מאַטעריאַלן: מאַטעריאַל־קעגנשטעל און טעאָריע פֿון עלאַסטיסיטעט

גרונטלעכע באַגריפֿן

די אויפֿגאַבע פֿון מאַטעריאַל־קעגנשטאַנד איז צו באַשטימען, וועלכע אויסערלעכע כּוחות קען אַ פֿעסטער גוף אויסהאַלטן (צ. ב., אַ בנין, אַ קאָנסטרוקטיווער טייל אָדער באָדן). כּדי צו געבן אַן ענטפֿער אויף דער פֿראַגע, גייט מען אויס פֿון צוויי קריטעריעס: פֿון איין זײַט דאַרפֿן די שפּאַנונגען נישט איבערגיין געוויסע גרענעצן, וואָס הענגען אָפּ פֿון דער סאָרט מאַטעריאַל, און פֿון דער אַנדערער זײַט דאַרף די גלײַכגעוויכט צווישן אויסערלעכן און אינערלעכן כּוחות זײַן סטאַביל. לויט דעם קען מען אַלע פּראָבלעמען פֿון מאַטעריאַל־קעגנשטאַנד טיילן אויף “שפּאַנונג־פּראָבלעמען” און “סטאַביליטעט־פּראָבלעמען.”

בײַ שטאַנגען און בענדער און בײַ טראַגערס וואָס זענען פֿון זיי צונויפֿגעשטעלט (טראַליסן, ראַמען) ווערט די באַשטימונג פֿון שפּאַנונגען דורכגעפֿירט אין צוויי שריט, און דאָס אויף אַזאַ אופֿן, אַז ערשטנס ווערט לויט די געגעבן דרויסנדיקע כּוחות אויסגערעכנט די רעזולטאַנטע פֿון די אינערלעכע כּוחות, וואָס ווערן איבערגעטראָגן דורך דעם קראָס־אָפּשניט, און דערנאָך ווערן פֿון די “אָפּשניט־כּוחות” די שפּאַנונגען באַשטימט. דער ערשטער טייל פֿון דער פּראָצעדור שטעלט פֿאָר אַ באַזונדערע, ברייטע דיסציפּלין, די סטאַטיק פֿון בוי־קאָנסטרוקציעס, וואָס האָט אויסגעאַרבעטע אייגענע מעטאָדן און ווערט געוויינטלעך אָפּגעטיילט פֿון דער מאַטעריאַל־קעגנשטעל, וועמעס אויפֿגאַבע באַשטייט אין באַשטימען שפּאַנונגען פֿון געגעבענע אָפּשניט־כּוחות.

גרונט־באַגריפן פֿון מאַטעריאַל־קעגנשטעל

צו דער דעפֿיניציע פֿון שפּאַנונג קומט מען דורך די פֿאָלגנדיקע יסודותדיקע באַטראַכטונגען. לאָמיר אָנווײַזן, אַז אויף אַ גוף ווירקט אַן אײַנגעשטעלטע סיסטעם פֿון אויסערלעכע כּחות. לאָמיר זיך פֿאָרשטעלן, אַז מיר האָבן דעם גוף דורך אַ לײַכענעם שניט צעטיילט אויף צוויי טיילן, און אַז מיר האָבן איינער פֿון זיי אַוועקגענומען צוזאַמען מיט די כּחות וואָס ווירקן אויף אים; דאַן דאַרף זײַן ווירקונג אויף דעם צווייטן טייל, כּדי בײַ אים זאָלן די גלײַכgewicht פֿון כּחות און דער צעשפּרייטונג פֿון דעפֿאָרמאַציעס בלײַבן אומבאַענדערט, פאַרבײַטן ווערן דורך צוגעלייגטע כּחות וואָס ווערן איבערגעגעבן דורך דער שטח פֿון דעם שניט. די דאָזיקע “אינערלעכע” כּחות זײַנען אומאויפֿהערלעך פֿאַרטיילט איבער דער שטח פֿון דעם שניט, אַזוי אַז יעדער עלעמענט פֿון שטח dF האָט צו זיך אַ כּוח dβ. אויב מ׳שאַפֿט דעם קוואָטיענט dβ dF און מאַכט דעם גרענעץ-איבערגאַנג dF -> 0, דאַן נענטערט זיך דער דאָזיקער קוואָטיענט צום גרענעץ־ווערד, וואָס הייסט שפּאַנונג. די שפּאַנונג אין אַ באַשטימטן עלעמענט פֿון שטח איז, ווי dβ, און קען אויסגעשפּאַלטן ווערן אין קאָמפּאָנענטן נאָרמאַל און טאַנגענציעל צו dF, נאָרמאַלע שפּאַנונג σ, שיר־שפּאַנונג τ.

אויב מען ציט דורכשניטן דורך דער זעלבער פּונקט אין פֿאַרשידענע ריכטונגען, וועלן זיי האָבן אויך פֿאַרשידענע שפּאַנונגען. באַזונדערס, אויב מען טיילט אָפּ פֿון דעם קערפּער אַן עלעמענטאַרן קוב, געוויזן אויף פֿיג. 1, וועט אויף יעדן פֿון זײַנע זעקס ייבערפֿלאַכן אויפֿטרעטן אַ שפּאַנונג־וועקטאָר, וואָס קען זיך צעשפּאַלטן אויף דרײַ קאָמפּאָנענטן אין דער ריכטונג פֿון די קאָאָרדינאַט־אַקסן x, y z. די שפּאַנונגען, וואָס ווירקן אויף קעגנאיבעריקע זײַטן פֿון דער ייבערפֿלאַך, פֿאַרשיידן זיך צווישן זיך, נאַטירלעך, נאָר דורך דעם דיפֿערענציעל, אַזוי אַז מען דאַרף אונטערשיידן 3 * 3 = 9 קאָמפּאָנענט־שפּאַנונגען, וואָס ווערן באַצייכנט אויף דער פֿאָלגנדיקער אופֿן:

בײַ נאָרמאַל־שפּאַנונגען σ גיט מען דעם אינדעקס פֿון דער אַקס, אין וועמענס ריכטונג זיי ליגן, און מען באַטראַכט זיי ווי פּאָזיטיוו, אויב זיי פאַראורזאַכן ציען, נעגאַטיוו, אויב זיי פאַראורזאַכן דרוק. שערן־שפּאַנונגען τ באַקומען צוויי אינדעקסן; דער ערשטער פֿון זיי איז דער זעלבער ווי דער אינדעקס פֿון דער פֿאַרבונדענער נאָרמאַל־שפּאַנונג, און דער צווייטער באַציט זיך אויף דער אַקס אין ריכטונג פֿון וועלכער דער שערן־שפּאַנונג פֿירט זיך. אויב די פּאָזיטיווע ריכטונג פֿון דער פֿאַרבונדענער נאָרמאַל־שפּאַנונג איז אין דער ריכטונג פֿון דער פּאָזיטיווער (נעגאַטיווער) קאָאָרדינאַטן־אַקס, ווערט אויך דער שערן־שפּאַנונג באַטראַכט ווי פּאָזיטיוו, אויב ער אַרבעט אין דער ריכטונג פֿון דער פּאָזיטיווער (נעגאַטיווער) קאָאָרדינאַטן־אַקס.

פֿיגור 1.

 קאָניוגאַציטעט פֿון שערן־שפּאַנונגען

אויב פֿאַרן עלעמענטאַרן קוואַדער, אַבּילדונג 1, מע שטעלט דעם באַדינג, אַז דער מאָמענט פֿון אַלע כּוחות אין באַציִונג צו דער x-אַקס איז נול, קריגט מען τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. פֿון דאָ, און פֿון די צוויי קאָרעספּאָנדירנדיקע גלייכונגען פֿאַר די y און z-אַקסן, באַקומט מען, אַז די שערן־שפּאַנונגען מיט די זעלבע אינדעקסן זײַנען גלייך איינעם צום אַנדערן τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

קאָמפּאָנענטאַלע דעפֿאָרמאַציעס

אַז די אויבן דעפֿינירטע שפּאַנונגען האָבן אַ פֿיזישן זין, גייט אַרויס פֿון זייער פֿאַרבינדונג מיט דער דעפֿיניציע וואָס יעדעס קערפּער טראָגט אונטער דעם איינפלוס פֿון דרויסנדיקע כּוחות. אַביל. 2 ווײַזט אַן עלעמענטאַרן קובאָיד, וואָס איז פֿאַר דער דעפֿאָרמאַציע געווען רעקטאַנגולער און האָט געהאַט לענגען פֿון די עדזשן dx, dy, dz. די לענגען פֿון די עדזשן נאָך דער דעפֿאָרמאַציע קענען מיר באַצייכענען מיט dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; די קוואָטיאַנטן εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz הייסן דילאַטאַציעס. דאָס זײַנען גרייסן אָן דימענסיע, און בײַ אַלע מאַטעריאַלן וואָס קומען אין באַטראַכט אין דער בנין־לערע, קליין לויט 1. חוץ דעם פֿאַרלענגערן פֿון די עדזשן, קען דער עלעמענטאַרער קובאָיד dx * dy * dz אויך פֿאַרשפּירן אַ ענדערונג פֿון די אָריגינעל רעכטן ווינקלען צווישן זayne זייטן.

בילד 2. קאָמפּאָנענט־דעפֿאָרמאַציע

לאָזט נאָך דער דעפֿאָרמאַציע דער ווינקל צווישן די פּלאַנען וואָס טרעפֿן זיך לענגס דעם ראַנד OC זײַן גלייך  און ענלעך דערצו לאָזט די פֿאַרקלענערונג פונעם רעכטן ווינקל לענגס דעם ראַנד AO זײַן γyz, און די פֿאַרקלענערונג לענגס דעם ראַנד OB זײַן γzx. די דרײַ ווינקל־ענדערונגען γxy, γyz, γzx ווערן גערופֿן גליטשונגען און זײַנען אויך שטענדיק קליין קעגן 1. מיט זעקס קאָמפּאָנענטעלע ε און γ איז די דעפֿאָרמאַציע פונעם עלעמענטאַרן קוואַדער “דעפֿאָרמאַציע אין קליינעם” גאָר באַשטימט. די ענדערונג פונעם באַנד־עלעמענט d_V = dx * dy * dz_ איז ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, פֿון וואַנען מען, ווען מע פֿאַרנאַכלעסיקט די פּראָדוקטן פֿון דילאַטאַציעס ווי קליינע גרייסן העכערער אָרדענונג, באַקומט די קובישע דילאַטאַציע ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

פֿאַרשיבונגען

די דעפֿאָרמאַציע פֿון אַ פֿעסטן קערפּער קען מען גאָר באַשרײַבן אויך אויף אַזאַ אופֿן, אַז מען גיט פֿאַר יעדן פֿון זיינע פּונקטן די פֿאַררוקונג, וואָס יענער פּונקט האָט דורכגעליטן. אויב מע שליסט אויס פֿון דער אָבסערוואַציע פֿאַררוקונגען פֿון ענדלעכער גרייס, וואָס שטימען מיט דער פֿאַררוקונג פֿון אַ שטרענג קערפּער, אויף אַזאַ אופֿן, אַז מע נעמט, אויב נויטיק, אין דער רעכענונג אַן איבעררוקבאַרן קאָאָרדינאַטן־סיסטעם, דאַן זײַנען אויך די קאָמפּאָנענט־פֿאַררוקונגען μ, ν, ω שטענדיק קליינע גרייסן, און זייערע אָפּלײטונגען לויט די קאָאָרדינאַטן זענען קליין קעגן 1. אונטער יענער אָנהעמונג איז לויט פֿיג. 3 די לענג פֿון דעם לינעאַרן עלעמענט OA = dx נאָך דער דעפֿאָרמאַציע

אַזוי  (3)

אויף אַן ענלעכן אופֿן זעט מען פֿון פֿיג. 3 אַז דער שײַערונג איז γxy γ1 + γ2: און אויך

 (4)

בילד 3 גליטשונג

(5)  (6)

די דאָזיקע פֿאַרבינדונגען ווערן גערופֿן קאָמפּאַטיביליטעט־באדינגונגען און זיי ווײַזן אַז די דעפֿאָרמירטע עלעמענטן קענען זיך צונויפֿפּאַסן ווי אַ מאָזאַיִק אַזוי, אַז דער ראַום ווערט דערבײַ אָן איבעררייַסנדיק פֿאַרפֿילט, וואָס קען זיך ניט דערגרייכן, אויב די דעפֿאָרמאַציעס פֿון די עלעמענטן זײַנען אַרביטרער. די קאָמפּאַטיביליטעט־באדינגונגען זײַנען דיפערענציעלע גלייכונגען, דערפֿאַר זײַנען, פֿאַרשטייט זיך, אַלע זעקס קאָמפּאָנענט־דעפֿאָרמאַציעס פֿאַר יעדן באַזונדערן קוואַדראַט־בלאָק איינער פֿון צווייטן אומאָפענגיק, אָבער זייער אָרדענונג אין יעדער ענדלעך פֿאַרשפּרייטער געגנט איז פֿאַרבונדן דורך די באדינגונגען (5) און (6).

ווײַל די דאָזיקע באַדינגונגען זײַנען באַקומען געוואָרן דורך דיפֿערענצירן פֿון די גלייכונגען (3) און (4), פֿאַרלירט מען בײַ זייערער אַרויספֿירונג אַ טייל פֿון די פֿאַרבינדונגען, וואָס זײַנען אַנטהאַלטן אין די ערשטע גלייכונגען. דערפֿאַר איז נישט גענוג, אַז נאָר איינער פֿון די צוויי סיסטעמען פֿון גלייכונגען זאָל זײַן מקוים, נאָר מען דאַרף מקיים זײַן ביידע סיסטעמען פֿון גלייכונגען, אויב מען וויל, אַז די קאָמפּאַטיביליטעט פֿון דער דעפֿאָרמאַציע זאָל זײַן פֿאַרזיכערט.

Differentialע גלייכונגען סיסטעם עלאַסטיציטעט

פֿאַרן אויסרעכענען שפּאַנונגען און דעפֿאָרמאַציעס בײַ עלאַסטישע קערפּער דינען די פֿאָלגנדיקע גלײַכונגען:

באַדינגונגען פֿון גלײַכוועג פֿון אַ באַנד־עלעמענט. די באַדינגונגען, אַז די מאָמענטן אַרום דריי אַקסן זאָלן זײַן גלײַך נול, זײַנען שוין באַנוצט געוואָרן בײַם אַרויסלייטן די גלײַכונג (1). די באַדינגונגען פֿון גלײַכוועג פֿון כּחות געבן לויט פֿיג. 4

פֿיגור 4

(7a-c)

אויב מען באַצייכנט מיט X, Y, Z די קאָמפּאָנענטן פֿון די וואָלומעניקע כּוחות (נ. ב. וואָג, צענטריפוגאַלע כּוח) אויף איינהייט וואָלומען. פֿאַרבינדונגען צווישן שפּאַנונגען און דעפֿאָרמאַציעס. אונטער דעם ווערט פֿאַרשטאַנען דער פֿאַרבינדונג צווישן קאָמפּאָנענט־שפּאַנונגען און קאָמפּאָנענט־דעפֿאָרמאַציעס. אין דער טעאָריע פֿון עלאַסטיציטעט קומט בדרך־כלל אין באַטראַכט בלויז אַ לינעאַרער פֿאַרבינדונג, וואָס ווערט אויסגעדריקט דורך הוקס געזעץ:

(8a-c)

(8d-f)

אויב די גלײַכונגען (8a-c) ווערן געלייזט לויט די שפּאַנונגען, באַקומט מען

(8 a)

kso און צוויי פּאַסיקע גלײַכונגען. Hooke-ס געזעץ, אויסגעדריקט דורך דער גלײַכונג (8), איז נישט קיין שטרענג מקוים־געוואָרענער נאַטירלעכער געזעץ, נאָר אַן אידעאַליזאַציע פֿון דעם אמתן אויפֿפֿיר, וואָס ווייקט פֿון אים מער אָדער ווייניקער אָפּ, לויט דעם מאַטעריאַל און לויט דער גרייס פֿון דער באַלאַסטונג. ווײַל די מאַטעמאַטישע באַאַרבעטונג פֿון דעם פּראָבלעם פֿון מאַטעריאַל־קעגנשטאַנד מיט קאָמפּליצירטע, ניט־לינעאַרע באַציִונגען צווישן שפּאַנונגען און דעפֿאָרמאַציעס ברענגט אומגלײַך גרעסערע שוועריקייטן און קען זיך אין דער אמתן דורכפֿירן נאָר אין די סאַמע פּשוטסטע פֿאַלן, דאַרף מען אויך בײַ יענע מאַטעריאַלן (בעטאָן!), וועמענס אויפֿפֿיר ווייקט באַטייטיק אָפּ פֿון Hooke-ס געזעץ, די אויף אים באַזירטע רעכענונגען נוצן אלס ערשטע, און מערסטנס אויך איינציקע, בערעכנטע לייזונג, וואָס איז דאָך לויט דער רעגל זייער נוצלעך און גיט אַן איינבליק וואָס איז מער ווי נאָר קוואַליטאַטיוו. G = E|2 (1+μ).

זי פֿאָלגט נייטיק פֿון דער פֿאַרבינדונג צווישן שפּאַנונגען און דעפֿאָרמאַציע (8), פֿון די טראַנספֿאָרמאַציע־גלײַכונגען (16) פֿאַר שפּאַנונגען און דער פּאַסיקער סיסטעם פֿון גלײַכונגען פֿאַר די קאָמפּאָנענט־דעפֿאָרמאַציעס E און G האָבן די דימענסיע פֿון שפּאַנונג און זײַנען בײַ אַלע בנין־מאַטעריאַלן גרעסער אין פֿאַרגלײַך מיט די שפּאַנונגען σ און τ, וואָס קענען אויפֿטרעטן. אָבער אויף דעם פֿאַקט שטיצט זיך די הנחה, אָנגענומען איבעראַל אין דער טעאָריע פֿון עלאַסטיציטעט, אַז די דעפֿאָרמאַציעס זײַנען קליין. דער קאָעפֿיציענט פֿון טראַנסווערסאַלער פֿאַרלענגערונג (פּואַסאָן־נומער) μ איז אָן דימענסיע און געפֿינט זיך שטענדיק צווישן 0 און 1/2 .

באַציונגען צווישן קאָמפּאָנענטע דעפֿאָרמאַציעס און פֿאַרשיבונגען. די דאָזיקע באַציונגען ווערן געגעבן דורך די גלײַכונגען (3), (4). זיי זײַנען ריין געאָמעטישע אין נאַטור. די דרײַ סיסטעמען געבן 3+6+6=15 גלײַכונגען פֿאַר 15 אומבאַווּסטע, ד.ה. פֿאַר 6 קאָמפּאָנענטע שפּאַנונגען, 6 קאָמפּאָנענטע דעפֿאָרמאַציעס און 3 קאָמפּאָנענטע פֿאַרשיבונגען. זיי זײַנען דערפֿאַר גענוגיק פֿאַר באַשטימען די דאָזיקע אומבאַווּסטע. מאַטעמאַטישע באַהערשונג פֿון אַזאַ אַ סך־הכלדיקן סיסטעם דיפערענציעלע גלײַכונגען איז, פֿאַרשטייט זיך, נאָר אין ספּעציאַל־פֿאַלן מעגלעך. אויב מען פֿאַרבײַט אין דער גלײַכונג (8) די קאָמפּאָנענטע דעפֿאָרמאַציעס מיט קאָמפּאָנענטע פֿאַרשיבונגען לויט די גלײַכונגען (3) און (4), און דערנאָך די נאָרמאַלע שפּאַנונגען σ און די שטראַף־שפּאַנונגען τ, לויט די גלײַכונגען (8 d - f), אַרײַנפֿירט אין די גלײַכגעוויכט־באַדינגונגען, גל. (7), קריגן מען דיפערענציעלע גלײַכונגען, וואָס ווערן גערופֿן די גרונט־גלײַכונגען פֿון דער עלאַסטיציטעט־טעאָריע.

(9)

וואָסבײַ איז  באַצייכנט דער Laplace-אָפּרעכענער. לויט (2) זיינען דאָס דרײַ דיפערענציעלע גלײַכונגען מיט דרײַ קאָמפּאָנענט־פֿאַרשיבונגען μ, ν, ω; פֿון די קען מען ווידער דורך דיפערענצירן אויף גרונט פֿון (3), (4) און (8) באַקומען אַלע קאָמפּאָנענט־שפּאַנונגען און דעפֿאָרמאַציעס. די גלײַכונגען (9) שטעלן אָפֿט אַ באַקוועמע אויסגאַנג־פּונקט פֿאַר באַטראַכטונג פֿון ספּעציעלע פֿאַלן.

דעפֿאָרמאַציע־אַרבעט

דעפֿיניציע

ווען דער טרעגער ווערט באַלאסטעט, דערלעבן די אַנגריף־פּונקטן פֿון די אויסערן כּוחות עלאַסטישע פֿאַרשיבונגען, און די כּוחות טאָן דערבײַ אַ געוויסע אַרבעט. אַזוי קען די צוגעפֿירטע ענערגיע איבערגיין אין פֿאַרשידענע פֿאָרמען. אויב די באַלאסטונג קומט פּלוצעם, אַזוי אַז דער דעפֿאָרמאַציע־פּראָצעס האָט אַ באַדײַטנדיקע גיכקייט, ווערט אַ טייל פֿון דער ענערגיע פֿאַרוואַנדלט אין קינעטישע ענערגיע, וואָס צעפֿאַלט איבער דער צײַט, צי דורך דעם, וואָס זי ווערט איבערגעגעבן צום באָדן ווי אַן עלאַסטישע כוואַליע, וואָס גייט פֿאַרלאָרן אין אומענדלעכקייט, צי דורך דעם, וואָס זי ווערט דורך אינערלעכער רײַבונג פֿאַרוואַנדלט אין וואַרעמקייט. אויב מע לייגט די באַלאסטן אַזוי לײַכט אָן, אַז עס קומט דערבײַ נישט פֿאָר קיין באַמערקבאַרער צוגאַנג אין קינעטישער ענערגיע, ד״ה אַז די באַלאסטן, וואָס וואַקסן שטופֿנדיק פֿון נול אָן, זײַנען אין שטענדיקער גלײַכגעוויכט מיט די אינערלעכע כּוחות, ווערט די ענערגיע קלאָרערהייט אויסשליסלעך פֿאַרבראַכט אויף דעם דעפֿאָרמירן פֿונעם גוף און ווערט דעמאָלט גערופֿן דעפֿאָרמאַציע־אַרבעט.

דעם רעכענען פֿון דעפֿאָרמאַציע־אַרבעט וועלן מיר קודם ווײַזן אויף אַ קליינעם טייל אונטער ציע־בעלאַסטונג אין איין ריכטונג (פֿיג. 5).

לאָזט דער עקזיסטירנדער שפּאַנונג σ און די צוגעפּאַסטע דילאַטאַציע ε דורכגיין פאַרגרעסערונגען dσ און dε. דאַן וועט די קראַפט σdF אויפן וועג dε * dl אויספירן אַרבעט σdF * dεdl = σdεdV, אויב מיט dV ווערט באַצייכנט דער באַנד פונעם טיילעלעך. אויב דער שפּאַנונג וואַקסט פֿון נול ביז זײַן לעצטן ווערט און די דילאַטאַציע דערצו פון 0 ביז ε, וועט די גאַנצע אויסגעפירטע אַרבעט פּער איינהייט באַנד זיין:

אויך פֿאַר אַן עלעמענט וואָס איז באַלאסטעט מיט שערן-שפּאַנונג τ (פֿיג. 6) איז דער דעפֿאָרמאַציעס־אַרבעט אויף דער איינהייט פֿון וואָלומען (ספּעציפֿישער דעפֿאָרמאַציעס־אַרבעט, עלאַסטישער פּאָטענציעל):

וואָבײַ נאָר איינער פֿון די פֿיר קראַפֿטן τ * dF פֿירט אויס אַרבעט.

אין דעם אַלגעמיינעם פֿאַל, ווען אויף דעם עלעמענטאַרן טייל שלאָגן אַלע זעקס קאָמפּאָנענט־שפּאַנונגען, באַקומען מיר דעם ספּעציפֿישן דעפֿאָרמאַציע־אַרבעט דורך צוזאַמענפֿאַסן די אַרבעטן פֿון די איינציקע קאָמפּאָנענט־שפּאַנונגען:

(10)

דורך דיפערענצירן לויט דער אויבערשטער גרענעץ פֿון יעדער פֿון די אינטעגראַלן באַקומט מען באַציִונגען וואָס gelten אין דעם מערסט אַלגעמיינעם פֿאַל:

(11)

און ענלעך פֿאַר די אַנדערע קאָמפּאָנענטאַלע דעפֿאָרמאַציעס. אויב דער קערפּער איז עלאַסטיש, שטימט יעדן באַשטימטן שפּאַנונג־צושטאַנד שטענדיק דער זעלבער דעפֿאָרמאַציע־צושטאַנד, אָן שום באַצוג צי דער צושטאַנד איז דערגרייכט געוואָרן בײַ באַלעסטיקן אָדער בײַ אָפּלאַסטונג. דאַן שטייען אונטער די ינטעגראַלן איינ־טייטיקע פֿונקציעס און די גאַנצע ענערגיע פֿאַרבראַכט בײַ באַלעסטיקן און דערנאָך בײַ גאָרער אָפּלאַסטונג איז a = 0, ווײַל אין דעם פֿאַל ווערן די אויבערשטע גרענעצן פֿון די ינטעגראַלן נול. דערפֿאַר ווערט די גאַנצע ענערגיע צוגעבראַכט צום קערפּער בײַ באַלעסטיקן צוריקבאקומען בײַ אָפּלאַסטונג.

בילד 6

בילד 7

פֿאַר אַ נישט גאַנץ עלאַסטישן גוף האָט די פֿאַרבינדונג צווישן שפּאַנונגען און דעפֿאָרמאַציעס פֿאַרן גאַנצן ציקל פֿון באַלעסטיקונג און אַנטבעלאַסטיקונג די פֿאָרעם, בערך פֿאָרגעשטעלט אויף פֿיג. 7 דורך די ליניעס O A B. די ענערגיע צוגעפֿירט בײַם באַלעסטיקן איז גלײַך דער פֿלאַך OAA, און די ענערגיע אומגעגעבן בײַם אַנטבעלאַסטיקן איז דער פֿלאַך ABA, אַזוי אַז פאַרלוירן גייט (ווערט פֿאַרוואַנדלט אין היץ) דער אַרבעט וואָס פּאַסט צו דער שאַפֿירטער פֿלאַך. אויב אין אַן אָסצילאַטאָרישן פּראָצעס וואַקט זיך די שפּאַנונג פּעריאָדיש צווישן דער פּאָזיטיווער גרענעץ־ווערט און דער נעגאַטיווער גרענעץ־ווערט, פליסט די נישט־עלאַסטישע דעפֿאָרמאַציע ענלעך ווי עס איז געוויזן מיט צעבראָכענע ליניעס אויף פֿיג. 7 און בײַ יעדער פּעריאָדע פֿון אָסצילאַציע ווערט בײַם אײַנעם באַנד אין היץ פֿאַרוואַנדלט די ענערגיע DABCD. אַזאַ אויפֿפֿירונג בײַ דעפֿאָרמאַציע, ווען די דעפֿאָרמאַציע בלײַבט הינטער דער שפּאַנונג, הייסט עלאַסטישער היסטערעזיס, און די קרומע DABCD — היסטערעזיס־שלייף.

דעפֿאָרמאַציע־אַרבעט און הוקס געזעץ

אויב מע פֿירט אַרײַן דעם Hooke-ס געזעץ אין די ינטעגראַלן אין גלײַכונג (10), קען מען דורכפֿירן די אינטעגראַציע, און פֿאַר דעם ספּעציפֿישן דעפֿאָרמאַציע־אַרבעט באַקומען מען די אויסדרוקן:

(12a)

(12b)

(12c)

אויב דער צווייטער פֿון די דאָזיקע פֿאָרמען ווערט אַרײַנגעשטעלט אין דער גלײַכונג (11), באַקומט מען ווידער די הוקס־געזעץ, גלײַכונגען (8), אין דער פאָרם געלייזט לויט די שפּאַנונגען. די אויסזאָג, אַז דער דעפֿאָרמאַציע־אַרבעט הענגט אָפּ פֿון די קאָמפּאָנענט־דעפֿאָרמאַציעס, ווי עס ווערט געוויזן דורך דער גלײַכונג (12b), איז דערפֿאַר עקוויוואַלענט צום הוקס־געזעץ. ווען די גלײַכונג (12c) ווערט דיפֿערענצירט לויט די שפּאַנונגען, באַקומט מען

(13)

די דאָזיקע פֿאָרמען, ניט ווי די פֿאָרמען (11), גילטן נאָר פֿאַר קערפּער וואָס פֿירן זיך לויטן געזעץ פֿון הוק און קענען נישט געווענדט ווערן ווען די פֿאַרבינדונגען צווישן שפּאַנונגען און דעפֿאָרמאַציעס זײַנען אַנדערש. פֿאַרשטייט זיך, אַז אויף דער רעכטער זײַט פֿון די גלײַכונגען (13) געפֿינען זיך נאָר די קאָמפּאָנענט־דעפֿאָרמאַציעס געפֿירט דורך שפּאַנונגען, און מען שליסט אויס אַלע אַנדערע, וואָס מעגלעך זענען entstanden געוואָרן צוליב טעמפּעראַטור־ענדערונג, קריכן, שוועלן, רעקריסטאַליזאַציע, אאַז״ו.

אינטעגראַלע שטעלונגען אין דער טעאָריע פֿון עלאַסטיציטעט

ווירטועלע פֿאַרשיבונגען. דער פּרינציפּ פֿון מינימום פּאָטענציעלער ענערגיע

אַזוי ווי קען מען פֿאַרבײַטן דעם הוקס־געזעץ, די גלײַכונגען (8) מיט איין גלײַכונג (12b), אַזוי קען מען אויך אַנשטאָט דעם גלײַכgewיכט־באַדינגונג אַרײַנפֿירן דעם פּרינציפּ פֿון ווירטועלן פֿאַרשיבונגען, ווי אַ אַלגעמיין גילטיקן גרונט־געזעץ פֿון מעכאַניק. דער געזעץ זאָגט אויס, אַז די גלײַכgewיכט־צושטאַנדן אונטערשיידן זיך דערמיט, אַז בײַ זיי איז די גאַנץ אויסגעפֿירטע אַרבעט פֿון אַלע כּוחות בײַ אַ קליינער ענדערונג פֿון דעם דעפֿאָרמאַציע־צושטאַנד גלײַך נול. אויב מיר באַצייכענען קליינע ענדערונגען פֿון עלאַסטישע פֿאַרשיבונגען מיט δμ δν, δω, דאַן טוען די וואַליומענטרישע כּוחות, דעפֿינירט דורך דער גלײַכונג (7), ווירטועלער אַרבעט

און די אויבערפֿלאַך־כוחות px, py, pz וואָס ווירקן אויף דעם עלעמענט dF פֿון דער אויסערלעכער אויבערפֿלאַך פֿון דעם קערפּער ארבעט 

וואָבײַ דער דרײַפֿאַכיקער אינטעגראַל באַציִט זיך אויף דעם גאַנצן באַנד, און דער צווייפאַכיקער אויף דער גאַנצער אויסווייניקער אויבערפֿלאַך פֿונעם קערפּער. פֿאַרן אויסרעכענען די אַרבעט וואָס ווערן דורכגעפֿירט דורך די אינערלעכע קראַפֿטן, נוצט מען די גלײַכונג (12b), און דערפֿאַר באַקומט מען פֿאַר דער אַרבעט פּער באַנד־איינהייט

דער פּרינציפּ פֿון ווירטועלער פֿאַררוקונגען גיט דערפֿון:

(14)

אויב מען נעמט אָן די באַלעסטיקונגען X, Y, Z px, py., pz ווי קאָמפּאָנענטן פֿון דער שווערקאַפֿט (אייגענע וואָג און אויסערלעכע באַלעסטיקונג), דאַן שטעלן די אינטעגראַלן אויף דער רעכטער זײַט פֿאָר די פּאָטענציעלע ענערגיע, וואָס די דאָזיקע לאָסטן האָבן פֿאַרלוירן, בשעת די לינקע זײַט שטעלט פֿאָר דעם צושטײַג פֿון דער פּאָטענציעלער (עלאַסטישער) ענערגיע פֿון דעם גוף, אַזוי אַז דער דאָזיקער פּרינציפּ זאָגט אויס, אַז די גאַנץ פּאָטענציעלע ענערגיע פֿון דער טראַגער און די לאָסטן וואָס ליגן אויף איר האָט בײַ גלײַכגעוויכט אַן עקסטרעמאַלע ווערט. אויב די דאָזיקע עקסטרעמאַלע ווערט איז אַ מינימום, איז דאָס גלײַכגעוויכט סטאַביל.

דער פּרינציפּ פֿון מינימום פּאָטענציעלער ענערגיע, אויסגעדריקט דורך דער גלײַכונג (14), דער אויסדרוק (12b) פֿאַר דעפאָרמאַציע־אַרבעט, די באַדינגונגען פֿון קאָמפּאַטיביליטעט פֿון דעפֿאָרמאַציעס (5), (6) שטעלן פֿאָר אַ סיסטעם גלײַכונגען, וואָס איז גענוג פֿאַר דער אויפֿבוי פֿון דער טעאָריע פֿון עלאַסטיציטעט און וואָס איז אין זײַן יסוד עקוויוואַלענט צו דער סיסטעם פֿון גלײַכונגען. די סיסטעם קען זײַן באַזונדערס נוצלעך אין פֿאַלן, ווען דאָס באַפֿרידיקן די דיפערענציעלע גלײַכונגען (9) ברענגט רעכענונג־שוועריקייטן, און דערפֿאַר דאַרף מען זוכן אַן אַפּפּראָקסימאַטיווע לייזונג; למשל, פֿאַר פֿאַרשיבונגען נעמט מען פֿאָרויס אַן אייגנאַרטיקן פֿאָרעם, וואָס באַהאַלט עטלעכע פֿרײַע קאָנסטאַנטן, און די ווערן דאַן באַשטימט לויטן פֿאָדערונג, אַז די גלײַכונג (14) זאָל זײַן מקוים. אַזוי באַקומט מען נישט קיין שטרענגע לייזונג פֿונעם פּראָבלעם, נאָר נאָר די בעסטע אַפּראָקסימאַציע, וואָס מע קען דערגרייכן מיט דעם אויסדערוויילטן לייזונג־פֿאָרעם. צי די אַפּראָקסימאַציע איז גענוג, הענגט ערשטנס אָפּ פֿון דעם אָנגענומען לייזונג־פֿאָרעם, און דערפֿולטער אַפּליקאַציע פֿון דער מעטאָד פֿאָדערט דערפֿאַר בקיאות און דערפֿאַרונג.

Castigliano-v פּרינציפּ

בשעת בײַם פּרינציפּ פֿון דעם מינימום פּאָטענציעלן ענערגיע פֿאַרגלײַכט מען אַלע פֿאַרפֿאָרמונג־צושטאַנדן, וואָס מקיים זײַנען די באַדינגונגען פֿון פֿאַרפֿאָרמונג־קאָמפּאַטיביליטעט, און צווישן זיי זײַנען אויסגעקליבן די, פֿאַר וועלכע די צוגעפּאַסטע שפּאַנונגען מקיים זײַנען די באַדינגונגען פֿון גלײַכגעוויכט, בײַם Castigliano-פּרינציפּ פֿאַרגלײַכט מען אַלע שפּאַנונג־צושטאַנדן, וואָס מקיים זײַנען די באַדינגונגען פֿון גלײַכגעוויכט, און צווישן זיי ווערן אויסגעקליבן די, פֿאַר וועלכע די צוגעפּאַסטע פֿאַרפֿאָרמונגען מקיים זײַנען די באַדינגונגען פֿון פֿאַרפֿאָרמונג־קאָמפּאַטיביליטעט. דער פּרינציפּ לויטט: פֿון אַלע מעגלעכע גלײַכגעוויכט־צושטאַנדן טרעפֿט בפועל יענער, וועלכן קאָרעספּאָנדירט דער קלענסטער פֿאַרפֿאָרמונג־אַרבעט. דער Castigliano-פּרינציפּ, צוזאַמען מיט דער גלײַכונג (12c) פֿאַר דער פֿאַרפֿאָרמונג־אַרבעט און די באַדינגונגען פֿון גלײַכגעוויכט, בויט אָפּ אַ סיסטעם פֿון גלײַכונגען, וואָס איז גענוג פֿאַרן אויפֿבוי פֿון דער מאַטעריאַל־רעזיסטענץ. ווײַל דער פּרינציפּ אַרײַננעמט דעם Hooke-געזעץ, איז די מעגלעכקייט פֿון זײַן אַפּליקאַציע פֿאַרבונדן מיט דער פֿאָרשטעלונג, אַז די פֿאַרפֿאָרמונגען קען מען גאָר באַשרײַבן מיט דעם געזעץ. דאָס פֿאָדערט נישט בלויז לינעאַר־עלאַסטיש אויפֿפֿירן פֿון דעם מאַטעריאַל, נאָר שליסט אויך אויס טעמפּעראַטור־ענדערונגען.

די אויפֿפֿירונג פֿון מאַטעריאַלן העכער די עלאַסטיציטעט־גרענעצן

פֿענאָמענן בײַ סטאַטישער באַלעסטיקונג

די דעפֿאָרמאַציע פֿון מאַטעריאַל אונטער דער השפּעה פֿון שפּאַנונגען איז אַ זייער קאָמפּליצירטע פֿענאָמען, אַזוי אַז מען דאַרף זי אויף פֿאַרשידענע וועגן פֿאַרפּשוטערן כּדי מע זאָל זי קענען פֿאַרשטיין. איינע פֿון די פֿאַרפּשוטערונגען איז די אָנהעמונג, אַז די לאָסטן ווערן אָנגעלייגט ביסלעכווײַז, ווי מ׳טוט דאָס, למשל, בײַ פּרוּוון מיט מוסטערן בײַם ציע־ און דרוק־פּרובירן.

אויב אַ שטאָלשטאַנג, באַלעסטיקט אויף צוציִען, ווערט אונטערגעוואָרפֿן אַ לאַסט וואָס וואַקסט ביסלעכווײַז און מען מעסט זײַן דילאַטאַציע ε, באַקומען זיך דער דיאַגראַם געוויזן אין פֿיג. 8. בײַם אָנהייב איז די דילאַטאַציע זייער קליין און פּראָפּאָרציאָנאַל צום שפּאַנונג, ווי עס פֿאָדערט דעם געזעץ פֿון הוק. פֿון אַ געוויסער שפּאַנונג אָן הערט אָפּ די פּראָפּאָרציאָנאַליטעט און די דילאַטאַציע וואַקסט שנעלער. דער גענויער אָרט פֿון דער גרענעץ פֿון דער דאָזיקער פּראָפּאָרציאָנאַליטעט איז שווער צו באַשטימען. אַלץ גענויער די מעסטונג, אַלץ נידעריקער ווערט זי געפֿונען. פֿאַר די מערסטע מאַטעריאַלן ליגט זי בײַ σ = 0, און דער געזעץ פֿון הוק שטעלט דאַן פֿאָר בלויז דער ערשטער נאָענטונג צום עלאַסטישן אויפֿפֿירונג, דער ערשטער מיטגליד פֿון דער אַנטוויקלונג אין דער טיילער־ריי פֿון דער פֿונקציע ε = ε (σ) אַרום דעם קאָאָרדינאַטן־אָנהייב.

אויב מען לאָזט דעם שטאַנג אָן באַלאַסט, זעט מען, אַז ווען דער שפּאַנונג איז נישט געווען צו גרויס, פֿאַרשווינדט אויך די דעפֿאָרמאַציע, לויט דעם געזעץ פֿון Hooke. אָבער דאָס ענדערט זיך אויך, אויב מען איבערשרײַט אַ געוויסע שפּאַנונג, וואָס ליגט נאָענט צו דער פּראָפּאָרציאָנאַליטעט־גרענעץ, דער אַזוי גערופֿענער עלאַסטישקייט־גרענעץ; דאַן באַשטייט די גאַנץ דעפֿאָרמאַציע פֿון אַן עלאַסטישן (צוריקקערן־) און אַן ניט־עלאַסטישן (שטענדיקן) טייל. אויך די עלאַסטישקייט־גרענעץ קען מען נישט פּינקטלעך באַשטימען; זי געפֿינט זיך אַלץ נידעריקער, אַלץ גרעסער די מעסט־גענויקייט איז. ווײַל זי האָט אָבער אַ גרויס טעקנישן באַטײַט, ווײַל זי פֿאָרשטעלט די גרענעץ פֿון באַטײַט בײַ כּמעט אַלע רעכענונגען אין מאַטעריאַל־קעגנשטעל, און Zugleich אויך די גרענעץ, אויף וועלכער די ערשטע שטענדיקע שעדיקן אַנטשטייען, ווערט זי פֿאַרן פּרוּוו פֿון מוסטערן שאַרף דיפֿינירט דורך אַן אָנגענומענעם קאָנווענץ, און מען באַצייכנט, למשל, ווי גרענעץ 0.2% יענע שפּאַנונג, בײַ וועלכער די שטענדיקע דילאַטאַציע דערגרייכט 0.2%.

נאָך דעם ווי מען האָט איבערגעשפּאַרט די עלאַסטיציטעט־גרענעץ, וואַקסט די דעפֿאָרמאַציע פּלוצעם און מען קען זי באַמערקן מיט בלאָsem אויג; בײַ כּמעט קאָנסטאַנטער שפּאַנונג לענגערט זיך דער שטאַנג אָן אויפֿהער. די שפּאַנונג ווערט גערופֿן די פֿליס־גרענעץ. בײַ הידראַולישע מאַשינען פֿאַר פּרובירן מאַטעריאַלן קען מען דערצו באַמערקן נאָך דעם אָנהייב פֿון דער פֿליסונג אַ מער אָדער ווייניקער אויסגעפּרעגטע אָפּפֿאַל פֿון דער שפּאַנונג; ווי עס איז אָנגעצייכנט אויף בילד 8 מיט אַ צעשטיקטער קורווע; דעמאָלט ווערט דער מאַקסימום גערופֿן די אויבערשטע פֿליס־גרענעץ, און די קאָנסטאַנטע פֿליס־שפּאַנונג וואָס קומט דערנאָך איז די אונטערשטע פֿליס־גרענעץ.

נאָך דעם וואָס אַ געוויסע דילאַטאַציע ווערט דערגרייכט, וואָס איז כּמעט גאָר ניט־עלאַסטיש, הייבט די שפּאַנונג ווידער אָן וואַקסן, דער מאַטעריאַל ווערט פֿאַרשטאַרקט. אין דער דאָזיקער באַלעסטיקונגס־געגנט קומט פֿאָר אַ באַמערקטע פֿאַרקלענערונג פֿונעם דורכשניט פֿון דער שטאַנג צוליב דער (ניט־עלאַסטישער) זײַטיקער קאַנטראַקציע, און דער ווײַטערער גאַנג פֿון דעם דיאַגראַם פֿון שפּאַנונג און דעפֿאָרמאַציע הענגט קודם־כּל אָפּ פֿון דעם, צי בײַ דער רעכענונג פֿון דער שפּאַנונג σ ווערט די ציע־קראַפֿט P, וואָס ווירקט אויף דער שטאַנג, געטיילט דורך דעם אָריגינעלן דורכשניט F0 אָדער דורך דעם מאָמענטאַנעם דורכשניט F. פֿאַר טעכנישע צילן איז אינטערעסאַנט די שפּאַנונג P|F0 . די דאָזיקע שפּאַנונג גייט דורך אַ מאַקסימום, וואָס הייסט די שטאַרקייט פֿון דעם מאַטעריאַל, און ווען מען גייט פֿאַרביי דעם מאַקסימום, שנירט זיך די שטאַנג שטאַרק איין אין איין אָרט און רײַסט זיך. “די אמתע שפּאַנונג” P|F וואַקסט ביז צום בראָך.

פֿיגור 8.

דער אויפֿפֿירונג פֿון אַנדערע מעטאַלן שטייט אין פֿילע הינזיכטן אָפּ פֿון דעם דאָ באַשריבענעם. פֿליסן איז אָפֿט נישט אויסגעדריקט, און פֿאַרהאַרטעווען הייבט זיך אָן גלײַך נאָך איבערשרײַטן דעם גרענעץ פֿון עלאַסטיציטעט. בײַ ברעכלעכן מאַטעריאַלן (שטיין, גלאז, באַטאָן) זײַנען די נישט־עלאַסטישע דעפֿאָרמאַציעס אַלגעמיין קליין און שוין בײַ אַ קליינער דילאַטאַציע קומט צו אַ בראָך. די גאַנץ־דילאַטאַציע, וואָס דער מאַטעריאַל דערלעבט ביז צום בראָך, איז אַ מאָס פֿון דער אויסצויגבאַרקייט (אומגעקערט: ברעכלעכקייט) פֿון דעם מאַטעריאַל, און זי ווערט פֿאַר שטאָל פּינקטלעך באַשטימט אין די טעכנישע באַדינגונגען. אָבער ווײַל גלײַך פֿאַרן בראָך קאָנצענטרירט זיך די ווײַטערע דעפֿאָרמאַציע אויף די אַרומיקע ערטער פֿון פֿאַרשמאָלצענעם קרייַז־שניט, באַקומט מען אַ פֿאַרשיידענע ווערט פֿון דער דילאַטאַציע בײַם בראָך, לויט דעם צי פֿאַר דער מאַס־לענג ווערט אָנגענומען אַ גרעסערער אָדער אַ קלענערער טייל פֿון דער שטאַנג, אַזוי אַז כּדי צו באַקומען איינדײַטיקע און צוזאַמענ־פֿאַרגלײַכלעכע רעזולטאַטן מוז מען פֿריִער אָנגיין מיט אַ געוויסער קאָנווענציע. די דילאַטאַציע בײַם בראָך ווערט בדרך־כלל געמאָסן אַזוי, אַז מען צייכנט אויף אַ קײַלעכיק שטאַנג מיטן דיאַמעטער d פֿאַרן פּרוּוו די מאַס־לענג Ι = 10 d און פֿון איר פֿאַרלענגערונג ΔΙ רעכנט מען אויס די דילאַטאַציע בײַם בראָך εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ אויב עס איז נייטיק צו פּרוּוון שטאַנגען פֿון אַנדערן קרייַז־שניט, ווערט די מאַס־לענג באַשטימט לויטן דיאַמעטער פֿון אַ קײַלעכיקן צילינדרישן שטאַנג, וואָס האָט די זעלבע קרײַז־שניט־פֿלאַך.

לאַנג־צייטיקע באַלאַסטונג

פֿאַר דעם לויף פֿון דעם צוג־פּראָבע איז עס לעתים כּמעט גלײַכגילטיק צי די באַלאַסטונג ביזן בראָך ווערט פֿאַרגרעסערט במשך פֿון 10 m מינוט אָדער אַ פּאָר שעה. אָבער אויב די באַלאַסטונג ווירקט יאָרן אָדער צענדליקער יאָרן, ווערט אונטער געוויסע באַדינגונגען באַמערקט, אַז אפילו אונטער דער פליסיקייט־גרענעץ וואַקסט די דעפֿאָרמאַציע בײַ קאַנסאַנטן דרוק מיט דער צײַט לײַכט. דער עלאַסטישער טייל, דהײַנו יענער טייל וואָס פֿאַרשווינדט בײַם ענדגילטיקן אָפּבאַלאַסטן, ענדערט זיך נישט באַמערקבאַר. די דאָזיקע פֿאַרגרעסערונג פֿון דער ניט־עלאַסטישער דעפֿאָרמאַציע, וואָס פּאַסירט במשך פֿון לענגערער צײַט, ווערט גערופֿן קריפּן. בײַ מעטאַלן, אויסער בלײַ, איז קריפּן באַטײַטנדיק נאָר בײַ הויכע טעמפּעראַטורן; אָבער פֿאַרן ציוויל־אינזשעניר שפּילט עס אַ ראָלע בײַ באַטאָנען, וואָס געבט אונטער אַ ביסל אונטער דרוק, אַזוי אַז דער שפּאַנונג וואַקסט אין דער דרוק־באַוועפענונג, אויב אַזאַ עקזיסטירט.

וועקבעלעכטער באַלאַסטונג

כדי די מעכאַנישע אייגנשאַפֿטן פֿון אַ מאַטעריאַל, באַקומענע בײַם ציע־פּרובירן, זאָלן זיך קענען באַנוצן ווי אַ מאָס פֿאַר דער ערלויבטער בעלאַסטונג פֿון קאַנסטרוקציעס, איז נויטיק, אַז דער מאַטעריאַל זאָל בײַ יעדער נײַער בעלאַסטונג אויסהאַלטן דעם שפּאַנונג, וואָס ער האָט אַמאָל אָן שאָדן אויסגעהאַלטן. דער תנאי איז נישט מקוים, אויב דער מאַטעריאַל ווערט אויסגעשטעלט צו פֿאַכמאָליקער איבערחזרונג פֿון באַלעסטיקן און אָפּבעלאַסטיקן, ווי עס איז, צום בײַשפּיל, דער פֿאַל בײַ טרעגערס באַלעסטיקט מיט אינערטציע־כּחות פֿון נישט גאַנץ אויסגעגליכענע מאַשינען. דורך גענוג אָפֿט איבערחזרטע באַלעסטיקונגען קען מען אַ קאַנסטרוקטיוון טייל ברענגען צום בראָך אַפֿילו בײַ אַ שפּאַנונג, וואָס ליגט ווײַט אונטער דער שטאַרקייט פֿונעם מאַטעריאַל, באַשטימט דורך דער געוויינטלעכער סטאַטישער פּראָבע. דער מין בראָך רופֿט מען בראָך צוליב מידקייט. די צאָל n פֿון בעלאַסטונג־ציקלען, וואָס דער מאַטעריאַל קען אויסהאַלטן, הענגט אָפּ פֿון דער גרייס פֿון דער שפּאַנונג σ, אַזוי אַז זי איז אַלץ גרעסער, אַלץ קלענער איז די שפּאַנונג. אַ טיפּישער בײַשפּיל פֿון דער דאָזיקער אָפענגיקייט איז געוויזן אויף פֿיג. 9, פֿון וועלכער מען זעט, אַז פֿאַר דער שטאַרקייט פֿונעם מאַטעריאַל עקזיסטירט אַ אונטערגרענעץ, וואָס ער טראָגט אויך בײַ אַרביטרער גרויסער צאָל פֿון בעלאַסטונג־ציקלען, און וואָס מען רופֿט דינאַמישע שטאַרקייט פֿונעם מאַטעריאַל די דיאַגראַמען פֿון אַזאַ מין (פֿיג.9) רופֿט מען Wӧhler־קורוון.

בילד 9.

זיכערקייט פֿון קאָנסטרוקציעס

צוויי גרענעץ־בעלאַסטונגען זענען באַדײַטיק פֿאַר קאַנסטרוקציעס: די בעלאַסטונג, בײַ וועלכער די ערשטע שטענדיקע שאָדנס אַנטשטייען (גרענעץ פֿון פֿליסן), און די בעלאַסטונג, בײַ וועלכער די טראַגפֿעיִקייט פֿון דער קאַנסטרוקציע איז אויסגעשעפּט, אַזוי אַז זי ברעכט (גרענעץ פֿון בראָך). ווײַל פֿאַר דער גרענעץ פֿון פֿליסן געלט מען בײַם מינדסטן בערך די אַנסעצונגען פֿון מאַטעריאַל־קעגנשטאַנד (קליינע פֿאַרשiebונגען, Hook-eov געזעץ), קען מען די זיכערהייט קעגן שטענדיקע דעפֿאָרמאַציעס פאַרלעסלעך אָפּשאַצן אין אַלע יענע פֿאַלן, וווּ עס געלינגט איבערווינדן די מאַטעמאַטישע שוועריקייטן. אויב די שפּאַנונג איז פּראָפּאָרציאָנאַל צום באַלעסט, איז דער יחס פֿון דער פֿליסונג־שפּאַנונג צו דער גרעסטער שפּאַנונג, וואָס טרעט אויף אין דער קאַנסטרוקציע, גלײַך דעם יחס צווישן דער בעלאַסטונג, בײַ וועלכער פֿליסונג קומט פֿאָר, און דער אמתער בעלאַסטונג, און באַשטימט דעם זיכערהייט־קאָעפֿיציענט קעגן פֿליסן. אָבער אין אַ ריי פֿאַלן עקזיסטירט דער דאָזיקער פּשוטער יחס נישט: בויגונג ווען מען באַטראַכט ניט קיין ציעונג, דרוק צווישן קערוודע פֿלאַכטן, סיסטעמען מיט פֿאַרענדערלעכער סטרוקטור און, וואָס איז באַזונדערס נאָכמיטיק, בויגונג מיט אַקסיאַלער כּוח. אין אַלע די דאָזיקע פֿאַלן קען אַ רעלאַטיוו קליינער פֿאַרגרעסערונג פֿון דער בעלאַסטונג פֿירן צו אַ גרויסן פֿאַרגרעסערונג פֿון די שפּאַנונגען, און דאַן איז ניט גענוג דעם געוויינטלעכן זיכערהייט־קאָעפֿיציענט אויף שפּאַנונגען אָנווענדן, נאָר מען דאַרף אים אָנווענדן אויף דער בעלאַסטונג.

די פֿענאָמען וואָס פּאַסירן נאָך דער איבערשרײַטונג פֿון דער פֿליסיקייט־גרענעץ ביז צום צוזאַמענברוך קענען אין רובֿ פֿאַלן נאָך בלויז קוואַליטאַטיוו נאָכגעפֿאָלגט ווערן. אויב דער מאַטעריאַל איז ציעבאַר, נעמען די טיילן, אין וועלכע מען האָט ערשט דערגרייכט די פֿליסיקייט־גרענעץ און וועלכע דיפאָרמירען זיך ווייטער בײַ קאָנסטאַנטער שטרעס אָדער שטרעס וואָס וואַקסט בלויז אומבאַדײַטנדיק, אַ קליינעם טייל אין אויפֿנעמען ווײַטערדיקע לאַסט, אַזוי אַז די אַנדערע, ווייניקער באַשטרעסטע טיילן פֿון דער קאַנסטרוקציע, ווײַט ווי מעגלעך לויט איר סטרוקטור, נעמען מער אָנטייל אין טראָגן. אין דעם שטרעבן צו גלײַכמאַכן די שטרעס־שפּיצן ליגט אַ געוויסע זיכערהייט־רעזערוו, וואָס קען רעכעניש אויסגענוצט ווערן אויב די בלײַביקע דיפאָרמאַציע פֿון געוויסע טיילן, געפֿאָרמט נאָר דורך איין באַדײַטנדיקע לאַסט, איז נישט שעדלעך (מעטאָד פֿון גרענעץ־לאַסט).

אויב דער מאַטעריאַל איז שוואַך, דער ערשטער שטענדיקער שאָדן באַוויזט זיך אין קראַקטן, צוליב וועלכע אויפֿן געפֿערלעכן אָרט קומט צו נאָך שטאַרקערער קאָנצענטראַציע פֿון שפּאַנונג, וואָס באַפֿאַלט גלײַך דעם בראָך. דער בראָך צוליב מידקייט האָט אויך בײַ ציעבאַרע מאַטעריאַלן די כאַראַקטעריסטיקן פֿון שוואַכן בראָך.

 באַציונגען צווישן די שפּאַנונגען פֿאַר פֿאַרשידענע שניט־פלאַכן

טראַנספֿאָרמאַציע־גלײַכונגען

די נײַן קאָמפּאָנענט־שפּאַנונגען אויף פֿיג. 1, זײַנען פֿאַרבונדן מיט דרײַ גלײַכגעוויכט־באַדינגונגען. די זעקס איבעריקע גרייסן σx, σy, σz τxy, τyz, τzx קענען, אומאָפּהענגיק איינער פֿון צווייטן, באַקומען וויליקע ווערטן, ווי עס זעט מען פֿון דער אַרויספֿיר פֿון די דיפֿערענטשיאַל־גלײַכונגען פֿון דער עלאַסטיציטעט־טעאָריע. אָבער ווען די ווערטן זײַנען געגעבן, איז דער שפּאַנונג־צושטאַנד אין אַ געוויסן פּונקט פֿונעם האַרט־גוף גאָר באַשטימט, דאָס הייסט, ווען די שפּאַנונגען פֿאַר דרײַ קעגנצײַטיק פּערפּענדיקולערע פֿלאַכן זײַנען באַקאַנט, קען מען איינציק און באַשטימט אויך דער שפּאַנונג פֿאַר אַ פֿערטער פֿלאַך, וואָס גייט דורך דעם געגעבן פּונקט און וועמענס נאָרמאַל האָט אַ וויליקע ריכטונג.

אין פֿיג. 10 איז געוויזן דער טעטראַעדראָן OABC, וועמענס דרײַ זײַטן זײַנען פּאַראַלעל צו די פּלאַנען פֿון דעם קאָאָרדינאַט־סיסטעם x, y, z, בעת די פֿערטע שטעלט פֿאָר אַ פֿרײַ אָריענטירטן עלעמענט פֿון דער אויבערפֿלאַך ABC = dF. כּדי צו באַצייכענען זײַן ריכטונג און די ריכטונג פֿון דער שפּאַנונג, וואָס ווערט דורך אים איבערגעגעבן, פֿירט מען אַרײַן אַן אַנדערן קאָאָרדינאַט־סיסטעם, וועמענס ξ־אַקס איז פּערפּענדיקולער צו dF.

פֿיגור 10

דער תנאי פֿון גלײַכגעוויכט פֿון די כּוחות, וואָס ווירקן אויף דעם טעטראַעדראָן אין דער ריכטונג פֿון דער ξ-אַקס, גיט

אויב מען נעמט אין באַטראַכט אַז

קריגט זיך

און ענלעך דערצו פֿון די באַדינגונגען פֿון גלײַכגעוויכט אין דער ריכטונג פֿון דער אַקסע η:

דאָס זיינען די גלײַכונגען וואָס דינען פֿאַר דער באַרעכענונג פֿון שפּאַנונגען בײַ דער טראַנספֿאָרמאַציע פֿון קאָאָרדינאַטן. פֿון באַזונדערער באַדײַטונג איז צו באַטראַכטן נאָר אַזעלכע עלעמענטן פֿון דער אויבערפֿלאַך _dF פֿאַר וועלכע די ξ-אַקס צוזאַמענפֿאַלט מיט דער z-אַקס. די פֿאָרמען פֿאַר דעם פֿאַל קענען מיר באַקומען דורך פֿאַרפּשוטן די פֿריִערדיקע פֿאָרמען אָדער לייענען גלײַך פֿון פֿיג. 11:

פֿיגור 11

די נאָרמאַלע שפּאַנונג נעמט עקסטרעמע ווערטן פֿאַר די ריכטונגען α = α0 , פֿאַר וועלכע dσξ/dα = 0. דורך דיפערענצירן ווערט פֿון דער גלײַכונג (16) באַקומען

און ווען מען שטעלט דעם אויסדרוק גלײַך נול

דער שפּאַנונג τξη וועט Zugleich זײַן דער גאַנצער שערן־שפּאַנונג אין די דאָזיקע פּלאַנים, אויב τyz = τzx = 0. דעמאָלט באַשטימט די גלײַכונג (17) צוויי קעגנזײַטיק פּערפּענדיקולערע ריכטונגען, פֿאַר וועלכע: 1. דער גאַנצער שערן־שפּאַנונג איז נול און, 2. דער נאָרמאַלער שפּאַנונג האָט עקסטרעמע ווערטן (מאַקסימום און מינימום). די דאָזיקע ריכטונגען ווערן גערופֿן די ריכטונגען פֿון די הויפּט־שפּאַנונגען, און די ענטשפּרעכנדיקע שפּאַנונגען הויפּט־שפּאַנונגען. זיי ווערן באַצייכנט מיט σ1 און σ2 און מע קען זיי רעכענען גלײַך פֿון דער פֿאָרמולע

 מאָהרס קרײַז

די גלייכונגען (16) קענען גראַפֿיש געוויזן ווערן אויף אַ קלאָרן אופֿן. צו דעם צוועק דאַרף מען זיי פֿאַרוואַנדלען אין דעם פֿאָרעם:

די גלײַכונגען שטעלן אין דעם קאָאָרדינאַט־סיסטעם σ, τ דעם פּאַראַמעטרישן פֿאָרעם פֿון דער קרײַז־גלײַכונג פֿאָר, געצייכנט אויף פֿיג. 12, וועמענס קאָואָרדינאַטן פֿון צענטער זײַנען σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 און וועמענס ראַדיוס איז

דעם קרייַז רופֿט מען מאָהרס קרייַז. אויב מען ציט דורך דעם פּונקט x אַ שורה פּאַראַלעל צו דעם דורכשניט x =const., איבער וועלכן ווערן איבערגעגעבן די שפּאַנונגען σx, τxy, וועט זי שנײַדן דעם קרייַז אין דעם פּונקט p, וואָס הייסט דער פּאָל פֿון מאָהרס קרייַז. יעדער שורה pξ, געצויגן דורך דעם פּאָל, שנײַדט דעם קרייַז אין דעם פּונקט ξ, וואָס באַשטימט די שפּאַנונגען σξ, τξη, וועלכע ווערן איבערגעגעבן איבערן דורכשניט פּאַראַלעל צום pξ.

בײַם צייכענען דעם Mohr-קרײַז דאַרף מען אויפֿפּאַסן אויף דעם סימן פֿון די שיר־דרוקן, אַז מען זאָל זיי אַפּלאָדירן אַרויף, אויב זיי האָבן די ריכטונג געוויזן אויף פֿיג. 12c. לויט דעם איז פֿון די צוויי קאָנזשוגירטע דרוקן τxy, τyx, איינער שטענדיק פּאָזיטיוו און דער אַנדערער נעגאַטיוו.

די גרענעץ־ווערטן σ1, σ2 פֿון נאָרמאַלע שפּאַנונגען ווערן צוגעפּאַסט דורך די פונקטן 1 און 2 אויפֿן קרײַז, און די שטריכן _p_1 און _p_2 געבן די ריכטונגען פֿון די הויפּט־שפּאַנונגען.

די פאָרשטעלונג פֿון די דרוקן וואָס ליגן אין דער x-y פּלאַך מיט הילף פֿון דעם Mahr-קרײַז איז ניט פֿאַרבונדן מיט קיין שום הנחה וועגן די דרוקן σz, τxz, τyz פּערפּענדיקולער צו דער דאָזיקער פּלאַך.

בילד 12

דאָס איז דערפֿאַר אויך גילטיק פֿאַר דעם אַלגעמיינסטן דריי־דימענסיאָנאַלן שפּאַנונגס־צושטאַנד, אויב מען פֿאַרגלײַכט נאָר יענע שניט־פּלאַנען, וואָס אַלע גייען דורך דער זעלבער גלײַכער, וואָס איז דאָ אויסגעקליבן אלס z און ξ אַקס. ווײַל לויט די אַלגעמיינע טראַנספֿאָרמאַציע־פֿאָרמולן (15) קען דער נאָרמאַלער שפּאַנונג σ נישט ווערן אומענדיק בײַ קיין איין שניט־פּלאַן, דאַרף ער פֿאַר אַ געוויסן פּלאַן האָבן דעם ענדלעכן מאַקסימום σ1, און פֿאַר אַן אַנדערן דעם מינימום σ3, פֿון וועלכע ביידע, פֿאַרשטייט זיך, קענען אויך זײַן נעגאַטיוו. אויב מען ציעט דורך די וועקטאָרן σ1 און σ3 אַ פּלאַן און מען צייכנט דעם מאָהר־קרײַז (פֿיג. 13)

בילד 13

פֿאַר דרוקן וואָס ליגן אין דער דאָזיקער שטח (ד.ה. אַלע ריכטונגען וואָס זײַנען פּערפּענדיקולאַר צו דער שטח), זענען דאַן σ1 און σ3 די גרעסטע און קלענסטע נאָרמאַלע דרוקן וואָס קענען אויסטרעטן און מוזן דערפֿאַר זײַן פּערפּענדיקולאַר איינעם צום צווייטן. אויב מען פֿאַרענדיקט די ריכטונגען 1 און 3 מיט דער ריכטונג 2, אַזוי אַז די דרײַ ריכטונגען מאַכן אַ רעכטע קאָואָרדינאַט־סיסטעם, און מען צייכנט די Mohr־קרייזן פֿאַר די שטחים 1 ~2 און 2 ~ 3, איז σ2 פֿאַר איינעם פֿון די קרייזן דער גרעסטער, און פֿאַרן אַנדערן דער קלענסטער נאָרמאַלער דרוק, און דערפֿאַר איז אין די שניטן פּערפּענדיקולאַר צו די ריכטונגען 1, 2 און 3 דער שערן־דרוק גלײַך נול. דרײַ קעגנצײַטיק פּערפּענדיקולערע נאָרמאַלע דרוקן σ1, σ2 און σ3, צו וועלכע קיין שערן־דרוקן שטימען נישט, רופֿט מען די הויפּט־דרוקן.

    פליס־גרענעץ און בראָך־גרענעץ בײַם דריי־דימענסיאָנעלן שפּאַנונג־צושטאַנד

דער שפּאַנונג־צושטאַנד ווערט גערופֿן איין-, צוויי- אָדער דריי־דימענסיאָנאַל, אַנדערש: לינעאַר, פּלאַך אָדער ראַום־פֿאַרמעסטן, לויט דעם צי איינער, צוויי אָדער אַלע דרײַ הויפּט־שפּאַנונגען זײַנען ניט גלײַך נול. בײַ קאָנסטרוקטיווע טיילן וואָס ווערן מערסטנס גענוצט, ד.ה. בײַ דער Zug־, דרוק־ און בייג־שטאַנג, איז דער שפּאַנונג־צושטאַנד, לפּחות אין די מערסט באַלעסטעטע ערטער, איין־דימענסיאָנאַל, און אויך בײַ פּראָבן אויף Zug, דרוק אָדער בייגן, וואָס ווערן בײַ מאַטעריאַל־פּרובירן כּמעט בלויז גענוצט צו באַשטימען ערלויבטע שפּאַנונגען. קעגן דעם איז בײַ פּלאַטן באַלאסטעט אין זייער אייגענער פּלאַך אָדער פּערפּענדיקולער צו איר, ווי אויך בײַ שאָלן, דער שפּאַנונג־צושטאַנד צוויי־דימענסיאָנאַל, און אין געוויסע פֿאַלן קומען אויך פֿאָר דריי־דימענסיאָנאַלע שפּאַנונג־צושטאַנדן, אַזוי אַז מען דאַרף פֿון דער לויִונג־גרענעץ און בראָך, באַשטימט בײַ איין־דימענסיאָנאַלן שפּאַנונג־צושטאַנד, אַרויסציען מסקנות וועגן דעם מאַטעריאַל־געפֿירן אין פֿאַל פֿון ראַום־שפּאַנונג־צושטאַנד.