Grundlag
Materialelæren har til opgave at fastslå, hvilke ydre kræfter et fast legeme kan modstå (f.eks. en bygning, en konstruktionsdel eller jord). For at besvare dette spørgsmål tager man udgangspunkt i to kriterier: på den ene side må spændingerne ikke overskride visse grænser, som afhænger af materialets art, og på den anden side skal ligevægten mellem de ydre og indre kræfter være stabil. I overensstemmelse hermed kan alle materialelærens problemer opdeles i “spændingsproblemer” og “stabilitetsproblemer.”
Ved stænger og bjælker samt bærere sammensat af disse (fagværk, rammer) foretages bestemmelsen af spændinger i to trin, idet man først på grundlag af de givne ydre kræfter beregner resultant af de indre kræfter, som overføres gennem tværsnittet, og derefter bestemmer spændingerne ud fra disse “tværsnitskræfter”. Den første del af proceduren udgør et særligt, omfattende fagområde, bygningsstatik, som har udviklede egne metoder og som normalt adskilles fra materialelære, hvis opgave begrænser sig til at bestemme spændinger ud fra givne tværsnitskræfter.
Grundlæggende begreber inden for materialebestandighed
Til definitionen af spænding kommer man gennem følgende grundlæggende overvejelser. Lad et legeme være påvirket af et ligevægtigt system af ydre kræfter. Lad os forestille os, at vi har delt legemet med et vilkårligt snit i to dele, og at vi har fjernet den ene sammen med de kræfter, der virker på den; da må dens virkning på den anden del, for at kraftsystemets ligevægt og deformationernes fordeling kan forblive uændret, erstattes af supplerende kræfter, der overføres gennem snitfladen. Disse “indre” kræfter er kontinuerligt fordelt over snitfladen, så hvert arealelement dF svarer til en kraft dβ. Hvis man danner forholdet dβ dF og lader grænseovergangen dF -> 0 ske, går dette forhold mod en grænseværdi, som kaldes spænding. Spændingen i et givet arealelement er, ligesom dβ, og kan opløses i en komponent normal og en tangentiel til dF, normalspænding σ og forskydningsspænding τ.
Hvis der føres snit gennem det samme punkt i forskellige retninger, vil de tilsvarende spændinger også være forskellige. Særligt hvis et elementært kvadratisk legeme, vist på fig. 1, udskilles fra kroppen, vil der i hver af dets seks flader virke en spændingsvektor, som kan opløses i tre komponenter i retning af koordinatakserne x, y, z. Spændingerne, der virker på modstående flader, adskiller sig naturligvis kun med et differential, så man skal skelne mellem 3 * 3 = 9 komponentspændinger, som betegnes på følgende måde:
Normalspændingerne σ får et indeks for den akse, i hvis retning de virker, og betragtes som positive, hvis de forårsager træk, negative, hvis de forårsager tryk. Forskydningsspændingerne τ får to indekser; det første er det samme som indekset for den tilsvarende normalspænding, og det andet vedrører den akse, i hvis retning forskydningsspændingen virker. Hvis den positive retning for den tilsvarende normalspænding er i retning af den positive (negative) koordinatakse, betragtes forskydningsspændingen også som positiv, hvis den virker i retning af den positive (negative) koordinatakse.
Figur 1.
Konjugering af forskydningsspændinger
Hvis man for det elementære prisme, fig. 1, opstiller betingelsen, at summen af alle kræfters moment i forhold til x-aksen er nul, fås τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Heraf og af de to tilsvarende ligninger for y- og z-akserne fås, at forskydningsspændinger med samme indeks er indbyrdes lige: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponentdeformationer
At de ovenfor definerede spændinger har fysisk betydning, fremgår af deres forbindelse med den deformation, som ethvert legeme udsættes for under påvirkning af ydre kræfter. Fig. 2 viser et elementært rektangulært prisme, som før deformationen var rektangulært og havde kantlængderne dx, dy, dz. Kantlængderne efter deformationen kan betegnes som dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; forholdene εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz kaldes tøjninger. Det er størrelser uden dimension, og for alle materialer, der kommer i betragtning i byggeriet, er de små i forhold til 1. Ud over forlængelsen af kanterne kan det elementære prisme dx * dy * dz også undergå en ændring af de oprindeligt rette vinkler mellem dets sider.
Figur 2. komponentdeformation
Lad vinklen mellem de planer, der mødes langs kanten OC, efter deformation være lig 
, og lad tilsvarende formindskelsen af den rette vinkel langs kanten AO være lig γyz, og formindskelsen langs kanten OB være lig γzx. Disse tre vinkelændringer γxy, γyz, γzx kaldes forskydninger og er også altid små i forhold til 1. Med de seks komponenter ε og γ er deformationen af det elementære kvader, “lille deformation”, fuldstændigt bestemt. Ændringen af volumen-elementet d_V = dx * dy * dz_ er ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, hvorfra, når dilatationsprodukterne som små størrelser af højere orden negligeres, den kubiske dilatation ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) fås
Forskydninger
Deformation af et fast legeme kan fuldstændigt beskrives også på den måde, at der for hvert af dets punkter angives den forskydning, som punktet har undergået. Hvis man ser bort fra forskydninger af endelig størrelse, som svarer til et stift legemes bevægelse, ved i beregningen om nødvendigt at indføre et bevægeligt koordinatsystem, så er også de komponentspecifikke forskydninger μ, ν, ω altid små størrelser, og deres afledte mht. koordinaterne er små i forhold til 1. Under denne antagelse er ifølge fig. 3 længden af linjeelementet OA = dx efter deformation
altså 
(3)
På samme måde ses det af fig. 3, at glidningen γxy γ1 + γ2: og også
(4)
Fig. 3 glidning
(5) 
(6)
Disse forbindelser kaldes kompatibilitetsbetingelser og angiver, at de deformerede elementer kan sættes sammen som et mosaik, så rummet samtidig bliver kontinuerligt udfyldt, hvilket ikke kan opnås, hvis elementernes deformationer er vilkårlige. Kompatibilitetsbetingelserne er differentialligninger, så naturligvis er alle seks komponentdeformationer for hver enkelt blok indbyrdes uafhængige, men deres fordeling i ethvert endeligt udbredt område er bundet af betingelserne (5) og (6).
Da disse betingelser er opnået ved differentiering af ligningerne (3) og (4), går en del af de sammenhænge, der var indeholdt i de oprindelige ligninger, tabt under udledningen. Derfor er det ikke nok, at kun ét af disse to ligningssystemer er opfyldt; begge systemer af ligninger skal opfyldes, hvis deformationens kompatibilitet skal være sikret.
Differentialligninger for elasticitetssystemet
Til beregning af spændinger og deformationer i elastiske legemer anvendes følgende ligninger:
Ligevægtsbetingelser for et volumenlement. Betingelserne for, at momenterne omkring de tre akser er lig nul, er allerede blevet anvendt ved udledningen af ligning (1). Kraftligevægtsbetingelserne giver ifølge fig. 4
Figur 4
(7a-c)
Hvis komponenterne af volumenkræfterne (f.eks. vægt, centrifugalkraft) pr. volumenhed betegnes med X, Y, Z. Sammenhænge mellem spændinger og deformationer. Dette forstås som sammenhængen mellem komponentspændinger og komponentdeformationer. I elasticitetsteorien er der som regel kun tale om en lineær sammenhæng, som udtrykkes ved Hookes lov:
(8a-c)
(8d-f)
Hvis ligningerne (8a-c) løses med hensyn til spændingerne, fås
(8 a)
kso og to tilsvarende ligninger. Hookes lov udtrykt ved ligning (8) er ikke en strengt opfyldt naturregel, men en idealisering af den faktiske opførsel, som afviger mere eller mindre fra den afhængigt af materialet og belastningens størrelse. Da den matematiske behandling af materialebestandighedsproblemer med komplicerede, ikke-lineære sammenhænge mellem spændinger og deformationer medfører langt større vanskeligheder og i praksis kun kan gennemføres i de enkleste tilfælde, må beregninger baseret på den også for materialer (beton!), hvis opførsel afviger betydeligt fra Hookes lov, anvendes som første og for det meste eneste omtrentlige løsning, som i øvrigt som regel er meget anvendelig og giver en indsigt, der er mere end blot kvalitativ. G = E|2 (1+μ).
Den følger nødvendigvis af sammenhængen mellem spænding og deformation (8), af transformationsligningerne (16) for spændinger og det tilsvarende system af ligninger for komponentdeformationer E og G har spændingsdimension og er for alle byggematerialer store i forhold til de spændinger σ og τ, der kan optræde. På dette faktum bygger den antagelse, der er anvendt overalt i elasticitetsteorien, at deformationerne er små. Koefficienten for tværdeformation (Poissons tal) μ er dimensionsløs og ligger altid mellem 0 og 1/2 .
Sammenhænge mellem komponentdeformationer og forskydninger. Disse sammenhænge er givet ved ligningerne (3), (4). De er rent geometriske af natur. Disse tre systemer giver 3+6+6=15 ligninger for 15 ubekendte, dvs. for 6 komponentspændinger, 6 komponentdeformationer og 3 komponentforskydninger. De er derfor tilstrækkelige til at bestemme disse ubekendte. Den matematiske håndtering af et så omfattende system af differentialligninger er naturligvis kun mulig i særlige tilfælde. Hvis komponentdeformationerne i ligning (8) erstattes af komponentforskydninger i henhold til ligningerne (3) og (4), og de normale spændinger σ og forskydningsspændingerne τ derefter indføres i ligevægtsbetingelserne i henhold til ligningerne (8 d - f), lign. (7), fremkommer de differentialligninger, som kaldes de grundlæggende ligninger i elasticitetsteorien.
(9)
hvorved 
er Laplace-operatoren betegnet. Med hensyn til (2) er dette tre differentialligninger med tre komponentforskydninger μ, ν, ω; heraf kan alle komponentspændinger og deformationer igen ved differentiering på grundlag af (3), (4) og (8) bestemmes. Ligningerne (9) udgør ofte et hensigtsmæssigt udgangspunkt for undersøgelse af særlige tilfælde.
Deformationsarbejde
Definition
Når en bærefunktion belastes, udsættes angrebspunkterne for de ydre kræfter for elastiske forskydninger, og kræfterne udfører samtidig et vist arbejde. På denne måde kan den tilførte energi overgå i forskellige former. Hvis belastningen påføres pludseligt, så deformationsprocessen har en betydelig hastighed, omdannes en del af denne energi til kinetisk energi, som med tiden afspredes, enten ved at den overføres til jorden som en elastisk bølge, der forsvinder i det uendelige, eller ved at den omdannes til varme gennem indre friktion. Hvis belastningerne påføres så langsomt, at der ikke opstår en mærkbar forøgelse af den kinetiske energi, altså at de gradvist voksende belastninger fra nul er i konstant ligevægt med de indre kræfter, bruges energien åbenbart udelukkende til at deformere legemet, og da kaldes den deformationsarbejde.
Beregningen af deformationsarbejdet vil vi først vise på et lille element belastet i ensrettet træk (fig. 5).
Lad den eksisterende spænding σ og den tilsvarende deformation ε undergå tilvæksterne dσ og dε. Så vil kraften σdF på vejen dε * dl udføre arbejdet σdF * dεdl = σdεdV, hvis dV betegner delvolumenet. Hvis spændingen vokser fra nul til sin endelige værdi, og deformationen tilsvarende fra 0 til ε, vil det samlede udførte arbejde pr. volumenenhed være:
På samme måde gælder det for et element belastet med forskydningsspændingen τ (fig. 6), at deformationalt arbejde pr. volumenhed (specifikt deformationalt arbejde, elastisk potentiale):
hvorved kun én af de fire kræfter τ * dF udfører arbejde.
I det generelle tilfælde, når alle seks komponentspændinger virker på et elementært lille område, fås det specifikke deformationsarbejde ved at summere arbejdet fra de enkelte komponentspændinger:
(10)
Ved differentiering med hensyn til den øvre grænse for hvert af disse integraler fås relationer, der gælder i det mest generelle tilfælde:
(11)
og tilsvarende for de øvrige komponentdeformationer. Hvis legemet er elastisk, svarer der til en given spændingstilstand altid den samme deformationstilstand, uanset om tilstanden er nået under belastning eller aflastning. Da står der under integralerne entydige funktioner, og den samlede energi, der medgår ved belastning og derefter fuldstændig aflastning, er a = 0, idet de øvre grænser for integralerne i dette tilfælde bliver nul. Derfor fås den samlede energi, som tilføres legemet under belastning, tilbage ved aflastning.
Figur 6
Figur 7
For et ufuldstændigt elastisk legeme har sammenhængen mellem spændinger og deformationer for hele belastnings- og aflastningscyklussen den form, der omtrent er vist på fig. 7 ved linjerne O A B. Den ved belastning tilførte energi 
er lig arealet OAA, og den ved aflastning tilbagegivne energi arealet ABA, så det arbejde, der svarer til det skraverede areal, går tabt (omdannes til varme). Hvis spændingen i en oscillationsproces periodisk varierer mellem den positive grænseværdi 
og den negative grænseværdi, 
, forløber den ikke-elastiske deformation på samme måde som vist med de stiplede linjer på fig. 7, og ved hver oscillationsperiode omdannes energien DABCD pr. volumenhed til varme. En sådan opførsel under deformation, hvor deformationen ligger efter spændingen, kaldes elastisk hystereses, og kurven DABCD en hysterese-løkke.
Deformationsarbejde og Hookes lov
Hvis Hookes lov indføres i integralerne i ligning (10), kan der udføres integration, og for det specifikke deformationsarbejde fås udtryk:
(12a)
(12b)
(12c)
Hvis den anden af disse former indsættes i ligningen (11), fås igen Hookes lov, ligning (8), i form løst mht. spændinger. Udsagnet om, at deformationsarbejdet afhænger af komponentdeformationerne, sådan som det er vist ved ligning (12b), er derfor ækvivalent med Hookes lov. Når ligning (12c) differentieres mht. spændinger, fås
(13)
Disse former gælder, i modsætning til formerne (11), kun for legemer, der opfører sig i overensstemmelse med Hookes lov, og kan ikke anvendes, når sammenhængen mellem spændinger og deformationer er anderledes. Det siger sig selv, at på højre side af ligningerne (13) findes kun de komponentdeformationer, der er forårsaget af spændinger, og alle andre, som eventuelt kunne være opstået som følge af temperaturændring, krybning, opsvulmning, rekristallisation osv., udelades.
INTEGRALLIGNINGER I ELASTISITETSTEORIEN
Virtuelle forskydninger. Princip om den potentielle energis minimum
Ligesom Hookes lov, ligningerne (8), kan erstattes af én ligning (12b), kan man også i stedet for ligevægtsbetingelserne indføre princippet om virtuelle forskydninger som en generelt gældende grundlov i mekanikken. Denne lov udtrykker, at ligevægtstilstande kendetegnes ved, at det samlede udførte arbejde af alle kræfter ved en lille ændring i deformationstilstanden er lig nul. Hvis vi betegner små ændringer af de elastiske forskydninger med δμ δν, δω, så udfører de volumenkræfter, der er defineret ved ligning (7), virtuelt arbejde
a overfladekræfterne px, py, pz som virker på elementet dF af kroppens ydre overflade arbejde 
hvorved det tredobbelte integral vedrører hele volumenet, og det dobbelte hele kroppens ydre overflade. Til beregning af arbejdet udført af de indre kræfter anvendes ligningen (12b), og der fås for arbejde pr. volumenenhed
Princippet om virtuelle forskydninger giver på dette grundlag
(14)
Hvis belastningerne X, Y, Z px, py., pz opfattes som tyngdekraftens komponenter (egenvægt og ydre belastning), repræsenterer integralerne på højre side den potentielle energi, som disse laster har mistet, mens venstre side repræsenterer tilvæksten i kroppens potentielle (elastiske) energi, således at dette princip udtrykker, at den samlede potentielle energi for bjælken og de laster, der hviler på den, i ligevægtstilfældet har en ekstremværdi. Hvis denne ekstremværdi er et minimum, er ligevægten stabil.
Princippet om den potentielle energis minimum udtrykt ved ligning (14), udtrykket (12b) for deformationsarbejdet og kompatibilitetsbetingelserne for deformationer (5), (6) udgør et ligningssystem, som er tilstrækkeligt til opbygningen af elasticitetsteorien, og som i det væsentlige er ækvivalent med ligningssystemet. Dette system kan være særligt nyttigt i tilfælde, hvor opfyldelsen af differentialligningerne (9) medfører beregningsmæssige vanskeligheder, og derfor må man søge en tilnærmet løsning; f.eks. antages forskydningerne på forhånd i en passende form, som indeholder flere frie konstanter, og disse bestemmes ud fra kravet om, at ligning (14) skal være opfyldt. Herved opnås ganske vist ikke en streng løsning af problemet, men kun den bedste approksimation, der kan opnås med den valgte løsningsform. Om tilnærmelsen er tilstrækkelig, afhænger først og fremmest af den antagne løsningsform, og en vellykket anvendelse af denne metode kræver derfor kunnen og erfaring.
Castiglianos princip
Mens man ved princippet om minimum potentiel energi sammenligner alle deformationstilstande, der opfylder kravene til deformationskompatibilitet, og blandt dem udvælger dem, for hvilke de tilhørende spændinger opfylder ligevægtsbetingelserne, sammenligner man ved Castiglianos princip alle spændingstilstande, der opfylder ligevægtsbetingelserne, og blandt dem udvælger dem, for hvilke de tilsvarende deformationer opfylder kravene til deformationskompatibilitet. Dette princip lyder: af alle mulige ligevægtstilstande indtræffer den virkelige, som svarer til det mindste deformationsarbejde. Castiglianos princip danner sammen med ligningen (12c) for deformationsarbejde og ligevægtsbetingelserne et ligningssystem, der er tilstrækkeligt til opbygning af materialets styrke. Da dette princip indeholder Hookes lov, er muligheden for dets anvendelse knyttet til antagelsen om, at deformationerne fuldstændigt kan beskrives ved denne lov. Dette kræver ikke blot en lineært elastisk materialeadfærd, men udelukker også temperaturændringer.
Materialers opførsel over elasticitetsgrænserne
Forekomster ved statisk belastning
Deformation af materialet under påvirkning af spændinger er et meget kompliceret fænomen, og derfor må det forenkles på forskellige måder, for at man kan forstå det. En af disse forenklinger er antagelsen om, at belastninger påføres gradvist, som det f.eks. gøres med prøver ved træk- og trykprøvning.
Hvis en stålstang, der belastes i træk, udsættes for en gradvist stigende belastning, og dens dilatation ε måles, fås det diagram, der er vist på fig. 8. I begyndelsen er dilatationen meget lille og proportional med spændingen, som Hookes lov kræver. Fra en bestemt spænding ophører proportionaliteten, og dilatationen vokser hurtigere. Den nøjagtige placering af grænsen for denne proportionalitet kan vanskeligt fastlægges. Jo mere nøjagtig målingen er, desto lavere bliver den. For de fleste materialer ligger den ved σ = 0, og Hookes lov repræsenterer da kun den første tilnærmelse til den elastiske opførsel, det første led i udviklingen i Taylor-rækken for funktionen ε = ε (σ) i nærheden af koordinatbegyndelsen.
Hvis stangen aflastes, kan man se, at når spændingen ikke har været for stor, forsvinder deformationen også, i overensstemmelse med Hookes lov. Men også dette ændres, hvis en vis spænding, der ligger nær proportionalitetsgrænsen, den såkaldte elasticitetsgrænse, overskrides; da består den samlede deformation af en elastisk (reversibel) og en uelastisk (permanent) del. Heller ikke elasticitetsgrænsen kan bestemmes nøjagtigt; den ligger desto lavere, jo større målenøjagtigheden er. Da den imidlertid har stor teknisk betydning, fordi den udgør gyldighedsgrænsen for næsten alle beregninger i materialelære og samtidig grænsen, hvor de første permanente skader opstår, defineres den ved prøvning af prøver skarpt efter en vedtaget konvention, og f.eks. betegnes som grænsen 0.2% den spænding, ved hvilken den permanente dilatation når 0.2%.
Umiddelbart efter overskridelse af elasticitetsgrænsen vokser deformationen pludseligt og kan ses med det blotte øje; ved næsten konstant spænding forlænges stangen uafbrudt. Denne spænding kaldes flydegrænsen. Ved hydrauliske materialetestmaskiner kan man desuden efter flydningens begyndelse iagttage et mere eller mindre tydeligt fald i spændingen; som vist på fig. 8 med den stiplede kurve; maksimum kaldes da den øvre flydegrænse, og den konstante flydespænding, som derefter indtræder, den nedre flydegrænse.
Når en bestemt dilatation er nået, som er næsten fuldstændig uelastisk, begynder spændingen igen at stige; materialet hærder. I dette belastningsområde opstår en mærkbar formindskelse af stangens tværsnit på grund af (uelastisk) tværkontraktion, og det videre forløb af spændings- og deformationsdiagrammet afhænger først og fremmest af, om man ved beregning af spændingen σ lader trækkraften P, der virker på stangen, blive divideret med det oprindelige tværsnit F0 eller med det aktuelle tværsnit F. For tekniske formål er spændingen P|F0 interessant. Denne spænding når et maksimum, som kaldes materialets styrke, og når dette maksimum er passeret, indsnævres stangen kraftigt ét sted og brister. “Den virkelige spænding” P|F stiger indtil brud.
Billede 8.
Adfærden hos andre metaller afviger i mange henseender fra det, der er beskrevet her. Flydning er ofte ikke udpræget, og hærdning begynder umiddelbart efter overskridelsen af elasticitetsgrænsen. For sprøde materialer (sten, glas, beton) er de uelastiske deformationer som regel små, og allerede ved en lille dilatation indtræffer brud. Den samlede dilatation, som materialet gennemgår indtil brud, er et mål for materialets duktilitet (modsat: sprødhed), og for stål er den nøje fastsat i de tekniske specifikationer. Men da den videre deformation umiddelbart før brud koncentreres på de omgivende steder ved det indsnævrede tværsnit, fås en forskellig værdi for dilatationen ved brud, alt efter om der som målelængde anvendes en større eller mindre del af stangen, så der for at opnå entydige og indbyrdes sammenlignelige resultater på forhånd må fastlægges en bestemt konvention. Dilatationen ved brud måles som regel ved, at man på en rund stang med diameter d før prøven afsætter målelængden Ι = 10 d, og ud fra dens forlængelse ΔΙ beregner dilatationen ved brud εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Hvis det er nødvendigt at afprøve stænger med andet tværsnit, fastsættes målelængden efter diameteren af en rund cylindrisk stang, som har samme tværsnitsareal.
Langvarig belastning
For forløbet af en trækprøvning er det forholdsvis ligegyldigt, om belastningen frem til brud øges i løbet af 10 m minutter eller nogle timer. Hvis belastningen imidlertid virker i årevis eller årtier, kan man under visse betingelser konstatere, at deformationen, selv under en konstant spænding, langsomt øges med tiden også under flydegrænsen. Derved ændres den elastiske del, dvs. den del, som forsvinder ved fuldstændig aflæsning, ikke mærkbart. Denne stigning i den uelastiske deformation, som sker over længere tid, kaldes krybning. For metaller, bortset fra bly, er krybning kun af betydning ved høje temperaturer; for bygningsingeniøren spiller den imidlertid en rolle ved beton, som under tryk langsomt giver sig, så spændingen stiger i den trykkede armering, hvis en sådan findes.
Variabel belastning
For at de mekaniske egenskaber af materialet, opnået ved trækprøven, kan anvendes som mål for konstruktioners tilladelige belastning, er det en forudsætning, at materialet ved enhver gentagen belastning kan tåle den spænding, som det én gang har båret uden skade. Denne forudsætning er ikke opfyldt, hvis materialet udsættes for hyppig gentagen belastning og aflastning, som det f.eks. er tilfældet for bjælker belastet af inerti-kræfter fra ufuldstændigt afbalancerede maskiner. Ved tilstrækkeligt hyppig gentagelse af belastningen kan en konstruktionsdel bringes til brud selv ved en spænding, der ligger langt under materialets styrke bestemt ved almindelig statisk prøvning. Dette brudfænomen kaldes brud som følge af udmattelse. Antallet n af belastningscykler, som materialet kan tåle, afhænger af spændingsniveauet σ, således at det er desto større, jo mindre spændingen er. Et typisk eksempel på denne afhængighed er vist på fig. 9, hvoraf det fremgår, at der for materialets styrke findes en nedre grænse, som det tåler selv ved et vilkårligt stort antal belastningscykler, og som kaldes den dynamiske materialestyrke Diagrammer af denne type (fig. 9) kaldes Wӧhler-kurver.
Billede 9.
Konstruktionssikkerhed
To grænsebelastninger er vigtige for konstruktioner: den belastning, hvor de første varige skader opstår (flydegrænsen), og den belastning, hvor konstruktionens bæreevne er opbrugt, så den brister (brudgrænsen). Da antagelserne i materialelæren (små deformationer, Hookes lov) i det mindste omtrent gælder før flydegrænsen, kan sikkerheden mod varige deformationer vurderes pålideligt i alle de tilfælde, hvor det lykkes at overvinde de matematiske vanskeligheder. Hvis spændingen er proportional med belastningen, er forholdet mellem flydespændingen og den største spænding, der forekommer i konstruktionen, lig forholdet mellem den belastning, hvor flydning opstår, og den faktiske belastning, og det udgør sikkerhedsfaktoren mod flydning. I en række tilfælde findes dette enkle forhold dog ikke: bøjning, når træk udelukkes, tryk mellem krumme flader, systemer hvis struktur er variabel og, hvad der er særligt ugunstigt, bøjning med aksialkraft. I alle disse tilfælde kan en forholdsvis lille forøgelse af belastningen føre til en stor forøgelse af spændingen, og da er det ikke tilstrækkeligt at anvende den sædvanlige sikkerhedsfaktor på spændingerne; den må i stedet anvendes på belastningen.
De fænomener, der optræder efter overskridelse af flydegrænsen indtil brud, kan i de fleste tilfælde kun følges kvalitativt. Hvis materialet er duktilt, bidrager de dele, hvor flydegrænsen først nås, og som derefter deformeres ved konstant spænding eller ved en kun svagt stigende spænding, kun lidt til optagelsen af den videre belastning, så de øvrige, mindre spændte dele af konstruktionen, hvis dens opbygning tillader det, i højere grad deltager i bæreevnen. I denne tendens til udligning af spændingstoppe ligger en vis sikkerhedsreserve, som beregningsmæssigt kan udnyttes, hvis den permanente deformation af enkelte dele, opstået ved kun én betydelig belastning, ikke er skadelig (grænselastmetoden).
Hvis materialet er sprødt, viser den første varige beskadigelse sig som revner, hvorved der på det svækkede sted opstår en endnu stærkere spændingskoncentration, som straks forårsager brud. Brud som følge af udmattelse har også hos duktilt materiale karakter af sprød brud.
Sammenhænge mellem spændinger for forskellige tværsnitsplaner
Transformationsligninger
De ni komponentspændinger i fig. 1 er forbundet med tre ligevægtsbetingelser. De seks tilbageværende størrelser σx, σy, σz τxy, τyz, τzx kan uafhængigt af hinanden antage vilkårlige værdier, som det fremgår af udledningen af differentialligningerne i elasticitetsteorien. Når disse værdier er givet, er spændingstilstanden i et punkt i et fast legeme fuldstændigt bestemt, dvs. når spændingerne for tre indbyrdes vinkelrette planer er kendt, kan spændingen for en fjerde plan, der går gennem det givne punkt og hvis normal har en vilkårlig retning, også bestemmes entydigt.
På fig. 10 er vist tetraederet OABC, hvis tre sider er parallelle med koordinatsystemets planer x, y, z, mens den fjerde udgør et vilkårligt orienteret overfladeelement ABC = dF. For at angive dets retning og den spændingsretning, som overføres gennem det, indføres et andet koordinatsystem, hvis ξ-akse er vinkelret på dF.
Figur 10
Betingelsen for ligevægt for de kræfter, der virker på denne tetraeder i retning af ξ-aksen, giver
Hvis man tager i betragtning, at
fås
og på samme måde ud fra ligevægtsbetingelserne i retning af aksen η:
Disse er ligninger, der tjener til beregning af spændinger ved transformation af koordinater. Det er af særlig betydning kun at betragte sådanne overfladeelementer dF, for hvilke ξ-aksen falder sammen med z-aksen. Udtryk for dette tilfælde kan vi få ved at forenkle de foregående udtryk eller direkte aflæse dem af fig. 11:
Figur 11
Normalkraftspændingen antager ekstreme værdier for retningerne α = α0 , for hvilke dσξ/dα = 0. Ved differentiation fås af ligning (16)
så er det, når dette udtryk sættes lig nul
Spændingen τξη vil samtidig være den samlede forskydningsspænding i disse planer, hvis τyz = τzx = 0. Ved ligning (17) bestemmes to indbyrdes vinkelrette retninger, for hvilke: 1. den samlede forskydningsspænding er nul, og 2. normalspændingen har ekstreme værdier (maksimum og minimum). Disse retninger kaldes hovedspændingsretninger, og de tilhørende spændinger kaldes hovedspændinger. De betegnes med σ1 og σ2 og kan beregnes direkte ud fra formlen
Mohrs cirkel
Ligningerne (16) kan grafisk fremstilles på en tydelig måde. Til dette formål skal de omformes til formen:
Disse ligninger udgør i koordinatsystemet σ, τ den parametriske form af ligningen for den cirkel, der er tegnet på fig. 12, hvis centrum har koordinaterne σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0, og hvis radius er
Denne cirkel kaldes Mohrs cirkel. Hvis der gennem punktet x trækkes en linje parallelt med snittet x =const., gennem hvilket spændingerne σx, τxy overføres, vil den skære cirklen i punktet p, som kaldes Mohrs cirkels pol. Hver linje pξ, der trækkes gennem dette pol, skærer cirklen i punktet ξ, som bestemmer spændingerne σξ, τξη, der overføres gennem et snit parallelt med pξ.
Med hensyn til fortegnet for forskydningsspændinger ved tegning af Mohrs cirkel skal man være opmærksom på, at de afsættes opad, hvis de har den retning, der er vist på fig. 12c. Derfor er af de to konjugerede spændinger τxy, τyx den ene altid positiv og den anden negativ.
Grænseværdierne for normalspændingerne σ1, σ2 svarer til punkterne 1 og 2 på cirklen, og linjerne _p_1 og _p_2 angiver hovedspændingernes retninger.
Fremstillingen af spændinger, der ligger i x-y-planen, ved hjælp af Mahrs cirkel er ikke forbundet med nogen antagelse om spændingerne σz, τxz, τyz vinkelrette på dette plan.
Billede 12
Det gælder derfor også for den mest generelle tredimensionale spændingstilstand, hvis man kun sammenligner de tværsnitsplaner, som alle går gennem den samme linje, der her er valgt som z- og ξ-akse. Da den normale spænding σ ifølge de generelle transformationsligninger (15) ikke kan blive uendelig for noget tværsnitsplan, må den for et eller andet plan have et endeligt maksimum σ1 og for et andet et minimum σ3, hvoraf begge naturligvis også kan være negative. Hvis man gennem vektorerne σ1 og σ3 lægger et plan og tegner Mohr-cirklen (fig. 13)
Figur 13
for spændinger, der ligger i dette plan (dvs. alle retninger, som er vinkelrette på dette plan), er σ1 og σ3 de største og mindste normalspændinger, der kan forekomme, og derfor må de være indbyrdes vinkelrette. Hvis retningerne 1 og 3 suppleres med retningen 2, så disse tre retninger danner et retvinklet koordinatsystem, og hvis der tegnes Mohrs cirkler for planene 1 ~2 og 2 ~ 3, er σ2 for den ene af disse cirkler den største og for den anden den mindste normalspænding, og derfor er forskydningsspændingen i snit vinkelrette på retningerne 1, 2 og 3 lig nul. De tre indbyrdes vinkelrette normalspændinger σ1, σ2 og σ3, som der ikke svarer forskydningsspændinger til, kaldes hovedspændinger.
Flydegrænse og brudgrænse ved rumlig spændingstilstand
Spændingstilstanden kaldes en-, to- eller tredimensionel, eller: lineær, plan eller rumlig, alt efter om én, to eller alle tre hovedspændinger er forskellige fra nul. For konstruktionsdele, der oftest anvendes, dvs. for træk-, tryk- og bøjestænger, er spændingstilstanden, i det mindste på de mest belastede steder, endimensionel, og det samme gælder ved træk-, tryk- eller bøjeprøver, som ved materialeforsøg næsten udelukkende anvendes til bestemmelse af tilladelige spændinger. Omvendt er spændingstilstanden ved plader, der er belastet i deres plan eller vinkelret på det, samt ved skaller, todimensionel, og i visse tilfælde optræder der også tredimensionelle spændingstilstande, så det er nødvendigt på grundlag af flyde- og brudgrænsen, bestemt ved en endimensionel spændingstilstand, at drage slutninger om materialets opførsel i tilfælde af en rumlig spændingstilstand.