सामग्री: पदार्थों का प्रतिरोध और प्रत्यास्थता का सिद्धांत

मूलभूत बातें

पदार्थ-प्रतिरोध का कार्य यह निर्धारित करना है कि कोई ठोस पिंड (जैसे, भवन, संरचनात्मक भाग या भूमि) किन बाहरी बलों को सहन कर सकता है। इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए दो मानदंडों से आरंभ किया जाता है: एक ओर, तनावों को पदार्थ के प्रकार पर निर्भर कुछ सीमाओं से अधिक नहीं होना चाहिए, और दूसरी ओर बाहरी तथा आंतरिक बलों के बीच संतुलन स्थिर होना चाहिए। इसके अनुसार, पदार्थ-प्रतिरोध की सभी समस्याओं को “तनाव समस्याएँ” और “स्थिरता समस्याएँ” में विभाजित किया जा सकता है।

दंडों और गर्डरों तथा उनसे बने वाहकों (ट्रस, फ्रेम) में तनावों का निर्धारण दो चरणों में किया जाता है, इस प्रकार कि पहले दी गई बाह्य शक्तियों के आधार पर अनुप्रस्थ काट के माध्यम से संप्रेषित आंतरिक शक्तियों का परिणामी मान निकाला जाता है, और फिर इन “अनुप्रस्थ-काट बलों” से तनाव निर्धारित किए जाते हैं। प्रक्रिया का पहला भाग एक अलग, विस्तृत अनुशासन, संरचनात्मक सांख्यिकी, प्रस्तुत करता है, जिसके अपने विकसित तरीके हैं और जिसे सामान्यतः पदार्थ-प्रतिरोध से अलग माना जाता है, जिसका कार्य दिए गए अनुप्रस्थ-काट बलों से तनाव निर्धारित करने तक सीमित है।

सामग्री प्रतिरोध के मूलभूत सिद्धांत

तनाव की परिभाषा निम्नलिखित मूल विचारों के माध्यम से प्राप्त की जाती है। मान लें कि किसी पिंड पर बाह्य बलों का एक संतुलित तंत्र कार्य कर रहा है। कल्पना करें कि हमने पिंड को किसी भी कटाव द्वारा दो भागों में विभाजित किया है, और उनमें से एक भाग को उस पर कार्य करने वाले बलों सहित हटा दिया है; तब दूसरे भाग पर उसके प्रभाव को, ताकि बलों का संतुलन और विकृति-वितरण अपरिवर्तित रहें, उस कटाव की सतह के माध्यम से स्थानांतरित अतिरिक्त बलों से प्रतिस्थापित करना होगा। ये “आंतरिक” बल कटाव की सतह पर निरंतर रूप से वितरित होते हैं, ताकि सतह के प्रत्येक तत्व dF के लिए बल dβ संबंधित हो। यदि dβ/dF अनुपात बनाकर सीमांत संक्रमण dF -> 0 किया जाए, तो यह अनुपात उस सीमित मान की ओर अग्रसर होता है जिसे तनाव कहा जाता है। किसी दिए गए सतह-तत्व में तनाव, dβ की तरह, dF के लंबवत और स्पर्शरेखीय घटकों में विभाजित किया जा सकता है; सामान्य तनाव σ और कर्तन तनाव τ।

यदि एक ही बिंदु से विभिन्न दिशाओं में काटें लिए जाएँ, तो उनसे भिन्न तनाव संबंधित होंगे। विशेष रूप से, यदि शरीर से चित्र 1 में दर्शाया गया एक प्राथमिक घन अलग किया जाए, तो उसकी छहों सतहों पर एक तनाव सदिश क्रिया करेगा, जिसे x, y, z समन्वय अक्षों की दिशा में तीन अवयवों में विभाजित किया जा सकता है। विपरीत सतहों पर क्रिया करने वाले तनाव, निस्संदेह, केवल सूक्ष्म अंतर से भिन्न होते हैं, इसलिए 3 * 3 = 9 अवयवीय तनावों में अंतर करना चाहिए, जिन्हें निम्न प्रकार से निरूपित किया जाता है:

सामान्य तनावों σ को उस अक्ष का सूचक दिया जाता है जिसकी दिशा में वे स्थित होते हैं, और यदि वे खिंचाव उत्पन्न करें तो उन्हें धनात्मक, तथा यदि संपीड़न उत्पन्न करें तो ऋणात्मक माना जाता है। कर्तन तनावों τ को दो सूचक दिए जाते हैं; पहला सूचक संबंधित सामान्य तनाव के सूचक के समान होता है, और दूसरा उस अक्ष से संबंधित होता है जिसकी दिशा में कर्तन तनाव कार्य करता है। यदि संबंधित सामान्य तनाव की धनात्मक दिशा धनात्मक (ऋणात्मक) निर्देशांक अक्ष की दिशा में हो, तो कर्तन तनाव को भी धनात्मक माना जाता है यदि वह धनात्मक (ऋणात्मक) निर्देशांक अक्ष की दिशा में कार्य करे।

चित्र 1.

 कतरनी तनावों की युग्मितता

यदि एक मूलभूत घनाभ, चित्र 1, के लिए यह शर्त रखी जाए कि x-अक्ष के सापेक्ष सभी बलों का आघूर्ण शून्य है, तो मिलता है τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz। यहाँ से, और y तथा z अक्षों के लिए दो संबंधित समीकरणों से, यह प्राप्त होता है कि समान सूचकों वाले कतरनी तनाव परस्पर बराबर होते हैं τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

घटक विकृतियाँ

यह कि ऊपर परिभाषित तनावों का भौतिक अर्थ है, उनके उस परिभाषा से संबंध से स्पष्ट होता है जिसे बाह्य बलों के प्रभाव में हर पिंड सहन करता है। चित्र 2 एक प्राथमिक घनाभ दिखाता है, जो विकृति से पहले आयताकार था और जिसकी धाराओं की लंबाई dx, dy, dz थी। विकृति के बाद धाराओं की लंबाइयों को dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz से दर्शा सकते हैं; अनुपात εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz को विकृति-प्रसार कहा जाता है। ये बिना आयाम वाली राशियाँ हैं और निर्माण कार्य में विचारणीय सभी सामग्रियों के लिए 1 की तुलना में छोटी होती हैं। धाराओं के बढ़ने के अलावा, प्राथमिक घनाभ dx * dy * dz अपनी भुजाओं के बीच के प्रारंभिक समकोणों में परिवर्तन भी झेल सकता है।

चित्र 2. घटकात्मक विकृति

मान लें कि विकृति के बाद रेखा OC के साथ मिलने वाले समतलों के बीच का कोण के बराबर हो, और इसी प्रकार मान लें कि रेखा AO के साथ समकोण में कमी γyz के बराबर है, तथा रेखा OB के साथ कमी γzx के बराबर है। कोणों के ये तीन परिवर्तन _γxy, γyz, γzx को कतरन कहा जाता है और ये भी हमेशा 1 की तुलना में छोटे होते हैं। छह घटकों ε और γ से तत्वीय घनाभ की विकृति, अर्थात् “छोटी विकृति”, पूरी तरह निर्धारित होती है। आयतन तत्व d_V = dx * dy * dz में परिवर्तन _ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, होता है, जिससे, विकृतियों के गुणनफल को उच्च कोटि की छोटी राशियाँ मानकर उपेक्षित करने पर, घनीय विकृति ϱ = _ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) प्राप्त होती है

विस्थापन

ठोस पिंड की विकृति का पूर्ण वर्णन इस प्रकार भी किया जा सकता है कि उसके प्रत्येक बिंदु के लिए उस बिंदु द्वारा अनुभवित विस्थापन दिया जाए। यदि अवलोकन से उन सीमित परिमाण के विस्थापनों को अलग कर दिया जाए जो कठोर पिंड के विस्थापन के अनुरूप होते हैं, इस प्रकार कि आवश्यकता होने पर गणना में एक गतिशील निर्देशांक तंत्र अपनाया जाए, तो घटक विस्थापन μ, ν, ω सदैव छोटे परिमाण के होते हैं, और उनके निर्देशांकों के सापेक्ष अवकलज 1 की तुलना में छोटे होते हैं। इस मान्यता के तहत, आकृति 3 के अनुसार रेखीय अवयव OA = dx की लंबाई विकृति के बाद

अतः  (3)

इसी प्रकार चित्र 3 से देखा जा सकता है कि फिसलन γxy γ1 + γ2: और भी

 (4)

चित्र 3 फिसलन

(5)  (6)

इन संबंधों को संगतता की शर्तें कहा जाता है और यह दर्शाता है कि विकृत अवयवों को एक मोज़ेक की तरह इस प्रकार जोड़ा जा सकता है कि स्थान निरंतर भरा रहे, जो तब संभव नहीं होता जब अवयवों की विकृतियाँ मनमानी हों। संगतता की शर्तें अवकल समीकरण हैं, इसलिए, स्वाभाविक रूप से, प्रत्येक अलग-अलग घनाभ के लिए छहों घटकीय विकृतियाँ परस्पर स्वतंत्र होती हैं, लेकिन किसी भी सीमित विस्तृत क्षेत्र में उनका विन्यास (5) और (6) की शर्तों से बंधा होता है।

चूँकि ये शर्तें समीकरणों (3) और (4) से अवकलन द्वारा प्राप्त की गई हैं, इनके व्युत्पादन के दौरान मूल समीकरणों में निहित कुछ संबंध खो जाते हैं। इसलिए केवल इन दो समीकरण-समूहों में से एक के पूरा होने से काम नहीं चलता, बल्कि यदि विकृति की संगतता सुनिश्चित करनी है तो दोनों समीकरण-समूहों को संतुष्ट करना आवश्यक है।

लोच प्रणाली की अवकल समीकरणें

लोचदार पिंडों में तनाव और विकृतियों की गणना के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:

आयतनिक तत्व के संतुलन की शर्तें। तीनों अक्षों के चारों ओर आघूर्ण शून्य होने की शर्तों का उपयोग पहले ही समीकरण (1) की व्युत्पत्ति में किया जा चुका है। बलों के संतुलन की शर्तें चित्र 4 के अनुसार देती हैं

चित्र 4

(7a-c)

यदि X, Y, Z से आयतन बलों के घटक (जैसे भार, अपकेंद्री बल) प्रति इकाई आयतन निरूपित किए जाएँ। तनावों और विकृतियों के बीच संबंध। इससे घटक तनावों और घटक विकृतियों के बीच संबंध अभिप्रेत है। प्रत्यास्थता सिद्धांत में सामान्यतः केवल रैखिक संबंध ही विचार में लिया जाता है, जिसे हुक के नियम द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(8a-c)

(8d-f)

यदि समीकरण (8a-c) को तनावों के लिए हल किया जाए, तो प्राप्त होता है

(8 a)

kso और दो संबद्ध समीकरण। Hooke-ov नियम, जिसे समीकरण (8) द्वारा व्यक्त किया गया है, कोई कठोर रूप से पूर्ण प्राकृतिक नियम नहीं है, बल्कि वास्तविक व्यवहार का एक आदर्शीकरण है, जो सामग्री और तनाव के परिमाण के अनुसार इससे कम या अधिक मात्रा में भिन्न होता है। चूँकि तनाव और विकृति के बीच जटिल, गैर-रेखीय संबंधों वाले पदार्थ-प्रतिरोध के प्रश्न की गणितीय विवेचना कहीं अधिक कठिनाई उत्पन्न करती है और वास्तव में केवल सबसे सरल मामलों में ही की जा सकती है, इसलिए उन सामग्रियों (कंक्रीट!) के लिए भी जिनका व्यवहार Hooke-ov नियम से काफी भिन्न होता है, उस पर आधारित गणनाओं का उपयोग पहला, और अधिकांशतः एकमात्र लगभग समाधान के रूप में करना पड़ता है, जो वैसे भी प्रायः बहुत उपयोगी होता है और केवल गुणात्मक से अधिक अंतर्दृष्टि देता है। G = E|2 (1+μ).

यह अनिवार्य रूप से तनाव और विकृति के संबंध (8) से, तनावों के लिए रूपांतरण समीकरणों (16) से तथा घटक विकृतियों के लिए उपयुक्त समीकरण-तंत्र से निकलता है। E और G में तनाव का आयाम होता है और सभी निर्माण सामग्रियों में इनका मान उत्पन्न हो सकने वाले σ और τ तनावों की तुलना में बड़ा होता है। इसी तथ्य पर प्रत्यास्थता के सिद्धांत में सर्वत्र अपनाई गई यह धारणा आधारित है कि विकृतियाँ छोटी होती हैं। अनुप्रस्थ प्रसार गुणांक (पॉइसन संख्या) μ आयामरहित है और सदैव 0 तथा 1/2 के बीच होता है।

घटकीय विकृतियों और विस्थापनों के बीच संबंध। ये संबंध समीकरणों (3), (4) द्वारा दिए गए हैं। ये शुद्ध ज्यामितीय प्रकृति के हैं। ये तीनों प्रणालियाँ 3+6+6=15 समीकरण देती हैं, 15 अज्ञातों के लिए, अर्थात् 6 घटकीय तनावों, 6 घटकीय विकृतियों और 3 घटकीय विस्थापनों के लिए। अतः ये इन अज्ञातों के निर्धारण के लिए पर्याप्त हैं। इतने व्यापक अवकल समीकरणों की प्रणाली का गणितीय समाधान, निस्संदेह, केवल विशेष स्थितियों में ही संभव है। यदि समीकरण (8) में घटकीय विकृतियों को समीकरणों (3) और (4) के अनुसार घटकीय विस्थापनों से प्रतिस्थापित किया जाए और फिर सामान्य तनावों σ तथा कर्तन तनावों τ को, समीकरणों (8 d - f) के अनुसार, संतुलन शर्तों, समीकरण (7), में सम्मिलित किया जाए, तो जो अवकल समीकरण प्राप्त होते हैं उन्हें प्रत्यास्थता सिद्धांत के मूलभूत समीकरण कहा जाता है।

(9)

जहाँ  से लाप्लास संचालक अभिहित है। (2) को देखते हुए, ये तीन अवकल समीकरण हैं जिनमें तीन घटकीय विस्थापन μ, ν, ω हैं; इनसे आगे, (3), (4) और (8) के आधार पर अवकलन करके सभी घटकीय तनाव और विकृतियाँ प्राप्त की जा सकती हैं। समीकरण (9) विशेष मामलों के अध्ययन के लिए अक्सर एक उपयुक्त प्रारम्भिक बिंदु प्रस्तुत करते हैं।

विकृति कार्य

परिभाषा

जब किसी सहायक संरचना पर भार लगाया जाता है, तो बाहरी बलों के संपर्क बिंदुओं पर प्रत्यास्थ विस्थापन होते हैं और बल इस दौरान कुछ कार्य करते हैं। इस प्रकार लाई गई ऊर्जा विभिन्न रूपों में परिवर्तित हो सकती है। यदि भार अचानक लगाया जाए, ताकि विकृति की प्रक्रिया की गति पर्याप्त अधिक हो, तो इस ऊर्जा का एक भाग गतिज ऊर्जा में बदल जाता है, जो समय के साथ इस प्रकार क्षीण होती है कि या तो वह पृथ्वी में प्रत्यास्थ तरंग के रूप में संचारित हो जाती है और अनंत में नष्ट हो जाती है, या आंतरिक घर्षण द्वारा ऊष्मा में बदल जाती है। यदि भार इतने धीरे-धीरे लगाए जाएँ कि इस दौरान गतिज ऊर्जा में कोई उल्लेखनीय वृद्धि न हो, अर्थात् शून्य से धीरे-धीरे बढ़ने वाले भार आंतरिक बलों के साथ निरंतर संतुलन में हों, तो ऊर्जा स्पष्ट रूप से केवल वस्तु के विकृतिकरण में खर्च होती है और तब उसे विकृति-कार्य कहा जाता है।

विकृति-कार्य की गणना को हम पहले एक ऐसे छोटे भाग पर दिखाएँगे, जिस पर एक ही दिशा में तन्यता भार लगाया गया है (चित्र 5).

मान लें कि विद्यमान प्रतिबल σ और उससे संबंधित प्रसार ε में क्रमशः dσ और dε की वृद्धि होती है। तब बल σdF, दूरी dε * dl पर, कार्य σdF * dεdl = σdεdV करेगा, यदि dV को छोटे भाग का आयतन माना जाए। यदि प्रतिबल शून्य से अपनी अंतिम मान तक बढ़ता है और उसी के अनुसार प्रसार 0 से ε तक जाता है, तो इकाई आयतन पर कुल किया गया कार्य होगा:

इसी प्रकार, कतरनी तनाव τ (चित्र 6) से लोड किए गए तत्व के लिए, प्रति इकाई आयतन विकृति कार्य (विशिष्ट विकृति कार्य, प्रत्यास्थ विभव):

जिसमें केवल चार बलों में से एक τ * dF कार्य करता है।

सामान्य स्थिति में, जब तत्व के एक सूक्ष्म भाग पर सभी छह अवयवी तनाव कार्य करते हैं, तो अलग-अलग अवयवी तनावों के कार्यों को जोड़कर विशिष्ट विरूपण-कार्य प्राप्त होता है:

(10)

इनमें से प्रत्येक समाकल के ऊपरी सीमा के अनुसार अवकलन करने पर ऐसे संबंध प्राप्त होते हैं जो सबसे सामान्य स्थिति में लागू होते हैं:

(11)

i slično za ostale komponentalne deformacije. Ako je telo elastično, svakom određenom stanju napona odgovara uvek isto stanje deformacije, bez obzira na to da li je stanje dostignuto pri opterećenju ili rasterećenju. Tada pod integralima stoje jednoznačne funkcije i ukupna energija utrošena pri opterećenju i zatim potpunom rasterećenju je a = 0, s obzirom na to da u ovom slučaju gornje granice integrala postaju nula. Prema tome, ukupna energija dovedena telu pri opterećenju dobija se natrag pri rasterećenju.

चित्र 6

चित्र 7

अपूर्णतः प्रत्यास्थ पिंड के लिए, पूरे लोडिंग और अनलोडिंग चक्र के दौरान तनाव और विकृति के बीच संबंध का रूप लगभग चित्र 7 में O A B रेखाओं द्वारा दर्शाए गए रूप जैसा होता है। लोडिंग के समय दी गई ऊर्जा क्षेत्रफल OAA के बराबर होती है, और अनलोडिंग के समय वापस प्राप्त ऊर्जा क्षेत्रफल ABA के बराबर होती है, इसलिए वह कार्य, जो हैच किए गए क्षेत्रफल के अनुरूप है, नष्ट हो जाता है (ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है)। यदि दोलनात्मक प्रक्रिया में तनाव समय-समय पर धनात्मक सीमित मान और ऋणात्मक सीमित मान के बीच बदलता है, तो अनैष्टिक विकृति चित्र 7 में टूटी हुई रेखाओं द्वारा दर्शाए गए प्रकार से प्रवाहित होती है, और प्रत्येक दोलन-अवधि में प्रति इकाई आयतन ऊर्जा DABCD ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है। विकृति के दौरान ऐसा व्यवहार, जिसमें विकृति तनाव के पीछे रहती है, इलास्टिक हिस्टेरेसिस कहलाता है, और वक्र DABCD हिस्टेरेसिस लूप कहलाती है।

विकृति-कार्य और हूक का नियम

यदि समीकरण (10) के समाकलों में Hooke-नियम को लागू किया जाए, तो समाकलन किया जा सकता है, और विशिष्ट विकृति-कार्य के लिए निम्न पद प्राप्त होते हैं:

(12a)

(12b)

(12c)

यदि इन रूपों में से दूसरा समीकरण (11) में रखा जाए, तो फिर से हुक के नियम, समीकरण (8), तनावों के रूप में प्राप्त होते हैं। यह कथन कि विकृति-कार्य घटक विकृतियों पर निर्भर करता है, जैसा कि समीकरण (12b) से दिखाया गया है, अतः हुक के नियम के समतुल्य है। जब समीकरण (12c) को तनावों के अनुसार अवकलित किया जाता है, तो प्राप्त होता है

(13)

ये रूप, रूपों (11) के विपरीत, केवल उन निकायों पर लागू होते हैं जो हूक के नियम के अनुसार व्यवहार करते हैं और जहाँ तनाव और विकृति के बीच संबंध भिन्न हों, वहाँ लागू नहीं किए जा सकते। यह स्पष्ट है कि समीकरणों (13) के दाएँ पक्ष में केवल तनावों से उत्पन्न घटकात्मक विकृतियाँ होती हैं, और वे सभी अन्य विकृतियाँ बाहर रखी जाती हैं जो संभवतः तापमान परिवर्तन, क्रीप, सूजन, पुनर्क्रिस्टलीकरण, आदि के कारण उत्पन्न हुई हों।

एकीकृत कथन स्थैतिक लोच सिद्धांत में

आभासी विस्थापन। संभावित ऊर्जा के न्यूनतम का सिद्धांत

जैसे हुक के नियम, समीकरण (8) को एक ही समीकरण (12b) से बदला जा सकता है, वैसे ही संतुलन की शर्तों के स्थान पर आभासी विस्थापनों का सिद्धांत भी, यांत्रिकी के एक सामान्यतः मान्य मूल नियम के रूप में, प्रस्तुत किया जा सकता है। यह नियम बताता है कि संतुलन अवस्थाओं की विशेषता यह है कि उनमें विकृति की अवस्था में छोटे परिवर्तन के दौरान सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य होता है। यदि प्रत्यास्थ विस्थापनों के छोटे परिवर्तनों को δμ δν, δω से दर्शाएँ, तो समीकरण (7) द्वारा परिभाषित आयतन बल आभासी कार्य करते हैं

और सतही बल px, py, pz जो शरीर की बाहरी सतह के तत्व dF पर कार्य करते हैं, आभासी कार्य 

जहाँ त्रि-समाकल सम्पूर्ण आयतन पर तथा द्वि-समाकल पिंड की सम्पूर्ण बाह्य सतह पर लागू होता है। आंतरिक बलों द्वारा किए गए कार्य की गणना के लिए समीकरण (12b) का उपयोग किया जाता है, इसलिए प्रति इकाई आयतन कार्य प्राप्त होता है

इसके आधार पर आभासी विस्थापनों का सिद्धांत देता है

(14)

यदि X, Y, Z px, py., pz भारों को गुरुत्वाकर्षण बल के घटक (स्व-भार और बाह्य भार) माना जाए, तो दाईं ओर के समाकलन उन भारों द्वारा खोई गई संभावित ऊर्जा को दर्शाते हैं, जबकि बाईं ओर शरीर की संभावित (लोचीय) ऊर्जा की वृद्धि को दर्शाती है, इस प्रकार यह सिद्धांत बताता है कि संतुलन की स्थिति में बीम और उस पर स्थित भारों की कुल संभावित ऊर्जा का एक चरम मान होता है। यदि यह चरम मान न्यूनतम हो, तो संतुलन स्थिर होता है।

समीकरण (14) द्वारा व्यक्त न्यूनतम संभावित ऊर्जा का सिद्धांत, विकृति-कार्य के लिए व्यंजक (12b) तथा विकृति-संगतता की शर्तें (5), (6) समीकरणों की एक ऐसी प्रणाली प्रस्तुत करती हैं जो प्रत्यास्थता सिद्धांत के निर्माण के लिए पर्याप्त है, और जो मूलतः समीकरणों की प्रणाली के समतुल्य है। यह प्रणाली विशेष रूप से उन स्थितियों में उपयोगी हो सकती है जब अवकल समीकरणों (9) को संतुष्ट करना गणनात्मक कठिनाई प्रस्तुत करता है और इसलिए एक सन्निकट हल खोजना पड़ता है; उदाहरण के लिए, विस्थापनों के लिए पहले से कोई उपयुक्त रूप मान लिया जाता है जिसमें कुछ स्वतंत्र नियतांक होते हैं, और फिर उन्हें इस आवश्यकता से निर्धारित किया जाता है कि समीकरण (14) संतुष्ट हो। इस प्रकार, यद्यपि समस्या का कठोर हल नहीं मिलता, बल्कि केवल उस चुने हुए हल-रूप से प्राप्त की जा सकने वाली सर्वोत्तम सन्निकटता ही मिलती है। सन्निकटन पर्याप्त है या नहीं, यह मुख्यतः अपनाए गए हल-रूप पर निर्भर करता है, और इस विधि का सफल उपयोग इसलिए कौशल और अनुभव की माँग करता है।

कास्टिलियानो का सिद्धांत

जहाँ न्यूनतम संभावित ऊर्जा के सिद्धांत में विकृति की सभी अवस्थाओं की तुलना की जाती है जो विकृतियों की संगतता की शर्तों को पूरा करती हैं और उनमें से वे अवस्थाएँ चुनी जाती हैं जिनके लिए संबंधित तनाव संतुलन की शर्तों को पूरा करते हैं, वहीं Castigliano के सिद्धांत में तनाव की सभी अवस्थाओं की तुलना की जाती है जो संतुलन की शर्तों को पूरा करती हैं और उनमें से वे अवस्थाएँ चुनी जाती हैं जिनके लिए संबंधित विकृतियाँ विकृति-संगतता की शर्तों को पूरा करती हैं। यह सिद्धांत कहता है: सभी संभावित संतुलन अवस्थाओं में से वास्तविक वही होती है जिसके अनुरूप न्यूनतम विकृति-कार्य होता है। Castigliano का सिद्धांत, विकृति-कार्य के लिए समीकरण (12c) तथा संतुलन की शर्तों के साथ मिलकर, समीकरणों की एक ऐसी प्रणाली बनाता है जो पदार्थ-प्रतिरोध के निर्माण के लिए पर्याप्त है। चूँकि यह सिद्धांत Hooke के नियम को शामिल करता है, इसलिए इसके प्रयोग की संभावना इस धारणा से जुड़ी है कि विकृतियों का पूरी तरह वर्णन इसी नियम से किया जा सकता है। इसके लिए न केवल पदार्थ का रैखिक प्रत्यास्थ व्यवहार आवश्यक है, बल्कि तापमान परिवर्तन को भी बाहर रखता है।

प्रतिस्थिति-सीमा से ऊपर पदार्थों का व्यवहार

स्थैतिक भार के अंतर्गत घटनाएँ

तनावों के प्रभाव में पदार्थ का विकृति-व्यवहार एक अत्यंत जटिल घटना है, इसलिए उसे समझने के लिए विभिन्न दिशाओं में सरल बनाना पड़ता है। इन सरलीकरणों में से एक यह मान्यता है कि भार क्रमशः लगाया जाता है, जैसा कि, उदाहरण के लिए, तनन और संपीड़न परीक्षणों के दौरान नमूनों के साथ किया जाता है।

यदि तन्य भारित इस्पाती छड़ पर क्रमशः बढ़ते हुए भार लगाया जाए और उसकी विकृति ε मापी जाए, तो चित्र 8 में दिखाया गया आरेख प्राप्त होता है। प्रारंभ में विकृति बहुत छोटी होती है और तनाव के अनुपात में होती है, जैसा कि हुक के नियम की मांग है। एक निश्चित तनाव से आगे यह अनुपातिकता समाप्त हो जाती है और विकृति तेज़ी से बढ़ती है। इस अनुपातिकता की सीमा की सटीक स्थिति निर्धारित करना कठिन है। मापन जितना अधिक सटीक होगा, यह उतनी ही कम प्राप्त होती है। अधिकांश पदार्थों के लिए यह σ = 0 पर स्थित होती है, और तब हुक का नियम प्रत्यास्थ व्यवहार का केवल पहला सन्निकटन, अर्थात् मूल बिंदु के निकट ε = ε (σ) फलन के टेलर श्रेणी-विस्तार का पहला पद, होता है।

यदि छड़ को भारमुक्त किया जाए, तो देखा जाता है कि जब तनाव बहुत अधिक नहीं था, तो विकृति भी समाप्त हो जाती है, हुक के नियम के अनुसार। लेकिन यह भी बदल जाता है यदि किसी ऐसे तनाव को पार कर लिया जाए जो समानुपातिक सीमा, अर्थात तथाकथित प्रत्यास्थ सीमा के निकट होता है; तब कुल विकृति प्रत्यास्थ (वापसी योग्य) और अप्रत्यास्थ (स्थायी) भाग से मिलकर बनती है। प्रत्यास्थ सीमा भी ठीक-ठीक निर्धारित नहीं की जा सकती; मापन की सटीकता जितनी अधिक होगी, यह उतनी ही नीचे मानी जाएगी। हालांकि इसका बड़ा तकनीकी महत्व है, क्योंकि यह पदार्थ-प्रतिरोध के लगभग सभी गणनों में महत्व की सीमा को दर्शाती है, और साथ ही वह सीमा भी है जहाँ पहली स्थायी क्षतियाँ उत्पन्न होती हैं; इसलिए नमूनों के परीक्षण के लिए इसे किसी स्वीकृत परंपरा द्वारा कठोर रूप से परिभाषित किया जाता है, और उदाहरण के लिए, सीमा 0.2% के रूप में उस तनाव को दर्शाया जाता है जिस पर स्थायी विकृति 0.2% तक पहुँचती है।

लोच सीमा पार करते ही विकृति अचानक बढ़ जाती है और उसे नंगी आँख से देखा जा सकता है; लगभग स्थिर तनाव पर छड़ लगातार लंबी होती जाती है। इस तनाव को प्रवाह सीमा कहा जाता है। सामग्री-परीक्षण की हाइड्रॉलिक मशीनों में प्रवाह आरंभ होने के बाद तनाव में कम या अधिक स्पष्ट गिरावट भी देखी जा सकती है; जैसा कि चित्र 8 में टूटी हुई वक्र रेखा से दिखाया गया है; तब अधिकतम को ऊपरी प्रवाह सीमा कहा जाता है, और उसके बाद आने वाला स्थिर प्रवाह तनाव निचली प्रवाह सीमा कहलाता है।

एक निश्चित दीर्घीकरण प्राप्त होने के बाद, जो लगभग पूर्णतः अनास्थित होता है, तनाव फिर से बढ़ने लगता है; पदार्थ कठोर होने लगता है। इस भार-क्षेत्र में, अनास्थित पार्श्व संकुचन के कारण छड़ के अनुप्रस्थ काट में स्पष्ट कमी उत्पन्न होती है, और तनाव तथा विकृति आरेख का आगे का विकास मुख्यतः इस बात पर निर्भर करता है कि तनाव σ की गणना करते समय छड़ पर लगने वाला तन्य बल P प्रारंभिक अनुप्रस्थ काट F0 से विभाजित किया जाता है या तात्कालिक अनुप्रस्थ काट F से। तकनीकी उद्देश्यों के लिए P|F0 तनाव महत्वपूर्ण है। यह तनाव एक अधिकतम मान तक पहुँचता है, जिसे पदार्थ की दृढ़ता कहा जाता है, और इस अधिकतम को पार करने पर छड़ एक स्थान पर बहुत संकीर्ण हो जाती है और टूट जाती है। “वास्तविक तनाव” P|F विफलता तक बढ़ता रहता है।

चित्र 8.

अन्य धातुओं का व्यवहार यहाँ वर्णित व्यवहार से कई प्रकार से भिन्न होता है। प्रवाह अक्सर स्पष्ट नहीं होता, और सख्तीकरण लोच-सीमा पार होते ही प्रारंभ हो जाता है। भंगुर पदार्थों (पत्थर, काँच, कंक्रीट) में अलोचीय विकृतियाँ सामान्यतः बहुत कम होती हैं और थोड़ी सी भी विकृति पर टूटन हो जाती है। टूटन तक पदार्थ द्वारा सहन की गई कुल विकृति, पदार्थ की तन्यता (विपरीत: भंगुरता) का माप है और इस्पात के लिए इसे तकनीकी शर्तों में ठीक-ठीक निर्धारित किया जाता है। हालांकि, चूँकि टूटन से ठीक पहले आगे की विकृति संकरे अनुप्रस्थ काट के आसपास के स्थानों में केंद्रित हो जाती है, इसलिए टूटन पर विकृति का भिन्न मान मिलता है, इस पर निर्भर करते हुए कि मापन लंबाई के लिए छड़ का बड़ा या छोटा भाग लिया गया है; इसलिए एकार्थक और परस्पर तुलनीय परिणाम प्राप्त करने के लिए पहले से कोई निश्चित परंपरा अपनानी पड़ती है। टूटन पर विकृति सामान्यतः इस प्रकार मापी जाती है कि व्यास d वाली गोल छड़ पर परीक्षण से पहले मापन लंबाई Ι = 10 d अंकित कर दी जाती है और उसकी बढ़ोतरी ΔΙ से टूटन पर विकृति εs_Ι = _ΔΙ|Ι निकाली जाती है। यदि भिन्न अनुप्रस्थ काट वाली छड़ों की जाँच करनी हो, तो मापन लंबाई उस वृत्ताकार बेलनाकार छड़ के व्यास के अनुसार निर्धारित की जाती है जिसकी अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान हो।

दीर्घकालिक भार

तन्यता परीक्षण की प्रक्रिया के लिए यह काफी हद तक अप्रासंगिक है कि अंतिम विफलता तक भार को 10 m मिनट या कुछ घंटों में बढ़ाया जाता है। हालांकि, यदि भार वर्षों या दशकों तक कार्य करता है, तो कुछ स्थितियों में यह देखा जाता है कि यील्ड सीमा से नीचे भी, स्थिर तनाव के तहत समय के साथ विकृति धीरे-धीरे बढ़ती रहती है। इस दौरान प्रत्यास्थ भाग, अर्थात वह भाग जो अंतिम अनलोडिंग पर समाप्त हो जाता है, में विशेष परिवर्तन नहीं होता। लंबी अवधि में होने वाली इस अपर्याप्त प्रत्यास्थ विकृति की वृद्धि को रेंगन (creep) कहा जाता है। धातुओं में, सीसा को छोड़कर, रेंगन केवल उच्च तापमानों पर ही महत्वपूर्ण है; परंतु सिविल इंजीनियर के लिए इसका महत्व कंक्रीट में है, जो दबाव में धीरे-धीरे शिथिल होता है, जिससे यदि संपीडित सुदृढीकरण मौजूद हो तो उसमें तनाव बढ़ जाता है।

परिवर्ती भार

यदि तन्यता परीक्षण में प्राप्त पदार्थ के यांत्रिक गुणों को संरचनाओं पर अनुमेय भार के मापदंड के रूप में लागू करना हो, तो शर्त यह है कि पदार्थ प्रत्येक पुनः-भारण पर उस तनाव को सहन करे जिसे उसने एक बार बिना क्षति के सहा था। यह शर्त तब पूरी नहीं होती जब पदार्थ को बार-बार भारण और अनभारण के चक्रों के अधीन किया जाए, जैसा कि, उदाहरण के लिए, अपूर्णतः संतुलित मशीनों के जड़त्वीय बलों से लदे गर्डरों के मामले में होता है। पर्याप्त बार-बार भारण से किसी संरचनात्मक भाग को ऐसे तनाव पर भी विफलता तक पहुँचाया जा सकता है जो सामान्य स्थैतिक परीक्षण से निर्धारित पदार्थ-शक्ति से बहुत नीचे हो। इस प्रकार की विफलता को थकान-जनित विफलता कहा जाता है। पदार्थ द्वारा सहन किए जा सकने वाले भारण-चक्रों की संख्या n तनाव σ के मान पर निर्भर करती है, और तनाव जितना कम होता है, संख्या उतनी ही अधिक होती है। इस निर्भरता का एक विशिष्ट उदाहरण आकृति 9 में दिखाया गया है, जिससे स्पष्ट है कि पदार्थ-शक्ति की एक निचली सीमा होती है, जिसे वह भारण-चक्रों की मनचाही बड़ी संख्या पर भी सहन करता है, और जिसे गतिशील पदार्थ-शक्ति कहा जाता है। इस प्रकार के आरेख (आकृति 9) Wӧhler वक्र कहलाते हैं।

चित्र 9.

संरचनाओं की सुरक्षा

संरचनाओं के लिए दो सीमा-भार महत्वपूर्ण हैं: वह भार जिस पर प्रथम स्थायी क्षति उत्पन्न होती है (प्रवाह-सीमा), और वह भार जिस पर संरचना की वहन-क्षमता समाप्त हो जाती है और वह टूट जाती है (भंजन-सीमा)। चूँकि प्रवाह-सीमा से पहले कम-से-कम लगभग पदार्थ-प्रतिरोध की मान्यताएँ (छोटे विस्थापन, हूक का नियम) लागू होती हैं, स्थायी विकृतियों के विरुद्ध सुरक्षा का विश्वसनीय आकलन उन सभी मामलों में किया जा सकता है जिनमें गणितीय कठिनाइयों को दूर कर लिया जाए। यदि तनाव भार के समानुपाती हो, तो प्रवाह-तनाव और संरचना में उत्पन्न अधिकतम तनाव का अनुपात उस भार के अनुपात के बराबर होता है जिस पर प्रवाह उत्पन्न होता है और वास्तविक भार के, और यह प्रवाह के विरुद्ध सुरक्षा गुणांक को दर्शाता है। किंतु अनेक मामलों में यह सरल संबंध नहीं होता: बकलिंग जब तनन को छोड़ दिया जाए, उभरी सतहों के बीच दाब, ऐसी प्रणालियाँ जिनकी संरचना परिवर्तनीय हो, और विशेष रूप से प्रतिकूल, अक्षीय बल के साथ बकलिंग। इन सभी मामलों में भार में अपेक्षाकृत छोटी वृद्धि भी तनाव में बड़ी वृद्धि ला सकती है, और तब सामान्य सुरक्षा गुणांक को तनावों पर लागू करना पर्याप्त नहीं होता, बल्कि उसे भार पर लागू करना पड़ता है।

उपज-सीमा को पार करने के बाद से टूटने तक होने वाली घटनाओं को अधिकांश मामलों में केवल गुणात्मक रूप से ही देखा जा सकता है। यदि सामग्री तन्य है, तो जिन भागों में पहले उपज-सीमा प्राप्त होती है और जो आगे स्थिर तनाव या थोड़ा बढ़ते तनाव के अंतर्गत विकृत होते रहते हैं, वे आगे के भार को वहन करने में बहुत कम योगदान देते हैं, जिससे शेष, कम तनावग्रस्त भाग, जहाँ तक उसकी संरचना अनुमति देती है, भार वहन में अधिक भाग लेते हैं। तनाव-शीर्षों को बराबर करने की इस प्रवृत्ति में सुरक्षा का एक निश्चित भंडार निहित है, जिसे गणनात्मक रूप से उपयोग किया जा सकता है यदि किसी एक महत्वपूर्ण भार के कारण कुछ भागों का स्थायी विकृति-परिवर्तन हानिकारक न हो (सीमा-भार विधि)।

यदि पदार्थ भंगुर है, तो पहला स्थायी क्षति-चिह्न दरारों के रूप में प्रकट होता है, जिनके कारण खतरे वाले स्थान पर तनाव का और अधिक संकेन्द्रण होता है, जो तुरंत टूटन पैदा कर देता है। थकान के कारण होने वाली टूटन, तन्य पदार्थों में भी, भंगुर टूटन के लक्षण दिखाती है।

 विभिन्न काट-समतलों के लिए तनावों के बीच संबंध

परिवर्तन समीकरण

चित्र 1 में दर्शाए गए तनाव के नौ घटक तीन संतुलन शर्तों से संबद्ध हैं। शेष छह राशियाँ σx, σy, σz τxy, τyz, τzx स्वतंत्र रूप से एक-दूसरे से अलग मनमाने मान ग्रहण कर सकती हैं, जैसा कि प्रत्यास्थता सिद्धांत के अवकल समीकरणों के व्युत्पादन से स्पष्ट होता है। किंतु जब ये मान दिए गए हों, तो किसी ठोस पिंड के किसी बिंदु पर तनाव की अवस्था पूर्णतः निर्धारित हो जाती है, अर्थात् जब तीन परस्पर लम्बवत् समतलों के लिए तनाव ज्ञात हों, तो किसी चौथे समतल के लिए, जो दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है और जिसकी अभिलंब किसी भी दिशा में हो, तनाव भी अद्वितीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

चित्र 10 में OABC टेट्राहेड्रन दिखाया गया है, जिसकी तीन सतहें समन्वय तंत्र x, y, z के समतलों के समांतर हैं और चौथी सतह सतह तत्व ABC = dF. का कोई मनमाना अभिविन्यस्त तत्व है। उसकी दिशा तथा उसके माध्यम से प्रेषित प्रतिबल की दिशा को दर्शाने के लिए एक दूसरा समन्वय तंत्र प्रस्तुत किया जाता है, जिसकी ξ-अक्ष dF. के लंबवत है

आकृति 10

इस टेट्राहेड्रन पर ξ अक्ष की दिशा में कार्य करने वाले बलों के संतुलन की शर्त देती है

यदि इस बात को ध्यान में रखा जाए कि

प्राप्त होता है

तथा इसी प्रकार अक्ष η की दिशा में संतुलन की शर्तों से:

ये वे समीकरण हैं जो निर्देशांक रूपांतरण के दौरान तनाव की गणना के लिए उपयोग होते हैं। विशेष महत्व इस बात का है कि केवल सतह के ऐसे तत्व dF ही विचार में लिए जाएँ जिनके लिए ξ-अक्ष z-अक्ष के साथ मेल खाता हो। इस मामले के लिए रूप हमें पिछले रूपों को सरल करके या सीधे चित्र 11 से पढ़कर प्राप्त कर सकते हैं:

चित्र 11

सामान्य प्रतिबल α = α0 दिशाओं के लिए चरम मान ग्रहण करता है, जिनके लिए dσξ/dα = 0. अवकलन करने पर समीकरण (16) से प्राप्त होता है

तो, जब इस अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर रखा जाता है

तनाव τξη इन समतलों में कुल कतरनी तनाव भी होगा, यदि τyz = τzx = 0। तब समीकरण (17) से दो परस्पर लंब दिशाएँ निर्धारित होती हैं, जिनके लिए: 1. कुल कतरनी तनाव शून्य होता है और, 2. सामान्य तनाव के चरम मान (अधिकतम और न्यूनतम) होते हैं। इन दिशाओं को प्रमुख तनावों की दिशाएँ कहा जाता है, और संबंधित तनावों को मुख्य तनाव कहा जाता है। इन्हें σ1 और σ2 से दर्शाया जाता है और इन्हें सीधे सूत्र से परिकलित किया जा सकता है

 मोर का वृत्त

समीकरण (16) को स्पष्ट रूप में ग्राफ़िक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। इसके लिए उन्हें निम्न रूप में रूपांतरित करना चाहिए:

ये समीकरण निर्देशांक तंत्र σ, τ में उस वृत्त के समीकरण का पैरामीट्रिक रूप प्रस्तुत करते हैं, जो चित्र 12 में खींचा गया है; जिसके केंद्र के निर्देशांक σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 हैं और जिसकी त्रिज्या

इस वृत्त को Mohr का वृत्त कहा जाता है। यदि बिंदु x से x =const. के समांतर एक रेखा खींची जाए, जिसके द्वारा तनाव σx, τxy स्थानांतरित होते हैं, तो वह वृत्त को p बिंदु पर काटेगी, जिसे Mohr वृत्त का ध्रुव कहा जाता है। इस ध्रुव से खींची गई प्रत्येक pξ रेखा वृत्त को ξ बिंदु पर काटती है, जो तनाव σξ, τξη निर्धारित करती है, जो pξ के समांतर काट से स्थानांतरित होते हैं।

Mohr के वृत्त को खींचते समय कर्तन तनावों के चिह्न के संबंध में यह ध्यान रखना चाहिए कि यदि उनकी दिशा चित्र 12c में दिखाई गई दिशा के अनुसार ऊपर की ओर है, तो उन्हें ऊपर की ओर अंकित किया जाता है। इसलिए युग्मित दो तनावों τxy, τyx में से एक हमेशा धनात्मक होता है और दूसरा ऋणात्मक।

सीमांत मान σ1, σ2 के सामान्य तनावों के अनुरूप वृत्त पर बिंदु 1 और 2 होते हैं, और रेखाएँ _p_1 तथा _p_2 मुख्य तनावों की दिशाएँ देती हैं।

x-y समतल में स्थित तनावों का Mohr के वृत्त द्वारा निरूपण इस बात की किसी भी धारणा से संबद्ध नहीं है कि इस समतल पर लम्बवत तनाव σz, τxz, τyz क्या हैं।

चित्र 12

अतः यह सबसे सामान्य त्रिविमीय तनाव अवस्था पर भी लागू होता है, यदि केवल उन अनुप्रस्थ तलों की तुलना की जाए जो सभी एक ही रेखा से गुजरते हैं, जिसे यहाँ z और ξ अक्ष के लिए चुना गया है। क्योंकि सामान्य परिवर्तन समीकरणों (15) के अनुसार सामान्य तनाव σ किसी भी अनुप्रस्थ तल के लिए अनंत नहीं हो सकता, इसलिए किसी एक तल के लिए इसका एक सीमित अधिकतम σ1 और दूसरे के लिए न्यूनतम σ3 होना चाहिए, जिनमें से दोनों, स्पष्ट है, ऋणात्मक भी हो सकते हैं। यदि σ1 और σ3 सदिशों के माध्यम से एक तल खींचकर मोहर का वृत्त बनाया जाए (चित्र 13)

चित्र 13

वे तनाव जो इस तल में स्थित हैं (अर्थात् इस तल के लंबवत सभी दिशाएँ), तब σ1 और σ3 वे सबसे बड़े और सबसे छोटे सामान्य तनाव हैं जो उत्पन्न हो सकते हैं और इसलिए एक-दूसरे के लंबवत होने चाहिए। यदि दिशाएँ 1 और 3 को दिशा 2 से पूरा किया जाए, ताकि ये तीनों दिशाएँ एक समकोणीय निर्देशांक तंत्र बनाएं, और यदि तल 1 ~2 तथा 2 ~ 3 के लिए Mahr-के वृत्त खींचे जाएँ, तो σ2 इन वृत्तों में से एक के लिए सबसे बड़ा और दूसरे के लिए सबसे छोटा सामान्य तनाव होता है, और इसलिए दिशाओं 1, 2 और 3 के लंबवत कटानों में कर्तन तनाव शून्य के बराबर होता है। परस्पर लंबवत तीन सामान्य तनाव σ1, σ2 और σ3, जिनके साथ कर्तन तनाव संबद्ध नहीं होते, मुख्य तनाव कहलाते हैं।

    समग्र तनाव अवस्था में यील्ड सीमा और विफलता सीमा

तनाव की अवस्था को एक-, दो- या त्रि-आयामी कहा जाता है, दूसरे शब्दों में: रैखिक, समतलीय या स्थानिक, इस पर निर्भर करता है कि एक, दो या तीनों मुख्य तनाव शून्य से भिन्न हैं या नहीं। प्रायः प्रयुक्त संरचनात्मक भागों में, अर्थात् तन्य, संपीडित और मुड़े हुए दंड में, तनाव की अवस्था, कम-से-कम सर्वाधिक तनावग्रस्त स्थानों पर, एक-आयामी होती है; यही बात तनन, संपीडन या मोड़ के परीक्षणों पर भी लागू होती है, जिन्हें सामग्री-परीक्षण में लगभग विशेष रूप से अनुमेय तनाव निर्धारित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इसके विपरीत, अपनी समतलता में या उसके लम्बवत भारित प्लेटों तथा खोलों में तनाव की अवस्था द्वि-आयामी होती है, और कुछ मामलों में त्रि-आयामी तनाव अवस्थाएँ भी प्रकट होती हैं, इसलिए एक-आयामी तनाव अवस्था में निर्धारित यील्ड और विफलता सीमा के आधार पर स्थानिक तनाव अवस्था में सामग्री के व्यवहार के बारे में निष्कर्ष निकालना आवश्यक होता है।