مواد: مادّی مزاحمت اور لچک کی نظریہ

بنیادی اصول

مواد کی مزاحمت کا کام یہ طے کرنا ہے کہ کوئی ٹھوس جسم (مثلاً عمارت، ساختی حصہ یا زمین) کون سی بیرونی قوتیں برداشت کر سکتا ہے۔ اس سوال کا جواب دینے کے لیے دو معیاروں سے آغاز کیا جاتا ہے: ایک طرف تناؤ کو مواد کی قسم کے مطابق متعین حدود سے تجاوز نہیں کرنا چاہیے، اور دوسری طرف بیرونی اور اندرونی قوتوں کے درمیان توازن مستحکم ہونا چاہیے۔ اس کے مطابق، مواد کی مزاحمت کے تمام مسائل کو “تناؤ کے مسائل” اور “استحکام کے مسائل” میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔

شہتیروں اور بیموں، اور ان سے بنے ہوئے حاملین (جالیے، فریم) میں تناؤات کا تعین دو مرحلوں میں کیا جاتا ہے، یعنی پہلے دی گئی بیرونی قوتوں کی بنیاد پر ان اندرونی قوتوں کا نتیجہ نکالا جاتا ہے جو مقطعِ عرضی کے ذریعے منتقل ہوتی ہیں، اور پھر ان “مقطعی قوتوں” سے تناؤات طے کیے جاتے ہیں۔ طریقۂ کار کا پہلا حصہ ایک جداگانہ، وسیع شعبہ ہے، یعنی تعمیراتی ڈھانچوں کی استاتیک، جس کے اپنے ترقی یافتہ طریقے ہیں اور جسے عموماً مٹیریل کی مزاحمت سے الگ رکھا جاتا ہے، اور جس کا کام دی گئی مقطعی قوتوں سے تناؤات متعین کرنا ہے۔

مواد کی مضبوطی کے بنیادی تصورات

تناؤ کی تعریف تک پہنچنے کے لیے درج ذیل بنیادی غور و فکر سے کام لیا جاتا ہے۔ فرض کریں جسم پر بیرونی قوتوں کا ایک متوازن نظام عمل کر رہا ہے۔ تصور کریں کہ ہم نے جسم کو کسی بھی قطع سے دو حصوں میں بانٹ دیا ہے، اور ان میں سے ایک حصے کو اس پر اثر انداز ہونے والی قوتوں سمیت ہٹا دیا ہے؛ تب دوسرے حصے پر اس کے عمل کو، تاکہ قوتوں کا توازن اور بگاڑوں کی تقسیم جوں کی توں رہے، تکمیلی قوتوں سے بدلنا ہوگا جو قطع کی سطح کے ذریعے منتقل ہوتی ہیں۔ یہ “داخلی” قوتیں قطع کی سطح پر مسلسل پھیلی ہوتی ہیں، اس لیے سطح کے ہر عنصر dF کے مقابلے میں قوت dβ ہوتی ہے۔ اگر dβ / dF کا حاصلِ تقسیم بنائیں اور حدی انتقال dF -> 0 لیں، تو یہ حاصلِ تقسیم ایک حدی قدر کی طرف جاتا ہے جسے تناؤ کہتے ہیں۔ کسی متعین سطحی عنصر میں تناؤ، dβ کی طرح، dF پر عمودی اور مماسی اجزا میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، یعنی نارمل تناؤ σ اور قینچی تناؤ τ۔

اگر ایک ہی نقطے سے مختلف سمتوں میں کٹیں لی جائیں تو ان کے مطابق مختلف تناؤ ہوں گے۔ خاص طور پر اگر جسم سے ایک ابتدائی مکعبی عنصر الگ کیا جائے، جیسا کہ شکل 1 میں دکھایا گیا ہے، تو اس کی چھ سطحوں میں سے ہر ایک پر تناؤ کا ویکٹر عمل کرے گا جسے x، y، z کوآرڈینیٹ سمتوں میں تین اجزاء میں توڑا جا سکتا ہے۔ مخالف سطحوں پر عمل کرنے والے تناؤ آپس میں، ظاہر ہے، صرف تفاضلی مقدار سے مختلف ہوتے ہیں، اس لیے 3 * 3 = 9 جزوی تناؤوں میں فرق کرنا چاہیے، جنہیں درج ذیل طور پر ظاہر کیا جاتا ہے:

معمولی تناؤوں σ کو اس محور کا اشاریہ دیا جاتا ہے جس کی سمت میں وہ واقع ہوتے ہیں، اور انہیں مثبت سمجھا جاتا ہے اگر وہ کھنچاؤ پیدا کریں، منفی اگر وہ دباؤ پیدا کریں۔ قینچی تناؤ τ کو دو اشاریے دیے جاتے ہیں؛ ان میں پہلا متعلقہ معمولی تناؤ کے اشاریے جیسا ہوتا ہے، اور دوسرا اس محور سے متعلق ہوتا ہے جس کی سمت میں قینچی تناؤ عمل کرتا ہے۔ اگر متعلقہ معمولی تناؤ کی مثبت سمت مثبت (منفی) مختصاتی محور کی سمت ہو، تو قینچی تناؤ کو بھی مثبت سمجھا جاتا ہے اگر وہ مثبت (منفی) مختصاتی محور کی سمت میں عمل کرے۔

شکل 1.

 قینچی تناؤ کی باہمی مناسبت

اگر ابتدائی مکعب، شکل 1، کے لیے یہ شرط رکھی جائے کہ قوتوں کے تمام لمحات محور x کے بارے میں صفر ہوں، تو τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz حاصل ہوتا ہے۔ یہاں سے، اور محور y اور z کے لیے دو متعلقہ مساواتوں سے، یہ حاصل ہوتا ہے کہ ایک ہی اشاریوں والے قینچی تناؤ باہم برابر ہیں τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz  (1)

اجزائی بگاڑ

یہ کہ اوپر تعریف کردہ تناؤ کا جسمانی مفہوم ہے، ان کے اُس تعلق سے ظاہر ہوتا ہے جو ہر جسم بیرونی قوتوں کے اثر کے تحت برداشت کرتا ہے۔ شکل 2 ایک ابتدائی مکعب نما عنصر دکھاتی ہے، جو بگڑنے سے پہلے مستطیل تھا اور اس کی کناروں کی لمبائیاں dx، dy، dz تھیں۔ بگڑنے کے بعد کناروں کی لمبائیاں dx + Δdx، dy + Δdy، dz + Δdz سے ظاہر کی جا سکتی ہیں؛ نسبتیں εx = Δdx|dx، εy =Δdy|dy، εz = Δdz|dz کو طولی پھیلاؤ کہا جاتا ہے۔ یہ بے بُعد مقداریں ہیں اور تعمیرات میں قابلِ غور تمام مواد کے لیے 1 کے مقابلے میں چھوٹی ہوتی ہیں۔ کناروں کی طوالت کے علاوہ، ابتدائی سیدھے زاویوں میں بھی تبدیلی آ سکتی ہے جو اس ابتدائی مکعب dx * dy * dz کے اطراف کے درمیان موجود تھے۔

شکل 2. مرکّبی بگاڑ

فرض کریں کہ بگاڑ کے بعد ان سطحوں کے درمیان زاویہ، جو کنارے OC کے ساتھ ملتی ہیں، کے برابر ہو، اور اسی طرح کنارے AO کے ساتھ صحیح زاویے میں کمی γyz کے برابر اور کنارے OB کے ساتھ کمی γzx کے برابر ہو۔ زاویوں کی یہ تین تبدیلیاں _γxy, γyz, γzx کو سرکاؤ کہا جاتا ہے اور یہ بھی ہمیشہ 1 کے لحاظ سے چھوٹی ہوتی ہیں۔ چھ اجزائی ε اور γ کے ساتھ عنصری مکعبی خانے کی بگاڑ “چھوٹے بگاڑ” کے طور پر مکمل طور پر متعین ہوتی ہے۔ حجم کے عنصر d_V = dx * dy * dz میں تبدیلی ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz ہے، جہاں بگاڑوں کی حاصل ضربات کو بلند تر درجے کی چھوٹی مقداریں سمجھ کر نظر انداز کرنے پر مکعبی بگاڑ ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) حاصل ہوتا ہے

منتقلیاں

ٹھوس جسم کی بگاڑ کو اس طرح بھی مکمل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے کہ اس کے ہر نقطے کے لیے وہ نقل مکانی دی جائے جو اس نقطے نے برداشت کی ہے۔ اگر مشاہدے سے ان بڑی نقل مکانیوں کو خارج کر دیا جائے جو جامد جسم کی نقل مکانی کے مطابق ہوتی ہیں، اس طرح کہ ضرورت پڑنے پر حساب میں حرکت پذیر محدد نظام اختیار کیا جائے، تو اجزائی نقل مکانی μ، ν، ω ہمیشہ چھوٹی مقداریں رہتی ہیں، اور ان کے محدد کے لحاظ سے مشتقات 1 کے مقابلے میں چھوٹے ہوتے ہیں۔ اس مفروضے کے تحت شکل 3 کے مطابق خطی عنصر OA = dx کی لمبائی بگاڑ کے بعد

پس  (3)

اسی طرح شکل 3 سے معلوم ہوتا ہے کہ کترن γxy γ1 + γ2: کے برابر ہے اور نیز

 (4)

شکل 3 سرکنا

(5)  (6)

ان ربطوں کو موافقت کی شرائط کہا جاتا ہے اور یہ ظاہر کرتے ہیں کہ بگڑے ہوئے عناصر موزیک کی طرح اس انداز سے باہم مل سکتے ہیں کہ اس دوران جگہ مسلسل بھری رہے، جو اس صورت میں ممکن نہیں جب عناصر کی بگاڑیں بے قاعدہ ہوں۔ موافقت کی شرائط تفاضلی مساوات ہیں، اس لیے ظاہر ہے کہ ہر الگ مکعب کے لیے تمام چھ جزوی بگاڑیں باہم آزاد ہیں، لیکن کسی بھی محدود پھیلی ہوئی خطے میں ان کی ترتیب شرائط (5) اور (6) سے وابستہ ہے۔

چونکہ یہ شرائط مساوات (3) اور (4) سے تفریق کے ذریعے حاصل کی گئی ہیں، ان کے اخذ کے دوران اصل مساوات میں موجود روابط کا ایک حصہ ضائع ہو جاتا ہے۔ لہٰذا صرف ان دو نظامِ مساوات میں سے ایک کا پورا ہونا کافی نہیں، بلکہ اگر بگاڑ کی مطابقت کو یقینی بنانا ہو تو دونوں نظامِ مساوات پوری طرح پورے کرنے ہوں گے۔

الاستی نظام کی تفاضلی مساوات

لچکدار اجسام میں تناؤ اور بگاڑ کے حساب کے لیے درج ذیل مساوات استعمال ہوتی ہیں:

حجمی عنصر کے توازن کی شرائط۔ تینوں محوروں کے گرد مومنٹس کے صفر ہونے کی شرائط پہلے ہی مساوات (1) کے اخذ میں استعمال ہو چکی ہیں۔ قوّتوں کے توازن کی شرائط شکل 4 کے مطابق دیتی ہیں

شکل 4

(7a-c)

اگر X، Y، Z سے حجمِی قوتوں کے اجزا (مثلاً وزن، مرکز گریز قوت) فی اکائی حجم ظاہر کیے جائیں۔ تناؤ اور بگاڑ کے باہمی تعلقات۔ اس سے مراد اجزائی تناؤ اور اجزائی بگاڑ کے درمیان تعلق ہے۔ لچکیت کی نظریہ میں عموماً صرف خطی تعلق زیرِ غور آتا ہے، جسے ہوک کے قانون سے ظاہر کیا جاتا ہے:

(8a-c)

(8d-f)

اگر مساوات (8a-c) کو تناؤ کے لحاظ سے حل کیا جائے تو حاصل ہوتا ہے

(8 a)

اور دو متعلقہ مساواتیں۔ ہوک کا قانون، جسے مساوات (8) سے ظاہر کیا گیا ہے، کوئی سختی سے پورا ہونے والا فطری قانون نہیں بلکہ حقیقی رویّے کی ایک مثالی صورت ہے، جو مادّے اور تناؤ کی مقدار کے مطابق اس سے کم یا زیادہ ہٹتا ہے۔ چونکہ تناؤ اور بگاڑ کے پیچیدہ، غیر خطی تعلقات والے مٹیریلز کے مسائل کا ریاضیاتی تجزیہ کہیں زیادہ دشوار ہوتا ہے اور عملاً صرف انتہائی سادہ صورتوں میں ہی کیا جا سکتا ہے، اس لیے ان مادّوں (کنکریٹ!) کے لیے بھی جن کا رویّہ ہوک کے قانون سے خاصا مختلف ہوتا ہے، اسی پر مبنی حسابات کو پہلی، اور زیادہ تر صورتوں میں واحد قریباً حل کے طور پر استعمال کرنا پڑتا ہے، جو ویسے بھی عموماً بہت کارآمد اور محض معیاری سے بڑھ کر بصیرت دیتا ہے۔ G = E|2 (1+μ).

یہ لازماً تناؤ اور بگاڑ (8) کے باہمی تعلق، تناؤ کے لیے تبدیلی کی مساوات (16) اور اجزائی بگاڑوں کے لیے متعلقہ مساواتی نظام سے اخذ ہوتی ہے۔ E اور G میں تناؤ کی اکائی ہے اور تمام تعمیراتی مواد میں یہ ممکنہ تناؤ σ اور τ کے مقابلے میں بڑے ہوتے ہیں۔ لیکن اسی حقیقت پر لچک کے نظریے میں ہر جگہ اختیار کی گئی یہ مفروضہ قائم ہے کہ بگاڑ چھوٹے ہیں۔ عرضی پھیلاؤ کا ضریب (پواسوں عدد) μ بے بُعد ہے اور ہمیشہ 0 اور 1/2 کے درمیان ہوتا ہے۔

اجزائی بگاڑ اور نقل مکانیوں کے درمیان تعلقات۔ یہ تعلقات مساواتوں (3), (4) سے دیے گئے ہیں۔ یہ خالصتاً ہندسی نوعیت کے ہیں۔ یہ تینوں نظام 3+6+6=15 مساواتیں 15 نامعلوم مقداروں کے لیے دیتے ہیں، یعنی 6 اجزائی تناؤ، 6 اجزائی بگاڑ اور 3 اجزائی نقل مکانیوں کے لیے۔ لہٰذا یہ ان نامعلوم مقداروں کے تعین کے لیے کافی ہیں۔ اس قدر وسیع تفاضلی مساواتوں کے نظام پر ریاضیاتی عبور، ظاہر ہے، صرف خاص حالات میں ممکن ہے۔ اگر مساوات (8) میں اجزائی بگاڑوں کو مساواتوں (3) اور (4) کے مطابق اجزائی نقل مکانیوں سے بدل دیا جائے اور پھر معمولی تناؤ σ اور قینچی تناؤ τ، مساواتوں (8 d - f) کے مطابق، توازن کی شرائط، مساوات (7), میں داخل کیے جائیں، تو ایسی تفاضلی مساواتیں حاصل ہوتی ہیں جنہیں لچک کے نظریے کی بنیادی مساواتیں کہا جاتا ہے۔

(9)

جس میں  سے لاپلاس آپریٹر مراد ہے۔ (2) کے لحاظ سے یہ تین تفاضلی مساواتیں ہیں جن میں تین اجزائی انتقالات μ، ν، ω شامل ہیں؛ ان سے مزید تفریق کے ذریعے (3), (4) اور (8) کی بنیاد پر تمام اجزائی تناؤ اور بگاڑ حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ مساواتیں (9) اکثر خاص صورتوں کے مطالعے کے لیے ایک موزوں ابتدائی نقطہ فراہم کرتی ہیں۔

تشکیلی کام

تعریف

جب حامل پر بوجھ ڈالا جاتا ہے تو بیرونی قوتوں کے اطلاقی نقاط لچکدار نقل مکانی اختیار کرتے ہیں اور قوتیں اس دوران ایک خاص کام انجام دیتی ہیں۔ اس طرح فراہم کی گئی توانائی مختلف اشکال میں تبدیل ہو سکتی ہے۔ اگر بوجھ اچانک لگایا جائے، یعنی بگڑنے کا عمل کافی رفتار سے ہو، تو اس توانائی کا ایک حصہ حرکی توانائی میں تبدیل ہو جاتا ہے، جو وقت کے ساتھ ضائع ہو جاتی ہے، یا تو اس طرح کہ یہ زمین میں ایک لچکدار موج کی صورت منتقل ہو کر لامحدودیت میں گم ہو جاتی ہے، یا پھر اندرونی رگڑ کے باعث حرارت میں بدل جاتی ہے۔ اگر بوجھ اتنی آہستگی سے لگائے جائیں کہ حرکی توانائی میں قابلِ لحاظ اضافہ نہ ہو، یعنی صفر سے بڑھنے والے بوجھ مسلسل اندرونی قوتوں کے ساتھ توازن میں رہیں، تو ظاہر ہے کہ توانائی صرف جسم کی بگڑنے پر خرچ ہوتی ہے اور اس صورت میں اسے بگاڑ کا کام کہا جاتا ہے۔

شکل 5 میں پہلے ہم deformation work کا حساب ایک ایسے جز پر دکھائیں گے جو ایک ہی سمت میں کھنچاؤ کے بوجھ سے متاثر ہے۔

فرض کریں کہ موجودہ تناؤ σ اور اس کے مطابق تناؤی بگاڑ ε میں dσ اور dε کے اضافے ہوں۔ تب قوت σdF، راستے dε * dl پر کام کرتے ہوئے، کام σdF * dεdl = σdεdV انجام دے گی، اگر dV سے جزو کا حجم مراد لیا جائے۔ اگر تناؤ صفر سے اپنی حتمی قیمت تک بڑھتا ہے اور اسی کے مطابق بگاڑ 0 سے ε تک جاتا ہے، تو فی اکائی حجم انجام پانے والا کل کام یوں ہوگا:

اسی طرح قینچی تناؤ τ سے بوجھيل عنصر کے لیے بھی (شکل 6) فی اکائی حجم deformation کا کام (خصوصی deformation کام، لچکدار potential):

جس میں صرف چار قوتوں میں سے ایک τ * dF کام انجام دیتی ہے۔

عام صورت میں، جب ابتدائی جز پر تمام چھ جزوی تناؤ اثر انداز ہوتے ہیں، تو مخصوص بگاڑ کا کام ہر جزوی تناؤ کے الگ الگ کاموں کو جمع کر کے حاصل ہوتا ہے:

(10)

ان انٹیگرلز میں سے ہر ایک کی بالائی حد کے لحاظ سے تفریق کرنے سے وہ تعلقات حاصل ہوتے ہیں جو عمومی ترین حالت میں درست ہیں:

(11)

اور اسی طرح باقی اجزائی بگاڑوں کے لیے بھی۔ اگر جسم لچکدار ہو، تو تناؤ کی ہر متعین حالت کے مقابل ہمیشہ بگاڑ کی وہی حالت ہوتی ہے، خواہ وہ حالت بوجھ کے دوران حاصل ہوئی ہو یا بوجھ ہٹانے کے دوران۔ تب تکاملات کے نیچے یک معنی افعال ہوتے ہیں اور بوجھ کے دوران اور پھر مکمل بوجھ ہٹانے کے دوران خرچ ہونے والی کل توانائی a = 0 ہے، اس لیے کہ اس صورت میں تکامل کی بالائی حدیں صفر ہو جاتی ہیں۔ لہٰذا بوجھ کے دوران جسم کو دی جانے والی کل توانائی، بوجھ ہٹانے کے دوران واپس مل جاتی ہے۔

شکل 6

شکل 7

غیر مکمل لچک دار جسم کے لیے دباؤ اور بگاڑ کے درمیان تعلق پورے لوڈنگ اور ان لوڈنگ چکر میں تقریباً اس شکل کا ہوتا ہے جیسا کہ شکل 7 میں خطوط O A B. سے دکھایا گیا ہے۔ لوڈنگ کے دوران فراہم کی گئی توانائی  سطح OAA, کے برابر ہوتی ہے، اور ان لوڈنگ کے وقت واپس آنے والی توانائی سطح ABA, کے برابر ہوتی ہے، لہٰذا وہ کام ضائع ہو جاتا ہے (حرارت میں تبدیل ہو جاتا ہے) جو سایہ دار رقبے کے مطابق ہے۔ اگر ارتعاشی عمل میں دباؤ مثبت حدی قدر  اور منفی حدی قدر  کے درمیان وقفے وقفے سے بدلتا رہے، تو غیر لچکدار بگاڑ اسی طرح ہوتا ہے جیسے شکل 7 میں نقطہ دار خطوط سے دکھایا گیا ہے، اور ارتعاش کے ہر دور میں فی اکائی حجم توانائی DABCD حرارت میں تبدیل ہو جاتی ہے۔ بگاڑ کے دوران ایسا برتاؤ، جس میں بگاڑ دباؤ سے پیچھے رہتا ہے، لچکدار ہسٹریسس کہلاتا ہے، اور منحنی DABCD کو ہسٹریسس لوپ کہا جاتا ہے۔

بگاڑی کام اور ہوک کا قانون

اگر مساوات (10) کے تکاملات میں Hooke-کا قانون داخل کیا جائے تو تکامل ممکن ہو جاتا ہے، اور مخصوص بگاڑ کے کام کے لیے درج ذیل اظہار حاصل ہوتے ہیں:

(12a)

(12b)

(12c)

اگر ان صورتوں میں سے دوسری کو مساوات (11) میں رکھا جائے تو پھر بھی ہوک کا قانون، مساواتیں (8), تناؤ کے حل شدہ روپ میں، حاصل ہوتا ہے۔ یہ بیان کہ ارتقائی کام جزوی بگاڑوں پر منحصر ہے، جیسا کہ مساوات (12b) سے ظاہر ہے، اس لیے ہوک کے قانون کے ہم معنی ہے۔ جب مساوات (12c) کو تناؤ کے لحاظ سے تفریق کیا جاتا ہے، تو حاصل ہوتا ہے

(13)

یہ فارمولے، فارمولوں (11) کے برعکس، صرف اُن اجسام پر لاگو ہوتے ہیں جو ہوک کے قانون کے مطابق برتاؤ کرتے ہیں اور جب تناؤ اور بگاڑ کے درمیان تعلق مختلف ہو تو استعمال نہیں کیے جا سکتے۔ ظاہر ہے کہ مساوات (13) کے دائیں طرف صرف وہ مرکّبی بگاڑ موجود ہیں جو تناؤ سے پیدا ہوئے ہوں، اور وہ تمام دیگر بگاڑ خارج کر دیے جاتے ہیں جو ممکن ہے درجہ حرارت کی تبدیلی، رینگنے، سوجن، دوبارہ قلمی ہونے، وغیرہ کی وجہ سے پیدا ہوئے ہوں۔

انٹیگرل تصورات نظریۂ لچک میں

مجازی نقل مکانی۔ کم از کم ممکنہ توانائی کا اصول

جس طرح ہُوک کے قانون، مساواتیں (8) کو ایک ہی مساوات (12b) سے بدلا جا سکتا ہے، اسی طرح توازن کی شرط کے بجائے مجازی انتقالات کا اصول بھی بطور ایک عمومی بنیادی قانونِ میکانیات متعارف کرایا جا سکتا ہے۔ یہ قانون بیان کرتا ہے کہ متوازن حالتیں اس بات سے متصف ہوتی ہیں کہ ان میں حالتِ تغیر میں معمولی تبدیلی کے دوران تمام قوتوں کا مجموعی انجام دیے گئے کام صفر ہوتا ہے۔ اگر لچکدار انتقالات میں چھوٹی تبدیلیوں کو δμ δν, δω سے ظاہر کریں، تو حجماتی قوتیں، جن کی تعریف مساوات (7) سے کی گئی ہے، مجازی کام انجام دیتی ہیں

اور سطحی قوتیں px, py, pz جو جسم کی بیرونی سطح کے عنصر dF پر عمل کرتی ہیں کام 

جس میں تیسرا تکامل پوری حجم پر، اور دوہرا تکامل جسم کی پوری بیرونی سطح پر لاگو ہوتا ہے۔ اندرونی قوتوں کے ذریعے انجام دیے گئے کام کے حساب کے لیے مساوات (12b) استعمال کی جاتی ہے، لہٰذا فی اکائی حجم کام کے لیے حاصل ہوتا ہے

مجازی نقل مکانی کا اصول اس بنیاد پر یہ دیتا ہے

(14)

اگر بوجھ X، Y، Z px, py., pz کو کششِ ثقل کے اجزا (اپنا وزن اور بیرونی بوجھ) سمجھا جائے، تو دائیں طرف کے تکملات ان بوجھوں کی ضائع شدہ پوٹینشل توانائی ظاہر کرتے ہیں، جبکہ بائیں طرف جسم کی پوٹینشل (لچکدار) توانائی میں اضافہ ظاہر ہوتا ہے؛ اس طرح یہ اصول بیان کرتا ہے کہ توازن کی حالت میں حامل اور اس پر موجود بوجھوں کی مجموعی پوٹینشل توانائی ایک انتہائی قدر رکھتی ہے۔ اگر یہ انتہائی قدر کم ترین ہو تو توازن مستحکم ہوتا ہے۔

ممکنہ توانائی کے کم از کم اصول کو مساوات (14) سے ظاہر کیا گیا ہے، بگاڑ کے کام کے لیے عبارت (12b)، اور بگاڑ کی مطابقت کی شرائط (5), (6) مساواتوں کا وہ نظام تشکیل دیتی ہیں جو لچک کے نظریے کی تشکیل کے لیے کافی ہے، اور جو بنیادی طور پر مساواتوں کے نظام کے ہم پلّہ ہے۔ یہ نظام خاص طور پر ان صورتوں میں مفید ہو سکتا ہے جب تفاضلی مساواتوں (9) کو پورا کرنا حسابی دشواریاں پیدا کرے، اور اس وجہ سے ایک قریب ترین حل تلاش کرنا پڑے، مثلاً انتقالات کے لیے پہلے سے کوئی موزوں شکل فرض کر لی جائے جس میں چند آزاد مستقلات ہوں، پھر انہیں اس تقاضے سے متعین کیا جائے کہ مساوات (14) پوری ہو۔ اس طرح اگرچہ مسئلے کا قطعی حل نہیں ملتا، بلکہ صرف وہ بہترین تقریب حاصل ہوتی ہے جو منتخب حل کی شکل سے ممکن ہو۔ یہ تقریب کافی ہے یا نہیں، اس کا دارومدار سب سے پہلے اختیار کی گئی حل کی شکل پر ہوتا ہے، اور اس طریقے کا کامیاب استعمال اسی وجہ سے مہارت اور تجربے کا تقاضا کرتا ہے۔

کاسٹیلیانو کا اصول

جہاں کم از کم ممکنہ توانائی کے اصول میں ان تمام تناؤی حالتوں کا موازنہ کیا جاتا ہے جو تغیرات کی مطابقت کی شرائط پوری کرتی ہیں اور ان میں سے وہ حالتیں الگ کی جاتی ہیں جن کے لیے متعلقہ تناؤ توازن کی شرائط پوری کرتے ہیں، وہاں Castigliano کے اصول میں ان تمام تناؤی حالتوں کا موازنہ کیا جاتا ہے جو توازن کی شرائط پوری کرتی ہیں اور ان میں سے وہ حالتیں الگ کی جاتی ہیں جن کے لیے متعلقہ تغیرات تغیرات کی مطابقت کی شرائط پوری کرتے ہیں۔ یہ اصول یوں ہے: تمام ممکنہ متوازن حالتوں میں سے حقیقتاً وہی حالت وقوع پذیر ہوتی ہے جس کے مطابق کم سے کم تغیری کام ہو۔ Castigliano کا اصول، تغیری کام کے لیے مساوات (12c) اور توازن کی شرائط کے ساتھ مل کر ایک ایسا نظامِ مساوات بناتا ہے جو مواد کی مزاحمت کی تشکیل کے لیے کافی ہے۔ چونکہ یہ اصول Hooke کے قانون کو شامل کرتا ہے، اس کے اطلاق کی امکانیت اس مفروضے سے وابستہ ہے کہ تغیرات کو اس قانون کے ذریعے مکمل طور پر بیان کیا جا سکے۔ اس کے لیے نہ صرف مواد کا خطی لچکدار برتاؤ درکار ہے بلکہ درجۂ حرارت کی تبدیلیوں کو بھی خارج کرتا ہے۔

مواد کا برتاؤ حدِّ لچک سے اوپر

جامد بوجھ کے تحت مظاہر

تناؤ کے اثر کے تحت مواد کی تشکیلِ بدل ایک بہت پیچیدہ مظہر ہے، اس لیے اسے سمجھنے کے لیے اسے مختلف سمتوں میں سادہ بنانا پڑتا ہے۔ ان سادگیوں میں سے ایک یہ فرض کرنا ہے کہ بوجھ بتدریج لگائے جاتے ہیں، جیسا کہ مثلاً کھینچاؤ اور دباؤ کے تجربات کے دوران نمونوں کے ساتھ کیا جاتا ہے۔

اگر تناؤ پر لوڈ کیے گئے فولادی راڈ پر آہستہ آہستہ بڑھنے والا بوجھ ڈالا جائے اور اس کی طوالت پذیری ε ناپی جائے، تو شکل 8 میں دکھایا گیا خاکہ حاصل ہوتا ہے۔ ابتدا میں طوالت پذیری بہت کم ہوتی ہے اور تناؤ کے متناسب ہوتی ہے، جیسا کہ ہُک کے قانون کا تقاضا ہے۔ ایک خاص تناؤ کے بعد یہ تناسب ختم ہو جاتا ہے اور طوالت پذیری تیزی سے بڑھنے لگتی ہے۔ اس تناسب کی حد کی درست جگہ متعین کرنا مشکل ہے۔ پیمائش جتنی زیادہ درست ہو، یہ حد اتنی ہی کم ملتی ہے۔ بیشتر مواد کے لیے یہ σ = 0 پر واقع ہوتی ہے، اور اس وقت ہُک کا قانون صرف لچکدار رویّے کی پہلی تقریب، یعنی Taylor-کی سیریز میں فنکشن ε = ε (σ) کے مبدا کے قریب پہلا جزو، رہ جاتا ہے۔

اگر سلاخ پر سے بوجھ ہٹا دیا جائے تو دیکھا جاتا ہے کہ، جب تناؤ بہت زیادہ نہیں تھا، تو ہُک کے قانون کے مطابق deformation بھی ختم ہو جاتی ہے۔ لیکن اگر ایک خاص تناؤ، جو تناسبی حد کے قریب ہوتا ہے، یعنی لچک کی حد، سے تجاوز کر لیا جائے تو یہ صورت بھی بدل جاتی ہے؛ اس وقت مجموعی deformation لچکدار (واپسی) اور غیر لچکدار (مستقل) حصے پر مشتمل ہوتی ہے۔ لچک کی حد بھی بالکل درست طور پر متعین نہیں کی جا سکتی، یہ اتنی ہی نیچے ہوتی جاتی ہے جتنی زیادہ پیمائش کی درستگی ہو۔ تاہم، چونکہ اس کی بڑی تکنیکی اہمیت ہے، کیونکہ یہ مٹیریلز کی مزاحمت کے تقریباً تمام حسابات میں اہمیت کی حد کی نمائندگی کرتی ہے، اور ساتھ ہی وہ حد بھی ہے جہاں پہلی مستقل خرابیاں پیدا ہوتی ہیں، اس لیے نمونوں کی جانچ کے لیے اسے کسی منظور شدہ روایت کے مطابق سختی سے متعین کیا جاتا ہے، چنانچہ مثلاً حد 0.2% کے طور پر وہ تناؤ ظاہر کیا جاتا ہے جس پر مستقل لمبائی میں اضافہ 0.2% تک پہنچتا ہے۔

لچک کی حد سے معمولی تجاوز کے فوراً بعد بگاڑ تیزی سے بڑھتا ہے اور ننگی آنکھ سے محسوس کیا جا سکتا ہے؛ تقریباً مستقل تناؤ پر راڈ مسلسل لمبی ہوتی جاتی ہے۔ اس تناؤ کو بہاؤ کی حد کہا جاتا ہے۔ ہائیڈرولک مادّہ آزمائشی مشینوں میں اس کے علاوہ بہاؤ شروع ہونے کے بعد تناؤ میں کم یا زیادہ نمایاں کمی بھی دیکھی جا سکتی ہے؛ جیسا کہ شکل 8 میں منقطع منحنی خط سے دکھایا گیا ہے؛ اس صورت میں زیادہ سے زیادہ قیمت کو بالائی بہاؤ حد اور اس کے بعد آنے والے مستقل بہاؤ تناؤ کو زیریں بہاؤ حد کہا جاتا ہے۔

جب ایک خاص دراز پذیری حاصل ہو جاتی ہے، جو تقریباً مکمل طور پر غیر لچکدار ہوتی ہے، تو تناؤ دوبارہ بڑھنا شروع ہو جاتا ہے اور مادہ سخت ہو جاتا ہے۔ اس لوڈنگ کے مرحلے میں سلاخ کے عرضی رقبے میں (غیر لچکدار) پہلوئی سکڑاؤ کے باعث نمایاں کمی آتی ہے، اور تناؤ-بگاڑ خاکے کی اگلی صورتِ حال بنیادی طور پر اس بات پر منحصر ہوتی ہے کہ تناؤ σ نکالتے وقت کھینچنے والی قوت P، جو سلاخ پر اثر انداز ہوتی ہے، ابتدائی رقبے F0 سے تقسیم کی جاتی ہے یا موجودہ رقبے F سے۔ فنی مقاصد کے لیے اہم تناؤ P|F0 ہے۔ یہ تناؤ ایک زیادہ سے گزرتا ہے جسے مادّے کی مضبوطی کہا جاتا ہے، اور جب یہ زیادہ عبور ہو جاتا ہے تو سلاخ ایک جگہ سے بہت زیادہ سکڑ کر ٹوٹ جاتی ہے۔ “حقیقی تناؤ” P|F شکست تک بڑھتا رہتا ہے۔

شکل 8.

دوسرے دھاتوں کا رویہ یہاں بیان کیے گئے رویے سے بہت حد تک مختلف ہوتا ہے۔ بہاؤ اکثر واضح نہیں ہوتا، اور سختی لچک کی حد سے آگے بڑھنے کے فوراً بعد شروع ہو جاتی ہے۔ نازک مواد (پتھر، شیشہ، کنکریٹ) میں غیر لچکدار بگاڑ عموماً بہت کم ہوتے ہیں اور معمولی سی کھنچاؤ ہی پر ٹوٹ پھوٹ واقع ہو جاتی ہے۔ ٹوٹنے تک مواد میں آنے والی مجموعی کھنچاؤ مقدار اس کی قابلِ درازگی (اس کے برعکس: نازکی) کی پیمائش ہے اور اسٹیل کے لیے اسے فنی شرائط میں باقاعدہ درج کیا جاتا ہے۔ تاہم، چونکہ ٹوٹنے سے ذرا پہلے مزید بگاڑ قریب کی تنگ مقطع والی جگہوں پر مرکوز ہو جاتا ہے، اس لیے ٹوٹنے پر کھنچاؤ کی مختلف قدر حاصل ہوتی ہے، اس بات پر منحصر کہ پیمائشی لمبائی کے لیے سلاخ کا بڑا یا چھوٹا حصہ لیا جائے، لہٰذا یکساں اور باہم قابلِ موازنہ نتائج حاصل کرنے کے لیے پہلے سے کوئی خاص قاعدہ اختیار کرنا ضروری ہے۔ ٹوٹنے پر کھنچاؤ عموماً یوں ناپا جاتا ہے کہ قطر d والی گول سلاخ پر تجربے سے پہلے پیمائشی لمبائی Ι \= 10 d نشان زد کی جاتی ہے اور اس کی طوالت ΔΙ سے ٹوٹنے پر کھنچاؤ εs_Ι = _ΔΙ|Ι معلوم کیا جاتا ہے۔ اگر مختلف مقطع والی سلاخوں کی جانچ ضروری ہو تو پیمائشی لمبائی اس گول سلنڈی سلاخ کے قطر کے مطابق متعین کی جاتی ہے جس کا عرضی مقطع اسی کے برابر ہو۔

طویل مدتی بوجھ

کھنچاؤ کے تجربے کے عمل کے لیے یہ خاص اہمیت نہیں رکھتا کہ ٹوٹنے تک بوجھ 10 m منٹ میں بڑھایا جائے یا چند گھنٹوں میں۔ تاہم، اگر بوجھ برسوں یا دہائیوں تک اثر انداز رہے تو بعض حالات میں یہ دیکھا جاتا ہے کہ بہاؤ حد سے نیچے بھی مستقل تناؤ کے تحت وقت کے ساتھ بگاڑ آہستہ آہستہ بڑھتا ہے۔ اس دوران لچکدار حصہ، یعنی وہ حصہ جو آخری بوجھ ہٹانے پر ختم ہو جاتا ہے، نمایاں طور پر نہیں بدلتا۔ غیر لچکدار بگاڑ میں یہ اضافہ جو طویل عرصے میں ہوتا ہے، کریپ کہلاتا ہے۔ دھاتوں میں، سیسے کے سوا، کریپ صرف بلند درجۂ حرارت پر اہم ہوتا ہے، تاہم تعمیراتی انجینئر کے لیے یہ کنکریٹ میں کردار ادا کرتا ہے جو دباؤ کے تحت آہستہ آہستہ بیٹھتا ہے، اس طرح دبا ہوا مسلح لوہا موجود ہو تو اس میں تناؤ بڑھ جاتا ہے۔

متغیر بوجھ

تاکہ کھینچاؤ کے تجربے میں حاصل ہونے والی مواد کی میکانی خصوصیات کو ڈھانچوں پر قابلِ اجازت بوجھ کے معیار کے طور پر استعمال کیا جا سکے، شرط یہ ہے کہ مواد ہر بار دوبارہ بوجھ پڑنے پر وہی تناؤ برداشت کرے جو وہ ایک بار بغیر نقصان کے برداشت کر چکا ہے۔ یہ شرط اس وقت پوری نہیں ہوتی جب مواد بار بار بوجھ اور بوجھ ہٹنے کے عمل سے گزرتا ہو، جیسا کہ مثلاً ان شہتیروں کے معاملے میں ہوتا ہے جو مکمل طور پر متوازن نہ ہونے والی مشینوں کی جمودی قوتوں سے بوجھ برداشت کرتے ہیں۔ بوجھ کی کافی بار تکرار سے ساختی حصہ اس حد تک ٹوٹ سکتا ہے کہ تناؤ مواد کی اُس مضبوطی سے کہیں کم ہو جو عام ساکن آزمائش سے متعین ہوتی ہے۔ اس قسم کے ٹوٹنے کے واقعے کو تھکن سے پیدا ہونے والا ٹوٹنا کہا جاتا ہے۔ بوجھ کے n چکروں کی تعداد جنہیں مواد برداشت کر سکتا ہے، تناؤ σ کی مقدار پر منحصر ہوتی ہے، اس لیے تناؤ جتنا کم ہو، تعداد اتنی ہی زیادہ ہوتی ہے۔ اس انحصار کی ایک عام مثال شکل 9 میں دکھائی گئی ہے، جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ مواد کی مضبوطی کی ایک نچلی حد موجود ہے، جسے وہ بوجھ کے چاہے جتنے بھی زیادہ چکروں میں برداشت کر سکتا ہے، اور اسے مواد کی حدِ دوام کہا جاتا ہے۔ اس قسم کے خاکے (شکل 9) وُہلر منحنیات کہلاتے ہیں۔

شکل 9.

تعمیرات کی حفاظت

دو حدی بوجھ تعمیرات کے لیے اہم ہیں: وہ بوجھ جن پر پہلی مستقل خرابی پیدا ہوتی ہے (حدِ روانی)، اور وہ بوجھ جن پر ساخت کی بوجھ برداشت کرنے کی صلاحیت ختم ہو جاتی ہے اور وہ ٹوٹ جاتی ہے (حدِ شکست)۔ چونکہ حدِ روانی سے پہلے کم از کم تقریباً مادی مزاحمت کے مفروضے (چھوٹی نقل و حرکتیں، ہُک کا قانون) درست رہتے ہیں، اس لیے مستقل بگاڑ کے مقابلے میں تحفظ کا اندازہ ان تمام صورتوں میں قابلِ اعتماد طور پر لگایا جا سکتا ہے جہاں ریاضیاتی دشواریوں پر قابو پا لیا جائے۔ اگر تناؤ بوجھ کے متناسب ہو تو حدِ روانی کے تناؤ اور ساخت میں ظاہر ہونے والے زیادہ سے زیادہ تناؤ کا تناسب اس بوجھ کے تناسب کے برابر ہوتا ہے جس پر روانی پیدا ہوتی ہے اور حقیقی بوجھ کے برابر، اور یہ روانی کے خلاف حفاظتی عامل کی نمائندگی کرتا ہے۔ تاہم بہت سی صورتوں میں یہ سادہ تعلق موجود نہیں ہوتا: خم جب کھنچاؤ کو خارج کر دے، ابھری ہوئی سطحوں کے درمیان دباؤ، ایسے نظام جن کی ساخت بدلتی رہتی ہے، اور خاص طور پر ناموزوں طور پر، محوری قوت کے ساتھ خم۔ ان تمام صورتوں میں بوجھ میں نسبتاً چھوٹا اضافہ تناؤ میں بڑی بڑھوتری پیدا کر سکتا ہے، اور تب عام حفاظتی عامل کو تناؤ پر لاگو کرنا کافی نہیں رہتا، بلکہ اسے بوجھ پر لاگو کرنا پڑتا ہے۔

بہاؤ کی حد سے گزرنے کے بعد ٹوٹنے تک پیش آنے والے مظاہر کو زیادہ تر صورتوں میں اب صرف معیاری طور پر ہی دیکھا جا سکتا ہے۔ اگر مادّہ لچکدار ہو، تو وہ حصے جن میں سب سے پہلے بہاؤ کی حد حاصل ہوتی ہے، اور جو آگے چل کر مستقل دباؤ یا تھوڑے سے بڑھتے ہوئے دباؤ پر بگڑتے رہتے ہیں، مزید بوجھ اٹھانے میں کم حصہ لیتے ہیں، اس طرح باقی، نسبتاً کم تناؤ والے حصے، اگر ان کی ساخت کے لحاظ سے ممکن ہو، زیادہ بوجھ برداشت کرنے میں حصہ لیتے ہیں۔ دباؤ کی چوٹیوں کو برابر کرنے کی اس کوشش میں تحفظ کا ایک خاص ذخیرہ موجود ہوتا ہے، جسے حسابی طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے اگر کسی ایک بڑی لوڈنگ سے بعض حصوں کی مستقل خرابی نقصان دہ نہ ہو (حدی بوجھ کا طریقہ)۔

اگر مواد بھربھرا ہو تو پہلی مستقل خرابی دراڑوں کی صورت میں ظاہر ہوتی ہے، جن کے باعث متاثرہ مقام پر تناؤ کا اور زیادہ ارتکاز ہو جاتا ہے، جو فوراً شکست پیدا کر دیتا ہے۔ تھکاوٹ کے باعث شکست، حتیٰ کہ کھنچنے والے مواد میں بھی، بھربھرے ٹوٹنے کی خصوصیات رکھتی ہے۔

 مختلف قطعِ سطحی طیاروں کے لیے تناؤ کے باہمی تعلقات

تبدیلی کی مساواتیں

شکل 1 میں نو اجزائی تناؤ تین توازن کی شرائط سے منسلک ہیں۔ باقی چھ مقداریں σx, σy, σz τxy, τyz, τzx  ایک دوسری سے آزاد طور پر من مانے اقدار حاصل کر سکتی ہیں، جیسا کہ لچک کے نظریے کی تفاضلی مساوات کے استخراج سے واضح ہے۔ تاہم، جب یہ اقدار معلوم ہوں تو کسی ٹھوس جسم کے کسی نقطے پر تناؤ کی حالت مکمل طور پر متعین ہو جاتی ہے، یعنی جب تین باہمی عمودی سطحوں کے تناؤ معلوم ہوں تو اسی نقطے سے گزرنے والی اور جس کی عمودی کسی بھی سمت رکھتی ہو، کسی چوتھی سطح کے لیے بھی تناؤ یک معنی طور پر معلوم کیا جا سکتا ہے۔

شکل 10 میں ٹیٹراہیڈرون OABC دکھایا گیا ہے جس کے تین رخ کوآرڈینیٹ نظام x, y, z کے مستویات کے متوازی ہیں اور چوتھا رخ سطح کے کسی بھی سمت دار عنصر ABC = dF. کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس کی سمت اور اس پر منتقل ہونے والے تناؤ کی سمت کو ظاہر کرنے کے لیے ایک دوسرا کوآرڈینیٹ نظام متعارف کرایا جاتا ہے، جس کی ξ محور dF. پر عمود ہوتی ہے

شکل 10

اس ٹیٹراہیڈرن پر ξ محور کی سمت میں حملہ کرنے والی قوتوں کی توازن کی شرط دیتی ہے

اگر اس بات کو مدنظر رکھا جائے کہ

حاصل ہوتا ہے

اور اسی طرح، محور η کی سمت توازن کی شرائط سے:

یہ وہ مساواتیں ہیں جو محددات کی تبدیلی کے وقت تناؤ کے حساب کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔ خاص اہمیت اس بات کی ہے کہ صرف سطح کے ایسے عناصر dF پر غور کیا جائے جن کے لیے ξ-محور z-محور کے ساتھ ہم‌راستہ ہو۔ اس حالت کے لیے شکلیں ہم پچھلی شکلوں کو سادہ بنا کر حاصل کر سکتے ہیں یا براہِ راست شکل 11 سے پڑھ سکتے ہیں:

شکل 11

نارمل تناؤ سمتوں α = α0 کے لیے انتہائی قدریں اختیار کرتا ہے، جن کے لیے dσξ/dα = 0۔ تفریق کرنے سے مساوات (16) سے

اس لیے، جب اس عبارت کو صفر کے برابر کیا جائے

تناؤ τξη اس صورت میں ان سطحوں پر کل قینچی تناؤ بھی ہوگا، اگر τyz = τzx = 0 ہو۔ تب مساوات (17) سے دو باہم عمودی سمتیں متعین ہوتی ہیں جن کے لیے: 1. کل قینچی تناؤ صفر ہوتا ہے اور، 2. عام تناؤ کی انتہائی قدریں (زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم) ہوتی ہیں۔ ان سمتوں کو بنیادی تناؤ کی سمتیں کہا جاتا ہے، اور متعلقہ تناؤ بنیادی تناؤ کہلاتے ہیں۔ انہیں σ1 اور σ2 سے ظاہر کیا جاتا ہے اور ان کا براہِ راست حساب فارمولے سے کیا جا سکتا ہے

 موہر کا دائرہ

مساوات (16) کو بصری طور پر واضح انداز میں دکھایا جا سکتا ہے۔ اس مقصد کے لیے انہیں اس شکل میں تبدیل کرنا چاہیے:

یہ مساواتیں محدد نظام σ، τ میں دائرے کی مساوات کی پیرامیٹرک شکل کو ظاہر کرتی ہیں، جو شکل 12 میں کھینچی گئی ہے، جس کے مرکز کے محدد σ = 1/2 (σx + σy)، τ = 0 ہیں اور جس کا نصف قطر

اس دائرے کو Mohr کا دائرہ کہا جاتا ہے۔ اگر نقطہ x سے اس کٹے ہوئے مقام x =const. کے متوازی ایک خط کھینچا جائے، جس کے ذریعے تناؤ σx, τxy منتقل ہوتے ہیں، تو یہ دائرے کو نقطہ p پر کاٹے گا، جسے Mohr کے دائرے کا قطب کہا جاتا ہے۔ اس قطب سے کھینچی گئی ہر خط pξ دائرے کو نقطہ ξ پر کاٹتی ہے، جو تناؤ σξ, τξη متعین کرتا ہے جو pξ کے متوازی کٹے ہوئے حصے کے ذریعے منتقل ہوتے ہیں۔

مائل ہوشیار کے دائرے کو کھینچتے وقت قینچی دباؤ کے نشان کے بارے میں یہ بات ملحوظ رکھنی چاہیے کہ اگر ان کی سمت شکل 12c میں دکھائی گئی سمت ہو تو انہیں اوپر کی طرف لگایا جاتا ہے۔ اس بنا پر دو مترافق دباؤوں τxy, τyx میں سے ایک ہمیشہ مثبت اور دوسرا منفی ہوتا ہے۔

حدی اقدار σ1, σ2 معمولی تناؤوں کے مطابق دائرے پر نقطے 1 اور 2 ہوتے ہیں، اور سیدھی خطوط _p_1 اور _p_2 بنیادی تناؤوں کی سمتیں دیتے ہیں۔

x-y طیارے میں واقع تناؤوں کی Mohr کے دائرے کے ذریعے نمائش کسی بھی طرح اس مفروضے سے وابستہ نہیں ہے کہ اس طیارے پر عمودی تناؤ σz, τxz, τyz موجود ہیں۔

شکل 12

یہی اصول سب سے عام تین بعدی تناؤ کی حالت پر بھی لاگو ہوتا ہے، اگر صرف وہی کراس سیکشن planes باہم موازنہ کیے جائیں جو سب ایک ہی سیدھی لکیر سے گزرتی ہیں، جسے یہاں z اور ξ محور کے طور پر منتخب کیا گیا ہے۔ چونکہ عمومی transformation equations (15) کے مطابق معمولی تناؤ σ کسی بھی cross-section plane کے لیے لامحدود نہیں ہو سکتا، اس لیے کسی ایک plane کے لیے اس کی ایک حتمی زیادہ سے زیادہ قدر σ1 اور دوسری کے لیے کم سے کم قدر σ3 ہونی چاہیے، جن میں سے دونوں، ظاہر ہے، منفی بھی ہو سکتی ہیں۔ اگر σ1 اور σ3 vectors کے ذریعے ایک plane کھینچی جائے اور Mohr-کا دائرہ (شکل 13) بنایا جائے

تصویر 13

ان تناؤ کے لیے جو اس سطح میں واقع ہوں (یعنی وہ تمام سمتیں جو اس سطح پر عمود ہوں)، تب σ1 اور σ3 سب سے بڑے اور سب سے چھوٹے معمولی تناؤ ہوتے ہیں جو پیدا ہو سکتے ہیں اور اس لیے باہمی طور پر عمود ہونے چاہییں۔ اگر سمتیں 1 اور 3 کو سمت 2 سے مکمل کیا جائے، تاکہ یہ تینوں سمتیں قائمہ مستطیل محددی نظام بنائیں، اور اگر سطحوں 1 ~2 اور 2 ~ 3 کے لیے Mahr کے دائرے کھینچے جائیں، تو σ2 ان دائرے میں سے ایک کے لیے سب سے بڑا اور دوسرے کے لیے سب سے چھوٹا معمولی تناؤ ہوتا ہے، اور اس لیے سمتیں 1, 2 اور 3 پر عمودی کٹاؤی تناؤ صفر کے برابر ہوتا ہے۔ تین باہمی عمود معمولی تناؤ σ1, σ2 اور σ3, جن کے ساتھ کٹاؤی تناؤ مطابقت نہیں رکھتے، بنیادی تناؤ کہلاتے ہیں۔

    فضائی تناؤ کی حالت میں حدِ تسلیم اور حدِ شکست

تناؤ کی حالت کو ایک، دو یا سہ بعدی کہا جاتا ہے، دوسرے لفظوں میں: خطی، مستوی یا مکانی، اس بات کے مطابق کہ آیا ایک، دو یا تینوں اصلی تناؤ صفر سے مختلف ہیں۔ زیادہ تر استعمال ہونے والے ساختی اجزا میں، یعنی کھنچے ہوئے، دبے ہوئے اور مڑے ہوئے سلاخ میں، تناؤ کی حالت، کم از کم سب سے زیادہ متاثرہ مقامات پر، ایک بعدی ہوتی ہے، اور یہی بات کھنچاؤ، دباؤ یا موڑ پر کیے گئے تجربات کے لیے بھی درست ہے، جو مادّوں کی جانچ میں تقریباً صرف قابلِ اجازت تناؤ معلوم کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ اس کے برعکس، اپنے ہی طیارے میں یا اس کے عموداً لوڈ کی گئی پلیٹوں میں، نیز خولوں میں، تناؤ کی حالت دو بعدی ہوتی ہے، اور بعض صورتوں میں سہ بعدی تناؤ کی حالتیں بھی ظاہر ہوتی ہیں، لہٰذا ایک بعدی تناؤ کی حالت میں طے شدہ تسلیم کی حد اور شکست کی حد کی بنیاد پر مکانی تناؤ کی حالت میں مادّے کے برتاؤ کے بارے میں نتائج اخذ کرنا ضروری ہوتا ہے۔