Osnovno
Zadatak otpornosti materijala jest utvrditi koje vanjske sile može podnijeti čvrsto tijelo (npr. građevina, konstruktivni dio ili tlo). Da bi se dao odgovor na to pitanje polazi se od dvaju kriterija: s jedne strane naponi ne smiju prekoračiti određene granice koje ovise o vrsti materijala, a s druge strane ravnoteža između vanjskih i unutarnjih sila mora biti stabilna. U skladu s time, svi problemi otpornosti materijala mogu se podijeliti na “probleme napona” i “probleme stabilnosti.”
Kod štapova i greda te nosača sastavljenih od njih (rešetke, okviri) određivanje napona vrši se u dva koraka, i to tako što se najprije na temelju zadanih vanjskih sila izračuna rezultanta unutarnjih sila koje se prenose preko poprečnog presjeka, a zatim se iz tih “presječnih sila” određuju naponi. Prvi dio postupka predstavlja posebnu, opsežnu disciplinu, statiku građevinskih konstrukcija, koja ima razrađene vlastite metode i koja se obično odvaja od otpornosti materijala, čija se zadaća svodi na određivanje napona iz zadanih presječnih sila.
Temeljni pojmovi otpornosti materijala
Do definicije napona dolazi se putem sljedećih osnovnih razmatranja. Neka na tijelo djeluje ravnotežni sustav vanjskih sila. Zamislimo da smo tijelo proizvoljnim presjekom podijelili na dva dijela, i da smo jedan od njih uklonili zajedno sa silama koje na njega djeluju; tada se njegovo djelovanje na drugi dio, da bi ravnoteža sila i raspored deformacija ostali nepromijenjeni, mora zamijeniti dopunskim silama koje se prenose preko površine presjeka. Ove “unutarnje” sile neprekidno su raspoređene po površini presjeka, tako da svakom elementu površine dF odgovara sila dβ. Ako se obrazuje količnik dβ dF i načini granični prijelaz dF -> 0, tada ovaj količnik teži graničnoj vrijednosti koja se naziva napon. Napon u određenom elementu površine je, kao i dβ, i može se razložiti na komponente normalnu i tangencijalnu na dF, normalni napon σ posmični napon τ.
Ako se kroz istu točku povuku presjeci u različitim smjerovima, njima će odgovarati i različiti naponi. Posebno ako se iz tijela izdvoji elementarni kvadar, prikazan na sl. 1, u svakoj od njegovih šest ploha djelovat će vektor napona koji se može razložiti na tri komponente u smjeru koordinatnih osi x, y, z. Naponi koji djeluju na nasuprotne strane ploha međusobno se razlikuju, naravno, samo za diferencijal, tako da treba razlikovati 3 * 3 = 9 komponentnih napona, koji se označavaju na sljedeći način:
Normalnim naponima σ daje se indeks osi u čijem smjeru leže i smatraju se pozitivnim ako izazivaju zatezanje, negativnim ako izazivaju pritisak. Smičući naponi τ dobivaju dva indeksa, prvi je od njih isti kao i indeks odgovarajućeg normalnog napona, a drugi se odnosi na os u smjeru koje smični napon djeluje. Ako je pozitivni smjer odgovarajućeg normalnog napona u smjeru pozitivne (negativne) koordinatne osi, i smični napon se smatra pozitivnim ako djeluje u smjeru pozitivne (negativne) koordinatne osi.
Fotografija 1.
Konjugiranost smičnih naprezanja
Ako se za elementarni kvadar, sl. 1, postavi uvjet da je moment svih sila u odnosu na os x jednak nuli, dobiva se τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Odavde, i iz dviju odgovarajućih jednadžbi za osi y i z, dobiva se da su smičući naponi s istim indeksima međusobno jednaki τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Deformacije komponenti
Da gore definirani naponi imaju fizičko značenje, proizlazi iz njihove veze s deformacijama koje trpi svako tijelo pod utjecajem vanjskih sila. Sl. 2 prikazuje jedan elementarni kvadar, koji je prije deformacije bio pravokutan i imao duljine bridova dx, dy, dz. Duljine bridova nakon deformacije možemo označiti s dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; količnici εx = Δdx|dx, εy = Δdy|dy, εz = Δdz|dz nazivaju se dilatacije. To su veličine bez dimenzije i kod svih materijala koji dolaze u obzir u građevinarstvu male prema 1. Osim produljenja bridova, elementarni kvadar dx * dy * dz može pretrpjeti i promjenu prvotno pravih kutova između svojih stranica.
Slika 2. komponenatna deformacija
Neka je nakon deformacije kut između ravnina koje se sijeku duž ruba OC jednak 
i slično tome neka je smanjenje pravog kuta duž ruba AO jednako γyz, i smanjenje duž ruba OB jednako γzx. Te tri promjene kutova γxy, γyz, γzx, nazivaju se klizanja i također su uvijek male prema 1. Sa šest komponentalnih ε i γ potpuno je određena deformacija elementarnog kvadera “deformacija u malom”. Promjena elementa volumena d_V = dx * dy * dz_ je ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, odakle se, kada se zanemare umnošci dilatacija kao male veličine višeg reda, dobiva kubna dilatacija ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Pomaci
Deformacija čvrstog tijela može se potpuno opisati i na taj način, tako da se za svaku od njegovih točaka dade pomak koji je ta točka pretrpjela. Ako se iz promatranja isključe pomaci konačne veličine koji odgovaraju pomicanju krutog tijela, na taj način što se, ako je to potrebno, u računu usvoji pomični koordinatni sustav, tada su i komponentalni pomaci μ, ν, ω uvijek male veličine, a njihovi izvodi prema koordinatama mali prema 1. Pod tom pretpostavkom je prema sl. 3 duljina linijskog elementa OA = dx nakon deformacije
stoga 
(3)
Na sličan način se iz sl. 3 vidi da je klizanje γxy γ1 + γ2: i također
(4)
Prikaz 3 za klizanje
(5) 
(6)
Ove veze se nazivaju uvjeti kompatibilnosti i iskazuje se da se deformirani elementi mogu uklopiti kao mozaik tako da prostor pri tome bude neprekidno ispunjen, što se ne može postići ako su deformacije elemenata proizvoljne. Uvjeti kompatibilnosti su diferencijalne jednadžbe, pa su, razumije se, svih šest komponentnih deformacija za svaki pojedini kvadar međusobno neovisne, ali je njihov raspored u svakoj konačno rasprostrtoj oblasti vezan uvjetima (5) i (6).
Budući da su ovi uvjeti dobiveni diferenciranjem iz jednadžbi (3) i (4), pri njihovom izvođenju gubi se dio veza sadržanih u početnim jednadžbama. Zato nije dovoljno da bude ispunjen samo jedan od ova dva sustava jednadžbi, već se moraju zadovoljiti oba sustava jednadžbi, ako se želi da je usklađenost deformacije osigurana.
Diferencijalne jednadžbe sustav elastičnosti
Za izračunavanje naprezanja i deformacija kod elastičnih tijela služe sljedeće jednadžbe:
Uvjeti ravnoteže volumenskog elementa. Uvjeti da su momenti oko triju osi jednaki nuli iskorišteni su već pri izvođenju jednadžbe (1). Uvjeti ravnoteže sila daju prema sl. 4
Prikaz 4
(7a-c)
Ako se sa X, Y, Z označe komponente volumenskih sila (npr. težina, centrifugalna sila) na jedinicu volumena. Veze između naprezanja i deformacija. Pod tim se podrazumijeva veza između komponentnih naprezanja i komponentnih deformacija. U teoriji elastičnosti u pravilu dolazi u obzir samo linearna veza, koja se izražava Hookeovim zakonom:
(8a-c)
(8d-f)
Ako se jednadžbe (8a-c) riješe po naponima, dobiva se
(8 a)
kso i dvije odgovarajuće jednadžbe. Hooke-ov zakon izražen jednadžbom (8) ne predstavlja neki strogo ispunjen prirodni zakon, nego idealizaciju stvarnog ponašanja, koje od njega više ili manje odstupa, ovisno o materijalu i o veličini naprezanja. S obzirom na to da matematička obrada problema otpornosti materijala s kompliciranim, nelinearnim vezama između napona i deformacija pričinjava neusporedivo veće teškoće i može se stvarno provesti samo u najjednostavnijim slučajevima, moraju se i kod onih materijala (beton!) čije ponašanje znatno odstupa od Hooke-ovog zakona, proračuni zasnovani na njemu koristiti kao prvo, a većinom i jedino približno rješenje, koje je usput po pravilu vrlo uporabljivo i daje uvid koji je više nego samo kvalitativan. G = E|2 (1+μ).
Ona nužno slijedi iz veze između napona i deformacije (8), iz jednadžbi transformacije (16) za napone i odgovarajućeg sustava jednadžbi za komponenatne deformacije E i G imaju dimenziju napona i kod svih građevinskih materijala su velike prema naponima σ i τ koji se mogu pojaviti. Na toj činjenici počiva pretpostavka prihvaćena svugdje u teoriji elastičnosti, da su deformacije male. Koeficijent poprečne dilatacije (Poissonov broj) μ je bez dimenzije i nalazi se uvijek između 0 i 1/2 .
Veze između komponentalnih deformacija i pomaka. Ove veze dane su jednadžbama (3), (4). One su čisto geometrijske prirode. Ova tri sustava daju 3+6+6=15 jednadžbi za 15 nepoznanica, tj. za 6 komponentalnih napona, 6 komponentalnih deformacija i 3 komponentalnih pomaka. One su prema tome dovoljne za određivanje tih nepoznanica. Matematičko savladavanje tako opsežnog sustava diferencijalnih jednadžbi moguće je, naravno, samo u posebnim slučajevima. Ako se u jednadžbi (8) komponentalne deformacije zamijene komponentalnim pomacima prema jednadžbama (3) i (4) i zatim normalni naponi σ i smični naponi τ,prema jednadžbama (8 d - f), uvedu u uvjete ravnoteže, jedn. (7), dobivaju se diferencijalne jednadžbe koje se nazivaju osnovne jednadžbe teorije elastičnosti.
(9)
pri čemu je 
označen Laplaceov operator. S obzirom na (2) ovo su tri diferencijalne jednadžbe s tri komponentna pomaka μ, ν, ω; iz njih se pak diferenciranjem na temelju (3), (4) i (8) mogu dobiti svi komponentni naponi i deformacije. Jednadžbe (9) često predstavljaju pogodan polazni temelj za proučavanje posebnih slučajeva.
Deformacijski rad
Opis
Kada se nosač optereti, polazišne točke vanjskih sila trpe elastična pomicanja i sile pri tome obavljaju određeni rad. Na taj način dovedena energija može prijeći u različite oblike. Ako se opterećenje na tijelo naglo povećava, tako da proces deformacije ima znatnu brzinu, jedan dio te energije pretvara se u kinetičku energiju, koja se tijekom vremena rasipa, bilo tako da se prenese na tlo kao elastični val koji se gubi u beskonačnosti, bilo tako da se unutarnjim trenjem pretvori u toplinu. Ako se tereti nanose tako lagano da pri tome ne nastaje zamjetan prirast kinetičke energije, dakle, da su tereti koji postupno rastu počevši od nule u stalnoj ravnoteži s unutarnjim silama, energija se očito troši isključivo na deformiranje tijela i tada se naziva deformacijski rad.
Proračun deformacijskog rada prikazat ćemo najprije na dijelu opterećenom na zatezanje u jednom smjeru (sl. 5).
Neka postojeće naprezanje σ i odgovarajuća dilatacija ε pretrpe priraste dσ i dε. Tada će sila σdF na putu dε * dl izvršiti rad σdF * dεdl = σdεdV, ako se za dV označi volumen djelića. Ako naprezanje raste od nule do svoje konačne vrijednosti i dilatacija u skladu s time od 0 do ε, ukupni izvršeni rad po jedinici volumena iznosit će:
Slično tome je i za element opterećen smičućim naponom τ (sl. 6) deformacijski rad po jedinici volumena (specifični deformacijski rad, elastični potencijal):
pri čemu samo jedna od četiri sile τ * dF obavlja rad.
U općem slučaju, kada na elementarni djelić djeluje svih šest komponentnih naprezanja, dobiva se specifični deformacijski rad zbrajanjem radova pojedinih komponentnih naprezanja:
(10)
Diferenciranjem po gornjoj granici svakog od ovih integrala dobivaju se odnosi koji vrijede u najopćenitijem slučaju:
(11)
i slično za ostale komponentalne deformacije. Ako je tijelo elastično, svakom određenom stanju naprezanja odgovara uvijek isto stanje deformacije, bez obzira na to je li stanje postignuto pri opterećenju ili rasterećenju. Tada pod integralima stoje jednoznačne funkcije i ukupna energija utrošena pri opterećenju i zatim potpunom rasterećenju je a = 0, s obzirom na to da u ovom slučaju gornje granice integrala postaju nula. Prema tome ukupna energija dovedena tijelu pri opterećenju dobiva se natrag pri rasterećenju.
Fotografija 6
Prikaz 7
Za nepotpuno elastično tijelo veza između napona i deformacija za cijeli ciklus opterećenja i rasterećenja ima oblik približno prikazan na sl. 7 linijama O A B. Energija 
dovedena pri opterećenju jednaka je površini OAA, a energija vraćena prilikom rasterećenja površini ABA, tako da se gubi (pretvara u toplinu) rad koji odgovara šrafiranoj površini. Ako se u oscilaatornom procesu napon periodično mijenja između pozitivne granične vrijednosti 
i negativne granične vrijednosti, 
neelastična deformacija teče slično tome kako je prikazano isprekidanim linijama na sl. 7 i prilikom svake periode oscilacije pretvara se po jedinici zapremine u toplinu energija DABCD. Takvo ponašanje pri deformaciji, pri kojem deformacija zaostaje za naponom, naziva se elastični histerezis, a kriva DABCD petlja histereze.
Deformacijski rad i Hooke-ov zakon
Ako se u integrale u jednadžbi (10) uvede Hookeov zakon, može se izvršiti integriranje, pa se za specifični deformacijski rad dobivaju izrazi:
(12a)
(12b)
(12c)
Ako se drugi od ovih oblika unese u jednadžbu (11), dobiva se opet Hooke - ov zakon, jednadžbe (8), u obliku riješenom po naponima. Iskaz da defrmacioni rad zavisi od komponentalnih deformacija, onako kako je prikazano jednadžbom (12b), je prema tome ekvivalentan Hooke-ovom zakonu. Kada se jednadžba (12c) diferencira po naponima, dobiva se
(13)
Ovi obrasci, za razliku od obrazaca (11), vrijede samo za tijela koja se ponašaju prema Hookeovu zakonu i ne mogu se primijeniti kada su veze između naprezanja i deformacija drukčije. Razumije se da se na desnoj strani jednadžbi (13) nalaze samo komponenatne deformacije izazvane naprezanjima, a isključuju se sve ostale koje su eventualno mogle nastati uslijed promjene temperature, puzanja, bubrenja, rekristalizacije, itd.
Integralne postavke u teoriji elastičnosti
Virtualna pomicanja. Princip minimalne potencijalne energije
Kao što se Hookeov zakon, jednadžbe (8) može zamijeniti jednom jednadžbom (12b), tako se i umjesto uvjeta ravnoteže može uvesti princip virtualnih pomaka, kao općevažeći osnovni zakon mehanike. Ovaj zakon iskazuje da se ravnotežna stanja odlikuju time što je kod njih ukupno izvršeni rad svih sila pri maloj promjeni stanja deformacija jednak nuli. Ako male promjene elastičnih pomaka označimo δμ δν, δω, tada zapreminske sile definirane jednadžbom (7) vrše virtualan rad
a površinske sile px, py, pz koje djeluju na element dF vanjske površine tijela rad 
pri čemu se trostruki integral odnosi na čitav volumen, a dvostruki na čitavu vanjsku površinu tijela. Za izračun rada koji vrše unutarnje sile koristi se jednadžba (12b), pa se za rad po jedinici volumena dobiva
Na temelju toga načelo virtualnih pomaka daje
(14)
Ako se opterećenja X, Y, Z px, py., pz shvate kao komponente sile teže (vlastita težina i vanjsko opterećenje), integrali na desnoj strani predstavljaju potencijalnu energiju koju su ovi tereti izgubili, dok lijeva strana predstavlja prirast potencijalne (elastične) energije tijela, tako da ovaj princip iskazuje da ukupna potencijalna energija nosača i tereta koji na njemu leže u slučaju ravnoteže ima ekstremnu vrijednost. Ako je ova ekstremna vrijednost minimum, ravnoteža je stabilna.
Načelo minimuma potencijalne energije izraženo jednadžbom (14), izraz (12b) za deformacijski rad i uvjeti kompatibilnosti deformacija (5), (6) predstavljaju sustav jednadžbi koji je dovoljan za izgradnju teorije elastičnosti i koji je u osnovi ekvivalentan sustavu jednadžbi. Taj sustav može biti osobito koristan u slučajevima kada zadovoljavanje diferencijalnih, jednadžbi (9) predstavlja računske poteškoće i zbog toga se mora tražiti približno rješenje, npr. za pomake se unaprijed pretpostavi pogodan oblik koji sadrži nekoliko slobodnih konstanti pa se one određuju iz zahtjeva da jednadžba (14) bude zadovoljena. Tako se doduše ne dobiva strogo rješenje problema, nego samo najbolja aproksimacija koja se može postići odabranim oblikom rješenja. Je li aproksimacija dovoljna, ovisi prije svega o usvojenom obliku rješenja, a uspješna primjena ove metode stoga zahtijeva spretnost i iskustvo.
Castiglianovo načelo
Dok se kod načela minimuma potencijalne energije uspoređuju sva stanja deformacije koja ispunjavaju uvjete kompatibilnosti deformacija i među njima izdvajaju ona za koja odgovarajući naponi zadovoljavaju uvjete ravnoteže, kod Castiglianova načela uspoređuju se sva stanja napona koja zadovoljavaju uvjete ravnoteže i među njima izdvajaju ona za koja odgovarajuće deformacije zadovoljavaju uvjete kompatibilnosti deformacija. Ovo načelo glasi: od svih mogućih ravnotežnih stanja nastupa stvarno ono kojem odgovara najmanji deformacijski rad. Castiglianovo načelo zajedno s jednadžbom (12c) za deformacijski rad i uvjetima ravnoteže tvori sustav jednadžbi koji je dovoljan za proračun otpornosti materijala. S obzirom na to da ovo načelo sadržava Hookeov zakon, mogućnost njegove primjene vezana je uz pretpostavku da se deformacije mogu potpuno opisati tim zakonom. To zahtijeva ne samo linearno elastično ponašanje materijala, nego i isključuje promjene temperature.
Ponašanje materijala iznad granice elastičnosti
Pojave pri statičkom opterećenju
Deformacija materijala pod utjecajem napona vrlo je složena pojava, pa ju je potrebno na različite načine pojednostaviti kako bi se mogla razumjeti. Jedno od tih pojednostavljenja jest pretpostavka da se opterećenja nanose postupno, kao što se, primjerice, radi s uzorcima prilikom ispitivanja na vlačenje i tlak.
Ako se čelična šipka opterećena na zatezanje izloži opterećenju koje postupno raste i mjeri njezina dilatacija ε, dobiva se dijagram prikazan na sl. 8. U početku je dilatacija vrlo mala i proporcionalna naprezanju, onako kako to zahtijeva Hookeov zakon. Počevši od jednog određenog naprezanja prestaje proporcionalnost i dilatacija raste brže. Točan položaj granice te proporcionalnosti teško se može odrediti. Što je mjerenje točnije, utoliko se ona dobiva niža. Za većinu materijala ona leži na σ = 0, i Hookeov zakon tada predstavlja samo prvo približenje elastičnom ponašanju, prvi član razvoja u Taylorov red funkcije ε = ε (σ) u okolini ishodišta koordinatnog sustava.
Ako se štap rastereti, primjećuje se da, kada naprezanje nije bilo preveliko, nestaje i deformacija, u skladu s Hookeovim zakonom. Ali i ovo se mijenja ako se prekorači određeno naprezanje koje leži blizu granice proporcionalnosti, tzv. granica elastičnosti; tada se ukupna deformacija sastoji od elastičnog (povratnog) i neelastičnog (trajnog) dijela. Ni granica elastičnosti ne može se točno odrediti, ona se nalazi utoliko niže ukoliko je točnost mjerenja veća. Međutim, kako ona ima veliki tehnički značaj, jer predstavlja granicu važnosti kod gotovo svih proračuna u otpornosti materijala, a istovremeno i granicu na kojoj nastaju prva trajna oštećenja, ona se za ispitivanje uzoraka strogo definira nekom usvojenom konvencijom, pa se, npr., kao granica 0.2% označava ono naprezanje pri kojem trajna dilatacija doseže 0.2%.
Neposredno nakon prekoračenja granice elastičnosti deformacija naglo raste i može se primijetiti golim okom; pri gotovo konstantnom naprezanju štap se neprekidno izdužuje. Ovo naprezanje naziva se granica tečenja. Kod hidrauličkih strojeva za ispitivanje materijala može se uz to uočiti nakon početka tečenja više ili manje izražen pad naprezanja; kako je naznačeno na sl. 8 isprekidanom krivuljom; tada se maksimum naziva gornja granica tečenja, a konstantno naprezanje tečenja koje zatim nastupa donja granica tečenja.
Nakon što se postigne određena dilatacija, koja je gotovo potpuno neelastična, napon ponovno počinje rasti‚, materijal se učvršćuje. U tom području opterećenja nastaje primjetno smanjenje poprečnog presjeka štapa uslijed (neelastične) bočne kontrakcije, a daljnji tijek dijagrama napona i deformacija ovisi ponajprije o tome dijeli li se pri proračunu napona σ sila zatezanja P koja djeluje na štap s početnim presjekom F0 ili trenutnim presjekom F. Za tehničke svrhe zanimljiv je napon P|F0 . Taj napon prolazi kroz maksimum koji se naziva čvrstoća materijala i kada se taj maksimum prijeđe, štap se na jednom mjestu jako sužava i lomi. “Stvarni napon” P|F raste do sloma.
Prikaz 8.
Ponašanje drugih metala u mnogočemu odstupa od ovdje opisanog. Tečenje često nije izraženo, a očvršćivanje počinje neposredno nakon prekoračenja granice elastičnosti. Kod krhkih materijala (kamen, staklo, beton) neelastične deformacije općenito su male i već pri maloj dilataciji dolazi do loma. Ukupna dilatacija koju materijal pretrpi do loma mjera je rastezljivosti (suprotno: krhkosti) materijala i ona se za čelik točno propisuje u tehničkim uvjetima. Međutim, kako se neposredno prije loma daljnja deformacija koncentrira na okolna mjesta suženog presjeka, dobiva se različita vrijednost dilatacije pri lomu, ovisno o tome usvaja li se za mernu duljinu veći ili manji dio štapa, tako da se za dobivanje jednoznačnih i međusobno usporedivih rezultata mora unaprijed usvojiti određena konvencija. Dilatacija pri lomu u pravilu se mjeri tako da se na okruglom štapu promjera d prije pokusa označi mjerna duljina Ι = 10 d i iz njezina izduženja ΔΙ izračuna dilatacija pri lomu εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Ako je potrebno ispitivati štapove drukčijeg presjeka, mjerna duljina određuje se prema promjeru kružnog cilindričnog štapa koji ima istu površinu poprečnog presjeka.
Opterećenje dugoga trajanja
Za tijek pokusa zatezanja prilično je svejedno povećava li se opterećenje do loma tijekom 10 m minuta ili nekoliko sati. Međutim, ako opterećenje djeluje godinama ili desetljećima, pod određenim uvjetima opaža se da i ispod granice tečenja deformacija pri stalnom naponu tijekom vremena lagano raste. Pri tome se elastični dio, tj. onaj dio koji pri konačnom rasterećenju nestaje, ne mijenja osjetno. Taj porast neelastične deformacije koji se događa tijekom dugog vremena naziva se puzanje. Kod metala, osim kod olova, puzanje je značajno samo pri visokim temperaturama, međutim, za građevinskog inženjera ono ima ulogu kod betona koji pod pritiskom lagano popušta, tako da napon raste u pritisnutoj armaturi, ako ona postoji.
Promjenljivo opterećenje
Da bi se mehaničke karakteristike materijala, dobivene pri ispitivanju na zatezanje, mogle primijeniti kao mjerilo za dopušteno opterećenje konstrukcija, uvjet je da materijal pri svakom ponovnom opterećenju podnosi napon koji je jednom bez oštećenja podnio. Taj uvjet nije ispunjen ako je materijal izložen čestom ponavljanju opterećenja i rasterećenja, kao što je to, primjerice, slučaj kod nosača opterećenih inercijskim silama nepotpuno uravnoteženih strojeva. Dovoljno čestim ponavljanjem opterećenja može se konstruktivni dio dovesti do sloma i pri naponu koji je daleko ispod čvrstoće materijala određene običnim statičkim ispitivanjem. Pojava sloma ove vrste naziva se slom uslijed zamaranja. Broj n ciklusa opterećenja koje materijal može podnijeti ovisi o veličini napona σ, tako da je utoliko veći ukoliko je napon manji. Tipičan primjer te ovisnosti prikazan je na sl. 9, iz koje se vidi da za čvrstoću materijala postoji donja granica koju podnosi i pri proizvoljno velikom broju ciklusa opterećenja, a koja se naziva dinamička čvrstoća materijala. Dijagrami ove vrste (sl.9) nazivaju se Wöhlerove krivulje.
Prikaz 9.
Sigurnost konstrukcije
Dva granična opterećenja su značajna za konstrukcije: opterećenje pri kojem nastaju prva trajna oštećenja (granica tečenja), i opterećenje pri kojem je nosivost konstrukcije iscrpljena, pa ona puca (granica loma). Kako prije granice tečenja barem približno vrijede pretpostavke otpornosti materijala (mala pomicanja, Hookeov zakon), sigurnost prema trajnim deformacijama može se pouzdano procijeniti u svim onim slučajevima u kojima uspijevamo svladati matematičke poteškoće. Ako je napon proporcionalan opterećenju, odnos napona tečenja prema najvećem naponu koji se u konstrukciji pojavljuje jednak je odnosu između opterećenja pri kojem nastaje tečenje i stvarnog opterećenja i predstavlja koeficijent sigurnosti prema tečenju. Međutim, u nizu slučajeva taj jednostavni odnos ne postoji: savijanje kada se isključuje zatezanje, tlak između ispupčenih površina, sustavi čija je struktura promjenjiva i, što je osobito nepovoljno, savijanje s aksijalnom silom. U svim tim slučajevima može razmjerno malo povećanje opterećenja dovesti do velikog povećanja napona, i tada nije dovoljno da se uobičajeni koeficijent sigurnosti primijeni na napone, već se mora primijeniti na opterećenje.
Pojave koje se događaju nakon prekoračenja granice tečenja do loma mogu se u većini slučajeva pratiti još samo kvalitativno. Ako je materijal rastezljiv, dijelovi u kojima je najprije dosegnuta granica tečenja, i koji se dalje deformiraju pri konstantnom naponu ili naponu koji neznatno raste, malo sudjeluju u preuzimanju daljnjeg opterećenja, tako da ostali, slabije napregnuti dijelovi konstrukcije, ako je to moguće s obzirom na njezinu strukturu, više sudjeluju u nošenju. U toj težnji prema izjednačavanju vrhova napona leži određena rezerva sigurnosti, koja se računski može iskoristiti ako trajna deformacija pojedinih dijelova, nastala pri samo jednom znatnom opterećenju, nije štetna (metoda graničnog opterećenja).
Ako je materijal krhak, prvo trajno oštećenje očituje se u pukotinama, zbog kojih na ugroženom mjestu dolazi do još jače koncentracije napona, koja odmah izaziva lom. Lom uslijed zamaranja i kod rastezljivih materijala ima značajke krhkog loma.
Veze između napona za različite presječne ravnine
Jednadžbe transformacije
Devet komponentnih naprezanja na sl. 1, vezani su s tri uvjeta ravnoteže. Šest preostalih veličina σx, σy, σz τxy, τyz, τzx mogu, neovisno jedna o drugoj, dobiti proizvoljne vrijednosti kao što se vidi iz izvođenja diferencijalnih jednadžbi teorije elastičnosti. Međutim, kada su te vrijednosti zadane, stanje naprezanja u nekoj točki čvrstog tijela potpuno je određeno, tj. kada su poznata naprezanja za tri međusobno okomite ravnine, može se jednoznačno odrediti i naprezanje za neku četvrtu ravninu koja prolazi kroz zadanu točku i čija normala ima proizvoljan smjer.
Na sl 10 prikazan je tetraedar OABC čije su tri strane paralelne ravninama koordinatnog sustava x, y, z, a četvrta predstavlja neki proizvoljno orijentirani element površine ABC = dF. Da bi se označio njegov smjer i smjer napona koji se preko njega prenosi, uvodi se drugi koordinatni sustav, čija je ξ osovina okomita na dF.
Prikaz 10
Uvjet ravnoteže sila koje djeluju na ovaj tetraedar u smjeru osi ξ daje
Uzmemo li u obzir da je
dobiva se
i slično tome iz uvjeta ravnoteže u smjeru osi η:
Ovo su jednadžbe koje služe za proračun naprezanja pri transformaciji koordinata. Od osobite je važnosti da se promatraju samo takvi elementi površine dF za koje se ξ-osovina poklapa sa z-osovinom. Obrasce za ovaj slučaj možemo dobiti pojednostavljenjem prethodnih obrazaca ili pročitati neposredno iz sl. 11:
Fotografija 11
Normalno naprezanje poprima ekstremne vrijednosti za smjerove α = α0 , za koje je dσξ/dα = 0. Diferenciranjem se iz jednadžbe (16) dobiva
pa je, kada se ovaj izraz izjednači s nulom
Napon τξη će ujedno biti totalni smičući napon u tim ravninama, ako je τyz = τzx = 0. Tada su jednadžbom (17) određena dva međusobno okomita smjera za koje: 1. totalni smičući napon je nula i, 2. normalni napon ima ekstremne vrijednosti (maksimum i minimum). Ti se smjerovi nazivaju smjerovi glavnih napona, a odgovarajući naponi glavni naponi. Oni se označavaju sa σ1 i σ2 i mogu se izračunati neposredno iz obrasca
Mohr-ov krug
Jednadžbe (16) mogu se grafički prikazati na očigledan način. U tu svrhu treba ih transformirati u oblik:
Ove jednadžbe predstavljaju u koordinatnom sustavu σ, τ parametarski oblik jednadžbe kruga, ucrtanog na sl. 12, čije su koordinate središta σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 i čiji je polumjer
Taj se krug naziva Mohr-ov krug. Ako se kroz točku x povuče pravac paralelan s presjekom x =const., preko kojega se prenose naponi σx, τxy, on će sjeći krug u točki p, koja se naziva pol Mohr-ova kruga. Svaki pravac pξ povučen kroz taj pol siječe krug u točki ξ koja određuje napone σξ, τξη koji se prenose preko presjeka paralelnog s pξ.
Što se tiče predznaka smičnih napona pri crtanju Mohr-ovog kruga treba voditi računa da se oni nanose naviše ako imaju smjer prikazan na sl. 12c. Prema tome, od dva konjugirana napona τxy, τyx, jedan je uvijek pozitivan, a drugi negativan.
Graničnim vrijednostima σ1, σ2 normalnih napona odgovaraju točke 1 i 2 na krugu, a pravci _p_1 i _p_2 daju smjerove glavnih napona.
Prikazivanje napona koji leže u x-y ravnini pomoću Mahr-ovog kruga nije vezano ni uz kakvu pretpostavku o naponima σz, τxz, τyz okomitim na tu ravninu.
Prikaz 12
To vrijedi i za najopćenitije trodimenzionalno naponsko stanje, ako se uspoređuju samo one presječne ravnine koje sve prolaze kroz istu pravac, koji je ovdje izabran za z i ξ os. Kako prema općim jednadžbama transformacije (15) normalni napon σ ne može postati beskonačan ni za jednu presječnu ravninu, on mora za neku ravninu imati konačni maksimum σ1, a za drugu minimum σ3, od kojih oba, razumije se, mogu biti i negativni. Ako se kroz vektore σ1 i σ3 povuče ravnina i nacrta Mohr-ov krug (sl. 13)
Prikaz 13
za napone koji leže u ovoj ravni (tj. sve pravce koji su okomiti na ovu ravan), tada su σ1 i σ3 najveći i najmanji normalni naponi koji se mogu pojaviti i prema tome moraju biti međusobno okomiti. Ako se pravci 1 i 3 dopune pravcem 2, tako da ta tri pravca čine pravokutni koordinatni sustav, i ako se nacrtaju Mahr-ovi krugovi za ravni 1 ~2 i 2 ~ 3, tada je σ2 za jedan od ovih krugova najveći, a za drugi najmanji normalni napon, i prema tome je u presjecima okomitim na pravce 1, 2 i 3 posmični napon jednak nuli. Tri međusobno okomita normalna napona σ1, σ2 i σ3, kojima ne odgovaraju posmični naponi, nazivaju se glavni naponi.
Granica tečenja i granica loma pri prostornom stanju napona
Stanje napona naziva se jedno-, dvo- ili trodimenzionalno, drukčije: linearno, ravno ili prostorno, prema tome jesu li jedan, dva ili sva tri glavna napona različita od nule. Kod konstruktivnih dijelova koji se najčešće primjenjuju, tj. kod zategnutog, pritisnutog i savijenog štapa, stanje napona je, barem na najviše napregnutim mjestima, jednodimenzionalno, a isto tako i kod pokusa na zatezanje, pritisak ili savijanje, koji se pri ispitivanju materijala gotovo isključivo primjenjuju za određivanje dopuštenih napona. Suprotno tome, kod ploča opterećenih u svojoj ravnini ili okomito na nju, kao i kod ljuski, stanje napona je dvodimenzionalno, a u određenim slučajevima pojavljuju se i trodimenzionalna stanja napona, tako da je potrebno da se na temelju granice tečenja i sloma, određene pri jednodimenzionalnom stanju napona, izvuku zaključci o ponašanju materijala u slučaju prostornog stanja napona.