Əsaslar
Materialların müqaviməti vəzifəsi bərk cismin (məs., bina, konstruktiv hissə və ya torpaq) hansı xarici qüvvələrə tab gətirə biləcəyini müəyyən etməkdir. Bu suala cavab vermək üçün iki meyardan çıxış edilir: bir tərəfdən gərginliklər materialın növündən asılı olan müəyyən hədləri aşmamalıdır, digər tərəfdən isə xarici və daxili qüvvələr arasındakı tarazlıq sabit olmalıdır. Buna uyğun olaraq, materialların müqaviməti ilə bağlı bütün məsələlər “gərginlik məsələləri” və “sabitlik məsələləri”nə bölünə bilər.
Çubuqlarda və tirlərdə, eləcə də onlardan təşkil olunmuş daşıyıcılarda (fermalar, çərçivələr) gərginliklərin təyini iki mərhələdə aparılır, yəni əvvəlcə verilmiş xarici qüvvələr əsasında en kəsiyindən ötürülən daxili qüvvələrin nəticə qüvvəsi hesablanır, sonra isə bu “kəsik qüvvələri”ndən gərginliklər müəyyən edilir. Prosesin birinci hissəsi xüsusi, geniş bir sahə — tikinti konstruksiyalarının statikasıdır; onun işlənmiş öz metodları vardır və adətən materialların müqavimətindən ayrılır, materialların müqavimətinin vəzifəsi isə verilmiş kəsik qüvvələrindən gərginlikləri müəyyən etməyə qədər enir.
Materialların möhkəmliyinin əsas anlayışları
Gərginliyin tərifinə aşağıdakı əsas mülahizələr vasitəsilə gəlinir. Qoy cismə qüvvələr tarazlıq sistemi kimi xarici qüvvələr təsir etsin. Təsəvvür edək ki, cismi ixtiyari bir kəsiklə iki hissəyə bölmüşük və onlardan birini ona təsir edən qüvvələrlə birlikdə götürüb çıxarmışıq; onda onun ikinci hissəyə təsiri, qüvvələrin tarazlığı və deformasiyaların paylanması dəyişməz qalması üçün, kəsik səthi vasitəsilə ötürülən əlavə qüvvələrlə əvəz olunmalıdır. Bu “daxili” qüvvələr kəsik səthində fasiləsiz paylanmışdır, elə ki, səthin hər dF elementinə dβ qüvvəsi uyğun gəlir. dβ/dF nisbəti qurulub dF -> 0 limit keçidi aparılarsa, bu nisbət gərginlik adlanan həddi qiymətə can atır. Müəyyən bir səth elementində gərginlik, dβ kimi, dF-ə normal və toxunan tərkiblərə ayrılır: normal gərginlik σ və kəsici gərginlik τ.
Əgər eyni nöqtədən müxtəlif istiqamətlərdə kəsiklər götürülsə, onlara uyğun olaraq müxtəlif gərginliklər də alınar. Xüsusilə, əgər cisimdən şək. 1-də göstərilən elementar paralelpiped ayrılarsa, onun altı səthinin hər birində koordinat oxları x, y, z istiqamətində üç komponentə ayrılan gərginlik vektoru təsir edəcəkdir. Qarşı-qarşıya olan səthlərdə təsir edən gərginliklər bir-birindən, təbii ki, yalnız diferensial qədər fərqlənir, ona görə də 3 * 3 = 9 sayda komponent gərginlikləri ayırd etmək lazımdır ki, bunlar aşağıdakı kimi işarələnir:
Normal gərginliklərə σ onların yerləşdiyi oxun indeksi verilir və dartılma yaradırsa müsbət, sıxılma yaradırsa mənfi hesab olunur. Kəsici gərginliklər τ iki indeks alır; onların birincisi müvafiq normal gərginliyin indeksi ilə eynidir, ikincisi isə kəsici gərginliyin təsir etdiyi oxu göstərir. Müvafiq normal gərginliyin müsbət istiqaməti müsbət (mənfi) koordinat oxunun istiqamətindədirsə, kəsici gərginlik də müsbət (mənfi) koordinat oxunun istiqamətində təsir etdikdə müsbət sayılır.
Şəkil 1.
Kəsici gərginliklərin konjuqasiya olunması
Elementar kvadrat üçün, şək. 1, x oxuna nisbətən bütün qüvvələrin momentinin sıfır olması şərti qoyularsa, alınır τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Buradan və y və z oxları üçün uyğun iki tənlikdən belə çıxır ki, eyni indeksli kəsici gərginliklər bir-birinə bərabərdir τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponent deformasiyaları
Əvvəlcə müəyyən edilmiş gərginliklərin fiziki mənaya malik olması onların hər bir cismin xarici qüvvələrin təsiri altında keçirdiyi deformasiyaya görə təriflə əlaqəsindən irəli gəlir. Şək. 2 deformasiyadan əvvəl düzbucaqlı olan və kənar uzunluqları dx, dy, dz olan elementar bir paralelpipedi göstərir. Deformasiyadan sonrakı kənar uzunluqları dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz kimi işarələyə bilərik; εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz nisbətləri dilatasiyalar adlanır. Bunlar ölçüsüz kəmiyyətlərdir və tikintidə nəzərə alınan bütün materiallar üçün 1 kiçikdir. Kənarların uzanmasından əlavə, dx * dy * dz elementar paralelpiped tərəfləri arasındakı əvvəllər düz olan bucaqların dəyişməsinə də məruz qala bilər.
Şəkil 2. komponent deformasiyası
Deyək ki, deformasiya olunduqdan sonra OC kənarı boyunca kəsişən müstəvilər arasındakı bucaq 
qədər olsun və oxşar şəkildə AO kənarı boyunca düz bucağın azalması γyz-ə, OB kənarı boyunca azalması isə γzx-ə bərabər olsun. Bu üç bucaq dəyişikliyi γxy, γyz, γzx kəsilmələr adlanır və onlar da həmişə 1-ə nəzərən kiçikdir. Altı komponent ε və γ ilə elementar kvaderin deformasiyası — “kiçik deformasiya” — tam müəyyən olunur. Həcm elementi d_V = dx * dy * dz_ üçün dəyişmə ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, olur; buradan, dilatasiya hasilləri yüksək dərəcəli kiçik kəmiyyətlər kimi nəzərə alınmadıqda, kubik dilatasiya ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) alınır
Yerdəyişmələr
Bərk cismin deformasiyası tam şəkildə belə də təsvir edilə bilər ki, onun hər bir nöqtəsinə həmin nöqtənin keçirdiyi yerdəyişmə verilir. Əgər müşahidədən bərk cismin yerdəyişməsinə uyğun gələn sonlu ölçülü yerdəyişmələr kənarlaşdırılarsa və lazım gəldikdə hesabda hərəkətli koordinat sistemi qəbul edilərsə, onda komponent yerdəyişmələr μ, ν, ω həmişə kiçik kəmiyyətlər olur, onların koordinatlara görə törəmələri isə 1-yə nisbətən kiçik olur. Bu fərziyyə altında, şək. 3-ə görə, xətti element OA = dx-in deformasiya sonrası uzunluğu
deməli 
(3)
Oxşar şəkildə şək. 3-dən görünür ki, sürüşmə γxy γ1 + γ2: və həmçinin
(4)
Şəkil 3 sürüşmə
(5) 
(6)
Bu əlaqələr uyğunluq şərtləri adlanır və göstərir ki, deformasiyaya uğramış elementlər mozaika kimi elə yerləşdirilə bilər ki, məkan fasiləsiz şəkildə dolu olsun; elementlərin deformasiyaları təsadüfi olduqda buna nail olmaq olmaz. Uyğunluq şərtləri diferensial tənliklərdir, buna görə də, təbii ki, hər bir ayrıca düzbucaqlı prizma üçün bütün altı komponent deformasiyası bir-birindən asılı olmayaraq mövcuddur, lakin onların hər bir sonlu yayılmış sahədə paylanması (5) və (6) şərtləri ilə bağlıdır.
Bu şərtlər tənliklərdən (3) və (4) diferensiallaşdırılmaqla alındığından, onların çıxarılması zamanı ilkin tənliklərdəki əlaqələrin bir hissəsi itir. Buna görə də deformasiyanın uyğunluğu təmin olunmaq istənilirsə, bu iki tənlik sistemindən yalnız birinin yerinə yetirilməsi kifayət deyil, hər iki tənlik sistemi ödənilməlidir.
Elastiklik sisteminin diferensial tənlikləri
Elastik cisimlərdə gərginlik və deformasiyaların hesablanması üçün aşağıdakı tənliklərdən istifadə olunur:
Həcm elementinin tarazlıq şərtləri. Üç ox ətrafında momentlərin sıfıra bərabər olması şərtləri artıq tənliyin (1) çıxarılmasında istifadə edilmişdir. Qüvvələrin tarazlıq şərtləri şək. 4-ə görə verir
Şəkil 4
(7a-c)
Əgər X, Y, Z ilə həcm qüvvələrinin komponentləri (məs., çəki, mərkəzdənqaçma qüvvəsi) həcm vahidinə düşən kimi işarə olunarsa. Gərginliklər və deformasiyalar arasındakı əlaqələr. Bununla komponent gərginlikləri ilə komponent deformasiyaları arasındakı əlaqə nəzərdə tutulur. Elastiklik nəzəriyyəsində, qayda olaraq, yalnız xətti əlaqə nəzərə alınır, bu isə Huk qanunu ilə ifadə olunur:
(8a-c)
(8d-f)
Əgər tənliklər (8a-c) gərginliklər üzrə həll edilərsə, alınır
(8 a)
kso və iki uyğun tənlik. Hooke qanunu (8) ilə ifadə olunduqda, ciddi şəkildə yerinə yetirilən təbii qanun deyil, materialdan və gərginliyin böyüklüyündən asılı olaraq ondan az və ya çox yayınan real davranışın ideallaşdırılmasıdır. Gərginlik və deformasiyalar arasında mürəkkəb, qeyri-xətti əlaqələri olan möhkəmlik məsələlərinin riyazi işlənməsi müqayisəolunmaz dərəcədə böyük çətinliklər yaradır və faktiki olaraq yalnız ən sadə hallarda həyata keçirilə bildiyindən, davranışı Hooke qanunundan xeyli fərqlənən materiallarda belə (beton!) ona əsaslanan hesablamalardan birinci və əksər hallarda yeganə təxmini həll kimi istifadə edilməlidir; bu isə, üstəlik, qayda üzrə çox yararlı olur və yalnız keyfiyyətcə deyil, daha geniş anlayış verir. G = E|2 (1+μ).
O, məcburi olaraq gərginliklə deformasiya arasındakı əlaqədən (8), gərginliklər üçün çevirmə tənliklərindən (16) və komponent deformasiyalar üçün uyğun tənliklər sistemindən irəli gəlir. E və G gərginlik ölçüsünə malikdir və bütün tikinti materiallarında yarana bilən σ və τ gərginliklərinə nisbətən böyükdür. Lakin elastiklik nəzəriyyəsində hər yerdə qəbul edilən, deformasiyaların kiçik olması fərziyyəsi məhz bu fakta əsaslanır. Eninə dilatasiya əmsalı (Puasson ədədi) μ ölçüsüzdür və həmişə 0 ilə 1/2 arasında olur.
Komponent deformasiyalarla yerdəyişmələr arasındakı əlaqələr. Bu əlaqələr tənliklərlə (3), (4) verilmişdir. Onlar sırf həndəsi xarakter daşıyır. Bu üç sistem 3+6+6=15 tənlik verir 15 naməlum üçün, yəni 6 komponent gərginlik, 6 komponent deformasiyalar və 3 komponent yerdəyişmələr üçün. Buna görə də onlar bu naməlumların müəyyən edilməsi üçün kifayət edir. Belə geniş diferensial tənliklər sisteminin riyazi həlli, əlbəttə ki, yalnız xüsusi hallarda mümkündür. Əgər tənlikdə (8) komponent deformasiyalar tənliklərə (3) və (4) əsasən komponent yerdəyişmələrlə əvəz edilərsə və sonra normal gərginliklər σ və kəsici gərginliklər τ, tənliklərə (8 d - f) əsasən tarazlıq şərtlərinə, yəni tənlikə (7), daxil edilərsə, elastiklik nəzəriyyəsinin əsas tənlikləri adlanan diferensial tənliklər alınır.
(9)
bu zaman 
ilə Laplas operatoru göstərilmişdir. (2)-ə əsasən bunlar μ, ν, ω üç komponent yerdəyişməsi olan üç diferensial tənlikdir; bunlardan isə diferensiallaşdırma yolu ilə (3), (4) və (8) əsasında bütün komponent gərginliklər və deformasiyalar əldə edilə bilər. (9) tənlikləri çox vaxt xüsusi hallarının öyrənilməsi üçün əlverişli başlanğıc nöqtəsi yaradır.
Deformasiya işi
Tərif
Daşıyıcıya yük tətbiq ediləndə, xarici qüvvələrin tətbiq nöqtələri elastik yerdəyişmələrə məruz qalır və qüvvələr bu zaman müəyyən iş görür. Bu yolla gətirilən enerji müxtəlif formalara keçə bilər. Əgər yüklənmə qəfil baş verirsə, elə ki deformasiya prosesi xeyli sürətlə gedir, bu enerjinin bir hissəsi kinetik enerjiyə çevrilir və zamanla ya torpağa gedib sonsuzluqda itən elastik dalğa şəklində ötürülərək, ya da daxili sürtünmə nəticəsində istiliyə çevrilərək yayılır. Yüklər elə yavaş tətbiq olunarsa ki, bu zaman hiss edilən kinetik enerji artımı yaranmasın, yəni sıfırdan başlayaraq tədricən artan yüklər daxili qüvvələrlə daimi tarazlıqda olsun, enerji açıq-aşkar yalnız cismin deformasiya olunmasına sərf edilir və bu halda deformasiya işi adlanır.
Deformasiya işinin hesablanmasını əvvəlcə bir istiqamətdə dartılmaya yüklənmiş kiçik bir hissə üzərində göstərəcəyik (şək. 5).
Mövcud gərginlik σ və uyğun dilatasiya ε müvafiq olaraq dσ və dε artımları keçirsin. Onda dε * dl yolunda σdF qüvvəsi iş görəcəkdir, yəni σdF * dεdl = σdεdV, əgər dV ilə hissəciyin həcmi işarə edilərsə. Əgər gərginlik sıfırdan öz son qiymətinədək artırsa və dilatasiya buna uyğun olaraq 0-dan ε-yə qədər dəyişirsə, vahid həcmə görə ümumi görülən iş belə olacaq:
Eyni qaydada, kəsici gərginlik τ ilə yüklənmiş element üçün də (şək. 6) həcm vahidinə düşən deformasiyaya sərf olunan iş (xüsusi deformasiyaya sərf olunan iş, elastik potensial):
bu zaman dörd qüvvədən yalnız biri, τ * dF, iş görür.
Ümumi halda, elementar hissəyə altı komponent gərginliyin hamısı təsir etdikdə, ayrı-ayrı komponent gərginliklərin işlərinin cəmlənməsi ilə xüsusi deformasiyalaşma işi alınır:
(10)
Bu inteqraların hər birinin yuxarı sərhədinə görə diferensiallaşdırmaqla ən ümumi halda keçərli olan münasibətlər alınır:
(11)
və digər komponent deformasiyaları üçün də eyni qayda keçərlidir. Əgər cisim elastikdirsə, müəyyən edilmiş hər gərginlik vəziyyətinə, yüklənmə və ya yüklərdən azad edilmədən asılı olmayaraq, həmişə eyni deformasiya vəziyyəti uyğun gəlir. Bu halda inteqrallar altında birtəyinli funksiyalar dayanır və yüklənmə zamanı, sonra isə tam boşaldılma zamanı sərf olunan ümumi enerji a = 0 olur, çünki bu halda inteqralın yuxarı hədləri sıfıra çevrilir. Deməli, cismə yüklənmə zamanı verilən ümumi enerji boşaldılma zamanı geri alınır.
Şəkil 6
Şəkil 7
Natamam elastik cisim üçün gərginliklə deformasiyanın bütöv yükləmə və boşaltma dövrü üzrə əlaqəsi təqribən 7 şəklində O A B xətləri ilə göstərildiyi kimidir. Yükləmə zamanı verilən enerji 
OAA sahəsinə bərabərdir, boşaltma zamanı geri qaytarılan enerji isə ABA sahəsinə bərabər olur, beləliklə, ştrixlənmiş sahəyə uyğun iş itirilir (istiliyə çevrilir). Əgər osillasion prosesdə gərginlik periodik olaraq müsbət həddi 
və mənfi həddi 
arasında dəyişirsə, qeyri-elastik deformasiya 7-də kəsik xətlərlə göstərildiyi kimi baş verir və osillasiya periodunun hər birində vahid həcmə düşən DABCD enerjisi istiliyə çevrilir. Deformasiya zamanı deformasiyanın gərginlikdən geri qalması ilə xarakterizə olunan belə davranış elastik histerezis adlanır, DABCD əyrisi isə histerezis halqasıdır.
Deformasiya işi və Huk qanunu
Əgər tənlikdəki (10) inteqrallara Hooke qanunu daxil edilərsə, inteqrasiya aparmaq olar və xüsusi deformasiya işi üçün aşağıdakı ifadələr alınır:
(12a)
(12b)
(12c)
Əgər bu formaların ikincisi tənliyə (11) daxil edilərsə, yenə Hooke qanunu, yəni gərginliklər üzrə həll edilmiş formada tənliklər (8) alınır. Deformasiya işinin komponent deformasiyalardan asılı olması haqqında, (12b) tənliyi ilə göstərildiyi kimi, müddəa buna görə Hooke qanununa ekvivalentdir. (12c) tənliyi gərginliklərə görə diferensiallaşdırıldıqda, alınır
(13)
Bu formalar, formullardan (11) fərqli olaraq, yalnız Hukun qanununa uyğun davranan cisimlər üçün keçərlidir və gərginliklə deformasiya arasındakı əlaqələr fərqli olduqda tətbiq edilə bilməz. Aydındır ki, tənliklərin (13) sağ tərəfində yalnız gərginliklərin yaratdığı komponent deformasiyalar yerləşir, temperatur dəyişikliyi, sürünmə, şişmə, rekristallaşma və s. nəticəsində yarana biləcək bütün digər deformasiyalar isə istisna edilir.
ELASTİKLİK NƏZƏRİYYƏSİNDƏ İNTEQRAL MÜDDƏALAR
Virtual yerdəyişmələr. Potensial enerjinin minimumu prinsipi
Huk qanunu, tənliklər (8) bir tənliklə (12b) əvəz oluna bildiyi kimi, tarazlıq şərti əvəzinə də virtual yerdəyişmələr prinsipi ümumi qüvvəyə malik əsas mexanika qanunu kimi tətbiq oluna bilər. Bu qanun bildirir ki, tarazlıq halları deformasiya vəziyyətinin kiçik dəyişməsi zamanı bütün qüvvələrin yerinə yetirdiyi ümumi işin sıfıra bərabər olması ilə xarakterizə olunur. Əgər elastik yerdəyişmələrin kiçik dəyişmələrini δμ δν, δω kimi işarə etsək, onda tənlik (7) ilə müəyyən edilən həcmi qüvvələr virtual iş görür
və bədənin xarici səthinin dF elementinə təsir edən səthi qüvvələr px, py, pz iş 
burada üçqat inteqral bütöv həcmə, ikiqat inteqral isə cismin bütün xarici səthinə aiddir. Daxili qüvvələrin gördüyü işi hesablamaq üçün tənlik (12b) istifadə olunur, beləliklə vahid həcmə düşən iş üçün alınır
Buna əsasən virtual yerdəyişmələr prinsipi verir
(14)
Əgər X, Y, Z px, py., pz yükləri ağırlıq qüvvəsinin tərkib hissələri (öz çəkisi və xarici yük) kimi qəbul edilərsə, sağ tərəfdəki inteqrallar bu yüklərin itirdiyi potensial enerjini, sol tərəf isə cismin potensial (elastik) enerjisinin artımını göstərir; beləliklə bu prinsip göstərir ki, dayaq və onun üzərində yerləşən yüklərin ümumi potensial enerjisi tarazlıq halında ekstremal qiymətə malikdir. Əgər bu ekstremal qiymət minimumdursa, tarazlıq sabitdir.
Potensial enerjinin minimumu prinsipi (14) tənliyi ilə ifadə olunur, deformasiyanın işi üçün (12b) ifadəsi, deformasiya uyğunluğu şərtləri (5), (6) elastiklik nəzəriyyəsini qurmaq üçün kifayət olan və mahiyyət etibarilə tənliklər sistemi ilə ekvivalent olan tənliklər sistemini təşkil edir. Bu sistem, xüsusilə diferensial tənliklərin (9) ödənilməsi hesablama çətinlikləri yaratdığı hallarda faydalı ola bilər və buna görə də təxmini həll axtarılmalıdır, məsələn, yerdəyişmələr üçün əvvəlcədən bir neçə sərbəst sabit ehtiva edən uyğun forma fərz edilir və bunlar daha sonra (14) tənliyinin ödənilməsi tələbindən müəyyən edilir. Beləliklə, problemi ciddi şəkildə həll etmək yox, yalnız seçilmiş həll formasından əldə edilə bilən ən yaxşı yaxınlaşma alınır. Yaxınlaşmanın kifayət qədər olub-olmaması ilk növbədə qəbul edilmiş həll formasından asılıdır və bu metodun uğurlu tətbiqi buna görə bacarıq və təcrübə tələb edir.
Castigliano prinsipi
Minimum potensial enerji prinsipində deformasiyanın uyğunluq şərtlərini ödəyən bütün deformasiya halları müqayisə olunur və onların arasından uyğun gərginliklərin tarazlıq şərtlərini ödədiyi hallar seçilir, Castigliano prinsipində isə tarazlıq şərtlərini ödəyən bütün gərginlik hallarının müqayisəsi aparılır və onların arasından uyğun deformasiyaların deformasiyanın uyğunluq şərtlərini ödədiyi hallar seçilir. Bu prinsip belə səslənir: mümkün bütün tarazlıq halları içərisində həqiqi olaraq ən kiçik deformasiya işinə uyğun olan hal baş verir. Castigliano prinsipi deformasiya işi üçün tənlik (12c) və tarazlıq şərtləri ilə birlikdə materialların müqavimətinin qurulması üçün kifayət edən tənliklər sistemini təşkil edir. Bu prinsip Hooke qanununu ehtiva etdiyindən, onun tətbiqi imkanları deformasiyaların bu qanunla tam təsvir oluna bilməsi fərziyyəsi ilə bağlıdır. Bu, təkcə materialın xətti elastik davranışını tələb etmir, həm də temperatur dəyişmələrini istisna edir.
Elastiklik hədlərindən yuxarı materialın davranışı
Statik yüklənmə zamanı baş verən hallar
Materialın gərginlik təsiri altında deformasiyası çox mürəkkəb hadisədir, buna görə də onu başa düşmək üçün müxtəlif istiqamətlərdə sadələşdirmək lazımdır. Bu sadələşdirmələrdən biri yüklərin tədricən tətbiq edilməsi fərziyyəsidir; məsələn, dartılma və sıxılma sınaqlarında nümunələr üzərində belə edilir.
Əgər dartılmaya məruz qalan polad çubuq getdikcə artan yüklənməyə məruz qoyularsa və onun dilatasiyası ε ölçülərsə, şək. 8-da göstərilən diaqram alınır. Başlanğıcda dilatasiya çox kiçik olur və gərginliklə mütənasibdir, bunu Hook qanunu tələb edir. Müəyyən bir gərginlikdən sonra mütənasiblik dayanır və dilatasiya daha sürətlə artır. Bu mütənasibliyin sərhədinin dəqiq mövqeyini müəyyən etmək çətindir. Ölçmə nə qədər dəqiqdirsə, o bir o qədər aşağı alınır. Əksər materiallar üçün o, σ = 0-də yerləşir və Hook qanunu həmin halda elastik davranışın yalnız ilk yaxınlaşmasını, koordinat başlanğıcı ətrafında ε = ε (σ) funksiyasının Taylor sırasındakı ilk həddi təmsil edir.
Çubuq boşaldıldıqda müşahidə olunur ki, gərginlik həddən artıq böyük olmadıqda, Hooke qanununa uyğun olaraq deformasiyanın özü də yox olur. Lakin bu da, proporsionallıq sərhədinə yaxın yerləşən, yəni elastiklik həddi deyilən müəyyən bir gərginlik aşılarsa, dəyişir; o zaman ümumi deformasiya elastik (geri dönən) və qeyri-elastik (daimi) hissədən ibarət olur. Elastiklik həddi də dəqiq müəyyən edilə bilməz, ölçmənin dəqiqliyi nə qədər yüksəkdirsə, o qədər aşağı səviyyədə yerləşir. Lakin onun böyük texniki əhəmiyyəti vardır, çünki o, materialların müqaviməti üzrə demək olar ki, bütün hesablamalarda əhəmiyyətlilik sərhədini, eyni zamanda isə ilk daimi zədələrin yarandığı sərhədi göstərir; buna görə də nümunələrin sınağı üçün hansısa qəbul edilmiş konvensiya ilə ciddi şəkildə müəyyən edilir və məsələn, 0.2% sərhədi kimi daimi dilatasiyanın 0.2%-ə çatdığı gərginlik göstərilir.
Elastiklik həddi aşıldıqdan dərhal sonra deformasya sürətlə artır və çılpaq gözlə müşahidə oluna bilər; gərginlik demək olar ki, sabit qaldıqda çubuq fasiləsiz uzanır. Bu gərginliyə axma həddi deyilir. Materialların sınağı üçün hidravlik maşınlarda axmanın başlanmasından sonra az və ya çox aydın gərginlik enməsi də müşahidə oluna bilər; şək. 8-də nöqtəli əyri ilə göstərildiyi kimi; bu halda maksimum yuxarı axma həddi, sonra meydana gələn sabit axma gərginliyi isə aşağı axma həddi adlanır.
Müəyyən dərəcədə, demək olar ki, tam qeyri-elastik olan uzanma əldə edildikdən sonra gərginlik yenidən artmağa başlayır, material möhkəmlənir. Bu yüklənmə sahəsində çubuğun en kəsiyində (qeyri-elastik) yan yığılma nəticəsində nəzərəçarpacaq azalma baş verir və gərginlik-deformasiya diaqramının sonrakı gedişi ilk növbədə gərginliklərin hesablanmasında çubuğa təsir edən dartma qüvvəsi P-nin σ ilkin en kəsiyinə F0 yoxsa cari en kəsiyinə F bölünməsindən asılı olur. Texniki məqsədlər üçün maraqlı olan gərginlik P|F0 -dir. Bu gərginlik materialın möhkəmliyi adlanan maksimumdan keçir və bu maksimum aşıldıqda çubuq bir yerdə güclü şəkildə daralır və qırılır. “Həqiqi gərginlik” P|F dağılmaya qədər artır.
Şəkil 8.
Başqa metallərin davranışı burada təsvir ediləndən bir çox cəhətdən fərqlənir. Axma çox vaxt nəzərə çarpmır, möhkəmlənmə isə elastiklik həddinin aşılmasından dərhal sonra başlayır. Kövrək materiallarda (daş, şüşə, beton) qeyri-elastik deformasiya ümumiyyətlə az olur və cüzi dilatasiya ilə belə dağılma baş verir. Materialın dağılana qədər məruz qaldığı ümumi dilatasiya materialın uzanma qabiliyyətinin (əksi: kövrəkliyinin) ölçüsüdür və bu, polad üçün texniki şərtlərdə dəqiq müəyyən edilir. Lakin dağılmadan dərhal əvvəl sonrakı deformasiya daralmış kəsiyin ətraf sahələrində cəmləndiyindən, ölçü uzunluğu üçün çubuğun daha böyük və ya daha kiçik hissəsinin götürülməsindən asılı olaraq dağılma zamanı dilatasiyanın müxtəlif qiyməti alınır; buna görə də vahid və bir-biri ilə müqayisə oluna bilən nəticələr əldə etmək üçün əvvəlcədən müəyyən bir konvensiya qəbul edilməlidir. Dağılma zamanı dilatasiya adətən belə ölçülür: sınaqdan əvvəl diametri d olan dairəvi çubuqda ölçü uzunluğu Ι = 10 d qeyd olunur və onun uzanmasından ΔΙ dağılma zamanı dilatasiya εs_Ι = _ΔΙ|Ι hesablanır. __ Əgər başqa kəsikli çubuqların sınaqdan keçirilməsi tələb olunursa, ölçü uzunluğu eyni en kəsik sahəsinə malik dairəvi silindrik çubuğun diametrinə görə müəyyən edilir.
Uzunmüddətli yüklənmə
Dartılma sınağının gedişi üçün, qırılmaya qədər yükün 10 m ərzində və ya bir neçə saatda artırılmasının elə də fərqi yoxdur. Lakin yük illərlə və ya onilliklərlə təsir etdikdə, müəyyən şəraitdə müşahidə olunur ki, axma həddindən aşağıda belə, sabit gərginlik altında deformasiya zaman keçdikcə yavaş-yavaş artır. Bu zaman elastik hissə, yəni son boşaltma zamanı aradan qalxan hissə, nəzərəçarpacaq dərəcədə dəyişmir. Uzun müddət ərzində baş verən bu qeyri-elastik deformasiya artımı sürünmə adlanır. Metallarda, qurğuşun istisna olmaqla, sürünmə yalnız yüksək temperaturda əhəmiyyət daşıyır; bununla belə, tikinti mühəndisi üçün o, təzyiq altında az-az verən beton üçün rol oynayır, belə ki, sıxılmış armaturda, əgər belə varsa, gərginlik artır.
Dəyişən yük
Materialın dartılma sınağında alınmış mexaniki xarakteristikalarından konstruksiyaların icazə verilən yüklənməsinin ölçüsü kimi istifadə etmək üçün şərt budur ki, material hər təkrar yüklənmədə bir dəfə zədəsiz daşıdığı gərginliyə davam gətirsin. Bu şərt material tez-tez təkrarlanan yüklənmə və boşalma təsirinə məruz qalırsa, məsələn, tam balanslaşdırılmamış maşınların inersial qüvvələri ilə yüklənmiş daşıyıcılarda olduğu kimi, yerinə yetirilmir. Yüklənmənin kifayət qədər tez-tez təkrarlanması ilə konstruksiya elementi, adi statik sınaqla müəyyən edilən material möhkəmliyindən xeyli aşağı gərginlikdə belə, qırılmaya aparıla bilər. Bu növ qırılma hadisəsinə yorulmadan qırılma deyilir. Materialın davam gətirə bildiyi n yüklənmə dövrlərinin sayı gərginliyin σ böyüklüyündən asılıdır və gərginlik nə qədər kiçikdirsə, bir o qədər böyük olur. Bu asılılığın tipik nümunəsi şək. 9-da göstərilmişdir; oradan görünür ki, material möhkəmliyi üçün aşağı hədd mövcuddur, material onu istənilən qədər böyük yüklənmə dövrləri sayında da daşıyır və buna materialın dinamik möhkəmliyi deyilir. Bu cür diaqramlar (şək. 9) Wöhler əyriləri adlanır.
Şəkil 9.
Konstruksiyaların təhlükəsizliyi
Konstruksiyalar üçün iki hədd yükü əhəmiyyətlidir: ilk daimi zədələrin yarandığı yük (axma həddi) və konstruksiyanın daşıma qabiliyyətinin tükəndiyi, nəticədə onun qırıldığı yük (qırılma həddi). Axma həddindən əvvəl material müqaviməti barədə fərziyyələr ən azı təqribən qüvvədə olduğuna görə (kiçik yerdəyişmələr, Hooke qanunu), daimi deformasiyalara qarşı təhlükəsizlik riyazi çətinlikləri aradan qaldırmağın mümkün olduğu bütün hallarda etibarlı şəkildə qiymətləndirilə bilər. Əgər gərginlik yükə mütənasibdirsə, axma gərginliyinin konstruksiyada yaranan ən böyük gərginliyə nisbəti axmanın baş verdiyi yükün həqiqi yükgə nisbətinə bərabərdir və axmaya qarşı təhlükəsizlik əmsalını təşkil edir. Lakin bir sıra hallarda bu sadə münasibət mövcud olmur: dartılmanın nəzərə alınmadığı əyilmə, qabarmış səthlər arasında sıxılma, strukturu dəyişkən olan sistemlər və, xüsusilə əlverişsiz olan, ox qüvvəsi ilə əyilmə. Bütün bu hallarda yükün nisbətən kiçik artımı gərginliyin böyük artımına səbəb ola bilər və onda adi təhlükəsizlik əmsalını gərginliklərə tətbiq etmək kifayət etmir, onu yükə tətbiq etmək lazımdır.
Axma həddinin aşılmasından qırılmaya qədər baş verən hadisələr əksər hallarda artıq yalnız keyfiyyətcə izlənilə bilər. Material plastikdirsə, axma həddinin ilk dəfə çatıldığı və sonradan sabit və ya cüzi artan gərginlik altında deformasiyaya uğrayan hissələr sonrakı yüklənmənin qəbulunda az iştirak edir, beləliklə, konstruksiyanın qalan, daha az yüklənmiş hissələri, onun quruluşu baxımından mümkün olduqda, daşımanı daha çox öz üzərinə götürür. Gərginlik zirvələrinin bərabərləşdirilməsinə bu meyldə müəyyən təhlükəsizlik ehtiyatı vardır; ayrı-ayrı hissələrin yalnız bir dəfəki əhəmiyyətli yüklənmə nəticəsində yaranmış daimi deformasiyası zərərli deyilsə, bu ehtiyat hesablamada istifadə oluna bilər (hədd yüklənməsi metodu).
Əgər material kövrəkdirsə, ilk daimi zədələnmə çatlarda üzə çıxır, bunun nəticəsində təhlükə altındakı yerdə gərginliyin daha da güclü cəmlənməsi baş verir və bu da dərhal qırılmaya səbəb olur. Yorulma nəticəsində qırılma, dartılabilən materiallarda da kövrək qırılmanın xüsusiyyətlərini daşıyır.
Müxtəlif kəsik müstəviləri üçün gərginliklər arasındakı əlaqələr
Transformasiya tənlikləri
Şək. 1-dəki doqquz komponent gərginliyi üç tarazlıq şərti ilə bağlıdır. Qalan altı kəmiyyət σx, σy, σz τxy, τyz, τzx bir-birindən asılı olmayaraq, elastiklik nəzəriyyəsinin diferensial tənliklərinin çıxarılmasından göründüyü kimi, istənilən qiymətlər ala bilər. Lakin bu qiymətlər verildikdə, bərk cismin hər hansı bir nöqtəsində gərginlik vəziyyəti tam müəyyən olunur, yəni bir-birinə perpendikulyar üç səth üçün gərginliklər məlum olduqda, verilmiş nöqtədən keçən və normali istənilən istiqamətə malik olan dördüncü səth üçün gərginlik də birmənalı müəyyən edilə bilər.
Şəkildə 10 OABC tetraedri göstərilmişdir; onun üç tərəfi x, y, z koordinat sisteminin müstəvilərinə paraleldir, dördüncü tərəf isə ABC = dF. kimi istənilən istiqamətli səth elementini təşkil edir. Onun istiqamətini və onun vasitəsilə ötürülən gərginliyin istiqamətini göstərmək üçün ikinci koordinat sistemi daxil edilir; bu sistemin ξ oxu dF.-yə perpendikulyardır.
Şəkil 10
Bu tetraedrə ξ oxu istiqamətində təsir edən qüvvələrin tarazlıq şərti verir
Əgər nəzərə alsaq ki,
alınır
və buna bənzər şəkildə η oxu istiqamətində tarazlıq şərtindən:
Bunlar koordinatların çevrilməsi zamanı gərginliklərin hesablanması üçün istifadə olunan tənliklərdir. Xüsusi əhəmiyyət daşıyan odur ki, yalnız dF səthinin elə elementləri nəzərə alınsın ki, burada ξ-oxu z-oxu ilə üst-üstə düşsün. Bu hal üçün düsturları əvvəlki düsturları sadələşdirməklə və ya birbaşa 11 şəkildən oxumaq olar:
Şəkil 11
Normal gərginlik α = α0 istiqamətləri üçün ekstremal qiymətlər alır; bu istiqamətlərdə dσξ/dα = 0. Diferensiallaşdırma nəticəsində tənlikdən (16) alınır
və bu ifadə sıfıra bərabərləşdirildikdə
Gərginlik τξη eyni zamanda bu müstəvilərdə tam kəsici gərginlik olacaq, əgər τyz = τzx = 0. Onda tənliklə (17) bir-birinə perpendikulyar iki istiqamət müəyyən olunur, hansı ki: 1. tam kəsici gərginlik sıfırdır və, 2. normal gərginlik ekstremal qiymətlərə (maksimum və minimum) malikdir. Bu istiqamətlər baş gərginlik istiqamətləri adlanır, uyğun gərginliklər isə baş gərginliklər adlanır. Onlar σ1 və σ2 ilə işarə olunur və birbaşa düsturdan hesablana bilər
Möhr dairəsi
Tənliklər (16) əyani şəkildə qrafik olaraq göstərilə bilər. Bunun üçün onları aşağıdakı formaya çevirmək lazımdır:
Bu tənliklər σ, τ koordinat sistemində şəkil 12-də çəkilmiş çevrənin tənliyinin parametik formasını göstərir; mərkəzinin koordinatları σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 və radiusu
Bu çevrə Mohr çevrəsi adlanır. Əgər x nöqtəsindən x =const. kəsiyinə paralel bir düz xətt çəkilərsə, hansı üzərindən σx, τxy gərginlikləri ötürülür, o, çevrəni p adlanan nöqtədə kəsəcək; bu nöqtə Mohr çevrəsinin qütbü adlanır. Bu qütbdən çəkilən hər bir pξ düz xətti çevrəni ξ nöqtəsində kəsir və bu nöqtə pξ ilə paralel kəsik üzərindən ötürülən σξ, τξη gərginliklərini müəyyən edir.
Mör dairəsi çəkilərkən kəsici gərginliklərin işarəsi baxımından nəzərə almaq lazımdır ki, əgər onlar şək. 12c-də göstərilən istiqamətə malikdirsə, yuxarıya doğru tətbiq olunurlar. Buna görə də bir-birinə konjuqə olunmuş iki gərginlikdən τxy, τyx biri həmişə müsbət, digəri isə mənfi olur.
Normal gərginliklərin həddi qiymətlərinə σ1, σ2 dairədəki 1 və 2 nöqtələri uyğun gəlir, _p_1 və _p_2 düz xətləri isə əsas gərginliklərin istiqamətlərini göstərir.
x-y müstəvisində yerləşən gərginliklərin Mahr dairəsi ilə təsvir edilməsi bu müstəviyə perpendikulyar σz, τxz, τyz gərginlikləri barədə heç bir fərziyyəyə bağlı deyil.
Şəkil 12
Deməli, bu, ən ümumi üçölçülü gərginlik vəziyyətinə də aiddir, əgər yalnız hamısı burada z və ξ oxu kimi seçilmiş eyni düz xəttdən keçən kəsik müstəvilər müqayisə olunursa. Ümumi çevirmə tənliklərinə (15) görə normal gərginlik σ heç bir kəsik müstəvisi üçün sonsuz ola bilmədiyindən, o, bir müstəvi üçün sonlu maksimum σ1, digər müstəvi üçün isə minimum σ3 olmalıdır; bunların hər ikisi, təbii ki, mənfi də ola bilər. Əgər σ1 və σ3 vektorlarından keçən müstəvi götürülüb Mohr çevrəsi çəkilərsə (şək. 13)
Şəkil 13
bu müstəvidə yerləşən gərginliklər üçün (yəni bu müstəviyə perpendikulyar olan bütün istiqamətlər üçün), onda σ1 və σ3 yarana bilən ən böyük və ən kiçik normal gərginliklərdir və buna görə də bir-birinə perpendikulyar olmalıdırlar. Əgər 1 və 3 istiqamətləri 2 istiqaməti ilə tamamlanaraq bu üç istiqamət düzbuçaqlı koordinat sistemi əmələ gətirirsə və 1 ~2 və 2 ~ 3 müstəviləri üçün Mahr çevrələri çəkilərsə, onda σ2 bu çevrələrdən biri üçün ən böyük, digəri üçün isə ən kiçik normal gərginlikdir və buna görə də 1, 2 və 3 istiqamətlərinə perpendikulyar kəsiklərdə kəsici gərginlik sıfıra bərabərdir. Bir-birinə perpendikulyar olan, kəsici gərginliklərin uyğun gəlmədiyi üç normal gərginlik σ1, σ2 və σ3 baş gərginliklər adlanır.
Axma həddi və dağılma həddi gərginliyin məkan vəziyyətində
Gərginlik vəziyyəti bir-, iki- və ya üçölçülü, başqa sözlə xətti, yastı və ya məkan vəziyyəti adlanır; bu, əsas gərginliklərdən birinin, ikisinin və ya üçünün sıfırdan fərqli olub-olmamasından asılıdır. Ən çox tətbiq olunan konstruktiv hissələrdə, yəni dartılan, sıxılan və əyilən çubuqda gərginlik vəziyyəti, ən çox yüklənmiş yerlərdə belə, birölçülüdür; material sınaqlarında icazə verilən gərginlikləri müəyyən etmək üçün demək olar ki, yalnız tətbiq olunan dartılma, sıxılma və ya əyilmə sınaqlarında da eyni hal var. Əksinə, öz müstəvisi daxilində və ya ona perpendikulyar yüklənmiş lövhələrdə, eləcə də qabıqlarda gərginlik vəziyyəti ikiölçülüdür, bəzi hallarda isə üçölçülü gərginlik vəziyyətləri də meydana çıxır, buna görə də birölçülü gərginlik vəziyyətində müəyyən edilmiş axma və sınma hədləri əsasında məkan gərginlik vəziyyətində materialın davranışı barədə nəticə çıxarmaq lazımdır.