Bahan: Kekuatan bahan dan teori elastisitas

Dasar-dasar

Tugas kekuatan bahan adalah menentukan gaya luar apa yang dapat ditahan oleh benda padat (misalnya bangunan, bagian konstruktif, atau tanah). Untuk menjawab pertanyaan ini, digunakan dua kriteria: di satu sisi, tegangan tidak boleh melampaui batas-batas tertentu yang bergantung pada jenis bahan, dan di sisi lain keseimbangan antara gaya luar dan gaya dalam harus stabil. Sesuai dengan ini, semua masalah kekuatan bahan dapat dibagi menjadi “masalah tegangan” dan “masalah stabilitas.”

Pada batang dan balok serta penopang yang tersusun darinya (kisi-kisi, rangka), penentuan tegangan dilakukan dalam dua langkah, yaitu dengan cara pertama-tama dihitung resultan gaya-gaya dalam yang diteruskan melalui penampang melintang berdasarkan gaya luar yang diberikan, kemudian dari “gaya-gaya penampang” ini ditentukan tegangannya. Bagian pertama dari prosedur ini merupakan disiplin tersendiri yang luas, yaitu statika konstruksi bangunan, yang memiliki metode-metodenya sendiri yang telah dikembangkan dan yang biasanya dipisahkan dari kekuatan bahan, yang tugasnya terbatas pada penentuan tegangan dari gaya-gaya penampang yang diberikan.

Konsep dasar ketahanan material

Definisi tegangan diperoleh melalui pertimbangan dasar berikut. Misalkan pada benda bekerja sistem gaya luar yang seimbang. Bayangkan bahwa kita membagi benda dengan suatu penampang sembarang menjadi dua bagian, dan bahwa salah satunya kita singkirkan bersama gaya-gaya yang bekerja padanya; maka pengaruhnya pada bagian yang lain, agar keseimbangan gaya dan susunan deformasi tetap tidak berubah, harus digantikan dengan gaya-gaya tambahan yang diteruskan melalui permukaan penampang. Gaya-gaya “internal” ini tersebar terus-menerus di atas permukaan penampang, sehingga untuk setiap elemen luas dF sesuai gaya dβ. Jika dibentuk hasil bagi dβ dF dan dilakukan pendekatan limit dF -> 0, maka hasil bagi ini mendekati nilai batas yang disebut tegangan. Tegangan pada elemen luas tertentu adalah, seperti dβ, dan dapat diuraikan menjadi komponen normal dan tangensial terhadap dF, yaitu tegangan normal σ dan tegangan geser τ.

Jika penampang ditarik melalui titik yang sama dalam arah yang berbeda, maka tegangan yang berbeda juga akan sesuai dengannya. Khususnya jika dari benda diambil kubus elementer, yang ditunjukkan pada gambar 1, pada masing-masing dari keenam permukaannya akan bekerja vektor tegangan yang dapat diuraikan menjadi tiga komponen searah sumbu koordinat x, y, z. Tegangan yang bekerja pada sisi-sisi permukaan yang berhadapan saling berbeda, tentu saja, hanya sebesar diferensial, sehingga perlu dibedakan 3 * 3 = 9 tegangan komponen, yang dinyatakan sebagai berikut:

Pada tegangan normal σ diberikan indeks sumbu yang searah dengannya dan dianggap positif jika menimbulkan tarik, negatif jika menimbulkan tekan. Tegangan geser τ diberi dua indeks, yang pertama sama dengan indeks tegangan normal yang bersangkutan, sedangkan yang kedua mengacu pada sumbu arah kerja tegangan geser. Jika arah positif tegangan normal yang bersangkutan searah dengan sumbu koordinat positif (negatif), maka tegangan geser juga dianggap positif jika bekerja searah sumbu koordinat positif (negatif).

Gambar 1.

 Kekonjugatan tegangan geser

Jika untuk balok kubus elementer, gambar 1, ditetapkan syarat bahwa momen semua gaya terhadap sumbu x sama dengan nol, diperoleh τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Dari sini, dan dari dua persamaan yang sesuai untuk sumbu y dan z, diperoleh bahwa tegangan geser dengan indeks yang sama saling sama, yaitu τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

Deformasi komponen

Bahwa tegangan yang telah didefinisikan sebelumnya memiliki makna fisik, terlihat dari hubungannya dengan definisi yang dialami setiap benda di bawah pengaruh gaya luar. Gbr. 2 menunjukkan sebuah balok elementer, yang sebelum deformasi berbentuk persegi panjang dan memiliki panjang sisi dx, dy, dz. Panjang sisi setelah deformasi dapat ditandai sebagai dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; perbandingan εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz disebut dilatasi. Ini adalah besaran tak berdimensi dan pada semua material yang relevan dalam bidang konstruksi nilainya kecil dibandingkan dengan 1. Selain pertambahan panjang sisi, balok elementer dx * dy * dz juga dapat mengalami perubahan sudut-sudut yang semula siku-siku antara bidang-bidangnya.

Gambar 2. deformasi komponen

Misalkan setelah deformasi sudut antara bidang-bidang yang bertemu sepanjang tepi OC sama dengan dan demikian pula pengurangan sudut siku-siku sepanjang tepi AO sama dengan γyz, serta pengurangan sepanjang tepi OB sama dengan γzx. Ketiga perubahan sudut γxy, γyz, γzx ini disebut geser dan juga selalu kecil dibandingkan 1. Dengan enam komponen ε dan γ, deformasi elemen kubus persegi panjang “deformasi kecil” ditentukan sepenuhnya. Perubahan elemen volume d_V = dx * dy * dz_ adalah ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, dari mana, ketika hasil kali dilatasi diabaikan sebagai besaran kecil orde lebih tinggi, diperoleh dilatasi kubik ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Perpindahan

Deformasi benda padat dapat dijelaskan sepenuhnya juga dengan cara ini, yaitu untuk setiap titiknya diberikan perpindahan yang dialami titik tersebut. Jika dari pengamatan dikesampingkan perpindahan berukuran hingga yang sesuai dengan perpindahan benda kaku, dengan cara demikian, bila perlu, dalam perhitungan diambil sistem koordinat yang dapat bergerak, maka komponen perpindahan μ, ν, ω selalu berukuran kecil, dan turunannya terhadap koordinat kecil dibandingkan 1. Dengan asumsi itu, menurut gambar 3 panjang elemen garis OA = dx setelah deformasi

jadi  (3)

Dengan cara yang serupa dari gambar 3 terlihat bahwa geserannya γxy γ1 + γ2: dan juga

 (4)

Gambar 3 pergeseran

(5)  (6)

Hubungan-hubungan ini disebut syarat kompatibilitas dan menyatakan bahwa elemen yang mengalami deformasi dapat disusun seperti mosaik sehingga ruang terisi terus-menerus, yang tidak dapat dicapai jika deformasi elemen bersifat sembarang. Syarat kompatibilitas adalah persamaan diferensial, sehingga, tentu saja, keenam komponen deformasi untuk setiap balok tersendiri saling independen, tetapi susunannya di setiap daerah berhingga yang diregangkan terikat oleh syarat (5) dan (6).

Karena kondisi ini diperoleh dengan mendiferensiasikan dari persamaan (3) dan (4), dalam penurunannya hilang sebagian hubungan yang terkandung dalam persamaan semula. Oleh karena itu tidak cukup bila hanya salah satu dari kedua sistem persamaan ini terpenuhi, melainkan kedua sistem persamaan harus dipenuhi jika kompatibilitas deformasi ingin dijamin.

Persamaan diferensial sistem elastisitas

Untuk menghitung tegangan dan deformasi pada benda elastis digunakan persamaan berikut:

Syarat keseimbangan elemen volume. Syarat bahwa momen terhadap ketiga sumbu sama dengan nol telah digunakan sebelumnya dalam penurunan persamaan (1). Syarat keseimbangan gaya memberikan menurut gambar 4

Gambar 4

(7a-c)

Jika dengan X, Y, Z ditandai komponen gaya volume (misalnya berat, gaya sentrifugal) per satuan volume. Hubungan antara tegangan dan deformasi. Dengan ini dimaksudkan hubungan antara tegangan komponen dan deformasi komponen. Dalam teori elastisitas pada umumnya hanya dipertimbangkan hubungan linier, yang dinyatakan oleh hukum Hooke:

(8a-c)

(8d-f)

Jika persamaan (8a-c) diselesaikan terhadap tegangan, diperoleh

(8 a)

kso dan dua persamaan yang sesuai. Hukum Hooke yang dinyatakan dengan persamaan (8) bukan merupakan hukum alam yang dipenuhi secara ketat, melainkan idealisasi dari perilaku nyata, yang menyimpang darinya lebih atau kurang, tergantung pada bahan dan besarnya tegangan. Mengingat bahwa pengolahan matematis masalah ketahanan bahan dengan hubungan yang rumit dan nonlinier antara tegangan dan deformasi menimbulkan kesulitan yang jauh lebih besar dan pada kenyataannya hanya dapat dilakukan pada kasus-kasus paling sederhana, maka pada bahan-bahan (beton!) yang perilakunya jauh menyimpang dari hukum Hooke, perhitungan yang didasarkan padanya harus digunakan sebagai pendekatan pertama, dan umumnya juga satu-satunya, yang pada akhirnya menurut aturan sangat berguna dan memberikan wawasan yang lebih dari sekadar kualitatif. G = E|2 (1+μ).

Hal ini secara niscaya mengikuti dari hubungan antara tegangan dan deformasi (8), dari persamaan transformasi (16) untuk tegangan, serta sistem persamaan yang sesuai untuk deformasi komponen E dan G memiliki dimensi tegangan dan pada semua bahan bangunan nilainya besar dibandingkan dengan tegangan σ dan τ yang dapat muncul. Namun pada fakta inilah didasarkan asumsi yang diterima di seluruh teori elastisitas, yaitu bahwa deformasi kecil. Koefisien dilatasi lateral (bilangan Poisson) μ tidak berdimensi dan selalu berada di antara 0 dan 1/2 .

Hubungan antara deformasi komponen dan perpindahan. Hubungan ini diberikan oleh persamaan (3), (4). Hubungan-hubungan ini murni bersifat geometris. Ketiga sistem ini memberikan 3+6+6=15 persamaan untuk 15 yang tidak diketahui, yaitu untuk 6 tegangan komponen, 6 deformasi komponen, dan 3 perpindahan komponen. Karena itu, hubungan-hubungan ini cukup untuk menentukan besaran-besaran yang tidak diketahui tersebut. Penanganan matematis atas sistem persamaan diferensial yang begitu luas ini, tentu saja, hanya mungkin dalam kasus-kasus khusus. Jika pada persamaan (8) deformasi komponen diganti dengan perpindahan komponen menurut persamaan (3) dan (4) lalu tegangan normal σ dan tegangan geser τ, menurut persamaan (8 d - f), dimasukkan ke dalam syarat keseimbangan, pers. (7), diperoleh persamaan diferensial yang disebut persamaan dasar teori elastisitas.

(9)

di mana  menandakan operator Laplace. Mengingat (2), ini adalah tiga persamaan diferensial dengan tiga perpindahan komponen μ, ν, ω; dari sini, dengan diferensiasi berdasarkan (3), (4) dan (8) dapat diperoleh semua tegangan dan regangan komponen. Persamaan (9) sering merupakan titik awal yang cocok untuk mempelajari kasus-kasus khusus.

Kerja deformasi

Definisi

Ketika batang dibebani, titik-titik kerja gaya luar mengalami perpindahan elastis dan gaya-gaya itu melakukan sejumlah kerja. Energi yang diberikan dengan cara ini dapat berubah ke berbagai bentuk. Jika beban diterapkan secara tiba-tiba, sehingga proses deformasi berlangsung dengan kecepatan yang cukup besar, sebagian dari energi ini berubah menjadi energi kinetik, yang kemudian terdisipasi seiring waktu, baik dengan cara dipindahkan ke tanah sebagai gelombang elastis yang hilang ke tak terhingga, maupun dengan cara diubah menjadi panas oleh gesekan internal. Jika beban diberikan sedemikian perlahan sehingga tidak timbul kenaikan energi kinetik yang berarti, artinya beban yang bertambah secara bertahap mulai dari nol berada dalam keseimbangan tetap dengan gaya-gaya dalam, maka energi itu jelas semata-mata dipakai untuk mendeformasi benda dan pada saat itu disebut kerja deformasi.

Perhitungan kerja deformasi akan kami tunjukkan terlebih dahulu pada elemen kecil yang dibebani tarik satu arah (gambar 5).

Misalkan tegangan yang ada σ dan regangan yang bersesuaian ε mengalami pertambahan dσ dan dε. Maka gaya σdF pada lintasan dε * dl akan melakukan kerja σdF * dεdl = σdεdV, jika dV menyatakan volume elemen. Jika tegangan naik dari nol ke nilai akhirnya dan regangan sejalan dengan itu dari 0 hingga ε, kerja total yang dilakukan per satuan volume adalah:

Demikian pula untuk elemen yang dibebani tegangan geser τ (gbr. 6), kerja deformasi per satuan volume (kerja deformasi spesifik, potensial elastis):

di mana hanya satu dari empat gaya τ * dF yang melakukan kerja.

Dalam kasus umum, ketika pada elemen kecil bekerja keenam komponen tegangan, diperoleh kerja deformasi spesifik dengan menjumlahkan kerja masing-masing komponen tegangan:

(10)

Dengan mendiferensialkan terhadap batas atas masing-masing integral tersebut, diperoleh hubungan yang berlaku dalam kasus yang paling umum:

(11)

dan seterusnya untuk deformasi komponen lainnya. Jika benda elastis, untuk setiap keadaan tegangan tertentu selalu berpadanan keadaan deformasi yang sama, terlepas dari apakah keadaan itu dicapai saat pembebanan atau saat pelepasan beban. Maka di bawah integral terdapat fungsi tunggal dan energi total yang dikeluarkan saat pembebanan lalu pelepasan beban penuh adalah a = 0, mengingat dalam hal ini batas atas integral menjadi nol. Dengan demikian energi total yang diberikan pada benda saat pembebanan diperoleh kembali saat pelepasan beban.

Gambar 6

Gambar 7

Untuk benda yang tidak sepenuhnya elastis, hubungan antara tegangan dan deformasi untuk seluruh siklus pembebanan dan pembongkaran kira-kira ditunjukkan pada gbr. 7 dengan garis O A B. Energi yang diberikan saat pembebanan sama dengan luas OAA, dan energi yang dikembalikan pada saat pembongkaran sama dengan luas ABA, sehingga kerja yang sesuai dengan area bergaris-garis hilang (diubah menjadi panas). Jika dalam proses osilasi tegangan berubah secara periodik antara nilai batas positif dan nilai batas negatif , deformasi tak elastis berlangsung serupa seperti ditunjukkan oleh garis putus-putus pada gbr. 7 dan pada setiap periode osilasi diubah menjadi panas per satuan volume energi DABCD. Perilaku semacam itu selama deformasi, di mana deformasi tertinggal terhadap tegangan, disebut histeresis elastis, dan kurva DABCD adalah loop histeresis.

Kerja deformasi dan hukum Hooke

Jika ke dalam integral pada persamaan (10) dimasukkan hukum Hooke, integrasi dapat dilakukan, sehingga untuk kerja deformasi spesifik diperoleh bentuk-bentuk:

(12a)

(12b)

(12c)

Jika bentuk kedua ini dimasukkan ke dalam persamaan (11), kembali diperoleh hukum Hooke, persamaan (8), dalam bentuk yang diselesaikan terhadap tegangan. Pernyataan bahwa kerja deformasi bergantung pada komponen-komponen deformasi, sebagaimana ditunjukkan oleh persamaan (12b), dengan demikian setara dengan hukum Hooke. Ketika persamaan (12c) didiferensiasikan terhadap tegangan, diperoleh

(13)

Bentuk-bentuk ini, berbeda dengan bentuk-bentuk (11), hanya berlaku untuk benda yang berperilaku menurut hukum Hooke dan tidak dapat diterapkan bila hubungan antara tegangan dan deformasi berbeda. Tentu saja, di sisi kanan persamaan (13) hanya terdapat deformasi komponen yang disebabkan oleh tegangan, sedangkan semua deformasi lain yang mungkin timbul akibat perubahan temperatur, perayapan, pembengkakan, rekristalisasi, dan sebagainya dikecualikan.

PRINSIP INTEGRAL DALAM TEORI ELASTISITAS

Perpindahan virtual. Prinsip energi potensial minimum

Seperti hukum Hooke, persamaan (8) dapat digantikan oleh satu persamaan (12b), demikian pula sebagai pengganti syarat keseimbangan dapat diperkenalkan prinsip perpindahan virtual, sebagai hukum dasar mekanika yang berlaku umum. Hukum ini menyatakan bahwa keadaan seimbang ditandai oleh fakta bahwa pada keadaan tersebut kerja total semua gaya pada perubahan kecil keadaan deformasi sama dengan nol. Jika perubahan kecil perpindahan elastis dinyatakan dengan δμ δν, δω, maka gaya volume yang didefinisikan oleh persamaan (7) melakukan kerja virtual

dan gaya permukaan px, py, pz yang bekerja pada elemen dF permukaan luar benda kerja

di mana integral tiga kali berlaku untuk seluruh volume, dan integral dua kali untuk seluruh permukaan luar benda. Untuk menghitung kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya dalam digunakan persamaan (12b), sehingga untuk kerja per satuan volume diperoleh

Berdasarkan itu, prinsip perpindahan virtual memberikan

(14)

Jika beban X, Y, Z px, py., pz dipahami sebagai komponen gaya berat (berat sendiri dan beban luar), integral di sisi kanan menyatakan energi potensial yang telah hilang oleh beban-beban ini, sedangkan sisi kiri menyatakan pertambahan energi potensial (elastis) benda, sehingga asas ini menyatakan bahwa energi potensial total dari penopang dan beban yang berada di atasnya pada keadaan seimbang mempunyai nilai ekstrem. Jika nilai ekstrem ini minimum, keseimbangannya stabil.

Prinsip energi potensial minimum yang dinyatakan oleh persamaan (14), ungkapan (12b) untuk kerja deformasi, dan syarat kompatibilitas deformasi (5), (6) merupakan sistem persamaan yang cukup untuk membangun teori elastisitas, dan pada dasarnya ekuivalen dengan sistem persamaan. Sistem ini dapat sangat berguna dalam kasus ketika pemenuhan persamaan diferensial (9) menimbulkan kesulitan perhitungan dan karena itu harus dicari solusi pendekatan, misalnya untuk perpindahan terlebih dahulu diasumsikan bentuk yang cocok yang memuat beberapa konstanta bebas, lalu konstanta-konstanta ini ditentukan dari syarat agar persamaan (14) terpenuhi. Dengan demikian memang tidak diperoleh solusi yang ketat atas masalah, melainkan hanya aproksimasi terbaik yang dapat dicapai dengan bentuk solusi yang dipilih. Apakah pendekatan itu cukup, terutama bergantung pada bentuk solusi yang diambil, dan penerapan metode ini yang berhasil karena itu menuntut keterampilan dan pengalaman.

Prinsip Castigliano

Sementara pada prinsip minimum energi potensial semua keadaan deformasi yang memenuhi syarat kompatibilitas deformasi dibandingkan dan dari antaranya dipilih yang tegangan yang sesuai memenuhi syarat keseimbangan, pada prinsip Castigliano semua keadaan tegangan yang memenuhi syarat keseimbangan dibandingkan dan dari antaranya dipilih yang deformasi yang sesuai memenuhi syarat kompatibilitas deformasi. Prinsip ini berbunyi: dari semua keadaan keseimbangan yang mungkin, yang benar-benar terjadi adalah yang sesuai dengan kerja deformasi paling kecil. Prinsip Castigliano bersama dengan persamaan (12c) untuk kerja deformasi dan syarat keseimbangan membentuk sistem persamaan yang cukup untuk penyusunan ketahanan material. Mengingat prinsip ini memuat hukum Hooke, kemungkinan penerapannya terkait dengan asumsi bahwa deformasi dapat dijelaskan sepenuhnya oleh hukum ini. Hal ini menuntut tidak hanya perilaku material yang elastis linier, tetapi juga meniadakan perubahan suhu.

Perilaku material di atas batas elastis

Gejala pada pembebanan statik

Deformasi material di bawah pengaruh tegangan merupakan gejala yang sangat rumit, sehingga harus disederhanakan dalam berbagai arah agar dapat dipahami. Salah satu penyederhanaan ini adalah asumsi bahwa beban diterapkan secara bertahap, seperti yang, misalnya, dilakukan pada spesimen dalam percobaan tarik dan tekan.

Jika batang baja yang dibebani tarik dikenai beban yang meningkat secara bertahap dan dilatasi ε-nya diukur, diperoleh diagram yang ditunjukkan pada gambar 8. Pada awalnya, dilatasi sangat kecil dan sebanding dengan tegangan, sebagaimana dituntut oleh hukum Hooke. Mulai dari tegangan tertentu, keseimbangan proporsional ini berhenti dan dilatasi meningkat lebih cepat. Letak batas proporsionalitas ini secara tepat sulit ditentukan. Semakin akurat pengukuran, semakin rendah nilainya. Untuk sebagian besar material, batas ini terletak pada σ = 0, dan hukum Hooke pada saat itu hanya merupakan pendekatan pertama terhadap perilaku elastis, suku pertama pengembangan dalam deret Taylor dari fungsi ε = ε (σ) di sekitar titik asal koordinat.

Jika batang dibebaskan dari beban, terlihat bahwa, bila tegangan tidak terlalu besar, deformasi juga hilang, sesuai dengan hukum Hooke. Namun ini juga berubah jika dilampaui suatu tegangan tertentu yang berada dekat batas proporsionalitas, yang disebut batas elastisitas; maka deformasi total terdiri atas bagian elastis (pulih) dan bagian tidak elastis (permanen). Batas elastisitas juga tidak dapat ditentukan secara tepat, letaknya semakin rendah semakin tinggi ketelitian pengukuran. Namun, karena hal ini memiliki arti teknis yang besar, sebab merupakan batas keberlakuan pada hampir semua perhitungan dalam ketahanan bahan, dan sekaligus batas di mana kerusakan permanen pertama timbul, maka untuk pengujian contoh ia didefinisikan secara tegas dengan suatu konvensi yang diterima; jadi, misalnya, sebagai batas 0.2% ditandai tegangan di mana dilatasi permanen mencapai 0.2%.

Segera setelah batas elastisitas terlampaui, deformasi meningkat tajam dan dapat diamati dengan mata telanjang; pada tegangan yang hampir konstan batang terus memanjang. Tegangan ini disebut batas luluh. Pada mesin uji hidrolik bahan, selain itu dapat diamati setelah awal luluh adanya penurunan tegangan yang lebih atau kurang nyata; seperti ditunjukkan pada gambar 8 dengan kurva putus-putus; maka maksimum disebut batas luluh atas, sedangkan tegangan luluh konstan yang kemudian terjadi disebut batas luluh bawah.

Setelah tercapai suatu dilatasi tertentu, yang hampir sepenuhnya tidak elastis, tegangan mulai meningkat lagi, material mengeras. Pada daerah pembebanan ini terjadi pengurangan nyata pada luas penampang batang akibat kontraksi lateral (tidak elastis), dan kelanjutan diagram tegangan dan deformasi terutama bergantung pada apakah dalam menghitung tegangan σ, gaya tarik P yang bekerja pada batang dibagi dengan penampang awal F0 atau penampang sesaat F. Untuk keperluan teknis, tegangan P|F0 yang menarik. Tegangan ini mencapai maksimum yang disebut kekuatan material, dan setelah maksimum itu terlampaui, batang menyempit tajam di satu tempat dan putus. “Tegangan sebenarnya” P|F meningkat hingga patah.

Gambar 8.

Perilaku logam lainnya dalam banyak hal berbeda dari yang dijelaskan di sini. Aliran sering kali tidak tampak, dan pengerasan dimulai tepat setelah batas elastis terlampaui. Pada material getas (batu, kaca, beton) deformasi inelastis pada umumnya kecil dan bahkan pada dilatasi kecil terjadi keruntuhan. Dilatasi total yang dialami material sampai keruntuhan merupakan ukuran keuletan (kebalikannya: kerapuhan) material, dan untuk baja hal ini ditetapkan secara tepat dalam persyaratan teknis. Namun, karena tepat sebelum keruntuhan deformasi lebih lanjut terkonsentrasi pada tempat-tempat di sekitar penampang yang menyempit, diperoleh nilai dilatasi saat patah yang berbeda, bergantung pada apakah untuk panjang ukur diambil bagian batang yang lebih besar atau lebih kecil, sehingga untuk memperoleh hasil yang jelas dan saling dapat dibandingkan harus terlebih dahulu diterapkan konvensi tertentu. Dilatasi saat patah pada umumnya diukur dengan menandai panjang ukur Ι = 10 d pada batang bulat berdiameter d sebelum pengujian, lalu dari pertambahpanjangannya ΔΙ dihitung dilatasi saat patah εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Jika perlu menguji batang dengan penampang berbeda, panjang ukur ditentukan menurut diameter batang silinder bulat yang memiliki luas penampang yang sama.

Beban jangka panjang

Dalam jalannya percobaan tarik, kurang lebih tidak menjadi persoalan apakah beban hingga patah dinaikkan dalam 10 m menit atau beberapa jam. Namun, jika beban bekerja selama bertahun-tahun atau puluhan tahun, dalam keadaan tertentu terlihat bahwa bahkan di bawah batas luluh deformasi pada tegangan konstan dari waktu ke waktu perlahan meningkat. Pada saat yang sama bagian elastis, yaitu bagian yang hilang pada pembebanan ulang akhir, tidak berubah secara berarti. Pertambahan deformasi tak elastis yang terjadi selama waktu yang lama ini disebut rangkak. Pada logam, kecuali timbal, rangkak hanya penting pada suhu tinggi, namun bagi insinyur sipil hal ini berperan pada beton yang di bawah tekanan sedikit melunak, sehingga tegangan meningkat pada tulangan tekan, jika ada.

Beban berubah-ubah

Agar karakteristik mekanik material, yang diperoleh dalam uji tarik, dapat digunakan sebagai ukuran untuk beban izin konstruksi, syaratnya adalah bahwa material pada setiap pembebanan ulang harus mampu menahan tegangan yang pernah ditahannya tanpa kerusakan. Syarat ini tidak terpenuhi jika material terkena pembebanan dan pelepasan beban yang sering berulang, seperti misalnya pada balok yang dibebani oleh gaya inersia dari mesin yang tidak seimbang sempurna. Dengan pengulangan pembebanan yang cukup sering, bagian konstruksi dapat mengalami patah bahkan pada tegangan yang jauh di bawah kekuatan material yang ditentukan melalui pengujian statis biasa. Fenomena patah jenis ini disebut patah akibat kelelahan. Jumlah n siklus pembebanan yang dapat ditahan material bergantung pada besar tegangan σ, sehingga semakin kecil tegangan, semakin besar jumlah siklus yang dapat ditahan. Contoh tipikal ketergantungan ini ditunjukkan pada gambar 9, yang menunjukkan bahwa bagi kekuatan material terdapat batas bawah yang masih dapat ditahan bahkan pada jumlah siklus pembebanan yang sangat besar dan yang disebut kekuatan dinamis material Diagram semacam ini (gambar9) disebut kurva Wӧhler.

Gambar 9.

Keamanan struktur

Dua beban batas penting bagi konstruksi: beban pada saat timbul kerusakan permanen pertama (batas luluh), dan beban pada saat daya dukung konstruksi habis sehingga konstruksi patah (batas patah). Karena sebelum batas luluh setidaknya secara mendekati berlaku asumsi-asumsi mekanika bahan (perpindahan kecil, hukum Hooke), keamanan terhadap deformasi permanen dapat dinilai dengan andal dalam semua kasus di mana kesulitan matematis dapat diatasi. Jika tegangan sebanding dengan beban, maka perbandingan tegangan luluh terhadap tegangan maksimum yang muncul pada konstruksi sama dengan perbandingan antara beban saat luluh terjadi dan beban sebenarnya dan merupakan koefisien keamanan terhadap luluh. Namun, dalam sejumlah kasus hubungan sederhana ini tidak ada: pembengkokan ketika tarikan diabaikan, tekanan antara permukaan cembung, sistem dengan struktur yang berubah-ubah dan, yang khususnya tidak menguntungkan, pembengkokan dengan gaya aksial. Dalam semua kasus ini, peningkatan beban yang relatif kecil dapat menyebabkan peningkatan tegangan yang besar, dan pada keadaan demikian tidak cukup menerapkan koefisien keamanan biasa pada tegangan, melainkan harus diterapkan pada beban.

Fenomena yang terjadi setelah melampaui batas luluh sampai patah pada kebanyakan kasus hanya dapat diikuti secara kualitatif. Jika materialnya ulet, bagian-bagian yang pertama mencapai batas luluh, dan yang selanjutnya mengalami deformasi pada tegangan konstan atau tegangan yang sedikit meningkat, hanya sedikit berperan dalam menerima beban lanjutan, sehingga bagian-bagian lain dari struktur yang lebih rendah tegangannya, sejauh hal ini dimungkinkan mengingat strukturnya, lebih banyak berperan dalam menahan beban. Dalam kecenderungan menyamakan puncak tegangan inilah terdapat cadangan keselamatan tertentu, yang secara perhitungan dapat dimanfaatkan jika deformasi permanen pada bagian-bagian tertentu, yang timbul akibat hanya satu pembebanan besar, tidak merugikan (metode beban batas).

Jika material bersifat getas, kerusakan permanen pertama tampak dalam bentuk retakan, yang menyebabkan konsentrasi tegangan lebih besar lagi pada titik yang terancam, sehingga segera menimbulkan patah. Patah akibat kelelahan pada material yang ulet sekalipun memiliki ciri-ciri patah getas.

 Hubungan antara tegangan untuk berbagai bidang penampang

Persamaan transformasi

Sembilan tegangan komponen pada gambar 1, terikat oleh tiga syarat keseimbangan. Enam besaran yang tersisa σx, σy, σz τxy, τyz, τzx  dapat, secara saling independen, memperoleh nilai sembarang seperti terlihat dari penurunan persamaan diferensial teori elastisitas. Namun, ketika nilai-nilai ini ditentukan, keadaan tegangan di suatu titik benda tegar sepenuhnya ditetapkan, yaitu ketika tegangan untuk tiga bidang yang saling tegak lurus diketahui, tegangan untuk suatu bidang keempat yang melalui titik yang diberikan dan yang normalnya memiliki arah sembarang juga dapat ditentukan secara unik.

Pada gambar 10 ditunjukkan tetrahedron OABC yang tiga sisinya sejajar dengan bidang sistem koordinat x, y, z dan sisi keempat merupakan elemen permukaan berorientasi sembarang ABC = dF. Untuk menandai arahnya dan arah tegangan yang ditransmisikan melaluinya, diperkenalkan sistem koordinat kedua, dengan sumbu ξ tegak lurus terhadap dF.

Gambar 10

Syarat keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada tetrahedron ini pada arah sumbu ξ memberikan

Jika diperhitungkan bahwa

diperoleh

dan serupa itu dari syarat keseimbangan dalam arah sumbu η:

Ini adalah persamaan yang digunakan untuk perhitungan tegangan pada transformasi koordinat. Yang sangat penting adalah hanya meninjau elemen permukaan dF di mana sumbu ξ berimpit dengan sumbu z. Bentuk untuk kasus ini dapat diperoleh dengan menyederhanakan bentuk sebelumnya atau dibaca langsung dari gambar 11:

Gambar 11

Tegangan normal mencapai nilai ekstrem untuk arah α = α0 , untuk which dσξ/dα = 0. Dengan mendiferensiasikan persamaan (16) diperoleh

maka, ketika ekspresi ini disamakan dengan nol

Tegangan τξη juga akan menjadi tegangan geser total pada bidang-bidang ini, jika τyz = τzx = 0. Maka oleh persamaan (17) ditentukan dua arah yang saling tegak lurus, untuk mana: 1. tegangan geser total bernilai nol dan, 2. tegangan normal memiliki nilai ekstrem (maksimum dan minimum). Arah-arah ini disebut arah tegangan utama, sedangkan tegangan yang bersesuaian disebut tegangan utama. Tegangan tersebut dinyatakan dengan σ1 dan σ2 serta dapat dihitung langsung dari rumus

 Lingkaran Mohr

Persamaan (16) dapat ditampilkan secara grafis dengan cara yang jelas. Untuk tujuan itu, persamaan tersebut harus diubah ke bentuk:

Persamaan-persamaan ini dalam sistem koordinat σ, τ merupakan bentuk parametrik dari persamaan lingkaran, yang digambar pada gambar 12, dengan koordinat pusat σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 dan dengan jari-jari

Lingkaran ini disebut lingkaran Mohr. Jika melalui titik x ditarik garis sejajar dengan penampang x =const., tempat tegangan σx, τxy diteruskan, garis itu akan memotong lingkaran di titik p, yang disebut kutub lingkaran Mohr. Setiap garis pξ yang ditarik melalui kutub ini memotong lingkaran di titik ξ yang menentukan tegangan σξ, τξη yang diteruskan melalui penampang sejajar dengan pξ.

Mengenai tanda tegangan geser pada saat menggambar lingkaran Mohr, perlu diperhatikan bahwa tegangan tersebut digambar ke atas jika arahnya seperti ditunjukkan pada gbr. 12c. Dengan demikian, dari dua tegangan konjugat τxy, τyx, yang satu selalu positif dan yang lain negatif.

Nilai batas tegangan normal σ1, σ2 sesuai dengan titik 1 dan 2 pada lingkaran, sedangkan garis _p_1 dan _p_2 menunjukkan arah tegangan utama.

Penyajian tegangan yang terletak pada bidang x-y dengan bantuan lingkaran Mahr tidak terkait dengan asumsi apa pun mengenai tegangan σz, τxz, τyz yang tegak lurus terhadap bidang ini.

Gambar 12

Demikian pula halnya untuk keadaan tegangan tiga dimensi yang paling umum, bila hanya dibandingkan bidang-bidang penampang yang semuanya melalui satu garis yang di sini dipilih sebagai sumbu z dan ξ. Karena menurut persamaan transformasi umum (15) tegangan normal σ tidak dapat menjadi tak hingga pada bidang penampang mana pun, maka untuk satu bidang ia harus memiliki maksimum hingga σ1, dan untuk bidang lain minimum σ3, yang keduanya, tentu saja, dapat bernilai negatif. Jika melalui vektor σ1 dan σ3 ditarik bidang dan digambar lingkaran Mohr (gbr. 13)

Gambar 13

untuk tegangan yang terletak pada bidang ini (yaitu semua arah yang tegak lurus terhadap bidang ini), maka σ1 dan σ3 adalah tegangan normal terbesar dan terkecil yang dapat muncul dan karena itu harus saling tegak lurus. Jika arah 1 dan 3 dilengkapi dengan arah 2, sehingga ketiga arah ini membentuk sistem koordinat ortogonal, dan jika lingkaran Mahr digambar untuk bidang 1 ~2 dan 2 ~ 3, maka σ2 untuk salah satu lingkaran ini adalah tegangan normal terbesar, dan untuk yang lain tegangan normal terkecil, dan karena itu pada penampang yang tegak lurus terhadap arah 1, 2 dan 3 tegangan geser sama dengan nol. Tiga tegangan normal yang saling tegak lurus σ1, σ2 dan σ3, yang tidak memiliki tegangan geser yang bersesuaian, disebut tegangan utama.

    Batas luluh dan batas runtuh pada keadaan tegangan tiga dimensi

Keadaan tegangan disebut satu-, dua- atau tiga-dimensi, dengan kata lain: linier, bidang, atau ruang, tergantung apakah satu, dua, atau ketiga tegangan utama berbeda dari nol. Pada elemen struktur yang paling sering diterapkan, yaitu batang tarik, tekan, dan lentur, keadaan tegangan, setidaknya pada titik-titik yang paling tertekan, bersifat satu-dimensi, demikian juga pada percobaan tarik, tekan, atau lentur, yang dalam pengujian material hampir semata-mata digunakan untuk menentukan tegangan yang diizinkan. Sebaliknya, pada pelat yang dibebani di bidangnya atau tegak lurus terhadap bidang tersebut, serta pada kulit, keadaan tegangan bersifat dua-dimensi, dan dalam kasus tertentu juga muncul keadaan tegangan tiga-dimensi, sehingga perlu disimpulkan perilaku material pada keadaan tegangan ruang berdasarkan batas luluh dan patah yang ditentukan pada keadaan tegangan satu-dimensi.