Асосҳо
Вазифаи муқовимати мавод муайян кардани он аст, ки ҷисми сахт кадом қувваҳои берунаро таҳаммул карда метавонад (масалан, сохтмон, қисми конструктивӣ ё хок). Барои посух додан ба ин савол аз ду меъёр баромад мекунанд: аз як тараф шиддатҳо набояд аз ҳадди муайян, ки аз навъи мавод вобаста аст, зиёд шаванд, ва аз ҷониби дигар тавозуни байни қувваҳои берунӣ ва дохилӣ бояд устувор бошад. Мувофиқи ин, ҳамаи масъалаҳои муқовимати маводро метавон ба «масъалаҳои шиддат» ва «масъалаҳои устуворӣ» тақсим кард.
Дар чӯбҳо ва тирҳороҳо ва ба онҳо монанд устухонҳо (фермаҳо, чаҳорчӯбаҳо) муайян кардани шиддатҳо дар ду қадам анҷом дода мешавад, яъне аввал дар асоси қувваҳои берунии додашуда натиҷаи қувваҳои дохилӣ, ки аз буриши қатор мегузаранд, ҳисоб карда мешавад, баъдан аз ҳамин «қувваҳои буришӣ» шиддатҳо муайян карда мешаванд. Қисми якуми ин раванд як соҳаи махсус ва васеъ — статикаи конструксияҳои сохтмонӣ мебошад, ки усулҳои коркарди худро дорад ва одатан аз муқовимати мавод ҷудо карда мешавад, ки вазифаи он ба муайян кардани шиддатҳо аз қувваҳои буришии додашуда маҳдуд мешавад.
Мафҳумҳои асосии устувории мавод
Ба таърифи напряжение тавассути мулоҳизаҳои асосии зерин мерасанд. Бигзор ба ҷисм системаи мувозини қувваҳои беруна таъсир расонад. Тасаввур мекунем, ки ҷисмро бо буриши ихтиёрӣ ба ду қисм ҷудо кардем, ва яке аз онҳоро ҳамроҳ бо қувваҳое, ки ба он таъсир мекунанд, хориҷ намудем; он гоҳ таъсири он ба қисми дигар, то мувозинати қувваҳо ва тақсимоти деформатсияҳо бетағйир боқӣ монанд, бояд бо қувваҳои иловагӣ, ки аз сатҳи буриш интиқол меёбанд, иваз карда шавад. Ин қувваҳои “дохилӣ” дар сатҳи буриш пайваста тақсим шудаанд, ба тавре ки ба ҳар элементи сатҳи dF қувваи dβ мувофиқ меояд. Агар нисбати dβ dF ташкил карда шавад ва гузариши ҳадии dF -> 0 анҷом дода шавад, он гоҳ ин нисбат ба арзиши ҳаддӣ, ки напряжение ном дорад, меҷӯяд. Напряжение дар элементи муайяни сатҳ, мисли dβ, аст ва метавонад ба ҷузъҳои нормалӣ ва тангенсиалӣ нисбат ба dF ҷудо карда шавад, напряженияи нормалӣ σ ва напряженияи буришӣ τ.
Агар аз як нуқта дар самтҳои гуногун буришҳо гузаронида шаванд, ба онҳо шиддатҳои гуногун низ мувофиқ хоҳанд буд. Хусусан агар аз ҷисм як кубчаи элементарӣ ҷудо карда шавад, ки дар расм. 1 нишон дода шудааст, дар ҳар яке аз шаш сатҳи он вектори шиддат амал мекунад, ки онро метавон ба се ҷузъ дар самти меҳварҳои координатии x, y, z ҷудо кард. Шиддатҳое, ки дар тарафҳои муқобили сатҳ амал мекунанд, табиист, танҳо ба андозаи дифференсиалӣ аз ҳам фарқ мекунанд, бинобар ин бояд 3 * 3 = 9 ҷузъҳои шиддатро фарқ кард, ки онҳо чунин ишора мешаванд:
Ба шиддатҳои нормалӣ σ индекси он меҳвар дода мешавад, ки дар самти он қарор доранд ва онҳо агар кашиш ба вуҷуд оранд, мусбат, агар фишор ба вуҷуд оранд, манфӣ ҳисобида мешаванд. Шиддатҳои буришӣ τ ду индекс мегиранд: аввалини онҳо бо индекси шиддати нормалии мувофиқ яксон аст, ва дуввум ба меҳваре дахл дорад, ки дар самти он шиддати буришӣ таъсир мекунад. Агар самти мусбати шиддати нормалии мувофиқ дар самти меҳвари координатии мусбат (манфӣ) бошад, шиддати буришӣ низ танҳо вақте мусбат ҳисобида мешавад, ки дар самти меҳвари координатии мусбат (манфӣ) таъсир кунад.
Расми 1.
Мувофиқати шиддатҳои буришӣ
Агар барои параллелепипеди элементарӣ, расм 1, шарт гузошта шавад, ки моменти ҳамаи қувваҳо нисбат ба меҳвари x сифр бошад, ҳосил мешавад τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Аз ин ҷо ва аз ду муодилаи мувофиқ барои меҳварҳои y ва z бармеояд, ки шиддатҳои буришӣ бо як индекс ба ҳам баробаранд τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Деформатсияҳои ҷузъӣ
Аз он ки танишҳои дар боло муайяншуда маънои физикӣ доранд, аз робитаи онҳо бо таърифи ба ҳар як ҷисм таҳти таъсири қувваҳои беруна хос бармеояд. Расм. 2 як параллелепипеди ибтидоиро нишон медиҳад, ки пеш аз деформатсия росткунҷа буд ва дарозии канорҳояш dx, dy, dz дошт. Дарозии канорҳоро пас аз деформатсия метавонем бо dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz ишора кунем; нисбатҳо εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz бо номи дилататсияҳо маълуманд. Инҳо бузургиҳои бебаҳо мебошанд ва барои ҳамаи маводҳое, ки дар сохтмон ба ҳисоб меоянд, нисбат ба 1 хурданд. Ғайр аз дароз шудани канорҳо, параллелепипеди ибтидоии dx * dy * dz метавонад инчунин тағйири кунҷҳои қаблан рост байни паҳлӯҳояшро аз сар гузаронад.
Расм 2. деформатсияи компонентӣ
Пас аз деформатсия кунҷи байни ҳамвориҳое, ки дар канори OC ба ҳам меоянд, ба 
баробар бошад ва ба ҳамин монанд камшавии кунҷи рост дар канори AO ба γyz, ва камшавӣ дар канори OB ба γzx баробар бошад. Ин се тағйири кунҷ γxy, γyz, γzx кӯчишҳо номида мешаванд ва инчунин ҳамеша нисбат ба 1 хурд мебошанд. Бо шаш ҷузъии ε ва γ деформатсияи унсури кувадри элементарии «деформатсияи хурд» пурра муайян мешавад. Тағйири унсури ҳаҷм d_V = dx * dy * dz_ чунин аст: ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, аз ин ҷо, вақте ки ҳосилаҳои дилататсия ҳамчун бузургиҳои хурди тартиби олӣ сарфи назар карда мешаванд, дилататсияи кубӣ ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) ба даст меояд.
Ҷойивазкуниҳо
Деформатсияи ҷисми сахтро инчунин метавон ба таври пурра чунин тавсиф кард, ки барои ҳар яке аз нуқтаҳои он ҷунбише дода шавад, ки он нуқта аз сар гузаронидааст. Агар аз мушоҳида ҷунбишҳои андозаи ниҳоӣ, ки ба ҷунбиши ҷисми сахт мувофиқанд, хориҷ карда шаванд, ба ин роҳ, ки дар ҳолати зарурӣ дар ҳисоб низоми координатаи ҳаракаткунанда қабул карда шавад, он гоҳ ҷунбишҳои ҷузъӣ μ, ν, ω ҳамеша хурд мебошанд ва ҳосилаҳои онҳо нисбат ба координатҳо нисбат ба 1 хурд мебошанд. Бо ин тахмин, мувофиқи расм 3 дарозии элементи хаттии OA = dx пас аз деформатсия
яъне 
(3)
Ба ҳамин монанд аз расм 3 дида мешавад, ки лағжиш γxy _γ1 + _γ2: ва инчунин
(4)
Тасвири 3 лағжиш
(5) 
(6)
Ин робитаҳо шартҳои мутобиқат номида мешаванд ва нишон медиҳанд, ки унсурҳои деформатсияшуда метавонанд мисли мозаика ҷойгир шаванд, ба тавре ки фазо пайваста пур бошад, ки ин дар ҳолате, ки деформатсияҳои унсурҳо ихтиёрӣ бошанд, ба даст оварда намешавад. Шартҳои мутобиқат муодилаҳои дифференсиалӣ мебошанд, бинобар ин, албатта, ҳамаи шаш ҷузъҳои деформатсионӣ барои ҳар як параллелепипеди алоҳида байни ҳам мустақиланд, аммо ҷойгиршавии онҳо дар ҳар як соҳаи ниҳоят паҳншуда бо шартҳои (5) ва (6) вобаста аст.
Азбаски ин шартҳо бо дифференсиятсия аз муодилаҳои (3) ва (4) ба даст омадаанд, ҳангоми баровардани онҳо қисми алоқаҳои дар муодилаҳои аслӣ мавҷудбуда гум мешавад. Аз ин рӯ, иҷро шудани танҳо яке аз ин ду системаи муодила кофӣ нест, балки ҳар ду системаи муодила бояд қонеъ гарданд, агар хоҳем, ки мувофиқати деформатсия таъмин бошад.
Муодилаҳои дифференсиалии системаи чандирӣ
Барои ҳисоб кардани шиддатҳо ва деформатсияҳо дар ҷисмҳои эластикӣ муодилаҳои зерин истифода мешаванд:
Шартҳои тавозуни элементи ҳаҷмӣ. Шартҳое, ки моменти гирди се меҳвар ба сифр баробаранд, аллакай ҳангоми баровардани муодилаи (1) истифода шуданд. Шартҳои тавозуни қувваҳо мувофиқи расм. 4 медиҳанд
Расми 4
(7a-c)
Агар бо X, Y, Z ҷузъҳои қувваҳои ҳаҷмӣ (масалан, вазн, қувваи марказгурез) ба воҳиди ҳаҷм нишон дода шаванд. Пайвандҳои байни шиддатҳо ва деформатсияҳо. Ин ҷо робитаи байни шиддатҳои ҷузъӣ ва деформатсияҳои ҷузъӣ дар назар дошта мешавад. Дар назарияи чандирӣ, одатан танҳо робитаи хаттӣ ба ҳисоб гирифта мешавад, ки бо қонуни Ҳук ифода меёбад:
(8a-c)
(8d-f)
Агар муодилаҳо (8a-c) аз рӯи шиддатҳо ҳал карда шаванд, ҳосил мешавад
(8 a)
инчунин ду муодилаи мувофиқ. Қонуни Ҳук, ки бо муодилаи (8) ифода шудааст, ягон қонуни табиии қатъӣ иҷрошаванда нест, балки идеализатсияи рафтори воқеӣ мебошад, ки аз он бештар ё камтар, вобаста ба мавод ва андозаи зӯршавӣ, фарқ мекунад. Бо дарназардошти он ки коркарди математикии масъалаи муқовимати мавод бо робитаҳои мураккаби ғайрихаттӣ байни шиддатҳо ва деформатсияҳо душвориҳои беандоза бештар ба миён меорад ва дар асл танҳо дар ҳолатҳои содатарин иҷро мешавад, ҳатто барои он маводҳо (бетон!), ки рафторашон аз қонуни Ҳук ба таври назаррас фарқ мекунад, ҳисобҳои бар пояи он бояд пеш аз ҳама ва асосан ҳамчун ягона ҳалли тахминии имконпазир истифода шаванд, ки ба ҳар ҳол одатан хеле қобили истифода аст ва аз ин рӯ дарки бештар аз танҳо сифатиро медиҳад. G = E|2 (1+μ).
Он ҳатман аз робитаи байни шиддат ва деформатсия (8), аз муодилаҳои табдил (16) барои шиддатҳо ва аз системаи мувофиқи муодилаҳо барои деформатсияҳои ҷузъӣ бармеояд. E ва G андозаи шиддат доранд ва дар ҳамаи масолеҳи сохтмонӣ нисбат ба шиддатҳои σ ва τ, ки метавонанд пайдо шаванд, калонанд. Аммо ба ҳамин воқеият фарзияе такя мекунад, ки дар тамоми назарияи эластикӣ қабул шудааст, яъне деформатсияҳо хурданд. Коэффисиенти деформатсияи паҳлӯӣ (рақами Пуассон) μ беандоза аст ва ҳамеша байни 0 ва 1/2 мебошад.
Пайвандҳои байни деформатсияҳои ҷузъӣ ва ҷобаҷошавиҳо. Ин пайвандҳо бо муодилаҳои (3), (4) дода шудаанд. Онҳо сирф табиати геометрӣ доранд. Ин се система 3+6+6=15 муодиларо барои 15 номаълум медиҳанд, яъне барои 6 шиддатҳои ҷузъӣ, 6 деформатсияҳои ҷузъӣ ва 3 ҷобаҷошавиҳои ҷузъӣ. Аз ин рӯ, онҳо барои муайян кардани ин номаълумҳо кофӣ мебошанд. Ғолиб омадан ба чунин системаи бузурги муодилаҳои дифференсиалӣ, албатта, танҳо дар ҳолатҳои махсус мумкин аст. Агар дар муодилаи (8) деформатсияҳои ҷузъӣ мувофиқи муодилаҳои (3) ва (4) бо ҷобаҷошавиҳои ҷузъӣ иваз карда шаванд ва сипас шиддатҳои нормалӣ σ ва шиддатҳои буришӣ τ, мувофиқи муодилаҳои (8 d - f), ба шартҳои мувозинат, яъне муодилаи (7), ворид карда шаванд, муодилаҳои дифференсиалӣ ба даст меоянд, ки онҳо муодилаҳои асосии назарияи эластикӣ номида мешаванд.
(9)
ки дар он 
оператори Лаплас нишон дода шудааст. Бо назардошти (2) ин се муодилаи дифференсиалӣ бо се кӯчиши компонентӣ μ, ν, ω мебошанд; аз инҳо бошад бо дифференсиятсия дар асоси (3), (4) ва (8) ҳамаи шиддатҳо ва деформатсияҳои компонентӣ ба даст оварда мешаванд. Муодилаҳои (9) аксаран нуқтаи ибтидоии мувофиқ барои омӯзиши ҳолатҳои махсусро ташкил медиҳанд.
Кори деформатсионӣ
Таъриф
Ҳангоми борбардор шудани такягоҳ, нуқтаҳои таъсири қувваҳои беруна ба ҷобаҷошавиҳои эластикӣ дучор мешаванд ва қувваҳо дар ин ҳолат кори муайян анҷом медиҳанд. Бо ин роҳ энергияи овардашуда метавонад ба шаклҳои гуногун гузарад. Агар боркунӣ ба якборагӣ ворид карда шавад, ба тавре ки раванди деформатсия суръати назаррас дошта бошад, қисми ин энергия ба энергияи кинетикӣ табдил меёбад, ки дар тӯли вақт пароканда мешавад, ё ба он тарз, ки ба замин ҳамчун мавҷи эластикӣ интиқол ёфта, дар беинтиҳо гум мешавад, ё ин ки бо соиши дохилӣ ба гармӣ табдил меёбад. Агар борҳо ба он қадар нарм гузошта шаванд, ки афзоиши назарраси энергияи кинетикӣ ба вуҷуд наояд, яъне борҳое, ки тадриҷан аз сифр меафзоянд, дар тавозуни доимӣ бо қувваҳои дохилӣ бошанд, энергия аён аст, ки танҳо барои деформатсияи ҷисм сарф мешавад ва он гоҳ кори деформатсионӣ номида мешавад.
Ҳисобкунии кори деформатсиониро аввал дар як порчае нишон медиҳем, ки ба кашиш дар як самт борбардор аст (расми 5).
Бигзор шиддати мавҷуда σ ва деформатсияи мувофиқи ε афзоишҳои dσ ва dε-ро таҷриба кунанд. Он гоҳ қувваи σdF дар роҳи dε * dl кори σdF * dεdl = σdεdV-ро иҷро мекунад, агар барои dV ҳаҷми қисми хурд ишора шуда бошад. Агар шиддат аз сифр то қимати ниҳоии худ афзояд ва деформатсия мувофиқан аз 0 то ε бошад, кори умумии иҷрошуда ба як воҳиди ҳаҷм чунин хоҳад буд:
Ҳамин тавр, барои унсуре, ки зери шиддати буришии τ қарор дорад (расм. 6), кори деформатсионӣ ба як воҳиди ҳаҷм (кори махсуси деформатсионӣ, потенсиали эластикӣ):
ҳангоми он танҳо яке аз чор қувваи τ * dF кор анҷом медиҳад.
Дар ҳолати умумӣ, вақте ки ба як қисми элементарӣ ҳамаи шаш ҷузъи шиддат таъсир мекунанд, кори хоси деформатсионӣ бо ҷамъ кардани корҳои ҷузъии ҳар як шиддати компонентӣ ба даст меояд:
(10)
Бо дифференсиатсия нисбат ба ҳадди болоии ҳар кадоме аз ин интегралҳо робитаҳое ҳосил мешаванд, ки дар ҳолати умумитарин амал мекунанд:
(11)
ва ҳамин гуна барои дигар деформатсияҳои ҷузъӣ. Агар ҷисм эластикӣ бошад, ба ҳар як ҳолати муайяни шиддат ҳамеша як ҳолати ягонаи деформатсия мувофиқ меояд, новобаста аз он ки ҳолат ҳангоми боркунӣ ё ҳангоми сабуккунӣ ба даст омадааст. Он гоҳ дар зери интегралҳо функсияҳои якмаъно ҷой доранд ва энергияи умумии сарфшуда ҳангоми боркунӣ ва сипас пурра сабуккунӣ a = 0, бо дарназардошти он ки дар ин ҳолат ҳудудҳои болоии интегралҳо ба сифр табдил меёбанд. Пас энергияи умумие, ки ҳангоми боркунӣ ба ҷисм дода мешавад, ҳангоми сабуккунӣ барқарор мегардад.
Расм 6
Расм 7
Барои ҷисми пурра эластикӣ робитаи байни шиддатҳо ва деформатсияҳо барои тамоми даври боргузорӣ ва борфарорӣ шакле дорад, ки тақрибан дар расм 7 бо хатҳои O A B нишон дода шудааст. Энергияи 
воридшуда ҳангоми боргузорӣ ба майдони OAA, баробар аст, ва энергияи баргардонидашуда ҳангоми борфарорӣ ба майдони ABA, бинобар ин коре, ки ба майдони хаткашидашуда мувофиқ аст, талаф меёбад (ба гармӣ табдил меёбад). Агар дар раванди осилятсионӣ шиддат давра ба давра байни арзиши ҳаддии мусбати 
ва арзиши ҳаддии манфии 
тағйир ёбад, деформатсияи ғайриеластикӣ ба тавре монанд ҷараён мегирад, ки дар хатҳои рахкашидаи расм 7 нишон дода шудааст ва ҳангоми ҳар як давраи осилятсия ба ҳар як воҳиди ҳаҷм ба гармӣ энергияи DABCD табдил меёбад. Чунин рафтор ҳангоми деформатсия, ки дар он деформатсия аз шиддат ақиб мемонад, гистерезиси эластикӣ номида мешавад, ва каҷи DABCD ҳалқаи гистерезис аст.
Кори деформатсионӣ ва қонуни Ҳук
Агар ба интегралҳо дар муодилаи (10) қонуни Ҳук ворид карда шавад, интегратсия кардан мумкин мешавад ва барои кори махсуси деформатсионӣ ифодаҳои зерин ҳосил мешаванд:
(12a)
(12b)
(12c)
Агар шакли дуюми инҳо ба муодила (11) ворид карда шавад, боз ҳам қонуни Ҳукк, муодилаҳои (8), дар шакли ҳалшуда аз рӯи шиддатҳо ҳосил мешавад. Изҳор, ки кори деформатсионӣ аз деформатсияҳои ҷузъӣ вобаста аст, тавре ки бо муодилаи (12b) нишон дода шудааст, аз ин рӯ ба қонуни Ҳукк баробар аст. Вақте ки муодилаи (12c) аз рӯи шиддатҳо дифференсиалӣ карда мешавад, ҳосил мешавад
(13)
Ин формулаҳо, бар хилофи формулаҳои (11), танҳо барои ҷисмҳое амал мекунанд, ки мувофиқи қонуни Ҳук рафтор мекунанд ва ҳангоми он ки робитаи байни шиддат ва деформатсия дигар аст, татбиқ карда намешаванд. Фаҳмост, ки дар тарафи рости муодилаҳои (13) танҳо деформатсияҳои компонентие ҷой доранд, ки аз шиддатҳо ба вуҷуд омадаанд, ва ҳамаи дигар деформатсияҳое, ки эҳтимол аз сабаби тағйири ҳарорат, хазиш, варамкунӣ, рекристаллизатсия ва ғайра ба вуҷуд омадаанд, истисно карда мешаванд.
НАЗАРИЯҲОИ ИНТЕГРАЛӢ ДАР НАЗАРИЯИ ЭЛАСТИСИЯТ
Ҷойивазкуниҳои виртуалӣ. Принсипи ҳадди ақали энергияи потенсиалӣ
Чунон ки қонуни Ҳук, муодилаҳои (8)-ро метавон бо як муодилаи (12b) иваз кард, ҳамин тавр ба ҷои шартҳои мувозинат метавон принсипи ҷойивазкуниҳои виртуалиро ҳамчун қонуни асосии умумии механика ворид намуд. Ин қонун изҳор мекунад, ки ҳолатҳои мувозинат бо он фарқ мекунанд, ки дар онҳо кори умумии ҳамаи қувваҳо ҳангоми тағйири хурди ҳолати деформатсия ба сифр баробар аст. Агар тағйироти хурди ҷойивазкуниҳои чандириро δμ δν, δω ишора кунем, он гоҳ қувваҳои ҳаҷмӣ, ки бо муодилаи (7) муайян шудаанд, кори виртуалӣ анҷом медиҳанд
ва қувваҳои рӯизамини px, py, pz, ки ба элементи dF-и сатҳи берунии ҷисм таъсир мекунанд, кори виртуалӣ 
дар ин ҷо интеграли сегона ба тамоми ҳаҷм, ва интеграли дугона ба тамоми сатҳи берунии ҷисм дахл дорад. Барои ҳисоб кардани кори қувваҳои дохилӣ муодилаи (12b) истифода мешавад, ва барои кор ба воҳиди ҳаҷм ҳосил мешавад
Принсипи ҷунбишҳои виртуалӣ бар ин асос медиҳад
(14)
Агар борбардориҳои X, Y, Z px, py., pz ҳамчун ҷузъҳои қувваи вазнинӣ (вазни худӣ ва борбардории беруна) фаҳмида шаванд, интегралҳо дар тарафи рост энергияи потенсиалиро ифода мекунанд, ки ин борҳо аз даст додаанд, дар ҳоле ки тарафи чап афзоиши энергияи потенсиалии (эластикии) ҷисмро ифода мекунад, аз ин рӯ ин принсип нишон медиҳад, ки энергияи умумии потенсиалии носиача ва борҳое, ки бар он қарор доранд, дар ҳолати мувозинат арзиши экстремалӣ дорад. Агар ин арзиши экстремалӣ минимум бошад, мувозинат устувор аст.
Принсипи камтарин энергияи потенсиалӣ, ки бо муодилаи (14) ифода шудааст, ифодаи (12b) барои кори деформатсионӣ, шартҳои мутобиқати деформатсияҳо (5), (6) маҷмӯи муодилаҳоро ташкил медиҳанд, ки барои бунёди назарияи эластикӣ кофист ва дар асоси худ ба системаи муодилаҳо баробар аст. Ин система махсусан дар ҳолатҳое муфид буда метавонад, ки қонеъ гардондани муодилаҳои дифференсиалӣ (9) душвориҳои ҳисоббарорӣ ба миён меорад ва аз ин рӯ бояд ҳалли тахминӣ ҷустуҷӯ шавад, масалан, барои кӯчишҳо пешакӣ шакли мувофиқе фарз карда мешавад, ки чанд константаи озодро дар бар мегирад ва инҳо аз талабе муайян карда мешаванд, ки муодилаи (14) қонеъ гардад. Ҳамин тавр, албатта, ҳалли қатъии масъала ба даст намеояд, балки танҳо беҳтарин тахминест, ки бо шакли интихобшудаи ҳалли масъала метавон ба он расид. Оё ин тахмин кофист ё не, пеш аз ҳама аз шакли қабулшудаи ҳалли масъала вобаста аст ва татбиқи бомуваффақияти ин усул аз ин рӯ маҳорат ва таҷрибаро талаб мекунад.
Принсипи Кастилиано
Ҳангоме ки дар принсипи ҳадди ақали энергияи потенсиалӣ ҳамаи ҳолатҳои деформатсия, ки шартҳои мувофиқати деформатсияро қонеъ мекунанд, муқоиса шуда, аз байни онҳо он ҳолатҳое ҷудо карда мешаванд, ки барои онҳо шиддатҳои мувофиқ шароити мувозинатро қонеъ мекунанд, дар принсипи Кастилиано ҳамаи ҳолатҳои шиддат, ки шароити мувозинатро қонеъ мекунанд, муқоиса шуда, аз байни онҳо он ҳолатҳое ҷудо карда мешаванд, ки барои онҳо деформатсияҳои мувофиқ шартҳои мувофиқати деформатсияро қонеъ мекунанд. Ин принсип чунин аст: аз ҳамаи ҳолатҳои имконпазири мувозинат, воқеан ҳамон ҳолат ба амал меояд, ки ба он кори ҳадди ақали деформатсионӣ рост меояд. Принсипи Кастилиано ҳамроҳ бо муодилаи (12c) барои кори деформатсионӣ ва шартҳои мувозинат системаи муодилаҳоро ташкил медиҳад, ки барои сохтани муқовимати мавод кофист. Бо дарназардошти он ки ин принсип қонуни Ҳукро дар бар мегирад, имконияти татбиқи он ба фарзияе вобаста аст, ки деформатсияҳоро метавон пурра бо ин қонун тавсиф кард. Ин на танҳо рафтори хаттӣ-эластикии маводро талаб мекунад, балки тағйирёбии ҳароратро низ истисно мекунад.
Рафтори мавод болотар аз ҳадди эластикӣ
Ҳодисаҳо ҳангоми боркунии статикӣ
Деформатсияи мавод зери таъсири шиддатҳо як падидаи бисёр мураккаб аст, бинобар ин барои фаҳмидани он бояд онро аз ҷиҳатҳои гуногун сода кард. Яке аз чунин содасозиҳо ин тахмин аст, ки борҳо тадриҷан гузошта мешаванд, чунон ки, масалан, бо намунаҳо ҳангоми озмоиши кашиш ва фишор анҷом дода мешавад.
Агар ба штапели пӯлодине, ки ба кашиш бор шудааст, сарборие гузошта шавад, ки тадриҷан меафзояд ва дарозшавии он ε чен карда шавад, диаграммаи дар рас. 8 нишон додашуда ба даст меояд. Дар оғоз дарозшавӣ хеле хурд буда, бо шиддат мутаносиб аст, чунон ки қонуни Ҳук талаб мекунад. Аз як шиддати муайян сар карда, мутаносибӣ қатъ мешавад ва дарозшавӣ тезтар меафзояд. Ҷойгиршавии дақиқи сарҳади ин мутаносибиро душвор метавон муайян кард. Ҳар қадар ченкунӣ дақиқтар бошад, ҳамон қадар он пасттар ба даст меояд. Барои аксари маводҳо он дар σ = 0 ҷойгир аст, ва қонуни Ҳук дар ин сурат танҳо наздикшавии аввал ба рафтори эластикӣ мебошад, яъне узви аввали рушди силсилаи Тейлории функсияи ε = ε (σ) дар атрофи оғози координатҳо.
Агар чӯб озод карда шавад, мушоҳида мешавад, ки вақте шиддат аз ҳад зиёд набудааст, деформатсия низ нопадид мегардад, мувофиқи қонуни Ҳук. Аммо ин ҳам тағйир меёбад, агар як шиддати муайян, ки дар наздикии ҳадди мутаносибӣ, яъне ҳадди чандирӣ қарор дорад, гузаронида шавад; дар он сурат деформатсияи умумӣ аз қисми чандирӣ (бозгашткунанда) ва ғайри чандирӣ (доимӣ) иборат мешавад. Ҳатто ҳадди чандириро дақиқ муайян кардан мумкин нест, он ҳар қадар поёнтар меёбад, ки дақиқии ченкунӣ баландтар бошад. Бо вуҷуди ин, чун он аҳамияти бузурги техникӣ дорад, зеро ҳадди муҳимиятро дар қариб ҳамаи ҳисобҳо дар муқовимати мавод ифода мекунад ва ҳамзамон ҳадде аст, ки дар он аввалин осебҳои доимӣ ба вуҷуд меоянд, барои санҷиши намунаҳо он бо як конвенсияи қабулшуда ба таври қатъӣ муайян карда мешавад, ва масалан, ҳамчун ҳадди 0.2% он шиддат нишон дода мешавад, ки дар он дарозшавии доимӣ ба 0.2% мерасад.
Пас аз гузаштани ҳадди чандирӣ деформатсия ногаҳон меафзояд ва онро бо чашми одӣ дидан мумкин аст; дар зери шиддати қариб доимӣ чӯб пайваста дароз мешавад. Ин шиддат ҳадди ҷараён номида мешавад. Дар мошинҳои гидравликии озмоиши мавод пас аз оғози ҷараён низ пастшавии каму беш равшани шиддат мушоҳида шуданаш мумкин аст; чунон ки дар рас. 8 бо хатти нуқта нишон дода шудааст; дар ин ҳол максимум ҳадди болоии ҷараён номида мешавад ва шиддати доимии ҷараёне, ки баъдтар ба амал меояд, ҳадди поёнии ҷараён аст.
Пас аз он ки дарозшавии муайян, ки қариб пурра ғайриэластикӣ аст, ба даст меояд, шиддат боз ба афзоиш оғоз мекунад, материал мустаҳкам мешавад. Дар ин минтақаи борбардорӣ камшавии назарраси буриши миёнаи чӯб аз сабаби кашиши паҳлӯии (ғайриэластикӣ) ба вуҷуд меояд ва идомаи ҷараёни диаграммаи шиддату деформатсия пеш аз ҳама аз он вобаста аст, ки ҳангоми ҳисоб кардани шиддати σ қувваи кашиши P, ки ба чӯб таъсир мекунад, бо буриши ибтидоӣ F0 ё бо буриши ҷорӣ F тақсим карда мешавад. Барои мақсадҳои техникӣ шиддати P|F0 ҷолиб аст. Ин шиддат ба ҳадди аксар мерасад, ки онро устувории материал меноманд ва ҳангоми гузаштани ин ҳадди аксар, чӯб дар як ҷой сахт борик шуда, мешиканад. «Шиддати воқеӣ» P|F то шикаст афзоиш меёбад.
Расм 8.
Рафтори дигар металҳо аз он чи дар ин ҷо тавсиф шудааст, ба таври назаррас фарқ мекунад. Ҷараён аксар вақт равшан ба назар намерасад, ва сахтшавӣ бевосита пас аз гузаштани ҳади чандирӣ оғоз меёбад. Дар маводҳои шикананда (санг, шиша, бетон) деформатсияҳои ғайриқандилӣ умуман хурданд ва ҳатто ҳангоми дилататсияи хурд шикаст ба амал меояд. Дилататсияи умумие, ки мавод то шикаст таҳаммул мекунад, ченаки кашишпазирӣ (баръакс: шикандагӣ)-и мавод мебошад ва он барои пӯлод ба таври дақиқ дар шартҳои техникӣ муқаррар карда мешавад. Аммо, чунки бевосита пеш аз шикаст деформатсияи минбаъда дар ҷойҳои атрофи буриши тангшуда мутамарказ мешавад, арзиши гуногуни дилататсия ҳангоми шикаст ба даст меояд, вобаста ба он ки барои дарозии ченак қисми калонтар ё хурдтари чӯб қабул карда мешавад, бинобар ин барои ба даст овардани натиҷаҳои якмаъно ва қобили муқоиса бояд пешакӣ як конвенсияи муайян қабул карда шавад. Дилататсия ҳангоми шикаст одатан чунин чен карда мешавад: дар чӯби даврашакл бо диаметри d пеш аз озмоиш дарозии ченак Ι = 10 d қайд карда мешавад ва аз дарозшавии он ΔΙ дилататсияи ҳангоми шикаст εs_Ι = _ΔΙ|Ι ҳисоб карда мешавад. __ Агар лозим бошад, ки чӯбҳои буриши дигар санҷида шаванд, дарозии ченак мувофиқи диаметри чӯби силиндрии даврашакл, ки ҳамон масоҳати буриши кундалангро дорад, муайян карда мешавад.
Борбардории дарозмуддат
Барои рафти озмоиши кашиш қариб фарқе надорад, ки оё бор то шикаст дар давоми 10 mқиқа ё чанд соат зиёд мешавад. Аммо, агар бор солҳо ё даҳсолаҳо амал кунад, дар шароити муайян мушоҳида мешавад, ки ҳатто поёнтар аз ҳади ҷараёнбандӣ деформатсия дар зери шиддати доимӣ бо гузашти вақт оҳиста меафзояд. Ҳамин тавр, қисми эластикӣ, яъне он қисмате, ки ҳангоми холӣ кардани пурра аз байн меравад, ба таври назаррас тағйир намеёбад. Ин афзоиши деформатсияи ғайриеластикӣ, ки дар тӯли вақти дароз ба вуҷуд меояд, хазандагӣ номида мешавад. Дар металлҳо, ба ҷуз сурб, хазандагӣ танҳо дар ҳароратҳои баланд аҳамият дорад, аммо барои муҳандиси сохтмон он дар бетон нақш мебозад, ки зери фишор каме суст мешавад, ба тавре ки шиддат дар арматураи фишурда меафзояд, агар чунин арматура вуҷуд дошта бошад.
Борбардории тағйирёбанда
Барои он ки хусусиятҳои механикии мавод, ки ҳангоми озмоиши кашиш ба даст оварда шудаанд, ҳамчун меъёр барои борбардории иҷозатдоди конструксияҳо истифода шаванд, шарт ин аст, ки мавод дар ҳар як боркунии такрорӣ шиддатеро таҳаммул кунад, ки онро як бор бе осеб таҳаммул кардааст. Ин шарт иҷро намешавад, агар мавод ба такрори зуд-зуди борбардорӣ ва борфарорӣ дучор шавад, чунон ки, масалан, дар ҳолати такягоҳҳое, ки бо қувваҳои инерсионӣ аз мошинҳои номувозуни нопурра борбардор шудаанд, рӯй медиҳад. Бо такрори кофии борбардорӣ қисми конструктивӣ метавонад ҳатто дар шиддате, ки хеле поёнтар аз устувории мавод, ки бо санҷиши оддии статикӣ муайян шудааст, ба шикаст расад. Падидаи шикаст аз ин навъ шикаст аз хастагӣ номида мешавад. Шумораи n давраҳои борбардорие, ки мавод метавонад таҳаммул кунад, аз бузургии шиддати σ вобаста аст, ба тавре ки ҳар қадар шиддат хурдтар бошад, ҳамон қадар он зиёдтар аст. Намунаи хоси ин вобастагӣ дар расми 9 нишон дода шудааст, ки аз он дида мешавад, ки барои устувории мавод як ҳадди поёнӣ вуҷуд дорад, ки онро ҳатто ҳангоми ҳар гуна шумораи зиёди давраҳои борбардорӣ таҳаммул мекунад ва он устувории динамикии мавод номида мешавад. Диаграммаҳои ин навъ (расми9) каҷҳои Вёлер номида мешаванд.
Расм 9.
Бехатарии конструксияҳо
Ду бори ҳаддӣ барои конструксияҳо муҳиманд: бори он ҳолат, ки дар он аввалин осебҳои доимӣ ба вуҷуд меоянд (ҳадди ҷараён), ва бори он ҳолат, ки қобилияти борбардории конструксия ба охир мерасад ва он мешиканад (ҳадди шикастан). Азбаски то ҳадди ҷараён ҳадди ақал ба таври тахминӣ фарзияҳои муқовимати мавод дурустанд (ҷойивазкуниҳои хурд, қонуни Ҳук), бехатарӣ нисбат ба деформатсияҳои доимӣ дар ҳамаи он ҳолатҳое боэътимод арзёбӣ шуданаш мумкин аст, ки дар онҳо бартараф кардани душвориҳои математикӣ муяссар гардад. Агар шиддат ба бор мутаносиб бошад, муносибати шиддати ҷараён ба бузургтарин шиддате, ки дар конструксия пайдо мешавад, ба муносибати байни бори ба вуҷудовардаи ҷараён ва бори воқеӣ баробар аст ва коэффисиенти бехатарӣ нисбат ба ҷараёнро ифода мекунад. Аммо, дар як қатор ҳолатҳо ин муносибати оддӣ вуҷуд надорад: хамшавӣ ҳангоми хориҷ кардани кашиш, фишор байни сатҳҳои барҷаста, системаҳое, ки сохторашон тағйирёбанда аст ва, ки махсусан номусоид мебошад, хамшавӣ бо қувваи меҳварӣ. Дар ҳамаи ин ҳолатҳо афзоиши нисбатан ками бор метавонад ба афзоиши калони шиддат оварда расонад ва дар ин сурат кофӣ нест, ки коэффисиенти маъмулии бехатарӣ ба шиддатҳо татбиқ карда шавад, балки онро бояд ба бор татбиқ намуд.
Ҳодисаҳое, ки баъд аз гузаштани ҳадди ҷорӣшавӣ то шикаст ба вуҷуд меоянд, дар аксари ҳолатҳо дигар танҳо ба таври сифатӣ пайгирӣ карда мешаванд. Агар мавод кашишпазир бошад, қисмҳое, ки дар онҳо аввал ҳадди ҷорӣшавӣ мерасад ва ки минбаъд дар зери шиддати доимӣ ё шиддате, ки андаке меафзояд, деформатсия мешаванд, дар қабули бори минбаъда кам иштирок мекунанд, ба тавре ки қисмҳои дигари камтар шиддатёфтаи конструксия, агар ин аз рӯйи сохтораш имконпазир бошад, бештар дар борбардорӣ иштирок мекунанд. Дар ин майл ба баробар кардани қуллаҳои шиддат як захираи муайяни бехатарӣ нуҳуфтааст, ки онро аз рӯи ҳисоб метавон истифода бурд, агар деформатсияи доимии қисмҳои алоҳида, ки ҳангоми танҳо як борбардории назаррас ба вуҷуд омадааст, зараровар набошад (усули бори ҳаддӣ).
Агар мавод шикананда бошад, аввалин осеби доимӣ дар шикофҳо зоҳир мешавад, ки дар натиҷаи онҳо дар ҷойи хатарнок тамаркузи боз ҳам зиёди шиддатҳо ба вуҷуд меояд ва ҳамин ҳол фавран шикастро ба вуҷуд меорад. Шикаст аз хастагӣ ҳатто дар маводҳои кашишпазир ҳам хусусиятҳои шикасти шиканандаро дорад.
Пайвандҳо байни шиддатҳо барои ҳамвории гуногуни буриш
Муодилаҳои табдил
Нӯҳ шиддати компонентии дар расм 1 бо се шарти мувозинат алоқаманданд. Шаш бузургии боқимонда σx, σy, σz τxy, τyz, τzx метавонанд, мустақилона аз якдигар, арзишҳои ихтиёрӣ гиранд, чунон ки аз баровардани муодилаҳои дифференсиалии назарияи чандирӣ дида мешавад. Аммо, вақте ки ин арзишҳо дода шудаанд, ҳолати шиддат дар ягон нуқтаи ҷисми сахт пурра муайян мешавад, яъне вақте ки шиддатҳо барои се ҳамвории ба ҳам амудӣ маълум бошанд, шиддат барои ягон ҳамвории чаҳорум низ, ки аз нуқтаи додашуда мегузарад ва нормали он самти ихтиёрӣ дорад, якмаъно муайян карда мешавад.
Дар рас. 10 тетраэдри OABC нишон дода шудааст, ки се тарафи он ба ҳамвории системаи координатҳои x, y, z параллеланд ва тарафи чорум унсури сатҳи ба дилхоҳ самт нигаронидашудаи ABC = dF.-ро намояндагӣ мекунад. Барои нишон додани самти он ва самти шиддате, ки тавассути он интиқол меёбад, системаи дуюми координатҳо ҷорӣ карда мешавад, ки меҳвари ξ-и он ба dF перпендикуляр аст.
Расми 10
Шарти мувозинати қувваҳое, ки ба ин тетрадр дар самти меҳвари ξ таъсир мекунанд, медиҳад
Агар ба назар гирифта шавад, ки
ҳосил мешавад
ва ба ҳамин монанд аз шароити мувозинат дар самти меҳвари η:
Инҳо муодилаҳое мебошанд, ки барои ҳисоб кардани шиддат ҳангоми табдили координатҳо хизмат мекунанд. Аз аҳамияти махсус он аст, ки танҳо чунин унсурҳои сатҳи dF баррасӣ шаванд, ки дар онҳо меҳвари ξ бо меҳвари z мувофиқат мекунад. Нақшаҳои ин ҳолатро метавон бо содда кардани нақшаҳои пешина ба даст овард ё мустақиман аз расми 11 хонд:
Расми 11
Шиддати нормалӣ барои самтҳои α = α0 экстремум мегирад, ки барои онҳо dσξ/dα = 0. Бо дифференсия кардан аз муодилаи (16) ба даст меояд
пас, вақте ки ин ифода ба сифр баробар карда мешавад
Шиддати τξη ҳамзамон шиддати умумии буришӣ дар ин сатҳҳо хоҳад буд, агар τyz = τzx = 0. Он гоҳ бо муодилаи (17) ду самти ба ҳам перпендикуляр муайян мешаванд, ки барои онҳо: 1. шиддати умумии буришӣ сифр аст ва, 2. шиддати муқаррарӣ қиматҳои ниҳоӣ (максимум ва минимум) дорад. Ин самтҳо самтҳои шиддатҳои асосӣ номида мешаванд, ва шиддатҳои мувофиқ шиддатҳои асосӣ. Онҳо бо σ1 ва σ2 ишора мешаванд ва бевосита аз формула ҳисоб карда мешаванд
Доираи Моhr
Муодилаҳо (16) метавонанд ба таври графикӣ ба шакли возеҳ нишон дода шаванд. Барои ин онҳоро ба шакл табдил додан лозим аст:
Ин муодилаҳо дар низоми координатии σ, τ шакли параметрии муодилаи доираеро, ки дар расми 12 кашида шудааст, ифода мекунанд; координатҳои маркази он σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 ва радиуси он
Ин давра даври Моҳр номида мешавад. Агар аз нуқтаи x хатте параллел ба буриши x = const. кашида шавад, ки тавассути он шиддатҳои σx, τxy интиқол меёбанд, он даврро дар нуқтаи p мебурад, ки полюси даври Моҳр номида мешавад. Ҳар хатти pξ, ки аз ин пол кашида мешавад, даврро дар нуқтаи ξ мебурад, ки шиддатҳои σξ, τξη-ро муайян мекунад, ки тавассути буриши параллел ба pξ интиқол меёбанд.
Ҳангоми тасвири доираи Моhr бояд ба аломати шиддатҳои буришӣ таваҷҷуҳ кард, ки онҳо ба боло гузошта мешаванд, агар самтро тавре дошта бошанд, ки дар расм. 12c нишон дода шудааст. Аз ин рӯ, аз ду шиддати ҳамбастаи τxy, τyx, яке ҳамеша мусбат ва дигаре манфӣ аст.
Ба қиматҳои ҳаддии σ1, σ2 шиддатҳои муқаррарӣ нуқтаҳои 1 ва 2 дар доира мувофиқат мекунанд, ва хатҳои _p_1 ва _p_2 самтҳои шиддатҳои асосиро медиҳанд.
Тасвири шиддатҳое, ки дар ҳавзаи x-y ҷой доранд, бо ёрии доираи Маҳр ба ҳеч гуна фарзия дар бораи шиддатҳои σz, τxz, τyz, ки ба ин ҳавза перпендикуляранд, вобаста нест.
Слика 12
Пас ин қоида ба ҳолати умумитарини сеандозаи шиддат ҳам дахл дорад, агар танҳо он ҳавзаҳои буриш муқоиса карда шаванд, ки ҳамаи онҳо аз як хат мегузаранд, ки дар ин ҷо барои меҳварҳои z ва ξ интихоб шудааст. Азбаски мувофиқи муодилаҳои умумии табдил (15) шиддати нормалӣ σ наметавонад барои ягон ҳавзаи буриш беохир шавад, пас он бояд барои як ҳавза максимуми маҳдуд σ1 ва барои дигаре минимум σ3 дошта бошад, ки ҳар ду, албатта, метавонанд манфӣ ҳам бошанд. Агар аз векторҳои σ1 ва σ3 ҳавза гузаронда, доираи Моҳр кашида шавад (расм. 13)
Расм 13
барои танишҳое, ки дар ин ҳамворӣ ҷой гирифтаанд (яъне ҳамаи самтҳое, ки ба ин ҳамворӣ амудӣ мебошанд), пас σ1 ва σ3 бузургтарин ва хурдтарин танишҳои муътадил мебошанд, ки метавонанд пайдо шаванд ва аз ин рӯ бояд нисбат ба ҳамдигар амудӣ бошанд. Агар самтҳои 1 ва 3 бо самти 2 пурра карда шаванд, то ин се самт низоми координатии росткунҷаро ташкил диҳанд, ва агар доираҳои Моҳр барои ҳамвориҳои 1 ~2 ва 2 ~ 3 кашида шаванд, он гоҳ σ2 барои яке аз ин доираҳо бузургтарин ва барои дигаре хурдтарин таниши муътадил аст, ва аз ин рӯ дар буришҳое, ки ба самтҳои 1, 2 ва 3 амудӣ мебошанд, таниши буришӣ ба сифр баробар аст. Се таниши муътадили ба ҳам амудӣ σ1, σ2 ва σ3, ки ба онҳо танишҳои буришӣ мувофиқ нестанд, танишҳои асосӣ номида мешаванд.
Ҳадди ҷорӣшавӣ ва ҳадди шикаст дар ҳолати сеандозагии шиддатҳо
Ҳолати шиддатро як-, ду- ё сеандоза меноманд, ба тарзи дигар: хаттӣ, ҳамвор ё фазоӣ, вобаста ба он ки оё як, ду ё ҳамаи се шиддати асосӣ аз сифр фарқ мекунанд. Дар қисмҳои конструктивии бештар истифодашаванда, яъне дар чӯби кашишӣ, фишурдашуда ва хамшуда, ҳолати шиддат, ҳадди ақал дар ҷойҳои бештар боргирифта, якандоза аст, инчунин дар озмоишҳои кашиш, фишор ё хамиш, ки ҳангоми озмоиши мавод қариб танҳо барои муайян кардани шиддатҳои иҷозатдодашуда истифода мешаванд. Баръакс, дар плитаҳое, ки дар ҳавзаи худ ё ба он перпендикуляр бор мешаванд, инчунин дар пӯстҳо, ҳолати шиддат дуандоза аст, ва дар баъзе ҳолатҳо ҳолатҳои сеандозаи шиддат низ пайдо мешаванд, бинобар ин лозим аст, ки дар асоси ҳадди ҷориставӣ ва шикаст, ки ҳангоми ҳолати якандозаи шиддат муайян шудаанд, дар бораи рафтори мавод дар ҳолати фазоии шиддат хулоса бароварда шавад.