిందువులో ఛేదిస్తుంది, అది pξ కి సమాంతరమైన విభాగం ద్వారా ప్రసారమయ్యే σξ, τξη ఒత్తిళ్లను నిర్ధారిస్తుంది.

మోర్ వృత్తాన్ని గీయేటప్పుడు షియర్ ఒత్తిళ్ల సంకేతం విషయంలో, అవి చిత్రం 12c లో చూపిన దిశను కలిగి ఉంటే పైకే వేయబడతాయని గమనించాలి. అందువల్ల పరస్పర అనుబంధమైన τxy, τyx అనే రెండు ఒత్తిళ్లలో ఒకటి ఎప్పుడూ ధనాత్మకం, మరొకటి రణాత్మకం.

సరిహద్దు విలువలైన σ1, σ2 సాధారణ ఒత్తిళ్లకు వృత్తంపై ఉన్న 1 మరియు 2 బిందువులు సరిపోతాయి, మరియు రేఖలు _p_1 మరియు _p_2 ప్రధాన ఒత్తిళ్ల దిశలను ఇస్తాయి.

x-y సమతలంలో ఉన్న ఒత్తిడులను మోర్ వృత్తం ద్వారా చూపించడం ఈ సమతలానికి లంబంగా ఉన్న σz, τxz, τyz ఒత్తిళ్లపై ఎలాంటి అనుమానంపైనా ఆధారపడదు.

చిత్రం 12

అదే విధంగా, అత్యంత సాధారణమైన త్రిమితీయ ఒత్తిడి స్థితికి కూడా ఇది వర్తిస్తుంది, అయితే ఒకే సరళరేఖ గుండా వెళ్లే తెంచు తలాలనే మాత్రమే పోల్చినప్పుడు; ఇక్కడ ఆ రేఖను z మరియు ξ అక్షంగా ఎంచుకున్నారు. సాధారణ రూపాంతర సమీకరణాల (15) ప్రకారం సాధారణ ఒత్తిడి σ ఏ తెంచు తలానికి కూడా అనంతంగా మారలేకపోవడంతో, ఏదో ఒక తలానికి అది పరిమిత గరిష్ఠం σ1ను, మరొకదానికి కనిష్ఠం σ3ను కలిగి ఉండాలి; వీటిలో రెండూ, సహజంగానే, ప్రతికూలంగా కూడా ఉండవచ్చు. σ1 మరియు σ3 వెక్టర్ల ద్వారా ఒక తలం గీసి, మోర్ వృత్తాన్ని (చిత్రం 13) గీసితే

చిత్రం 13

ఈ సమతలంలో ఉన్న ఒత్తిడుల కోసం (అంటే, ఈ సమతలానికి లంబమైన అన్ని దిశలు), τότε σ1 మరియు σ3 సాధ్యమయ్యే అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న సాధారణ ఒత్తిడులు, కాబట్టి అవి పరస్పరం లంబంగా ఉండాలి. 1 మరియు 3 దిశలను 2 దిశతో పూర్తి చేసి, ఈ మూడు దిశలు ఒక కార్టీషియన్ సమన్వయ వ్యవస్థను రూపొందిస్తే, మరియు 1 ~2 మరియు 2 ~ 3 సమతలాల కోసం Mahr వృత్తాలు గీసితే, అప్పుడు σ2 ఈ వృత్తాలలో ఒకదానికి అతిపెద్ద సాధారణ ఒత్తిడి, మరొకదానికి అతిచిన్న సాధారణ ఒత్తిడి అవుతుంది, కాబట్టి 1, 2 మరియు 3 దిశలకు లంబమైన కోతల్లో కోత ఒత్తిడి శూన్యం. పరస్పరం లంబమైన మూడు సాధారణ ఒత్తిడులు σ1, σ2 మరియు σ3, వీటికి కోత ఒత్తిడులు సంబంధించవు, ప్రధాన ఒత్తిడులు అని పిలుస్తారు.

    జారుడు పరిమితి మరియు విరుగు పరిమితి, స్థలిక ఒత్తిడి స్థితిలో

ఒత్తిడి స్థితిని ఒక-మాన, రెండు-మాన లేదా మూడు-మాన స్థితి అని, లేక రేఖీయ, సమతల లేదా స్థలీయంగా కూడా అంటారు; ఇది మూడు ప్రధాన ఒత్తిళ్లలో ఒకటి, రెండు లేదా మూడూ శూన్యానికి భిన్నంగా ఉన్నాయా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అత్యంత ఎక్కువగా ఉపయోగించే నిర్మాణ భాగాల్లో, అంటే టెన్షన్‌లో ఉన్న, పీడనలో ఉన్న, మరియు వంగిన దండాలలో, కనీసం అత్యధికంగా ఒత్తిడికి లోనైన చోట్ల ఒత్తిడి స్థితి ఒక-మానంగా ఉంటుంది; అలాగే పదార్థాల పరీక్షలో అనుమతించదగిన ఒత్తిడులను నిర్ణయించడానికి దాదాపు పూర్తిగా ఉపయోగించే టెన్షన్, పీడనం లేదా వంకర పరీక్షలలో కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, తమ సమతలంలో లేదా దానికి లంబంగా లోడ్ చేయబడిన పలకలలో, అలాగే షెల్‌లలో, ఒత్తిడి స్థితి రెండు-మానంగా ఉంటుంది; కొన్ని సందర్భాల్లో మూడు-మాన ఒత్తిడి స్థితులు కూడా కనిపిస్తాయి, అందువల్ల ఒక-మాన ఒత్తిడి స్థితిలో నిర్ణయించిన యీల్డ్ పరిమితి మరియు విఫలం పరిమితి ఆధారంగా, స్థలీయ ఒత్తిడి స్థితిలో పదార్థ ప్రవర్తన గురించి తేల్చుకోవడం అవసరం.