Põhimõtted
Materjalide tugevusõpetuse ülesanne on määrata, milliste välisjõududele suudab tahke keha vastu panna (nt ehitis, konstruktsiooniosa või pinnas). Sellele küsimusele vastamiseks lähtutakse kahest kriteeriumist: ühelt poolt ei tohi pinged ületada teatud piire, mis sõltuvad materjali liigist, ja teiselt poolt peab välis- ja sisemiste jõudude tasakaal olema stabiilne. Sellest lähtudes võib kõik materjalide tugevusõpetuse probleemid jagada „pingete probleemideks“ ja „stabiilsusprobleemideks.”
Varraste ja talade ning neist koostatud kandekonstruktsioonide (sõrestikud, raamid) puhul määratakse pinged kahes etapis: kõigepealt arvutatakse etteantud välisjõudude alusel ristlõike kaudu edastatavate sisemiste jõudude resultant ning seejärel määratakse nendest “ristlõikejõududest” pinged. Menetluse esimene osa kujutab endast eraldi mahukat distsipliini, ehituskonstruktsioonide staatikat, millel on välja töötatud oma meetodid ja mida tavaliselt eristatakse materjalide vastupanuõpetusest, mille ülesanne piirdub pingete määramisega antud ristlõikejõudude põhjal.
Materjalide vastupidavuse põhimõisted
Pinge definitsioonini jõutakse järgmiste põhiarutluste kaudu. Olgu kehale mõjuv tasakaalustatud välisjõudude süsteem. Kujutlegem, et oleme keha suvalise lõikega kaheks osaks jaganud ja ühe neist koos talle mõjuvate jõududega eemaldanud; siis tuleb tema mõju teisele osale, et jõudude tasakaal ja deformatsioonide jaotus jääksid muutumatuks, asendada lisajõududega, mis kanduvad üle lõikepinna kaudu. Need „sisemised“ jõud on pidevalt jaotunud lõikepinna peale, nii et igale pinnaelemendile dF vastab jõud dβ. Kui moodustada suhe dβ dF ja teha piirüleminek dF -> 0, siis see suhe läheneb piirväärtusele, mida nimetatakse pingeks. Pinge kindlas pinnaelemendis on, nagu ka dβ, ja seda saab lahutada dF suhtes normaal- ja tangentsiaalkomponendiks, normaalpinge σ nihkepinge τ.
Kui sama punkti kaudu tõmmatakse lõikepinnad eri suundades, vastavad neile ka erinevad pinged. Eriti kui kehast eraldada elementaarne risttahukas, mis on kujutatud joon. 1, siis mõjub tema kuuel pinnal pingevetor, mida saab lahutada kolmeks komponendiks koordinaattelgede x, y, z suunas. Vastaspindadel mõjuvad pinged erinevad teineteisest, nagu on loomulikult vaid diferentsiaali võrra, seetõttu tuleb eristada 3 * 3 = 9 komponendipinget, mida tähistatakse järgmiselt:
Normaalpingetele σ antakse telje indeks, mille suunas need mõjuvad, ning neid peetakse positiivseks, kui need põhjustavad tõmmet, ja negatiivseks, kui need põhjustavad survet. Nihkepingetel τ on kaks indeksit, millest esimene on sama, mis vastaval normaalpingel, ning teine viitab teljele, mille suunas nihkepinge mõjub. Kui vastava normaalpinge positiivne suund on positiivse (negatiivse) koordinaattelje suunas, peetakse ka nihkepinget positiivseks, kui see mõjub positiivse (negatiivse) koordinaattelje suunas.
Joon. 1.
Lõikepingete konjugeeritus
Kui elementaarse risttahuka, joon. 1, jaoks seatakse tingimus, et kõigi jõudude moment telje x suhtes on null, saadakse τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. Sellest ning kahest vastavast võrrandist telgede y ja z jaoks järeldub, et samade indeksitega nihkepinged on omavahel võrdsed τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponentdeformatsioonid
Et eelnevalt määratletud pingetel on füüsikaline tähendus, tuleneb nende seosest määratlusega, mille all kannatab iga keha välisjõudude mõjul. Joon. 2 kujutab üht elementaarset risttahukat, mis enne deformatsiooni oli ristkülikukujuline ja mille servade pikkused olid dx, dy, dz. Servade pikkusi pärast deformatsiooni võime tähistada kui dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; jagatisi εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz nimetatakse pikenemisteks. Need on mõõtmeteta suurused ja kõigi ehituses arvestatavate materjalide puhul väikesed võrreldes 1. Peale servade pikenemise võib elementaarne risttahukas dx * dy * dz veel muuta ka algselt täisnurkseid nurki oma külgede vahel.
Pilt 2. komponentdeformatsioon
Olgu pärast deformatsiooni lõikuvate tasandite vaheline nurk piki serva OC võrdne 
ja samamoodi olgu täisnurga vähenemine piki serva AO võrdne γyz ning vähenemine piki serva OB võrdne γzx. Neid kolme nurgamuutust γxy, γyz, γzx nimetatakse nihketeks ja needki on alati väikesed võrreldes 1. Kuue komponentse ε ja γ abil on elementaarse kühmi “väike deformatsioon” deformatsioon täielikult määratud. Mahuelemendi d_V = dx * dy * dz_ muutus on ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, millest, kui dilatatsioonide korrutised kui kõrgema järgu väikesed suurused tähelepanuta jätta, saadakse kuupne dilatatsioon ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
nihked
Tugeva keha deformatsiooni võib täielikult kirjeldada ka nii, et igale selle punktile antakse nihkumine, mille see punkt on läbi teinud. Kui vaatlusest jäetakse välja lõpliku suurusega nihked, mis vastavad jäiga keha nihkumisele, ning vajaduse korral võetakse arvutuses kasutusele liikuv koordinaatsüsteem, siis on ka komponentnihked μ, ν, ω alati väikesed suurused ning nende tuletised koordinaatide järgi on väikesed võrreldes 1. Selle eelduse korral on joon. 3 järgi joonelise elemendi OA = dx pikkus pärast deformatsiooni
seega 
(3)
Samamoodi on jooniselt 3 näha, et libisemine γxy on γ1 + γ2: ning samuti
(4)
Joonis 3 nihkumine
(5) 
(6)
Neid seoseid nimetatakse ühilduvustingimusteks ja need näitavad, et deformeerunud elemendid saab panna kokku nagu mosaiigi nii, et ruum oleks seejuures pidevalt täidetud, mida ei ole võimalik saavutada, kui elementide deformatsioonid on juhuslikud. Ühilduvustingimused on diferentsiaalvõrrandid, mistõttu on, nagu mõistetav, kõik kuus komponendilist deformatsiooni iga üksiku ploki puhul omavahel sõltumatud, kuid nende jaotus igas lõplikus ulatuses laotunud piirkonnas on seotud tingimustega (5) ja (6).
Kuna need tingimused on saadud võrranditest (3) ja (4) diferentseerimisel, kaotatakse nende tuletamisel osa algsetes võrrandites sisalduvatest seostest. Seetõttu ei piisa sellest, et täidetud on ainult üks neist kahest võrrandisüsteemist, vaid deformatsiooni sobivuse tagamiseks tuleb rahuldada mõlemad võrrandisüsteemid.
Diferentsiaalvõrrandid elastsussüsteemi
Elastsete kehade pingete ja deformatsioonide arvutamiseks kasutatakse järgmisi võrrandeid:
Ruumelemendi tasakaalutingimused. Momendid kolme telje ümber peavad olema võrdsed nulliga ning neid kasutati juba võrrandi (1) tuletamisel. Jõudude tasakaalu tingimused annavad joonise 4 järgi
Pilt 4
(7a-c)
Kui X, Y, Z tähistavad ruumjõudude komponendid (nt raskusjõud, tsentrifugaaljõud) ruumalaühiku kohta. Pingete ja deformatsioonide seosed. Selle all mõistetakse komponentpingete ja komponentdeformatsioonide vahelist seost. Elastsusteoorias tuleb reeglina arvesse ainult lineaarne seos, mida väljendab Hooke’i seadus:
(8a-c)
(8d-f)
Kui võrrandid (8a-c) lahendada pingete suhtes, saadakse
(8 a)
kso ja kaks vastavat võrrandit. Hooke’i seadus, väljendatuna võrrandiga (8), ei kujuta endast rangelt täituvat loodusseadust, vaid tegeliku käitumise idealisatsiooni, millest see kaldub kõrvale rohkem või vähem, sõltuvalt materjalist ja koormuse suurusest. Kuna materjalide vastupidavusprobleemide matemaatiline käsitlus keerukate, mittelineaarsete seoste korral pinge ja deformatsiooni vahel põhjustab võrreldamatult suuremaid raskusi ja seda saab tegelikult läbi viia ainult kõige lihtsamatel juhtudel, tuleb ka nende materjalide (betoon!) puhul, mille käitumine kaldub Hooke’i seadusest märgatavalt kõrvale, kasutada sellel põhinevaid arvutusi esmaseks ja enamasti ka ainsaks ligikaudseks lahenduseks, mis on muide tavaliselt väga kasutuskõlblik ja annab enam kui üksnes kvalitatiivse ülevaate. G = E|2 (1+μ).
See tuleneb paratamatult seosest pinge ja deformatsiooni vahel (8), transformatsioonivõrranditest (16) pingete jaoks ning vastavast võrrandisüsteemist komponentdeformatsioonide jaoks. E ja G omavad pinge mõõdet ning kõigi ehitusmaterjalide puhul on need suured võrreldes pingetega σ ja τ, mis võivad esineda. Sellel asjaolul põhineb kogu elastsusteoorias üldiselt kasutatav eeldus, et deformatsioonid on väikesed. Ristsuunalise dilatatsiooni koefitsient (Poissoni arv) μ on dimensioonita ja jääb alati 0 ja 1/2 vahele.
Seosed komponentsete deformatsioonide ja nihkete vahel. Neid seoseid kirjeldavad võrrandid (3), (4). Need on puhtalt geomeetrilist laadi. Need kolm süsteemi annavad 3+6+6=15 võrrandit 15 tundmatule, s.t. 6 komponentse pingele, 6 komponentsele deformatsioonile ja 3 komponentsele nihkele. Seega on need nende tundmatute määramiseks piisavad. Nii mahuka diferentsiaalvõrrandite süsteemi matemaatiline lahendamine on muidugi võimalik ainult erijuhtudel. Kui võrrandis (8) asendada komponentsed deformatsioonid komponentsete nihkete kaudu vastavalt võrranditele (3) ja (4) ning seejärel viia normaalsed pinged σ ja nihkepinged τ vastavalt võrranditele (8 d - f) tasakaalutingimustesse, võrr. (7), saadakse diferentsiaalvõrrandid, mida nimetatakse elastsusteooria põhivõrranditeks.
(9)
kusjuures 
on tähistatud Laplace’i operaator. Arvestades (2) on need kolm diferentsiaalvõrrandit kolme komponentse nihke μ, ν, ω kohta; neist saab omakorda diferentseerimise teel lähtudes (3), (4) ja (8) määrata kõik komponendipinged ja deformatsioonid. Võrrandid (9) kujutavad sageli sobivat lähtepunkti erijuhtude uurimiseks.
Deformatsioonitöö
Definitsioon
Kui kandeelementi koormatakse, kogevad välisjõudude rakendumiskohad elastseid nihkeid ja jõud teevad sellega teatavat tööd. Nii sisseviidud energia võib muutuda erinevateks vormideks. Kui koormus mõjub järsku, nii et deformatsiooniprotsess toimub märkimisväärse kiirusega, muutub osa sellest energiast kineetiliseks energiaks, mis aja jooksul hajub, kas nii, et see kandub pinnasesse elastse lainena, mis hääbub lõpmatuses, või muutub see sisemise hõõrdumise toimel soojuseks. Kui koormusi rakendatakse nii aeglaselt, et märgatavat kineetilise energia kasvu ei teki, s.o kui nullist alates järk-järgult kasvavad koormused on pidevas tasakaalus sisemiste jõududega, kulub energia ilmselt üksnes keha deformeerimiseks ning siis nimetatakse seda deformatsioonitööks.
Pragu deformatsioonitöö arvutamist näitame kõigepealt ühe telgsuunalise tõmbekoormusega detaili puhul (joon. 5).
Olgu olemasolev pinge σ ja vastav deformatsioon ε ning need saavad juurdekasvid dσ ja dε. Siis jõud σdF teel dε * dl teeb tööd _σdF * dεdl = σdεdV, kui dV tähistab elemendikese ruumala. Kui pinge kasvab nullist oma lõppväärtuseni ja deformatsioon vastavalt sellest 0 kuni ε, siis kogu tehtud töö ruumalaühiku kohta on:
Samamoodi on nihkepinge τ-ga koormatud elemendi puhul (joon. 6) deformatsioonitöö ruumalaühiku kohta (eris deformatsioonitöö, elastne potentsiaal):
kusjuures töö teeb ainult üks neljast jõust τ * dF.
Üldjuhul, kui elementaarset osa mõjutavad kõik kuus komponendipinget, saadakse erideformatsioonitöö üksikute komponendipingete tööde summana:
(10)
Iga neist integraalidest ülemise piiri järgi diferentseerides saadakse seosed, mis kehtivad kõige üldisemal juhul:
(11)
ja samamoodi teiste komponentdeformatsioonide puhul. Kui keha on elastne, vastab igale kindlale pingeseisundile alati sama deformatsiooniseisund, sõltumata sellest, kas seisund saavutati koormamisel või koormuse eemaldamisel. Siis on integraalide all ühesed funktsioonid ning kogu koormamisel ja seejärel täielikul koormuse eemaldamisel kulutatud energia on a = 0, arvestades, et sel juhul muutuvad integraalide ülemised piirid nulliks. Seega saadakse koormamisel kehale antud kogu energia koormuse eemaldamisel tagasi.
Pilt 6
Joonis 7
Mittetäielikult elastse keha puhul on pinge ja deformatsiooni vaheline seos kogu koormamise ja mahalaadimise tsükli vältel ligikaudu kujutatud joonisel 7 joontega O A B. Koormamisel sisse toodud energia 
võrdub pindalaga OAA, ning mahalaadimisel tagastatav energia pindalaga ABA, nii et kaotsi läheb (soojuseks muutub) töö, mis vastab varjutatud alale. Kui võnkeprotsessis muutub pinge perioodiliselt positiivse piirväärtuse 
ja negatiivse piirväärtuse, 
vahel, siis kulgeb mitteelastne deformatsioon sarnaselt sellega, nagu on kujutatud katkendjoontega joonisel 7 ja muutub iga võnkeperioodi jooksul ruumalaühiku kohta soojuseks energia DABCD. Sellist deformatsioonikäitumist, mille korral deformatsioon jääb pingest maha, nimetatakse elastiliseks hüstereesiks, ning kõverat DABCD hüstereesisilmuseks.
Deformatsioonitöö ja Hooke’i seadus
Kui võrrandis (10) asendada integraalidesse Hooke’i seadus, saab teha integreerimise ning erideformatsioonitöö jaoks saadakse avaldised:
(12a)
(12b)
(12c)
Kui nendest vormidest teine viiakse võrrandisse (11), saadakse taas Hooke’i seadus, võrrand (8), pingete järgi lahendatud kujul. Väide, et deformatsioonitöö sõltub komponentsetest deformatsioonidest, nagu on näidatud võrrandiga (12b), on seega Hooke’i seadusega samaväärne. Kui võrrand (12c) diferentseerida pingete järgi, saadakse
(13)
Need valemid, erinevalt valemitest (11), kehtivad ainult kehadele, mis käituvad Hooke’i seaduse järgi, ja neid ei saa rakendada juhul, kui seosed pingete ja deformatsioonide vahel on teistsugused. On arusaadav, et võrrandite (13) paremal poolel asuvad ainult pingetest põhjustatud komponentdeformatsioonid ning välistatakse kõik muud, mis võisid tekkida temperatuuri muutuse, roome, pundumise, rekristalliseerumise jne tõttu.
INTEGRAALSED VAATED ELASTSUSTEOORIAS
Virtuaalsed nihked. Potentsiaalse energia miinimumi printsiip
Nii nagu Hooke’i seadus, võrrandid (8), võib asendada ühe võrrandiga (12b), nii võib ka tasakaalutingimuste asemel kasutusele võtta virtuaalsete nihkete printsiibi kui üldkehtiva mehaanika põhiseaduse. See seadus väljendab, et tasakaaluolekuid iseloomustab see, et nende korral kõigi jõudude tehtud kogutöö väikese deformatsiooniseisundi muutuse korral on võrdne nulliga. Kui tähistame väikesed elastsete nihkete muutused δμ δν, δω, siis ruumijõud, mis on määratletud võrrandiga (7), teevad virtuaalset tööd
ja pinnajõud px, py, pz, mis mõjuvad keha välispinna elemendile dF töö 
kusjuures kolmekordne integraal kehtib kogu ruumala kohta ja kahekordne kogu keha välispinna kohta. Sisemiste jõudude tehtud töö arvutamiseks kasutatakse võrrandit (12b), seega saadakse töö mahuühiku kohta
Virtuaalsete nihkete printsiip annab sellest tulenevalt
(14)
Kui koormusi X, Y, Z px, py., pz käsitleda raskusjõu komponentidena (oma raskus ja väline koormus), siis paremal pool olevad integraalid kujutavad potentsiaalset energiat, mille need koormused on kaotanud, vasak pool aga kujutab keha potentsiaalse (elastse) energia juurdekasvu, nii et see printsiip väljendab, et kanduri ja sellel lasuvate koormuste kogu potentsiaalne energia on tasakaalu korral äärmusliku väärtusega. Kui see äärmuslik väärtus on miinimum, on tasakaal stabiilne.
Potentsiaalse energia miinimumi põhimõte, mida väljendab võrrand (14), avaldis (12b) deformatsioonitöö jaoks ja deformatsioonide ühilduvuse tingimused (5), (6) moodustavad võrrandisüsteemi, mis on piisav elastsusteooria ülesehitamiseks ja mis on sisuliselt samaväärne võrrandisüsteemiga. See süsteem võib olla eriti kasulik juhtudel, kui diferentsiaalvõrrandite (9) rahuldamine tekitab arvutuslikke raskusi ning seepärast tuleb otsida ligikaudset lahendit; näiteks nihkete jaoks eeldatakse ette sobivat kuju, mis sisaldab mõningaid vabu konstande, ja need määratakse tingimusest, et võrrand (14) peab olema täidetud. Nii ei saada küll ülesande ranget lahendit, vaid ainult parim võimalik lähendus valitud lahenduskuju korral. Kas lähendus on piisav, sõltub eelkõige omaks võetud lahenduskujust ning selle meetodi edukas rakendamine eeldab seetõttu oskusi ja kogemusi.
Castigliano printsiip
Kui potentsiaalse energia miinimumi põhimõtte puhul võrreldakse kõiki deformatsiooniseisundeid, mis vastavad deformatsioonide kooskõlalisuse tingimustele, ja nende hulgast valitakse need, mille puhul vastavad pinged rahuldavad tasakaalutingimusi, siis Castigliano põhimõtte puhul võrreldakse kõiki pingeseisundeid, mis rahuldavad tasakaalutingimusi, ja nende hulgast valitakse need, mille puhul vastavad deformatsioonid rahuldavad deformatsioonide kooskõlalisuse tingimusi. See põhimõte ütleb: kõigist võimalikest tasakaaluseisunditest toimub tegelikult see, millele vastab väikseim deformatsioonitöö. Castigliano põhimõte koos võrrandiga (12c) deformatsioonitöö jaoks ja tasakaalutingimustega moodustab võrrandisüsteemi, millest piisab materjali vastupidavuse määramiseks. Kuna see põhimõte sisaldab Hooke’i seadust, on selle rakendamise võimalus seotud eeldusega, et deformatsioone saab selle seadusega täielikult kirjeldada. See nõuab mitte ainult materjali lineaarset elastset käitumist, vaid välistab ka temperatuurimuutused.
Materjali käitumine üle elastsuspiiride
Ilmingud staatilise koormuse korral
Materjali deformatsioon pingete mõjul on väga keerukas nähtus, mistõttu tuleb selle mõistmiseks seda eri suundades lihtsustada. Üks neist lihtsustustest on eeldus, et koormused rakendatakse järk-järgult, nagu seda näiteks tehakse proovikehadega tõmbe- ja survekatsetes.
Kui tõmbekoormuse all olevat terasvarrast koormatakse järjest suureneva koormusega ja mõõdetakse selle dilatatsiooni ε, saadakse joonisel 8 esitatud diagramm. Alguses on dilatatsioon väga väike ja pinge suhtes võrdeline, nagu Hooke’i seadus seda nõuab. Alates teatavast pingest võrdeline seos lakkab ja dilatatsioon kasvab kiiremini. Selle võrdelisuse piiri täpset asukohta on raske määrata. Mida täpsem on mõõtmine, seda madalamaks see osutub. Enamiku materjalide puhul jääb see väärtusele σ = 0, ning Hooke’i seadus kujutab siis vaid elastse käitumise esimest lähendust, funktsiooni ε = ε (σ) Taylori rea arengu esimene liige koordinaatide algpunkti ümbruses.
Kui varrast koormusest vabastatakse, on märgata, et kui pinge ei olnud liiga suur, kaob ka deformatsioon kooskõlas Hooke’i seadusega. Kuid ka see muutub, kui ületatakse teatav pinge, mis asub lähedal proportsionaalsuspiirile, niinimetatud elastsuspiirile; siis koosneb kogu deformatsioon elastilisest (pöörduvast) ja mitteelastilisest (püsivast) osast. Ka elastsuspiiri ei saa täpselt määrata, see asub seda madalamal, mida suurem on mõõtmistäpsus. Kuid kuna sellel on suur tehniline tähtsus, sest see kujutab endast piiri peaaegu kõigi materjalide tugevusarvutuste juures, ühtlasi ka piiri, millel tekivad esimesed püsivad kahjustused, määratletakse see proovide katsetamisel rangelt mõne kokkulepitud konventsiooni järgi ning näiteks piirina 0.2% märgitakse see pinge, mille juures püsiv pikenemine saavutab 0.2%.
Kohe pärast elastuspiiri ületamist deformatsioon kasvab järsult ja on palja silmaga märgatav; peaaegu püsiva pinge korral varras pikeneb pidevalt. Seda pinget nimetatakse voolavuspiiriks. Materjalide katsetamiseks mõeldud hüdraulilistel masinatel võib lisaks pärast voolamise algust täheldada enam või vähem väljendunud pingelangust; nagu on näidatud joon. 8 katkendliku kõveraga; siis nimetatakse maksimumi ülemiseks voolavuspiiriks ning sellele järgnevat püsivat voolavuspinget alumiseks voolavuspiiriks.
Kui on saavutatud teatav pikenemine, mis on peaaegu täielikult mitteelastne, hakkab pinge taas kasvama, materjal kõveneb. Selles koormusvahemikus toimub varda ristlõike märgatav vähenemine (mitteelastse) külgkokkutõmbe tõttu ning pinge-deformatsioonidiagrammi edasine käik sõltub eelkõige sellest, kas pinge σ arvutamisel jagatakse vardale mõjuv tõmbejõud P algse ristlõikega F0 või hetkese ristlõikega F. Tehnilistel eesmärkidel on huvipakkuv pinge P|F0. See pinge läbib maksimumi, mida nimetatakse materjali tugevuseks, ning kui see maksimum on ületatud, kitseneb varras ühes kohas tugevalt ja puruneb. “Tegelik pinge” P|F kasvab kuni purunemiseni.
Joonis 8.
Teiste metallide käitumine erineb siin kirjeldatust paljuski. Voolamine ei avaldu sageli ning kõvenemine algab vahetult pärast elastsuspiiri ületamist. Haprate materjalide (kivi, klaas, betoon) puhul on mitteelastsed deformatsioonid üldiselt väikesed ja juba väikese pikenemise korral toimub murdumine. Materjali kogupikenemine murdumiseni on materjali venivuse (vastandina: haprusele) mõõduks ning terase puhul on see tehnilistes tingimustes täpselt ette nähtud. Kuna vahetult enne murdumist koondub edasine deformatsioon kitsenenud ristlõikega lähialadele, saadakse murdumisvenivuse erinev väärtus sõltuvalt sellest, kas mõõte-pikkuseks võetakse vardast suurem või väiksem osa, nii et üheselt mõistetavate ja omavahel võrreldavate tulemuste saamiseks tuleb eelnevalt vastu võtta kindel konventsioon. Murdumisvenivust mõõdetakse tavaliselt nii, et ümmargusel vardal läbimõõduga d märgitakse enne katset mõõte-pikkus Ι = 10 d ja selle pikenemisest ΔΙ arvutatakse murdumisvenivus εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Kui on vaja katsetada muu ristlõikega vardaid, määratakse mõõte-pikkus ringikujulise silindrilise varda läbimõõdu järgi, millel on sama ristlõikepindala.
Pikaajaline koormus
Tõmbekatse käigu seisukohast on üsna ükskõik, kas koormus purunemiseni suureneb 10 m minuti või mõne tunni jooksul. Kui aga koormus mõjub aastaid või aastakümneid, siis teatud tingimustel on märgata, et ka alla voolavuspiiri kasvab deformatsioon püsiva pinge korral aja jooksul aeglaselt. Sealjuures elastne osa, s.o. see osa, mis lõplikul koormusest vabastamisel kaob, ei muutu märgatavalt. Seda mitteelastse deformatsiooni suurenemist, mis toimub pika aja jooksul, nimetatakse roomamiseks. Metallide puhul, välja arvatud plii, on roomamine olulise tähtsusega ainult kõrgetel temperatuuridel, ehitusinseneri jaoks mängib see aga rolli betooni puhul, mis surve all aeglaselt annab järele, nii et pinge suureneb survearmatuuris, kui see on olemas.
Muutuv koormus
Selleks, et tõmbekatsel saadud materjali mehaanilisi omadusi saaks kasutada konstruktsioonide lubatud koormuse mõõdupuuna, on tingimus, et materjal talub iga korduva koormamise korral pinget, mida ta on kord juba kahjustuseta talunud. See tingimus ei ole täidetud, kui materjal on sageli korduvate koormuste ja koormuse mahavõtmiste mõju all, nagu see on näiteks inertsjõududega koormatud ebapiisavalt tasakaalustatud masinate kandurite puhul. Piisavalt sagedase koormuse kordumisega võib konstruktsiooniosa viia purunemiseni ka pinge juures, mis jääb kaugele alla tavalise staatilise katsega määratud materjali tugevuse. Seda liiki purunemist nimetatakse väsimuspurunemiseks. Koormustsüklite arv n, mida materjal suudab taluda, sõltub pinge σ suurusest, olles seda suurem, mida väiksem on pinge. Selle sõltuvuse tüüpiline näide on näidatud joon. 9, kust on näha, et materjali tugevusel on alumine piir, mida see talub ka suvaliselt suure koormustsüklite arvu korral ja mida nimetatakse materjali dünaamiliseks tugevuseks. Seda liiki diagramme (joon.9) nimetatakse Wӧhleri kõverateks.
Pilt 9.
Konstruktsioonide ohutus
Konstruktsioonide seisukohalt on kaks piirkoormust olulised: koormus, mille juures tekivad esimesed püsivad kahjustused (voolavuspiir), ja koormus, mille juures konstruktsiooni kandevõime on ammendunud ning see puruneb (purunemispiir). Kuna voolavuspiirini kehtivad vähemalt ligikaudu materjalide vastupidavuse eeldused (väikesed nihked, Hooke’i seadus), saab püsivate deformatsioonide vastupidavust usaldusväärselt hinnata kõigil neil juhtudel, kus matemaatilised raskused õnnestub ületada. Kui pinge on koormusega võrdelises seoses, on voolavuspinge ja konstruktsioonis esineva suurima pinge suhe võrdne voolavust põhjustava koormuse ja tegeliku koormuse suhtega ning moodustab voolavusohutuse teguri. Kuid mitmel juhul sellist lihtsat seost ei ole: painutamine, kui tõmmet ei arvestata, surve kumerate pindade vahel, süsteemid, mille struktuur on muutlik, ja eriti ebasoodne juhtum, aksiaalse jõuga painutamine. Kõigil neil juhtudel võib suhteliselt väike koormuse suurenemine põhjustada suure pinge kasvu ning siis ei piisa sellest, et tavapärast ohutustegurit rakendada pingetele, vaid seda tuleb rakendada koormusele.
Nähtusi, mis toimuvad pärast voolavuspiiri ületamist kuni purunemiseni, saab enamikul juhtudel jälgida veel vaid kvalitatiivselt. Kui materjal on plastne, siis need osad, kus voolavuspiir saavutati kõigepealt ja mis edasi deformeeruvad konstantsel või veidi kasvaval pingel, osalevad edasise koormuse kandmisel vähe, nii et ülejäänud, vähem koormatud konstruktsiooni osad, kui see on selle struktuuri tõttu võimalik, osalevad kandmises rohkem. Selles pingekontsentratsioonide ühtlustamise suunas peitub teatav ohutusvaru, mida saab arvutuslikult kasutada, kui üksikute osade püsiv deformatsioon, mis tekkis vaid ühe märkimisväärse koormuse mõjul, ei ole kahjulik (piirkoormuse meetod).
Kui materjal on rabed, avaldub esimene püsiv kahjustus pragudes, mille tõttu tekib ohustatud kohas veelgi tugevam pinge koondumine, mis põhjustab kohe purunemise. Väsimusest tingitud purunemisel on ka venivate materjalide puhul rabeda murdumise tunnused.
Pingete seosed eri lõiketasandite vahel
Transformatsioonivõrrandid
Joonisel 1 olevad üheksa pingekomponenti on seotud kolme tasakaalutingimusega. Kuus ülejäänud suurust σx, σy, σz τxy, τyz, τzx võivad üksteisest sõltumatult võtta suvalisi väärtusi, nagu on näha elastsusteooria diferentsiaalvõrrandite tuletamisest. Kuid kui need väärtused on antud, on pingeseisund mingis tahke keha punktis täielikult määratud, st kui on teada pinged kolme vastastikku risti oleva tasandi jaoks, saab üheselt määrata ka pinge mõnele neljandale tasandile, mis läbib antud punkti ja mille normaalil on suvaline suund.
Joonisel 10 on näidatud tetraeedr OABC, mille kolm külge on paralleelsed koordinaatsüsteemi x, y, z tasanditega ja neljas kujutab endast suvaliselt orienteeritud pinnaelementi ABC = dF. Selle suuna ja selle kaudu ülekantava pinge suuna tähistamiseks võetakse kasutusele teine koordinaatsüsteem, mille ξ-telg on dF-ga risti.
Pilt 10
Tasakaalutingimus nendele tetraeedrile ξ-telje suunas mõjuvate jõudude kohta annab
Kui võtta arvesse, et
saadakse
ja sarnaselt sellele tasakaalu tingimustest telje η suunas:
Need on võrrandid, mida kasutatakse pingete arvutamiseks koordinaatide teisendamisel. Eriti oluline on vaadelda ainult selliseid pinnaselemente dF, mille puhul ξ-telg langeb kokku z-teljega. Selle juhtumi valemeid saame eelmiste valemite lihtsustamisega või lugeda otse jooniselt 11:
Joon. 11
Normaalpinge võtab ekstreemväärtused suundade α = α0 puhul, mille korral dσξ/dα = 0. Diferentseerimisel saadakse võrrandist (16)
nii et, kui see avaldis võrdsustada nulliga
Pinge τξη on ühtlasi nende tasandite totaalne nihkepinge, kui τyz = τzx = 0. Siis on võrrandiga (17) määratud kaks teineteisega risti suunda, mille puhul: 1. totaalne nihkepinge on null ja, 2. normaalpinge omab äärmuslikke väärtusi (maksimumi ja miinimumi). Neid suundi nimetatakse peapinge suundadeks ning vastavaid pingeid peapingeiks. Need tähistatakse σ1 ja σ2 ning neid saab arvutada otse valemist
Mohr’i ring
Võrrandeid (16) võib graafiliselt kujutada arusaadaval viisil. Selleks tuleb need teisendada kujule:
Need võrrandid kujutavad koordinaatsüsteemis σ, τ ringvõrrandi parameetrilist kuju, mis on joonistatud joon. 12, mille keskpunkti koordinaadid on σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 ja mille raadius on
Seda ringi nimetatakse Mohr’i ringiks. Kui läbi punkti x tõmmata sirge, mis on paralleelne lõikega x = const., mille kaudu kantakse üle pinged σx, τxy, siis see lõikab ringi punktis p, mida nimetatakse Mohr’i ringi pooluseks. Iga selle pooluse kaudu tõmmatud sirge pξ lõikab ringi punktis ξ, mis määrab pinged σξ, τξη, mida kantakse üle lõike kaudu, mis on paralleelne pξ-ga.
Nihkepingete märgi puhul Mohr’i ringi joonestamisel tuleb arvestada, et need kantakse ülespoole, kui neil on joonisel 12c näidatud suund. Seega on kahest konjugeeritud pingest τxy, τyx üks alati positiivne ja teine negatiivne.
Normaalpingete piirväärtustele σ1, σ2 vastavad ringil punktid 1 ja 2, ning sirged _p_1 ja _p_2 annavad peapingete suunad.
x-y tasandis asuvate pingete esitamine Mahr’i ringi abil ei ole seotud ühegi eeldusega selle tasandi suhtes normaalsete pingete σz, τxz, τyz kohta.
Pilt 12
Seega kehtib see ka kõige üldisema kolmemõõtmelise pingeseisundi puhul, kui võrreldakse ainult neid lõikepindu, mis kõik läbivad sama sirget, mis on siin valitud z ja ξ teljeks. Kuna üldiste teisendusvõrrandite (15) järgi normaalpinge σ ei saa ühegi lõikepinna puhul muutuda lõpmatuks, peab tal olema mõne pinna jaoks lõplik maksimum σ1 ja teise jaoks miinimum σ3, millest mõlemad, nagu mõista, võivad olla ka negatiivsed. Kui σ1 ja σ3 vektorite kaudu tõmmata tasand ja joonistada Mohr’i ring (joon. 13)
Pilt 13
nende pingete jaoks, mis asuvad selles tasandis (s.t. kõik suunad, mis on selle tasandi suhtes risti), on siis σ1 ja σ3 suurimad ja väikseimad normaalpinged, mis võivad esineda, ning peavad seetõttu olema teineteise suhtes risti. Kui suunad 1 ja 3 täiendatakse suunaga 2, nii et need kolm suunda moodustavad ristkoordinaadistiku, ja kui joonistada Mahr’i ringid tasanditele 1 ~2 ja 2 ~ 3, siis on σ2 ühe neist ringidest suurim ja teise puhul väikseim normaalpinge, ning seetõttu on lõigetes, mis on suunaga 1, 2 ja 3 risti, nihkepinge võrdne nulliga. Kolme omavahel risti oleva normaalpinge σ1, σ2 ja σ3, millele nihkepinge ei vasta, nimetatakse peapingeiks.
Voolavuspiir ja purunemispiir ruumilises pingeseisundis
Pingeseisundit nimetatakse ühe-, kahe- või kolmemõõtmeliseks, teisisõnu lineaarselt, tasapinnaliseks või ruumiliseks, olenevalt sellest, kas üks, kaks või kõik kolm peapinge on nullist erinevad. Kõige sagedamini kasutatavate konstruktsioonielementide, s.o tõmbe-, surve- ja paindvardade puhul on pingeseisund vähemalt kõige enam pingestatud kohtades ühemõõtmeline, samuti tõmbe-, surve- või painutuskatsetel, mida materjalide katsetamisel kasutatakse peaaegu eranditult lubatud pingete määramiseks. Seevastu plaatidel, mida koormatakse nende tasandis või sellele risti, samuti kestadel, on pingeseisund kahemõõtmeline ning mõnel juhul esinevad ka kolmemõõtmelised pingeseisundid, nii et ühemõõtmelises pingeseisundis määratud voolavus- ja purunemispiiri põhjal tuleb teha järeldusi materjali käitumise kohta ruumilise pingeseisundi korral.