উপাদান: উপাদানের প্রতিরোধ ও স্থিতিস্থাপকতার তত্ত্ব

মূল বিষয়াবলি

উপাদান প্রতিরোধবিদ্যার কাজ হলো নির্ণয় করা যে একটি কঠিন বস্তু (যেমন, নির্মাণ, কাঠামোগত অংশ বা মাটি) কোন বাহ্যিক বল সহ্য করতে পারে। এই প্রশ্নের উত্তর দিতে দুইটি মানদণ্ড ধরা হয়: একদিকে, চাপগুলোকে উপাদানের ধরনের ওপর নির্ভরশীল নির্দিষ্ট সীমা অতিক্রম করা চলবে না; অন্যদিকে, বাহ্যিক ও অভ্যন্তরীণ বলের মধ্যে সাম্যাবস্থা স্থিতিশীল হতে হবে। এই অনুযায়ী, উপাদান প্রতিরোধবিদ্যার সব সমস্যা “চাপ-সংক্রান্ত সমস্যা” এবং “স্থিতিশীলতা-সংক্রান্ত সমস্যা”-এ ভাগ করা যায়।

দণ্ড, বিম এবং সেগুলি দিয়ে গঠিত বাহক কাঠামো (ট্রাস, ফ্রেম)-এর ক্ষেত্রে চাপ নির্ধারণ দুই ধাপে করা হয়; প্রথমে নির্ধারিত বহিঃবলগুলির ভিত্তিতে আনুভূমিক অনুচ্ছেদের মাধ্যমে সঞ্চারিত অভ্যন্তরীণ বলগুলির ফল নির্ণয় করা হয়, তারপর এই “অনুচ্ছেদীয় বল” থেকে চাপ নির্ধারণ করা হয়। পদ্ধতির প্রথম অংশটি একটি স্বতন্ত্র, বিস্তৃত শাস্ত্র—কাঠামোগত স্থিতিবিদ্যা—যার নিজস্ব সুগঠিত পদ্ধতি রয়েছে এবং যা সাধারণত উপাদানের প্রতিরোধবিদ্যা থেকে পৃথক করা হয়; উপাদানের প্রতিরোধবিদ্যার কাজ হলো প্রদত্ত অনুচ্ছেদীয় বল থেকে চাপ নির্ধারণ।

উপাদানের শক্তি প্রতিরোধের মৌলিক ধারণা

চাপের সংজ্ঞা নিচের মৌলিক বিবেচনার মাধ্যমে পাওয়া যায়। ধরা যাক, বস্তুর ওপর বাহ্যিক বলের একটি সাম্যাবস্থায় থাকা ব্যবস্থা ক্রিয়া করছে। কল্পনা করি, আমরা বস্তুকে যেকোনো ছেদ দিয়ে দুই ভাগে বিভক্ত করেছি এবং তাদের একটিকে তার ওপর ক্রিয়াশীল বলসহ সরিয়ে নিয়েছি; তখন অন্য অংশের ওপর তার ক্রিয়া, যাতে বলের সাম্য এবং বিকৃতির বণ্টন অপরিবর্তিত থাকে, ছেদ পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে প্রেরিত অতিরিক্ত বল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে হবে। এই “অভ্যন্তরীণ” বলগুলো ছেদ পৃষ্ঠে অবিচ্ছিন্নভাবে বণ্টিত থাকে, ফলে পৃষ্ঠের প্রতিটি উপাদান dF-এর জন্য একটি বল dβ সংশ্লিষ্ট হয়। যদি dβ/dF অনুপাত গঠন করা হয় এবং dF -> 0 সীমান্ত রূপান্তর করা হয়, তবে এই অনুপাত একটি সীমামূল্যে পৌঁছে, যাকে চাপ বলা হয়। পৃষ্ঠের নির্দিষ্ট উপাদানে চাপ, dβ-এর মতোই, dF-এর লম্ব ও স্পর্শকীয় উপাদানে বিভক্ত করা যায়: স্বাভাবিক চাপ σ এবং শিয়ার চাপ τ।

একই বিন্দুর মধ্য দিয়ে বিভিন্ন দিকে ছেদকতল অঙ্কন করলে তাদের সঙ্গে ভিন্ন ভিন্ন চাপও সম্পর্কিত হবে। বিশেষ করে যদি দেহ থেকে চিত্র 1-এ দেখানো একটি ক্ষুদ্র ঘনক আলাদা করা হয়, তবে তার ছয়টি পৃষ্ঠের প্রতিটিতে এমন একটি চাপ-ভেক্টর কার্যকর হবে, যাকে x, y, z স্থানাঙ্ক অক্ষের দিকে তিনটি উপাদানে বিশ্লেষণ করা যায়। বিপরীত পৃষ্ঠগুলিতে কার্যরত চাপসমূহ অবশ্যই কেবল অতি ক্ষুদ্র পার্থক্যের জন্যই একে অপরের থেকে ভিন্ন হয়, তাই 3 * 3 = 9টি উপাদানগত চাপ আলাদা করতে হবে, যেগুলি নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়:

স্বাভাবিক চাপ σ-কে সেই অক্ষের সূচক দেওয়া হয় যার দিক বরাবর তা অবস্থান করে, এবং এগুলোকে ধনাত্মক ধরা হয় যদি তারা টান সৃষ্টি করে, ঋণাত্মক যদি চাপ সৃষ্টি করে। শিয়ার চাপ τ দুটি সূচক পায়; এর প্রথমটি সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক চাপের সূচকের মতোই, আর দ্বিতীয়টি সেই অক্ষকে নির্দেশ করে যার দিকে শিয়ার চাপ কার্যকর হয়। যদি সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক চাপের ধনাত্মক দিক ধনাত্মক (ঋণাত্মক) স্থানাংক অক্ষের দিকে হয়, তবে শিয়ার চাপকেও ধনাত্মক ধরা হয় যখন তা ধনাত্মক (ঋণাত্মক) স্থানাংক অক্ষের দিকে কার্যকর হয়।

চিত্র 1.

 কর্তনীয় চাপের যুগ্মতা

যদি মৌলিক ঘনক, চিত্র 1,-এর জন্য এই শর্ত স্থাপন করা হয় যে x অক্ষের সাপেক্ষে সকল বলের মোমেন্ট শূন্য, তবে পাওয়া যায় τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz। এখান থেকে, এবং y ও z অক্ষের জন্য সংশ্লিষ্ট আরও দুটি সমীকরণ থেকে, পাওয়া যায় যে একই সূচকযুক্ত শিয়ার চাপগুলো পরস্পর সমান τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

উপাদানগত বিকৃতি

উপরেরভাবে সংজ্ঞায়িত চাপগুলির ভৌত অর্থ আছে, কারণ তা বাহ্যিক বলের প্রভাবে প্রত্যেক বস্তুর যে সংজ্ঞা-প্রাপ্ত পরিবর্তন ঘটে তার সঙ্গে সম্পর্কিত। চিত্র 2 একটি প্রাথমিক ঘনক দেখায়, যা বিকৃতির আগে আয়তাকার ছিল এবং যার প্রান্তদৈর্ঘ্য ছিল dx, dy, dz। বিকৃতির পরে প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্যকে dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz দ্বারা চিহ্নিত করা যায়; অনুপাত εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz-কে প্রসারণ বলা হয়। এগুলি মাত্রাহীন রাশি এবং নির্মাণকাজে বিবেচ্য সব উপকরণের ক্ষেত্রেই 1-এর তুলনায় ছোট। প্রান্তগুলির দীর্ঘায়ন ছাড়াও, dx * dy * dz প্রাথমিক ঘনকটি তার পার্শ্বগুলির মধ্যে প্রাথমিক সমকোণগুলির পরিবর্তনও ভোগ করতে পারে।

চিত্র 2. উপাদানগত বিকৃতি

ধরি, বিকৃতির পরে OC প্রান্ত বরাবর মিলিত তলগুলোর মধ্যে কোণটি -এর সমান, এবং একইভাবে AO প্রান্ত বরাবর সমকোণের হ্রাস γyz, এবং OB প্রান্ত বরাবর হ্রাস γzx-এর সমান। এই তিনটি কোণগত পরিবর্তন γxy, γyz, γzx-কে স্লিপ বলা হয় এবং এগুলিও সর্বদা 1-এর তুলনায় ছোট। ছয়টি উপাংশ ε এবং γ দ্বারা ক্ষুদ্র-বিকৃতি অবস্থায় মৌলিক ঘনকের বিকৃতি সম্পূর্ণ নির্ধারিত হয়। আয়তন উপাদান d_V = dx * dy * dz_-এর পরিবর্তন ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, যেখানে বিকৃতির গুণফলগুলোকে উচ্চতর ক্রমের ক্ষুদ্র রাশি হিসেবে উপেক্ষা করলে, ঘনীয় বিকৃতি ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) পাওয়া যায়

স্থানচ্যুতি

কঠিন বস্তুর বিকৃতি সম্পূর্ণভাবে এভাবেও বর্ণনা করা যায় যে, এর প্রতিটি বিন্দুর জন্য সেই বিন্দুটি যে সরণ ভোগ করেছে তা নির্ধারণ করা হয়। যদি কঠিন বস্তুর সরণের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ সীমিত মানের সরণগুলো বিবেচনার বাইরে রাখা হয়, এবং প্রয়োজনে হিসাবের মধ্যে একটি চলমান স্থানাঙ্ক পদ্ধতি গ্রহণ করা হয়, তবে উপাংশগত সরণ μ, ν, ω সবসময়ই ছোট মানের হয়, এবং স্থানাঙ্কের প্রতি তাদের অন্তরজগুলো 1-এর তুলনায় ছোট হয়। এই অনুমানের অধীনে, চিত্র 3 অনুযায়ী, বিকৃতির পরে রেখীয় উপাদান OA = dx-এর দৈর্ঘ্য

অতএব  (3)

অনুরূপভাবে, চিত্র 3 থেকে দেখা যায় যে কেটে সরে যাওয়া γxy γ1 + γ2: এবং আরও

 (4)

চিত্র 3 স্লিপ

(5)  (6)

এই সম্পর্কগুলোকে সামঞ্জস্যতার শর্ত বলা হয় এবং তা নির্দেশ করে যে বিকৃত উপাদানগুলোকে মোজাইকের মতো সাজানো যায়, যাতে স্থানটি নিরবচ্ছিন্নভাবে পূর্ণ থাকে; উপাদানগুলোর বিকৃতি যদি ইচ্ছামতো হয় তবে তা সম্ভব নয়। সামঞ্জস্যতার শর্তগুলি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, তাই স্বাভাবিকভাবেই প্রতিটি পৃথক ঘনকের জন্য ছয়টি উপাংশীয় বিকৃতি পরস্পর স্বাধীন, তবে যেকোনো সসীম বিস্তৃত অঞ্চলে তাদের বিন্যাস (5) এবং (6) শর্তের দ্বারা আবদ্ধ।

যেহেতু এই শর্তগুলো সমীকরণ (3) এবং (4)-এর পার্থক্যীকরণ থেকে পাওয়া হয়েছে, তাই এগুলো উদ্ভূত করার সময় মূল সমীকরণে নিহিত সম্পর্কের একটি অংশ হারিয়ে যায়। তাই বিকৃতির সামঞ্জস্য নিশ্চিত করতে চাইলে কেবল এই দুই সমীকরণ-পদ্ধতির যেকোনো একটিই নয়, বরং উভয় সমীকরণ-পদ্ধতিই পূরণ করতে হবে।

স্থিতিস্থাপকতার সিস্টেমের অন্তরকল সমীকরণ

স্থিতিস্থাপক দেহে চাপ ও বিকৃতি গণনার জন্য নিম্নলিখিত সমীকরণগুলো ব্যবহৃত হয়:

আয়তন উপাদানের ভারসাম্য শর্ত। তিনটি অক্ষের চারপাশে মোমেন্ট শূন্য হওয়ার শর্তটি ইতিমধ্যেই সমীকরণ (1) নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়েছে। বলের ভারসাম্য শর্ত চিত্র 4 অনুসারে দেয়

চিত্র 4

(7a-c)

যদি X, Y, Z দ্বারা একক আয়তনে আয়তনিক বলের উপাদানসমূহ (যেমন, ওজন, কেন্দ্রাতিগ বল) নির্দেশ করা হয়। চাপ ও বিকৃতির সম্পর্ক। এর দ্বারা উপাদানগত চাপ ও উপাদানগত বিকৃতির মধ্যকার সম্পর্ক বোঝায়। স্থিতিস্থাপকতার তত্ত্বে সাধারণত কেবল রৈখিক সম্পর্কই বিবেচিত হয়, যা Hooke-এর সূত্রে প্রকাশ পায়:

(8a-c)

(8d-f)

যদি সমীকরণগুলো (8a-c) চাপের দিক থেকে সমাধান করা হয়, তবে পাওয়া যায়

(8 a)

এবং দুটি সংশ্লিষ্ট সমীকরণ। Hooke-এর সূত্র, সমীকরণ (8) দ্বারা প্রকাশিত, কোনো কঠোরভাবে পরিপালিত প্রাকৃতিক নিয়ম নয়, বরং বাস্তব আচরণের একটি আদর্শীকরণ, যা উপাদান এবং চাপের মাত্রার ওপর নির্ভর করে এর থেকে কমবেশি বিচ্যুত হয়। যেহেতু চাপ ও বিকৃতির মধ্যে জটিল, অরৈখিক সম্পর্কযুক্ত উপাদান প্রতিরোধ-সংক্রান্ত সমস্যার গাণিতিক বিশ্লেষণ তুলনাহীনভাবে বেশি কঠিন সৃষ্টি করে এবং বাস্তবে তা কেবল সবচেয়ে সরল ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যায়, তাই যেসব উপাদানের (কংক্রিট!) আচরণ Hooke-এর সূত্র থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে বিচ্যুত, তাদের ক্ষেত্রেও এর ওপর ভিত্তিকৃত গণনাকে প্রথম এবং অধিকাংশ ক্ষেত্রেই একমাত্র আনুমানিক সমাধান হিসেবে ব্যবহার করতে হয়; তাছাড়া এটি সাধারণত খুবই ব্যবহারযোগ্য এবং কেবলমাত্র গুণগতের চেয়ে বেশি অন্তর্দৃষ্টি দেয়। G = E|2 (1+μ).

এটি বাধ্যতামূলকভাবে চাপ ও বিকৃতির সম্পর্ক (8), চাপের জন্য রূপান্তর সমীকরণ (16) এবং উপাদানগত বিকৃতির সংশ্লিষ্ট সমীকরণ-ব্যবস্থা থেকে অনুসৃত হয়। E এবং G-এর মাত্রা চাপের মাত্রার সমান এবং সব নির্মাণসামগ্রীর ক্ষেত্রে এগুলো উৎপন্ন হতে পারে এমন σ ও τ চাপের তুলনায় বড়। কিন্তু এই তথ্যের ওপরই স্থিতিস্থাপকতার তত্ত্বজুড়ে গৃহীত এই অনুমানটি নির্ভর করে যে বিকৃতি ছোট। পার্শ্বীয় প্রসারণের সহগ (পয়সনের সংখ্যা) μ মাত্রাবিহীন এবং সবসময় 0 ও 1/2 এর মধ্যে থাকে ।

উপাদানগত বিকৃতি ও স্থানচ্যুতির মধ্যে সম্পর্ক। এই সম্পর্কগুলো সমীকরণ (3), (4) দ্বারা দেওয়া হয়েছে। এগুলো সম্পূর্ণভাবে জ্যামিতিক প্রকৃতির। এই তিনটি ব্যবস্থা 3+6+6=15টি সমীকরণ দেয় 15টি অজানার জন্য, অর্থাৎ 6টি উপাদানগত চাপ, 6টি উপাদানগত বিকৃতি এবং 3টি উপাদানগত স্থানচ্যুতির জন্য। অতএব, এগুলো এই অজানাগুলো নির্ণয়ের জন্য যথেষ্ট। এত বিস্তৃত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ব্যবস্থা গাণিতিকভাবে সমাধান করা, স্বাভাবিকভাবেই, কেবল বিশেষ ক্ষেত্রে সম্ভব। যদি সমীকরণ (8)-এ উপাদানগত বিকৃতিগুলোকে সমীকরণ (3) এবং (4) অনুযায়ী উপাদানগত স্থানচ্যুতি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয় এবং পরে স্বাভাবিক চাপ σ ও শিয়ার চাপ τ-কে, সমীকরণ (8 d - f) অনুযায়ী, সাম্যাবস্থার শর্তে, সমীকরণ (7)-এ প্রবেশ করানো হয়, তবে যে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলো পাওয়া যায় সেগুলোকে স্থিতিস্থাপকতা তত্ত্বের মৌলিক সমীকরণ বলা হয়।

(9)

এক্ষেত্রে  দ্বারা Laplace অপারেটর চিহ্নিত করা হয়েছে। (2)-এর পরিপ্রেক্ষিতে এগুলি তিনটি উপাদানগত স্থানচ্যুতি μ, ν, ω-সহ তিনটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ; এগুলি থেকে আবার (3), (4) এবং (8)-এর ভিত্তিতে ডিফারেনশিয়েশন করে সব উপাদানগত চাপ ও বিকৃতি পাওয়া যায়। সমীকরণ (9) বিশেষ ক্ষেত্রসমূহের অধ্যয়নের জন্য প্রায়ই উপযোগী একটি সূচনা-বিন্দু নির্দেশ করে।

বিকৃতি কাজ

সংজ্ঞা

যখন একটি বহনকারী উপাদানের উপর ভার দেওয়া হয়, তখন বহিঃশক্তির প্রয়োগবিন্দুগুলি স্থিতিস্থাপক স্থানচ্যুতি ভোগ করে এবং সেই সঙ্গে বলগুলো কিছু কাজ করে। এভাবে প্রদত্ত শক্তি বিভিন্ন রূপে রূপান্তরিত হতে পারে। যদি ভার হঠাৎ প্রয়োগ করা হয়, যাতে বিকৃতি প্রক্রিয়ার গতি যথেষ্ট বেশি হয়, তবে এই শক্তির একটি অংশ গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়, যা সময়ের সঙ্গে সঙ্গে ক্ষয়প্রাপ্ত হয়—হয় মাটিতে স্থিতিস্থাপক তরঙ্গ হিসেবে সঞ্চারিত হয়ে যা অসীমে বিলীন হয়ে যায়, অথবা অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণের মাধ্যমে তাপে পরিণত হয়ে। যদি ভার এত ধীরে প্রয়োগ করা হয় যে গতিশক্তির লক্ষণীয় বৃদ্ধি ঘটে না, অর্থাৎ শূন্য থেকে ক্রমে বাড়তে থাকা ভারগুলো যদি অভ্যন্তরীণ বলের সঙ্গে স্থির সাম্যাবস্থায় থাকে, তবে শক্তি স্পষ্টতই শুধু বস্তুর বিকৃতিতেই ব্যয়িত হয় এবং তখন তাকে বিকৃতি-শ্রম বলা হয়।

ডিফরমেশন কাজের হিসাব আমরা প্রথমে একদিকে টেনশনে লোডপ্রাপ্ত একটি ক্ষুদ্র অংশের ওপর দেখাব (চিত্র 5)।

ধরা যাক বিদ্যমান চাপ σ এবং সংশ্লিষ্ট বিকৃতি ε-তে dσ ও dε পরিমাণ বৃদ্ধি ঘটে। তখন dε * dl পথে বল σdF, σdF * dεdl = σdεdV কাজ সম্পাদন করবে, যদি dV দ্বারা ক্ষুদ্র অংশটির আয়তন বোঝানো হয়। যদি চাপ শূন্য থেকে তার চূড়ান্ত মানে বৃদ্ধি পায় এবং সেই অনুযায়ী বিকৃতি 0 থেকে ε পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়, তবে একক আয়তনপ্রতি মোট সম্পাদিত কাজ হবে:

একইভাবে, শিয়ারিং চাপ τ দ্বারা লোডিত একটি উপাদানের ক্ষেত্রেও (চিত্র 6) একক আয়তনের জন্য বিকৃতি-কর্ম (নির্দিষ্ট বিকৃতি-কর্ম, স্থিতিস্থাপক সম্ভাব্য শক্তি):

যেখানে চারটি বলের মধ্যে কেবল একটি τ * dF কাজ করে।

সাধারণ ক্ষেত্রে, যখন উপাদানের ক্ষুদ্র অংশে ছয়টি উপাংশ-চাপই ক্রিয়া করে, তখন পৃথক উপাংশ-চাপগুলোর কাজের সমষ্টি থেকে নির্দিষ্ট বিকৃতি-কার্য পাওয়া যায়:

(10)

এই ইন্টেগ্রালগুলোর প্রতিটির উপরের সীমা অনুযায়ী পার্থক্য করালে সাধারণতম ক্ষেত্রে প্রযোজ্য সম্পর্কগুলো পাওয়া যায়:

(11)

এবং অন্যান্য উপাদানীয় বিকৃতির ক্ষেত্রেও একইভাবে। যদি দেহটি স্থিতিস্থাপক হয়, তবে প্রতিটি নির্দিষ্ট চাপ-অবস্থার সঙ্গে সবসময় একই বিকৃতি-অবস্থা মিলে যায়, তা লোডিংয়ের সময় অর্জিত হোক বা আনলোডিংয়ের সময়। তখন সমাকলগুলোর নিচে একার্থক ফাংশন থাকে এবং লোডিং ও তারপর সম্পূর্ণ আনলোডিংয়ের সময় ব্যয়িত মোট শক্তি হয় a = 0, কারণ এই ক্ষেত্রে সমাকলগুলোর ঊর্ধ্বসীমা শূন্য হয়ে যায়। সুতরাং লোডিংয়ের সময় দেহে সরবরাহ করা মোট শক্তি আনলোডিংয়ের সময় ফিরে পাওয়া যায়।

চিত্র 6

চিত্র 7

আংশিক স্থিতিস্থাপক দেহের ক্ষেত্রে, লোড ও আনলোডের সমগ্র চক্রে চাপ ও বিকৃতির সম্পর্ক চিত্রে 7 রেখা O A B. দ্বারা আনুমানিক দেখানো আকার ধারণ করে। লোডের সময় সরবরাহকৃত শক্তি সমান OAA, এলাকার, আর আনলোডের সময় প্রত্যাবর্তিত শক্তি সমান ABA, এলাকার, ফলে ছায়াঙ্কিত এলাকার সমান কাজ ক্ষয় হয় (তাপে রূপান্তরিত হয়)। যদি দোলন প্রক্রিয়ায় চাপ পর্যায়ক্রমে ধনাত্মক সীমামান এবং ঋণাত্মক সীমামান এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তবে অস্থিতিস্থাপক বিকৃতি চিত্র 7-এ বিন্দুযুক্ত রেখায় দেখানো মতো এগোয় এবং প্রতিটি দোলন পর্যায়ে একক আয়তনে DABCD শক্তি তাপে রূপান্তরিত হয়। বিকৃতির সময় যে আচরণে বিকৃতি চাপের থেকে পিছিয়ে থাকে, তাকে স্থিতিস্থাপক হিস্টেরেসিস বলা হয়, আর DABCD বক্ররেখা হলো হিস্টেরেসিস লুপ।

বিকৃতি-কার্য এবং হুকের সূত্র

যদি সমীকরণ (10)-এর সমাকলনে Hooke-এর সূত্র প্রয়োগ করা হয়, তবে সমাকলন করা যায়, এবং নির্দিষ্ট বিকৃতি-কাজের জন্য নিম্নলিখিত রূপগুলো পাওয়া যায়:

(12a)

(12b)

(12c)

এই রূপগুলোর দ্বিতীয়টি সমীকরণে (11) বসালে আবার Hooke - এর সূত্র, সমীকরণ (8), চাপের রূপে সমাধিত আকারে পাওয়া যায়। বিকৃতি-সংক্রান্ত কাজটি উপাদানগত বিকৃতির ওপর নির্ভর করে—সমীকরণ (12b)-এ যেমন দেখানো হয়েছে—এই বক্তব্যটি সুতরাং Hooke-এর সূত্রের সমতুল্য। যখন সমীকরণ (12c) চাপের সাপেক্ষে অন্তরক করা হয়, তখন পাওয়া যায়

(13)

এই সূত্রগুলো, (11)-এর সূত্রের বিপরীতে, কেবলমাত্র হুকের আইনের অনুসারী বস্তুর জন্য প্রযোজ্য এবং যখন চাপ ও বিকৃতির মধ্যকার সম্পর্ক ভিন্ন হয় তখন প্রয়োগ করা যায় না। স্বাভাবিকভাবেই সমীকরণ (13)-এর ডান পাশে কেবল চাপজনিত উপাদানগত বিকৃতিগুলোই থাকে, আর তাপমাত্রা পরিবর্তন, ক্রিপ, স্ফীতি, পুনঃস্ফটিকায়ন ইত্যাদির ফলে সম্ভাব্যভাবে সৃষ্ট অন্যান্য সব বিকৃতি বাদ দেওয়া হয়।

ইলাস্টিসিটি তত্ত্বে সমাকলীয় উপপাদ্য

আভাসগত স্থানচ্যুতি। সম্ভাব্য শক্তির ন্যূনতমতার নীতি

যেমন হুকের সূত্রের সমীকরণগুলো (8) একটি সমীকরণ (12b) দিয়ে প্রতিস্থাপিত হতে পারে, তেমনি সাম্যাবস্থার শর্তের পরিবর্তে ভার্চুয়াল স্থানচ্যুতির নীতিকেও যান্ত্রিক বিজ্ঞানের একটি সাধারণভাবে প্রযোজ্য মৌলিক আইন হিসেবে প্রবর্তন করা যায়। এই আইনটি বলে যে সাম্যাবস্থার অবস্থাগুলো এভাবে চিহ্নিত হয় যে, বিকৃতির অবস্থায় সামান্য পরিবর্তন ঘটলে সকল বলের মোট সম্পাদিত কাজ শূন্যের সমান হয়। যদি স্থিতিস্থাপক স্থানচ্যুতির ক্ষুদ্র পরিবর্তনগুলোকে δμ δν, δω দিয়ে চিহ্নিত করি, তবে সমীকরণ (7) দ্বারা সংজ্ঞায়িত আয়তনিক বলগুলো ভার্চুয়াল কাজ সম্পাদন করে

এবং পৃষ্ঠীয় বলসমূহ px, py, pz, যা দেহের বাহ্যিক পৃষ্ঠের উপাদান dF-এর উপর作用 করে, কাজের

যেখানে ত্রৈমাত্রিক ইন্টেগ্রালটি সমগ্র আয়তনের উপর প্রযোজ্য, আর দ্বৈত ইন্টেগ্রালটি দেহের সমগ্র বহিঃপৃষ্ঠের উপর প্রযোজ্য। অভ্যন্তরীণ বলসমূহ যে কাজ করে তা নির্ণয়ের জন্য সমীকরণ (12b) ব্যবহার করা হয়, ফলে একক আয়তনপ্রতি কাজ পাওয়া যায়

ভার্চুয়াল সরণের নীতি এর ভিত্তিতে দেয়

(14)

যদি X, Y, Z px, py., pz-কে মাধ্যাকর্ষণ বলের উপাংশ হিসেবে ধরা হয় (নিজস্ব ওজন এবং বাহ্যিক ভার), তবে ডান পাশের সমাকলনগুলো এই ভারগুলো যে সম্ভাব্য শক্তি হারিয়েছে তা নির্দেশ করে, আর বাম পাশটি দেহের সম্ভাব্য (স্থিতিস্থাপক) শক্তির বৃদ্ধি নির্দেশ করে; ফলে এই নীতি প্রকাশ করে যে ভারবাহী অংশ ও তার ওপর থাকা ভারগুলোর মোট সম্ভাব্য শক্তি সাম্যাবস্থার ক্ষেত্রে একটি চরম মান ধারণ করে। যদি এই চরম মানটি সর্বনিম্ন হয়, তবে সাম্যাবস্থা স্থিতিশীল।

সম্ভাব্য শক্তির ন্যূনতমতার নীতি সমীকরণ (14) দ্বারা প্রকাশিত, বিকৃতি-কার্যের জন্য অভিব্যক্তি (12b), বিকৃতির সামঞ্জস্যতার শর্তাবলি (5), (6)—এগুলি এমন এক সমীকরণ-সমষ্টি গঠন করে, যা স্থিতিস্থাপকতার তত্ত্ব নির্মাণের জন্য যথেষ্ট এবং মূলত সমীকরণসমষ্টির সমতুল্য। এই সমষ্টি বিশেষভাবে কার্যকর হতে পারে সেইসব ক্ষেত্রে, যেখানে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (9) সন্তুষ্ট করা গণনাগত কঠিনতা সৃষ্টি করে; তখন আনুমানিক সমাধান খুঁজতে হয়, যেমন, স্থানচ্যুতিগুলির জন্য আগেই একটি উপযুক্ত রূপ ধরা হয় যাতে কয়েকটি মুক্ত ধ্রুবক থাকে, এবং এগুলি পরে এই শর্ত থেকে নির্ধারিত হয় যে সমীকরণ (14) সন্তুষ্ট হতে হবে। এভাবে কঠোর সমাধান পাওয়া যায় না, বরং নির্বাচিত সমাধানরূপ দিয়ে অর্জনযোগ্য সর্বোত্তম আনুমানিকতা-ই পাওয়া যায়। আনুমানিকতা যথেষ্ট কি না, তা সর্বপ্রথম গৃহীত সমাধানরূপের ওপর নির্ভর করে; তাই এই পদ্ধতির সফল প্রয়োগের জন্য দক্ষতা ও অভিজ্ঞতা প্রয়োজন।

ক্যাসটিলিয়ানোর নীতি

যেখানে ন্যূনতম সম্ভাব্য শক্তির নীতিতে বিকৃতির সামঞ্জস্যের শর্ত পূরণকারী সব বিকৃতি অবস্থা তুলনা করা হয় এবং তাদের মধ্য থেকে সেগুলি বেছে নেওয়া হয় যাদের জন্য সংশ্লিষ্ট চাপসমূহ সাম্যাবস্থার শর্ত পূরণ করে, সেখানে Castigliano-র নীতিতে সাম্যাবস্থার শর্ত পূরণকারী সব চাপ অবস্থা তুলনা করা হয় এবং তাদের মধ্য থেকে সেগুলি বেছে নেওয়া হয় যাদের জন্য সংশ্লিষ্ট বিকৃতিসমূহ বিকৃতির সামঞ্জস্যের শর্ত পূরণ করে। এই নীতি বলে: সম্ভাব্য সব সাম্যাবস্থার অবস্থার মধ্যে প্রকৃতপক্ষে সেটিই ঘটে, যার জন্য বিকৃতি-সম্পর্কিত কাজ সর্বনিম্ন। Castigliano-র নীতি, বিকৃতি-সম্পর্কিত কাজের জন্য সমীকরণ (12c) এবং সাম্যাবস্থার শর্তসমূহের সঙ্গে মিলিত হয়ে এমন এক সমীকরণ-ব্যবস্থা গঠন করে যা উপাদানের প্রতিরোধ নির্ণয়ের জন্য যথেষ্ট। যেহেতু এই নীতিতে Hooke-এর সূত্র অন্তর্ভুক্ত, তাই এর প্রয়োগের সম্ভাবনা এই অনুমানের সঙ্গে যুক্ত যে বিকৃতিসমূহ এই সূত্র দিয়ে সম্পূর্ণভাবে বর্ণনা করা যায়। এর জন্য কেবল রৈখিক স্থিতিস্থাপক আচরণই নয়, তাপমাত্রার পরিবর্তনও বাদ দিতে হয়।

স্থিতিস্থাপক সীমার ঊর্ধ্বে উপাদানের আচরণ

স্থির লোডের সময়ের ঘটনাবলি

চাপের প্রভাবে উপাদানের বিকৃতি একটি অত্যন্ত জটিল ঘটনা, তাই তা বোঝার জন্য বিভিন্ন দিক থেকে সরলীকরণ করতে হয়। এ ধরনের একটি সরলীকরণ হলো এই ধারণা যে ভার ধীরে ধীরে প্রয়োগ করা হয়, যেমন, টান ও চাপ পরীক্ষায় নমুনার ক্ষেত্রে করা হয়।

টানলে লোডকৃত একটি ইস্পাত দণ্ডকে যদি ক্রমশ বাড়তে থাকা বোঝার অধীনে রাখা হয় এবং তার প্রসারণ ε মাপা হয়, তবে চিত্র 8-এ প্রদর্শিত ডায়াগ্রামটি পাওয়া যায়। শুরুতে প্রসারণ খুবই ছোট এবং চাপের সমানুপাতিক, যেমন হুকের সূত্র দাবি করে। একটি নির্দিষ্ট চাপ থেকে সমানুপাতিকতা বন্ধ হয়ে যায় এবং প্রসারণ দ্রুত বাড়ে। এই সমানুপাতিকতার সীমার সঠিক অবস্থান নির্ধারণ করা কঠিন। মাপ যত বেশি নির্ভুল হয়, তা তত নিচে পাওয়া যায়। অধিকাংশ উপাদানের জন্য এটি σ = 0-এ অবস্থিত, এবং তখন হুকের সূত্র কেবল স্থিতিস্থাপক আচরণের প্রথম আনুমানিকতা, অর্থাৎ কেন্দ্রবিন্দুর আশেপাশে ε = ε (σ) ফাংশনের টেলর ধারার প্রথম পদ।

রডটি যদি লোডমুক্ত করা হয়, দেখা যায় যে চাপ খুব বেশি না হলে, হুকের সূত্র অনুসারে বিকৃতিটিও বিলুপ্ত হয়। কিন্তু একটি নির্দিষ্ট চাপ, যা সমানুপাতিক সীমার কাছাকাছি থাকে, তথাকথিত স্থিতিস্থাপকতার সীমা, অতিক্রম করলে এটিও বদলে যায়; তখন মোট বিকৃতি স্থিতিস্থাপক (প্রত্যাবর্তনশীল) এবং অস্থিতিস্থাপক (স্থায়ী) অংশ নিয়ে গঠিত হয়। স্থিতিস্থাপকতার সীমাও নির্ভুলভাবে নির্ধারণ করা যায় না; পরিমাপের নির্ভুলতা যত বেশি, এটি তত নিচে অবস্থান করে। তবে এর বড় প্রযুক্তিগত গুরুত্ব রয়েছে, কারণ এটি উপাদান-প্রতিরোধ সংক্রান্ত প্রায় সব গণনায় গুরুত্বের সীমা নির্দেশ করে, এবং একই সঙ্গে এখানেই প্রথম স্থায়ী ক্ষতি শুরু হয়; তাই নমুনা পরীক্ষার জন্য এটি কোনো গৃহীত নিয়মে কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং উদাহরণস্বরূপ, 0.2% সীমা হিসেবে সেই চাপকে চিহ্নিত করা হয়, যাতে স্থায়ী প্রসারণ 0.2% পৌঁছে।

ইলাস্টিসিটি সীমা অতিক্রম করার সঙ্গে সঙ্গেই বিকৃতি হঠাৎ বেড়ে যায় এবং খালি চোখে তা লক্ষ করা যায়; প্রায় ধ্রুব চাপের অধীনে দণ্ডটি অবিরাম লম্বা হতে থাকে। এই চাপকে প্রবাহ সীমা বলা হয়। উপাদান পরীক্ষার হাইড্রোলিক যন্ত্রে এর পাশাপাশি প্রবাহ শুরু হওয়ার পরে চাপের কমবেশি স্পষ্ট একটি পতনও দেখা যায়; যেমন চিত্র 8-এ ড্যাশযুক্ত বক্ররেখায় দেখানো হয়েছে; তখন সর্বোচ্চ মানটিকে উচ্চতর প্রবাহ সীমা বলা হয়, আর এরপর যে ধ্রুব প্রবাহ চাপ দেখা দেয় তা নিম্নতর প্রবাহ সীমা।

যখন একটি নির্দিষ্ট প্রসারণে পৌঁছানো হয়, যা প্রায় সম্পূর্ণরূপে অস্থিতিস্থাপক, তখন চাপ আবার বাড়তে শুরু করে, বস্তুটি শক্ত হয়ে যায়। এই লোডিং অঞ্চলে দণ্ডের অনুপ্রস্থ ক্ষেত্রফল (অস্থিতিস্থাপক) পার্শ্বীয় সংকোচনের কারণে লক্ষণীয়ভাবে কমে যায়, এবং চাপ ও বিকৃতির চিত্রের পরবর্তী গতি মূলত এটির ওপর নির্ভর করে যে, চাপ σ গণনা করার সময় দণ্ডের উপর ক্রিয়াশীল টানবল P কি প্রাথমিক অনুপ্রস্থ ক্ষেত্রফল F0 দ্বারা ভাগ করা হবে, নাকি বর্তমান অনুপ্রস্থ ক্ষেত্রফল F দ্বারা। প্রযুক্তিগত উদ্দেশ্যে যে চাপটি গুরুত্বপূর্ণ, তা হলো P|F0 । এই চাপ একটি সর্বাধিক মান অতিক্রম করে, যাকে বস্তু-শক্তি বলা হয়, এবং সেই সর্বাধিক মান অতিক্রম করার পর দণ্ডটি এক স্থানে খুব সরু হয়ে যায় এবং ছিঁড়ে যায়। “প্রকৃত চাপ” P|F ভাঙন পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়।

চিত্র 8.

অন্যান্য ধাতুর আচরণ এখানে বর্ণিত আচরণ থেকে অনেকটাই ভিন্ন। প্লাস্টিক প্রবাহ প্রায়ই স্পষ্ট হয় না, আর স্থিতিস্থাপক সীমা অতিক্রম করার পরপরই কঠিনীভবন শুরু হয়। ভঙ্গুর উপাদানগুলিতে (পাথর, কাচ, কংক্রিট) অস্থিতিস্থাপক বিকৃতি সাধারণত খুবই ছোট, এবং অল্প বিকৃতিতেই ভাঙন ঘটে। ভাঙন পর্যন্ত উপাদান যে মোট প্রসারণের সম্মুখীন হয়, তা উপাদানের টানযোগ্যতার (বিপরীতে: ভঙ্গুরতার) পরিমাপ, এবং ইস্পাতের জন্য এটি প্রযুক্তিগত শর্তে নির্দিষ্টভাবে নির্ধারিত থাকে। তবে, ভাঙনের ঠিক আগে পরবর্তী বিকৃতি সঙ্কুচিত অংশের পার্শ্ববর্তী স্থানে কেন্দ্রীভূত হওয়ায়, মাপজোকের দৈর্ঘ্য হিসেবে দণ্ডের বড় বা ছোট অংশ গ্রহণের উপর নির্ভর করে ভাঙনের সময় প্রসারণের ভিন্ন মান পাওয়া যায়; ফলে একার্থক এবং পরস্পর তুলনাযোগ্য ফলাফল পেতে আগে থেকেই একটি নির্দিষ্ট নিয়ম মেনে চলতে হয়। সাধারণত ভাঙনের সময় প্রসারণ এভাবে মাপা হয় যে, ব্যাস d-এর একটি গোলাকার দণ্ডে পরীক্ষার আগে মাপজোকের দৈর্ঘ্য Ι = 10 d চিহ্নিত করা হয় এবং তার বৃদ্ধি ΔΙ থেকে ভাঙনের সময় প্রসারণ εs_Ι = ΔΙ|Ι গণনা করা হয়। যদি ভিন্ন প্রস্থচ্ছেদের দণ্ড পরীক্ষা করা প্রয়োজন হয়, তবে মাপজোকের দৈর্ঘ্য এমন একটি বৃত্তাকার নলাকার দণ্ডের ব্যাসের ভিত্তিতে নির্ধারণ করা হয়, যার প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল একই।

দীর্ঘমেয়াদি লোড

প্রসারণ পরীক্ষার প্রক্রিয়ায়, ভাঙন পর্যন্ত লোড কত দ্রুত বাড়ানো হচ্ছে—10 m মিনিটের মধ্যে নাকি কয়েক ঘণ্টায়—তা মোটামুটি তেমন গুরুত্বপূর্ণ নয়। তবে যদি লোড বছরের পর বছর বা দশকের পর দশক ধরে作用 করে, কিছু নির্দিষ্ট অবস্থায় দেখা যায় যে, তলীয় প্রবাহ সীমার নিচেও ধ্রুব চাপের অধীনে বিকৃতি সময়ের সঙ্গে ধীরে ধীরে বাড়ে। এ ক্ষেত্রে স্থিতিস্থাপক অংশটি, অর্থাৎ যে অংশটি চূড়ান্ত লোডমুক্তির পরে অদৃশ্য হয়ে যায়, তাতে উল্লেখযোগ্য পরিবর্তন হয় না। দীর্ঘ সময়ে সংঘটিত এই অস্থিতিস্থাপক বিকৃতির বৃদ্ধি ক্রিপ নামে পরিচিত। ধাতুর ক্ষেত্রে, সীসা বাদে, ক্রিপ কেবল উচ্চ তাপমাত্রায়ই গুরুত্বপূর্ণ; তবে নির্মাণ প্রকৌশলীর জন্য এটি কংক্রিটের ক্ষেত্রে প্রাসঙ্গিক, যেখানে চাপের অধীনে কংক্রিট ধীরে ধীরে শিথিল হয়, ফলে, যদি তা থাকে, চাপপ্রাপ্ত রডে চাপ বৃদ্ধি পায়।

পরিবর্তনশীল লোড

টেনসাইল পরীক্ষায় প্রাপ্ত উপাদানের যান্ত্রিক বৈশিষ্ট্যকে কাঠামোর অনুমোদিত লোডের মানদণ্ড হিসেবে ব্যবহার করতে হলে শর্ত হলো, উপাদানটি প্রতিটি পুনরায় লোডিংয়ের সময় এমন চাপ সহ্য করতে পারবে যা সে একবার ক্ষতি ছাড়াই বহন করেছে। এই শর্ত পূরণ হয় না যদি উপাদানটি ঘন ঘন লোড ও আনলোডের পুনরাবৃত্তির সম্মুখীন হয়, যেমন আংশিকভাবে ভারসাম্যহীন যন্ত্রের জড় বল দ্বারা লোড হওয়া বিমের ক্ষেত্রে। যথেষ্ট ঘন ঘন লোড পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে, নির্মাণাংশকে এমনকি এমন চাপেও ভাঙন পর্যন্ত নিয়ে যাওয়া যায় যা সাধারণ স্থির পরীক্ষায় নির্ধারিত উপাদানের শক্তির অনেক নিচে। এই ধরনের ভাঙনকে ক্লান্তিজনিত ভাঙন বলা হয়। উপাদান যে _n_টি লোড চক্র সহ্য করতে পারে, তা চাপ σ-এর পরিমাণের ওপর নির্ভর করে; চাপ যত কম, তত বেশি চক্র সহ্য করা যায়। এই নির্ভরতার একটি আদর্শ উদাহরণ চিত্র 9-এ দেখানো হয়েছে, যেখানে দেখা যায় উপাদানের শক্তির একটি নিম্নসীমা আছে, যা ইচ্ছামতো বড় সংখ্যক লোড চক্রেও সহ্য হয় এবং যাকে উপাদানের গতিশীল শক্তি বলা হয়। এ ধরনের চিত্রগুলো (চিত্র 9) Wӧhler-কার্ভ নামে পরিচিত।

চিত্র 9.

কাঠামোর নিরাপত্তা

নির্মাণকাজের জন্য দুইটি সীমা-লোড গুরুত্বপূর্ণ: যে লোডে প্রথম স্থায়ী ক্ষতি সৃষ্টি হয় (প্রবাহ-সীমা), এবং যে লোডে কাঠামোর ধারণক্ষমতা নিঃশেষ হয়ে যায়, ফলে সেটি ভেঙে পড়ে (ভাঙন-সীমা)। যেহেতু প্রবাহ-সীমার আগে অন্তত আনুমানিকভাবে পদার্থের প্রতিরোধ-তত্ত্বের অনুমানগুলি (ক্ষুদ্র স্থানচ্যুতি, হুকের সূত্র) প্রযোজ্য থাকে, স্থায়ী বিকৃতির বিরুদ্ধে নিরাপত্তা সেই সব ক্ষেত্রেই নির্ভরযোগ্যভাবে নির্ণয় করা যায়, যেখানে গাণিতিক জটিলতাগুলি অতিক্রম করা সম্ভব হয়। যদি চাপ লোডের সমানুপাতিক হয়, তবে প্রবাহ-চাপের সঙ্গে কাঠামোতে উপস্থিত সর্বোচ্চ চাপের অনুপাতটি প্রবাহ সৃষ্টিকারী লোড এবং প্রকৃত লোডের অনুপাতের সমান হয় এবং এটি প্রবাহের বিরুদ্ধে নিরাপত্তা সহগকে নির্দেশ করে। তবে অনেক ক্ষেত্রে এই সহজ সম্পর্কটি থাকে না: টান উপেক্ষা করে বক্রণ, উঁচু পৃষ্ঠের মধ্যে চাপ, পরিবর্তনশীল কাঠামোবিশিষ্ট ব্যবস্থা এবং, যা বিশেষভাবে অপ্রতিকূল, অক্ষীয় বলসহ বক্রণ। এ সব ক্ষেত্রে তুলনামূলকভাবে সামান্য লোড বৃদ্ধি চাপের বড় বৃদ্ধি ঘটাতে পারে, এবং তখন প্রচলিত নিরাপত্তা সহগকে চাপের ওপর প্রয়োগ করা যথেষ্ট নয়; বরং সেটি লোডের ওপর প্রয়োগ করতে হবে।

ইয়িল্ড সীমা অতিক্রমের পর ভাঙন পর্যন্ত যে ঘটনাগুলো ঘটে, সেগুলো অধিকাংশ ক্ষেত্রে কেবল গুণগতভাবে অনুসরণ করা যায়। যদি উপাদানটি নমনীয় হয়, তবে যে অংশগুলোতে প্রথমে ইয়িল্ড সীমায় পৌঁছানো হয়েছে, এবং যেগুলো পরে ধ্রুব বা সামান্য বাড়তে থাকা চাপের অধীনে বিকৃত হতে থাকে, তারা পরবর্তী লোড গ্রহণে অল্প অংশ নেয়; ফলে অবশিষ্ট, কম চাপপ্রাপ্ত অংশগুলো, কাঠামোর গঠন বিবেচনায় তা সম্ভব হলে, ভার বহনে বেশি অংশগ্রহণ করে। চাপের শীর্ষসমূহ সমান করার এই প্রবণতার মধ্যে একটি নির্দিষ্ট নিরাপত্তা-সঞ্চয় নিহিত থাকে, যা হিসাবের মাধ্যমে কাজে লাগানো যায় যদি একবারের একটি উল্লেখযোগ্য লোডে সৃষ্ট পৃথক অংশগুলোর স্থায়ী বিকৃতি ক্ষতিকর না হয় (সীমা-লোড পদ্ধতি)।

যদি উপাদানটি ভঙ্গুর হয়, তবে প্রথম স্থায়ী ক্ষতি ফাটল হিসেবে প্রকাশ পায়, যার ফলে বিপদগ্রস্ত স্থানে আরও বেশি চাপের সঞ্চয় ঘটে, যা সঙ্গে সঙ্গেই ভেঙে পড়ার কারণ হয়। ক্লান্তিজনিত ভাঙন এবং প্রসারণশীল উপাদানের ক্ষেত্রেও ভাঙনের বৈশিষ্ট্য ভঙ্গুর ভাঙনের মতোই হয়।

 বিভিন্ন ছেদন-সমতলের জন্য চাপের মধ্যে সম্পর্ক

রূপান্তর সমীকরণ

চিত্র 1-এ প্রদর্শিত নয়টি উপাদানীয় চাপ তিনটি সমতাবস্থার শর্তের সঙ্গে সম্পর্কিত। বাকি ছয়টি রাশি σx, σy, σz τxy, τyz, τzx পরস্পরের থেকে স্বাধীনভাবে ইচ্ছামতো মান পেতে পারে, যেমন স্থিতিস্থাপকতা তত্ত্বের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলোর উদ্ভব থেকে দেখা যায়। তবে, যখন এই মানগুলো নির্দিষ্ট থাকে, তখন কোনো কঠিন বস্তুর একটি বিন্দুতে চাপের অবস্থা সম্পূর্ণভাবে নির্ধারিত হয়; অর্থাৎ, যখন তিনটি পরস্পর-লম্ব সমতলের চাপ জানা থাকে, তখন সেই একই বিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত এবং যার লম্বের দিক ইচ্ছামতো, এমন চতুর্থ একটি সমতলের চাপও একার্থকভাবে নির্ণয় করা যায়।

চিত্র 10-এ OABC একটি টেট্রাহেড্রন দেখানো হয়েছে, যার তিনটি তল সমন্বয় ব্যবস্থার x, y, z তলের সমান্তরাল এবং চতুর্থটি ABC = dF.-এর একটি ইচ্ছামতো অভিমুখী পৃষ্ঠ উপাদান। এর দিক এবং এর মাধ্যমে সঞ্চারিত চাপের দিক নির্দেশ করতে, একটি দ্বিতীয় সমন্বয় ব্যবস্থা প্রবর্তন করা হয়, যার ξ অক্ষ dF.-এর লম্ব।

চিত্র 10

ξ অক্ষের দিক বরাবর এই টেট্রাহেড্রনের ওপর ক্রিয়াশীল বলগুলির সাম্যাবস্থার শর্ত থেকে পাওয়া যায়

যদি বিবেচনায় নেওয়া হয় যে

পাওয়া যায়

এবং তেমনই η অক্ষের দিকে সাম্যাবস্থার শর্ত থেকে:

এগুলি এমন সমীকরণ, যা স্থানাঙ্ক রূপান্তরের সময় চাপ নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়। বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ হলো কেবল সেই পৃষ্ঠতলের উপাদান dF বিবেচনা করা, যাদের ক্ষেত্রে ξ-অক্ষ z-অক্ষের সঙ্গে মিলে যায়। এই অবস্থার জন্য রূপগুলো আগের রূপগুলিকে সরল করে পাওয়া যায় বা সরাসরি চিত্র 11 থেকে পড়া যায়:

চিত্র 11

স্বাভাবিক চাপ α = α0 দিকগুলিতে চরম মান গ্রহণ করে, যাদের জন্য dσξ/dα = 0। সমীকরণ (16) থেকে অন্তরকরণ করে পাওয়া যায়

তাই, যখন এই অভিব্যক্তিটিকে শূন্যের সমান করা হয়

চাপ τξη একই সঙ্গে এই সমতলগুলোতে মোট শিয়ার চাপ হবে, যদি τyz = τzx = 0। তখন সমীকরণ (17) দ্বারা দুটি পরস্পর লম্ব দিক নির্ধারিত হয়, যেগুলোর জন্য: 1 মোট শিয়ার চাপ শূন্য এবং, 2। স্বাভাবিক চাপের চরম মান (সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন) থাকে। এই দিকগুলোকে প্রধান চাপের দিক বলা হয়, এবং সংশ্লিষ্ট চাপগুলোকে প্রধান চাপ বলা হয়। এগুলোকে σ1 এবং σ2 দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং সরাসরি সূত্র থেকে গণনা করা যায়

 মোহার বৃত্ত

সমীকরণ (16) চাক্ষুষভাবে সুস্পষ্ট উপায়ে গ্রাফিকভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এ উদ্দেশ্যে এগুলোকে নিম্নরূপ রূপে রূপান্তর করতে হবে:

এই সমীকরণগুলি σ, τ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় চিত্র 12-এ অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণের পরামিতিক রূপ উপস্থাপন করে, যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 এবং যার ব্যাসার্ধ

এই বৃত্তটিকে মোহর বৃত্ত বলা হয়। যদি x বিন্দুর মধ্য দিয়ে x =const. অনুচ্ছেদের সমান্তরাল একটি সরলরেখা টানা হয়, যার মাধ্যমে σx, τxy চাপ সঞ্চারিত হয়, তবে এটি বৃত্তটিকে p বিন্দুতে ছেদ করবে, যাকে মোহর বৃত্তের মেরু বলা হয়। এই মেরুর মধ্য দিয়ে টানা প্রতিটি pξ সরলরেখা বৃত্তটিকে ξ বিন্দুতে ছেদ করে, যা pξ-এর সমান্তরাল অনুচ্ছেদের মাধ্যমে সঞ্চারিত σξ, τξη চাপ নির্ধারণ করে।

মোহার বৃত্ত অঙ্কনের সময় শিয়ার চাপের চিহ্ন সম্পর্কে এ কথা মাথায় রাখতে হবে যে, তাদের দিক চিত্র 12c-এ দেখানো থাকলে তাদের উপরের দিকে বসানো হয়। তাই যুগ্ম দুই চাপ τxy, τyx-এর মধ্যে একটি সর্বদা ধনাত্মক, আর অন্যটি ঋণাত্মক।

সীমামূল্য σ1, σ2 স্বাভাবিক চাপের সঙ্গে বৃত্তের 1 এবং 2 বিন্দুগুলো সংশ্লিষ্ট, আর _p_1 এবং _p_2 সরলরেখাগুলো প্রধান চাপের দিক নির্দেশ করে।

Mahr-এর বৃত্ত ব্যবহার করে x-y সমতলে অবস্থিত চাপগুলোর উপস্থাপনায় এই সমতলের লম্ব σz, τxz, τyz চাপ সম্পর্কে কোনো অনুমান করার প্রয়োজন নেই।

ছবি 12

সুতরাং, এটি সর্বাধিক সাধারণ ত্রিমাত্রিক চাপের অবস্থার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যদি কেবল সেই ছেদ সমতলগুলো তুলনা করা হয়, যেগুলো সব একই সরলরেখার মধ্য দিয়ে যায়, যা এখানে z এবং ξ অক্ষ হিসেবে নির্বাচিত। সাধারণ রূপান্তর সমীকরণ (15) অনুযায়ী স্বাভাবিক চাপ σ কোনো ছেদ সমতলের জন্যই অসীম হতে পারে না, তাই কোনো এক সমতলের জন্য এর একটি সসীম সর্বাধিক মান σ1 এবং অন্যটির জন্য একটি ন্যূনতম মান σ3 থাকতে হবে, যেগুলোর উভয়ই, স্বাভাবিকভাবে, ঋণাত্মকও হতে পারে। যদি σ1 এবং σ3 ভেক্টরের মধ্য দিয়ে একটি সমতল অঙ্কন করা হয় এবং Mohr-এর বৃত্ত (চিত্র 13) আঁকা হয়

চিত্র 13

যে সব চাপ এই সমতলে অবস্থিত (অর্থাৎ, এই সমতলের উপর লম্ব সব দিকের জন্য), তখন σ1 এবং σ3 হলো সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন স্বাভাবিক চাপ, যা ঘটতে পারে, এবং সুতরাং এগুলি পরস্পরের উপর লম্ব হতে হবে। যদি 1 এবং 3 দিকদ্বয়কে 2 দিক দিয়ে সম্পূর্ণ করা হয়, যাতে এই তিনটি দিক একটি সমকোণী স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা গঠন করে, এবং যদি 1 ~2 ও 2 ~ 3 সমতলের জন্য মাখরের বৃত্ত অঙ্কন করা হয়, তবে σ2 এই বৃত্তগুলির একটির জন্য সর্বাধিক, আর অন্যটির জন্য সর্বনিম্ন স্বাভাবিক চাপ হবে, এবং সেই কারণে 1, 2 এবং 3 দিকগুলির উপর লম্ব ছেদে শিয়ার চাপ শূন্যের সমান হবে। পরস্পরের উপর লম্ব তিনটি স্বাভাবিক চাপ σ1, σ2 এবং σ3, যাদের সঙ্গে কোনো শিয়ার চাপ সংশ্লিষ্ট নয়, তাদের প্রধান চাপ বলা হয়।

    প্রস্থান সীমা এবং স্থানিক চাপ অবস্থায় ভাঙন সীমা

চাপের অবস্থা এক-মাত্রিক, দ্বি-মাত্রিক বা ত্রি-মাত্রিক বলা হয়, অন্যভাবে: রৈখিক, সমতল বা স্থানিক, এটির উপর নির্ভর করে যে তিনটি প্রধান চাপের মধ্যে এক, দুই বা তিনটিই শূন্য থেকে ভিন্ন কি না। সর্বাধিক ব্যবহৃত কাঠামোগত উপাদান, অর্থাৎ টান, চাপ ও বক্রিত দণ্ডে, চাপের অবস্থা অন্তত সর্বাধিক চাপপ্রাপ্ত স্থানে এক-মাত্রিক হয়; একইভাবে উপকরণের অনুমোদিত চাপ নির্ধারণে প্রায় একচেটিয়াভাবে ব্যবহৃত টান, চাপ বা বক্রণ পরীক্ষাতেও তা এক-মাত্রিক। বিপরীতে, নিজেদের সমতলে বা তার লম্বভাবে লোডপ্রাপ্ত প্লেট এবং শেলে চাপের অবস্থা দ্বি-মাত্রিক হয়, আর কিছু ক্ষেত্রে ত্রি-মাত্রিক চাপের অবস্থাও দেখা যায়, ফলে এক-মাত্রিক চাপের অবস্থায় নির্ধারিত yield limit ও ভাঙন সীমার ভিত্তিতে স্থানিক চাপের অবস্থায় উপকরণের আচরণ সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিতে হয়।