Notions de base
La tâche de la résistance des matériaux est de déterminer quelles forces extérieures peut supporter un corps solide (par ex. une construction, un élément de structure ou un terrain). Pour répondre à cette question, on part de deux critères : d’une part, les contraintes ne doivent pas dépasser certaines limites qui dépendent du type de matériau, et d’autre part, l’équilibre entre les forces extérieures et intérieures doit être stable. En conséquence, tous les problèmes de résistance des matériaux peuvent être divisés en « problèmes de contraintes » et en « problèmes de stabilité.
Dans les barres et les poutres ainsi que dans les structures composées de celles-ci (treillis, cadres), la détermination des contraintes s’effectue en deux étapes, de sorte que l’on calcule d’abord, à partir des forces extérieures imposées, la résultante des forces intérieures transmises à travers la section transversale, puis que l’on détermine les contraintes à partir de ces « forces de section ». La première partie de la procédure constitue une discipline particulière et vaste, la statique des constructions, qui possède ses propres méthodes élaborées et qui est généralement séparée de la résistance des matériaux, dont la tâche se ramène à la détermination des contraintes à partir des forces de section données.
Notions fondamentales de la résistance des matériaux
La définition de la contrainte découle des considérations élémentaires suivantes. Supposons qu’un système d’équilibre de forces extérieures agisse sur le corps. Imaginons que nous ayons partagé le corps par une coupe arbitraire en deux parties, et que nous en ayons retiré l’une avec les forces qui agissent sur elle ; alors son action sur l’autre partie, afin que l’équilibre des forces et la répartition des déformations restent inchangés, doit être remplacée par des forces complémentaires transmises à travers la surface de la coupe. Ces forces « internes » sont réparties de manière continue sur la surface de la coupe, de sorte qu’à chaque élément de surface dF correspond une force dβ. Si l’on forme le rapport dβ dF et que l’on effectue la transition limite dF -> 0, alors ce rapport tend vers la valeur limite appelée contrainte. La contrainte dans un élément de surface donné est, comme dβ, et peut être décomposée en composantes normale et tangentielle à dF, contrainte normale σ et contrainte de cisaillement τ.
Si l’on trace des sections passant par un même point dans différentes directions, elles seront associées à des contraintes différentes. En particulier, si l’on isole du corps un cube élémentaire, représenté à la fig. 1, un vecteur de contrainte agira sur chacune de ses six faces, et il peut être décomposé en trois composantes dans les directions des axes x, y et z. Les contraintes agissant sur des faces opposées diffèrent entre elles, bien entendu, seulement d’un différentiel, de sorte qu’il faut distinguer 3 * 3 = 9 composantes de contrainte, qui sont désignées de la manière suivante :
Aux contraintes normales σ est attribué l’indice de l’axe selon lequel elles agissent, et elles sont considérées comme positives si elles provoquent une traction, négatives si elles provoquent une compression. Les contraintes de cisaillement τ reçoivent deux indices, le premier étant identique à celui de la contrainte normale correspondante, et le second se rapportant à l’axe dans la direction duquel agit la contrainte de cisaillement. Si le sens positif de la contrainte normale correspondante est celui de l’axe de coordonnées positif (négatif), la contrainte de cisaillement est elle aussi considérée comme positive si elle agit dans le sens de l’axe de coordonnées positif (négatif).
Figure 1.
Conjugaison des contraintes de cisaillement
Si, pour un parallélépipède élémentaire, fig. 1, on impose que le moment de toutes les forces par rapport à l’axe x soit nul, on obtient τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. De là, et à partir des deux équations correspondantes pour les axes y et z, on déduit que les contraintes de cisaillement ayant les mêmes indices sont égales entre elles τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Déformations des composants
Le fait que les contraintes définies ci-dessus aient un sens physique résulte de leur relation avec la définition que subit tout corps sous l’action de forces extérieures. La fig. 2 montre un parallélépipède élémentaire, qui avant la déformation était rectangulaire et avait pour dimensions dx, dy, dz. Les longueurs des arêtes après déformation peuvent être notées dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz ; les rapports εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz sont appelés dilatations. Ce sont des grandeurs sans dimension et, pour tous les matériaux entrant en ligne de compte dans la construction, petites par rapport à 1. Outre l’allongement des arêtes, le parallélépipède élémentaire dx * dy * dz peut également subir une modification des angles initialement droits entre ses faces.
Image 2. déformation composante
Soit, après la déformation, l’angle entre les plans qui se rencontrent le long de l’arête OC égal à 
et, de même, soit la diminution de l’angle droit le long de l’arête AO égale à γyz, et la diminution le long de l’arête OB égale à γzx. Ces trois variations d’angle γxy, γyz, γzx sont appelées glissements et sont elles aussi toujours petites par rapport à 1. Avec les six composantes ε et γ, la déformation du parallélépipède élémentaire “déformation petite” est entièrement déterminée. La variation de l’élément de volume d_V = dx * dy * dz_ est ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, d’où, lorsque l’on néglige les produits des dilatations comme des quantités petites d’ordre supérieur, on obtient la dilatation cubique ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Déplacements
La déformation d’un corps solide peut également être décrite complètement de cette manière, en donnant à chacun de ses points le déplacement subi par ce point. Si l’on exclut de l’observation les déplacements de grandeur finie correspondant au déplacement d’un corps rigide, en adoptant, si nécessaire, dans le calcul un système de coordonnées mobile, alors les déplacements composantes μ, ν, ω sont toujours de petites grandeurs, et leurs dérivées par rapport aux coordonnées sont petites par rapport à 1. Sous cette hypothèse, d’après la fig. 3, la longueur de l’élément linéaire OA = dx après déformation
donc 
(3)
De même, la fig. 3 montre que le glissement γxy γ1 + γ2 : et aussi
(4)
Figure 3 glissement
(5) 
(6)
Ces relations sont appelées conditions de compatibilité et elles indiquent que les éléments déformés peuvent s’ajuster comme une mosaïque de manière à remplir l’espace de façon continue, ce qui ne peut être obtenu si les déformations des éléments sont arbitraires. Les conditions de compatibilité sont des équations différentielles, de sorte que, bien entendu, les six composantes de déformation de chaque parallélépipède sont mutuellement indépendantes, mais leur répartition dans toute région finie étendue est liée par les conditions (5) et (6).
Comme ces conditions sont obtenues par différenciation des équations (3) et (4), une partie des liaisons contenues dans les équations initiales est perdue lors de leur dérivation. Il ne suffit donc pas qu’un seul de ces deux systèmes d’équations soit satisfait ; les deux systèmes doivent être satisfaits si l’on veut garantir la compatibilité des déformations.
Équations différentielles du système d’élasticité
Pour le calcul des contraintes et des déformations dans les corps élastiques, on utilise les équations suivantes :
Conditions d’équilibre de l’élément volumique. Les conditions selon lesquelles les moments autour des trois axes sont égaux à zéro ont déjà été utilisées lors de la dérivation de l’équation (1). Les conditions d’équilibre des forces donnent, d’après la fig. 4
Figure 4
(7a-c)
Si l’on désigne par X, Y, Z les composantes des forces de volume (p. ex. le poids, la force centrifuge) par unité de volume. Relations entre contraintes et déformations. On entend par là la relation entre les contraintes composantes et les déformations composantes. En théorie de l’élasticité, seule la relation linéaire entre généralement en ligne de compte, laquelle s’exprime par la loi de Hooke :
(8a-c)
(8d-f)
Si les équations (8a-c) sont résolues par rapport aux contraintes, on obtient
(8 a)
kso et deux équations correspondantes. La loi de Hooke exprimée par l’équation (8) ne constitue pas une loi naturelle strictement vérifiée, mais une idéalisation du comportement réel, qui s’en écarte plus ou moins selon le matériau et l’ampleur des contraintes. Étant donné que le traitement mathématique des problèmes de résistance des matériaux avec des relations compliquées et non linéaires entre contraintes et déformations entraîne des difficultés incomparablement plus grandes et ne peut en réalité être mené à bien que dans les cas les plus simples, même pour les matériaux (béton !) dont le comportement s’écarte nettement de la loi de Hooke, les calculs fondés sur celle-ci doivent être utilisés d’abord comme solution approximative, et le plus souvent comme unique solution approximative, qui est d’ailleurs en règle générale très utilisable et fournit une compréhension dépassant le seul niveau qualitatif. G = E|2 (1+μ).
Elle découle nécessairement de la relation entre la contrainte et la déformation (8), des équations de transformation (16) des contraintes et du système d’équations correspondant pour les déformations élémentaires. E et G ont la dimension d’une contrainte et, pour tous les matériaux de construction, ils sont élevés par rapport aux contraintes σ et τ susceptibles d’apparaître. C’est toutefois sur ce fait que repose l’hypothèse adoptée partout dans la théorie de l’élasticité, à savoir que les déformations sont petites. Le coefficient de dilatation transversale (coefficient de Poisson) μ est sans dimension et se situe toujours entre 0 et 1/2 .
Relations entre les déformations des composants et les déplacements. Ces relations sont données par les équations (3), (4). Elles sont de nature purement géométrique. Ces trois systèmes donnent 3+6+6=15 équations pour 15 inconnues, c’est-à-dire pour 6 contraintes des composants, 6 déformations des composants et 3 déplacements des composants. Elles suffisent donc pour déterminer ces inconnues. La résolution mathématique d’un système aussi vaste d’équations différentielles est, bien entendu, possible seulement dans des cas particuliers. Si, dans l’équation (8), les déformations des composants sont remplacées par les déplacements des composants selon les équations (3) et (4), puis si les contraintes normales σ et les contraintes de cisaillement τ, selon les équations (8 d - f), sont introduites dans les conditions d’équilibre, équ. (7), on obtient des équations différentielles appelées équations fondamentales de la théorie de l’élasticité.
(9)
où 
désigne l’opérateur de Laplace. Compte tenu de (2), il s’agit ici de trois équations différentielles à trois déplacements composantes μ, ν, ω ; à partir de celles-ci, par différentiation sur la base de (3), (4) et (8), on peut obtenir toutes les contraintes et déformations composantes. Les équations (9) représentent souvent un point de départ commode pour l’étude de cas particuliers.
Travail de déformation
Définition
Lorsqu’un support est chargé, les points d’application des forces extérieures subissent des déplacements élastiques et les forces accomplissent alors un certain travail. L’énergie ainsi apportée peut se transformer en différentes formes. Si la charge est appliquée brusquement, de sorte que le processus de déformation se déroule à une vitesse considérable, une partie de cette énergie se transforme en énergie cinétique, qui se dissipe avec le temps, soit en étant transmise au sol sous forme d’onde élastique qui se perd à l’infini, soit en étant transformée en chaleur par frottement interne. Si les charges sont appliquées si progressivement qu’il ne se produit pas d’augmentation perceptible de l’énergie cinétique, c’est-à-dire si les charges croissant progressivement à partir de zéro sont en équilibre permanent avec les forces internes, l’énergie est manifestement uniquement consommée à déformer le corps et elle s’appelle alors travail de déformation.
Nous présenterons d’abord le calcul du travail de déformation sur un élément sollicité en traction dans une seule direction (fig. 5).
Soient la contrainte existante σ et la déformation correspondante ε soumises à des accroissements dσ et dε. Alors la force σdF, sur le chemin dε * dl, effectuera le travail σdF * dεdl = σdεdV, si l’on désigne par dV le volume de l’élément. Si la contrainte croît de zéro à sa valeur finale et que la déformation correspondante va de 0 à ε, le travail total effectué par unité de volume sera :
De même, pour un élément soumis à la contrainte de cisaillement τ (fig. 6), le travail de déformation par unité de volume (travail de déformation spécifique, potentiel élastique) :
une seule des quatre forces τ * dF effectue un travail.
Dans le cas général, lorsque les six composantes de contrainte agissent sur un élément infinitésimal, le travail spécifique de déformation s’obtient en additionnant les travaux des différentes composantes de contrainte :
(10)
En différenciant par la borne supérieure de chacun de ces intégrales, on obtient des relations valables dans le cas le plus général :
(11)
et de même pour les autres déformations composantes. Si le corps est élastique, à chaque état de contraintes déterminé correspond toujours le même état de déformation, que l’état soit atteint lors du chargement ou du déchargement. Dans ce cas, les intégrales contiennent des fonctions univoques et l’énergie totale dépensée lors du chargement puis du déchargement complet est a = 0, étant donné que dans ce cas les bornes supérieures des intégrales deviennent nulles. Par conséquent, l’énergie totale fournie au corps lors du chargement est restituée lors du déchargement.
Image 6
Figure 7
Pour un corps partiellement élastique, la relation entre contraintes et déformations pour tout le cycle de chargement et de déchargement prend une forme approximativement représentée sur la fig. 7 par les lignes O A B. L’énergie 
apportée lors du chargement est égale à la surface OAA, et l’énergie restituée lors du déchargement à la surface ABA, de sorte que le travail correspondant à la surface hachurée est perdu (transformé en chaleur). Si, dans un processus oscillatoire, la contrainte varie périodiquement entre la valeur limite positive 
et la valeur limite négative, 
la déformation inélastique évolue de manière similaire à ce qui est montré par les lignes interrompues sur la fig. 7 et, à chaque période d’oscillation, l’énergie DABCD est transformée en chaleur par unité de volume. Un tel comportement lors de la déformation, dans lequel la déformation est en retard sur la contrainte, s’appelle hystérésis élastique, et la courbe DABCD boucle d’hystérésis.
Travail de déformation et loi de Hooke
Si l’on introduit dans les intégrales de l’équation (10) la loi de Hooke, on peut procéder à l’intégration, et on obtient pour le travail spécifique de déformation les expressions :
(12a)
(12b)
(12c)
Si l’autre de ces formes est introduit dans l’équation (11), on obtient de nouveau la loi de Hooke, équations (8), sous la forme résolue par rapport aux contraintes. L’énoncé selon lequel le travail de déformation dépend des composantes de la déformation, comme le montre l’équation (12b), est donc équivalent à la loi de Hooke. Lorsque l’équation (12c) est différenciée par rapport aux contraintes, on obtient
(13)
Ces formes, contrairement aux formes (11), ne valent que pour les corps se comportant selon la loi de Hooke et ne peuvent pas être appliquées lorsque les relations entre contraintes et déformations sont différentes. Il va de soi que, dans le membre de droite des équations (13), ne figurent que les déformations composantes provoquées par les contraintes, en excluant toutes les autres qui auraient éventuellement pu apparaître sous l’effet d’une variation de température, du fluage, du gonflement, de la recristallisation, etc.
PRINCIPES INTÉGRAUX DANS LA THÉORIE DE L’ÉLASTICITÉ
Déplacements virtuels. Principe du minimum d’énergie potentielle
De même que la loi de Hooke, les équations (8) peuvent être remplacées par une seule équation (12b), de même, à la place des conditions d’équilibre, on peut introduire le principe des déplacements virtuels, comme loi fondamentale générale de la mécanique. Cette loi énonce que les états d’équilibre se caractérisent par le fait que le travail total de toutes les forces, lors d’une petite variation de l’état de déformation, est égal à zéro. Si l’on désigne les petites variations des déplacements élastiques par δμ δν, δω, alors les forces volumiques définies par l’équation (7) accomplissent un travail virtuel
et les forces superficielles px, py, pz agissant sur l’élément dF de la surface extérieure du corps travail 
où l’intégrale triple porte sur tout le volume, et l’intégrale double sur toute la surface extérieure du corps. Pour le calcul du travail effectué par les forces internes, on utilise l’équation (12b), d’où l’on obtient, pour le travail par unité de volume,
Le principe des déplacements virtuels donne ainsi
(14)
Si les charges X, Y, Z px, py., pz sont considérées comme des composantes de la pesanteur (poids propre et charge extérieure), les intégrales du côté droit représentent l’énergie potentielle perdue par ces charges, tandis que le côté gauche représente l’accroissement de l’énergie potentielle (élastique) du corps, de sorte que ce principe exprime que l’énergie potentielle totale du porteur et des charges qui y reposent, en cas d’équilibre, prend une valeur extrême. Si cette valeur extrême est minimale, l’équilibre est stable.
Le principe du minimum d’énergie potentielle exprimé par l’équation (14), l’expression (12b) pour le travail de déformation, les conditions de compatibilité des déformations (5), (6) constituent un système d’équations suffisant pour l’élaboration de la théorie de l’élasticité, et qui est en substance équivalent au système d’équations. Ce système peut être particulièrement utile dans les cas où la satisfaction des équations différentielles (9) pose des difficultés de calcul et où il faut donc rechercher une solution approchée, par exemple en supposant d’emblée pour les déplacements une forme convenable contenant plusieurs constantes libres, celles-ci étant ensuite déterminées à partir de l’exigence que l’équation (14) soit satisfaite. On n’obtient certes pas ainsi une solution rigoureuse du problème, mais seulement la meilleure approximation pouvant être atteinte avec la forme de solution choisie. Le caractère suffisant de cette approximation dépend avant tout de la forme adoptée pour la solution, et l’application réussie de cette méthode exige donc habileté et expérience.
Principe de Castigliano
Alors que, dans le principe du minimum d’énergie potentielle, on compare tous les états de déformation qui satisfont aux conditions de compatibilité des déformations et que l’on en extrait ceux pour lesquels les contraintes correspondantes satisfont aux conditions d’équilibre, dans le principe de Castigliano on compare tous les états de contraintes qui satisfont aux conditions d’équilibre et l’on en extrait ceux pour lesquels les déformations correspondantes satisfont aux conditions de compatibilité des déformations. Ce principe énonce : parmi tous les états d’équilibre possibles, l’état réellement réalisé est celui auquel correspond le travail de déformation le plus faible. Le principe de Castigliano, avec l’équation (12c) du travail de déformation et les conditions d’équilibre, forme un système d’équations suffisant pour l’étude de la résistance des matériaux. Étant donné que ce principe contient la loi de Hooke, la possibilité de son application est liée à l’hypothèse que les déformations peuvent être entièrement décrites par cette loi. Cela exige non seulement un comportement élastique linéaire du matériau, mais exclut également les variations de température.
Comportement des matériaux au-delà des limites d’élasticité
Phénomènes sous chargement statique
La déformation du matériau sous l’effet des contraintes est un phénomène très complexe, si bien qu’il faut le simplifier de différentes manières afin de pouvoir le comprendre. L’une de ces simplifications est l’hypothèse selon laquelle les charges sont appliquées progressivement, comme cela se fait, par exemple, avec des éprouvettes lors des essais de traction et de compression.
Si une barre d’acier soumise à une traction est exposée à une charge qui augmente progressivement et que l’on mesure sa dilatation ε, on obtient le diagramme représenté à la fig. 8. Au début, la dilatation est très faible et proportionnelle à la contrainte, comme l’exige la loi de Hooke. À partir d’une certaine contrainte, la proportionnalité cesse et la dilatation augmente plus rapidement. La position exacte de la limite de cette proportionnalité peut difficilement être déterminée. Plus la mesure est précise, plus cette limite est obtenue basse. Pour la plupart des matériaux, elle se situe à σ = 0, et la loi de Hooke ne représente alors qu’une première approximation du comportement élastique, le premier terme du développement en série de Taylor de la fonction ε = ε(σ) au voisinage de l’origine des coordonnées.
Si la barre est déchargée, on constate que, lorsque la contrainte n’a pas été trop élevée, la déformation disparaît également, conformément à la loi de Hooke. Mais cela change aussi lorsqu’une certaine contrainte proche de la limite de proportionnalité est dépassée, la limite dite d’élasticité ; la déformation totale se compose alors d’une partie élastique (réversible) et d’une partie inélastique (permanente). Même la limite d’élasticité ne peut pas être déterminée avec précision ; elle se situe d’autant plus bas que la précision de mesure est plus grande. Toutefois, comme elle a une grande importance technique, car elle représente la limite de validité de presque tous les calculs en résistance des matériaux, et en même temps la limite à laquelle apparaissent les premières détériorations permanentes, elle est définie de manière stricte pour l’essai des éprouvettes par une convention adoptée ; ainsi, par exemple, comme limite 0.2%, on désigne la contrainte pour laquelle la dilatation permanente atteint 0.2%.
Juste après le dépassement de la limite d’élasticité, la déformation augmente brusquement et peut être observée à l’œil nu ; sous une contrainte presque constante, la barre s’allonge en continu. Cette contrainte est appelée limite d’écoulement. Dans les machines hydrauliques d’essai des matériaux, on peut en outre observer, après le début de l’écoulement, une baisse plus ou moins marquée de la contrainte ; comme indiqué à la fig. 8 par la courbe pointillée ; le maximum est alors appelé limite supérieure d’écoulement, tandis que la contrainte d’écoulement constante qui suit est la limite inférieure d’écoulement.
Lorsque l’on atteint un certain allongement, qui est presque entièrement inélastique, la contrainte recommence à augmenter ; le matériau s’écrouit. Dans cette zone de chargement, on observe une diminution sensible de la section transversale de la barre en raison de la contraction latérale (inélastique), et l’évolution ultérieure du diagramme contrainte–déformation dépend avant tout de savoir si, lors du calcul de la contrainte σ, la force de traction P agissant sur la barre est divisée par la section initiale F0 ou par la section instantanée F. À des fins techniques, la contrainte P|F0 est intéressante. Cette contrainte passe par un maximum appelé résistance du matériau et, une fois ce maximum dépassé, la barre s’amincit fortement en un point et se rompt. La « contrainte réelle » P|F augmente jusqu’à la rupture.
Figure 8.
Le comportement des autres métaux s’écarte dans une large mesure de celui décrit ici. L’écoulement n’est souvent pas marqué, et l’écrouissage commence immédiatement après le dépassement de la limite d’élasticité. Dans les matériaux fragiles (pierre, verre, béton), les déformations inélastiques sont généralement faibles et la rupture survient déjà pour de faibles allongements. L’allongement total que le matériau subit jusqu’à la rupture est une mesure de l’allongeabilité (inverse : la fragilité) du matériau, et il est précisément prescrit pour l’acier dans les conditions techniques. Toutefois, comme juste avant la rupture la déformation supplémentaire se concentre sur les zones voisines de section rétrécie, on obtient une valeur différente de l’allongement à la rupture selon que l’on adopte pour longueur de mesure une partie plus grande ou plus petite de la barre, de sorte qu’il faut, pour obtenir des résultats sans ambiguïté et comparables entre eux, adopter au préalable une convention déterminée. En règle générale, l’allongement à la rupture est mesuré en marquant sur une barre ronde de diamètre d, avant l’essai, la longueur de mesure Ι = 10 d et en calculant à partir de son allongement ΔΙ l’allongement à la rupture εs_Ι = ΔΙ|Ι._ Si l’on doit examiner des barres de section différente, la longueur de mesure est déterminée en fonction du diamètre de la barre cylindrique circulaire qui a la même aire de section.
Charge de longue durée
Pour le déroulement de l’essai de traction, il importe assez peu que la charge jusqu’à la rupture augmente en l’espace de 10 m minutes ou de plusieurs heures. Cependant, si la charge agit pendant des années ou des dizaines d’années, on observe dans certaines conditions que, même au-dessous de la limite d’écoulement, la déformation sous contrainte constante augmente lentement avec le temps. La partie élastique, c’est-à-dire la partie qui disparaît lors du déchargement final, ne change pas sensiblement. Cette augmentation de la déformation inélastique qui se produit au cours d’une longue durée s’appelle le fluage. Pour les métaux, sauf le plomb, le fluage n’a d’importance qu’à haute température ; en revanche, pour l’ingénieur civil, il joue un rôle dans le béton qui se relâche légèrement sous compression, de sorte que la contrainte augmente dans l’armature comprimée, si elle existe.
Charge variable
Pour que les caractéristiques mécaniques du matériau, obtenues lors de l’essai de traction, puissent être utilisées comme critère de charge admissible des structures, il faut que le matériau supporte, à chaque rechargement, une contrainte qu’il a déjà supportée une fois sans dommage. Cette condition n’est pas remplie si le matériau est soumis à des chargements et déchargements fréquents, comme c’est, par exemple, le cas des poutres soumises aux forces d’inertie de machines imparfaitement équilibrées. Par des répétitions suffisamment fréquentes des chargements, un élément de structure peut être amené à la rupture même sous une contrainte très inférieure à la résistance du matériau déterminée par un essai statique ordinaire. Ce type de rupture est appelé rupture par fatigue. Le nombre n de cycles de chargement que le matériau peut supporter dépend de la valeur de la contrainte σ, de sorte qu’il est d’autant plus grand que la contrainte est plus faible. Un exemple typique de cette dépendance est montré à la fig. 9, d’où l’on voit qu’il existe pour la résistance du matériau une limite inférieure, qu’il supporte même pour un nombre arbitrairement grand de cycles de chargement, et qui est appelée résistance dynamique du matériau Les diagrammes de ce type (fig.9) sont appelés courbes de Wöhler.
Figure 9.
Sécurité des structures
Deux charges limites sont importantes pour les structures : la charge à laquelle apparaissent les premières détériorations permanentes (limite d’écoulement), et la charge à laquelle la capacité portante de la structure est épuisée, de sorte qu’elle se rompt (limite de rupture). Comme, avant la limite d’écoulement, les hypothèses de la résistance des matériaux s’appliquent au moins approximativement (petits déplacements, loi de Hooke), la sécurité vis-à-vis des déformations permanentes peut être évaluée de manière fiable dans tous les cas où il est possible de surmonter les difficultés mathématiques. Si la contrainte est proportionnelle à la charge, le rapport de la contrainte d’écoulement à la contrainte maximale apparaissant dans la structure est égal au rapport entre la charge provoquant l’écoulement et la charge réelle, et constitue le coefficient de sécurité vis-à-vis de l’écoulement. Toutefois, dans un certain nombre de cas, cette relation simple n’existe pas : flexion lorsque la traction est exclue, compression entre surfaces convexes, systèmes dont la structure est variable et, ce qui est particulièrement défavorable, flexion avec force axiale. Dans tous ces cas, une augmentation relativement faible de la charge peut entraîner une forte augmentation des contraintes, et il ne suffit alors pas d’appliquer le coefficient de sécurité habituel aux contraintes, il faut l’appliquer à la charge.
Les phénomènes qui se produisent après le dépassement de la limite d’élasticité jusqu’à la rupture ne peuvent, dans la plupart des cas, être suivis que qualitativement. Si le matériau est ductile, les parties dans lesquelles la limite d’élasticité est atteinte en premier, et qui se déforment ensuite sous une contrainte constante ou légèrement croissante, participent peu à la reprise de la charge supplémentaire, de sorte que les autres parties de la structure, moins sollicitées, participent davantage à la reprise des efforts, dans la mesure où cela est possible compte tenu de sa structure. Dans cette tendance à l’égalisation des pics de contrainte réside une certaine réserve de sécurité, qui peut être utilisée dans le calcul si la déformation permanente de certaines parties, apparue lors d’une seule charge importante, n’est pas nuisible (méthode de la charge limite).
Si le matériau est fragile, le premier dommage permanent se manifeste par des fissures, à la suite desquelles se produit au point menacé une concentration de contraintes encore plus forte, qui provoque immédiatement la rupture. La rupture par fatigue présente, même pour les matériaux ductiles, les caractéristiques d’une rupture fragile.
Relations entre les contraintes pour différents plans de section
Équations de transformation
Les neuf composantes des contraintes sur la fig. 1 sont liées par trois conditions d’équilibre. Les six grandeurs restantes σx, σy, σz τxy, τyz, τzx peuvent, indépendamment les unes des autres, prendre des valeurs arbitraires, comme on le voit dans la dérivation des équations différentielles de la théorie de l’élasticité. Cependant, lorsque ces valeurs sont données, l’état de contraintes en un point quelconque d’un corps solide est entièrement déterminé, c’est-à-dire que lorsque les contraintes pour trois plans mutuellement perpendiculaires sont connues, la contrainte pour un quatrième plan, plan passant par le point donné et dont la normale a une direction arbitraire, peut également être déterminée sans ambiguïté.
La fig. 10 montre un tétraèdre OABC dont trois faces sont parallèles aux plans du système de coordonnées x, y, z et la quatrième représente un élément de surface arbitrairement orienté ABC = dF. Pour indiquer sa direction et la direction de la contrainte qui y est transmise, on introduit un second système de coordonnées, dont l’axe ξ est perpendiculaire à dF.
Figure 10
La condition d’équilibre des forces agissant sur ce tétraèdre dans la direction de l’axe ξ donne
Si l’on tient compte du fait que
est obtenu
et de même, à partir des conditions d’équilibre dans la direction de l’axe η :
Ce sont des équations qui servent au calcul des contraintes lors de la transformation des coordonnées. Il est particulièrement important de ne considérer que de tels éléments de surface dF pour lesquels l’axe ξ coïncide avec l’axe z. Nous pouvons obtenir les formes correspondant à ce cas en simplifiant les formes précédentes ou les lire directement sur la fig. 11 :
Figure 11
La contrainte normale prend des valeurs extrêmes pour les directions α = α0 , pour lesquelles dσξ/dα = 0. Par différentiation, à partir de l’équation (16) on obtient
donc, lorsque cette expression est égalisée à zéro
La contrainte τξη sera en même temps la contrainte de cisaillement totale dans ces plans, si τyz = τzx = 0. Alors, l’équation (17) détermine deux directions mutuellement perpendiculaires pour lesquelles : 1. la contrainte de cisaillement totale est nulle et, 2. la contrainte normale présente des valeurs extrêmes (maximum et minimum). Ces directions sont appelées directions des contraintes principales, et les contraintes correspondantes contraintes principales. Elles sont désignées par σ1 et σ2 et peuvent être calculées directement à partir de la formule
Cercle de Mohr
Les équations (16) peuvent être représentées graphiquement de manière évidente. À cette fin, il faut les transformer sous la forme :
Ces équations représentent, dans le système de coordonnées σ, τ, la forme paramétrique de l’équation du cercle, tracé à la fig. 12, dont les coordonnées du centre sont σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 et dont le rayon est
Ce cercle est appelé cercle de Mohr. Si, à travers le point x, on trace une droite parallèle à la section x = const., par laquelle sont transmises les contraintes σx, τxy, elle coupe le cercle en un point p, appelé pôle du cercle de Mohr. Toute droite pξ tracée par ce pôle coupe le cercle en un point ξ, qui détermine les contraintes σξ, τξη transmises par une section parallèle à pξ.
En ce qui concerne le signe des contraintes de cisaillement lors du tracé du cercle de Mohr, il faut veiller à ce qu’elles soient reportées vers le haut lorsqu’elles ont le sens indiqué à la fig. 12c. Par conséquent, parmi les deux contraintes conjuguées τxy, τyx, l’une est toujours positive et l’autre négative.
Aux valeurs limites des contraintes normales σ1, σ2 correspondent les points 1 et 2 sur le cercle, et les droites _p_1 et _p_2 donnent les directions des contraintes principales.
La représentation des contraintes situées dans le plan x-y à l’aide du cercle de Mohr n’est liée à aucune hypothèse sur les contraintes σz, τxz, τyz perpendiculaires à ce plan.
Figure 12
Il en va donc de même pour l’état de contrainte tridimensionnel le plus général, si l’on compare uniquement les plans de section qui passent tous par une même droite, choisie ici comme axe z et ξ. Étant donné que, d’après les équations générales de transformation (15), la contrainte normale σ ne peut devenir infinie dans aucun plan de section, elle doit avoir pour un plan un maximum fini σ1, et pour un autre un minimum σ3, lesquels, bien entendu, peuvent tous deux être négatifs. Si l’on fait passer un plan par les vecteurs σ1 et σ3 et que l’on trace le cercle de Mohr (fig. 13)
Image 13
pour les contraintes qui se trouvent dans ce plan (c.-à-d. toutes les directions perpendiculaires à ce plan), alors σ1 et σ3 sont les contraintes normales maximale et minimale pouvant apparaître et doivent donc être mutuellement perpendiculaires. Si les directions 1 et 3 sont complétées par la direction 2, de sorte que ces trois directions forment un système de coordonnées orthogonal, et si l’on trace les cercles de Mahr pour les plans 1 ~2 et 2 ~ 3, alors σ2 est, pour l’un de ces cercles, la contrainte normale maximale et, pour l’autre, la contrainte normale minimale, et par conséquent, dans les sections perpendiculaires aux directions 1, 2 et 3, la contrainte de cisaillement est nulle. Les trois contraintes normales mutuellement perpendiculaires σ1, σ2 et σ3, auxquelles ne correspondent pas de contraintes de cisaillement, sont appelées contraintes principales.
Limite d’élasticité et limite de rupture à l’état de contrainte spatial
L’état de contrainte est appelé unidimensionnel, bidimensionnel ou tridimensionnel, autrement dit linéaire, plan ou spatial, selon qu’une, deux ou les trois contraintes principales sont différentes de zéro. Pour les éléments de structure les plus couramment utilisés, c’est-à-dire la barre tendue, comprimée ou fléchie, l’état de contrainte, du moins aux endroits les plus sollicités, est unidimensionnel, tout comme dans les essais de traction, de compression ou de flexion, qui sont presque exclusivement appliqués lors des essais de matériaux pour déterminer les contraintes admissibles. En revanche, pour les plaques sollicitées dans leur plan ou perpendiculairement à celui-ci, ainsi que pour les coques, l’état de contrainte est bidimensionnel, et dans certains cas apparaissent également des états de contrainte tridimensionnels, de sorte qu’il est nécessaire de tirer, à partir de la limite d’élasticité et de la rupture déterminées dans l’état de contrainte unidimensionnel, des conclusions sur le comportement du matériau dans le cas d’un état de contrainte spatial.