सामग्रीहरू: सामग्रीको प्रतिरोध र प्रत्यास्थता सिद्धान्त

आधारभूत कुराहरू

सामग्रीको प्रतिरोधको कार्यले कुनै ठोस वस्तु (जस्तै भवन, संरचनात्मक भाग वा माटो) ले कुन बाह्य बलहरू सहन सक्छ भन्ने निर्धारण गर्नु हो। यस प्रश्नको उत्तर दिन दुई वटा मापदण्डबाट अगाडि बढिन्छ: एकातिर तनावहरूले सामग्रीको प्रकारमा निर्भर केही सीमाहरू नाघ्न हुँदैन, र अर्कोतिर बाह्य र आन्तरिक बलहरूबीचको सन्तुलन स्थिर हुनुपर्छ। यसअनुसार, सामग्री प्रतिरोधसम्बन्धी सबै समस्याहरूलाई “तनावका समस्याहरू” र “स्थिरताका समस्याहरू” मा विभाजन गर्न सकिन्छ।

छडहरू र बीमहरू तथा तिनबाट बनेका वहनसंरचनाहरू (जाली, फ्रेमहरू) मा तनावहरूको निर्धारण दुई चरणमा गरिन्छ, यसरी कि पहिले दिइएका बाह्य बलहरूको आधारमा अनुप्रस्थ काट हुँदै सारिने आन्तरिक बलहरूको परिणामी गणना गरिन्छ, र त्यसपछि यी “अनुप्रस्थ काटीय बलहरू” बाट तनावहरू निर्धारण गरिन्छ। प्रक्रियाको पहिलो भाग विशेष, विस्तृत अनुशासन संरचनात्मक स्थैतिकी हो, जसका आफ्नै विकसित विधिहरू छन् र जुन सामान्यतया सामग्रीहरूको प्रतिरोधबाट अलग मानिन्छ, जसको कार्य दिइएका अनुप्रस्थ काटीय बलहरूबाट तनावहरू निर्धारण गर्नु हो।

सामग्री प्रतिरोधका आधारभूत अवधारणाहरू

तनावको परिभाषा निम्न आधारभूत विचारमार्फत प्राप्त हुन्छ। मानौँ कुनै वस्तुमाथि बाह्य बलहरूको सन्तुलित प्रणालीले प्रभाव पारिरहेको छ। कल्पना गरौँ कि हामीले वस्तुलाई कुनै पनि काटमार्फत दुई भागमा विभाजन गरेका छौँ, र तीमध्ये एक भागलाई त्यसमा लाग्ने बलहरू सहित हटाएका छौँ; तब बाँकी भागमाथि त्यसको प्रभाव, बलहरूको सन्तुलन र विकृतिहरूको वितरण अपरिवर्तित रहोस् भन्नेका लागि, काटिएको सतहमार्फत सर्ने पूरक बलहरूले प्रतिस्थापन गर्नुपर्छ। यी “आन्तरिक” बलहरू काटिएको सतहभरि निरन्तर रूपमा वितरण भएका हुन्छन्, त्यसैले सतहको प्रत्येक तत्त्व dF का लागि dβ बल मिल्छ। यदि dβ/dF को भागफल बनाएर dF -> 0 को सीमा लिइयो भने, यो भागफल तनाव भनिने सीमित मानतर्फ जान्छ। कुनै सतह तत्त्वमा रहेको तनाव पनि dβ जस्तै हुन्छ र यसलाई dF प्रति लम्बवत् तथा स्पर्शीय घटकहरूमा विभाजन गर्न सकिन्छ: सामान्य तनाव σ र काट्ने तनाव τ.

यदि एउटै बिन्दुबाट फरक-फरक दिशामा काटहरू लिइन्छ भने, तिनसँग फरक तनावहरू सम्बन्धित हुन्छन्। विशेष गरी यदि शरीरबाट चित्र 1 मा देखाइएको एकाइ घन अलग गरियो भने, त्यसका छवटै सतहहरूमा तनाव भेक्टर क्रियाशील हुनेछ, जसलाई x, y, z निर्देशाङ्क अक्षहरूको दिशामा तीन अवयवहरूमा विभाजन गर्न सकिन्छ। विपरीत सतहहरूमा क्रियाशील तनावहरू, निस्सन्देह, केवल सूक्ष्म अन्तरका लागि मात्र एक-अर्काभन्दा फरक हुन्छन्, त्यसैले 3 * 3 = 9 अवयवी तनावहरूलाई छुट्याउनुपर्छ, जसलाई निम्नानुसार चिन्हित गरिन्छ:

सामान्य तनावहरू σ लाई तिनले पर्ने अक्षको सूचक दिइन्छ र तिनीहरूले तन्कावट गराउँदा धनात्मक, दबाब गराउँदा ऋणात्मक मानिन्छ। कर्तन तनावहरू τ ले दुई सूचक पाउँछन्, जसमध्ये पहिलो सम्बन्धित सामान्य तनावको सूचकजस्तै हुन्छ, र दोस्रो त्यो अक्षसँग सम्बन्धित हुन्छ जसको दिशामा कर्तन तनाव कार्य गर्छ। यदि सम्बन्धित सामान्य तनावको धनात्मक दिशा धनात्मक (ऋणात्मक) निर्देशाङ्कीय अक्षको दिशामा छ भने, कर्तन तनाव पनि धनात्मक (ऋणात्मक) निर्देशाङ्कीय अक्षको दिशामा कार्य गर्दा धनात्मक मानिन्छ।

चित्र 1.

 कतरनी तनावहरूको संयुग्मता

यदि मौलिक घनाभ, चित्र 1, का लागि x अक्षको सापेक्ष सबै बलहरूको मोमेन्ट शून्य हुने सर्त राखियो भने, τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz प्राप्त हुन्छ। यहाँबाट, र y तथा z अक्षका लागि उपयुक्त दुई समीकरणहरूबाट, समान सूचक भएका शीयर तनावहरू आपसमा बराबर हुन्छन् τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

घटकगत विकृतिहरू

माथि परिभाषित तनावहरूको भौतिक अर्थ छ भन्ने कुरा तिनीहरूको सम्बन्धबाट प्रकट हुन्छ, जुन बाह्य बलहरूको प्रभावमा पर्ने हरेक वस्तुले अनुभव गर्ने परिभाषासँग सम्बन्धित छ। चित्र 2 ले एउटा मौलिक घनखण्ड देखाउँछ, जुन विकृतिभन्दा अघि आयताकार थियो र जसका किनाराहरूको लम्बाइ dx, dy, dz थियो। विकृतिपछिका किनाराहरूको लम्बाइलाई dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz भनेर देखाउन सक्छौं; अनुपातहरू εx = Δdx|dx, εy = Δdy|dy, εz = Δdz|dz लाई दीर्घण भनिन्छ। यी परिमाणहरू विमाहीन हुन् र निर्माणमा विचार गरिने सबै सामग्रीहरूका लागि 1 सापेक्ष साना हुन्छन्। किनाराहरूको लम्बाइ बढ्नुका साथै, मौलिक घनखण्ड dx * dy * dz ले आफ्ना सतहहरूबीचका पहिल्यै समकोण रहेका कोणहरूमा पनि परिवर्तन भोग्न सक्छ।

चित्र 2. घटक विकृति

मानौँ विकृति पछि OC किनारासँग मिल्ने समतलहरूबीचको कोण बराबर हो, र त्यसैगरी AO किनारासँगको समकोणको घटाइ γyz बराबर हो, तथा OB किनारासँगको घटाइ γzx बराबर हो। यी तीन कोणीय परिवर्तनहरू γxy, γyz, γzx लाई sliding भनिन्छ र तिनीहरू पनि सदैव 1 को तुलनामा साना हुन्छन्। छ वटा component ε र γ बाट नै मूल घनाकार तत्त्वको विकृति, “सानो विकृति” अवस्थामा, पूर्ण रूपमा निर्धारित हुन्छ। आयतन तत्त्व d_V = dx * dy * dz_ को परिवर्तन ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, हुन्छ, जहाँ विकृतिका गुणनहरूलाई उच्च क्रमका साना परिमाणका रूपमा उपेक्षा गर्दा, घनात्मक विकृति ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) प्राप्त हुन्छ

स्थानान्तरण

कठोर वस्तुको विकृतिलाई पूर्ण रूपमा यसरी पनि वर्णन गर्न सकिन्छ कि त्यसका प्रत्येक बिन्दुलाई त्यस बिन्दुले भोगेको विस्थापन दिइन्छ। यदि कठोर वस्तुको विस्थापनसँग मिल्ने सीमित परिमाणका विस्थापनहरूलाई विचारबाट हटाइयो भने, र आवश्यकता परे गणनामा चलायमान निर्देशाङ्क प्रणाली अपनाइयो भने, तब घटक विस्थापनहरू μ, ν, ω सधैँ साना परिमाणका हुन्छन्, र तिनका निर्देशाङ्कअनुसारका अवकलहरू 1 सँग तुलना गर्दा साना हुन्छन्। उक्त मान्यताअनुसार चित्र 3 अनुसार रेखीय तत्त्व OA = dx को लम्बाइ विकृतिपछि

त्यसैले  (3)

त्यस्तै, आकृति 3 बाट देखिन्छ कि सरकावट γxy γ1 + γ2: र पनि

 (4)

चित्र 3 स्लिप

(5)  (6)

यी सम्बन्धहरूलाई अनुकूलता शर्तहरू भनिन्छ र यसले देखाउँछ कि विकृत तत्वहरूलाई मोजाइकझैँ मिलाएर त्यस क्रममा स्थान निरन्तर रूपमा भरिन सकिन्छ, जुन तत्वहरूको विकृति मनमानी भएमा हासिल गर्न सकिँदैन। अनुकूलता शर्तहरू अवकल समीकरणहरू हुन्, त्यसैले स्वाभाविक रूपमा प्रत्येक अलग-अलग घनाभका लागि सबै छवटै अवयवी विकृतिहरू आपसमा स्वतन्त्र हुन्छन्, तर कुनै पनि सीमित विस्तारित क्षेत्रमा तिनको व्यवस्था (5) र (6) का शर्तहरूसँग सम्बन्धित हुन्छ।

यी सर्तहरू समीकरणहरू (3) र (4) बाट अवकलन गरी प्राप्त भएकाले, तिनको व्युत्पादनका क्रममा मूल समीकरणहरूमा समावेश सम्बन्धहरूको एक भाग हराउँछ। त्यसैले विकृतिको अनुकूलता सुनिश्चित गर्न चाहिने हो भने यी दुई समीकरण–समूहमध्ये केवल एउटा पूरा हुनु पर्याप्त हुँदैन, दुवै समीकरण–समूह पूरा हुनुपर्छ।

लोचीय प्रणालीका अवकल समीकरणहरू

लोचदार शरीरहरूमा तनाव र विकृतिहरू गणना गर्न निम्न समीकरणहरू प्रयोग गरिन्छः

आयतन तत्वका सन्तुलन सर्तहरू। तीनै अक्षहरू वरिपरिका आघूर्ण शून्य बराबर हुने सर्तहरू समीकरण (1) को व्युत्पत्तिमा पहिल्यै प्रयोग गरिएका छन्। बल सन्तुलनका सर्तहरू चित्र 4 अनुसार दिन्छन्

चित्र 4

(7a-c)

यदि X, Y, Z लाई प्रति एकाइ आयतनमा आयतनात्मक बलहरूका घटकहरू (जस्तै तौल, केन्द्रापसारक बल) भनेर जनाइयो भने। तनाव र विकृतिहरूबीचको सम्बन्ध। यसअन्तर्गत घटकीय तनाव र घटकीय विकृतिहरूबीचको सम्बन्ध बुझिन्छ। प्रत्यास्थताको सिद्धान्तमा सामान्यतः केवल रैखिक सम्बन्धलाई मात्र विचार गरिन्छ, जुन Hooke-को नियमद्वारा व्यक्त हुन्छ:

(8a-c)

(8d-f)

यदि समीकरणहरू (8a-c) लाई तनावका आधारमा समाधान गरियो भने, प्राप्त हुन्छ

(8 a)

र दुई उपयुक्त समीकरणहरू पनि। Hooke-को नियम, समीकरण (8) द्वारा व्यक्त गरिएको, कुनै कडाइका साथ पूर्ण प्राकृतिक नियम होइन, बरु वास्तविक व्यवहारको एउटा आदर्शीकरण हो, जुन सामग्री र तनावको परिमाणअनुसार यसबाट कम वा बढी विचलित हुन्छ। तनाव र विकृतिबीच जटिल, गैररेखीय सम्बन्ध भएका सामग्री प्रतिरोधसम्बन्धी समस्याको गणितीय प्रशोधनले तुलना गर्न नसकिने गरी बढी कठिनाइ ल्याउँछ र व्यवहारमा सबैभन्दा सरल अवस्थामा मात्र लागू गर्न सकिन्छ भन्ने कुरालाई ध्यानमा राख्दा, Hooke-को नियमबाट उल्लेखनीय रूपमा विचलित हुने सामग्रीहरू (कङ्क्रीट!) का लागि पनि, त्यसमा आधारित गणनाहरूलाई पहिलो, र प्रायः एकमात्र लगभग समाधानको रूपमा प्रयोग गर्नुपर्छ; र त्यो समाधान सामान्यतः अत्यन्त उपयोगी पनि हुन्छ र केवल गुणात्मकभन्दा बढी अन्तर्दृष्टि दिन्छ। G = E|2 (1+μ).

यो अनिवार्य रूपमा तनाव र विकृति (8) बीचको सम्बन्धबाट, तनावका लागि रूपान्तरण समीकरणहरू (16) बाट तथा घटक विकृतिहरूका लागि सम्बन्धित समीकरणहरूको प्रणालीबाट आउँछ। E र G मा तनावको आयाम हुन्छ र सबै निर्माण सामग्रीहरूमा यिनको मान हुन सक्ने σ र τ तनावहरूको तुलनामा यी ठूला हुन्छन्। तर यही तथ्यमा लोच सिद्धान्तभरि सर्वत्र स्वीकारिएको यो मान्यता आधारित छ कि विकृतिहरू साना हुन्छन्। पार्श्व प्रसारण गुणांक (Poisson संख्या) μ आयामरहित हुन्छ र सधैँ 0 र 1/2 बीच हुन्छ।

घटकगत विकृति र विस्थापनबीचका सम्बन्धहरू। यी सम्बन्धहरू समीकरणहरू (3), (4) द्वारा दिइएका छन्। ती पूर्णतः ज्यामितीय प्रकृतिका हुन्। यी तीन प्रणालीले 3+6+6=15 समीकरणहरू 15 अज्ञातहरूको लागि दिन्छन्, अर्थात् 6 घटकगत तनावहरू, 6 घटकगत विकृतिहरू र 3 घटकगत विस्थापनहरूका लागि। त्यसैले ती यी अज्ञातहरू निर्धारण गर्न पर्याप्त छन्। यति विस्तृत अवकल समीकरणहरूको प्रणालीलाई गणितीय रूपमा सम्हाल्न सकिने कुरा, निस्सन्देह, विशेष अवस्थाहरूमा मात्र सम्भव छ। यदि समीकरण (8) मा घटकगत विकृतिहरूलाई समीकरणहरू (3) र (4) अनुसार घटकगत विस्थापनहरूले प्रतिस्थापित गरिन्छ र त्यसपछि सामान्य तनावहरू σ र कर्तन तनावहरू τ, समीकरणहरू (8 d - f) अनुसार, सन्तुलन सर्तहरू, समीकरण (7), मा समावेश गरिन्छन् भने, अवकल समीकरणहरू प्राप्त हुन्छन्, जसलाई लोचशीलता सिद्धान्तका आधारभूत समीकरणहरू भनिन्छ।

(9)

जहाँ  द्वारा Laplace-को अपरेटर जनाइएको छ। (2) को सन्दर्भमा, यी तीन घटकीय विस्थापनहरू μ, ν, ω भएका तीन अवकल समीकरण हुन्; यीबाट फेरि (3), (4) र (8) का आधारमा अवकलनद्वारा सबै घटकीय तनाव र विकृतिहरू प्राप्त गर्न सकिन्छ। समीकरणहरू (9) विशेष अवस्थाहरूको अध्ययनका लागि प्रायः उपयुक्त प्रारम्भिक बिन्दु प्रस्तुत गर्छन्।

विकृति कार्य

परिभाषा

जब कुनै वहन संरचनामा भार लाग्छ, बाह्य बल लागू हुने बिन्दुहरूमा प्रत्यास्थ विस्थापन हुन्छ र बलहरूले त्यस क्रममा निश्चित कार्य गर्छन्। यसरी ल्याइएको ऊर्जा विभिन्न रूपहरूमा रूपान्तरित हुन सक्छ। यदि भार अचानक लाग्छ, त्यसैले विकृति प्रक्रिया उल्लेखनीय गतिमा हुन्छ भने, यस ऊर्जाको एक भाग गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण हुन्छ, जुन समयसँगै या त यसरी क्षय हुन्छ कि त्यो प्रत्यास्थ तरङ्गका रूपमा भूमिमा सरेर अनन्ततामा हराउँछ, या आन्तरिक घर्षणद्वारा तापमा बदलिन्छ। यदि भारहरू यति बिस्तारै लगाइन्छन् कि त्यस क्रममा गतिज ऊर्जामा ध्यानयोग्य वृद्धि हुँदैन, अर्थात् शून्यबाट क्रमशः बढ्ने भारहरू आन्तरिक बलहरूसँग निरन्तर सन्तुलनमा हुन्छन् भने, ऊर्जा स्पष्टतः केवल शरीरलाई विकृत गर्नमै खर्च हुन्छ र त्यसलाई त्यसबेला विकृति कार्य भनिन्छ।

विकृतिजन्य कामको गणना हामी पहिले एक दिशामा तान्ने भार लागेको सानो भागमा देखाउनेछौँ (आकृति 5).

मानौँ विद्यमान तनाव σ र सम्बन्धित विकृति ε मा dσ र dε का वृद्धिहरू लाग्छन्। तब बल σdF ले मार्ग dε * dl मा _σdF * dεdl = σdεdV काम गर्छ, यदि dV लाई सानो अंशको आयतन जनाउन प्रयोग गरिएको हो। यदि तनाव शून्यबाट आफ्नो अन्तिम मानसम्म बढ्छ र त्यसअनुसार विकृति 0 बाट ε सम्म जान्छ भने, एकाइ आयतनमा कुल गरिएको काम यसरी हुन्छ:

त्यसैगरी, शीयर तनाव τ (चित्र 6) ले लोड गरिएको तत्वका लागि एकाइ आयतनमा विकृति कार्य (विशिष्ट विकृति कार्य, लोचीय सम्भाव्य ऊर्जा):

जसमध्ये केवल चारवटा बलहरूमध्ये एउटा τ * dF ले काम गर्दछ।

सामान्य अवस्थामा, जब एकाई अंशमा सबै छवटा घटकीय तनावहरूले क्रिया गर्छन्, प्रत्येक घटकीय तनावद्वारा गरिएको कार्यलाई जोडेर विशिष्ट विकृति कार्य प्राप्त हुन्छ:

(10)

यी प्रत्येक समाकलनहरूको माथिल्लो सीमाको सन्दर्भमा अवकलन गर्दा सबैभन्दा सामान्य अवस्थामा लागू हुने सम्बन्धहरू प्राप्त हुन्छन्:

(11)

र बाँकी घटक विकृतिहरूका लागि पनि त्यस्तै। यदि शरीर लोचदार छ भने, तनावको प्रत्येक निश्चित अवस्थासँग सधैं उही विकृति अवस्था सम्बन्धित हुन्छ, चाहे त्यो अवस्था लोड गर्दा प्राप्त भएको होस् वा अनलोड गर्दा। तब समाकलहरूअन्तर्गत एकार्थक फलनहरू हुन्छन् र लोडिङ तथा त्यसपछि पूर्ण अनलोडिङका क्रममा खर्च भएको कुल ऊर्जा a = 0 हुन्छ, किनकि यस अवस्थामा समाकलका माथिल्लो सीमाहरू शून्य हुन्छन्। त्यसैले लोडिङको क्रममा शरीरमा दिइएको कुल ऊर्जा अनलोडिङको क्रममा फिर्ता प्राप्त हुन्छ।

चित्र 6

चित्र 7

अपूर्ण लोचदार निकायका लागि, पूरा लोडिङ र अनलोडिङ चक्रभरि तनाव र विकृति बीचको सम्बन्ध लगभग चित्र 7 का O A B रेखाहरूले देखाएझैँ हुन्छ। लोडिङ गर्दा दिइएको ऊर्जा क्षेत्रफल OAA बराबर हुन्छ, र अनलोडिङ गर्दा फिर्ता प्राप्त ऊर्जा क्षेत्रफल ABA बराबर हुन्छ, त्यसैले छायांकन गरिएको क्षेत्रफलसँग सम्बन्धित काम हराउँछ (तापमा रूपान्तरित हुन्छ)। यदि दोलनीय प्रक्रियामा तनाव आवधिक रूपमा सकारात्मक सीमागत मान र नकारात्मक सीमागत मान बीच परिवर्तन हुन्छ भने, अलीलोचिक विकृति चित्र 7 मा टुटेको रेखाहरूद्वारा देखाइएझैँ हुन्छ र दोलनको प्रत्येक अवधिमा प्रति एकाइ आयतन तापमा रूपान्तरित हुने ऊर्जा DABCD हुन्छ। विकृतिको यस्तो व्यवहार, जसमा विकृति तनावभन्दा पछि पर्छ, लोचिक हिस्टेरिसिस भनिन्छ, र वक्र DABCD हिस्टेरिसिस लूप हो।

विकृति-कार्य र हूकको नियम

यदि समीकरण (10) का समाकलहरूमा Hooke-को नियम लागू गरियो भने, समाकलन गर्न सकिन्छ, र विशिष्ट विकृति कार्यका लागि निम्न अभिव्यक्तिहरू प्राप्त हुन्छन्:

(12a)

(12b)

(12c)

यदि यी रूपहरूमध्ये दोस्रोलाई समीकरण (11) मा राखियो भने, फेरि Hooke - ov नियम, समीकरणहरू (8), तनावका सर्तमा समाधान गरिएको रूपमा प्राप्त हुन्छ। विकृति कार्य घटकात्मक विकृतिहरूमा निर्भर हुन्छ भन्ने कथन, जस्तै समीकरण (12b) द्वारा देखाइएको छ, त्यसैले Hooke-को नियमसँग समानार्थी हुन्छ। जब समीकरण (12c) लाई तनावका सन्दर्भमा अवकल गरिन्छ, प्राप्त हुन्छ

(13)

यी रूपहरू, रूपहरू (11) भन्दा फरक, हुकको नियमअनुसार व्यवहार गर्ने वस्तुहरूका लागि मात्र मान्य हुन्छन् र जब तनाव र विकृतिबीचको सम्बन्ध फरक हुन्छ, लागू गर्न सकिँदैन। स्पष्ट छ, समीकरण (13) को दायाँपट्टि तनावबाट उत्पन्न भएका घटक विकृतिहरू मात्र हुन्छन्, र तापक्रम परिवर्तन, क्रिप, फुलाइ, पुनःस्फटीकरण, आदि का कारण सम्भवतः उत्पन्न भएका सबै अन्य विकृतिहरू बहिष्कृत गरिन्छन्।

समाकलनात्मक दृष्टिकोणहरू प्रत्यास्थता सिद्धान्तमा

साङ्केतिक विस्थापनहरू। सम्भावित ऊर्जाको न्यूनतम सिद्धान्त

जसरी Hooke-को नियम, समीकरण (8) लाई एउटा मात्र समीकरण (12b) ले बदल्न सकिन्छ, त्यसरी नै सन्तुलनका सर्तहरूको सट्टा आभासी विस्थापनको सिद्धान्तलाई पनि यान्त्रिकीको सर्वसामान्य मूल नियमका रूपमा प्रस्तुत गर्न सकिन्छ। यो नियमले भन्छ कि सन्तुलन अवस्थाहरू यस कारणले विशेष हुन्छन् कि सानो विकृति परिवर्तन हुँदा सबै बलहरूले गरेको कुल काम शून्य हुन्छ। यदि प्रत्यास्थ विस्थापनका साना परिवर्तनहरूलाई δμ δν, δω भनेर जनाइयो भने, समीकरण (7) द्वारा परिभाषित भोल्युमिक बलहरूले आभासी काम गर्छन्

a सतही बलहरू px, py, pz जसले शरीरको बाहिरी सतहको dF अवयवमा कार्य गर्छन्, काम 

जहाँ त्रिगुण समाकल सम्पूर्ण आयतनमा लागू हुन्छ, र द्विगुण समाकल सम्पूर्ण बाह्य सतहमा। आन्तरिक बलहरूले गर्ने कार्य गणना गर्न समीकरण (12b) प्रयोग गरिन्छ, त्यसैले प्रति इकाइ आयतनको कार्य यसप्रकार प्राप्त हुन्छ

यस आधारमा आभासी विस्थापनको सिद्धान्तले दिन्छ

(14)

यदि भारहरू X, Y, Z px, py., pz लाई गुरुत्वबलका घटकहरू (आफ्नै तौल र बाह्य भार) का रूपमा बुझियो भने, दायाँपट्टिका समाकलनहरूले यी भारहरूले गुमाएको सम्भावित ऊर्जा जनाउँछन्, जबकि बाँयाँपट्टिले पिण्डको सम्भावित (लोचीय) ऊर्जाको वृद्धि जनाउँछ, त्यसैले यो सिद्धान्तले समर्थनकर्ता र त्यसमा राखिएका भारहरूको कुल सम्भावित ऊर्जा सन्तुलनको अवस्थामा चरम मान राख्छ भनी देखाउँछ। यदि यो चरम मान न्यूनतम हो भने, सन्तुलन स्थिर हुन्छ।

सम्भाव्य ऊर्जाको न्यूनतमको सिद्धान्तलाई समीकरण (14) द्वारा व्यक्त गरिएको छ, विकृतिजन्य कार्यका लागि अभिव्यक्ति (12b), तथा विकृति-समायोजनका सर्तहरू (5), (6) ले यस्तो समीकरणहरूको प्रणाली प्रस्तुत गर्छन् जुन प्रत्यास्थताको सिद्धान्त निर्माणका लागि पर्याप्त छ, र जुन मूलतः समीकरणहरूको प्रणालीसँग समतुल्य हुन्छ। यो प्रणाली विशेषगरी त्यस्ता अवस्थाहरूमा उपयोगी हुन सक्छ जहाँ अवकल समीकरणहरू (9) पूरा गर्नु गणनात्मक कठिनाइ प्रस्तुत गर्छ र त्यसकारण अनुमानित समाधान खोज्नुपर्छ, उदाहरणका लागि, विस्थापनका लागि पहिल्यै उपयुक्त आकार मानिन्छ जसमा केही स्वतन्त्र नियतांकहरू हुन्छन् र तीलाई समीकरण (14) पूरा हुनुपर्ने आवश्यकताबाट निर्धारण गरिन्छ। यसरी समस्याको कडा समाधान त प्राप्त हुँदैन, बरु छनोट गरिएको समाधान-आकारबाट प्राप्त गर्न सकिने सर्वोत्तम अनुमान मात्र मिल्छ। अनुमान कति पर्याप्त छ भन्ने कुरा मुख्यतः अपनाइएको समाधानको रूपमाथि निर्भर हुन्छ, र त्यसैले यो विधिको सफल प्रयोगका लागि दक्षता र अनुभव आवश्यक पर्छ।

Castigliano को सिद्धान्त

न्यूनतम सम्भावित ऊर्जाको सिद्धान्तमा विकृतिका सबै अवस्थाहरू तुलना गरिन्छ, जसले विकृतिको अनुकूलता सर्तहरू पूरा गर्छन्, र तिनमध्ये ती छानिन्छन् जसका लागि सम्बन्धित तनावहरूले सन्तुलनका सर्तहरू पूरा गर्छन्; जबकि Castigliano को सिद्धान्तमा सन्तुलनका सर्तहरू पूरा गर्ने तनावका सबै अवस्थाहरू तुलना गरिन्छ र तिनमध्ये ती छानिन्छन् जसका लागि सम्बन्धित विकृतिहरूले विकृतिको अनुकूलता सर्तहरू पूरा गर्छन्। यो सिद्धान्त यसप्रकार छ: सम्भव सबै सन्तुलन अवस्थामध्ये वास्तवमा त्यो अवस्था उत्पन्न हुन्छ जससँग सबैभन्दा सानो विकृति कार्य सम्बन्धित हुन्छ। Castigliano को सिद्धान्त, विकृति कार्यका लागि समीकरण (12c) र सन्तुलनका सर्तहरूसँग मिलेर, एउटा यस्तो समीकरण प्रणाली बनाउँछ जुन पदार्थको प्रतिरोध निर्माणका लागि पर्याप्त हुन्छ। यो सिद्धान्तमा Hooke को नियम समावेश भएकाले यसको प्रयोगको सम्भावना यो मान्यतासँग जोडिएको छ कि विकृतिहरूलाई पूर्ण रूपमा यही नियमद्वारा वर्णन गर्न सकिन्छ। यसका लागि पदार्थको रेखीय लोचदार व्यवहार मात्र आवश्यक हुँदैन, तापक्रम परिवर्तनलाई पनि बहिष्कृत गर्छ।

लोच सीमाभन्दा माथि सामग्रीहरूको व्यवहार

स्थैतिक भारअन्तर्गतका घटनाहरू

तनावको प्रभावमा पदार्थको विकृति एउटा अत्यन्त जटिल घटना हो, त्यसैले यसलाई बुझ्नका लागि विभिन्न दृष्टिकोणबाट सरल बनाउनुपर्छ। यी सरलिकरणहरूमध्ये एउटा हो भारहरू क्रमशः लागू गरिन्छन् भन्ने मान्यता, जस्तो कि तन्य र संपीडन परीक्षणका क्रममा नमूनासँग गरिन्छ।

यदि तानाइमा रहेको इस्पातको डन्डीलाई क्रमशः बढ्दो भार दिइयो र त्यसको विकृति ε मापन गरियो भने, चित्र 8 मा देखाइएको रेखाचित्र प्राप्त हुन्छ। सुरुमा विकृति अत्यन्त सानो हुन्छ र तनावसँग समानुपातिक हुन्छ, हुकको नियमले माग गरेअनुसार। कुनै निश्चित तनावपछि समानुपातिकता समाप्त हुन्छ र विकृति छिटो बढ्न थाल्छ। यस समानुपातिकताको सीमाको ठ्याक्कै स्थान निर्धारण गर्न गाह्रो हुन्छ। मापन जति सटीक हुन्छ, यो त्यति तल देखिन्छ। धेरैजसो सामग्रीका लागि यो σ = 0 मा पर्छ, र त्यसपछि हुकको नियमले केवल लोचदार व्यवहारको पहिलो अनुमान, अर्थात् कोर्डिनेटको सुरुआत वरिपरि कार्य ε = ε (σ) को Taylor शृङ्खलाको पहिलो पदलाई मात्र जनाउँछ।

यदि डण्डालाई भारमुक्त गरियो भने, तनाव धेरै ठूलो नभएको अवस्थामा, हूकको नियमअनुसार विकृति पनि हराउँछ भन्ने देखिन्छ। तर यो पनि निश्चित तनाव नाघेपछि बदलिन्छ, जुन समानुपातिक सीमाको नजिक हुन्छ, तथाकथित लचकताको सीमा; त्यसबेला समग्र विकृति लोचदार (फिर्ता आउने) र अलोचदार (स्थायी) भागबाट बनेको हुन्छ। लचकताको सीमालाई पनि ठ्याक्कै निर्धारण गर्न सकिँदैन; मापनको शुद्धता जति बढी हुन्छ, यो त्यति तल देखिन्छ। तथापि, यसको ठूलो प्राविधिक महत्त्व छ, किनकि यसले पदार्थ प्रतिरोधसम्बन्धी प्रायः सबै गणनामा वैधताको सीमा जनाउँछ, र त्यही समयमा पहिलो स्थायी क्षति उत्पन्न हुने सीमा पनि हो; त्यसैले नमूनाहरू परीक्षण गर्न यसलाई स्वीकृत कुनै परम्पराअनुसार कडाइका साथ परिभाषित गरिन्छ, र जस्तै, सीमा 0.2% भन्नाले त्यो तनावलाई जनाइन्छ जसमा स्थायी विस्तार 0.2% पुग्छ।

लोचीय सीमालाई पार गरेलगत्तै विकृति तीव्र रूपमा बढ्छ र नाङ्गो आँखाले देख्न सकिन्छ; लगभग स्थिर तनावमा डण्डी निरन्तर लामो हुँदै जान्छ। यस तनावलाई प्रवाह सीमा भनिन्छ। सामग्री परीक्षणका हाइड्रोलिक मेसिनहरूमा प्रवाह सुरु भएपछि कम वा बढी स्पष्ट तनाव–ह्रास पनि देखिन सक्छ; चित्र 8 मा बिच्छेदित वक्रले देखाएझैँ; तब अधिकतमलाई माथिल्लो प्रवाह सीमा भनिन्छ, र त्यसपछि देखा पर्ने स्थिर प्रवाह तनावलाई तल्लो प्रवाह सीमा भनिन्छ।

एक निश्चित, लगभग पूर्णतया अ-लोचदार विस्तार प्राप्त भएपछि, तनाव फेरि बढ्न थाल्छ, अर्थात् सामग्री कठोर बन्छ। यस भार अवस्थामामा, अ-लोचदार पार्श्व संकुचनका कारण छडको अनुप्रस्थ काटमा उल्लेखनीय कमी आउँछ, र तनाव तथा विकृति चित्रको अगाडिको प्रगति मुख्यतः यसमा निर्भर हुन्छ कि तनाव σ गणना गर्दा छडमा लाग्ने तन्य बल P लाई प्रारम्भिक काट F0 सँग भाग गर्ने हो कि वर्तमान काट F सँग। प्राविधिक प्रयोजनका लागि रुचिकर तनाव P|F0 हो। यो तनाव एक अधिकतम मान हुँदै जान्छ, जसलाई सामग्रीको बल भनिन्छ, र त्यो अधिकतम पार भएपछि छड एक स्थानमा तीव्र रूपमा साँघुरिन्छ र चुँडिन्छ। “वास्तविक तनाव” P|F भाँचिनेसम्म बढिरहन्छ।

चित्र 8.

अन्य धातुहरूको व्यवहार यहाँ वर्णन गरिएकोभन्दा धेरै हदसम्म फरक हुन्छ। प्रवाह प्रायः स्पष्ट हुँदैन, र कडा हुने प्रक्रिया लोच सीमाभन्दा अलि माथि पुगेपछि तुरुन्तै सुरु हुन्छ। भङ्गुर सामग्रीहरू (ढुंगा, काँच, कङ्क्रिट) मा लोचबाह्य विकृतिहरू सामान्यतः साना हुन्छन् र सानो विस्तारमै भाँचिने अवस्था आउँछ। भाँचिनेसम्म सामग्रीले भोग्ने कुल विस्तार सामग्रीको तन्यता (विपरीत: भङ्गुरता) को माप हो र इस्पातका लागि यो प्राविधिक सर्तहरूमा ठ्याक्कै निर्दिष्ट गरिएको हुन्छ। तर, भाँचिनुभन्दा ठीक अघि थप विकृति वरिपरिका साँघुरा खण्डहरूमा केन्द्रित हुने भएकाले, नाप्ने लम्बाइको रूपमा डण्डीको ठूलो वा सानो भाग लिइएअनुसार भाँचिँदाको विस्तारको मान फरक हुन्छ, त्यसैले एकार्थक र आपसमा तुलना गर्न सकिने परिणाम प्राप्त गर्न पहिले नै कुनै निश्चित परम्परा अपनाउनुपर्छ। भाँचिँदाको विस्तार सामान्यतः यसरी नापिन्छ: d व्यास भएको गोल डण्डीमा परीक्षणअघि नाप्ने लम्बाइ Ι = 10 d चिन्ह लगाइन्छ र यसको लम्बाइवृद्धि ΔΙ बाट भाँचिँदाको विस्तार εs_Ι = ΔΙ|Ι _ गणना गरिन्छ._ यदि फरक खण्ड भएका डण्डीहरूको परीक्षण गर्नुपर्ने भए, नाप्ने लम्बाइ समान अनुप्रस्थ क्षेत्रफल भएको वृत्ताकार बेलनाकार डण्डीको व्यासअनुसार निर्धारण गरिन्छ।

दीर्घकालीन भार

तान्ने परीक्षणको क्रममा, भङ्ग हुनेसम्मको भार 10 m मिनेटमा बढाइयो कि केही घण्टामा, त्यसले खासै फरक पार्दैन। तर, यदि भार वर्षौं वा दशकौँसम्म लागिरह्यो भने, निश्चित अवस्थाहरूमा, यील्ड सीमामुनि पनि स्थिर तनावका कारण विकृति समयसँगै बिस्तारै बढ्दै जान्छ भन्ने देखिन्छ। यस क्रममा लोचदार भाग, अर्थात् अन्तिम भारमुक्तिमा हराउने भाग, उल्लेखनीय रूपमा बदलिँदैन। लामो समयभरि हुने यस अ-लोचदार विकृतिको वृद्धिलाई क्रीप भनिन्छ। धातुहरूमा, सिसाबाहेक, क्रीप उच्च तापक्रममा मात्र महत्त्वपूर्ण हुन्छ; तर निर्माण इन्जिनियरका लागि यो कंक्रीटमा पनि महत्त्व राख्छ, जसले दाबका कारण बिस्तारै छोड्दै जान्छ, त्यसैले, यदि त्यस्तो आर्मेचर छ भने, दाबित आर्मेचरमा तनाव बढ्छ।

परिवर्ती भार

तन्य परीक्षणबाट प्राप्त सामग्रीका यान्त्रिक विशेषताहरूलाई संरचनाहरूमा अनुमति प्राप्त भारको मापदण्डका रूपमा प्रयोग गर्नका लागि, सामग्रीले हरेक पटक पुनः लोडिङ हुँदा पहिले एकपटक बिना क्षति सहन सकेको तनाव फेरि सहन सक्नुपर्छ। यदि सामग्रीलाई बारम्बार लोडिङ र अनलोडिङको सामना गराइन्छ भने यो सर्त पूरा हुँदैन, जस्तै, अपूर्ण सन्तुलित मेसिनहरूको जडत्वीय बलबाट लोड हुने बीमहरूको हकमा। पर्याप्त बारम्बार लोडिङ दोहोरिँदा संरचनात्मक भागलाई सामान्य स्थिर परीक्षणद्वारा निर्धारण गरिएको सामग्री-शक्तिभन्दा धेरै तलको तनावमै पनि भङ्गसम्म पुर्‍याउन सकिन्छ। यस प्रकारको भङ्गलाई थकानजन्य भङ्ग भनिन्छ। सामग्रीले सहन सक्ने लोडिङ चक्रहरूको संख्या n तनाव σ को परिमाणमा निर्भर हुन्छ, अर्थात् तनाव जति कम, संख्या त्यति नै बढी। यस निर्भरताको एउटा सामान्य उदाहरण चित्र 9 मा देखाइएको छ, जसबाट सामग्रीको शक्तिका लागि एउटा तल्लो सीमा रहेको देखिन्छ, जसलाई इच्छानुसार धेरै लोडिङ चक्रमा पनि वहन गर्न सकिन्छ, र जसलाई सामग्रीको गतिशील शक्ति भनिन्छ। यस प्रकारका आरेखहरू (चित्र 9) Wӧhler वक्रहरू भनिन्छन्।

आकृति 9.

संरचनाको सुरक्षा

संरचनाका लागि दुई सीमित भार महत्त्वपूर्ण हुन्छन्: पहिलो स्थायी क्षति उत्पन्न हुने भार (yield सीमा), र त्यस्तो भार जसमा संरचनाको वहनक्षमता समाप्त हुन्छ र त्यो भाँचिन्छ (fracture सीमा)। किनकि yield सीमाभन्दा अगाडि कम्तीमा लगभग पदार्थ प्रतिरोधका मान्यताहरू (सानो विस्थापन, Hooke को नियम) लागू हुन्छन्, स्थायी विकृतिप्रतिको सुरक्षा ती सबै अवस्थामा विश्वसनीय रूपमा आँकलन गर्न सकिन्छ जहाँ गणितीय कठिनाइहरू पार गर्न सफल भइन्छ। यदि तनाव भारसँग समानुपाती छ भने, yield तनावको अनुपात र संरचनामा उत्पन्न हुने सबैभन्दा ठूलो तनावबीचको सम्बन्ध yield हुने भार र वास्तविक भारबीचको सम्बन्धसरह हुन्छ र yield विरुद्धको सुरक्षा गुणांकलाई जनाउँछ। तर धेरै अवस्थामा यस्तो सरल सम्बन्ध हुँदैन: तान्ने प्रभाव हटाइएका बेला हुने मोडाइ, उभिएका सतहहरूबीचको दाब, संरचना परिवर्तनशील भएका प्रणालीहरू, र विशेष गरी प्रतिकूल हुने रूपमा, अक्षीय बलसहितको मोडाइ। यी सबै अवस्थामा भारमा तुलनात्मक रूपमा सानो वृद्धि भए पनि तनावमा ठूलो वृद्धि हुन सक्छ, र त्यस बेला सामान्य सुरक्षा गुणांक तनावमा लागू गर्नु पर्याप्त हुँदैन, बरु त्यसलाई भारमा लागू गर्नुपर्छ।

उपज सीमाभन्दा माथि गएपछि भङ्ग नभएसम्म देखिने घटनाहरू प्रायः केवल गुणात्मक रूपमा मात्र अवलोकन गर्न सकिन्छ। यदि सामग्री तन्य छ भने, जसका भागहरूमा पहिले उपज सीमा पुग्छ, र जुन पछि स्थिर तनाव वा अलि बढ्दो तनावमा विकृत हुँदै जान्छन्, तिनीहरूले थप भार वहन गर्न थोरै मात्र योगदान दिन्छन्, जसले गर्दा संरचनाका बाँकी, कम तनाव भएका भागहरू, यदि यसको संरचनालाई हेर्दा सम्भव छ भने, वहनमा बढी सहभागी हुन्छन्। तनावका चुचुराहरू बराबर गर्ने यो प्रवृत्तिमा सुरक्षाको एक निश्चित भण्डार निहित हुन्छ, जसलाई गणनात्मक रूपमा प्रयोग गर्न सकिन्छ यदि केही भागहरूको स्थायी विकृति, केवल एकपटकको ठूलो भारबाट उत्पन्न भएको, हानिकारक छैन भने (सीमान्त भार विधि)।

यदि सामग्री भंगुर छ भने, पहिलो स्थायी क्षति चिरामा देखिन्छ, जसका कारण जोखिममा परेको स्थानमा तनावको अझ बढी एकाग्रता हुन्छ, जसले तुरुन्तै भाँचिनेतर्फ लैजान्छ। थकानका कारण हुने भाँचिने प्रक्रिया, र तन्किने सामग्रीहरूमा पनि, भंगुर भाँचाइको विशेषताहरू देखाउँछ।

 विभिन्न अनुप्रस्थ समतलहरूका लागि तनावहरूबीचका सम्बन्धहरू

रूपान्तरण समीकरणहरू

चित्र 1 मा रहेका नौ घटक तनावहरू तीन सन्तुलन अवस्थाहरूसँग सम्बन्धित छन्। बाँकी छ वटा परिमाणहरू σx, σy, σz τxy, τyz, τzx लाई एकअर्काबाट स्वतन्त्र रूपमा मनचाहा मान दिन सकिन्छ, जस्तो कि प्रत्यास्थता सिद्धान्तका अवकल समीकरणहरूको व्युत्पादनबाट देखिन्छ। तर, जब यी मानहरू दिइएका हुन्छन्, ठोस वस्तुको कुनै बिन्दुमा तनाव अवस्था पूर्ण रूपमा निर्धारित हुन्छ, अर्थात् तीन परस्पर लम्बवत् समतलहरूका लागि तनावहरू ज्ञात भएमा, सोही बिन्दुबाट जाने र जसको सामान्यको दिशा मनचाहा हुन सक्ने चौथो समतलका लागि पनि तनाव एकार्थ रूपमा निर्धारण गर्न सकिन्छ।

चित्र 10 मा tetraeder OABC देखाइएको छ, जसका तीन वटा पृष्ठ coordinate system x, y, z का समतलहरूसँग समानान्तर छन्, र चौथो पृष्ठले इच्छानुसार उन्मुख surface element ABC = dF. प्रतिनिधित्व गर्छ। यसको दिशा र त्यसमार्फत सर्ने तनावको दिशा जनाउनका लागि दोस्रो coordinate system introduced गरिन्छ, जसको ξ axis dF. को लम्बवत हुन्छ।

आकृति 10

यस टेट्राहेड्रनमाथि ξ अक्षको दिशामा लाग्ने बलहरूको सन्तुलनको शर्तले दिन्छ

यदि ध्यानमा लिइयो भने कि

प्राप्त हुन्छ

र त्यसैगरी अक्ष η को दिशामा सन्तुलनको अवस्थाबाट:

यी ती समीकरणहरू हुन्, जसले निर्देशांक रूपान्तरण गर्दा तनावको गणना गर्न प्रयोग गरिन्छ। विशेष महत्वको कुरा यो हो कि सतहका केवल यस्ता तत्वहरू dF मात्र विचार गरिन्छ, जसका लागि ξ-अक्ष z-अक्षसँग मेल खान्छ। यस अवस्थाका रूपहरू अघिल्ला रूपहरूलाई सरलीकरण गरेर, वा सीधै चित्र 11 बाट पढेर प्राप्त गर्न सकिन्छ:

चित्र 11

सामान्य तनावले α = α0 का दिशाहरूमा चरम मान लिन्छ, जसका लागि dσξ/dα = 0 हुन्छ। अवकलन गर्दा समीकरण (16) बाट प्राप्त हुन्छ

त्यसैले, जब यो अभिव्यक्ति शून्यसँग बराबर गरिन्छ

तनाव τξη यी समतलहरूमा कुल कर्तन तनाव पनि हुनेछ, यदि τyz = τzx = 0। तब समीकरण (17) द्वारा एक-अर्कासँग लम्ब दुई दिशाहरू निर्धारण हुन्छन्, जसका लागि: 1. कुल कर्तन तनाव शून्य हुन्छ र, 2. सामान्य तनावका चरम मानहरू (अधिकतम र न्यूनतम) हुन्छन्। यी दिशाहरूलाई मुख्य तनावका दिशाहरू भनिन्छ, र सम्बन्धित तनावहरूलाई मुख्य तनावहरू भनिन्छ। तिनीहरूलाई σ1 र σ2 भनेर चिन्हित गरिन्छ र प्रत्यक्ष रूपमा सूत्रबाट गणना गर्न सकिन्छ

 Mohr-को वृत्त

समीकरणहरू (16) लाई स्पष्ट रूपमा ग्राफिक रूपमा देखाउन सकिन्छ। त्यस उद्देश्यका लागि तिनीहरूलाई यस रूपान्तरण गर्नुपर्छ:

यी समीकरणहरूले σ, τ निर्देशाङ्क प्रणालीमा वृत्तको समीकरणको प्राचलिक रूप प्रस्तुत गर्छन्, जुन आकृति 12 मा कोरिएको छ, जसको केन्द्रका निर्देशाङ्कहरू σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 र जसको त्रिज्या

यो वृत्तलाई Mohr-को वृत्त भनिन्छ। यदि x बिन्दु हुँदै x = const. को काटसँग समानान्तर रेखा तानियो, जसबाट तनावहरू σx, τxy सर्दछन्, भने यसले वृत्तलाई p बिन्दुमा काट्छ, जसलाई Mohr-को वृत्तको ध्रुव भनिन्छ। यस ध्रुवबाट तानिएको प्रत्येक pξ रेखाले वृत्तलाई ξ बिन्दुमा काट्छ, जसले pξ सँग समानान्तर काटबाट सर्ने तनावहरू σξ, τξη निर्धारण गर्छ।

Mohr को वृत्त चित्रण गर्दा शीयर तनावहरूको चिन्हको सन्दर्भमा ध्यान दिनुपर्छ कि यदि तिनीहरूको दिशा sl. 12c मा देखाइएको छ भने तिनीहरूलाई माथितिर राखिन्छ। त्यस अनुसार परस्पर सम्बद्ध दुई तनावहरू τxy, τyx मध्ये एउटा सधैं धनात्मक हुन्छ र अर्को ऋणात्मक।

सीमावर्ती मानहरू σ1, σ2 सामान्य तनावहरूका लागि वृत्तमा बिन्दुहरू 1 र 2 पर्छन्, र रेखाहरू _p_1 र _p_2 ले मुख्य तनावहरूको दिशा दिन्छन्।

x-y समतलमा रहेका तनावहरूको प्रस्तुतिकरण माहरको वृत्त प्रयोग गरेर यस समतलमा लम्बवत् रहेका तनावहरू σz, τxz, τyz सम्बन्धी कुनै पनि अनुमानसँग बाँधिएको छैन।

चित्र 12

त्यसैले, यो सबैभन्दा सामान्य त्रिविमीय तनाव अवस्थाका लागि पनि लागू हुन्छ, यदि एउटै रेखाबाट गुज्रिने ती मात्र काट समतलहरू तुलना गरिन्छ भने, जुन यहाँ z र ξ अक्षका रूपमा चयन गरिएको छ। सामान्य रूपान्तरण समीकरणहरू (15) अनुसार सामान्य तनाव σ कुनै पनि काट समतलका लागि अनन्त हुन सक्दैन, त्यसैले कुनै एक समतलका लागि यसको सीमित अधिकतम σ1 र अर्कोका लागि न्यूनतम σ3 हुनुपर्छ, जसदुवै, निस्सन्देह, ऋणात्मक पनि हुन सक्छन्। यदि σ1 र σ3 भेक्टरहरूबाट समतल तानेर मोहरको वृत्त (चित्र 13) बनाइन्छ भने

चित्र 13

यस समतलमा पर्ने तनावहरूका लागि (अर्थात् यस समतलमा लम्ब पर्ने सबै दिशाहरूका लागि), तब σ1 र σ3 सम्भव हुन सक्ने सबैभन्दा ठूलो र सबैभन्दा सानो सामान्य तनावहरू हुन् र त्यसैले परस्पर लम्ब हुनैपर्छ। यदि 1 र 3 दिशाहरूलाई 2 दिशाले पूरा गरियो, ताकि यी तीनै दिशाले समकोणीय निर्देशाङ्क प्रणाली बनाउन्, र यदि 1 ~2 तथा 2 ~ 3 समतलहरूका लागि Mahr का वृत्तहरू कोरियो भने, तब σ2 यीमध्ये एउटा वृत्तका लागि सबैभन्दा ठूलो र अर्कोका लागि सबैभन्दा सानो सामान्य तनाव हुन्छ, र त्यसैले 1, 2 र 3 दिशाहरूमा लम्ब काटहरूमा कर्तन तनाव शून्य हुन्छ। एकअर्कासँग लम्ब पर्ने तीन सामान्य तनावहरू σ1, σ2 र σ3, जससँग कर्तन तनावहरू सम्बन्धित हुँदैनन्, मुख्य तनावहरू भनिन्छन्।

    तनावको त्रिआयामी अवस्थामामा उपज सीमा र भङ्ग सीमा

तनावको अवस्थालाई एक-, दुई- वा त्रि-आयामी भनिन्छ, अन्यथा: रेखीय, समतलीय वा स्थानिक, यसअनुसार कि एक, दुई वा तीनवटै मुख्य तनावहरू शून्यबाट भिन्न छन् कि छैनन्। प्रायः प्रयोग हुने संरचनात्मक भागहरूमा, अर्थात् तानिएको, थिचिएको र मोडिएको डन्डामा, तनावको अवस्था कम्तीमा सबैभन्दा बढी तनाव पर्ने ठाउँहरूमा एक-आयामी हुन्छ, र सामग्री परीक्षणमा लगभग विशेष रूपमा अनुमत तनावहरू निर्धारण गर्न प्रयोग गरिने तान्ने, थिच्ने वा मोड्ने परीक्षणहरूमा पनि त्यस्तै हुन्छ। यसको विपरीत, आफ्नै समतलमा वा त्यसको लम्बवत् लोड गरिएका प्लेटहरू तथा खोलहरूमा तनावको अवस्था दुई-आयामी हुन्छ, र केही अवस्थामा त्रि-आयामी तनाव अवस्थाहरू पनि देखा पर्छन्, त्यसैले एक-आयामी तनाव अवस्थाका क्रममा निर्धारित yield सीमा र विफलता सीमा आधारमा स्थानिक तनाव अवस्थाको अवस्थामा सामग्रीको व्यवहारबारे निष्कर्ष निकाल्न आवश्यक हुन्छ।