Materiały: Wytrzymałość materiałów i teoria sprężystości

Podstawy

Zadaniem wytrzymałości materiałów jest ustalenie, jakie siły zewnętrzne może wytrzymać ciało stałe (np. budowla, element konstrukcyjny lub grunt). Aby odpowiedzieć na to pytanie, wychodzi się z dwóch kryteriów: z jednej strony naprężenia nie mogą przekraczać pewnych granic, które zależą od rodzaju materiału, a z drugiej strony równowaga między siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi musi być stabilna. Zgodnie z tym wszystkie problemy wytrzymałości materiałów można podzielić na „problemy naprężeń” i „problemy stateczności.”

W przypadku prętów i belek oraz złożonych z nich nośników (kratownice, ramy) wyznaczanie naprężeń odbywa się w dwóch etapach, mianowicie w taki sposób, że najpierw na podstawie zadanych sił zewnętrznych oblicza się wypadkową sił wewnętrznych przenoszonych przez przekrój poprzeczny, a następnie z tych „sił przekrojowych” określa się naprężenia. Pierwsza część postępowania stanowi odrębną, obszerną dziedzinę, statykę konstrukcji budowlanych, która ma własne rozwinięte metody i która zwykle jest oddzielana od wytrzymałości materiałów, której zadanie sprowadza się do wyznaczania naprężeń z danych sił przekrojowych.

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów

Do definicji naprężenia dochodzi się na podstawie następujących podstawowych rozważań. Niech na ciało działa zrównoważony układ sił zewnętrznych. Wyobraźmy sobie, że ciało dowolnym przekrojem podzieliliśmy na dwie części i że jedną z nich usunęliśmy wraz z działającymi na nią siłami; wówczas jej działanie na drugą część, aby równowaga sił i rozkład odkształceń pozostały niezmienione, musi zostać zastąpione siłami dodatkowymi przenoszonymi przez powierzchnię przekroju. Te „wewnętrzne” siły są ciągle rozłożone po powierzchni przekroju, tak że każdemu elementowi powierzchni dF odpowiada siła dβ. Jeżeli utworzy się iloraz dβ dF i wykona graniczne przejście dF -> 0, wówczas iloraz ten dąży do wartości granicznej zwanej naprężeniem. Naprężenie w danym elemencie powierzchni jest, podobnie jak dβ, i może być rozłożone na składowe normalną i styczną do dF, naprężenie normalne σ naprężenie tnące τ.

Jeśli przez ten sam punkt poprowadzi się przekroje w różnych kierunkach, odpowiadać im będą również różne naprężenia. W szczególności, jeśli z bryły wydzieli się elementarny sześcian, pokazany na rys. 1, to na każdej z jego sześciu powierzchni będzie działał wektor naprężenia, który można rozłożyć na trzy składowe w kierunku osi współrzędnych x, y, z. Naprężenia działające na przeciwległe strony powierzchni różnią się między sobą oczywiście tylko o różniczkę, tak że należy rozróżnić 3 * 3 = 9 składowych naprężeń, które oznacza się w następujący sposób:

Naprężeniom normalnym σ nadaje się indeks osi, w którego kierunku leżą, i uważa się je za dodatnie, jeśli powodują rozciąganie, a za ujemne, jeśli powodują ściskanie. Naprężenia ścinające τ otrzymują dwa indeksy, z których pierwszy jest taki sam jak indeks odpowiedniego naprężenia normalnego, a drugi odnosi się do osi, w kierunku której działa naprężenie ścinające. Jeżeli dodatni kierunek odpowiedniego naprężenia normalnego jest zgodny z dodatnią (ujemną) osią współrzędnych, to naprężenie ścinające również uważa się za dodatnie, jeśli działa w kierunku dodatniej (ujemnej) osi współrzędnych.

Rysunek 1.

 Współzależność naprężeń ścinających

Jeżeli dla elementarnego prostopadłościanu, rys. 1, przyjmie się warunek, że moment wszystkich sił względem osi x jest równy zeru, otrzymuje się τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz. Stąd, oraz z dwóch odpowiednich równań dla osi y i z, wynika, że naprężenia styczne o tych samych indeksach są sobie równe: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

Deformacje składowe

To, że wcześniej zdefiniowane naprężenia mają sens fizyczny, wynika z ich związku z odkształceniem, któremu podlega każde ciało pod wpływem sił zewnętrznych. Rys. 2 przedstawia jeden elementarny prostopadłościan, który przed odkształceniem był prostokątny i miał długości krawędzi dx, dy, dz. Długości krawędzi po odkształceniu możemy oznaczyć jako dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; ilorazy εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz nazywają się dylatacjami. Są to wielkości bezwymiarowe i dla wszystkich materiałów wchodzących w grę w budownictwie są małe w porównaniu z 1. Oprócz wydłużenia krawędzi elementarny prostopadłościan dx * dy * dz może również ulec zmianie pierwotnie prostych kątów między swoimi ścianami.

Rysunek 2. odkształcenie składowe

Niech po odkształceniu kąt między płaszczyznami schodzącymi się wzdłuż krawędzi OC będzie równy , a podobnie niech zmniejszenie kąta prostego wzdłuż krawędzi AO będzie równe γyz, a zmniejszenie wzdłuż krawędzi OB równe γzx. Te trzy zmiany kątów γxy, γyz, γzx nazywa się poślizgami i również są one zawsze małe w porównaniu z 1. Z sześciu składowych ε i γ całkowicie określone jest odkształcenie elementarnego sześcianu w ujęciu „odkształcenia małego”. Zmiana elementu objętości d_V = dx * dy * dz_ wynosi ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, skąd, po pominięciu iloczynów wydłużeń jako wielkości małych wyższego rzędu, otrzymuje się dylatację sześcienną ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Przemieszczenia

Deformację ciała stałego można w pełni opisać także w ten sposób, że dla każdego z jego punktów podaje się przemieszczenie, jakiego ten punkt doznał. Jeśli z rozważań wyłączy się przemieszczenia skończonej wielkości odpowiadające przemieszczeniu ciała sztywnego, w ten sposób, że w razie potrzeby w obliczeniach przyjmie się ruchomy układ współrzędnych, wówczas również składowe przemieszczeń μ, ν, ω są zawsze małe, a ich pochodne względem współrzędnych są małe w porównaniu z 1. Przy tym założeniu, zgodnie z rys. 3, długość liniowego elementu OA = dx po deformacji

zatem  (3)

Na podobny sposób z rys. 3 widać, że ścinanie γxy γ1 + γ2: i również

 (4)

Rysunek 3 poślizg

(5)  (6)

Połączenia te nazywa się warunkami zgodności i oznacza to, że odkształcone elementy mogą się dopasować jak mozaika, tak aby przestrzeń była przy tym w sposób ciągły wypełniona, czego nie można osiągnąć, jeśli odkształcenia elementów są dowolne. Warunki zgodności są równaniami różniczkowymi, więc, rzecz jasna, wszystkie sześć składowych odkształceń dla każdego pojedynczego prostopadłościanu są wzajemnie niezależne, lecz ich rozmieszczenie w każdym skończenie rozciągłym obszarze jest związane warunkami (5) i (6).

Ponieważ warunki te otrzymano przez różniczkowanie równań (3) i (4), podczas ich wyprowadzania traci się część zależności zawartych w równaniach pierwotnych. Dlatego nie wystarcza spełnienie tylko jednego z tych dwóch układów równań, lecz należy spełnić oba układy równań, jeśli chce się zapewnić zgodność odkształceń.

Równania różniczkowe układu sprężystości

Do obliczania naprężeń i odkształceń w ciałach sprężystych służą następujące równania:

Warunki równowagi elementu objętościowego. Warunki, aby momenty względem trzech osi były równe zeru, zostały już wykorzystane przy wyprowadzaniu równania (1). Warunki równowagi sił wynikają według rys. 4

Rysunek 4

(7a-c)

Jeżeli przez X, Y, Z oznaczyć składowe sił masowych (np. ciężar, siłę odśrodkową) na jednostkę objętości. Związki między naprężeniami a odkształceniami. Pod tym rozumie się związek między naprężeniami składowymi a odkształceniami składowymi. W teorii sprężystości z reguły uwzględnia się tylko zależność liniową, którą wyraża prawo Hooke’a:

(8a-c)

(8d-f)

Jeżeli równania (8a-c) rozwiąże się względem naprężeń, otrzymuje się

(8 a)

kso i dwa odpowiednie równania. Prawo Hooke’a wyrażone równaniem (8) nie stanowi jakiegoś ściśle spełnianego prawa przyrody, lecz idealizację rzeczywistego zachowania, które od niego mniej lub bardziej odbiega, zależnie od materiału i wielkości naprężenia. Biorąc pod uwagę, że matematyczne opracowanie problemu wytrzymałości materiałów przy skomplikowanych, nieliniowych zależnościach między naprężeniami i odkształceniami sprawia nieporównanie większe trudności i może być rzeczywiście przeprowadzone tylko w najprostszych przypadkach, także dla tych materiałów (beton!), których zachowanie znacznie odbiega od prawa Hooke’a, obliczenia oparte na nim muszą być stosowane jako pierwsze, a najczęściej także jedyne przybliżone rozwiązanie, które zresztą z reguły jest bardzo użyteczne i daje wgląd wykraczający poza samą jakość. G = E|2 (1+μ).

Wynika ona koniecznie ze związku między naprężeniem a odkształceniem (8), z równań transformacji (16) dla naprężeń oraz odpowiedniego układu równań dla odkształceń składowych. E i G mają wymiar naprężenia i we wszystkich materiałach budowlanych są duże w porównaniu z naprężeniami σ i τ, które mogą wystąpić. Na tym fakcie opiera się przyjęte powszechnie w teorii sprężystości założenie, że odkształcenia są małe. Współczynnik rozszerzalności poprzecznej (liczba Poissona) μ jest bezwymiarowy i zawsze mieści się między 0 a 1/2 .

Związki między odkształceniami składowymi a przemieszczeniami. Owe związki dane są równaniami (3), (4). Mają one czysto geometryczny charakter. Te trzy układy dają 3+6+6=15 równań dla 15 niewiadomych, tj. dla 6 składowych naprężeń, 6 składowych odkształceń i 3 składowych przemieszczeń. Są one zatem wystarczające do wyznaczenia tych niewiadomych. Matematyczne opanowanie tak rozbudowanego układu równań różniczkowych jest oczywiście możliwe tylko w przypadkach specjalnych. Jeżeli w równaniu (8) odkształcenia składowe zastąpi się przemieszczeniami składowymi zgodnie z równaniami (3) i (4), a następnie naprężenia normalne σ i naprężenia ścinające τ, zgodnie z równaniami (8 d - f), wprowadzi się do warunków równowagi, równ. (7), otrzymuje się równania różniczkowe, które nazywa się podstawowymi równaniami teorii sprężystości.

(9)

przy czym  oznacza operator Laplace’a. Ze względu na (2) są to trzy równania różniczkowe z trzema przemieszczeniami składowymi μ, ν, ω; z nich natomiast przez różniczkowanie na podstawie (3), (4) i (8) można otrzymać wszystkie naprężenia i odkształcenia składowe. Równania (9) stanowią często wygodny punkt wyjścia do badania przypadków szczególnych.

Praca odkształcenia

Definicja

Gdy obciążymy nośnik, punkty przyłożenia sił zewnętrznych ulegają sprężystym przemieszczeniom, a siły wykonują przy tym pewną pracę. W ten sposób dostarczona energia może przechodzić w różne postacie. Jeśli obciążenie przyłożone jest nagle, tak że proces odkształcenia przebiega ze znaczną prędkością, część tej energii zamienia się w energię kinetyczną, która z czasem rozprasza się, albo w ten sposób, że zostaje przekazana do podłoża jako fala sprężysta, zanikająca w nieskończoności, albo przez tarcie wewnętrzne przekształca się w ciepło. Jeśli obciążenia są przykładane tak łagodnie, że nie powstaje zauważalny przyrost energii kinetycznej, a więc gdy obciążenia stopniowo rosnące od zera pozostają w stałej równowadze z siłami wewnętrznymi, energia oczywiście zużywa się wyłącznie na odkształcanie ciała i wówczas nazywa się ją pracą odkształcenia.

Obliczanie pracy odkształcenia przedstawimy najpierw na elemencie obciążonym rozciąganiem w jednym kierunku (rys. 5).

Niech istniejące naprężenie σ i odpowiadające mu odkształcenie ε doznają przyrostów dσ i dε. Wtedy siła σdF na drodze dε * dl wykona pracę σdF * dεdl = σdεdV, jeżeli przez dV oznaczymy objętość elementu. Jeżeli naprężenie rośnie od zera do swojej wartości końcowej, a odkształcenie odpowiednio od 0 do ε, całkowita wykonana praca na jednostkę objętości wyniesie:

Analogicznie jest również dla elementu obciążonego naprężeniem ścinającym τ (rys. 6) praca odkształcenia na jednostkę objętości (właściwa praca odkształcenia, potencjał sprężysty):

przy czym tylko jedna z czterech sił τ * dF wykonuje pracę.

W przypadku ogólnym, gdy na elementarną cząstkę działają wszystkie sześć składowych naprężeń, otrzymuje się specyficzną pracę odkształcenia przez zsumowanie prac poszczególnych składowych naprężeń:

(10)

Różniczkując względem górnej granicy każdego z tych całek, otrzymuje się zależności obowiązujące w najbardziej ogólnym przypadku:

(11)

i podobnie dla pozostałych odkształceń składowych. Jeśli ciało jest sprężyste, każdemu określonemu stanowi naprężenia odpowiada zawsze ten sam stan odkształcenia, niezależnie od tego, czy stan ten został osiągnięty podczas obciążania, czy odciążania. Wtedy pod całkami znajdują się funkcje jednoznaczne, a całkowita energia zużyta podczas obciążania, a następnie pełnego odciążenia wynosi a = 0, biorąc pod uwagę, że w tym przypadku górne granice całek stają się zerowe. W związku z tym całkowita energia doprowadzona do ciała podczas obciążania zostaje odzyskana przy odciążaniu.

Rysunek 6

Rysunek 7

Dla ciała nie w pełni sprężystego związek między naprężeniami i odkształceniami dla całego cyklu obciążania i odciążania ma postać w przybliżeniu przedstawioną na rys. 7 liniami O A B. Energia  doprowadzona podczas obciążania jest równa powierzchni OAA, a energia zwrócona podczas odciążania powierzchni ABA, tak że traci się (przekształca w ciepło) pracę odpowiadającą zacieniowanej powierzchni. Jeżeli w procesie oscylacyjnym naprężenie okresowo zmienia się między dodatnią wartością graniczną  a ujemną wartością graniczną,  odkształcenie nieelastyczne przebiega podobnie jak pokazano liniami przerywanymi na rys. 7 i przy każdym okresie oscylacji zamienia się na jednostkę objętości w ciepło energia DABCD. Takie zachowanie podczas odkształcenia, przy którym odkształcenie pozostaje w tyle za naprężeniem, nazywa się elastyczną histerezą, a krzywa DABCD pętlą histerezy.

Praca odkształcenia i prawo Hooke’a

Jeżeli do całek w równaniu (10) wprowadzi się prawo Hooke’a, można wykonać całkowanie, a dla specyficznej pracy odkształcenia otrzymuje się wyrażenia:

(12a)

(12b)

(12c)

Jeżeli drugi z tych postaci zostanie wprowadzony do równania (11), otrzymuje się znów prawo Hooke’a, równania (8), w postaci rozwiązanej względem naprężeń. Stwierdzenie, że praca odkształcenia zależy od składowych odkształceń, jak pokazano równaniem (12b), jest zatem równoważne prawu Hooke’a. Gdy równanie (12c) zróżniczkuje się względem naprężeń, otrzymuje się

(13)

Wzory te, w przeciwieństwie do wzorów (11), obowiązują tylko dla ciał zachowujących się zgodnie z prawem Hooke’a i nie mogą być stosowane, gdy zależności między naprężeniami a odkształceniami są inne. Oczywiste jest, że po prawej stronie równań (13) znajdują się tylko odkształcenia składowe wywołane naprężeniami, a wyłącza się wszystkie pozostałe, które mogły ewentualnie powstać wskutek zmiany temperatury, pełzania, pęcznienia, rekrystalizacji itd.

ZAŁOŻENIA CAŁKOWE W TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

Ruchy wirtualne. Zasada minimum energii potencjalnej

Tak jak prawo Hooke’a, równania (8) można zastąpić jednym równaniem (12b), tak też zamiast warunków równowagi można wprowadzić zasadę przemieszczeń wirtualnych jako ogólnie obowiązujące podstawowe prawo mechaniki. Prawo to stwierdza, że stany równowagi charakteryzują się tym, iż całkowita wykonana praca wszystkich sił przy małej zmianie stanu odkształcenia jest równa zeru. Jeśli małe zmiany sprężystych przemieszczeń oznaczymy δμ δν, δω, wówczas siły objętościowe zdefiniowane równaniem (7) wykonują pracę wirtualną

a siły powierzchniowe px, py, pz działające na element dF zewnętrznej powierzchni ciała praca 

przy czym całka potrójna odnosi się do całej objętości, a całka podwójna do całej zewnętrznej powierzchni ciała. Do obliczenia pracy wykonywanej przez siły wewnętrzne stosuje się równanie (12b), a dla pracy na jednostkę objętości otrzymuje się

Zasada przemieszczeń wirtualnych daje na tej podstawie

(14)

Jeżeli obciążenia X, Y, Z px, py., pz rozumie się jako składowe siły ciężkości (ciężar własny i obciążenie zewnętrzne), całki po prawej stronie przedstawiają energię potencjalną utraconą przez te obciążenia, natomiast strona lewa przedstawia przyrost potencjalnej (sprężystej) energii ciała, tak że zasada ta wyraża, iż całkowita energia potencjalna nośnika i leżących na nim obciążeń w stanie równowagi ma wartość ekstremalną. Jeśli ta wartość ekstremalna jest minimum, równowaga jest stabilna.

Zasada minimum energii potencjalnej wyrażona równaniem (14), wyrażenie (12b) dla pracy odkształcenia oraz warunki zgodności odkształceń (5), (6) stanowią układ równań, który wystarcza do budowy teorii sprężystości i który jest zasadniczo równoważny systemowi równań. Układ ten może być szczególnie użyteczny w przypadkach, gdy spełnienie równań różniczkowych (9) stwarza trudności obliczeniowe i dlatego trzeba szukać rozwiązania przybliżonego, np. dla przemieszczeń z góry zakłada się dogodną postać zawierającą kilka stałych swobodnych, a następnie wyznacza się je z wymogu, aby równanie (14) było spełnione. W ten sposób nie otrzymuje się wprawdzie ścisłego rozwiązania problemu, lecz tylko najlepsze przybliżenie, jakie można osiągnąć przy wybranej postaci rozwiązania. To, czy przybliżenie jest wystarczające, zależy przede wszystkim od przyjętej postaci rozwiązania, a skuteczne stosowanie tej metody wymaga dlatego zręczności i doświadczenia.

Zasada Castigliano

Podczas gdy w zasadzie minimum energii potencjalnej porównuje się wszystkie stany odkształcenia spełniające warunki zgodności odkształceń i spośród nich wybiera te, dla których odpowiadające naprężenia spełniają warunki równowagi, to w zasadzie Castigliano porównuje się wszystkie stany naprężenia spełniające warunki równowagi i spośród nich wybiera te, dla których odpowiadające odkształcenia spełniają warunki zgodności odkształceń. Zasada ta brzmi: spośród wszystkich możliwych stanów równowagi rzeczywiście występuje ten, któremu odpowiada najmniejsza praca odkształcenia. Zasada Castigliano wraz z równaniem (12c) na pracę odkształcenia oraz warunkami równowagi tworzy układ równań wystarczający do budowy wytrzymałości materiałów. Zważywszy, że zasada ta zawiera prawo Hooke’a, możliwość jej zastosowania wiąże się z założeniem, iż odkształcenia można w pełni opisać tym prawem. Wymaga to nie tylko liniowo sprężystego zachowania materiału, lecz także wyklucza zmiany temperatury.

Zachowanie materiałów powyżej granic sprężystości

Zjawiska przy obciążeniu statycznym

Odkształcenie materiału pod wpływem naprężeń jest zjawiskiem bardzo skomplikowanym, dlatego trzeba je upraszczać na różne sposoby, aby można je było zrozumieć. Jednym z tych uproszczeń jest założenie, że obciążenia są przykładane stopniowo, jak to np. robi się z próbkami podczas prób rozciągania i ściskania.

Jeśli stalowy pręt obciążony na rozciąganie poddaje się obciążeniu, które stopniowo rośnie, i mierzy się jego wydłużenie ε, otrzymuje się diagram pokazany na rys. 8. Początkowo wydłużenie jest bardzo małe i proporcjonalne do naprężenia, zgodnie z prawem Hooke’a. Od pewnego określonego naprężenia proporcjonalność ustaje, a wydłużenie rośnie szybciej. Dokładne położenie granicy tej proporcjonalności trudno jest określić. Im dokładniejszy pomiar, tym niżej się ona wyznacza. Dla większości materiałów leży ona przy σ = 0, a prawo Hooke’a stanowi wtedy jedynie pierwsze przybliżenie zachowania sprężystego, pierwszy wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji ε = ε (σ) w otoczeniu początku układu współrzędnych.

Jeżeli pręt zostanie odciążony, zauważa się, że gdy naprężenie nie było zbyt duże, deformacja również zanika, zgodnie z prawem Hooke’a. Ale i to ulega zmianie, jeśli zostanie przekroczone pewne naprężenie leżące blisko granicy proporcjonalności, tzw. granicy sprężystości; wtedy całkowita deformacja składa się z części sprężystej (odwracalnej) i niesprężystej (trwałej). Również granicy sprężystości nie można dokładnie określić, znajduje się ona tym niżej, im większa jest dokładność pomiaru. Ponieważ jednak ma ona duże znaczenie techniczne, gdyż stanowi granicę ważności prawie wszystkich obliczeń w wytrzymałości materiałów, a zarazem granicę, przy której powstają pierwsze trwałe uszkodzenia, przy badaniu próbek definiuje się ją ściśle według przyjętej konwencji, tak że np. jako granicę 0.2% oznacza się to naprężenie, przy którym trwała dylatacja osiąga 0.2%.

Bezpośrednio po przekroczeniu granicy sprężystości odkształcenie gwałtownie wzrasta i można je dostrzec gołym okiem; przy prawie stałym naprężeniu pręt wydłuża się nieprzerwanie. To naprężenie nazywa się granicą plastyczności. W hydraulicznych maszynach do badania materiałów można ponadto zaobserwować po rozpoczęciu płynięcia mniej lub bardziej wyraźny spadek naprężenia; jak pokazano na rys. 8 linią przerywaną; wtedy maksimum nazywa się górną granicą plastyczności, a stałe naprężenie płynięcia, które następnie występuje, dolną granicą plastyczności.

Po osiągnięciu określonej dylatacji, która jest prawie całkowicie nieelastyczna, naprężenie zaczyna ponownie rosnąć, materiał umacnia się. W tym zakresie obciążenia następuje wyraźne zmniejszenie przekroju poprzecznego pręta wskutek (nieelastycznej) kontrakcji bocznej, a dalszy przebieg wykresu naprężenie–odkształcenie zależy przede wszystkim od tego, czy przy obliczaniu naprężenia σ siła rozciągająca P działająca na pręt jest dzielona przez przekrój początkowy F0 czy przez przekrój chwilowy F. Do celów technicznych interesujące jest naprężenie P|F0. Naprężenie to osiąga maksimum, które nazywa się wytrzymałością materiału, a po przekroczeniu tego maksimum pręt w jednym miejscu silnie się przewęża i pęka. “Naprężenie rzeczywiste” P|F rośnie aż do zniszczenia.

Rysunek 8.

Zachowanie innych metali w wielu punktach odbiega od opisanego tutaj. Płynięcie często nie jest wyraźne, a umocnienie rozpoczyna się bezpośrednio po przekroczeniu granicy sprężystości. W przypadku materiałów kruchych (kamień, szkło, beton) odkształcenia niesprężyste są na ogół małe i już przy niewielkiej dylatacji dochodzi do zniszczenia. Całkowita dylatacja, jakiej materiał doznaje do zniszczenia, jest miarą ciągliwości (odwrotnie: kruchości) materiału i dla stali jest dokładnie określana w warunkach technicznych. Jednak ponieważ bezpośrednio przed zniszczeniem dalsze odkształcenie koncentruje się w sąsiednich miejscach przewężonego przekroju, uzyskuje się różną wartość dylatacji przy zerwaniu, w zależności od tego, czy za długość pomiarową przyjmuje się większą czy mniejszą część pręta, dlatego też dla uzyskania jednoznacznych i wzajemnie porównywalnych wyników trzeba z góry przyjąć określoną konwencję. Dylatację przy zerwaniu mierzy się z reguły w ten sposób, że na okrągłym pręcie o średnicy d przed próbą zaznacza się długość pomiarową Ι = 10 d i z jej wydłużenia ΔΙ oblicza się dylatację przy zerwaniu εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Jeśli trzeba badać pręty o innym przekroju, długość pomiarową określa się według średnicy okrągłego pręta walcowego, który ma taką samą powierzchnię przekroju poprzecznego.

Obciążenie długotrwałe

Dla przebiegu próby rozciągania jest w zasadzie bez znaczenia, czy obciążenie do zniszczenia zwiększa się w ciągu 10 m minut czy kilku godzin. Jeżeli jednak obciążenie działa przez lata lub dziesiątki lat, w pewnych warunkach obserwuje się, że również poniżej granicy plastyczności odkształcenie przy stałym naprężeniu z czasem powoli rośnie. Przy tym część sprężysta, tj. ta część, która znika po całkowitym odciążeniu, nie zmienia się istotnie. Ten wzrost odkształcenia niesprężystego, zachodzący w długim czasie, nazywa się pełzaniem. W metalach, z wyjątkiem ołowiu, pełzanie ma znaczenie tylko w wysokich temperaturach; natomiast dla inżyniera budowlanego odgrywa ono rolę w betonie, który pod naciskiem powoli ustępuje, tak że naprężenie wzrasta w ściskanym zbrojeniu, jeśli ono istnieje.

Zmienne obciążenie

Aby mechaniczne charakterystyki materiału, uzyskane w próbie rozciągania, mogły być stosowane jako miara dopuszczalnego obciążenia konstrukcji, warunkiem jest, aby materiał przy każdym ponownym obciążeniu wytrzymywał naprężenie, które raz zdołał przenieść bez uszkodzenia. Warunek ten nie jest spełniony, jeżeli materiał jest narażony na częste powtarzanie obciążeń i odciążeń, jak to ma np. miejsce w przypadku belek obciążonych siłami bezwładności niecałkowicie wyważonych maszyn. Wystarczająco częste powtarzanie obciążenia może doprowadzić element konstrukcyjny do zniszczenia nawet przy naprężeniu znacznie niższym od wytrzymałości materiału określonej zwykłą próbą statyczną. Zjawisko tego rodzaju zniszczenia nazywa się zniszczeniem zmęczeniowym. Liczba n cykli obciążenia, które materiał może wytrzymać, zależy od wielkości naprężenia σ, tak że jest tym większa, im mniejsze jest naprężenie. Typowy przykład tej zależności pokazano na rys. 9, z którego widać, że dla wytrzymałości materiału istnieje dolna granica, którą materiał wytrzymuje także przy dowolnie dużej liczbie cykli obciążenia i która nazywa się dynamiczną wytrzymałością materiału Wykresy tego rodzaju (rys.9) nazywają się krzywymi Wӧhlera.

Zdjęcie 9.

Bezpieczeństwo konstrukcji

Dwa obciążenia graniczne są istotne dla konstrukcji: obciążenie, przy którym powstają pierwsze trwałe uszkodzenia (granica plastyczności), oraz obciążenie, przy którym nośność konstrukcji jest wyczerpana i następuje jej zniszczenie (granica zniszczenia). Ponieważ przed granicą plastyczności przynajmniej w przybliżeniu obowiązują założenia wytrzymałości materiałów (małe przemieszczenia, prawo Hooke’a), bezpieczeństwo względem trwałych odkształceń można wiarygodnie ocenić we wszystkich tych przypadkach, w których udaje się przezwyciężyć trudności matematyczne. Jeżeli naprężenie jest proporcjonalne do obciążenia, to stosunek naprężenia plastyczności do największego naprężenia występującego w konstrukcji jest równy stosunkowi między obciążeniem, przy którym następuje uplastycznienie, a obciążeniem rzeczywistym i stanowi współczynnik bezpieczeństwa względem uplastycznienia. Jednak w szeregu przypadków taka prosta zależność nie występuje: zginanie bez uwzględnienia rozciągania, nacisk między powierzchniami wypukłymi, układy o zmiennej strukturze oraz, co szczególnie niekorzystne, zginanie z siłą osiową. We wszystkich tych przypadkach stosunkowo niewielki wzrost obciążenia może spowodować duży wzrost naprężeń, i wtedy nie wystarcza zastosowanie zwykłego współczynnika bezpieczeństwa do naprężeń, lecz trzeba go odnieść do obciążenia.

Zjawiska, które występują po przekroczeniu granicy plastyczności aż do zniszczenia, można w większości przypadków śledzić już tylko jakościowo. Jeżeli materiał jest ciągliwy, to części, w których najpierw osiągnięto granicę plastyczności, i które dalej odkształcają się przy stałym naprężeniu lub naprężeniu nieznacznie rosnącym, w niewielkim stopniu uczestniczą w przenoszeniu dalszego obciążenia, tak że pozostałe, słabiej naprężone części konstrukcji, o ile pozwala na to jej struktura, bardziej uczestniczą w nośności. W tej dążności do wyrównywania szczytów naprężeń tkwi pewna rezerwa bezpieczeństwa, którą można wykorzystać obliczeniowo, jeśli trwałe odkształcenie poszczególnych części powstałe przy tylko jednym znacznym obciążeniu nie jest szkodliwe (metoda obciążenia granicznego).

Jeżeli materiał jest kruchy, pierwsze trwałe uszkodzenie ujawnia się w rysach, wskutek których w zagrożonym miejscu dochodzi do jeszcze większej koncentracji naprężeń, co natychmiast powoduje złamanie. Złamanie wskutek zmęczenia, także w materiałach ciągliwych, ma cechy kruchego pękania.

 Zależności między naprężeniami dla różnych płaszczyzn przekroju

Równania przekształceń

Dziewięć składowych naprężeń na rys. 1 wiąże się z trzema warunkami równowagi. Sześć pozostałych wielkości σx, σy, σz τxy, τyz, τzx mogą, niezależnie jedna od drugiej, przyjmować dowolne wartości, jak wynika z wyprowadzenia równań różniczkowych teorii sprężystości. Jednak gdy wartości te są zadane, stan naprężenia w pewnym punkcie ciała stałego jest całkowicie określony, tzn. gdy znane są naprężenia dla trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, można jednoznacznie wyznaczyć również naprężenie dla pewnej czwartej płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt i której normalna ma dowolny kierunek.

Na rys. 10 pokazano czworościan OABC, którego trzy ściany są równoległe do płaszczyzn układu współrzędnych x, y, z, a czwarta stanowi dowolnie zorientowany element powierzchni ABC = dF. Aby oznaczyć jego kierunek oraz kierunek naprężenia przenoszonego przez niego, wprowadza się drugi układ współrzędnych, którego oś ξ jest prostopadła do dF.

Rysunek 10

Warunek równowagi sił działających na ten czworościan w kierunku osi ξ daje

Jeśli uwzględni się, że

otrzymuje się

i podobnie z warunków równowagi w kierunku osi η:

Oto są równania służące do obliczania naprężeń przy transformacji współrzędnych. Szczególnie ważne jest rozpatrywanie tylko takich elementów powierzchni dF, dla których oś ξ pokrywa się z osią z. Wzory dla tego przypadku możemy otrzymać przez uproszczenie poprzednich wzorów albo odczytać bezpośrednio z rys. 11:

Rysunek 11

Naprężenie normalne przyjmuje wartości ekstremalne dla kierunków α = α0 , dla których dσξ/dα = 0. Różniczkując, z równania (16) otrzymuje się

a więc, gdy ten wyrażenie zrówna się z zerem

Naprężenie τξη będzie jednocześnie całkowitym naprężeniem ścinającym w tych płaszczyznach, jeżeli τyz = τzx = 0. Wówczas równaniem (17) wyznaczone są dwa wzajemnie prostopadłe kierunki, dla których: 1. całkowite naprężenie ścinające wynosi zero i, 2. naprężenie normalne przyjmuje wartości ekstremalne (maksimum i minimum). Kierunki te nazywa się kierunkami naprężeń głównych, a odpowiadające im naprężenia naprężeniami głównymi. Oznacza się je jako σ1 i σ2 i można je obliczyć bezpośrednio ze wzoru

 Krąg Mohra

Równania (16) można w przejrzysty sposób przedstawić graficznie. W tym celu należy je przekształcić do postaci:

Równania te przedstawiają w układzie współrzędnych σ, τ parametryczną postać równania okręgu, wykreślonego na rys. 12, którego współrzędne środka wynoszą σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 i którego promień

Ten okrąg nazywa się kołem Mohra. Jeśli przez punkt x poprowadzi się prostą równoległą do przekroju x =const., przez który przenoszone są naprężenia σx, τxy, przetnie ona okrąg w punkcie p, który nazywa się biegunem koła Mohra. Każda prosta pξ poprowadzona przez ten biegun przecina okrąg w punkcie ξ, który wyznacza naprężenia σξ, τξη przenoszone przez przekrój równoległy do pξ.

Jeśli chodzi o znak naprężeń ścinających przy rysowaniu koła Mohra, należy pamiętać, że nanosi się je ku górze, gdy mają kierunek pokazany na rys. 12c. Zatem spośród dwóch sprzężonych naprężeń τxy, τyx jedno jest zawsze dodatnie, a drugie ujemne.

Wartościom granicznym σ1, σ2 naprężeń normalnych odpowiadają punkty 1 i 2 na okręgu, a proste _p_1 i _p_2 wyznaczają kierunki naprężeń głównych.

Przedstawienie naprężeń leżących w płaszczyźnie x-y za pomocą koła Mahr’a nie jest związane z żadnym założeniem dotyczącym naprężeń σz, τxz, τyz prostopadłych do tej płaszczyzny.

Rysunek 12

To samo dotyczy zatem najbardziej ogólnego trójwymiarowego stanu naprężenia, jeżeli porównuje się tylko te płaszczyzny przekroju, które wszystkie przechodzą przez tę samą prostą, wybraną tu jako oś z i ξ. Ponieważ według ogólnych równań transformacji (15) naprężenie normalne σ nie może stać się nieskończone dla żadnej płaszczyzny przekroju, musi ono mieć dla jednej płaszczyzny skończone maksimum σ1, a dla innej minimum σ3, z których oba, rozumie się, mogą być również ujemne. Jeżeli przez wektory σ1 i σ3 poprowadzi się płaszczyznę i narysuje okrąg Mohra (rys. 13)

Rysunek 13

dla naprężeń leżących w tej płaszczyźnie (tj. wszystkich kierunków prostopadłych do tej płaszczyzny), wtedy σ1 i σ3 są największym i najmniejszym naprężeniem normalnym, jakie mogą wystąpić, i dlatego muszą być wzajemnie prostopadłe. Jeśli kierunki 1 i 3 uzupełni się kierunkiem 2, tak aby te trzy kierunki tworzyły prostokątny układ współrzędnych, a następnie narysuje się okręgi Mohra dla płaszczyzn 1 ~2 i 2 ~ 3, wtedy σ2 dla jednego z tych okręgów jest największym, a dla drugiego najmniejszym naprężeniem normalnym, i dlatego w przekrojach prostopadłych do kierunków 1, 2 i 3 naprężenie ścinające jest równe zeru. Trzy wzajemnie prostopadłe naprężenia normalne σ1, σ2 i σ3, którym nie odpowiadają naprężenia ścinające, nazywają się naprężeniami głównymi.

    Granica plastyczności i granica zniszczenia przy przestrzennym stanie naprężenia

Stan naprężenia nazywa się jedno-, dwu- lub trójwymiarowym, inaczej: liniowym, płaskim lub przestrzennym, w zależności od tego, czy jedno, dwa czy wszystkie trzy główne naprężenia są różne od zera. W elementach konstrukcyjnych najczęściej stosowanych, tj. w pręcie rozciąganym, ściskanym i zginanym, stan naprężenia, przynajmniej w najbardziej obciążonych miejscach, jest jednowymiarowy; tak samo jest również w próbach rozciągania, ściskania lub zginania, które przy badaniu materiałów stosuje się niemal wyłącznie do określania naprężeń dopuszczalnych. Natomiast w płytach obciążonych w swojej płaszczyźnie lub prostopadle do niej, jak również w powłokach, stan naprężenia jest dwuwymiarowy, a w niektórych przypadkach występują także trójwymiarowe stany naprężenia, tak że trzeba na podstawie granicy plastyczności i zniszczenia, wyznaczonej przy jednowymiarowym stanie naprężenia, wyciągać wnioski o zachowaniu materiału w przypadku przestrzennego stanu naprężenia.