材料：材料力学与弹性理论

基础

材料力学的任务是确定一个坚实物体（例如建筑物、结构构件或地基土）能够承受哪些外力。为回答这一问题，依据两个标准：一方面，应力不得超过取决于材料类型的某些限值；另一方面，外力与内力之间的平衡必须保持稳定。根据这一点，材料力学中的所有问题可分为“应力问题”和“稳定性问题”。

对于杆件和梁，以及由它们组成的承重构件（桁架、框架），应力确定分两步进行：首先根据给定的外力计算通过截面传递的内力合力，然后再由这些“截面力”确定应力。第一步是一个独立而庞大的学科——结构静力学，它拥有成熟的自身方法，通常与材料力学分开，而材料力学的任务则归结为由给定的截面力确定应力。

材料强度基础概念

应力的定义可通过以下基本考虑得出。设有一组平衡的外力作用于物体。设想我们用任意截面将物体分成两部分，并连同作用于其上的力去掉其中一部分；那么，为了使剩余部分上的力平衡和变形分布保持不变，原来这部分对另一部分的作用必须由通过截面传递的附加力来代替。这些“内力”连续分布在截面上，因此截面面积的每个微元 dF 都对应一个力 dβ。若形成比值 dβ/dF，并令 dF -> 0 取极限，则该比值趋于称为应力的极限值。某一面积微元上的应力，如同 dβ 一样，可以分解为垂直于 dF 的法向分量和切向分量，即法向应力 σ 和剪应力 τ。

如果通过同一点沿不同方向切取截面，那么对应的应力也不同。特别是当从构件中截取一个如图 1 所示的微元立方体时，在其六个表面上的每一个面上都会作用一个应力矢量，该矢量可分解为沿坐标轴 x、y、z 方向的三个分量。作用于相对两侧表面的应力彼此只相差微分量，因此应区分 3 * 3 = 9 个应力分量，其表示如下：

法向应力 σ 以其所在方向的坐标轴为下标，并在引起拉应力时取正，在引起压应力时取负。剪应力 τ 有两个下标，第一个与相应法向应力的下标相同，第二个表示剪应力作用方向所在的坐标轴。如果相应法向应力的正方向与正（负）坐标轴方向一致，则剪应力在其作用方向与正（负）坐标轴方向一致时也视为正。

图 1.

 剪应力的共轭性

如果对基本立方体（图 1）规定绕 x 轴的所有力矩之和为零，则得到 τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz。由此以及分别对应 y 轴和 z 轴的两个方程，可得具有相同下标的剪应力彼此相等：τxy = τyx，τyz = τzy，τzx = τxz （1）

分量变形

上述应力具有物理意义，可由它们与每个受外力作用的物体所承受的变形定义之间的联系得出。图 2 示出一个基本长方体，在变形前它是矩形的，边长为 dx、dy、dz。变形后各边的长度可记为 dx + Δdx、dy + Δdy、dz + Δdz，商 εx = Δdx|dx，εy =Δdy|dy，εz = Δdz|dz 称为伸长率。这些都是无量纲量，并且对于建筑工程中涉及的所有材料而言，相对于 1 都很小。除边长伸长外，基本长方体 dx * dy * dz 还可能承受其各侧原本直角之间的变化。

图 2。分量变形

设变形后，沿边 OC 相交的平面之间的角度等于 ，同样地，沿边 AO 的直角减小量等于 γyz，沿边 OB 的直角减小量等于 γzx。这三个角度变化 γxy、γyz、γzx 称为剪切变形，而且相对于 1 也总是很小。由六个分量 ε 和 γ 可完全确定基本立方体元的变形，即“微小变形”。体积元 d_V = dx * dy * dz_ 的变化为 ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz,，由此在忽略应变乘积作为更高阶小量时，可得体积应变 ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

位移

固体的变形也可以通过如下方式完整描述：为其每一个点给出该点所经历的位移。如果将与刚体位移相对应的有限位移从考察中排除，即在必要时采用可动坐标系进行计算，那么分量位移μ、ν、ω始终为小量，它们对坐标的导数相对于1也很小。在这一假设下，根据图3，线元OA = dx在变形后

因此  (3)

同样地，从图 3 可以看出，剪切变形 γxy 等于 γ1 + γ2；并且

 (4)

图 3 滑移

(5)  (6)

这些关系称为相容条件，它说明变形后的构件可以像拼图一样相互嵌合，从而使空间连续填满；如果构件的变形是任意的，则无法实现这一点。相容条件是微分方程，因此，众所周知，对于每一个单独的长方体，全部六个分量变形彼此独立，但它们在任何有限展开区域内的分布受条件（5）和（6）的约束。

由于这些条件是由方程（3）和（4）微分得到的，在其推导过程中，原始方程中所包含的一部分联系会丢失。因此，要保证变形协调，仅满足这两个方程组中的一个是不够的；若要确保变形相容，两个方程组都必须满足。

弹性体系的微分方程

计算弹性体中的应力和变形可使用以下方程：

体积单元平衡条件。 三个坐标轴周围的力矩等于零的条件，已经在推导方程 (1) 时使用过。力平衡条件根据图 4 得出

图 4

(7a-c)

若用 X、Y、Z 表示单位体积上的体积力分量（例如重力、离心力）。应力与变形之间的关系。 这是指各分应力与各分变形之间的关系。在弹性理论中，通常只考虑线性关系，即胡克定律所表述的关系：

(8a-c)

(8d-f)

如果将方程（8a-c）按应力求解，则得到

(8 a)

kso 以及两个相应的方程。Hooke 定律由方程 (8) 表示，它并不是某种严格成立的自然定律，而是真实行为的理想化描述；真实行为会在更大或更小程度上偏离它，这取决于材料和应力大小。鉴于对于具有复杂、非线性应力—应变关系的材料力学问题进行数学处理会带来大得多的困难，而且实际上只能在最简单的情况下进行，因此即使对于那些其行为明显偏离 Hooke 定律的材料（混凝土！），基于该定律的计算也必须首先、并且大多数情况下也是唯一地作为近似解来使用；而且这种近似解通常非常实用，并且提供的认识不止是定性的。 G = E|2 (1+μ).

它必然由应力与变形之间的关系（8）、应力变换方程（16）以及相应的分量变形方程组得出。E 和 G 具有应力的量纲，并且对于所有建筑材料来说，相对于可能出现的应力 σ 和 τ 都很大。正是基于这一事实，弹性理论中普遍采用了变形很小的假设。横向膨胀系数（泊松比） μ 为无量纲量，其值始终介于 0 和 1/2 之间。

组分变形与位移之间的关系。 这些关系由方程 (3)、(4) 给出。它们纯属几何性质。这三个体系给出 3+6+6=15 个方程，对应 15 个未知量，即 6 个组分应力、6 个组分变形以及 3 个组分位移。因此，它们足以确定这些未知量。如此庞大的微分方程组的数学求解当然只能在特殊情况下实现。若在方程 (8) 中按方程 (3) 和 (4) 用组分位移代替组分变形，然后再将法向应力 σ 和剪应力 τ 按方程 (8 d - f) 代入平衡条件，方程 (7)，便得到称为弹性理论基本方程的微分方程。

(9)

其中  表示拉普拉斯算子。考虑到 (2)，这就是三个含三个分量位移 μ、ν、ω 的微分方程；再依据 (3)、(4) 和 (8) 进行微分，即可得到全部分量应力和变形。方程 (9) 往往是研究特殊情形的一个很方便的出发点。

变形功

定义

当构件受载时，外力作用点会发生弹性位移，力在此过程中做一定的功。这样输入的能量可以转化为不同形式。‘如果荷载突然施加，使变形过程具有相当大的速度，这部分能量的一部分转化为动能，并在随后逐渐耗散，或是以弹性波的形式传入地基并在无限远处消失，或是通过内摩擦转化为热量。如果荷载施加得非常缓慢，以致不会产生明显的动能增加，即逐渐从零增大的荷载始终与内力保持平衡，则该能量显然完全用于使物体变形，这时称为变形功。

首先我们将通过一个单向受拉的微元来说明变形功的计算（图 5）。

设已有应力 σ 及相应应变 ε 分别增加 dσ 和 dε。则力 σdF 在位移 dε * dl 上所做的功为 σdF * dεdl = σdεdV，其中 dV 表示微元体积。如果应力从零增加到其最终值，并且应变相应地从 0 增加到 ε，则单位体积所做的总功为：

同样地，对于受剪应力 τ 作用的构件（图 6），单位体积的变形功（比变形功、弹性势能）为：

其中只有四个力中的一个 τ * dF 做功。

一般情况下，当六个分量应力都作用于微元时，特定变形功可通过各分量应力所做功的总和求得：

(10)

对这些积分分别按其上限求导，可得到在最一般情况下成立的关系：

(11)

以及其他分量变形亦然。如果物体是弹性的，那么对于每一种确定的应力状态，总是对应同一种变形状态，而不论该状态是在加载还是卸载过程中达到的。此时积分下的函数为单值函数，因此在加载并随后完全卸载过程中消耗的总能量 a = 0，因为在这种情况下，积分上限变为零。因此，在加载时输入物体的总能量会在卸载时全部返回。

图 6

图 7

对于不完全弹性体，在整个加载和卸载循环中，应力与应变之间的关系大致如图 7 所示的 O A B. 线。加载时输入的能量 等于面积 OAA,，而卸载时返回的能量等于面积 ABA,，因此与阴影面积相对应的功会损失（转化为热）。如果在振荡过程中，应力在正极限值 与负极限值 之间周期性变化，则非弹性变形将按图 7 中虚线所示类似方式进行，并在每一振荡周期中，单位体积内的能量 DABCD 转化为热量。变形过程中出现这种应变滞后于应力的行为称为 弹性滞后，而曲线 DABCD 称为滞后回线。

变形功与胡克定律

如果在方程（10）的积分中引入胡克定律，就可以进行积分，于是得到比变形功的表达式：

(12a)

(12b)

(12c)

如果将这两种形式中的第二种代入方程（11），又可得到胡克定律，方程（8），以应力表示的形式。关于变形功依赖于各分量变形、如方程（12b）所示这一表述，因此与胡克定律等价。当方程（12c）按应力求导时，得到

(13)

这些公式与公式 (11) 不同，只适用于符合胡克定律的材料，不能用于应力与变形之间关系不同的情况。显然，方程 (13) 右侧仅包含由应力引起的分量变形，而排除了所有其他可能由于温度变化、蠕变、膨胀、再结晶等原因产生的变形。

弹性理论中的积分定理

虚位移。势能最小原理

正如可用一个方程 (12b) 代替胡克定律方程 (8) 一样，也可以用虚位移原理代替平衡条件，作为普遍适用的力学基本定律。该定律表明，平衡状态的特征在于：在状态发生微小变形变化时，所有力所做的总功等于零。若将弹性位移的微小变化记为 δμ δν, δω，则由方程 (7) 定义的体力做虚功

以及作用于物体外表面元件 dF 的表面力 px, py, pz 工作 

其中三重积分对应整个体积，双重积分对应物体的整个外表面。为计算内力所做的功，采用公式(12b)，因此按单位体积的功得到

由此，虚位移原理给出

(14)

如果将荷载 X、Y、Z px、py.、pz 视为重力的分量（自重和外部荷载），则右侧的积分表示这些荷载所损失的势能，而左侧表示构件弹性势能的增量，因此该原理表明：在平衡情况下，承载构件及其上荷载的总势能具有极值。若该极值为最小值，则平衡是稳定的。

由方程 (14) 表示的最小势能原理、变形功表达式 (12b) 以及变形协调条件 (5)、(6) 构成了建立弹性理论所需的一组方程系统，其在本质上与该方程组等价。当满足微分方程 (9) 存在计算困难时，这一体系尤其有用，因此必须寻找近似解，例如，可预先设定位移的一种合适形式，其中包含若干自由常数，再根据方程 (14) 必须满足的要求来确定这些常数。这样虽然不能得到问题的严格解，但只能得到用所选解形式所能达到的最佳近似。近似是否足够，首先取决于所采用的解的形式，因此这种方法的成功应用也需要技巧和经验。

卡斯蒂利亚诺原理

在最小势能原理中，比较所有满足变形相容条件的变形状态，并从中选出其对应应力满足平衡条件的那些状态；而在 Castigliano 原理中，比较所有满足平衡条件的应力状态，并从中选出其对应变形满足变形相容条件的那些状态。该原理表述为：在所有可能的平衡状态中，实际出现的是对应最小变形功的那个状态。Castigliano 原理连同变形功方程（12c）以及平衡条件一起，构成一个足以建立材料抗力的方程组。由于这一原理包含胡克定律，其应用可能性取决于这样一个假设：变形可以完全由该定律描述。这不仅要求材料呈线弹性行为，而且还排除了温度变化。

超过弹性极限的材料行为

静载作用下的现象

材料在应力作用下的变形是一种极其复杂的现象，因此必须从不同方面加以简化，才能加以理解。这些简化之一是假定荷载是逐渐施加的，正如在进行拉伸和压缩试验时对试样所做的那样。

如果对一根受拉钢棒施加逐渐增大的荷载，并测量其伸长量 ε，可得到图 8 所示的曲线。起初，伸长量非常小，并与应力成正比，这符合胡克定律。从某一特定应力起，这种比例关系不再成立，伸长量增长更快。这一比例极限的准确位置很难确定。测量越精确，得到的值越低。对于大多数材料，它位于 σ = 0，此时胡克定律只是对弹性行为的第一次近似，是泰勒级数中函数 ε = ε (σ) 在坐标原点附近展开的第一项。

如果将杆件卸载，可以观察到，在应力不太大的情况下，按照胡克定律，变形也会消失。但如果超过某一接近比例极限、即所谓弹性极限的应力，这一点也会改变；此时总变形由弹性（可恢复）部分和非弹性（永久）部分组成。弹性极限也无法精确确定，测量精度越高，其值就越低。然而，由于它具有重要的技术意义，因为它是材料力学中几乎所有计算的重要界限，同时也是出现首次永久损伤的界限，因此在试样检验中，通常按某种约定严格定义，例如作为 0.2% 界限，指永久延伸达到 0.2% 时的应力。

一旦超过弹性极限，变形便会迅速增加，并可用肉眼观察到；在几乎恒定的应力下，试杆持续伸长。这种应力称为屈服极限。在液压材料试验机中，还可以观察到在开始屈服后应力有不同程度的下降；如图 8 中虚线所示；此时最大值称为上屈服极限，随后出现的恒定屈服应力称为下屈服极限。

当达到某一伸长量后，这种几乎完全非弹性的变形达到后，应力又开始上升，材料发生硬化。在这一受载阶段，由于（非弹性）横向收缩，杆件的横截面积会明显减小，而应力—变形图的后续过程，首先取决于在计算应力 σ 时，作用于杆件上的拉力 P 是除以原始截面 F0 还是当前截面 F。对于技术目的而言，感兴趣的是应力 P|F0。该应力达到一个称为材料强度的最大值，当这一最大值被超过后，杆件会在某一点剧烈缩颈并断裂。“真实应力” P|F 一直增长到破坏为止。

图 8.

其他金属的行为在很大程度上与此处所述不同。屈服常常并不明显，而硬化会在超过弹性极限后立即开始。对于脆性材料（石材、玻璃、混凝土），非弹性变形通常很小，甚至在很小的伸长下就会发生破坏。材料在破坏前所经历的总伸长是材料延展性（相反：脆性）的度量，并且对于钢材在技术条件中有明确规定。然而，由于在破坏前不久，进一步变形会集中在局部缩颈部位，因此破坏时的伸长值会因采用标距中杆件长度的大小不同而不同，所以为了得到明确且可相互比较的结果，必须预先采用某种特定约定。破坏伸长通常这样测定：在直径为 d 的圆杆上，试验前标记标距 Ι = 10 d，并由其伸长 ΔΙ 计算破坏伸长 εs_Ι = ΔΙ|Ι 。_ 如需测试其他截面的杆件，则标距按具有相同横截面积的圆柱形圆杆直径来确定。

长期荷载

对于拉伸试验过程而言，载荷在 10 m分钟内还是在几个小时内增加到破坏，其实差别不大。然而，如果载荷作用多年或几十年，在某些条件下可以观察到，即使低于屈服极限，在恒定应力下的变形也会随时间缓慢增加。其中弹性部分，即在最终卸载时消失的那部分，并不会明显变化。这种在较长时间内发生的非弹性变形增加称为蠕变。对于金属，除铅以外，蠕变只有在高温下才具有意义；然而对于土木工程师来说，它在混凝土中起作用，混凝土在压力下会缓慢松弛，因此如果存在受压钢筋，其应力会增加。

可变荷载

为了将通过拉伸试验得到的材料力学特性用作结构允许荷载的依据，条件是材料在每次重新受载时都能承受其曾经在未受损情况下承受过的应力。若材料经常反复承受加载和卸载，例如受未完全平衡机器惯性力作用的梁，就不满足这一条件。通过足够频繁的重复加载，构件即使在远低于通常静力试验所确定的材料强度的应力下也会发生破坏。这类破坏现象称为 疲劳破坏。材料能够承受的 n 个载荷循环次数取决于应力 σ 的大小，因此应力越小，所能承受的循环次数就越多。这种关系的典型例子见图 9，由此可见，材料强度存在一个下限，即使在任意多的加载循环下也能承受，这称为 材料的动态强度。这类图表（图 9）称为 Wohler 曲线。

图 9.

结构安全

两个极限荷载对结构具有重要意义：其一是产生初始永久损伤的荷载（屈服极限），其二是结构承载能力耗尽并发生破坏的荷载（破坏极限）。由于在屈服极限之前，材料力学的假定至少近似成立（小位移、胡克定律），因此在那些能够克服数学困难的所有情况下，都可以可靠地评估对永久变形的安全性。如果应力与荷载成正比，则屈服应力与结构中出现的最大应力之比，等于发生屈服时的荷载与实际荷载之比，并表示相对于屈服的安全系数。然而，在许多情况下，这种简单关系并不存在：如排除拉伸时的弯曲、凸面之间的压缩、结构可变的系统，以及尤其不利的带轴向力弯曲。在所有这些情况下，荷载相对较小的增加都可能导致应力显著增大，此时仅将通常的安全系数用于应力是不够的，而必须将其用于荷载。

从超过屈服极限到破坏之前所发生的现象，在大多数情况下已只能作定性观察。如果材料具有延展性，那么最先达到屈服极限的部位，以及在恒定应力或略有增加的应力下继续变形的部位，对承受后续荷载的贡献很小，因此构件中其余应力较低的部分，若其结构条件允许，则会更多地参与承载。在这种趋于消除应力峰值的过程中，存在一定的安全储备；如果某些部位仅在一次较大荷载下产生的永久变形并不有害，则可在计算中加以利用（极限荷载法）。

如果材料是脆性的，最初的永久损伤会表现为裂纹，由此在受损部位产生更强的应力集中，并立即导致断裂。疲劳断裂即使对于延性材料也具有脆性断裂的特征。

 不同截面平面上的应力之间的关系

变换方程

图 1中的九个分量应力受三个平衡条件约束。其余六个量 σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx 可以彼此独立地取任意值，这一点可从弹性理论微分方程的推导中看出。然而，当这些值给定时，固体某一点的应力状态就完全确定了；也就是说，当已知三个互相垂直平面上的应力时，经过该点且其法线方向任意的某第四个平面的应力也可以唯一确定。

在图 10 中示出了四面体 OABC，其三个面与坐标系 x, y, z 的平面平行，第四个面则表示一个任意取向的表面元素 ABC = dF. 为了标明其方向以及通过它传递的应力方向，引入第二个坐标系，其 ξ 轴垂直于 dF.

图 10

作用于该四面体并沿 ξ 轴方向的力的平衡条件给出

如果考虑到

可得

以及类似地，由沿 η 轴方向的平衡条件：

这是用于计算坐标变换时应力的方程式。特别重要的是，只考虑这样一些面元 dF，即 ξ-轴与 z-轴重合的情况。该情况的公式可由前述公式简化得到，或直接从图 11 读出：

图 11

当方向 α = α0 时，正应力取极值，对应 dσξ/dα = 0。通过对方程（16）求导得到

因此，当该表达式等于零时

应力 τξη 也将是在这些平面上的总剪应力，如果 τyz = τzx = 0。此时由方程（17）确定两个相互垂直的方向，在这些方向上：1 总剪应力为零，并且，2 正应力具有极值（最大值和最小值）。这些方向称为主应力方向，相应的应力称为_主应力_。它们记作 σ1 和 σ2，并可直接由公式计算。

 莫尔圆

方程（16）可以用图示方式直观表示。为此应将其变换为如下形式：

这些方程在坐标系 σ、τ 中表示图 12 所示圆的参数形式方程，其圆心坐标为 σ = 1/2 (σx + σy)，τ = 0，其半径为

这个圆称为莫尔圆。如果过 x 点作一条与截面 x =const. 平行的直线，通过该截面传递应力 σx、τxy，则它会与圆在 p 点相交，该点称为莫尔圆的极点。过该极点作出的每一条直线 pξ 都与圆相交于 ξ 点，该点确定通过与 pξ 平行截面传递的应力 σξ、τξη。

在绘制莫尔圆时，关于剪应力的符号要注意：如果其方向如图 12c 所示，则应向上标注。因此，在两个共轭应力 τxy、τyx 中，一个总是为正，另一个为负。

法向应力的极限值 σ1、σ2 对应圆上的点 1 和 2，而直线 _p_1 和 _p_2 给出主应力的方向。

用莫尔圆表示位于 x-y 平面内的应力，并不依赖于与该平面垂直的应力 σz、τxz、τyz 的任何假定。

图 12

因此，这一结论同样适用于最一般的三维应力状态，但前提是只比较那些都通过同一直线的截面，而这里该直线被选作 z 和 ξ 轴。根据一般变换方程（15），法向应力 σ 不可能在任何截面上变为无穷大，因此它在某一截面上必须有有限最大值 σ1，而在另一截面上有最小值 σ3，二者当然都也可以为负。如果通过向量 σ1 和 σ3 画出一个平面并绘制莫尔圆（图 13）

图 13

对于位于该平面内的应力（即所有垂直于该平面的方向），则 σ1 和 σ3 是可能出现的最大和最小法向应力，因此它们必须彼此垂直。若将方向 1 和 3 以方向 2 补全，使这三个方向构成直角坐标系，并绘制平面 1 ~2 和 2 ~ 3 的 Mohr 圆，则 σ2 对其中一个圆为最大法向应力，而对另一个圆为最小法向应力，因此在垂直于方向 1、2 和 3 的截面中，剪应力等于零。三个彼此垂直、且没有相应剪应力的法向应力 σ1、σ2 和 σ3，称为主应力。

    空间应力状态下的屈服极限和破坏极限

应力状态称为一维、二维或三维，也可称为线性、平面或空间状态，取决于一个、两个或三个主应力是否不为零。对于最常采用的构件，即受拉、受压和受弯杆件，应力状态，至少在受力最大的部位，是一维的；在材料试验中几乎专门用于确定许用应力的拉伸、压缩或弯曲试验中也是如此。相反，对于在其平面内或垂直于其平面受荷的板，以及壳体，应力状态是二维的，而在某些情况下也会出现三维应力状态，因此有必要根据在一维应力状态下确定的屈服极限和破坏极限，推断材料在空间应力状态下的行为。