Základy
Naloga trdnosti materialov je ugotoviti, katere zunanje sile lahko prenese trdno telo (npr. stavba, konstrukcijski del ali zemlja). Da bi odgovorili na to vprašanje, izhajamo iz dveh kriterijev: po eni strani napetosti ne smejo preseči določenih meja, ki so odvisne od vrste materiala, po drugi strani pa mora biti ravnotežje med zunanjimi in notranjimi silami stabilno. V skladu s tem lahko vse probleme trdnosti materialov razdelimo na »probleme napetosti« in »probleme stabilnosti.«
Pri palicah in nosilcih ter nosilcih, sestavljenih iz njih (rešetke, okvirji), se določanje napetosti izvaja v dveh korakih, in sicer tako, da se najprej na podlagi danih zunanjih sil izračuna rezultanta notranjih sil, ki se prenašajo prek prečnega prereza, nato pa se iz teh »presečnih sil« določijo napetosti. Prvi del postopka predstavlja posebno, obsežno disciplino, statiko gradbenih konstrukcij, ki ima razvite svoje metode in se običajno ločuje od odpornosti materialov, katere naloga se omejuje na določanje napetosti iz danih presečnih sil.
Osnovni pojmi odpornosti materialov
K definícii napätia sa dospieva prostredníctvom nasledujúcich základných úvah. Nech na teleso pôsobí rovnovážna sústava vonkajších síl. Predstavme si, že sme teleso ľubovoľným rezom rozdelili na dve časti a jednu z nich odstránili spolu so silami, ktoré na ňu pôsobia; potom sa jej pôsobenie na druhú časť, aby rovnováha síl a rozloženie deformácií zostali nezmenené, musí nahradiť doplnkovými silami prenášanými cez plochu rezu. Tieto “vnútorné” sily sú nepretržite rozložené po ploche rezu, takže každému prvku plochy dF zodpovedá sila dβ. Ak sa vytvorí podiel dβ dF a vykoná sa hraničný prechod dF -> 0, potom tento podiel smeruje k hraničnej hodnote, ktorá sa nazýva napätie. Napätie v určenom prvku plochy je, podobne ako dβ, a možno ho rozložiť na zložku normálnu a tangenciálnu na dF, normálne napätie σ šmykové napätie τ.
Ak sa cez ten istý bod vedú rezy v rôznych smeroch, budú im zodpovedať aj rôzne napätia. Najmä ak sa z telesa vyberie elementárny kváder, znázornený na obr. 1, na každej z jeho šiestich plôch bude pôsobiť vektor napätia, ktorý sa môže rozložiť na tri zložky v smere súradnicových osí x, y, z. Napätia pôsobiace na protiľahlých stranách plochy sa, prirodzene, líšia len o diferenciál, takže treba rozlišovať 3 * 3 = 9 zložkových napätí, ktoré sa označujú takto:
Normálnym napätiam σ sa priraďuje index osi, v ktorej smere ležia, a považujú sa za kladné, ak vyvolávajú ťah, záporné, ak vyvolávajú tlak. Šmykové napätia τ dostávajú dva indexy, prvý z nich je rovnaký ako index príslušného normálneho napätia a druhý sa vzťahuje na os, v smere ktorej šmykové napätie pôsobí. Ak je kladný smer príslušného normálneho napätia v smere kladnej (záporné) súradnicovej osi, aj šmykové napätie sa považuje za kladné, ak pôsobí v smere kladnej (záporné) súradnicovej osi.
Obrázok 1.
Konjugiranost strižnih napetosti
Če za elementarni kvader, sl. 1, postavimo pogoj, da je moment vseh sil glede na os x enak nič, dobimo τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Iz tega in iz dveh ustreznih enačb za osi y in z sledi, da so strižne napetosti z enakimi indeksi med seboj enake τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponentne deformacije
Da imajo prej opredeljene napetosti fizikalni pomen, izhaja iz njihove povezave z deformacijo, ki jo doživlja vsako telo pod vplivom zunanjih sil. Sl. 2 prikazuje elementarni kvader, ki je bil pred deformacijo pravokoten in je imel dolžine robov dx, dy, dz. Dolžine robov po deformaciji lahko označimo z dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; količniki εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz se imenujejo raztezki. To so količine brez dimenzije in so pri vseh materialih, ki pridejo v poštev v gradbeništvu, majhne glede na 1. Poleg podaljšanja robov lahko elementarni kvader dx * dy * dz doživi tudi spremembo prvotno pravih kotov med svojimi ploskvami.
Slika 2. komponentna deformacija
Naj bo po deformaciji kot med ravninami, ki se stikajo vzdolž roba OC, enak 
, in podobno naj bo zmanjšanje pravega kota vzdolž roba AO enako γyz, zmanjšanje vzdolž roba OB pa enako γzx. Te tri spremembe kotov γxy, γyz, γzx se imenujejo drsenja in so prav tako vedno majhne glede na 1. S šestimi komponentami ε in γ je popolnoma določena deformacija elementarnega kvadra »deformacija v malem«. Sprememba elementa prostornine d_V = dx * dy * dz_ je ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, od koder, ko zanemarimo produkte raztezkov kot male величine višjega reda, dobimo kubični raztezek ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Premiki
Deformacijo trdnega telesa je mogoče v celoti opisati tudi tako, da se za vsako od njegovih točk določi pomik, ki ga je ta točka utrpela. Če iz opazovanja izločimo pomike končne velikosti, ki ustrezajo pomiku togega telesa, tako da, če je potrebno, v izračunu uvedemo gibljiv koordinatni sistem, so tudi komponentni pomiki μ, ν, ω vedno majhni, njihovi odvodi po koordinatah pa majhni glede na 1. Po tej predpostavki je po sl. 3 dolžina linijskega elementa OA = dx po deformaciji
teda 
(3)
Na podobný spôsob je z obr. 3 vidieť, že šmyk γxy je γ1 + γ2: a tiež
(4)
Slika 3 drsenje
(5) 
(6)
Te zveze imenujemo pogoji kompatibilnosti in izražajo, da se deformirani elementi lahko sestavijo kot mozaik tako, da je prostor pri tem neprekinjeno zapolnjen, česar pa ni mogoče doseči, če so deformacije elementov poljubne. Pogoji kompatibilnosti so diferencialne enačbe, zato so seveda vseh šest komponent deformacije za vsak posamezni kvader med seboj neodvisnih, vendar je njihov razpored v vsakem končno razprostrtem območju vezan s pogoji (5) in (6).
Ker so ti pogoji dobjeni z diferenciranjem iz enačb (3) in (4), se pri njihovem izvajanju izgubi del zvez, vsebovanih v prvotnih enačbah. Zato ni dovolj, da je izpolnjen samo en od teh dveh sistemov enačb, temveč morata biti izpolnjena oba sistema enačb, če želimo zagotoviti skladnost deformacije.
Diferencialne enačbe sistema elastičnosti
Za izračun napetosti in deformacij pri elastičnih telesih služijo naslednje enačbe:
Pogoji ravnotežja volumskega elementa. Pogoji, da so momenti okoli treh osi enaki nič, so bili že uporabljeni pri izpeljavi enačbe (1). Pogoji ravnotežja sil dajejo po sl. 4
Obrázok 4
(7a-c)
Ak sa písmenami X, Y, Z označia zložky objemových síl (napr. tiaž, odstredivá sila) na jednotku objemu. Vzťahy medzi napätiami a deformáciami. Pod tým sa rozumie vzťah medzi zložkovými napätiami a zložkovými deformáciami. V teórii pružnosti prichádza spravidla do úvahy iba lineárny vzťah, ktorý sa vyjadruje Hookeovým zákonom:
(8a-c)
(8d-f)
Če se enačbe (8a-c) rešijo po napetostih, dobimo
(8 a)
kso in dve ustrezni enačbi. Hookeov zakon, izražen z enačbo (8), ne predstavlja strogo izpolnjenega naravnega zakona, temveč idealizacijo dejanskega obnašanja, ki od njega bolj ali manj odstopa, odvisno od materiala in velikosti napetosti. Ker matematična obravnava problema odpornosti materialov s zapletenimi, nelinearnimi zvezami med napetostmi in deformacijami povzroča neprimerno večje težave in jo je mogoče v resnici izpeljati le v najpreprostejših primerih, morajo tudi pri tistih materialih (beton!), katerih obnašanje znatno odstopa od Hookeovega zakona, uporabljati izračuni, ki temeljijo nanj, kot prvo in večinoma tudi edino približno rešitev, ki je navsezadnje praviloma zelo uporabna in daje vpogled, ki je več kot le kakovosten. G = E|2 (1+μ).
To nujno sledi iz zveze med napetostjo in deformacijo (8), iz enačb transformacije (16) za napetosti in ustreznega sistema enačb za komponentne deformacije E in G imata dimenzijo napetosti in sta pri vseh gradbenih materialih velika glede na napetosti σ in τ, ki se lahko pojavijo. Na tem dejstvu temelji povsod v teoriji elastičnosti sprejeta predpostavka, da so deformacije majhne. Koeficient prečne razteznosti (Poissonovo število) μ je brez dimenzije in se vedno nahaja med 0 in 1/2 .
Povezave med komponentnimi deformacijami in pomiki. Te povezave so podane z enačbami (3), (4). So povsem geometrijske narave. Ti trije sistemi dajejo 3+6+6=15 enačb za 15 neznank, tj. za 6 komponentnih napetosti, 6 komponentnih deformacij in 3 komponentnih pomikov. Zato zadoščajo za določanje teh neznank. Matematično obvladovanje tako obsežnega sistema diferencialnih enačb je, razumljivo, mogoče le v posebnih primerih. Če v enačbi (8) komponentne deformacije nadomestimo s komponentnimi pomiki po enačbah (3) in (4) ter nato normalne napetosti σ in strižne napetosti τ, po enačbah (8 d - f), uvedemo v pogoje ravnotežja, en. (7), dobimo diferencialne enačbe, ki se imenujejo osnovne enačbe teorije elastičnosti.
(9)
pri čemer je 
označen Laplaceov operator. Glede na (2) so to tri diferencialne enačbe s tremi komponentnimi pomiki μ, ν, ω; iz teh pa je z diferenciiranjem na podlagi (3), (4) in (8) mogoče dobiti vse komponentne napetosti in deformacije. Enačbe (9) predstavljajo pogosto primerno izhodišče za preučevanje posebnih primerov.
Deformacijsko delo
Definícia
Ko je nosilec obremenjen, točke delovanja zunanjih sil doživljajo elastične pomike, sile pa pri tem opravijo določeno delo. Na ta način dovedena energija lahko preide v različne oblike. Če obremenitev deluje nenadno, tako da ima proces deformacije precejšnjo hitrost, se del te energije pretvori v kinetično energijo, ki se sčasoma razprši, bodisi tako, da se prenese v tla kot elastični val, ki v neskončnosti izzveni, bodisi tako, da se zaradi notranjega trenja pretvori v toploto. Če se obremenitve nanašajo tako postopoma, da pri tem ne nastane opazen porast kinetične energije, torej da so obremenitve, ki postopoma rastejo od ničle, v stalnem ravnovesju z notranjimi silami, se energija očitno izključno porablja za deformiranje telesa in se takrat imenuje deformacijsko delo.
Výpočet deformačnej práce najprv ukážeme na časti zaťaženej ťahom v jednom smere (obr. 5).
Naj obstoječa napetost σ in ustrezen raztezek ε doživita prirastka dσ in dε. Tedaj bo sila σdF na poti dε * dl opravila delo σdF * dεdl = σdεdV, če za dV označimo prostornino delca. Če napetost narašča od nič do svoje končne vrednosti in raztezek skladno s tem od 0 do ε, bo skupno opravljeno delo na enoto prostornine znašalo:
Podobno je tudi pri elementu, obremenjenem s strižno napetostjo τ (sl. 6), deformacijsko delo na enoto prostornine (specifično deformacijsko delo, elastični potencial):
pričom iba jedna zo štyroch síl τ * dF vykonáva prácu.
V splošnem primeru, ko na elementarni del deluje vseh šest komponent napetosti, dobimo specifično deformacijsko delo s seštevanjem del posameznih komponent napetosti:
(10)
Z diferenciacijo po zgornji meji vsakega od teh integralov dobimo odnose, ki veljajo v najbolj splošnem primeru:
(11)
in podobno za ostale komponentne deformacije. Če je telo elastično, vsakemu določenemu napetostnemu stanju vedno ustreza isto stanje deformacije, ne glede na to, ali je stanje doseženo pri obremenjevanju ali razbremenjevanju. Tedaj so pod integrali enoznačne funkcije in skupna energija, porabljena pri obremenitvi ter nato popolnem razbremenjevanju, je a = 0, glede na to, da v tem primeru zgornje meje integralov postanejo nič. Zato se skupna energija, dovedena telesu pri obremenitvi, pri razbremenjevanju vrne.
Obrázok 6
Obrázok 7
Za nepopolnoma elastično telo ima zveza med napetostmi in deformacijami za ves cikel obremenjevanja in razbremenjevanja obliko, ki je približno prikazana na sl. 7 z linijami O A B. Energija 
, dovedena pri obremenitvi, je enaka površini OAA, energija, vrnjena pri razbremenjevanju, pa površini ABA, tako da se izgubi (pretvori v toploto) delo, ki ustreza šrafirani površini. Če se v oscilacijskem procesu napetost periodično spreminja med pozitivno mejno vrednostjo 
in negativno mejno vrednostjo, 
, neelastična deformacija poteka podobno, kot je prikazano s prekinjenimi črtami na sl. 7 in se pri vsaki periodi nihanja na enoto prostornine pretvori v toploto energija DABCD. Takšno obnašanje pri deformaciji, pri katerem deformacija zaostaja za napetostjo, se imenuje elastični histerezis, krivulja DABCD pa histerezna zanka.
Deformacijsko delo in Hookov zakon
Če se v integrale v enačbi (10) vpelje Hookov zakon, je mogoče izvesti integriranje, zato za specifično deformacijsko delo dobimo izraze:
(12a)
(12b)
(12c)
Če se v enačbo (11) vstavi druga od teh oblik, se ponovno dobi Hookov zakon, enačba (8), v obliki, rešeni po napetostih. Trditev, da deformacijsko delo zavisi od komponent deformacije, kot je prikazano z enačbo (12b), je zato ekvivalentna Hookeovemu zakonu. Ko se enačba (12c) diferencira po napetostih, se dobi
(13)
Te oblike, za razliko od oblik (11), veljajo samo za telesa, ki se obnašajo po Hookovem zakonu, in jih ni mogoče uporabiti, kadar so zveze med napetostmi in deformacijami drugačne. Razumljivo je, da so na desni strani enačb (13) le komponentne deformacije, povzročene z napetostmi, izključene pa so vse ostale, ki bi lahko nastale zaradi spremembe temperature, lezenja, nabrekanja, rekristalizacije itd.
INTEGRALNI STAVKI V TEORIJI ELASTIČNOSTI
Virtuálne posuny. Princíp minima potenciálnej energie
Tako kot lahko Hookov zakon, enačbe (8), zamenja ena sama enačba (12b), je mogoče tudi namesto ravnotežnih pogojev uvesti načelo virtualnih pomikov kot splošno veljaven osnovni zakon mehanike. Ta zakon izraža, da so ravnotežna stanja značilna po tem, da je pri njih skupno opravljeno delo vseh sil pri majhni spremembi deformacijskega stanja enako nič. Če majhne spremembe elastičnih pomikov označimo z δμ δν, δω, potem prostorninske sile, definirane z enačbo (7), opravljajo virtualno delo
a povrchové sily px, py, pz pôsobiace na prvok dF vonkajšieho povrchu telesa vykonajú prácu 
pri čemer se trojni integral nanaša na celoten volumen, dvojni pa na celotno zunanjo površino telesa. Za izračun dela, ki ga opravljajo notranje sile, se uporablja enačba (12b), zato se za delo na enoto volumna dobi
Na tej podlagi načelo virtualnih premikov daje
(14)
Ak sa zaťaženia X, Y, Z px, py., pz chápu ako zložky tiaže (vlastná hmotnosť a vonkajšie zaťaženie), integrály na pravej strane predstavujú potenciálnu energiu, ktorú tieto zaťaženia stratili, zatiaľ čo ľavá strana predstavuje prírastok potenciálnej (elastickej) energie telesa, takže tento princíp vyjadruje, že celková potenciálna energia nosníka a zaťažení, ktoré na ňom ležia, má v prípade rovnováhy extrémnu hodnotu. Ak je táto extrémna hodnota minimum, rovnováha je stabilná.
Načelo minimalne potencialne energije, izraženo z enačbo (14), izraz (12b) za deformacijsko delo, pogoji skladnosti deformacij (5), (6) predstavljajo sistem enačb, ki zadošča za izgradnjo teorije elastičnosti in je v osnovi ekvivalenten sistemu enačb. Ta sistem je lahko posebej koristen v primerih, ko izpolnjevanje diferencialnih enačb (9) predstavlja računske težave in je zato treba iskati približno rešitev, npr. za pomike se vnaprej predpostavi primerna oblika, ki vsebuje nekaj prostih konstant, te pa se določijo iz zahteve, da je enačba (14) izpolnjena. Tako sicer ne dobimo stroge rešitve problema, temveč le najboljšo približavo, ki jo je mogoče doseči z izbrano obliko rešitve. Ali je približek dovolj dober, je odvisno predvsem od sprejete oblike rešitve, uspešna uporaba te metode pa zato zahteva spretnost in izkušnje.
Castiglianov princíp
Kým pri princípe minima potenciálnej energie sa porovnávajú všetky stavy deformácie, ktoré spĺňajú podmienky kompatibility deformácií, a spomedzi nich sa vyberajú tie, pre ktoré príslušné napätia spĺňajú podmienky rovnováhy, pri Castiglianovom princípe sa porovnávajú všetky stavy napätia, ktoré spĺňajú podmienky rovnováhy, a spomedzi nich sa vyberajú tie, pre ktoré príslušné deformácie spĺňajú podmienky kompatibility deformácií. Tento princíp znie: zo všetkých možných rovnovážnych stavov nastáva skutočne ten, ktorému zodpovedá najmenšia deformačná práca. Castiglianov princíp spolu s rovnicou (12c) pre deformačnú prácu a podmienkami rovnováhy tvorí sústavu rovníc, ktorá je dostatočná na konštrukciu odolnosti materiálov. Keďže tento princíp obsahuje Hookeov zákon, možnosť jeho použitia je viazaná na predpoklad, že deformácie možno týmto zákonom úplne opísať. To vyžaduje nielen lineárne elastické správanie materiálu, ale zároveň vylučuje zmeny teploty.
Obnašanje materialov nad mejami elastičnosti
Pojavi pri statični obremenitvi
Deformacija materiala pod vplivom napetosti je zelo zapleten pojav, zato ga je treba na različne načine poenostaviti, da bi ga lahko razumeli. Ena od teh poenostavitev je predpostavka, da se obremenitve nanašajo postopoma, kakor se npr. dela z vzorci pri preizkusu natezanja in tlačenja.
Če je jekleno palico, obremenjeno na nateg, izpostavimo postopoma naraščajoči obremenitvi in merimo njeno dilatacijo ε, dobimo diagram, prikazan na sl. 8. Na začetku je dilatacija zelo majhna in sorazmerna napetosti, kot to zahteva Hookov zakon. Od določene napetosti dalje sorazmernost preneha in dilatacija narašča hitreje. Natančnega položaja meje te sorazmernosti je težko določiti. Bolj ko je meritev natančna, nižje je ta meja. Za večino materialov leži pri σ = 0, Hookov zakon pa tedaj predstavlja le prvo približanje elastičnega obnašanja, prvi člen razvoja v Taylorjevo vrsto funkcije ε = ε (σ) v okolici koordinatnega izhodišča.
Ak sa tyč odľahčí, zistí sa, že keď napätie nebolo príliš veľké, zanikne aj deformácia, v súlade s Hookeovým zákonom. Aj to sa však mení, ak sa prekročí isté napätie ležiace blízko hranice proporcionality, tzv. hranice pružnosti; vtedy sa celková deformácia skladá z elastickej (vratnej) a neelastickej (trvalej) časti. Ani hranica pružnosti sa nedá presne určiť, nachádza sa tým nižšie, čím je presnosť merania väčšia. Keďže však má veľký technický význam, pretože predstavuje medzu platnosti pri takmer všetkých výpočtoch v odolnosti materiálov a zároveň aj hranicu, na ktorej vznikajú prvé trvalé poškodenia, pre skúšanie vzoriek sa ostro definuje nejakou prijatou konvenciou, takže sa napr. ako hranica 0.2% označuje to napätie, pri ktorom trvalá dilatácia dosiahne 0.2%.
Takoj po prekoračitvi meje elastičnosti deformacija naglo narašča in jo je mogoče opaziti s prostim očesom; pri skoraj konstantni napetosti se palica neprekinjeno podaljšuje. Ta napetost se imenuje meja tečenja. Pri hidravličnih strojih za preskušanje materialov je poleg tega po začetku tečenja mogoče opaziti bolj ali manj izrazit padec napetosti; kot je označeno na sl. 8 s črtkano krivuljo; tedaj se maksimum imenuje zgornja meja tečenja, stalna napetost tečenja, ki nato nastopi, pa spodnja meja tečenja.
Ko je dosežena določena dilatacija, ki je skoraj povsem neelastična, napetost začne znova naraščati‚ material se utrjuje. V tem območju obremenitve nastopi opazno zmanjšanje prečnega preseka palice zaradi (neelastične) bočne kontrakcije, nadaljnji potek diagrama napetosti in deformacij pa je predvsem odvisen od tega, ali se pri računanju napetosti σ natezna sila P, ki deluje na palico, deli z začetnim presekom F0 ali trenutnim presekom F. Za tehnične namene je zanimiva napetost P|F0 . Ta napetost doseže maksimum, ki se imenuje trdnost materiala, in ko je ta maksimum presežen, se palica na enem mestu močno zoži in pretrga. “Resnična napetost” P|F narašča do porušitve.
Obrázok 8.
Obnašanje drugih kovin v mnogem odstopa od tukaj opisanega. Tečenje pogosto ni izrazito, utrjevanje pa se začne neposredno po prekoračitvi meje elastičnosti. Pri krhkih materialih (kamen, steklo, beton) so neelastične deformacije sploh majhne in že pri majhni dilataciji pride do porušitve. Skupna dilatacija, ki jo material prestane do porušitve, je mera raztegljivosti (nasprotno: krhkosti) materiala in se pri jeklu natančno predpiše v tehničnih pogojih. Ker pa se neposredno pred porušitvijo nadaljnja deformacija koncentrira na okoliška mesta zoženega prereza, dobimo različno vrednost dilatacije pri porušitvi, odvisno od tega, ali za merilno dolžino vzamemo večji ali manjši del palice, zato je za pridobitev enoznačnih in medsebojno primerljivih rezultatov treba vnaprej sprejeti določeno konvencijo. Dilatacija pri porušitvi se praviloma meri tako, da se na okrogli palici premera d pred preizkusom označi merilna dolžina Ι = 10 d in iz njenega podaljšanja ΔΙ izračuna dilatacija pri porušitvi εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Če je treba preskušati palice drugačnega prereza, se merilna dolžina določi glede na premer krožne valjaste palice, ki ima enako površino preseka.
Dolgotrajna obremenitev
Pre priebeh ťahovej skúšky je pomerne jedno, či sa zaťaženie až do porušenia zvyšuje počas 10 m minút alebo niekoľkých hodín. Ak však zaťaženie pôsobí roky alebo desaťročia, za určitých podmienok sa pozoruje, že aj pod medzou klzu deformácia pri konštantnom napätí v čase pomaly rastie. Pritom sa elastická časť, t. j. tá časť, ktorá pri konečnom odľahčení zmizne, citeľne nemení. Tento nárast neelastickej deformácie, ku ktorému dochádza počas dlhšieho času, sa nazýva creep. Pri kovoch, okrem olova, má creep význam len pri vysokých teplotách; pre stavebného inžiniera však zohráva úlohu pri betóne, ktorý pod tlakom mierne povoľuje, takže napätie rastie v stlačenej výstuži, ak je prítomná.
Spremenljiva obtežba
Da bi bilo mogoče mehanske značilnosti materiala, pridobljene pri preskusu natezanja, uporabiti kot merilo za dopustno obtežbo konstrukcij, mora material pri vsakem ponovnem obremenjevanju prenesti napetost, ki jo je enkrat brez poškodb prenesel. Ta pogoj ni izpolnjen, če je material izpostavljen pogostemu ponavljanju obremenitev in razbremenitev, kot je na primer primer pri nosilcih, obremenjenih z inercialnimi silami nepopolno uravnoteženih strojev. Z dovolj pogostim ponavljanjem obremenitve se lahko konstrukcijski del pripelje do porušitve tudi pri napetosti, ki je daleč pod trdnostjo materiala, določeno z običajnim statičnim preskusom. Ta pojav porušitve se imenuje porušitev zaradi utrujanja. Število n ciklov obremenitve, ki jih material lahko prenese, je odvisno od velikosti napetosti σ, tako da je toliko večje, kolikor manjša je napetost. Tipičen primer te odvisnosti je prikazan na sl. 9, iz katere je razvidno, da obstaja za trdnost materiala spodnja meja, ki jo prenese tudi pri poljubno velikem številu ciklov obremenitve in ki se imenuje dinamična trdnost materiala. Diagrami te vrste (sl. 9) se imenujejo Wöhlerjeve krivulje.
Obrázok 9.
Bezpečnosť konštrukcií
Za konstrukcije sta pomembni dve mejni obtežbi: obtežba, pri kateri nastanejo prve trajne poškodbe (meja tečenja), in obtežba, pri kateri je nosilnost konstrukcije izčrpana, zato se zlomi (meja porušitve). Ker pred mejo tečenja vsaj približno veljajo predpostavke odpornosti materialov (majhni pomiki, Hookov zakon), je varnost pred trajnimi deformacijami mogoče zanesljivo oceniti v vseh tistih primerih, v katerih je mogoče premagati matematične težave. Če je napetost sorazmerna obtežbi, je razmerje napetosti tečenja do največje napetosti, ki se pojavlja v konstrukciji, enako razmerju med obtežbo, pri kateri nastopi tečenje, in dejansko obtežbo, ter predstavlja varnostni faktor proti tečenju. Vendar v številnih primerih ta preprosta zveza ne obstaja: upogib, kadar je izključeno natezanje, pritisk med izbočenimi površinami, sistemi, katerih struktura je spremenljiva, in, kar je posebej neugodna, upogib z osno silo. V vseh teh primerih lahko sorazmerno majhno povečanje obtežbe povzroči veliko povečanje napetosti, in tedaj ni dovolj, da se običajni varnostni faktor uporabi na napetosti, temveč ga je treba uporabiti na obtežbo.
Javy, ktoré sa dejú po prekročení medze klzu až po porušenie, možno vo väčšine prípadov sledovať už len kvalitatívne. Ak je materiál tvárny, časti, v ktorých sa najprv dosiahne medza klzu a ktoré sa ďalej deformujú pri konštantnom napätí alebo pri napätí, ktoré len nepatrne rastie, sa len málo podieľajú na prenášaní ďalšieho zaťaženia, takže ostatné, menej namáhané časti konštrukcie, pokiaľ je to vzhľadom na jej štruktúru možné, sa viac podieľajú na prenose. V tejto snahe o vyrovnanie špičiek napätia spočíva určitá bezpečnostná rezerva, ktorú možno výpočtovo využiť, ak trvalá deformácia jednotlivých častí vzniknutá pri jednom jedinom výraznom zaťažení nie je škodlivá (metóda medzného zaťaženia).
Če je material krhek, se prvo trajno poškodovanje pokaže v razpokah, zaradi katerih pride na ogroženem mestu do še močnejše koncentracije napetosti, ki takoj povzroči zlom. Zlom zaradi utrujanja ima tudi pri raztegljivih materialih značilnosti krhkega loma.
Povezave med napetostmi za različne presečne ravnine
Rovnice transformácie
Devet komponentnih napetosti na sl. 1 je vezanih s tremi ravnotežnimi pogoji. Preostalih šest veličin σx, σy, σz τxy, τyz, τzx lahko neodvisno druga od druge dobijo poljubne vrednosti, kot je razvidno iz izpeljave diferencialnih enačb teorije elastičnosti. Ko pa so te vrednosti podane, je napetostno stanje v neki točki trdnega telesa popolnoma določeno, tj. kadar so znane napetosti za tri med seboj pravokotne ravnine, je mogoče enolično določiti tudi napetost za neko četrto ravnino, ki poteka skozi dano točko in katere normala ima poljuben smerni vektor.
Na sl 10 je prikazan tetraeder OABC, katerega tri stranice so vzporedne z ravninami koordinatnega sistema x, y, z, četrta pa predstavlja poljubno usmerjen površinski element ABC = dF. Da bi označili njegovo smer in smer napetosti, ki se prek njega prenaša, uvedemo drug koordinatni sistem, katerega os ξ je pravokotna na dF.
Obrázok 10
Pogoj ravnotežja sil, ki delujejo na ta tetraeder v smeri osi ξ, daje
Če upoštevamo, da je
získava sa
i podobne z podmienok rovnováhy v smere osi η:
To so enačbe, ki služijo za izračun napetosti pri transformaciji koordinat. Posebej pomembno je, da obravnavamo le take površinske elemente dF, pri katerih se os ξ ujema z osjo z. Obrazce za ta primer lahko dobimo s poenostavitvijo prejšnjih obrazcev ali jih preberemo neposredno s sl. 11:
Prikaz 11
Normalna napetost dosega skrajne vrednosti za smeri α = α0 , za katere je dσξ/dα = 0. Z diferenciranjem se iz enačbe (16) dobi
pa je, ko se ta izraz izenači z nič,
Napetost τξη bo hkrati popolna strižna napetost v teh ravninah, če je τyz = τzx = 0. Tedaj sta z enačbo (17) določeni dve med seboj pravokotni smeri, za kateri: 1. popolna strižna napetost je nič in, 2. normalna napetost ima skrajni vrednosti (maksimum in minimum). Ti smeri se imenujeta smeri glavnih napetosti, ustrezne napetosti pa glavne napetosti. Označujejo se z σ1 in σ2 in jih je mogoče izračunati neposredno iz obrazca
Mohr-ov kruh
Rovnice (16) možno graficky znázorniť názorným spôsobom. Na tento účel ich treba transformovať do tvaru:
Tieto rovnice predstavujú v súradnicovej sústave σ, τ parametrický tvar rovnice kružnice zakreslenej na obr. 12, ktorej súradnice stredu σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 a ktorej polomer
Ta krog se imenuje Mohrjev krog. Če skozi točko x potegnemo premico vzporedno s presekom x = const., preko katerega se prenašajo napetosti σx, τxy, bo ta seka krog v točki p, ki se imenuje pol Mohrjevega kroga. Vsaka premica pξ, potegnjena skozi ta pol, seka krog v točki ξ, ki določa napetosti σξ, τξη, ki se prenašajo prek preseka, vzporednega s pξ.
Glede znaka strižnih napetosti pri risanju Mohrjevega kroga je treba upoštevati, da jih nanašamo navzgor, če imajo smer, prikazano na sl. 12c. Zato je od dveh konjugiranih napetosti τxy, τyx ena vedno pozitivna, druga pa negativna.
Mejnim vrednostim σ1, σ2 normalnih napetosti ustrezata točki 1 in 2 na krogu, premici _p_1 in _p_2 pa podajata smeri glavnih napetosti.
Prikaz napetosti, ki ležijo v ravnini x-y, s pomočjo Mahrjevega kroga ni vezan na nikakršno predpostavko o napetostih σz, τxz, τyz, pravokotnih na to ravnino.
Obrázok 12
To torej velja tudi za najobičajnejše tridimenzionalno napetostno stanje, če primerjamo le tiste presečne ravnine, ki vse potekajo skozi isto premico, ki je tu izbrana za z in ξ os. Ker po splošnih transformacijskih enačbah (15) normalna napetost σ ne more postati neskončna za nobeno presečno ravnino, mora imeti za neko ravnino končni maksimum σ1, za drugo pa minimum σ3, od katerih sta oba, seveda, lahko tudi negativna. Če skozi vektorja σ1 in σ3 potegnemo ravnino in narišemo Mohrjev krog (sl. 13)
Obrázok 13
pre napätia ležiace v tejto rovine (t. j. všetky smery kolmé na túto rovinu), potom sú σ1 a σ3 najväčšie a najmenšie normálové napätia, ktoré sa môžu vyskytnúť, a preto musia byť navzájom kolmé. Ak sa smery 1 a 3 doplnia smerom 2, tak aby tieto tri smery tvorili pravouhlý súradnicový systém, a ak sa nakreslia Mahr-ove kruhy pre roviny 1 ~2 a 2 ~ 3, potom je σ2 pre jeden z týchto kruhov najväčšie a pre druhý najmenšie normálové napätie, a preto je v rezoch kolmých na smery 1, 2 a 3 šmykové napätie rovné nule. Tri navzájom kolmé normálové napätia σ1, σ2 a σ3, ktorým nezodpovedajú šmykové napätia, sa nazývajú hlavné napätia.
Meja tečenja in meja porušitve pri prostorskem stanju napetosti
Stanje napetosti imenujemo eno-, dvo- ali tridimenzionalno, drugače: linearno, ravno ali prostorsko, glede na to, ali so ena, dve ali vse tri glavne napetosti različne od nič. Pri konstrukcijskih delih, ki se najpogosteje uporabljajo, tj. pri nateznem, tlačnem in upogibnem palici, je stanje napetosti, vsaj na najbolj obremenjenih mestih, enodimenzionalno, enako tudi pri preizkusih na nateg, tlak ali upogib, ki se pri preskušanju materialov skoraj izključno uporabljajo za določanje dopustnih napetosti. Nasprotno pa je pri ploščah, obremenjenih v svoji ravnini ali pravokotno nanjo, kakor tudi pri lupinah, stanje napetosti dvodimenzionalno, v nekaterih primerih pa se pojavljajo tudi tridimenzionalna stanja napetosti, zato je treba na podlagi meje tečenja in loma, določene pri enodimenzionalnem stanju napetosti, sklepati o obnašanju materiala v primeru prostorskega stanja napetosti.