Asoslar
Materiallar qarshiligi vazifasi qattiq jismning qanday tashqi kuchlarga bardosh bera olishini aniqlashdan iborat (masalan, inshoot, konstruktiv qism yoki tuproq). Bu savolga javob berish uchun ikkita mezondan kelib chiqiladi: bir tomondan, kuchlanishlar material turiga bog‘liq bo‘lgan muayyan chegaralardan oshib ketmasligi kerak, boshqa tomondan esa tashqi va ichki kuchlar o‘rtasidagi muvozanat barqaror bo‘lishi lozim. Shunga ko‘ra, materiallar qarshiligi bo‘yicha barcha masalalarni «kuchlanish masalalari» va «barqarorlik masalalari»ga bo‘lish mumkin.
Sterjenlar va to‘sinlar hamda ulardan tashkil topgan tayanchlar (fermalar, ramalar) uchun kuchlanishlarni aniqlash ikki bosqichda amalga oshiriladi, ya’ni avval berilgan tashqi kuchlar asosida ko‘ndalang kesim orqali uzatiladigan ichki kuchlarning resultantasi hisoblanadi, so‘ng bu “kesim kuchlari”dan kuchlanishlar aniqlanadi. Jarayonning birinchi qismi alohida, keng qamrovli soha — qurilish konstruksiyalari statikasi bo‘lib, u o‘z ishlab chiqilgan usullariga ega va odatda materiallar qarshiligidan ajratiladi; materiallar qarshiligining vazifasi esa berilgan kesim kuchlaridan kuchlanishlarni aniqlashdan iborat.
Materiallar mustahkamligining asosiy tushunchalari
Kuchlanish ta’rifiga quyidagi asosiy mulohazalar orqali kelinadi. Jismga tashqi kuchlarning muvozanatdagi tizimi ta’sir qilsin. Tasavvur qilaylik, jismni ixtiyoriy kesim bilan ikki qismga ajratdik va ulardan birini unga ta’sir qilayotgan kuchlar bilan birga olib tashladik; u holda uning ikkinchi qismga ta’siri, kuchlar muvozanati va deformatsiyalar taqsimoti o‘zgarmas qolishi uchun, kesim yuzasi orqali uzatiladigan qo‘shimcha kuchlar bilan almashtirilishi kerak. Bu “ichki” kuchlar kesim yuzasida uzluksiz taqsimlangan bo‘ladi, shuning uchun yuzaning har bir dF elementi uchun dβ kuch to‘g‘ri keladi. dβ / dF nisbatini tuzib va dF -> 0 limit o‘tish amalga oshirilsa, bu nisbat kuchlanish deb ataladigan limit qiymatga intiladi. Ma’lum bir yuzaviy elementdagi kuchlanish, dβ kabi, dF ga normal va tangensial tarkiblarga ajratilishi mumkin: normal kuchlanish σ, qirquvchi kuchlanish τ.
Agar bir xil nuqta orqali turli yo‘nalishlarda kesimlar o‘tkazilsa, ularga ham turli kuchlanishlar mos keladi. Ayniqsa, agar jismdan 1-rasmda 1 ko‘rsatilgan elementar parallelepiped ajratib olinsa, uning har bir olti yuzasida kuchlanish vektori ta’sir qiladi, u esa x, y, z koordinata o‘qlariga yo‘nalgan uchta tarkibiy qismga ajratilishi mumkin. Qarama-qarshi yuzalarda ta’sir qiluvchi kuchlanishlar, albatta, faqat differensial darajada bir-biridan farq qiladi, shuning uchun 3 * 3 = 9 komponent kuchlanishlarni farqlash kerak bo‘ladi, ular quyidagicha belgilanadi:
Normal kuchlanishlar σ ga ular yotgan o‘qning indeksi beriladi va agar ular cho‘zilish hosil qilsa, musbat; bosim hosil qilsa, manfiy deb hisoblanadi. Siljituvchi kuchlanishlar τ ikkita indeks oladi, ulardan birinchisi tegishli normal kuchlanish indeksiga teng, ikkinchisi esa siljituvchi kuchlanish ta’sir etadigan yo‘nalishdagi o‘qqa taalluqlidir. Agar tegishli normal kuchlanishning musbat yo‘nalishi musbat (manfiy) koordinata o‘qi yo‘nalishida bo‘lsa, siljituvchi kuchlanish ham musbat (manfiy) koordinata o‘qi yo‘nalishida ta’sir etsa, musbat deb hisoblanadi.
Rasm 1.
Qirqilish kuchlanishlarining juftlashuvi
Agar elementar parallelepiped uchun, 1-rasm, x o‘qiga nisbatan barcha kuchlar momenti nolga teng degan shart qo‘yilsa, τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz hosil bo‘ladi. Bundan hamda y va z o‘qlariga oid ikkita mos tenglamadan, bir xil indeksli kesuvchi kuchlanishlar o‘zaro teng ekanligi kelib chiqadi: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Komponent deformatsiyalar
Yuqorida aniqlangan kuchlanishlarning fizik ma’noga ega bo‘lishi, ular tashqi kuchlar ta’siri ostidagi har bir jism boshidan kechiradigan deformatsiya bilan bog‘liqligidan kelib chiqadi. Rasm 2 deformatsiyadan oldin to‘g‘ri burchakli bo‘lgan va qirralari dx, dy, dz uzunlikka ega bo‘lgan bir elementar parallelepipedni ko‘rsatadi. Deformatsiyadan keyin qirralar uzunliklarini dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz bilan belgilash mumkin; nisbatlar εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz cho‘zilishlar deb ataladi. Bular o‘lchamsiz kattaliklardir va qurilishda ko‘rib chiqiladigan barcha materiallar uchun 1 ga nisbatan kichikdir. Qirralarning cho‘zilishidan tashqari, dx * dy * dz elementar parallelepiped o‘z tomonlari orasidagi dastlabki to‘g‘ri burchaklarning o‘zgarishiga ham uchrashi mumkin.
Rasm 2. komponental deformatsiya
Deformatsiyadan so‘ng OC qirrasi bo‘ylab tutashuvchi tekisliklar orasidagi burchak 
ga teng bo‘lsin va xuddi shuningdek AO qirrasi bo‘ylab to‘g‘ri burchakning kamayishi γyz ga, OB qirrasi bo‘ylab esa γzx ga teng bo‘lsin. Bu uch burchak o‘zgarishi γxy, γyz, γzx siljishlar deb ataladi va ular hamisha 1 ga nisbatan juda kichik bo‘ladi. Olti komponental ε va γ bilan elementar kublik qirrali jismning “kichik deformatsiya”si to‘liq aniqlanadi. Hajm elementi d_V = dx * dy * dz_ ning o‘zgarishi ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, bo‘lib, bu yerda dilatatsiyalar ko‘paytmalari kichikroq tartibli kattaliklar sifatida e’tiborga olinmaganda, kubik dilatatsiya ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) olinadi
Siljishlar
Qattiq jismning deformatsiyasini uning har bir nuqtasiga ushbu nuqta boshdan kechirgan siljishni berish orqali to‘liq tavsiflash mumkin. Agar kuzatuvdan qattiq jismning siljishiga mos keladigan chekli kattalikdagi siljishlar chiqarib tashlansa, zarurat bo‘lganda hisobda siljiydigan koordinata tizimi qabul qilinishi orqali, u holda komponent siljishlar μ, ν, ω doimo kichik kattaliklarda bo‘ladi va ularning koordinatalar bo‘yicha hosilalari 1 ga nisbatan kichik bo‘ladi. Shu taxmin ostida, sl. 3 ga ko‘ra chiziqli element OA = dx uzunligi deformatsiyadan so‘ng
demak 
(3)
Shunga o‘xshash tarzda sl. 3 dan ko‘rinadiki, sirpanish γxy γ1 + γ2: va shuningdek
(4)
Rasm 3 sirpanish
(5) 
(6)
Bu bog‘lanishlar moslik shartlari deb ataladi va ular deformatsiyalangan elementlar mozaika kabi joylashib, bunda fazo uzluksiz to‘ldirilishini ifodalaydi; agar elementlarning deformatsiyalari ixtiyoriy bo‘lsa, bunga erishib bo‘lmaydi. Moslik shartlari differensial tenglamalardir, shuning uchun, albatta, har bir alohida parallelepiped uchun barcha olti komponent deformatsiya o‘zaro mustaqildir, ammo ularning har qanday chekli yoyilgan sohadagi joylashuvi (5) va (6) shartlari bilan bog‘langan.
Bu shartlar (3) va (4) tenglamalardan differensiallash orqali olinganligi sababli, ularni chiqarishda dastlabki tenglamalarda mavjud bo‘lgan bog‘lanishlarning bir qismi yo‘qoladi. Shuning uchun deformatsiyaning mosligi ta’minlanishini istasak, bu ikki tenglamalar tizimidan faqat bittasining bajarilishi yetarli emas, balki har ikkala tizim ham qanoatlantirilishi kerak.
Elastiklik tizimining differensial tenglamalari
Elastik jismlardagi kuchlanish va deformatsiyalarni hisoblash uchun quyidagi tenglamalar xizmat qiladi:
Hajmiy element muvozanat shartlari. Uch o‘q atrofidagi momentlar nolga teng bo‘lishi shartlari allaqachon tenglama (1) ni chiqarishda ishlatilgan. Kuchlar muvozanati shartlari esa rasm 4 ga ko‘ra beradi
Rasm 4
(7a-c)
Agar X, Y, Z bilan hajmiy kuchlar komponentalari (masalan, og‘irlik, markazdan qochma kuch) hajm birligiga nisbatan belgilansa. Kuchlanishlar va deformatsiyalar orasidagi bog‘lanishlar. Bu bilan komponental kuchlanishlar va komponental deformatsiyalar orasidagi bog‘lanish tushuniladi. Elastiklik nazariyasida, qoida tariqasida, faqat chiziqli bog‘lanish ko‘rib chiqiladi, u Huk qonuni bilan ifodalanadi:
(8a-c)
(8d-f)
Agar tenglamalar (8a-c) kuchlanishlar bo‘yicha yechilsa, quyidagi natija olinadi
(8 a)
kso va unga mos ikki tenglama. Hooke qonuni (8) tenglama bilan ifodalanganda qat’iy bajariladigan tabiiy qonun emas, balki materialga va kuchlanish kattaligiga qarab undan ko‘proq yoki kamroq darajada og‘adigan real xatti-harakatning idealizatsiyasidir. Kuchlanish va deformatsiya o‘rtasidagi murakkab, nochiziqli bog‘lanishlarga ega materiallar qarshiligi masalasini matematik jihatdan qayta ishlash ancha katta qiyinchiliklar tug‘dirishini va amalda faqat eng sodda hollarda bajarilishini hisobga olsak, xatti-harakati Hooke qonunidan sezilarli darajada farq qiladigan materiallarda ham (beton!) unga asoslangan hisob-kitoblar birinchi, va ko‘pincha yagona taxminiy yechim sifatida qo‘llanilishi kerak; u, qo‘shimcha ravishda, odatda juda foydali bo‘lib, oddiy sifatli tasavvurdan ham ko‘prog‘ini beradi. G = E|2 (1+μ).
U kuchlanish va deformatsiya o‘rtasidagi bog‘lanishdan (8), kuchlanishlar uchun transformatsiya tenglamalaridan (16) hamda komponent deformatsiyalar uchun tegishli tenglamalar sistemasidan zaruriy ravishda kelib chiqadi. E va G kuchlanish o‘lchamiga ega bo‘lib, barcha qurilish materiallarida yuzaga kelishi mumkin bo‘lgan σ va τ kuchlanishlariga nisbatan katta. Ammo elastiklik nazariyasida hamma joyda qabul qilingan, deformatsiyalar kichik degan faraz aynan shu faktga tayanadi. Ko‘ndalang dilatatsiya koeffitsienti (Puasson soni) μ o‘lchamsiz bo‘lib, har doim 0 va 1/2 orasida bo‘ladi.
Komponent deformatsiyalari va siljishlar o‘rtasidagi bog‘lanishlar. Bu bog‘lanishlar (3), (4) tenglamalar bilan berilgan. Ular sof geometrik tabiatga ega. Bu uchta sistema 3+6+6=15 ta tenglama hosil qiladi, ya’ni 15 noma’lum uchun, xususan 6 komponent kuchlanishlar, 6 komponent deformatsiyalar va 3 komponent siljishlar uchun. Demak, ular ushbu noma’lumlarni aniqlash uchun yetarlidir. Bunday katta differensial tenglamalar sistemasini matematik jihatdan yechish, albatta, faqat maxsus hollarda mumkin. Agar (8) tenglamada komponent deformatsiyalar (3) va (4) tenglamalarga muvofiq komponent siljishlar bilan almashtirilsa va so‘ng normal kuchlanishlar σ hamda qirquvchi kuchlanishlar τ, (8 d - f) tenglamalarga ko‘ra, muvozanat shartlariga, ya’ni (7) tenglamalarga kiritilsa, elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari deb ataladigan differensial tenglamalar olinadi.
(9)
bu yerda 
Laplas operatori bilan belgilangan. (2) ga ko‘ra, bular uchta komponental siljish μ, ν, ω ga ega uchta differensial tenglamadir; ulardan esa (3), (4) va (8) asosida differensiallash yo‘li bilan barcha komponental kuchlanishlar va deformatsiyalar olinishi mumkin. (9) tenglamalar ko‘pincha maxsus holatlarni o‘rganish uchun qulay boshlang‘ich nuqtani tashkil etadi.
Deformatsiya ishi
Ta’rif
Tayanch yuklanganda, tashqi kuchlarning ta’sir nuqtalari elastik siljishlarga uchraydi va kuchlar bu jarayonda ma’lum ish bajaradi. Shu tarzda kiritilgan energiya turli shakllarga o‘tishi mumkin. Agar yuklanish keskin berilsa, deformatsiya jarayoni sezilarli tezlikda kechsa, bu energiyaning bir qismi kinetik energiyaga aylanadi va u vaqt o‘tishi bilan turli yo‘l bilan so‘nadi: yo tuproqqa yo‘qolib ketuvchi elastik to‘lqin sifatida uzatiladi, yo ichki ishqalanish hisobiga issiqlikka aylanadi. Agar yuklar shu qadar sekin qo‘yilsa-ki, bunda kinetik energiyaning sezilarli ortishi yuz bermasa, ya’ni nol qiymatdan boshlab asta-sekin ortib boruvchi yuklar ichki kuchlar bilan doimiy muvozanatda bo‘lsa, energiya, albatta, faqat jismni deformatsiyalashga sarflanadi va bu holda u deformatsiya ishi deb ataladi.
Deformatsion ishni hisoblashni avvalo bir yo‘nalishda cho‘zilishga yuklangan bir bo‘lak uchun ko‘rsatamiz (rasm 5).
Mavjud kuchlanish σ va unga mos cho‘zilish ε ga mos ravishda dσ va dε ortishlar berilsin. U holda dε * dl yo‘li bo‘ylab σdF kuch σdF * dεdl = σdεdV ish bajaradi, agar dV sifatida kichik bo‘lak hajmi belgilansa. Agar kuchlanish noldan o‘zining yakuniy qiymatigacha oshsa va cho‘zilish shunga mos ravishda 0 dan ε gacha o‘zgarsa, hajm birligiga to‘g‘ri keladigan jami bajarilgan ish quyidagicha bo‘ladi:
Xuddi shuningdek, siljish kuchlanishi τ ta’siridagi element uchun ham (rasm 6) birlik hajmga to‘g‘ri keladigan deformatsiya ishi (xos deformatsiya ishi, elastik potensial):
bunda faqat to‘rt kuchdan biri τ * dF ish bajaradi.
Umumiy holda, elementar bo‘lakka barcha olti komponent kuchlanish ta’sir qilganda, alohida komponent kuchlanishlar ishlarini qo‘shish orqali xos deformatsiya ishi olinadi:
(10)
Bu integrallarning har birining yuqori chegarasi bo‘yicha differensiallash orqali eng umumiy holatda amal qiladigan munosabatlar olinadi:
(11)
va qolgan komponental deformatsiyalar uchun ham xuddi shunday. Agar jism elastik bo‘lsa, kuchlanishning har bir ma’lum holatiga doimo ayni bir deformatsiya holati mos keladi, bu holat yuklash yoki bo‘shatish paytida erishilganidan qat’i nazar. Bunday holda integrallar ostida bir qiymatli funksiyalar turadi va yuklash, so‘ngra to‘liq bo‘shatish paytida sarflangan jami energiya a = 0, chunki bu holatda integralning yuqori chegaralari nolga aylanadi. Demak, yuklash vaqtida jismga berilgan jami energiya bo‘shatish vaqtida qaytarib olinadi.
Rasm 6
Rasm 7
Qisman elastik jism uchun butun yuklash va bo‘shatish sikli davomida kuchlanish va deformatsiya o‘rtasidagi bog‘lanish taxminan 7 rasmdagi O A B chiziqlari bilan ko‘rsatilgan shaklga ega. Yuklash chog‘ida keltirilgan energiya 
OAA yuzasiga teng, bo‘shatish vaqtida qaytarilgan energiya esa ABA yuzasiga teng bo‘ladi, shu sababli shtrixlangan yuzaga mos ish yo‘qoladi (issiqlikka aylanadi). Agar tebranish jarayonida kuchlanish davriy ravishda musbat chegara qiymati 
va manfiy chegara qiymati 
o‘rtasida o‘zgarsa, noelastik deformatsiya 7-rasmda punktir chiziqlar bilan ko‘rsatilganidek kechadi va tebranishning har bir davrida hajm birligi hisobiga issiqlikka DABCD energiya aylanadi. Deformatsiya paytida deformatsiya kuchlanishdan ortda qoladigan bunday xatti-harakat elastik gisterezis deb ataladi, DABCD egri chizig‘i esa gisterezis halqasi deyiladi.
Deformatsion ish va Huk qonuni
Agar tenglama (10) dagi integral ifodalarga Huk qonuni kiritilsa, integrallashni bajarish mumkin va xos deformatsion ish uchun quyidagi ifodalar olinadi:
(12a)
(12b)
(12c)
Agar bu shakllardan ikkinchisi tenglamaga (11) qo‘yilsa, yana Hooke qonuni, tenglamalar (8), zo‘riqishlar bo‘yicha yechilgan shaklda olinadi. Deformatsion ish tarkibiy deformatsiyalarga bog‘liq degan bayon, (12b) tenglama bilan ko‘rsatilganidek, demak Hooke qonuniga ekvivalentdir. Tenglama (12c) zo‘riqishlar bo‘yicha differensiallanganda, quyidagisi olinadi
(13)
Bu shakllar, (11) shakllardan farqli ravishda, faqat Guk qonuniga muvofiq tutadigan jismlar uchun amal qiladi va kuchlanishlar bilan deformatsiyalar orasidagi bog‘lanish boshqacha bo‘lganda qo‘llanilmaydi. Ma’lumki, (13) tenglamalarining o‘ng tomonida faqat kuchlanishlar ta’sirida yuzaga kelgan komponental deformatsiyalar bo‘ladi, temperatura o‘zgarishi, sudralish, bo‘kish, rekristallanish va hokazo sababli yuzaga kelgan barcha boshqa deformatsiyalar esa chiqarib tashlanadi.
ELASTIKLIK NAZARIYASIDA INTEGRAL QOIDALAR
Virtual siljishlar. Potensial energiyaning minimumi prinsipi
Xuddi Hooke qonuni va tenglamalar (8)ni bitta tenglama (12b) bilan almashtirish mumkin bo‘lgani kabi, muvozanat shartlari o‘rniga ham mexanikaning umumiy amal qiluvchi asosiy qonuni sifatida virtual siljishlar prinsipi kiritilishi mumkin. Bu qonun muvozanat holatlari shunisi bilan tavsiflanishini bildiradiki, ularda deformatsiya holatining kichik o‘zgarishida barcha kuchlarning jami bajarilgan ishi nolga teng bo‘ladi. Agar elastik siljishlarning kichik o‘zgarishlarini δμ δν, δω bilan belgilasak, unda tenglama (7) bilan aniqlangan hajmiy kuchlar virtual ish bajaradi
va jismning tashqi yuzasining dF elementiga ta’sir etuvchi yuzaviy kuchlar px, py, pz ish 
bu yerda uch karra integral butun hajmga, ikki karra integral esa jismning butun tashqi yuzasiga taalluqlidir. Ichki kuchlar bajaradigan ishni hisoblash uchun tenglama (12b) qo‘llanadi, shundan so‘ng hajm birligiga to‘g‘ri keladigan ish uchun
Shunga asoslanib virtual siljishlar prinsipi beradi
(14)
Agar X, Y, Z px, py., pz yuklar og‘irlik kuchining tarkibiy qismlari (o‘z og‘irligi va tashqi yuk) sifatida qaralsa, o‘ng tomondagi integrallar bu yuklar yo‘qotgan potensial energiyani ifodalaydi, chap tomon esa jismning potensial (elastik) energiyasi ortishini ifodalaydi, shunday qilib bu prinsip tayanch va uning ustida yotgan yuklarning umumiy potensial energiyasi muvozanat holatida ekstremal qiymatga ega bo‘lishini ko‘rsatadi. Agar bu ekstremal qiymat minimum bo‘lsa, muvozanat barqarordir.
Birlik potensial energiya prinsipi (14) tenglama bilan ifodalangan, deformatsion ish uchun ifoda (12b), deformatsiyalar mosligi shartlari (5), (6) elastiklik nazariyasini qurish uchun yetarli bo‘lgan va mohiyatan tenglamalar tizimiga ekvivalent bo‘lgan tenglamalar tizimini tashkil etadi. Bu tizim ayniqsa differensial tenglamalarni (9) qanoatlantirish hisobiy qiyinchilik tug‘diradigan hollarda foydali bo‘lishi mumkin, shuning uchun taxminiy yechim izlashga to‘g‘ri keladi; masalan, siljishlar uchun oldindan bir necha erkin konstantalarni o‘z ichiga olgan qulay shakl qabul qilinadi va ular keyin tenglama (14) qanoatlantirilishi talabi asosida aniqlanadi. Shunday qilib, albatta, masalaning aniq yechimi emas, balki tanlangan yechim shakli bilan erishish mumkin bo‘lgan eng yaxshi yaqinlashuv olinadi. Yaqinlashuv yetarlimi yoki yo‘qmi, avvalo qabul qilingan yechim shakliga bog‘liq, shuning uchun bu usulni muvaffaqiyatli qo‘llash mahorat va tajriba talab qiladi.
Castigliano prinsipi
Potensial energiyaning minimumi prinsipida deformatsiyaning moslik shartlarini qanoatlantiradigan barcha deformatsiya holatlari taqqoslanadi va ular orasidan mos kuchlanishlar muvozanat shartlarini qanoatlantiradiganlari ajratib olinadi, Castigliano prinsipida esa muvozanat shartlarini qanoatlantiradigan barcha kuchlanish holatlari taqqoslanadi va ular orasidan mos deformatsiyalar deformatsiyaning moslik shartlarini qanoatlantiradiganlari ajratib olinadi. Bu prinsip quyidagicha ifodalanadi: mumkin bo‘lgan barcha muvozanat holatlaridan haqiqatda eng kichik deformatsion ishga mos keladigani yuz beradi. Castigliano prinsipi (12c) deformatsion ish tenglamasi va muvozanat shartlari bilan birga materiallar qarshiligini tuzish uchun yetarli bo‘lgan tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Ushbu prinsip Hooke qonunini o‘z ichiga olgani uchun uning qo‘llanishi deformatsiyalarni bu qonun bilan to‘liq ifodalash mumkin degan farazga bog‘liq. Bu nafaqat materialning chiziqli elastik xulqini talab qiladi, balki harorat o‘zgarishlarini ham istisno qiladi.
Elastiklik chegaralaridan yuqorida materialning xulqi
Statik yuklanishdagi hodisalar
Materialning zo‘riqish ta’sirida deformatsiyalanishi juda murakkab hodisa bo‘lib, uni tushunish uchun turli yo‘nalishlarda soddalashtirish kerak bo‘ladi. Ana shu soddalashtirishlardan biri yuklar bosqichma-bosqich qo‘yiladi, degan taxmindir; masalan, cho‘zilish va siqilish sinovlarida namunalar bilan shunday qilinadi.
Agar cho‘zilishga ishlayotgan po‘lat tayoq bosqichma-bosqich ortib boruvchi yuklama ta’siriga duchor qilinib, uning dilatatsiyasi ε o‘lchansa, rasm 8da ko‘rsatilgan diagramma olinadi. Dastlab dilatatsiya juda kichik bo‘ladi va kuchlanishga mutanosib bo‘ladi, xuddi Hooke qonuni talab qilganidek. Muayyan bir kuchlanishdan boshlab mutanosiblik to‘xtaydi va dilatatsiya tezroq o‘sadi. Bu mutanosiblik chegarasining aniq o‘rnini aniqlash qiyin. O‘lchash qanchalik aniq bo‘lsa, u shunchalik past chiqadi. Ko‘pchilik materiallar uchun u σ = 0 da joylashadi va Hooke qonuni o‘shanda faqat elastik xulq-atvorning birinchi yaqinlashuvi, koordinata bosh atrofiga yaqin Taylor qatori bo‘yicha ε = ε(σ) funksiyaning rivojlanishidagi birinchi hadni ifodalaydi.
Agar sterjen yukdan bo‘shatilsa, kuchlanish uncha katta bo‘lmaganida deformatsiya ham yo‘qolishi kuzatiladi, Xuk qonuniga muvofiq. Ammo bu ham ma’lum bir kuchlanish, ya’ni proporsionallik chegarasiga yaqin joylashgan, atalmish elastiklik chegarasi oshib ketganda o‘zgaradi; bunda umumiy deformatsiya elastik (qaytar) va noelastik (doimiy) qismlardan iborat bo‘ladi. Elastiklik chegarasini ham aniq belgilab bo‘lmaydi, o‘lchash aniqligi qanchalik yuqori bo‘lsa, u shunchalik pastroq topiladi. Biroq uning katta texnik ahamiyati bor, chunki u materiallar qarshiligidagi deyarli barcha hisoblarda ahamiyat chegarasini, shu bilan birga dastlabki doimiy shikastlar yuzaga keladigan chegarani ifodalaydi; shu sababli namunalarning sinovi uchun u qabul qilingan qandaydir konvensiya bilan qat’iy belgilanadi, masalan, 0.2% chegarasi sifatida doimiy cho‘zilish 0.2% ga yetadigan kuchlanish belgilanadi.
Elastiklik chegarasi oshib ketilishi bilan deformatsiya birdan ortadi va uni yalang‘och ko‘z bilan ham kuzatish mumkin; deyarli o‘zgarmas kuchlanishda sterjen uzluksiz cho‘ziladi. Bu kuchlanish oqish chegarasi deb ataladi. Materiallarni sinash uchun gidravlik mashinalarda oqish boshlanganidan keyin kuchlanishning u yoki bu darajada sezilarli pasayishi ham kuzatilishi mumkin; bu 8-rasmda punktir egri chiziq bilan ko‘rsatilgan. Shunda maksimum yuqori oqish chegarasi, undan keyin yuzaga keladigan doimiy oqish kuchlanishi esa pastki oqish chegarasi deb ataladi.
Ma’lum bir deyarli to‘liq noelastik cho‘zilishga erishilgach, kuchlanish yana osha boshlaydi, material qotadi. Yuklanishning bu sohasida novning (noelastik) yon qisqarishi tufayli ko‘ndalang kesimi sezilarli ravishda kamayadi, kuchlanish va deformatsiya diagrammasining keyingi kechishi, avvalo, σ kuchlanishini hisoblashda novga ta’sir etuvchi cho‘zish kuchi P boshlang‘ich kesim F0 ga yoki joriy kesim F ga bo‘linishiga bog‘liq bo‘ladi. Texnik maqsadlar uchun P|F0 kuchlanishi muhimdir. Bu kuchlanish material mustahkamligi deb ataladigan maksimumdan o‘tadi; shu maksimumdan keyin nov bir joyda keskin torayadi va uziladi. “Haqiqiy kuchlanish” P|F esa buzilgungacha o‘sishda davom etadi.
Rasm 8.
Boshqa metallarning xulq-atvori ko‘p jihatdan bu yerda tasvirlanganidan farq qiladi. Oqish ko‘pincha yaqqol namoyon bo‘lmaydi, qattiqlashish esa elastiklik chegarasidan oshib ketgandan so‘ng darhol boshlanadi. Mo‘rt materiallarda (tosh, shisha, beton) elastik bo‘lmagan deformatsiyalar umuman kichik bo‘ladi va hatto kichik cho‘zilishdayoq buzilish yuz beradi. Material buzilishigacha boshdan kechirgan umumiy cho‘zilish uning cho‘ziluvchanligi (aksincha: mo‘rtligi) o‘lchovidir va u po‘lat uchun texnik shartlarda aniq belgilab qo‘yiladi. Biroq, buzilishdan biroz oldin keyingi deformatsiya qo‘shni toraygan kesim joylarida jamlangani sababli, o‘lchov uzunligi sifatida sterjenning kattaroq yoki kichikroq qismi qabul qilinishiga qarab buzilishdagi cho‘zilishning turli qiymati olinadi, shuning uchun bir ma’noli va o‘zaro taqqoslanadigan natijalar olish uchun oldindan muayyan konvensiya qabul qilinishi kerak. Buzilishdagi cho‘zilish odatda shunday o‘lchanadiki, diametri d bo‘lgan yumaloq sterjenda tajriba oldidan o‘lchov uzunligi Ι = 10 d belgilanadi va uning uzayishidan ΔΙ buzilishdagi cho‘zilish εs_Ι = ΔΙ|Ι hisoblab topiladi._ Agar boshqa kesimdagi sterjenlarni sinash zarur bo‘lsa, o‘lchov uzunligi bir xil ko‘ndalang kesim yuzasiga ega bo‘lgan dumaloq silindrsimon sterjen diametriga ko‘ra belgilanadi.
Uzoq muddatli yuklanish
Zarba choʻzish sinovining borishi uchun yuklamaning yemirilishgacha qanchalik tez oshirilishi deyarli ahamiyatsiz: bu 10 m daqiqa ichidami yoki bir necha soat davomida sodir boʻlishi mumkin. Biroq, agar yuklama yillar, hatto oʻnlab yillar davomida ta’sir etsa, ayrim sharoitlarda, oqish chegarasidan pastda ham doimiy kuchlanish ostidagi deformatsiya vaqt oʻtishi bilan sekin-asta ortib borishi kuzatiladi. Bunda elastik qism, ya’ni yakuniy yengillashda yoʻqolib ketadigan qism, sezilarli darajada oʻzgarmaydi. Uzoq vaqt davomida yuz beradigan ushbu noelastik deformatsiya ortishi puzlanish deb ataladi. Metallarda, qoʻrgʻoshindan tashqari, puzlanish faqat yuqori haroratlarda ahamiyatga ega bo‘ladi, biroq qurilish muhandisi uchun u bosim ostida oz-ozdan bo‘shashadigan betonda muhim rol o‘ynaydi, natijada, agar u mavjud bo‘lsa, siqilgan armaturadagi kuchlanish ortadi.
O‘zgaruvchan yuklama
Materialning cho‘zilish sinovida olingan mexanik xossalaridan konstruksiyalar uchun ruxsat etilgan yukni belgilash mezoni sifatida foydalanish uchun, material har bir qayta yuklanishda u bir marta zararsiz ko‘tarib bergan kuchlanishga dosh bera olishi shart. Agar material yuklama va bo‘shatishning tez-tez takrorlanishiga duch kelsa, bu shart bajarilmaydi, masalan, to‘liq muvozanatlanmagan mashinalarning inersiya kuchlari ta’sirida yuklangan balkalarda bo‘lgani kabi. Yuklamaning yetarlicha ko‘p takrorlanishi konstruktiv qismni oddiy statik sinov bilan aniqlangan material mustahkamligidan ancha past kuchlanishda ham sinishga olib kelishi mumkin. Bunday turdagi sinish charchash natijasidagi sinish deb ataladi. Material bardosh bera oladigan yuklanish sikllari soni n kuchlanish σ kattaligiga bog‘liq bo‘lib, kuchlanish qancha kichik bo‘lsa, u shuncha katta bo‘ladi. Bu bog‘lanishning tipik misoli 9-rasmda ko‘rsatilgan, undan material mustahkamligi uchun pastki chegara mavjudligi ko‘rinadi; u ixtiyoriy katta sikllar sonida ham bardosh beradi va materialning dinamik mustahkamligi deb ataladi. Bunday diagrammalar (rasm 9) Wӧhler egri chiziqlari deb ataladi.
Rasm 9.
Konstruksiyalar xavfsizligi
Konstruksiyalar uchun ikki chegara yuklama muhim: ilk doimiy shikastlanishlar yuzaga keladigan yuklama (oqish chegarasi) va konstruksiyaning ko‘tarish qobiliyati tugab, u yemiriladigan yuklama (yemirilish chegarasi). Oqish chegarasidan oldin hech bo‘lmaganda taxminan material qarshiligi farazlari (kichik siljishlar, Hooke qonuni) amal qilgani uchun, doimiy deformatsiyalarga qarshi xavfsizlik matematik qiyinchiliklarni yengib o‘tishning imkoni bo‘lgan barcha hollarda ishonchli baholanishi mumkin. Agar kuchlanish yuklamaga proportsional bo‘lsa, oqish kuchlanishining konstruksiyada yuzaga keladigan eng katta kuchlanishga nisbati oqish yuz beradigan yuklama bilan haqiqiy yuklama nisbati bilan teng bo‘ladi va oqishga qarshi xavfsizlik koeffitsiyentini ifodalaydi. Biroq bir qator hollarda bu oddiy nisbat mavjud emas: cho‘zilish hisobga olinmaydigan egilish, bo‘rtib chiqqan yuzalar orasidagi bosim, tuzilishi o‘zgaruvchan tizimlar va, ayniqsa noqulay holatda, o‘qiy kuch bilan birga egilish. Bu barcha hollarda yuklamaning nisbatan kichik ortishi kuchlanishning katta ortishiga olib kelishi mumkin va unda odatdagi xavfsizlik koeffitsiyentini kuchlanishlarga emas, balki yuklamaga qo‘llash kerak bo‘ladi.
Oquvchanlik chegarasi oshib ketganidan sinishgacha bo‘lgan jarayonlar ko‘pchilik hollarda faqat sifat jihatidan kuzatilishi mumkin. Agar material cho‘ziluvchan bo‘lsa, oquvchanlik chegarasiga birinchi bo‘lib yetgan va keyin doimiy kuchlanish yoki biroz ortib boruvchi kuchlanish ostida deformatsiyalanishda davom etadigan qismlar keyingi yukni qabul qilishda kam ishtirok etadi, shuning uchun qolgan, kamroq zo‘riqqan konstruksiya qismlari, agar uning tuzilishini hisobga olgan holda buning iloji bo‘lsa, yuk ko‘tarishda ko‘proq ishtirok etadi. Kuchlanish cho‘qqilarini tenglashtirishga bo‘lgan ushbu intilishda ma’lum bir xavfsizlik zaxirasi mavjud bo‘lib, agar faqat bir marta katta yuklanish natijasida ayrim qismlarda yuzaga kelgan doimiy deformatsiya zararli bo‘lmasa, uni hisoblashda foydalanish mumkin (chegaraviy yuklanish usuli).
Agar material mo‘rt bo‘lsa, dastlabki doimiy shikastlanish yoriqlar ko‘rinishida namoyon bo‘ladi, ular tufayli xavf ostidagi joyda kuchlanish yanada kuchliroq to‘planadi va bu darhol sinishga olib keladi. Charchash natijasidagi sinish, hatto cho‘ziluvchan materiallarda ham, mo‘rt sinish xususiyatlariga ega bo‘ladi.
Turli kesim tekisliklaridagi kuchlanishlar orasidagi bog‘lanishlar
Transformatsiya tenglamalari
Rasm 1 dagi kuchlanishning to‘qqiz komponenti uchta muvozanat sharti bilan bog‘langan. Qolgan olti kattalik σx, σy, σz τxy, τyz, τzx bir-biridan mustaqil ravishda ixtiyoriy qiymatlar qabul qilishi mumkin, bu elastiklik nazariyasining differensial tenglamalarini chiqarishdan ko‘rinadi. Biroq, bu qiymatlar berilganda, qattiq jismning biror nuqtasidagi kuchlanish holati to‘liq aniqlanadi, ya’ni o‘zaro perpendikulyar uchta tekislik uchun kuchlanishlar ma’lum bo‘lsa, berilgan nuqtadan o‘tuvchi va normali ixtiyoriy yo‘nalishga ega bo‘lgan to‘rtinchi tekislik uchun ham kuchlanishni bir qiymatli aniqlash mumkin.
10rasmda OABC tetraedri ko‘rsatilgan bo‘lib, uning uch tomoni x, y, z koordinata tizimi tekisliklariga parallel, to‘rtinchi tomoni esa ixtiyoriy yo‘nalgan ABC = dF yuza elementini ifodalaydi. Uning yo‘nalishi va u orqali uzatiladigan kuchlanish yo‘nalishini belgilash uchun ikkinchi koordinata tizimi kiritiladi, uning ξ o‘qi dF ga perpendikulyar.
Rasm 10
Ushbu tetraedrga ξ o‘qi yo‘nalishida ta’sir etuvchi kuchlar muvozanati sharti beradi
Agar shuni hisobga olsakki,
olinadi
va shunga o‘xshash tarzda η o‘qi yo‘nalishidagi muvozanat shartlaridan:
Bular koordinatalar transformatsiyasida kuchlanishni hisoblash uchun xizmat qiladigan tenglamalardir. Ayniqsa, faqat shunday sirt elementi dF larni ko‘rib chiqish muhimki, ularda ξ-o‘qi z-o‘qi bilan ustma-ust tushadi. Bu hol uchun andozalarni oldingi andozalarni soddalashtirish orqali olishimiz yoki 11-rasmdan bevosita o‘qib olishimiz mumkin:
Rasm 11
Normal kuchlanish α = α0 yo‘nalishlari uchun ekstremal qiymatlarni qabul qiladi, ular uchun dσξ/dα = 0. Differensiallash orqali tenglama (16) dan
shuning uchun bu ifoda nolga tenglashtirilganda
Nostiplik τξη shu bilan birga bu tekisliklarda to‘liq kesuvchi kuchlanish bo‘ladi, agar τyz = τzx = 0. Bo‘lsa, unda (17) tenglama bilan o‘zaro perpendikulyar ikkita yo‘nalish aniqlanadi, ular uchun: 1. to‘liq kesuvchi kuchlanish nolga teng va, 2. normal kuchlanish ekstremal qiymatlarga ega bo‘ladi (maksimum va minimum). Bu yo‘nalishlar bosh kuchlanish yo‘nalishlari deb ataladi, ularga mos kuchlanishlar esa bosh kuchlanishlar deb ataladi. Ular σ1 va σ2 bilan belgilanadi va bevosita quyidagi formuladan hisoblanishi mumkin
Murning doirasi
Tenglamalar (16) grafik tarzda yaqqol ko‘rinishda ifodalanishi mumkin. Buning uchun ularni quyidagi ko‘rinishga o‘tkazish kerak:
Bu tenglamalar σ, τ koordinata tizimida 12-rasmda chizilgan aylana tenglamasining parametrik ko‘rinishini ifodalaydi; uning markaz koordinatalari σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 bo‘lib, va uning radiusi
Bu doira Mohr doirasi deb ataladi. Agar x nuqta orqali x = const. kesmaga parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazilsa, u orqali σx, τxy kuchlanishlar uzatiladigan bo‘lib, doirani p nuqtada kesadi; bu nuqta Mohr doirasining qutbi deb ataladi. Ushbu qutb orqali o‘tkazilgan har bir pξ to‘g‘ri chiziq doirani ξ nuqtada kesib, pξ ga parallel kesma orqali uzatiladigan σξ, τξη kuchlanishlarini belgilaydi.
Kesuvchi kuchlanishlarning ishorasi masalasida Mohr doirasini chizishda, agar ular sl. 12c da ko‘rsatilgan yo‘nalishda bo‘lsa, ular yuqoriga qo‘yilishini hisobga olish kerak. Shunga ko‘ra, ikkita qo‘shma kuchlanish τxy, τyx dan biri har doim musbat, ikkinchisi manfiy bo‘ladi.
Normal kuchlanishlarning chegaraviy qiymatlariga σ1, σ2 doiradagi 1 va 2 nuqtalari mos keladi, _p_1 va _p_2 to‘g‘ri chiziqlari esa bosh kuchlanishlar yo‘nalishlarini beradi.
x-y tekisligida yotuvchi kuchlanishlarni Mahr doirasi yordamida tasvirlash bu tekislikka perpendikulyar bo‘lgan σz, τxz, τyz kuchlanishlari haqida hech qanday farazga bog‘liq emas.
Rasm 12
Shu bois bu eng umumiy uch o‘lchamli kuchlanish holati uchun ham amal qiladi, agar faqat shu yerda z va ξ o‘qi sifatida tanlangan bir xil to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi kesim tekisliklari taqqoslansa. Umumiy transformatsiya tenglamalariga (15) ko‘ra normal kuchlanish σ hech bir kesim tekisligi uchun ham cheksiz qiymatga aylana olmagani sababli, u biror tekislik uchun chekli maksimum σ1 ga, boshqa bir tekislik uchun esa minimum σ3 ga ega bo‘lishi kerak; ularning ikkalasi ham, albatta, manfiy bo‘lishi ham mumkin. Agar σ1 va σ3 vektorlaridan o‘tuvchi tekislik chizilib, Mohr aylanasі (rasm 13) chizilsa
Rasm 13
bu tekislikda yotuvchi kuchlanishlar uchun (ya’ni ushbu tekislikka tik bo‘lgan barcha yo‘nalishlar), unda σ1 va σ3 yuzaga kelishi mumkin bo‘lgan eng katta va eng kichik normal kuchlanishlardir va shuning uchun ular o‘zaro perpendikulyar bo‘lishi kerak. Agar 1 va 3 yo‘nalishlari 2 yo‘nalishi bilan to‘ldirilsa, shunda bu uch yo‘nalish to‘g‘ri burchakli koordinata tizimini hosil qiladi, va agar 1 ~2 hamda 2 ~ 3 tekisliklari uchun Mahr doiralari chizilsa, unda σ2 bu doiralardan biri uchun eng katta, boshqasi uchun esa eng kichik normal kuchlanish bo‘ladi va shunga ko‘ra 1, 2 va 3 yo‘nalishlariga tik kesimlarda siljish kuchlanishi nolga teng bo‘ladi. O‘zaro perpendikulyar bo‘lgan, ularga siljish kuchlanishlari mos kelmaydigan σ1, σ2 va σ3 normal kuchlanishlar bosh kuchlanishlar deb ataladi.
Oqish chegarasi va yemirilish chegarasi fazoviy zo‘riqish holatida
Kuchlanish holati bir-, ikki- yoki uch o‘lchamli, boshqacha aytganda chiziqli, tekis yoki fazoviy deb ataladi; bu bir, ikki yoki barcha uch bosh kuchlanish nolga teng emasligiga bog‘liq. Eng ko‘p qo‘llaniladigan konstruktiv elementlarda, ya’ni cho‘zilgan, siqilgan va egilgan sterjenda kuchlanish holati, hech bo‘lmaganda eng kuchlangan joylarda, bir o‘lchamli bo‘ladi; xuddi shuningdek, materiallarni sinashda deyarli faqat yo‘l qo‘yiladigan kuchlanishlarni aniqlash uchun qo‘llaniladigan cho‘zish, siqish yoki egish sinovlarida ham shunday. Aksincha, o‘z tekisligida yoki unga perpendikulyar yuklangan plitalarda hamda qobiq konstruktsiyalarda kuchlanish holati ikki o‘lchamli bo‘ladi, ayrim hollarda esa uch o‘lchamli kuchlanish holatlari ham yuzaga keladi, shuning uchun bir o‘lchamli kuchlanish holatida aniqlangan oqish va buzilish chegaralari asosida materialning fazoviy kuchlanish holatidagi xulq-atvori haqida xulosa chiqarish zarur.