Efni: Efnisfræði og teygjufræði

Grundvallaratriði

Hlutverk burðarþolslærdóms er að ákvarða hvaða ytri krafta fast efni getur staðist (t.d. bygging, burðarhluti eða jarðvegur). Til að svara þessari spurningu er gengið út frá tveimur viðmiðum: annars vegar mega spennur ekki fara yfir ákveðin mörk sem ráðast af gerð efnisins, og hins vegar verður jafnvægið milli ytri og innri krafta að vera stöðugt. Í samræmi við þetta má skipta öllum verkefnum burðarþolslærdóms í „spennuvandamál“ og „stöðugleikavandamál“.

Í stöngum og bitum og burðarvirkjum sem samsett eru úr þeim (tindverkum, rammaverkum) er ákvörðun spennanna framkvæmd í tveimur skrefum, þannig að fyrst er, á grundvelli gefinna ytri krafta, reiknað samlag allra innri krafta sem berast um þversniðið, og síðan eru spennurnar ákvarðaðar út frá þessum „sniðkröftum“. Fyrri hluti aðferðarinnar er sérstök, umfangsmikil grein, burðarfræðileg stöðufræði, sem hefur þróaðar eigin aðferðir og er venjulega aðskilin frá efnisþoli, en hlutverk þess takmarkast við að ákvarða spennur út frá gefnum sniðkröftum.

Grunnatriði í efnisstyrk

Að skilgreiningu spennu er komið með eftirfarandi grundvallarsjónarmiðum. Látum jafnvægiskerfi ytri krafta verka á líkamann. Ímyndum okkur að við höfum skipt líkamanum með hvaða sniði sem er í tvo hluta og fjarlægt annan þeirra ásamt þeim kröftum sem verka á hann; þá verður áhrif hans á hinn hlutann, til að jafnvægi krafta og dreifing aflögunar haldist óbreytt, að vera skipt út fyrir viðbótarkrafta sem berast um sniðflötinn. Þessir “innri” kraftar eru samfelld dreifðir um sniðflötinn, þannig að hverju flatarsvæði dF samsvarar krafturinn dβ. Ef myndað er hlutfallið dβ dF og gert er markgildi dF -> 0, þá stefnir þetta hlutfall að markgildi sem kallast spenna. Spenna í tilteknum flatarsvæði er, eins og dβ, og má brjóta hana niður í þætti normalan og snertilegan við dF, normalspennu σ og skerspennu τ.

Ef skurðir eru lagðir í gegnum sama punkt í mismunandi áttir, munu þeim einnig svara mismunandi spennur. Sérstaklega, ef úr líkamanum er tekin út frumgerður teningur, sýndur á sl. 1, mun spennuvektor verka á hverju af sex yfirborðum hans og hann má sundurliða í þrjá þætti í stefnu hnitásanna x, y z. Spennurnar sem verka á gagnstæðar hliðar yfirborðsins eru að sjálfsögðu ólíkar hvor annarri aðeins um differtíal, þannig að greina verður 3 * 3 = 9 þætti spennunnar, sem eru táknaðir á eftirfarandi hátt:

Venjuleg spennuþættir σ fá ásvísun þeirrar áss sem þeir liggja í stefnu við og teljast jákvæðir ef þeir valda togspennu, neikvæðir ef þeir valda þrýstingi. Skerspennur τ fá tvær vísanir; sú fyrri er sú sama og vísun viðkomandi venjulegu spennunnar, en sú seinni vísar til þeirrar áss í stefnu sem skerspennan verkar. Ef jákvæða stefna viðkomandi venjulegu spennunnar er í stefnu jákvæðrar (neikvæðrar) hnitáss, er skerspennan einnig talin jákvæð ef hún verkar í stefnu jákvæðrar (neikvæðrar) hnitáss.

Mynd 1.

 Samruni skerspennu

Ef skilyrði er sett fyrir frumstæðan tening, mynd 1, að moment allra krafta með tilliti til x-ássins sé núll, fæst τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. Héðan, og úr tveimur samsvarandi jöfnum fyrir y- og z-ásana, fæst að skerspennur með sömu undirskriptum eru innbyrðis jafnar τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

Stökuaflögun

Að ofangreint skilgreindar spennur hafi eðlisfræðilega merkingu, leiðir af tengslum þeirra við þá skilgreiningu sem sérhvert efni verður fyrir undir áhrifum ytri afla. Mynd. 2 sýnir einn frumkubba, sem fyrir aflögun var rétthyrndur og hafði brúnarlengdir dx, dy, dz. Brúnarlengdir eftir aflögun má tákna sem dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz. Hlutföllin εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz eru kölluð lengingar. Þetta eru stærðir án víddar og hjá öllum þeim efnum sem koma til greina í byggingariðnaði eru þær litlar miðað við 1. Auk lengingar brúnanna getur frumkubburinn dx * dy * dz einnig orðið fyrir breytingu á upphaflega réttum hornum milli flatanna.

Mynd 2. komponens aflögun

Látum eftir aflögun vera að hornið milli flatanna sem mætast eftir brúninni OC sé jafnt  og á sama hátt að minnkun rétta hornsins eftir brúninni AO sé jöfn γyz, og minnkun eftir brúninni OB jöfn γzx. Þessar þrjár hornabreytingar γxy, γyz, γzx, kallast skrið og eru einnig alltaf litlar miðað við 1.  Með sex þátta ε og γ er aflögun frumteningsins “smáaflögun” fullkomlega ákveðin. Breyting rúmmáls frumefnisins d_V = dx * dy * dz_ er ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, og þegar framleiður lenginga eru vanræktar sem smástærðir af hærri stigi fæst rúmteningalenging ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Færslur

Aflögun fasts líkama má einnig lýsa að fullu þannig að hverjum punkti hans sé gefin sú hliðrun sem punkturinn hefur orðið fyrir. Ef útilokaðar eru úr athugun hliðranir af endanlegri stærð sem svara til hliðrunar stífs líkama, með því að taka, ef nauðsynlegt er, hliðranlegt hnitakerfi upp í útreikningnum, þá eru hnitþáttarhliðranirnar μ, ν, ω alltaf smárar stærðir, og afleiður þeirra m.t.t. hnitanna smáar miðað við 1. Með þeirri forsendu er samkvæmt mynd 3 lengd línuhlutans OA = dx eftir aflögun

þannig  (3)

Á svipaðan hátt má sjá af mynd 3 að skriðið γxy γ1 + γ2: og einnig

 (4)

Mynd 3 rennsli

(5)  (6)

Þessar tengingar eru kallaðar samræmis-skilyrði og lýsa því að aflöguðu þættirnir geti fallið saman eins og mósaík þannig að rýmið sé samfellt fyllt, sem ekki er hægt að ná ef aflögun þáttanna er handahófskennd. Samræmis-skilyrðin eru diffurjöfnur, og því eru, að sjálfsögðu, allir sex hlutaaflögunarþættir fyrir hvern einstakan kubb innbyrðis óháðir, en staðsetning þeirra á hverju endanlega útbreiddu svæði er bundin af skilyrðunum (5) og (6).

Þar sem þessi skilyrði eru fengin með diffurreikningi út frá jöfnunum (3) og (4), glatast við leiðslu þeirra hluti þeirra tengsla sem fólgin eru í upphaflegu jöfnunum. Því nægir ekki að aðeins eitt af þessum tveimur jöfnuhópunum sé uppfyllt; báðir jöfnuhóparnir verða að vera fullnægðir ef tryggja á samræmi aflögunar.

Mismunajöfnur kerfis teygjanleika

Eftirfarandi jöfnur eru notaðar til að reikna spennur og aflögun í teygjanlegum líkama:

Jafnvægisskilyrði rúmmálsþáttar. Skilyrðin um að momentin um þrjá ása séu jöfn núlli voru þegar notuð við leiðslu jöfnunnar (1). Skilyrði kraftajafnvægis gefa samkvæmt mynd 4

Mynd 4

(7a-c)

Ef með X, Y, Z eru tápaðir þættir rúmmálsafla (t.d. þyngd, miðflóttakraftur) á rúmmálseiningu. Tengsl milli spennna og aflögunar. Hér er átt við tengsl milli þátta spennu og þátta aflögunar. Í teygjufræði kemur að jafnaði aðeins til greina línuleg tenging, sem lýst er með lögmáli Hooke:

(8a-c)

(8d-f)

Ef jafnanirnar (8a-c) eru leystar m.t.t. spennanna, fæst

(8 a)

kso og tvær samsvarandi jöfnur. Lögmál Hookes, sett fram með jöfnunni (8), er ekki einhver stranglega uppfylltur náttúrulögmál, heldur einföldun á raunverulegri hegðun, sem víkur frá því meira eða minna, eftir efni og stærð álagsins. Með tilliti til þess að stærðfræðileg meðferð á styrkleikavandamálum efna með flóknum, ólínulegum tengslum milli spennu og aflögunar veldur miklu meiri erfiðleikum og er í raun aðeins unnt að framkvæma í einföldustu tilvikum, verða einnig hjá þeim efnum (steypa!) sem hegðun þeirra víkur verulega frá lögmáli Hookes, útreikningar sem byggjast á því að vera notaðir sem fyrsta, og að mestu leyti eina nálgunarlausnin, sem auk þess er að jafnaði mjög nytsamleg og gefur innsýn sem er meira en aðeins eigindleg. G = E|2 (1+μ).

Hún leiðir nauðsynlega af tengslinni milli álags og aflögunar (8), af jafnvægisjöfnunum (16) fyrir álag og samsvarandi jöfnuhóp fyrir hlutaaflögun. E og G hafa sömu vídd og álag og eru hjá öllum byggingarefnum stór miðað við þau álag σ og τ sem geta komið fram. Á þessari staðreynd byggist sú forsenda sem er viðurkennd alls staðar í teygjukenningunni, að aflögun sé lítil. Þvervíkkunarstuðullinn (Poisson-talan) μ er víddarlaus og er alltaf á bilinu 0 og 1/2 .

Sambönd milli hlutaaflögunar og færslna. Þessi tengsl eru gefin með jöfnunum (3), (4). Þau eru eingöngu af rúmfræðilegum toga. Þessi þrjú kerfi gefa 3+6+6=15 jöfnur fyrir 15 óþekkt stærð, þ.e. fyrir 6 hlutaspenna, 6 hlutaflögun og 3 hlutfærslur. Þær eru því nægjanlegar til að ákvarða þessar óþekktu stærðir. Stærðfræðileg meðhöndlun á svo umfangsmiklu kerfi diffurjafna er auðvitað aðeins möguleg í sértilvikum. Ef í jöfnu (8) eru hlutaflögunir leystar með hlutfærslum samkvæmt jöfnunum (3) og (4) og síðan eru eðlispennur σ og skerspennur τ, samkvæmt jöfnunum (8 d - f), settar inn í jafnvægisskilyrðin, jöfn. (7), fást diffurjöfnur sem nefnast grunnjöfnur teygjukenningarinnar.

(9)

þar sem  táknar Laplace-virkjann. Með hliðsjón af (2) eru þetta þrjár diffurjöfnur með þremur liðfærslum μ, ν, ω; úr þessum er síðan með diffrun á grundvelli (3), (4) og (8) unnt að fá allar spennur og aflaganir í liðum. Jöfnurnar (9) eru oft hentugur upphafspunktur til að kanna sértilfelli.

Deformationarvinna

Skilgreining

Þegar burðarvirki er hlaðið verða álagsstöðvar ytri krafta fyrir teygjanlegum hreyfingum og kraftarnir vinna þar við ákveðið verk. Á þennan hátt getur tilflutt orka farið yfir í mismunandi form. Ef álagið er lagt á skyndilega, þannig að aflögunarferlið fari mjög hratt fram, breytist hluti orkunnar í hreyfiorku sem dreifist síðan með tímanum, annaðhvort þannig að hún berist út í jarðveginn sem teygjanleg bylgja sem hverfur út í óendanleikann, eða að hún breytist í hita vegna innri núnings. Ef álagið er lagt á svo hægt að engin greinileg aukning hreyfiorku verði, þ.e. að álagið sem vex smám saman frá núlli sé í stöðugu jafnvægi við innri krafta, er ljóst að orkan fer eingöngu í að aflaga líkamann og er þá kölluð aflögunarvinna.

Útreikning á aflögunarvinnu munum við fyrst sýna á litlum hlut sem er hlaðinn í tog í eina átt (mynd 5).

Látum núverandi spenna σ og samsvarandi lenging ε verða fyrir viðbótum dσ og dε. Þá mun krafturinn σdF á leiðinni dε * dl vinna verkið  σdF * dεdl = σdεdV, ef dV táknar rúmmál litla hlutans. Ef spenna eykst frá núllinu upp í endanlegt gildi sitt og lenging þar með frá 0 til ε, verður heildarverk á rúmmálseiningu:

Á svipaðan hátt er fyrir þátt sem er hlaðinn með skerspennu τ (mynd 6) aflögunarvinna á rúmmálseiningu (sértæk aflögunarvinna, teygjumáttur):

þar sem aðeins einn af fjórum kraftunum τ * dF vinnur vinnu.

Í almennu tilviki, þegar allir sex spennuþættirnir verka á frumhlutann, fæst sértæka aflögunarvinnan með því að leggja saman vinnu einstakra spennuþátta:

(10)

Með því að diffrentiala m.t.t. efri marka hvers þessara heilda fást sambönd sem gilda í almennasta tilviki:

(11)

og svo framvegis fyrir aðrar hlutaaflögunir. Ef líkaminn er teygjanlegur, svarar sama spennuástand ávallt til sama aflaganarástands, óháð því hvort ástandið er náð við álag eða afhleðslu. Þá standa undir heildunum ótvíræð föll og heildarorkan sem notuð er við álag og síðan fulla afhleðslu er a = 0, þar sem í þessu tilviki verða efri mörk heildanna að núlli. Af þessu leiðir að heildarorkan sem látin er líkamanum í té við álag fæst til baka við afhleðslu.

Mynd 6

Mynd 7

Fyrir ófullkomlega teygjanlegt líkama hefur sambandið milli spennu og aflögunar fyrir allan hleðslu- og afhleðslulotu form sem er nálgað sýnt á mynd 7 með línunum O A B. Orkan  sem kemur inn við hleðslu er jöfn flatarmálinu OAA, en orkan sem skilað er við afhleðslu flatarmálinu ABA, þannig að tapast (umbreytist í hita) það verk sem samsvarar röndótta flatarmálinu. Ef í sveifluferlinu breytist spennan reglubundið milli jákvæðs markgildis  og neikvæðs markgildis,  þá fer óteygjanlega aflögunin fram á svipaðan hátt og sýnt er með brotnum línum á mynd 7 og við hvert sveiflutímabil umbreytist orkan DABCD í hita á rúmmálseiningu. Slíkt hegðunarmynstur við aflögun, þar sem aflögunin á eftir spennunni, kallast teygju-hysteresa, og ferillinn DABCD hysteresislykkja.

Aflögunarvinna og lögmál Hookes

Ef Hooke-lögmálið er sett inn í heildirnar í jöfnunni (10), má framkvæma heildun, og fyrir sértæka aflögunarvinnu fást eftirfarandi segðir:

(12a)

(12b)

(12c)

Ef annað þessara forma er sett inn í jöfnuna (11), fæst aftur Hooke-lögmálið, jöfnurnar (8), í formi leystu með tilliti til spennna. Fullyrðingin um að aflögunarvinnan ráðist af þáttaflögunum, eins og sýnt er með jöfnunni (12b), er því jafngild Hooke-lögmálinu. Þegar jafnan (12c) er diffruð m.t.t. spennna, fæst

(13)

Þessar formúlur, ólíkt formúlum (11), gilda aðeins fyrir efni sem hegða sér samkvæmt lögmáli Hooke og er ekki hægt að beita þeim þegar tengsl milli spennu og aflögunar eru önnur. Það er ljóst að hægri hlið jafna (13) inniheldur aðeins komponentaflögun sem stafar af spennum, en útilokar allar aðrar sem hugsanlega hefðu getað orðið vegna hitabreytinga, skriðs, bólgu, endurkristöllunar o.s.frv.

HEILDARSJÓNARMIÐ Í TEYGNIFRÆÐI

Sýndarhreyfingar. Meginreglan um lágmark stöðuorku

Rétt eins og lagmál Hooke, jöfnurnar (8), er hægt að skipta út með einni jöfnu (12b), þannig má einnig í stað jafnvægisskilyrða setja fram lögmál sýndarhliðrunar, sem almennt gildandi grundvallarlögmál vélfræðinnar. Þetta lögmál segir að jafnvægisástand einkennist af því að heildarvinna allra krafta við litla breytingu á aflögunarástandi sé jafnt núlli. Ef litlar breytingar á teygjuhliðrunum táknum við δμ δν, δω, þá vinna rúmkraftarnir sem skilgreindir eru með jöfnu (7) sýndarvinnu

og yfirborðskraftarnir px, py, pz sem verka á frumefnið dF á ytra yfirborði líkamans vinna 

þar sem þrefalda heildið er yfir allt rúmmálið og tvöfalda heildið yfir allan ytri flöt líkama. Til að reikna vinnuna sem innri kraftar vinna er jafnan (12b) notuð, og þá fæst fyrir vinnu á rúmmálseiningu

Meginreglan um sýndarhliðranir gefur þar af leiðandi

(14)

Ef álagið X, Y, Z px, py., pz er skilið sem þættir þyngdarkraftsins (eiginþyngd og ytra álag), tákna heildirnar hægra megin þá stöðugildiorku sem þessi áföll hafa tapað, en vinstri hliðin táknar aukningu stöðugildiorku (teygjuorku) líkama, þannig að þessi meginregla sýnir að heildarstöðugildiorka burðarins og álaganna sem hvíla á honum hefur í jafnvægistilviki öfgagildi. Ef þetta öfgagildi er lágmark, er jafnvægið stöðugt.

Meginreglan um lágmarksstöðuorku, sett fram með jöfnunni (14), orðsambandið (12b) fyrir aflögunarvinnuna og skilyrði um samræmi aflögunar (5), (6) mynda jöfnuhóp sem nægir til að byggja upp teygjufræðina og er í grunninn jafngildur jöfnuhópnum. Þessi hópur getur verið einkar gagnlegur í tilvikum þar sem uppfylling diffurjöfnanna (9) veldur útreikningsörðugleikum og því þarf að leita nálgunarlausnar, t.d. með því að gera ráð fyrir hentugu formi fyrir færslur, sem inniheldur nokkra frjálsa fasta, og ákvarða þá út frá kröfunni um að jafnan (14) sé uppfyllt. Þannig fæst raunar ekki nákvæm lausn vandamálsins, heldur aðeins besta nálgunin sem unnt er að ná með völdu lausnarformi. Hvort nálgunin sé nægileg veltur fyrst og fremst á samþykktu lausnarformi, og farsæl beiting þessarar aðferðar krefst þess vegna lagni og reynslu.

Castigliano-prinsippið

Þegar um lágmarksstöðu rúmorku er að ræða eru öll aflögunarstig borin saman sem uppfylla skilyrði um samræmi aflögunar og úr þeim eru valin þau þar sem samsvarandi spennur uppfylla skilyrði um jafnvægi; hjá Castigliano-meginreglunni eru öll spennustig sem uppfylla jafnvægisskilyrði borin saman og úr þeim eru valin þau þar sem samsvarandi aflögun uppfyllir skilyrði um samræmi aflögunar. Þessi meginregla segir: af öllum mögulegum jafnvægisstöðum kemur raunverulega fram sá sem samsvarar minnsta aflögunarvinnu. Meginregla Castigliano ásamt jöfnunni (12c) fyrir aflögunarvinnu og jafnvægisskilyrðunum myndar jöfnukerfi sem nægir til að byggja upp burðarþol efna. Að því gefnu að þessi meginregla innihaldi lögmál Hookes er notkun hennar bundin þeirri forsendu að aflögun megi lýsa að fullu með þessu lögmáli. Þetta krefst ekki aðeins línulega teygjanlegrar hegðunar efnisins, heldur útilokar einnig hitabreytingar.

Hegðun efna yfir teygjumörkum

Fyrirbæri við stöðugt álag

Aflögun efnis undir áhrifum spennu er mjög flókið fyrirbæri, þannig að það þarf að einfalda það á ýmsa vegu til að hægt sé að skilja það. Ein þessara einföldunar er forsendan um að álag sé lagt á smám saman, eins og gert er, t.d., með sýnum við tog- og þrýstiþolprófanir.

Ef stálstöng sem er hlaðin togálagi er látin undirgangast álag sem vex smám saman og lenging hennar ε er mæld, fæst línurit eins og sýnt er á mynd 8. Í upphafi er lengingin mjög lítil og í réttu hlutfalli við spennuna, eins og lögmál Hookes krefst. Frá ákveðinni spennu hættir þetta hlutfall og lengingin vex hraðar. Nákvæm staðsetning marks þessa hlutfalls er erfitt að ákvarða. Því nákvæmari sem mælingin er, því lægri fæst hún. Fyrir flest efni liggur hún við σ = 0, og lögmál Hookes er þá aðeins fyrsta nálgun við teygjanlega hegðun, fyrsti liður í þróun Taylor-raðar fallsins ε = ε(σ) í grennd við hnitaupprunann.

Ef stöngin er losuð, sést að þegar álagið var ekki of mikið hverfur aflögunin einnig, í samræmi við lögmál Hookes. En þetta breytist einnig ef ákveðið álag er farið yfir sem liggur nálægt hlutfallsmarkinu, svonefnda teygjumarkinu; þá samanstendur heildaraflögunin af teygjanlegum (afturkræfum) og óteygjanlegum (varanlegum) hluta. Einnig er ekki hægt að ákvarða teygjumarkið nákvæmlega; það liggur því neðar sem mælinákvæmnin er meiri. Þar sem það hefur þó mikla tæknilega þýðingu, því það markar mikilvægamörk í nær öllum útreikningum í efnisstyrk, og um leið markið þar sem fyrstu varanlegu skemmdirnar verða, er það fyrir prófun sýna skilgreint skarpt samkvæmt samþykktri venju, þannig að sem mark 0.2% er tilgreint það álag við sem varanleg lengingaraukning nær 0.2%.

Strax eftir að mýktarmörkunum er farið fram úr eykst aflögunin snögglega og hún má sjá með berum augum; við nánast stöðugt álag lengist stöngin stöðugt. Þetta álag er kallað flæðimörk. Í vökvadrifnum prófunarvélum fyrir efni má auk þess eftir að flæði hefst sjá meira eða minna greinilegt fall álagins; eins og sýnt er á mynd 8 með brotalínu; þá er hámarkið kallað efri flæðimörk, en stöðuga flæðialagið sem síðan fylgir neðri flæðimörk.

Þegar náð hefur verið ákveðinni teygju, sem er nánast algjörlega óteygjanleg, fer spennan aftur að vaxa, efnið herðnar. Á þessu álagssviði verður áberandi minnkun á þversniði stöngarinnar vegna (óteygjanlegrar) hliðarþrengingar, og frekari þróun spennu- og aflögunarritsins fer fyrst og fremst eftir því hvort, við reikning spennunnar σ, togkraftinum P sem verkar á stöngina er deilt með upprunalega sniðinu F0 eða núverandi sniðinu F. Fyrir tæknileg markmið er spennan P|F0 áhugaverð. Þessi spenna nær hámarki sem kallast styrkur efnisins og þegar það hámark er farið er stöngin mjög mjókuð á einum stað og slitnar. „Raunspennan“ P|F vex þar til brot verður.

Mynd 8.

Hegðun annarra málma víkur að mörgu leyti frá því sem hér hefur verið lýst. Flæði kemur oft ekki greinilega fram, og harðnun hefst strax eftir að mörk seiglu eru rofin. Hjá stökkum efnum (steini, gleri, steypu) eru óteygjanlegar aflögunir yfirleitt litlar og jafnvel við litla lengingu verður brot. Heildarlenging sú sem efnið verður fyrir fram að broti er mælikvarði á togþoli þess (andstæða: stökkleika) og er hún fyrir stál nákvæmlega skilgreind í tækniskilyrðum. Hins vegar, þar sem rétt fyrir brot safnast frekari aflögun á nærliggjandi svæði þar sem þversniðið þrengist, fæst mismunandi gildi lengingar við brot, eftir því hvort lengra eða styttra hluta stöngarinnar er tekið sem mæilengd, þannig að til að fá ótvíræð og innbyrðis samanburðarhæf niðurstöður verður fyrirfram að taka upp ákveðna venju. Lenging við brot er að jafnaði mæld þannig að á hringlaga stöng með þvermál d er fyrir prófið merkt mæilengd Ι = 10 d og út frá lengingu hennar ΔΙ er reiknuð lenging við brot εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Ef nauðsynlegt er að prófa stangir með annars konar þversniði er mæilengdin ákveðin miðað við þvermál hringlaga sívalningsstangar sem hefur sama þversniðsflatarmál.

Langvarandi álag

Fyrir framvindu togprófsins skiptir það talsverðu máli, hvort álagið fram að broti eykst á 10 m mínútum eða nokkrum klukkustundum. Ef álagið verkar hins vegar í mörg ár eða áratugi, má við ákveðnar aðstæður sjá að jafnvel undir flæðimarki vex aflögun við stöðuga spennu smám saman með tímanum. Hinn teygjanlegi hluti, þ.e. sá hluti sem hverfur við fulla afléttingu álagsins, breytist þar ekki marktækt. Þessi aukning óteygjanlegrar aflögunar sem verður á löngum tíma kallast skrið. Í málmum, nema blýi, er skrið aðeins mikilvægt við háan hita, en fyrir byggingaverkfræðinginn gegnir það hlutverki hjá steypu sem gefur sig lítillega undir þrýstingi, þannig að spennan eykst í þrýstu járnabindingunni, ef hún er til staðar.

Breytilegt álag

Til þess að vélrænir eiginleikar efnisins, fengnir í togprófi, geti verið notaðir sem viðmið fyrir leyfilegt álag burðarvirkja, er skilyrði að efnið þoli við hverja endurtekna álagssetningu það álag sem það hefur áður þolað án skemmda. Þetta skilyrði er ekki uppfyllt ef efnið verður fyrir tíðum endurtekningum á hleðslu og afhleðslu, eins og t.d. gerist hjá bitum sem eru hlaðnir af tregðukröftum ófullkomlega jafnvægisstilltra véla. Með nægilega tíðum endurtekningum álags má leiða byggingarhluta til brots jafnvel við spennu sem er langt undir styrk efnisins samkvæmt hefðbundinni stöðuprófun. Þetta brot er kallað brot vegna þreytu. Fjöldi n hleðsluhringja sem efnið getur þolað ræðst af stærð spennunnar σ, þannig að hann er því meiri sem spennan er minni. Dæmigert dæmi um þetta samband er sýnt á mynd 9, þar sem sést að fyrir styrk efnisins er til neðri mörk sem efnið þolir jafnvel við að vild mikinn fjölda hleðsluhringja, og það kallast dýnamískur styrkur efnisins Skýringarmyndir af þessu tagi (mynd 9) kallast Wӧhler-kúrfur.

Mynd 9.

Öryggi burðarvirkja

Tvö mörkalastun eru mikilvæg fyrir burðarvirki: álagið þar sem fyrstu varanlegu skemmdirnar koma fram (flæðimörk), og álagið þar sem burðargeta virkisins er fullnýtt, þannig að það brotnar (brotmörk). Þar sem fyrir flæðimörkin gilda a.m.k. nálganir styrkleikafræðinnar (lítil færsluhreyfing, lögmál Hooke) má áreiðanlega meta öryggi gegn varanlegum aflögunum í öllum þeim tilvikum þar sem tekst að yfirstíga stærðfræðilegu erfiðleikanna. Ef spennan er í réttu hlutfalli við álagið, er hlutfallið milli flæðispennunnar og hæstu spennunnar sem kemur fram í virkinu jafnt hlutfallinu milli álagsins sem veldur flæði og raunverulegs álags og táknar öryggisstuðul gegn flæði. Hins vegar er þetta einfalda samband ekki til staðar í fjölda tilvika: beygja þegar tog er útilokað, þrýstingur milli kúptu yfirborða, kerfi þar sem byggingin er breytileg og, sem er sérstaklega óhagkvæmt, beygja með áskrafti. Í öllum þessum tilvikum getur tiltölulega lítil aukning álags leitt til mikillar aukningar spennu, og þá nægir ekki að beita venjulega öryggisstuðlinum á spennurnar heldur verður að beita honum á álagið.

Fyrirbæri sem eiga sér stað eftir að flæðimörkum er farið fram úr og þar til brot verður, er í flestum tilfellum aðeins hægt að fylgjast með á eigindlegan hátt. Ef efnið er teygjanlegt, taka þeir hlutar sem fyrst ná flæðimörkunum, og sem síðan afmyndast við stöðuga spennu eða spennu sem eykst lítillega, lítinn þátt í að bera áframhaldandi álag, þannig að aðrir, minna spennuþrungnir hlutar mannvirkisins, ef það er mögulegt með tilliti til uppbyggingar þess, taka meiri þátt í burði. Í þessari tilhneigingu til að jafna spennutoppa felst ákveðin öryggisforði, sem hægt er að nýta í útreikningum ef varanleg aflögun einstakra hluta, sem verður við aðeins eitt verulegt álag, er ekki skaðleg (aðferð markálags).

Ef efnið er brothætt birtist fyrsta varanlega skemmdin í sprungum, sem valda enn meiri spennusöfnun á viðkomandi stað og leiða strax til brots. Brot vegna þreytu hefur, jafnvel hjá teygjanlegum efnum, einkenni brothætts brots.

 Tengsl milli spennna fyrir mismunandi þversniðsflöt

Jöfnur ummyndunar

Níu spennuþættirnir á mynd 1 eru tengdir þremur jafnvægisskilyrðum. Hin sex breytistærðirnar σx, σy, σz τxy, τyz, τzx geta, óháð hver annarri, tekið hvaða gildi sem er, eins og sjá má af útleiðslu diffurjöfnna teygjufræðinnar. Þegar þessi gildi eru hins vegar gefin er spennuástand í einhverjum punkti á föstu efni fullkomlega ákvarðað, þ.e. þegar spennurnar fyrir þrjú hvor öðru hornrétt flöt eru þekktar, er einnig hægt að ákvarða á ótvíræðan hátt spennuna fyrir fjórða flöt sem gengur í gegnum gefinn punkt og hefur normal í hvaða átt sem er.

Á mynd 10 er sýndur fjórflötungurinn OABC þar sem þrjár hliðar eru samsíða plönum hnitakerfisins x, y, z en sú fjórða táknar eitthvert frjálslega stefnt flatarmálselement ABC = dF. Til að tákna stefnu þess og stefnu álagsins sem um það flyst, er tekið upp annað hnitakerfi, þar sem ξ-ásinn er hornréttur á dF.

Mynd 10

Skilyrðið fyrir jafnvægi kraftanna sem verka á þetta fjórflötung í átt ξ-ássins gefur

Ef tekið er tillit til þess að

fást

og á sama hátt úr jafnvægisskilyrðunum í stefnu ása η:

Þetta eru jöfnur sem eru notaðar til að reikna spennu við hnitabreytingu. Sérstaklega mikilvægt er að einungis séu skoðuð slík yfirborðsþættir dF fyrir hvaða ξ-ásinn fellur saman við z-ásinn. Formúlur fyrir þetta tilvik getum við fengið með því að einfalda fyrri formúlurnar eða lesa þær beint af mynd 11:

Mynd 11

Normálspennan tekur öfgagildi fyrir stefnurnar α = α0, þar sem dσξ/dα \= 0. Með diffrun fæst úr jöfnunni (16)

og því, þegar þetta tjáning er jafnað við núll

Spennan τξη verður jafnframt heildarskeraspennan í þessum flötum ef τyz = τzx = 0. Þá eru með jöfnunni (17) ákvarðaðar tvær gagnstæðar stefnur þar sem: 1. heildarskeraspennan er núll og, 2. normalspennan hefur öfgagildi (hámark og lágmark). Þessar stefnur kallast stefnur höfuðspenna, en samsvarandi spennur höfuðspennur. Þær eru táknaðar með σ1 og σ2 og má reikna þær beint úr formúlunni

 Moirs hringur

Jöfnurnar (16) má setja fram á skýran hátt með myndrænni aðferð. Til þess þarf að umbreyta þeim í eftirfarandi form:

Þessar jöfnur tákna í hnitakerfinu σ, τ parametraform jöfnunnar fyrir hringinn, sem teiknaður er á mynd 12, og miðjuhnit hans eru σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 og radíus hans er

Þessi hringur kallast Mohr-hringurinn. Ef í gegnum punktinn x er dregin lína samsíða sniðinu x =const., sem spennurnar σx, τxy eru færðar yfir um, mun hún skera hringinn í punktinum p, sem kallast pól Mohr-hringsins. Sérhver lína pξ sem dregin er í gegnum þetta pól sker hringinn í punktinum ξ sem ákvarðar spennurnar σξ, τξη sem eru færðar yfir um snið samsíða pξ.

Varðandi formerki skerspennna við teiknun Mohr-hringsins ber að hafa í huga að þær eru settar upp á við ef þær hafa stefnu sem sýnd er á sl. 12c. Samkvæmt því er önnur af tveimur samstæðum spennum τxy, τyx alltaf jákvæð og hin neikvæð.

Jaðargildum σ1, σ2 normalspenna samsvara punktarnir 1 og 2 á hringnum, en línurnar _p_1 og _p_2 gefa stefnu aðalspennanna.

Sýning spennna sem liggja í x-y planinu með Mahr-hringnum er ekki bundin neinni forsendu um spennurnar σz, τxz, τyz hornréttar á þetta plan.

Mynd 12

Því gildir þetta einnig um almennasta þrívíða spennuástandið, ef eingöngu eru bornar saman þær skurðfletir sem allar ganga í gegnum sömu línu, sem hér er valin sem z og ξ ás. Þar sem samkvæmt almennum umbreytingajöfnunum (15) getur eðlisspennan σ ekki orðið óendanleg í neinum skurðfleti, hlýtur hún að hafa fyrir einn flöt endanlegt hámark σ1 og fyrir annan lágmark σ3, sem bæði geta auðvitað einnig verið neikvæð. Ef dreginn er flötur í gegnum vigurna σ1 og σ3 og teiknaður Mohr-hringur (mynd 13)

Mynd 13

fyrir spennur sem liggja í þessu plani (þ.e. allar stefnur sem eru hornréttar á þetta plan), þá eru σ1 og σ3 stærstu og minnstu normalspennurnar sem geta komið fram og því verða þær að vera hornréttar hvor á aðra. Ef stefnurnar 1 og 3 eru bættar við stefnu 2, þannig að þessar þrjár stefnur mynda rétthyrnt hnitakerfi, og ef dregnir eru Mahr-hringir fyrir plönin 1 ~2 og 2 ~ 3, þá er σ2 fyrir annan þessara hringja stærsta, en fyrir hinn minnsta normalspenna, og því er í skurðum hornréttum á stefnurnar 1, 2 og 3 skerspennan jöfn núlli. Þrjár gagnkvæmt hornréttar normalspennur σ1, σ2 og σ3, sem engar skerspennur samsvara, eru kallaðar aðalspennur.

    Flæðimörk og brotmörk við þrívítt spennuástand

Ástand spennna er nefnt eins-, tveggja- eða þrívítt, öðru nafni línulegt, flatt eða rúmlegt, eftir því hvort ein, tvær eða allar þrjár aðalspennur eru frábrugðnar núlli. Hjá burðarhlutum sem eru algengast notaðir, þ.e. hjá tognum, þrýstum og beygðum stöngum, er spennuástandið, að minnsta kosti á mest álagðri stöðum, einvítt, og eins er það í tog-, þrýsti- eða beygjuprófum, sem við efnisprófanir eru nær eingöngu notuð til að ákvarða leyfilegar spennur. Aftur á móti er spennuástandið tvívítt hjá plötum sem eru álagðar í eigin fleti eða hornrétt á hann, svo og hjá skeljum, en í vissum tilvikum koma einnig fram þrívíð spennuástand, þannig að nauðsynlegt er að draga ályktanir um hegðun efnisins í tilfelli rúmlegs spennuástands á grundvelli flæðimarka og brotmarka sem ákvarðaðir eru við einvítt spennuástand.