기초
재료역학의 임무는 고체가(예: 건축물, 구조 부재 또는 지반) 어떤 외력을 견딜 수 있는지를 규명하는 데 있다. 이 질문에 답하기 위해 두 가지 기준을 적용한다. 한편으로는 응력이 재료의 종류에 따라 정해지는 일정 한계를 초과해서는 안 되며, 다른 한편으로는 외력과 내력의 평형이 안정적이어야 한다. 이에 따라 재료역학의 모든 문제는 “응력 문제”와 “안정성 문제”로 나눌 수 있다.
막대와 보, 그리고 이들로 이루어진 구조물(트러스, 골조)에서는 응력 산정이 두 단계로 이루어진다. 먼저 주어진 외력으로부터 단면을 통해 전달되는 내부력의 합력이 계산되고, 이어서 이들 “단면력”으로부터 응력이 결정된다. 첫 번째 과정은 구조공학의 독립적이고 방대한 분야로, 고유한 정교한 방법들을 갖고 있으며, 일반적으로 재료역학과는 분리된다. 재료역학의 임무는 주어진 단면력으로부터 응력을 산정하는 데 있다.
재료 역학의 기본 개념
응력의 정의는 다음과 같은 기본적인 고찰을 통해 얻어진다. 어떤 물체에 외력의 평형계가 작용한다고 하자. 임의의 단면으로 물체를 두 부분으로 나누고, 그중 하나를 그에 작용하는 힘과 함께 제거했다고 생각해 보자. 그러면 나머지 부분에 대한 그 작용은 힘의 평형과 변형의 분포가 변하지 않도록, 단면을 통해 전달되는 보충력으로 대체되어야 한다. 이러한 “내부” 힘은 단면 전체에 연속적으로 분포하므로, 면적 요소 dF마다 힘 dβ가 대응한다. dβ/dF의 비를 구하고 dF -> 0의 극한을 취하면, 이 비는 응력이라 불리는 극한값에 접근한다. 특정 면적 요소에 대한 응력은 dβ와 마찬가지로 dF에 수직인 성분과 접선 성분으로 분해할 수 있으며, 이는 정응력 σ와 전단응력 τ이다.
같은 점을 지나는 절단면을 서로 다른 방향으로 취하면 서로 다른 응력이 대응한다. 특히 그림 1에 나타낸 요소 직육면체를 물체에서 떼어내면, 그 여섯 면 각각에는 x, y, z 좌표축 방향으로 세 성분으로 분해될 수 있는 응력 벡터가 작용한다. 서로 마주보는 면에 작용하는 응력은 물론 미분량만큼만 서로 다르므로, 3 * 3 = 9개의 성분 응력을 구분해야 하며, 이는 다음과 같이 표시한다:
정응력 σ에는 그 방향이 놓인 축의 첨자가 붙으며, 인장일 때는 양(+)으로, 압축일 때는 음(-)으로 본다. 전단응력 τ에는 두 개의 첨자가 붙는데, 첫 번째는 해당 정응력의 첨자와 같고, 두 번째는 전단응력이 작용하는 방향의 축을 나타낸다. 해당 정응력의 양(+) 방향이 좌표축의 양(+) 방향(음(-) 방향)과 같다면, 전단응력도 좌표축의 양(+) 방향(음(-) 방향)으로 작용할 때 양(+)으로 본다.
그림 1.
전단 응력의 공액성
기본 직육면체에 대해, 그림 1, x축에 대한 모든 힘의 모멘트가 0이라는 조건을 두면 τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz가 얻어진다. 여기서, 그리고 y 및 z축에 대한 두 개의 대응 방정식으로부터, 동일한 첨자를 가진 전단응력은 서로 같다는 것 τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)이 얻어진다.
성분 변형
앞서 정의한 응력이 물리적 의미를 갖는다는 것은, 외력의 작용을 받는 모든 물체가 겪는 변형과 그 정의와의 관계에서 비롯된다. 그림 2는 변형 전에는 직사각형이고 모서리 길이가 dx, dy, dz였던 하나의 기본 직육면체를 보여준다. 변형 후의 모서리 길이는 dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz로 표시할 수 있으며, 비율 εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz는 신율이라 한다. 이것들은 무차원량이며, 건축에서 고려되는 모든 재료에 대해 1에 비해 작다. 모서리의 신장 외에도 기본 직육면체 dx * dy * dz는 그 면들 사이의 원래 직각이 변하는 변형도 겪을 수 있다.
그림 2. 성분 변형
변형 후에는 OC 변에 따라 만나는 평면들 사이의 각이 
와 같다고 하고, 마찬가지로 AO 변을 따른 직각의 감소가 γyz, OB 변을 따른 감소가 γzx와 같다고 하자. 이 세 각변화 γxy, γyz, γzx를 전단변형이라 하며, 이것들도 항상 1에 비해 작다. 여섯 개의 성분 ε와 γ만으로 ’미소변형’인 기본 입방체의 변형이 완전히 정해진다. 체적 요소 d_V = dx * dy * dz_의 변화는 ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - _dx dy dz,_이며, 변형률의 곱을 2차 이상의 작은 항으로 무시하면 입방 변형률 ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)를 얻는다
변위
고체의 변형은 각 점이 겪은 변위를 각 점마다 부여함으로써 완전히 설명할 수도 있습니다. 강체의 운동에 해당하는 유한한 크기의 변위를 관찰에서 제외하고, 필요하면 계산에서 이동 좌표계를 채택하면, 성분 변위 μ, ν, ω는 항상 작은 값이 되고 좌표에 대한 이들의 미분값도 1에 비해 작습니다. 이러한 가정하에 그림 3에 따라 선요소 OA = dx의 길이는 변형 후
따라서 
(3)
이와 비슷하게 그림 3에서 전단이 γxy γ1 + γ2:임을 알 수 있으며 또한
(4)
그림 3 미끄러짐
(5) 
(6)
이러한 관계를 적합성 조건이라고 하며, 변형된 요소들이 모자이크처럼 서로 맞물려 공간이 연속적으로 채워질 수 있음을 나타낸다. 요소들의 변형이 임의적이면 이는 달성될 수 없다. 적합성 조건은 미분방정식이므로, 각 개별 직육면체의 여섯 개 성분 변형은 서로 독립적이지만, 각 유한한 연속 영역에서 그 배치는 (5) 및 (6)의 조건에 의해 제약된다.
이러한 조건은 식 (3)과 (4)을 미분하여 얻어졌기 때문에, 이를 유도하는 과정에서 원래의 식에 포함된 일부 구속이 사라진다. 따라서 변형의 호환성이 보장되려면 이 두 식 체계 중 하나만 충족해서는 충분하지 않으며, 두 식 체계 모두를 만족해야 한다.
탄성계의 미분방정식
탄성체의 응력과 변형을 계산하기 위해 다음 방정식들을 사용한다:
체적 요소의 평형 조건. 세 축 주위의 모멘트가 0이라는 조건은 이미 식 (1)을 유도할 때 사용되었다. 힘의 평형 조건은 그림 4에 따른다
그림 4
(7a-c)
X, Y, Z로 체적력의 성분(예: 중량, 원심력)을 단위 체적당으로 표시한다. 응력과 변형의 관계. 여기서 말하는 것은 성분 응력과 성분 변형 사이의 관계를 뜻한다. 탄성 이론에서는 일반적으로 선형 관계만을 고려하며, 이는 훅의 법칙으로 나타낸다:
(8a-c)
(8d-f)
방정식 (8a-c)을 응력에 대해 풀면, 다음을 얻는다
(8 a)
그리고 이에 대응하는 두 개의 방정식. 방정식 (8)으로 표현된 Hooke의 법칙은 엄격히 성립하는 자연법칙이 아니라, 실제 거동을 이상화한 것이며, 실제 거동은 재료와 응력의 크기에 따라 그로부터 더 많거나 적게 벗어난다. 응력과 변형 사이에 복잡한 비선형 관계가 있는 재료역학 문제를 수학적으로 다루는 일은 훨씬 더 큰 어려움을 수반하며, 실제로는 가장 단순한 경우에만 적용할 수 있으므로, Hooke의 법칙에서 크게 벗어나는 재료(콘크리트!)에 대해서도 그에 기초한 계산은 우선적으로, 그리고 대부분은 유일한 근사 해법으로 사용해야 한다. 이는 결국 대체로 매우 유용하며, 단지 정성적 수준을 넘는 통찰도 제공한다. G = E|2 (1+μ).
그것은 응력과 변형 사이의 관계(8)와 응력에 대한 변환 방정식(16)에서 필연적으로 도출되며, 성분 변형에 대한 해당 방정식 체계에서도 E와 G는 응력의 차원을 가지며 모든 건설 재료에서 나타날 수 있는 응력 σ와 τ에 비해 크다. 그러나 이 사실에 근거하여, 탄성 이론 전반에서 받아들여지는 가정, 즉 변형은 작다는 가정이 성립한다. 횡팽창계수(푸아송수) μ는 무차원이며 항상 0와 1/2 사이에 있다.
성분 변형과 변위의 관계. 이 관계는 식(3), (4)로 주어진다. 이는 순수한 기하학적 성격을 가진다. 이 세 시스템은 3+6+6=15개의 방정식을 15개의 미지수, 즉 6개의 성분 응력, 6개의 성분 변형률 및 3개의 성분 변위에 대해 제공한다. 따라서 이들은 이들 미지수를 결정하기에 충분하다. 이와 같이 방대한 미분방정식계의 수학적 해결은 물론 특수한 경우에만 가능하다. 식(8)에서 성분 변형률을 식(3) 및 (4)에 따라 성분 변위로 치환하고, 이어서 식(8 d - f)에 따른 법선응력 σ와 전단응력 τ를 평형조건, 식(7),에 대입하면, 기본적으로 탄성 이론의 기본 방정식이라 불리는 미분방정식이 얻어진다.
(9)
여기서 
는 라플라스 연산자를 나타낸다. (2)에 비추어 보면, 이는 세 개의 성분 변위 μ, ν, ω를 갖는 세 개의 미분방정식이며; 이들로부터는 다시 (3), (4) 및 (8)에 따라 미분함으로써 모든 성분 응력과 변형률을 구할 수 있다. 방정식 (9)은 특수한 경우를 연구하는 데 자주 적합한 출발점을 이룬다.
변형 작업
정의
지지체에 하중이 가해지면 외력의 작용점은 탄성 변위를 겪고, 그 과정에서 힘은 일정한 일을 한다. 이렇게 전달된 에너지는 다양한 형태로 전환될 수 있다. 하중이 급격히 가해져 변형 과정의 속도가 상당히 클 경우, 이 에너지의 일부는 운동에너지로 변하고, 시간이 지나면서 다음과 같은 방식으로 소산된다. 즉, 지반으로 전달되어 무한히 사라지는 탄성파가 되거나, 내부마찰에 의해 열로 전환된다. 하중을 매우 서서히 가하여 눈에 띄는 운동에너지 증가가 생기지 않고, 따라서 0에서부터 점차 증가하는 하중이 내부력과 계속 평형을 이루는 경우에는, 에너지는 명백히 물체의 변형에만 소비되며 이때 이를 변형일이라 한다.
변형 작업의 계산은 먼저 한 방향 인장 하중을 받는 작은 부분에 대해 설명하겠다(그림 5).
기존 응력 σ와 이에 대응하는 변형률 ε에 각각 dσ와 dε의 증분이 생긴다고 하자. 그러면 경로 dε * dl에서 힘 σdF는 일을 하며, dF의 미소체적을 dV로 표시하면 σdF * dεdl = σdεdV가 된다. 응력이 0에서 최종값까지 증가하고 그에 따라 변형률이 0에서 ε까지 변한다면, 단위 체적당 총 수행 일은 다음과 같다:
마찬가지로 전단응력 τ를 받는 요소(그림 6)에 대해서도, 단위 체적당 변형 일(비변형 일, 탄성 퍼텐셜)은 다음과 같다:
그중 네 개의 힘 τ * dF 중 오직 하나만이 일을 한다.
일반적인 경우, 여섯 개의 모든 성분응력이 미소 요소에 작용할 때, 각 성분응력이 한 일들을 합산하여 특수 변형일이 얻어진다:
(10)
이들 각 적분의 상한에 대해 미분하면, 가장 일반적인 경우에 성립하는 관계식이 얻어진다:
(11)
그리고 기타 성분 변형도 마찬가지이다. 물체가 탄성이 있으면, 특정 응력 상태에는 하중 또는 하중 제거 시점과 관계없이 항상 동일한 변형 상태가 대응한다. 이때 적분 아래에는 단일값 함수가 놓이게 되며, 하중 후 완전한 하중 제거까지 소비된 총 에너지는 a = 0가 되는데, 이는 이 경우 적분의 상한이 0이 되기 때문이다. 따라서 하중 시 물체에 가해진 총 에너지는 하중 제거 시 되돌아온다.
그림 6
그림 7
불완전 탄성체의 경우, 응력과 변형률의 관계는 전체 하중 및 하중 제거 주기 동안 대체로 그림 7의 O A B 선으로 나타난 형태를 가진다. 하중 시 투입된 에너지 
는 OAA 면적과 같고, 하중 제거 시 되돌아오는 에너지는 ABA 면적과 같으므로, 음영 처리된 면적에 해당하는 일이 손실된다(열로 전환된다). 진동 과정에서 응력이 양의 한계값 
과 음의 한계값 
사이에서 주기적으로 변하면, 비탄성 변형은 그림 7에 점선으로 표시된 것과 유사하게 진행되며, 각 진동 주기마다 단위 체적당 열로 전환되는 에너지는 _DABCD_이다. 변형 시 변형이 응력보다 뒤처지는 이러한 거동을 _탄성 히스테리시스_라 하며, 곡선 _DABCD_를 히스테리시스 루프라고 한다.
변형 일과 훅의 법칙
식 (10)의 적분에 Hooke의 법칙을 도입하면 적분을 수행할 수 있으며, 이에 따라 단위 변형에 대한 일은 다음과 같은 식으로 얻어진다:
(12a)
(12b)
(12c)
이들 형식 중 두 번째 것을 식 (11)에 대입하면 다시 훅의 법칙, 즉 식 (8)을 응력으로 정리한 형태로 얻는다. 변형에너지 일이 성분 변형에 의존한다는 진술은, 식 (12b)로 나타난 것처럼, 따라서 훅의 법칙과 동등하다. 식 (12c)을 응력에 대해 미분하면 다음을 얻는다.
(13)
이 식들은 식 (11)과 달리 훅의 법칙에 따라 거동하는 물체에만 적용되며, 응력과 변형의 관계가 다를 경우에는 적용할 수 없다. 물론 식 (13)의 오른쪽에는 응력에 의해 유발된 성분 변형만 있으며, 온도 변화, 크리프, 팽윤, 재결정화 등으로 인해 발생했을 수 있는 다른 변형은 모두 제외된다.
탄성 이론의 적분 정식
가상 변위. 위치에너지 최소 원리
훅의 법칙, 즉 방정식 (8)을 하나의 방정식 (12b)으로 대체할 수 있는 것처럼, 평형 조건 대신 가상변위의 원리를 기계학의 일반적으로 타당한 기본법칙으로 도입할 수 있다. 이 법칙은 평형 상태가 상태의 작은 변형 변화에 대해 모든 힘이 수행한 총 일이 0과 같다는 점에 의해 특징지어진다는 것을 나타낸다. 탄성 변위의 작은 변화를 _δμ δν, δω_로 표시하면, 방정식 (7)으로 정의되는 체적력은 가상일을 한다
및 외부 표면의 요소 dF에 작용하는 표면력 px, py, pz 작업 
여기서 삼중적분은 전체 체적에 대해, 이중적분은 물체의 전체 외부 표면에 대해 취한다. 내부력이 하는 일을 계산하기 위해 식 (12b)을 사용하며, 단위 체적당 일은 다음과 같이 얻어진다
이에 따라 가상변위의 원리는 다음을 준다
(14)
하중 X, Y, Z px, py., pz를 중력의 구성 성분(자중 및 외부 하중)으로 간주하면, 오른쪽의 적분들은 이 하중들이 잃은 위치에너지를 나타내고, 왼쪽은 물체의 위치에너지(탄성에너지)의 증가량을 나타내므로, 이 원리는 보와 그 위에 놓인 하중의 전체 위치에너지가 평형 상태에서 극값을 갖는다는 것을 의미합니다. 이 극값이 최소값이면 평형은 안정적입니다.
방정식 (14)으로 나타낸 최소 퍼텐셜 에너지의 원리, 변형일에 대한 식 (12b), 변형의 적합 조건 (5), (6)은 탄성 이론을 구축하기에 충분한 방정식 체계를 이루며, 본질적으로는 방정식 체계와 동등하다. 이 체계는 특히 미분방정식 (9)을 만족시키는 데 계산상의 어려움이 있을 때 유용할 수 있으며, 그 때문에 근사해를 구해야 한다. 예를 들어 변위를 미리 적절한 형태로 가정하고 몇 개의 자유상수를 포함시킨 다음, 방정식 (14)이 만족되도록 이 상수들을 결정한다. 이렇게 하면 문제의 엄밀한 해를 얻는 것이 아니라, 선택한 해의 형태로 얻을 수 있는 최선의 근사만을 얻게 된다. 근사가 충분한지는 무엇보다 채택한 해의 형태에 달려 있으며, 이 방법을 성공적으로 적용하려면 따라서 숙련과 경험이 필요하다.
Castigliano의 원리
최소 퍼텐셜 에너지 원리에서는 변형의 호환 조건을 만족하는 모든 변형 상태를 비교하고, 그중에서 대응하는 응력이 평형 조건을 만족하는 상태를 가려낸다. 반면 Castigliano의 원리에서는 평형 조건을 만족하는 모든 응력 상태를 비교하고, 그중에서 대응하는 변형이 변형의 호환 조건을 만족하는 상태를 가려낸다. 이 원리는 다음과 같다. 가능한 모든 평형 상태 중 실제로 일어나는 것은 변형 에너지가 가장 작은 상태이다. Castigliano의 원리는 변형 에너지에 대한 방정식 (12c)과 평형 조건과 함께 재료역학을 구성하는 데 충분한 방정식계를 이룬다. 이 원리에는 Hooke의 법칙이 포함되어 있으므로, 이를 적용할 수 있으려면 변형이 이 법칙으로 완전히 설명될 수 있다는 가정이 필요하다. 이는 재료의 선형 탄성 거동을 요구할 뿐 아니라 온도 변화도 배제한다.
탄성 한계를 초과한 재료의 거동
정적 하중에서의 현상
응력의 영향 아래서의 재료 변형은 매우 복잡한 현상이므로, 이를 이해하기 위해서는 여러 방향에서 단순화할 필요가 있다. 이러한 단순화 중 하나는, 예를 들어 인장 및 압축 시험에서 시편에 하중을 점차 가하는 것처럼 하중이 단계적으로 가해진다고 가정하는 것이다.
인장하중을 받는 강봉에 점차 증가하는 하중을 가하고 그 신장량 ε를 측정하면, 그림 8에 나타난 다이어그램을 얻을 수 있습니다. 초기에는 신장량이 매우 작고 응력에 비례하는데, 이는 훅의 법칙이 요구하는 바와 같습니다. 어느 특정 응력부터는 비례성이 사라지고 신장량은 더 빠르게 증가합니다. 이 비례성의 경계를 정확히 정하는 것은 어렵습니다. 측정이 정확할수록 그 값은 더 낮게 나타납니다. 대부분의 재료에서는 σ = 0에 해당하며, 이때 훅의 법칙은 탄성 거동에 대한 첫 번째 근사, 즉 좌표 원점 부근에서 함수 ε = ε(σ)의 테일러 급수 전개 첫 항에 불과합니다.
막대를 하중 해제하면, 응력이 너무 크지 않았을 경우 변형도 사라지는 것이 관찰되는데, 이는 훅의 법칙에 따른다. 그러나 일정한 응력을 초과하면 이것도 달라지며, 그 응력은 비례 한계 근처에 있는 이른바 탄성 한계이다. 그러면 전체 변형은 탄성(복원) 부분과 비탄성(영구) 부분으로 이루어진다. 탄성 한계도 정확히 정할 수 없으며, 측정 정확도가 높을수록 그 값은 더 낮게 나온다. 그러나 이것은 기술적으로 매우 중요하다. 왜냐하면 거의 모든 재료역학 계산에서 유효성의 한계를 나타내고, 동시에 최초의 영구 손상이 발생하는 한계이기 때문이다. 따라서 시편 시험에서는 채택된 관례에 따라 엄격히 정의되며, 예를 들어 0.2% 한계로는 영구 변형률이 0.2%에 도달하는 응력을 표시한다.
탄성한계를 막 지나면 변형은 급격히 증가하며 육안으로도 관찰할 수 있다. 거의 일정한 응력에서 막대는 계속 늘어난다. 이 응력을 항복한계라고 한다. 재료 시험용 유압 기계에서는 항복이 시작된 뒤 응력의 다소 뚜렷한 감소를 볼 수도 있는데, 그림 8의 점선 곡선에서 표시한 바와 같다. 이때 최대값을 상항복한계라고 하고, 그 뒤에 나타나는 일정한 항복응력을 하항복한계라고 한다.
어느 정도의, 거의 전적으로 비탄성적인 변형이 도달하면 응력은 다시 증가하기 시작하며, 재료는 경화된다. 이 하중 구간에서는 비탄성적인 측방 수축 때문에 봉의 단면이 현저히 감소하고, 응력 및 변형도 다이어그램의 이후 진행은 무엇보다도 응력 σ를 계산할 때 봉에 작용하는 인장력 P를 초기 단면 _F0_로 나누는지, 아니면 현재 단면 _F_로 나누는지에 따라 달라진다. 기술적 목적에서는 응력 _P|F0_가 중요하다. 이 응력은 재료 강도라고 부르는 최대값을 지나며, 이 최대값을 넘으면 봉은 한 지점에서 크게 좁아져 파단된다. “실제 응력” _P|F_는 파괴까지 증가한다.
그림 8.
다른 금속들의 거동은 여기서 설명한 것과 많은 점에서 다르다. 항복은 흔히 뚜렷하지 않고, 경화는 탄성한계를 넘긴 직후 시작된다. 취성 재료(돌, 유리, 콘크리트)의 경우 비탄성 변형은 일반적으로 매우 작고, 작은 연신만으로도 파괴가 일어난다. 재료가 파괴될 때까지 겪는 전체 연신은 재료의 연성(반대: 취성)의 척도이며, 강재의 경우 이는 기술 조건에서 정확히 규정된다. 그러나 파괴 직전에 추가 변형이 좁아진 단면 주변 부위에 집중되므로, 측정 길이로 막대의 어느 정도 큰 부분을 취하느냐에 따라 파단 시 연신값이 달라진다. 따라서 일관되고 서로 비교 가능한 결과를 얻기 위해서는 미리 일정한 관례를 정해야 한다. 파단 시 연신은 보통 지름 d의 원형 막대에 시험 전에 측정 길이 Ι = 10 _d_를 표시하고, 그 연장량 ΔΙ_로부터 파단 시 연신 εs_Ι = ΔΙ|Ι 를 계산하는 방식으로 측정한다. 단면이 다른 막대를 시험해야 하는 경우에는, 동일한 단면적을 가지는 원통형 막대의 지름에 따라 측정 길이를 정한다.
장기 하중
인장 시험의 경과에 있어서는 파단까지의 하중이 10 m분 동안 증가하든 몇 시간에 걸쳐 증가하든 그다지 차이가 없다. 그러나 하중이 수년 또는 수십 년 동안 작용하는 경우에는, 특정 조건에서 항복한계 이하에서도 일정한 응력 하에서 변형이 시간에 따라 서서히 증가하는 것이 관찰된다. 이때 최종적으로 하중을 제거하면 사라지는 탄성 부분, 즉 그 부분은 현저하게 변하지 않는다. 오랜 시간에 걸쳐 일어나는 이 비탄성 변형의 증가는 크리프라고 한다. 금속에서는 납을 제외하면 크리프는 높은 온도에서만 의미가 있으나, 토목공학자에게는 압축을 받으면 서서히 변형하는 콘크리트에서 중요한 역할을 하며, 그 결과 압축 철근이 있는 경우 그 철근의 응력이 증가한다.
가변 하중
인장시험에서 얻은 재료의 기계적 특성을 구조물의 허용하중 판단 기준으로 적용하려면, 재료가 반복 하중을 받을 때마다 한 번 손상 없이 견딘 응력을 다시 견뎌야 한다는 조건이 필요하다. 이 조건은 재료가 반복적인 하중과 이완에 자주 노출되는 경우에는 충족되지 않는데, 예를 들어 완전하게 균형 잡히지 않은 기계의 관성력에 의해 하중을 받는 보가 그 경우이다. 충분히 잦은 하중 반복은 정적 시험에서 결정된 재료 강도보다 훨씬 낮은 응력에서도 구조 부재를 파괴에 이르게 할 수 있다. 이러한 종류의 파괴 현상을 _피로 파괴_라고 한다. 재료가 견딜 수 있는 하중 사이클 수 n은 응력 σ의 크기에 따라 달라지며, 응력이 작을수록 더 커진다. 이 의존성의 전형적인 예가 그림 9에 제시되어 있으며, 여기서 재료 강도에는 임의로 큰 하중 사이클 수에서도 견디는 하한이 존재하고 이를 _동적 재료 강도_라고 부른다는 것을 알 수 있다. 이러한 유형의 도해(그림9)를 뵐러 곡선이라 한다.
그림 9.
구조물의 안전성
두 개의 한계 하중은 구조물에 중요하다. 즉, 최초의 영구 손상이 발생하는 하중(항복 한계)과 구조물의 지지능력이 소진되어 파괴되는 하중(파괴 한계)이다. 항복 한계 이전에는 적어도 근사적으로 재료역학의 가정(미소 변위, 훅의 법칙)이 성립하므로, 영구 변형에 대한 안전성은 수학적 어려움을 극복할 수 있는 모든 경우에 신뢰성 있게 평가할 수 있다. 응력이 하중에 비례한다면, 항복응력과 구조물에 나타나는 최대 응력의 비는 항복이 발생하는 하중과 실제 하중의 비와 같으며, 항복에 대한 안전계수를 나타낸다. 그러나 여러 경우에는 이 단순한 관계가 성립하지 않는다. 즉, 인장을 제외한 굽힘, 볼록한 면 사이의 압축, 구조가 변하는 시스템, 그리고 특히 불리한 축력을 동반한 굽힘이 그렇다. 이러한 모든 경우에는 하중이 비교적 조금만 증가해도 응력이 크게 증가할 수 있으며, 이때는 일반적인 안전계수를 응력에 적용하는 것만으로는 충분하지 않고 하중에 적용해야 한다.
항복한계를 넘은 뒤 파괴에 이르기까지의 현상은 대부분의 경우 이제는 정성적으로만 추적할 수 있다. 재료가 연성이면, 먼저 항복한계에 도달한 부분은 그 이후에도 일정한 응력 또는 약간 증가하는 응력에서 변형되며, 추가 하중을 받아들이는 데에는 거의 기여하지 않는다. 따라서 구조의 나머지 부분은, 그 구조에 따른 조건이 허용하는 한, 더 많은 하중을 부담하게 된다. 응력 첨두를 평준화하려는 이러한 경향에는 일정한 안전 여유가 있으며, 개별 부재에 한 번의 큰 하중으로 생긴 영구 변형이 해롭지 않다면 계산상 활용할 수 있다(한계하중법).
재료가 취성일 경우, 첫 번째 영구 손상은 균열로 나타나며, 그로 인해 위험 부위에서 응력 집중이 더욱 커져 즉시 파단이 일어납니다. 피로에 의한 파단은 연성 재료에서도 취성 파괴의 특성을 보입니다.
서로 다른 단면에서의 응력 사이의 관계
변환 방정식
그림 1의 아홉 개 성분 응력은 세 개의 평형 조건과 관련된다. 나머지 여섯 변수 σx, σy, σz τxy, τyz, τzx는 탄성 이론의 미분방정식 유도에서 보이듯 서로 독립적으로 임의의 값을 가질 수 있다. 그러나 이러한 값이 주어지면 어떤 고체의 한 점에서의 응력 상태는 완전히 결정된다. 즉, 서로 직교하는 세 평면에 대한 응력이 알려져 있으면, 해당 점을 지나고 법선이 임의의 방향을 갖는 네 번째 평면에 대한 응력도 일의적으로 구할 수 있다.
그림 10에는 좌표계 _x, y, z_의 세 평면에 평행한 세 면과, 네 번째 면이 임의 방향의 면 요소 _ABC = dF._인 사면체 _OABC_가 나타나 있다. 그 방향과 이를 통해 전달되는 응력의 방향을 나타내기 위해 두 번째 좌표계를 도입하며, 그 ξ축은 _dF._에 수직이다.
그림 10
이 tetrahedron에 ξ축 방향으로 작용하는 힘들의 평형 조건은 다음을 준다
다음을 고려하면
얻어진다
그리고 이와 유사하게 축 η 방향의 평형 조건으로부터:
이들은 좌표 변환 시의 응력을 계산하는 데 쓰이는 방정식이다. 특히 표면 요소 dF 중에서 ξ-축이 z축과 일치하는 경우만을 고려하는 것이 중요하다. 이 경우의 식은 앞의 식을 단순화하여 얻을 수도 있고, 또는 도면 11에서 직접 읽을 수도 있다:
그림 11
정응력은 극값을 갖는 방향 α = α0 에서 극값을 가지며, 그때 dσξ/dα = 0 이다. 미분하면 식(16)로부터
따라서 이 식을 0과 같게 놓으면
응력 τξη 는 이 평면들에서 총 전단응력이 되며, 만약 τyz = τzx = 0이라면 그렇다. 그러면 식 (17)에 의해 서로 직교하는 두 방향이 정해지며, 그 방향에서는: 1. 총 전단응력은 0이고, 2. 법선응력은 극값(최대 및 최소)을 갖는다. 이 방향을 주응력 방향이라 하고, 이에 대응하는 응력을 _주응력_이라 한다. 이들은 σ1 및 σ2로 표시되며, 다음 식으로 직접 계산할 수 있다
모어 원
방정식(16)은 그래픽으로 명확하게 나타낼 수 있다. 이를 위해 다음과 같은 형태로 변환해야 한다:
이 식들은 좌표계 σ, τ에서 그림 12에 그려진 원의 매개변수형 방정식을 나타내며, 그 중심의 좌표는 σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0이고, 그 반지름은
이 원을 모르 원이라고 한다. 점 x를 지나고 x =const.인 단면에 평행한 직선을 그어 그 단면을 통해 전달되는 응력 σx, τxy를 취하면, 그것은 원과 p점에서 만나며, 이 점을 모르 원의 극이라 한다. 이 극을 지나 그린 모든 직선 pξ는 원과 ξ점에서 만나며, 이 점은 _pξ_에 평행한 단면을 통해 전달되는 응력 σξ, τξη를 정한다.
모르 원을 그릴 때 전단응력의 부호에 대해서는, 도면 12c에 보인 방향일 경우 위쪽으로 표시한다는 점에 유의해야 한다. 따라서 서로 대응하는 두 응력 τxy, τyx 중 하나는 항상 양(+)이고 다른 하나는 음(-)이다.
정규응력의 한계값 σ1, σ2에 대응하는 점 1와 2가 원 위에 있으며, 직선 _p_1와 _p_2는 주응력의 방향을 나타낸다.
Mahr 원을 이용한 x-y 평면 내 응력의 표현은 이 평면에 수직인 응력 σz, τxz, τyz에 대해 아무런 가정도 요구하지 않는다.
그림 12
따라서 이는 가장 일반적인 3차원 응력 상태에도 적용되며, 다만 여기서는 모두 같은 직선을 지나가는 단면만을 비교하는데, 이 직선은 여기서 z 및 ξ 축으로 선택되어 있다. 일반 변환 방정식(15)에 따르면 정규응력 σ는 어떤 단면에서도 무한대로 될 수 없으므로, 어떤 평면에서는 유한한 최대값 σ1을, 다른 평면에서는 최소값 σ3을 가져야 하며, 이 둘은 물론 음수일 수도 있다. σ1과 σ3 벡터를 지나는 평면을 그리고 모어의 원(그림 13)을 그리면
그림 13
이 평면에 놓이는 응력, 즉 이 평면에 수직인 모든 방향에 대해서는, σ1와 σ3가 발생할 수 있는 최대 및 최소 법선응력이므로 서로 수직이어야 한다. 방향 1와 3에 방향 2를 더해 이 세 방향이 직교 좌표계를 이루도록 하고, 평면 1 ~2 및 2 ~ 3에 대한 Mahr 원을 그리면, σ2는 이 원들 중 하나에서는 최대 법선응력이고 다른 하나에서는 최소 법선응력이며, 따라서 방향 1, 2 및 3에 수직인 단면에서는 전단응력이 0이 된다. 전단응력이 대응하지 않는 세 개의 서로 수직인 법선응력 σ1, σ2 및 σ3를 주응력이라고 한다.
항복 한계와 공간 응력 상태에서의 파괴 한계
응력 상태는 하나-, 둘- 또는 셋-차원적, 달리 말해 선형, 평면 또는 공간적 상태라고 하며, 하나, 둘 또는 세 개의 주응력이 0이 아닌지에 따라 구분된다. 가장 흔히 적용되는 구조 부재, 즉 인장봉, 압축봉 및 휜 봉에서는 응력 상태가 적어도 가장 큰 응력이 작용하는 부위에서는 1차원적이며, 재료 시험에서 허용응력을 결정하기 위해 거의 전적으로 사용되는 인장, 압축 또는 굽힘 시험에서도 마찬가지이다. 반대로, 면내 하중 또는 면외 하중을 받는 판과 쉘에서는 응력 상태가 2차원적이며, 경우에 따라 3차원 응력 상태도 나타나므로, 1차원 응력 상태에서 정해진 항복 및 파괴 한계를 바탕으로 공간적 응력 상태에서의 재료 거동을 추론할 필요가 있다.