Mga sukaranan
Ang buluhaton sa resistensya sa materyal mao ang pagtino kung unsang mga gawasnong puwersa ang kaya sa usa ka lig-on nga lawas (panangl., bilding, konstruksiyonal nga bahin o yuta). Aron matubag kini nga pangutana, gisandigan ang duha ka kriteriya: sa usa ka bahin, ang mga tensyon dili dapat molapas sa pipila ka mga utlanan nga nagdepende sa matang sa materyal, ug sa laing bahin ang balanse tali sa mga gawasnong ug sulodnong puwersa kinahanglan nga lig-on. Subay niini, ang tanang mga problema sa resistensya sa materyal mahimong bahinon sa “Mga problema sa tensyon” ug “mga problema sa kalig-on.”
Sa mga baras ug mga sagbayan ug sa mga tigdala nga ginabuhat gikan niini (trusses, frames), ang pagtino sa mga stress gihimo sa duha ka lakang, ug kini pinaagi sa una nga pagkalkula sa resultant sa mga internal force nga gibalhin pinaagi sa cross-section base sa gihatag nga mga external force, ug unya gikan niini nga “section forces” gitino ang mga stress. Ang unang bahin sa proseso naglangkob og usa ka espesyal, lapad nga disiplina, ang statics sa mga istrukturang pang-inhenyeriya, nga adunay naugmad nga kaugalingong mga pamaagi ug kasagarang gilain gikan sa strength of materials, kansang buluhaton mokutkut sa pagtino sa mga stress gikan sa gihatag nga section forces.
Batakang mga konsepto sa kusog sa materyales
Ang kahulugan sa stress makuha pinaagi sa mosunod nga mga sukaranang konsiderasyon. Himoa nga ang usa ka balanse nga sistema sa mga gawas nga pwersa naglihok sa lawas. Hunahunaa nga atong gibahin ang lawas pinaagi sa arbitraryo nga seksiyon ngadto sa duha ka bahin, ug nga atong tangtangon ang usa niini uban sa mga pwersang naglihok niini; unya ang epekto niini sa pikas nga bahin, aron ang balanse sa mga pwersa ug ang pagkahan-ay sa mga deformasyon magpabilin nga wala mausab, kinahanglan ilisan pinaagi sa dugang nga mga pwersa nga ipadangat pinaagi sa nawong sa seksiyon. Kini nga “sulod” nga mga pwersa padayon nga ginaapod-apod sa nawong sa seksiyon, busa sa matag elemento sa nawong dF motakdo ang puwersa dβ. Kon himuon ang ratio dβ dF ug ipatuman ang limit nga pagbalhin dF -> 0, nan kini nga ratio motuo ngadto sa limit nga bili nga gitawag og stress. Ang stress sa usa ka piho nga elemento sa nawong, sama sa dβ, mahimong mabahin sa mga komponent nga normal ug tangensyal sa dF, normal nga stress σ ug shear stress τ.
Kung ang mga seksiyon pagabuhaton pinaagi sa sama nga punto sa lainlaing mga direksyon, lain usab nga mga tensiyon ang ilang angay. Sa partikular, kung gikan sa lawas kuhaon ang usa ka elementar nga kubo, nga gipakita sa sl. 1, sa matag usa sa iyang unom ka mga nawong molihok ang vektor sa tensiyon nga mahimong mabungkag ngadto sa tulo ka mga komponente sa direksyon sa mga koordinadong axis x, y ug z. Ang mga tensiyon nga naglihok sa mag-atbang nga mga kilid sa nawong nagkalahi sa usag usa, siyempre, lamang sa diferensyal, busa kinahanglan nga ilhon ang 3 * 3 = 9 ka komponental nga mga tensiyon, nga gisimbolo sa mosunod nga paagi:
Ang normal nga mga tensiyon σ gihatagan og indeks sa aksis sa ilang direksiyon ug giisip nga positibo kung nagpasabot og pagbitad, negatibo kung nagpasabot og pagpit-os. Ang mga tensiyon sa paggisi τ adunay duha ka indeks; ang una pareho sa indeks sa katugbang nga normal nga tensiyon, ug ang ikaduha nagtumong sa aksis sa direksiyon diin ang tensiyon sa paggisi naglihok. Kung ang positibong direksiyon sa katugbang nga normal nga tensiyon anaa sa direksiyon sa positibo (negatibo) nga coordinate axis, ang tensiyon sa paggisi giisip usab nga positibo kung kini molihok sa direksiyon sa positibo (negatibo) nga coordinate axis.
Hulagway 1.
Konjugasyon sa mga smearing nga tensiyon
Kung alang sa elementarya nga paralelepiped, hul. 1, ibutang ang kondisyon nga ang moment sa tanang puwersa may kalabotan sa asoy x kay zero, makuha ang τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Gikan niini, ug gikan sa duha ka katugbang nga equation alang sa mga asoy y ug z, makuha nga ang mga shear stress nga adunay parehas nga mga index parehas sa usag usa τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Mga depermasyon sa komponent
Nga ang mga tensyon nga gihubit sa ibabaw adunay pisikal nga kahulogan, makita gikan sa ilang relasyon sa depinisyon nga giagoman sa matag lawas ubos sa impluwensya sa gawasnong mga puwersa. Ang Fig. 2 nagpakita sa usa ka elementar nga prisma, nga sa wala pa ang deformasyon kay rectangular ug adunay gitas-on sa mga kilid nga dx, dy, dz. Ang mga gitas-on sa mga kilid human sa deformasyon mahimong ilhanan ingon dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz ang mga quotient εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz gitawag og dilatasyon. Kini mga kantidad nga walay dimensyon ug, alang sa tanang materyal nga gikonsiderar sa konstruksyon, gamay kumpara sa 1. Gawas sa pagkalapad sa mga kilid, ang elementar nga prisma dx * dy * dz mahimo pa usab makasinati og kausaban sa orihinal nga husto nga mga anggulo tali sa mga kilid niini.
Hulagway 2. komponental nga deformasyon
Pananglitan human sa deformasyon ang anggulo taliwala sa mga eroplano nga nagtagbo ubay sa kilid OC mahimong pareho sa 
ug sa susama ang pagkunhod sa hustong anggulo ubay sa kilid AO mahimong γyz, ug ang pagkunhod ubay sa kilid OB mahimong γzx. Kining tulo ka pag-usab sa anggulo γxy, γyz, γzx, gitawag nga pag-slide ug kanunay usab gamay kumpara sa 1. Uban sa unom ka component nga ε ug γ hingpit nga natino ang deformasyon sa elementar nga kuboider “deformasyon sa gamay nga sukod”. Ang pag-usab sa elemento sa bolyum d_V = dx * dy * dz_ mao ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, gikan diin, kon pasagdan ang mga produkto sa dilatasyon isip mga gamay nga kantidad sa mas taas nga order, makuha ang kubikong dilatasyon ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Pagbalhin
Ang deformasyon sa solidong lawas mahimong hingpit nga ilarawan usab niining paagiha, nga alang sa matag usa sa mga punto niini ihatag ang pagbalhin nga nasinati sa maong punto. Kung tangtangon sa pagtan-aw ang mga pagbalhin nga may kinutuban nga gidak-on nga katumbas sa pagbalhin sa rigid nga lawas, niining paagiha, kung gikinahanglan, sa kalkulasyon dawaton ang mabalhinong coordinate system, nan ang mga component nga pagbalhin μ, ν, ω kanunay gamay ra, ug ang ilang mga derivatibo sumala sa mga coordinate gamay ra kumpara sa 1. Ubos niining asumpsyon, sumala sa sl. 3 ang gitas-on sa linya nga elemento OA = dx human sa deformasyon
busa 
(3)
Sa susamang paagi makita gikan sa fig. 3 nga ang pagslide γxy _γ1 + _γ2: ug usab
(4)
Hulagway 3 slip
(5) 
(6)
Kini nga mga relasyon gitawag og mga kondisyon sa pagkaangay ug nagpasabot nga ang mga deformed nga elemento mahimong isumpay sama sa mozaiko aron ang luna mapuno nga walay hunong, nga dili makab-ot kon ang mga deformasyon sa mga elemento arbitraryo. Ang mga kondisyon sa pagkaangay kay mga differential equation, busa, siyempre, ang tanang unom ka sangkap sa deformasyon sa matag tagsa ka kwadro independente sa usag usa, apan ang ilang paghan-ay sa matag may kinutuban nga gipalapad nga lugar gigapos sa mga kondisyon (5) ug (6).
Tungod kay kining mga kondisyon nakuha pinaagi sa pag-diferensiya gikan sa mga ekwasyon (3) ug (4), sa ilang pagkuha mawala ang usa ka bahin sa mga relasyon nga sulod sa orihinal nga mga ekwasyon. Busa dili igo nga matuman lang ang usa niining duha ka sistema sa mga ekwasyon, kondili kinahanglan masunod ang duha ka sistema sa mga ekwasyon, kon gusto nga masiguro ang pagkaangay sa deformasyon.
Mga diferensyal nga ekwasyon sa sistema sa elastisidad
Alang sa pagkalkula sa mga tensiyon ug deormasyon sa mga elastiko nga lawas, gigamit ang mosunod nga mga ekwasyon:
Mga kondisyon sa balanse sa volumetric nga elemento. Ang mga kondisyon nga ang mga momenta sa palibot sa tulo ka mga axis managsama sa zero gigamit na sa pag-derive sa ekwasyon (1). Ang mga kondisyon sa balanse sa mga pwersa naghatag sumala sa sl. 4
Larawan 4
(7a-c)
Kon ang mga komponente sa mga puwersa sa gidaghanon (pananglitan gibug-aton, centrifugal nga puwersa) sa usa ka yunit sa gidaghanon gisimbolo pinaagi sa X, Y, Z. Mga kalabutan tali sa mga tensiyon ug mga deformasyon. Dinhi gipasabot ang kalabutan tali sa componental nga mga tensiyon ug componental nga mga deformasyon. Sa teyorya sa elastisidad kasagaran ang linear nga kalabutan ra ang ikonsiderar, nga gipahayag pinaagi sa balaod ni Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
Kung ang mga equation (8a-c) sulbaron alang sa mga tensiyon, makuha ang
(8 a)
kso ug duha ka katumbas nga ekwasyon. Ang balaod ni Hooke nga gipahayag sa ekwasyon (8) dili nagrepresentar sa usa ka hugot nga natuman nga natural nga balaod, kondili usa ka idealisasyon sa tinuod nga paglihok, nga mas dako o mas gamay nga mitipas gikan niini, depende sa materyal ug sa gidak-on sa tensiyon. Tungod kay ang matematikal nga pagtratar sa problema sa resistensya sa materyales nga adunay komplikado, dili-linyar nga mga relasyon tali sa tensiyon ug deformasyon naghatag og mas dako kaayong kalisdanan ug mahimo lamang gyud buhaton sa pinakasayon nga mga kaso, bisan sa mga materyales (kongkreto!) nga ang ilang paglihok dako ang pagtipas gikan sa balaod ni Hooke, ang mga kalkulasyon nga gibase niini kinahanglan gamiton isip una, ug kasagaran usab tanging hapit nga solusyon, nga sa tinuod kasagaran kaayo mapuslanon ug naghatag og pagsabot nga labaw pa sa yano nga kwalitatibo. G = E|2 (1+μ).
Kini kinahanglan gayud nga mosunod gikan sa relasyon tali sa tensiyon ug deformation (8), gikan sa mga ekwasyon sa pagbag-o (16) alang sa mga tensiyon ug sa angay nga sistema sa mga ekwasyon alang sa mga komponent nga deformation. Ang E ug G adunay sukod sa tensiyon ug sa tanang materyales sa konstruksyon dako sila kon itandi sa mga tensiyon σ ug τ nga mahimong motungha. Sa niini nga kamatuoran nagagikan ang gituohang gidawat sa tibuok teorya sa elastisidad, nga gamay ang mga deformasyon. Ang koepisyent sa transversal nga pagpalapad (numero ni Poisson) μ walay sukod ug kanunay nga anaa tali sa 0 ug 1/2 .
Mga koneksiyon tali sa mga komponental nga deformasyon ug mga pagbalhin. Kini nga mga koneksiyon gihatag sa mga ekuwasyon (3), (4). Kini puros geometric ang kinaiya. Kining tulo ka sistema naghatag ug 3+6+6=15 nga mga ekuwasyon alang sa 15 nga dili mahibal-an, mao ang alang sa 6 ka komponental nga mga tensiyon, 6 ka komponental nga mga deformasyon ug 3 ka komponental nga mga pagbalhin. Busa igo kini aron matino kining mga dili mahibal-an. Ang matematikal nga pagbuntog sa ingon kalapad nga sistema sa mga differential equation, siyempre, posible lamang sa mga espesyal nga kaso. Kung sa ekuwasyon (8) ang mga komponental nga deformasyon ilisan ug mga komponental nga pagbalhin sumala sa mga ekuwasyon (3) ug (4) ug dayon ang normal nga mga tensiyon σ ug ang mga shear nga tensiyon τ, sumala sa mga ekuwasyon (8 d - f), ipasulod sa mga kondisyon sa balanse, eq. (7), makuha ang mga differential equation nga gitawag nga mga batakang ekuwasyon sa teorya sa elastisidad.
(9)
ug niini ang 
nagpasabot sa Laplace nga operator. Tungod sa (2) kini tulo ka differential equations nga adunay tulo ka component displacements μ, ν, ω; gikan niini, pinaagi sa pag-differentiate base sa (3), (4) ug (8), mahimong makuha ang tanang component stresses ug strains. Ang mga equation (9) kasagarang nagrepresentar sa angay ug sayon nga punto sa pagsugod sa pagtuon sa mga espesyal nga kaso.
Trabaho sa deformasyon
Depinisyon
Kung ang usa ka tagasalo mabug-atan, ang mga punto sa gawas nga pwersa makasinati og mga elastikong pagbalhin ug ang mga pwersa magbuhat niini og pipila ka trabaho. Sa ingon niini, ang gidala nga enerhiya mahimong mamahimong lain-laing mga porma. Kung ang karga ibutang dayon, aron ang proseso sa pagdeform adunay dakong katulin, ang usa ka bahin niini nga enerhiya mamahimong kinetic nga enerhiya, nga sa paglabay sa panahon nagaanod, bisan pinaagi sa pagbalhin niini ngadto sa yuta ingon nga elastikong balod nga mawala sa kahangturan, o pinaagi sa internal nga friction nga mamahimong kainit. Kung ang mga karga ipahamtang kaayo hinay aron wala’y makita nga pagdugang sa kinetic nga enerhiya, busa, ang mga karga nga hinayhinay nga motubo sugod sa sero anaa sa kanunay nga balanse sa mga internal nga pwersa, klaro nga ang enerhiya gamiton lamang sa pagdeform sa lawas ug unya kini gitawag nga deformasyon nga trabaho.
Ang pagkukwenta sa deformation work ipakita namo una sa usa ka bahin nga gipas-an sa pagbitad sa usa lamang ka direksyon (sl. 5).
Pananglitan ang kasamtangang tensiyon σ ug ang katugbang nga dilatasyon ε makasinati og mga increment dσ ug dε. Unya ang puwersa σdF sa agianan nga dε * dl mohimo og trabaho σdF * dεdl = σdεdV, kon ang dV magpasabot sa bolyum sa gamay nga piraso. Kon ang tensiyon motaas gikan sa zero ngadto sa iyang katapusang bili ug ang dilatasyon sumala niini gikan sa 0 ngadto sa ε, ang total nga nahimong trabaho kada yunit sa bolyum mao:
Sa samang paagi usab alang sa elemento nga gipas-an sa shear stress τ (sl. 6) ang trabaho sa pagdeformar kada yunit sa bolyum (piho nga trabaho sa pagdeformar, elastikong potensyal):
sa diin usa lamang sa upat ka pwersa τ * dF ang nagbuhat og trabaho.
Sa kinatibuk-an nga kaso, kon ang tanan nga unom ka komponentong mga pagpit-os motampok sa elemento, makuha ang espesipikong trabaho sa deformasyon pinaagi sa pagtinipon sa mga trabaho sa tagsa-tagsa ka komponentong mga pagpit-os:
(10)
Pinaagi sa pagkuha sa deribatibo sumala sa ibabaw nga limitasyon sa matag usa niining mga integral, makuha ang mga relasyon nga balido sa labing kinatibuk-ang kaso:
(11)
ug susama alang sa uban pang mga komponental nga deormasyon. Kon ang lawas elastiko, sa matag piho nga kahimtang sa tensiyon motugma kanunay ang parehas nga kahimtang sa deormasyon, bisan pa kon ang kahimtang naabot sa panahon sa pag-load o pag-unload. Dayon, ilalom sa mga integral anaa ang mga unibok nga function ug ang kinatibuk-ang enerhiya nga gigamit sa panahon sa pag-load ug unya sa tibuok nga pag-unload mao ang a = 0, tungod kay sa kini nga kaso ang ibabaw nga mga utlanan sa integral mahimong zero. Busa, ang kinatibuk-ang enerhiya nga gihatag sa lawas sa panahon sa pag-load mabawi usab sa pag-unload.
Hulagway 6
Hulagway 7
Alang sa dili hingpit nga elastikong lawas, ang relasyon tali sa mga tensiyon ug mga deformasyon alang sa tibuok siklo sa pag-load ug pag-unload adunay porma nga halos gipakita sa sl. 7 pinaagi sa mga linya O A B. Ang enerhiya 
nga gidala sa pag-load pareho sa lugar OAA, ug ang enerhiya nga ibalik sa panahon sa pag-unload pareho sa lugar ABA, busa mawala (mabig ngadto sa kainit) ang trabaho nga katumbas sa gi-shade nga lugar. Kon sa oscillatory nga proseso ang tensiyon usahay mausab tali sa positibong limit nga bili 
ug sa negatibong limit nga bili, 
ang dili elastikong deformasyon modagayday nga susama sa gipakita sa putol-putol nga mga linya sa sl. 7 ug sa matag siklo sa oscillation mabag-o ngadto sa kainit kada yunit sa gidaghanon ang enerhiya DABCD. Ang maong pamatasan sa panahon sa deformasyon, diin ang deformasyon nag-ulahi sa tensiyon, gitawag og elastic hysteresis, ug ang kurba DABCD mao ang hysteresis loop.
Deformation work ug ang balaod ni Hooke
Kung ang balaod ni Hooke iapil sa mga integral sa equation (10), mahimo ang pag-integrate, ug alang sa espesipikong buhat sa deformasyon makuha ang mga pahayag:
(12a)
(12b)
(12c)
Kung ang ikaduhang porma niini ipasulod sa equation (11), makuha pag-usab ang balaod ni Hooke, mga equation (8), sa porma nga nasulbad sumala sa mga stress. Ang pamahayag nga ang deformations nga buhat nagdepende sa mga sangkap sa deformation, sama sa gipakita sa equation (12b), busa katumbas sa balaod ni Hooke. Kung ang equation (12c) i-differentiate sumala sa mga stress, makuha ang
(13)
Kini nga mga porma, lahi sa mga porma (11), balido lamang alang sa mga lawas nga mosunod sa Balaod ni Hooke ug dili magamit kon lahi ang relasyon tali sa mga tensiyon ug mga deformasyon. Klaro nga sa tuo nga bahin sa mga ekwasyon (13) anaa lamang ang mga komponental nga deformasyon nga gipahinabo sa mga tensiyon, ug dili apil ang tanang uban pa nga tingali mitungha tungod sa pagbag-o sa temperatura, paglusot, paghubag, rekristalisasyon, ug uban pa.
INTEGRAL NGA MGA PRINSIPYO SA TEORYA SA ELASTISIDAD
Mga virtual nga paglalin. Prinsipyo sa minimum nga potensyal nga enerhiya
Sama nga ang balaod ni Hooke, ang mga equation (8), mahimong ilisan sa usa ka equation (12b), mao usab nga imbis sa kondisyon sa balanse mahimong ipaila ang prinsipyo sa virtual nga mga lihok, isip usa ka kinatibuk-ang balido nga sukaranang balaod sa mekanika. Kini nga balaod nag-ingon nga ang mga kahimtang sa balanse mailhan pinaagi sa kamatuoran nga ang kinatibuk-ang nahimong trabaho sa tanang pwersa sa usa ka gamay nga pag-usab sa kahimtang sa deformasyon katumbas sa zero. Kung ang gagmay nga kausaban sa elastic nga mga pagbalhin ilhanan nato og δμ δν, δω, nan ang mga pwersa sa lawas nga gihubit sa equation (7) nagbuhat og virtual nga trabaho
ug ang mga surface nga kusog px, py, pz nga naglihok sa elemento dF sa gawas nga nawong sa lawas trabaho 
kung ang trohong integral nagtumong sa tibuok nga bolyum, ug ang doble nga integral sa tibuok gawasnong ibabaw sa lawas. Alang sa pagkalkula sa trabaho nga gihimo sa sulod nga mga pwersa gigamit ang ekwasyon (12b), busa alang sa trabaho kada yunit sa bolyum makuha
Ang prinsipyo sa virtual nga mga pagbalhin base niini naghatag
(14)
Kung ang mga karga X, Y, Z px, py., pz masabtan isip mga sangkap sa puwersa sa grabidad (kaugalingong gibug-aton ug eksternal nga karga), ang mga integral sa tuo nga bahin naglarawan sa potensyal nga enerhiya nga nawala sa kini nga mga karga, samtang ang wala nga bahin naglarawan sa pagdugang sa potensyal nga (elastiko) nga enerhiya sa lawas, busa kini nga prinsipyo nag-ingon nga ang kinatibuk-ang potensyal nga enerhiya sa nagasalo ug sa mga karga nga anaa niini sa kahimtang sa balanse adunay ekstremong bili. Kung kini nga ekstremong bili mao ang minimum, lig-on ang balanse.
Ang prinsipyo sa minimum sa potensyal nga enerhiya nga gipahayag pinaagi sa equation (14), ang ekspresyon (12b) para sa work of deformation ug ang mga kondisyon sa compatibility sa deformation (5), (6) naglangkob og sistema sa mga equation nga igo aron mapundar ang teorya sa elasticity, ug nga sa kinatibuk-an katumbas sa sistema sa mga equation. Kining sistema mahimong labi ka mapuslanon sa mga kaso diin ang pagsunod sa mga differential nga equation (9) nagmugna og kalisud sa komputasyon ug busa kinahanglan mangita og gibanabana nga solusyon, pananglitan, ang mga displacement daan nang gituohan nga adunay angay nga porma nga naglangkob og pipila ka gawasnong mga konstant, ug kini dayon gitino gikan sa kahimtang nga ang equation (14) matuman. Sa ingon, dili makuha ang eksaktong solusyon sa problema, kondili ang labing maayong aproksimasyon nga makab-ot sa napiling porma sa solusyon. Kung igo ba ang pagbanabana, nagdepende una sa gidawat nga porma sa solusyon, ug ang malampusong paggamit niini nga pamaagi nanginahanglan busa og kahanas ug kasinatian.
Prinsipyo ni Castigliano
Samtang sa prinsipyo sa minimum nga potensiyal nga enerhiya ikompara ang tanang kahimtang sa deformasyon nga nagtuman sa mga kondisyon sa pagkaangay sa deformasyon ug gikan kanila ilhon ang mga kahimtang nga angay nga mga tensiyon nagtuman sa mga kondisyon sa balanse, sa Castigliano nga prinsipyo ikompara ang tanang kahimtang sa tensiyon nga nagtuman sa mga kondisyon sa balanse ug gikan kanila ilhon ang mga kahimtang nga angay nga mga deformasyon nagtuman sa mga kondisyon sa pagkaangay sa deformasyon. Kini nga prinsipyo nag-ingon: sa tanang posibleng kahimtang sa balanse, ang tinuod nga mahitabo mao kadtong adunay pinakagamay nga trabaho sa deformasyon. Ang prinsipyo ni Castigliano uban sa ekwasyon (12c) alang sa trabaho sa deformasyon ug ang mga kondisyon sa balanse naglangkob sa usa ka sistema sa mga ekwasyon nga igo na alang sa pagtukod sa resistensya sa materyal. Tungod kay kini nga prinsipyo naglakip sa balaod ni Hooke, ang posibilidad sa paggamit niini nagbase sa pagtuo nga ang mga deformasyon mahimong hingpit nga mahulagway pinaagi niini nga balaod. Kini nagkinahanglan dili lang sa linya nga elastikong paggawi sa materyal, kondili nagwagtang usab sa mga pagbag-o sa temperatura.
Kinaiya sa materyal labaw sa mga utlanan sa elastisidad
Mga panghitabo ubos sa static nga karga
Ang depermasyon sa materyal ubos sa impluwensya sa mga stress usa ka lisod kaayong panghitabo, busa kinahanglan kini pasayloon sa nagkalain-laing paagi aron masabtan. Usa niini nga mga pagpayano mao ang pagpanangput sa mga karga hinay-hinay, sama sa gihimo, pananglitan, sa mga sample sa tensile ug compressive nga pagsulay.
Kung ang usa ka asero nga bar nga gibug-atan sa pagtuy-od iapil sa usa ka kargang hinay-hinay nga motaas ug sukdon ang iyang dilatasyon ε, makuha ang diyagram nga gipakita sa hul. 8. Sa sinugdan, ang dilatasyon gamay kaayo ug proporsyonal sa tensiyon, sama sa gikinahanglan sa balaod ni Hooke. Sugod sa usa ka piho nga tensiyon, mohunong ang proporsyonalidad ug ang dilatasyon motubo nga mas paspas. Ang tukmang posisyon sa utlanan niini nga proporsyonalidad lisod matino. Mas tukma ang pagsukod, mas ubos kini makuha. Alang sa kadaghanan sa mga materyales, kini nahimutang sa σ = 0, ug ang balaod ni Hooke unya mopakita lamang sa unang pagduol sa elastikong pamatasan, ang unang termino sa pagpalambo sa Taylor nga serye sa punsyon ε = ε (σ) sa palibot sa sinugdanan sa koordinado.
Kon ang baras mahaw-as sa karga, maobserbahan nga, kon ang tensiyon dili kaayo dako, mawala usab ang deformasyon, subay sa balaod ni Hooke. Apan kini usab mausab kon malabwan ang usa ka piho nga tensiyon nga duol sa limitasyon sa proportionality, ang gitawag nga limitasyon sa elasticity; unya ang kinatibuk-ang deformasyon gilangkuban sa elastiko (mobalik) ug dili-elastiko (pamanahon) nga bahin. Bisan ang limitasyon sa elasticity dili matino sa tukmang paagi, nahimutang kini labi pa ka ubos samtang mas taas ang katukma sa pagsukod. Bisan pa, tungod kay dako ang teknikal nga kahulogan niini, kay kini nagrepresentar sa limitasyon sa kamahinungdanon sa halos tanang kalkulasyon sa resistensya sa materyales, ug sa samang higayon mao ang limitasyon diin motungha ang unang permanenteng kadaut, kini sa pagsulay sa mga sampol gipasabot pag-ayo pinaagi sa usa ka dawaton nga kumbensyon, busa, pananglitan, ingon nga limitasyon sa 0.2% ginamarkahan ang maong tensiyon diin ang permanenteng dilatasyon moabot sa 0.2%.
Sa dihang malabwan dayon ang utlanan sa elastisidad, ang deformation motubo kalit ug makita sa hubo nga mata; sa hapit kanunay nga karga ang baras magpadayon og pagkahaba. Kining karga gitawag nga utlanan sa pag-agos. Sa hydraulic nga mga makina sa pagsulay sa materyales, makita usab pagkahuman sa pagsugod sa pag-agos ang mas o menos klarong pag-ubos sa karga; sama sa gipakita sa hul. 8 pinaagi sa putol-putol nga kurba; unya ang maksimum gitawag nga ibabaw nga utlanan sa pag-agos, ug ang kanunay nga karga sa pag-agos nga mosunod mao ang ubos nga utlanan sa pag-agos.
Human maabot ang usa ka piho nga dilatasyon, nga halos hingpit nga dili elastiko, ang tensiyon magsugod pag-usab sa pagsaka, ang materyal mohaw-ang. Niining bahina sa karga motungha ang klarong pagkunhod sa cross-section sa bar tungod sa (dili elastiko) nga lateral contraction, ug ang dugang nga dagan sa diagram sa tensiyon ug pagdeform nagdepende una sa tanan kung sa pagkalkula sa tensiyon σ ang tensile force P nga naglihok sa bar bahinon ba sa orihinal nga cross-section F0 o sa kasamtangang cross-section F. Alang sa teknikal nga katuyoan makapainteres ang tensiyon P|F0 . Kini nga tensiyon moagi sa maksimum nga gitawag nga kusog sa materyal ug kung malabyan na kining maksimum, ang bar mosangko pag-ayo sa usa ka dapit ug maputol. Ang “tinuod nga tensiyon” P|F mosaka hangtod sa pagkaguba.
Larawan 8.
Ang pamatasan sa ubang mga metal sa daghang bahin lahi sa gihulagway dinhi. Ang pag-agos kasagaran dili klaro, ug ang pagkagahi magsugod dayon human malapas ang utlanan sa pagkamalastigon. Sa mga mabuakong materyales (bato, bildo, kongkreto) ang dili-malakastigong deformasyon kasagaran gamay ra ug bisan sa gamay nga pagpalapad mahitabo ang pagkaputol. Ang kinatibuk-ang pagpalapad nga maagian sa materyal hangtod sa pagkaputol mao ang sukod sa pagkaunat (sukwahi: kabuak) sa materyal ug kini, alang sa asero, tukmang gireseta sa mga teknikal nga kondisyon. Apan, tungod kay dayon sa wala pa ang pagkaputol ang dugang nga deformasyon magkonsentra sa mga palibot nga lugar sa gisumpay nga seksiyon, makuha ang lahi-lahi nga bili sa pagpalapad sa pagkaputol, depende kung ang mas dako o mas gamay nga bahin sa baras ang gamiton isip gitas-on sa pagsukod, mao nga aron makuha ang malinaw ug ikatandi nga mga resulta kinahanglan daan nga dawaton ang usa ka piho nga kombensiyon. Ang pagpalapad sa pagkaputol kasagaran sukdon pinaagi sa pagmarka sa gitas-on sa pagsukod Ι = 10 d sa usa ka lingin nga baras nga adunay diyametro d sa wala pa ang pagsulay ug gikan sa iyang pagkalugway ΔΙ kuwentahon ang pagpalapad sa pagkaputol εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Kung kinahanglan susihon ang mga baras nga adunay lahi nga seksiyon, ang gitas-on sa pagsukod itakda sumala sa diyametro sa lingin nga silindrikong baras nga adunay parehas nga area sa cross-section.
Dugayng pag-load
Alang sa dagan sa pagsulay sa pagbitad, halos wala’y kalainan kung ang karga hangtod sa pagkapalong motaas sulod sa 10 m minuto o pila ka oras. Apan, kon ang karga molihok sulod sa mga tuig o mga dekada, ubos sa pipila ka kahimtang makita nga bisan ubos pa sa yield limit ang deformasyon sa paglabay sa panahon sa kanunay nga tensiyon anam-anam nga modako. Niini, ang elastikong bahin, kana mao ang bahin nga mawala sa katapusan nga pagpagaan, dili kaayo mausab. Kining pagdako sa dili elastikong deformasyon nga mahitabo sulod sa taas nga panahon gitawag og pagkamang. Sa mga metal, gawas sa tingga, ang pagkamang adunay kahinungdanon lamang sa taas nga temperatura; apan alang sa inhenyero sa konstruksyon, kini adunay papel sa konkreto nga anam-anam nga moluya ilalom sa presyur, busa motaas ang tensiyon sa gipislit nga armadura, kon adunay ingon ana.
Nagkalain-lain nga karga
Aron ang mga mekanikal nga kinaiya sa materyal, nga nakuha sa tensile test, magamit isip sukdanan sa gitugot nga karga sa mga estruktura, kinahanglan nga ang materyal sa matag sublisubli nga pagkarga makahimo sa pag-antus sa stress nga kaniadto natiis na niya nga walay kadaot. Kining kondisyon dili matuman kon ang materyal kanunay nga ma-expose sa balik-balik nga pagkarga ug pag-ibsan sa karga, sama pananglitan sa kaso sa mga beam nga gi-ugtan sa inertial forces sa mga makina nga dili hingpit ang pagbalanse. Pinaagi sa igo kaayong kanunay nga pagbalik-balik sa pagkarga, ang usa ka estruktural nga bahin mahimong mubungkag bisan sa stress nga layo nga ubos pa sa kusog sa materyal nga gitino pinaagi sa ordinaryong static nga pagsulay. Ang panghitabo sa ingon nga pagkabungkag gitawag nga pagkabungkag tungod sa kakapoy. Ang gidaghanon n sa mga loading cycle nga masugtan sa materyal nagdepende sa kadak-on sa stress σ, busa mas modako kini kon mas gamay ang stress. Ang tipikal nga ehemplo sa maong pagsalig gipakita sa fig. 9, diin makita nga alang sa kusog sa materyal adunay ubos nga limitasyon nga iyang masugtan bisan sa bisan-unsang kadaghan sa loading cycles ug nga gitawag nga dinamikong kusog sa materyal Ang mga diagram sa ingon nga matang (fig. 9) gitawag nga mga Wöhler curve.
Hulagway 9.
Kaluwasan sa mga estruktura
Duha ka limit nga mga karga ang importante alang sa mga estruktura: ang karga diin motungha ang unang permanente nga kadaot (utlanan sa pag-agos), ug ang karga diin mahurot na ang kapasidad sa pagdala sa estruktura, mao nga kini mabali (utlanan sa pagkabali). Tungod kay sa wala pa ang utlanan sa pag-agos, sa labing menos mga banabana, nagbarug ang mga pagtuo sa resistensya sa materyal (gamay nga paglihok, balaod ni Hooke), ang kaluwasan batok sa permanente nga pag-deporma mahimong kasaligan nga matantiya sa tanang mga kaso diin masulbad ang mga kalisdanan sa matematika. Kon ang tensiyon proporsiyonal sa karga, ang relasyon sa tensiyon sa pag-agos ngadto sa pinakataas nga tensiyon nga motungha sa estruktura pareho sa relasyon tali sa karga diin motungha ang pag-agos ug sa tinuod nga karga ug nagrepresentar sa koepisyente sa kaluwasan batok sa pag-agos. Apan, sa daghang mga kaso wala kini yano nga relasyon: pagyukbo kon tangtangon ang tensyon, pagpislit tali sa mga nagbukol nga nawong, mga sistema nga mausab ang istruktura ug, nga labi pang dili maayo, pagyukbo nga adunay aksiyal nga pwersa. Sa tanang niini nga mga kaso, ang gamay ra nga pagdugang sa karga mahimong moresulta sa dakong pagtaas sa tensiyon, ug unya dili igo nga ang kasagarang koepisyente sa kaluwasan ipatuman sa mga tensiyon, kondili kinahanglan kini ipatuman sa karga.
Ang mga panghitabo nga mahitabo human sa paglapas sa limitasyon sa pag-agas hangtod sa pagkabungkag sa kadaghanan sa mga kaso mahimo na lamang sundan sa kwalitatibong paagi. Kung ang materyal dali maunat, ang mga bahin diin unang maabot ang limitasyon sa pag-agas, ug nga padayon nga mag-deform ubos sa kanunay nga tensyon o tensyon nga gamay ra ang pagsaka, gamay ra ang ilang ambag sa pagsalo sa dugang nga karga, busa ang ubang mga bahin sa estruktura nga mas ubos ang tensyon, kon mahimo sumala sa istruktura niini, mas dako ang ilang ambag sa pagdala. Niining tinguha sa pagkapareho sa mga taluktok sa tensyon anaa ang usa ka piho nga reserba sa kaluwasan, nga mahimong magamit sa kalkulasyon kung ang permanente nga deformasyon sa pipila ka mga bahin, nga nahitabo tungod sa usa lamang ka dakong karga, dili makadaot (metodo sa limit nga karga).
Kon ang materyal mabrittle, ang unang permanente nga kadaot makita sa mga liki, diin tungod niini sa delikadong lugar mas modaghan pa ang konsentrasyon sa stress, nga dayon hinungdan sa pagkabali. Ang pagkabali tungod sa kakapoy bisan sa mga ductile nga materyal adunay mga kinaiya sa brittle nga pagkadugmok.
Mga kalabotan tali sa mga tensyon para sa lain-laing mga seksiyonal nga eroplano
Mga ekwasyon sa pagbag-o
Ang siyam ka komponental nga mga tensiyon sa sl. 1, nalambigit sa tulo ka kondisyon sa balanse. Ang unom ka nahibilin nga mga kantidad σx, σy, σz τxy, τyz, τzx mahimong, gawasnon sa usa ug usa, makadawat og bisan unsang mga bili sama sa makita sa pagdedar sa mga diferensiyal nga ekwasyon sa teorya sa elastisidad. Apan, kung kini nga mga bili gihatag na, ang kahimtang sa tensiyon sa usa ka punto sa usa ka lig-on nga lawas hingpit nang natino, sa ato pa, kon nahibal-an na ang mga tensiyon alang sa tulo ka usag perpendicular nga mga eroplano, mahimo usab nga matino sa usa ka piho nga paagi ang tensiyon alang sa usa ka ikaupat nga eroplano nga moagi sa gihatag nga punto ug ang normal niini adunay bisan unsang direksyon.
Sa hul. 10 gipakita ang tetrahedron OABC nga ang tulo ka kilid parallel sa mga eroplano sa coordinate system x, y, z ug ang ikaupat nagrepresentar sa usa ka arbitraryong naka-orient nga elemento sa ibabaw ABC = dF. Aron ipakita ang direksiyon niini ug ang direksiyon sa tensiyon nga ipasa pinaagi niini, gisulod ang ikaduhang coordinate system, nga ang ξ axis patindog sa dF.
Hulagway 10
Ang kondisyon sa balanse sa mga puwersa nga naglihok niini nga tetrahedron sa direksiyon sa ξ axis naghatag
Kung tagdon nga ang
makuha
ug susama niini gikan sa kondisyon sa balanse sa direksyon sa aksis η:
Kini mao ang mga equation nga gigamit sa pagkalkula sa mga tensyon sa pagbag-o sa mga koordinada. Labing mahinungdanon nga tagdon lamang ang maong mga elemento sa nawong dF nga ang ξ-axis motumbas sa z-axis. Ang mga porma alang niini nga kaso mahimo nga makuha pinaagi sa pagpayano sa miaging mga porma o mabasa dayon gikan sa fig. 11:
Hulagway 11
Ang normal nga tensiyon mopakita og mga ekstremong bili alang sa mga direksiyon α = α0 , alang sa nga dσξ/dα = 0. Pinaagi sa pag-diferensiya gikan sa ekwasyon (16) makuha
ug busa, kon kining pahayag i-equal sa zero
Ang tensiyon τξη mahimong total nga shear stress usab sa kini nga mga eroplano, kon ang τyz = τzx = 0. Unya pinaagi sa equation (17) natino ang duha ka magkaatbang nga direksyon nga: 1. ang total nga shear stress zero ug, 2. ang normal nga tensiyon adunay mga ekstremong kantidad (maximum ug minimum). Kining mga direksyon gitawag nga mga direksyon sa punoan nga tensiyon, ug ang katugbang nga mga tensiyon pangunahing tensiyon. Gipaila sila pinaagi sa σ1 ug σ2 ug mahimong makwenta dayon gikan sa pormula
Mohro nga lingin
Ang mga equation (16) mahimong ipakita sa grafikong paagi sa tin-aw nga porma. Alang niini kinahanglan kining usbon ngadto sa porma:
Kining mga ekwasyon nagrepresentar sa coordinate system nga σ, τ sa parametric nga porma sa ekwasyon sa lingin, nga gilaraw sa fig. 12, kansang mga coordinate sa sentro mao ang σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 ug kansang radyus
Kining sirkulo gitawag og sirkulo ni Mohr. Kon pinaagi sa punto x magdrowing og linya nga parallel sa seksiyon x =const., diin gibalhin ang mga tensyon σx, τxy, motabok kini sa sirkulo sa punto p, nga gitawag og pol sa sirkulo ni Mohr. Matag linya pξ nga gihatak pinaagi niini nga pol motabok sa sirkulo sa punto ξ nga nagmatuod sa mga tensyon σξ, τξη nga gibalhin pinaagi sa seksiyon nga parallel sa pξ.
Sa may kalabotan sa ilhanan sa mga shear nga tensyon sa pagdrowing sa sirkulo ni Mohr, kinahanglan hinumdoman nga kini ibutang pataas kon adunay direksyon nga gipakita sa hul. 12c. Busa, sa duha ka konjugadong tensyon τxy, τyx, ang usa kanunay positibo, ug ang usa negatibo.
Sa mga limit nga bili sa σ1, σ2 sa normal nga mga tensyon motakdo ang mga punto 1 ug 2 sa lingin, ug ang mga linya _p_1 ug _p_2 naghatag sa mga direksyon sa pangunang mga tensyon.
Ang pagpakita sa mga tensyon nga anaa sa x-y nga eroplano pinaagi sa Mahr nga sirkulo wala magkinahanglan og bisan unsang pagpasabot mahitungod sa mga tensyon σz, τxz, τyz nga perpendicular niini nga eroplano.
Hulagway 12
Busa, mao usab kini sa labing kinatibuk-ang tulo-ka-dimensyonal nga kahimtang sa tensyon, kon ikompara lamang ang mga eroplano sa seksyon nga tanan moagi sa usa ka linya, nga dinhi gipili nga z ug ξ axis. Kay sumala sa kinatibuk-ang mga ekwasyon sa pag-transform (15) ang normal nga tensyon σ dili mahimong walay kinutuban sa bisan unsang eroplano sa seksyon, busa kini kinahanglan adunay alang sa usa ka eroplano ang may kinutuban nga maksimum σ1, ug alang sa lain ang minimum σ3, nga silang duha, tin-aw nga, mahimo usab nga negatibo. Kon pinaagi sa mga vector σ1 ug σ3 magdrowing og eroplano ug Mohr-ong lingin (sl. 13)
Hulagway 13
alang sa mga tensiyon nga nahimutang niining eroplano (sama sa tanang direksyon nga patindog niini nga eroplano), nan ang σ1 ug σ3 mao ang pinakadako ug pinakagamay nga normal nga tensiyon nga mahimong motungha ug busa kinahanglan nga magpatindogay sa usag usa. Kung ang mga direksyon 1 ug 3 madugangan sa direksyon 2, aron kining tulo ka direksyon makahimo og rektanggulo nga koordinat nga sistema, ug kung i-drawing ang Mahr nga mga lingin alang sa mga eroplano 1 ~2 ug 2 ~ 3, nan ang σ2 alang sa usa sa mga lingin mao ang pinakadako, ug alang sa laing usa ang pinakagamay nga normal nga tensiyon, ug busa sa mga cross-section nga patindog sa mga direksyon 1, 2 ug 3 ang shear nga tensiyon katumbas sa zero. Ang tulo ka usag patindog nga normal nga tensiyon σ1, σ2 ug σ3, nga walay katugbang nga shear nga tensiyon, gitawag nga mga pangunang tensiyon.
Ang utlanan sa paggusok ug ang utlanan sa pagkapikas sa kondisyon sa tulo-ka-dimensiyon nga kahimtang sa stress
Ang kahimtang sa tensyon gitawag nga usa-, duha- o tulo-ka-dimensiyon, sa laing pagkasulti: linear, patag o pangkalibotan, depende kon ang usa, duha o tulo ka pangunang tensyon lahi sa sero. Sa mga konstruksyon nga labing kasagarang gigamit, kana mao ang nabitad, napugos ug nabawog nga baras, ang kahimtang sa tensyon, labing menos sa labing pas-an nga mga lugar, usa ka-dimensiyon, ug ingon usab sa mga pagsulay sa pagbira, pagpugos o pagbow, nga sa pagsusi sa materyales halos eksklusibong gigamit aron matino ang gitugot nga mga tensyon. Sa laing bahin, sa mga plato nga gikarga sa sulod sa ilang eroplano o perpendikular niini, ingon man sa mga kabhang, ang kahimtang sa tensyon duha-ka-dimensiyon, ug sa pipila ka mga kaso mopakita usab ang tulo-ka-dimensiyon nga kahimtang sa tensyon, busa kinahanglan nga, base sa utlanan sa pag-agos ug pagkabali, nga gitino sa usa-ka-dimensiyon nga kahimtang sa tensyon, makahimo og mga konklusyon mahitungod sa pamatasan sa materyales sa kaso sa pangkalibotan nga kahimtang sa tensyon.