സാമഗ്രികൾ: സാമഗ്രികളുടെ പ്രതിരോധവും ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി സിദ്ധാന്തവും

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ

വസ്തുശാസ്ത്രത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം, ഒരു ഉറച്ച ദേഹം (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കെട്ടിടം, ഒരു ഘടനാ ഘടകം അല്ലെങ്കിൽ മണ്ണ്) ഏത് ബാഹ്യബലങ്ങൾ സഹിക്കാമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നതാണ്. ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരമറിയാൻ രണ്ട് മാനദണ്ഡങ്ങൾ അടിസ്ഥാനമാക്കുന്നു: ഒരു വശത്ത്, സമ്മർദ്ദങ്ങൾ വസ്തുവിന്റെ തരം അനുസരിച്ച് നിശ്ചിത പരിധികൾ കവിയരുത്; മറ്റെ വശത്ത്, ബാഹ്യവും ആന്തരികവും ആയ ബലങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള സമതുലിതാവസ്ഥ സ്ഥിരമായിരിക്കണം. ഇതനുസരിച്ച്, വസ്തുശാസ്ത്രത്തിലെ എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും “സമ്മർദ്ദ പ്രശ്നങ്ങൾ” എന്നും “സ്ഥിരതാ പ്രശ്നങ്ങൾ” എന്നും വിഭജിക്കാം.

ദണ്ഡങ്ങളിലും ബീമുകളിലും അവയിൽ നിന്നുള്ള വഹനഘടനകളിലും (ട്രസ്സുകൾ, ഫ്രെയിമുകൾ) സമ്മർദ്ദ നിർണ്ണയം രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് നടത്തുന്നത്: ആദ്യം നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്ന പുറംബലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ക്രോസ്-സെക്ഷൻ വഴി കൈമാറ്റം ചെയ്യുന്ന ആന്തരിക ബലങ്ങളുടെ ഫലബലം കണക്കാക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഈ “സെക്ഷൻ ബലങ്ങൾ” അടിസ്ഥാനമാക്കി സമ്മർദ്ദങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. നടപടിയുടെ ആദ്യ ഭാഗം പ്രത്യേകതയും വിപുലവുമായ ഒരു ശാഖയാണ്, ഘടനാ സ്റ്റാറ്റിക്സ്; ഇതിന് വികസിതമായ സ്വന്തം രീതികൾ ഉണ്ട്, സാധാരണയായി ഇത് വസ്തുക്കളുടെ പ്രതിരോധശേഷിയിൽ നിന്ന് വേർതിരിച്ചാണ് കാണുന്നത്, കാരണം അവിടെ നൽകിയ സെക്ഷൻ ബലങ്ങളിൽ നിന്ന് സമ്മർദ്ദങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണ് ലക്ഷ്യം.

വസ്തുക്കളുടെ പ്രതിരോധശാസ്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ

സ്ട്രെസ്സിന്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് താഴെപ്പറയുന്ന അടിസ്ഥാന പരിഗണനകളിലൂടെ എത്തിച്ചേരുന്നു. ഒരു ശരീരത്തിൽ സമതുലിതമായ ബാഹ്യബലസംവിധാനം പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്ന് കരുതുക. ശരീരത്തെ യാദൃച്ഛികമായ ഒരു ക്രോസ്-സെക്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളാക്കി, അവയിൽ ഒന്നിനെ അതിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലങ്ങളോടൊപ്പം നീക്കം ചെയ്തുവെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കാം; അപ്പോൾ ബലങ്ങളുടെ സമതുല്യതയും വികൃതികളുടെ വിതരണം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നതിനായി, ആ ഭാഗത്തിന്റെ മറ്റു ഭാഗത്തേക്കുള്ള പ്രവർത്തനം ക്രോസ്-സെക്ഷൻ ഉപരിതലത്തിലൂടെ കൈമാറുന്ന പൂരക ബലങ്ങളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കണം. ഈ “ആന്തരിക” ബലങ്ങൾ ക്രോസ്-സെക്ഷൻ ഉപരിതലത്തിൽ തുടർച്ചയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഉപരിതലത്തിലെ ഓരോ ഘടകമായ dF-ന് dβ എന്ന ബലം അനുബന്ധിക്കുന്നു. dβ/dF എന്ന അനുപാതം രൂപപ്പെടുത്തി dF -> 0 എന്ന പരിധിമാറ്റം സ്വീകരിച്ചാൽ, ഈ അനുപാതം സ്ട്രെസ് എന്നു വിളിക്കപ്പെടുന്ന പരിമിതി മൂല്യത്തിലേക്ക് അടുക്കുന്നു. ഒരു നിശ്ചിത ഉപരിതല ഘടകത്തിലുള്ള സ്ട്രെസ്, dβ പോലെ തന്നെയാണ്, അതിനെ dF-നോട് സാധാരണവും സ്പർശകവുമായ ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാം: സാധാരണ സ്ട്രെസ് σ, ഷിയർ സ്ട്രെസ് τ.

ഒരേ ബിന്ദുവിലൂടെ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിൽ മുറിച്ചെടുത്താൽ, അവയ്ക്ക് വ്യത്യസ്ത സമ്മർദ്ദങ്ങളും അനുബന്ധിക്കും. പ്രത്യേകിച്ച്, ശരീരത്തിൽ നിന്ന് ചിത്രം 1-ൽ കാണുന്ന ഒരു അടിസ്ഥാന ഘനഖണ്ഡം വേർതിരിച്ചാൽ, അതിന്റെ ആറ് ഉപരിതലങ്ങളിലൊന്നിലും x, y z എന്ന കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുടെ ദിശകളിലെ മൂന്ന് ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാവുന്ന ഒരു സമ്മർദ്ദ വെക്റ്റർ പ്രവർത്തിക്കും. പരസ്പരവിരുദ്ധ ഉപരിതലങ്ങളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന സമ്മർദ്ദങ്ങൾ തമ്മിൽ, സ്വാഭാവികമായി, ഡിഫറൻഷ്യലിന് മാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കും; അതിനാൽ 3 * 3 = 9 ഘടകസമ്മർദ്ദങ്ങളെ വേർതിരിക്കണം, അവയെ താഴെ പറയുന്ന വിധത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു:

സാധാരണ നാപനങ്ങൾക്ക് σ, അവ നിലകൊള്ളുന്ന അച്ചിന്റെ സൂചിക നൽകപ്പെടുന്നു; അവ വലിവ് സൃഷ്ടിക്കുമ്പോൾ ധനാത്മകവും, മർദ്ദം സൃഷ്ടിക്കുമ്പോൾ ഋണാത്മകവും ആയി കണക്കാക്കുന്നു. ഷീയർ നാപനങ്ങൾ τ ന് രണ്ട് സൂചികകൾ ലഭിക്കും; ആദ്യത്തേത് അനുബന്ധ സാധാരണ നാപനത്തിന്റെ സൂചികയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് ഷീയർ നാപനം പ്രവർത്തിക്കുന്ന അച്ചിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അനുബന്ധ സാധാരണ നാപനത്തിന്റെ ധനാത്മക ദിശ ധനാത്മക (ഋണാത്മക) കോർഡിനേറ്റ് അച്ചിന്റെ ദിശയിലാണെങ്കിൽ, ഷീയർ നാപനവും ധനാത്മകമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നത് അത് ധനാത്മക (ഋണാത്മക) കോർഡിനേറ്റ് അച്ചിന്റെ ദിശയിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോഴാണ്.

ചിത്രം 1.

 കത്തിവൈഷമ്യ സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെ അനുബന്ധത

ഒരു അടിസ്ഥാന സമദ്വാരഘനത്തിനായി, ചിത്രം 1, x അച്ചുതണ്ടിനെ സംബന്ധിച്ച് എല്ലാ ബലങ്ങളുടെയും മൊമെന്റ് ശൂന്യമെന്ന നിബന്ധന സ്ഥാപിച്ചാൽ, ലഭിക്കുന്നത് τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz ഇതിൽ നിന്ന്, കൂടാതെ y, z അച്ചുതണ്ടുകൾക്കായുള്ള അനുയോജ്യമായ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നുമാണ്, ഒരേ ഉപസൂചികകളുള്ള ഷിയർ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ പരസ്പരം തുല്യമാണെന്ന് ലഭിക്കുന്നത് τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)

ഘടക വികൃതികൾ

മുകളിൽ നിർവചിച്ച സമ്മർദ്ദങ്ങൾക്ക് ഭൗതിക അർഥമുണ്ടെന്നത്, ബാഹ്യബലങ്ങളുടെ സ്വാധീനത്തിൽ ഏതൊരു ശരീരവും അനുഭവിക്കുന്ന നിർവചനവുമായി അവയുടെ ബന്ധത്തിൽ നിന്നാണ് വ്യക്തമാകുന്നത്. ചിത്രം 2 വികൃതിക്ക് മുമ്പ് ചതുരാകൃതിയിലും വശദൈർഘ്യങ്ങൾ dx, dy, dz ഉള്ളതുമായ ഒരു അടിസ്ഥാന ഘനകൈയം കാണിക്കുന്നു. വികൃതിക്ക് ശേഷം വശങ്ങളുടെ ദൈർഘ്യങ്ങളെ dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz എന്നു കുറിക്കാം; εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz എന്നീ വിഭാഗങ്ങൾ ദീർഘീകരണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇവ അളവില്ലാത്ത മൂല്യങ്ങളാണ്, കൂടാതെ നിർമ്മാണരംഗത്ത് പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന എല്ലാ വസ്തുക്കൾക്കും 1നുസരിച്ച് ചെറിയവയാണ്. വശങ്ങളുടെ നീളം കൂടുന്നതിനു പുറമേ, dx * dy * dz എന്ന അടിസ്ഥാന ഘനകൈയയ്ക്ക് അതിന്റെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ആദ്യം നേരായിരുന്ന കോണുകളിൽ മാറ്റവും നേരിടാം.

ചിത്രം 2. ഘടകീയ രൂപഭേദം

വക്രതയ്ക്ക് ശേഷം OC അറ്റരേഖയിലൂടെ ചേർന്നിരിക്കുന്ന സമതലങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോണം ന് തുല്യമാകട്ടെ; അതുപോലെ AO അറ്റരേഖയിലുടനീളം ശരിയായ കോണിലെ കുറവ് γyz-നും, OB അറ്റരേഖയിലുടനീളം കുറവ് γzx-നും തുല്യമാകട്ടെ. കോണിലെ ഈ മൂന്ന് മാറ്റങ്ങൾ γxy, γyz, γzx എന്നിവയെ സ്ലൈഡിംഗുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇവയും എല്ലായ്പ്പോഴും 1 ന് അപേക്ഷിച്ച് വളരെ ചെറുതാണ്. ആറു ഘടകാത്മക ε, γ എന്നിവകൊണ്ട് “ചെറുവക്രതയിലെ വക്രത” എന്ന ഘടക ക്യൂബോയിഡിന്റെ വക്രത പൂർണ്ണമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. വോള്യം ഘടകമായ d_V = dx * dy * dz_ യിലെ മാറ്റം ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, എന്നതാകുന്നു; ഇവിടെ വിപുലീകരണങ്ങളുടെ ഗുണനഫലങ്ങൾ ഉയർന്ന ക്രമത്തിലെ ചെറുവലിപ്പങ്ങളായി അവഗണിക്കുമ്പോൾ, ക്യൂബിക് ഡൈലറ്റേഷൻ ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2) ലഭിക്കുന്നു

നീക്കങ്ങൾ

ഘനദേഹത്തിന്റെ രൂപവത്കരണം മുഴുവൻ ഇങ്ങനെയും വിവരിക്കാം: അതിന്റെ ഓരോ ബിന്ദുവിനുമുള്ള ആ ബിന്ദു അനുഭവിച്ച സ്ഥാനമാറ്റം നൽകുക. കഠിനദേഹത്തിന്റെ സ്ഥാനമാറ്റത്തോട് പൊരുത്തപ്പെടുന്ന പരിമിതവലുപ്പത്തിലുള്ള സ്ഥാനമാറ്റങ്ങൾ നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആവശ്യമെങ്കിൽ കണക്കിൽ ചലിക്കുന്ന കോഓർഡിനേറ്റ് വ്യവസ്ഥ സ്വീകരിക്കുന്ന വിധത്തിൽ, ഘടകസ്ഥാനമാറ്റങ്ങൾ μ, ν, ω എപ്പോഴും ചെറിയവയായിരിക്കും, അവയുടെ കോഓർഡിനേറ്റുകളോടനുബന്ധിച്ച വ്യുത്പന്നങ്ങളും 1-നേക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും. ഈ അനുമാനപ്രകാരം ചിത്രം 3 അനുസരിച്ച് രേഖാ ഘടകമായ OA = dx യുടെ നീളം രൂപവത്കരണത്തിന് ശേഷം

അതായത്  (3)

അതുപോലെ sl. 3-ൽ നിന്ന് കാണാം γxy γ1 + γ2 ആണെന്നും: കൂടാതെ

 (4)

ചിത്രം 3 സ്ലൈഡിംഗ്

(5)  (6)

ഈ ബന്ധങ്ങളെ പൊരുത്തപ്പെടൽ നിബന്ധനകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അർത്ഥം രൂപമാറ്റം വന്ന ഘടകങ്ങളെ ഒരു മോസെയ്ക്ക് പോലെ തമ്മിൽ ചേർത്തുവയ്ക്കാം, അതിലൂടെ സ്ഥലം തുടർച്ചയായി നിറഞ്ഞിരിക്കണം; ഘടകങ്ങളുടെ രൂപവത്കരണങ്ങൾ ഇഷ്ടാനുസൃതമായാൽ ഇത് സാധ്യമല്ല. പൊരുത്തപ്പെടൽ നിബന്ധനകൾ വ്യുത്പന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ്, അതിനാൽ, സ്വാഭാവികമായും, ഓരോ പ്രത്യേക ഘനത്തിനും ഉള്ള ആറ് ഘടക രൂപവത്കരണങ്ങളും പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ്; എന്നാൽ ഓരോ അന്തിമമായി വ്യാപിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തും അവയുടെ വിന്യാസം (5)യും (6)യും എന്ന നിബന്ധനകളാൽ ബന്ധിപ്പിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഈ നിബന്ധനകൾ സമവാക്യങ്ങൾ (3) ഒപ്പം (4) എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തീകരിച്ച് ലഭിച്ചതിനാൽ, അവയുടെ導ത്തലിൽ ആദ്യം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ അടങ്ങിയ ബന്ധങ്ങളിൽ ഒരു ഭാഗം നഷ്ടപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ ഈ രണ്ട് സമവാക്യസമൂഹങ്ങളിൽ ഒന്ന് മാത്രം പാലിക്കുന്നത് മതിയാകില്ല; രൂപഭേദങ്ങളുടെ അനുയോജ്യത ഉറപ്പാക്കണമെങ്കിൽ രണ്ടും പാലിക്കപ്പെടണം.

ലാഘവതാ വ്യവസ്ഥയുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഇലാസ്തിക ദേഹങ്ങളിലെ സമ്മർദ്ദവും വികൃതിയും കണക്കാക്കാൻ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

അളവുതത്വ ഘടകത്തിന്റെ സമതുലന വ്യവസ്ഥകൾ. മൂന്ന് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുമുള്ള മോമെന്റുകൾ ശൂന്യമാണെന്ന വ്യവസ്ഥകൾ ഇതിനകം സമവാക്യം (1) ഉത്ഭവിപ്പിക്കുന്നതിനിടെ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ബലങ്ങളുടെ സമതുലന വ്യവസ്ഥകൾ ചിത്രം 4 പ്രകാരം നൽകുന്നു

ചിത്രം 4

(7a-c)

X, Y, Z എന്നിവ കൊണ്ട് ഒരു ഘനത്തിന്റെ ഏകലവധിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഘനബലങ്ങളുടെ ഘടകങ്ങൾ (ഉദാ., ഭാരം, കേന്ദ്രാതിപസരണ ബലം) സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ. സമ്മർദ്ദങ്ങളും വികൃതികളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ. ഇതിന്റെ അർത്ഥം ഘടകസമ്മർദ്ദങ്ങളുടെയും ഘടകവികൃതികളുടെയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ്. ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ സാധാരണയായി പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നത് രേഖീയ ബന്ധം മാത്രമാണ്, അത് Hooke-ന്റെ നിയമം വഴി പ്രകടമാക്കപ്പെടുന്നു:

(8a-c)

(8d-f)

സമവാക്യങ്ങൾ (8a-c) സമ്മർദ്ദങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പരിഹരിച്ചാൽ, ലഭിക്കുന്നത്

(8 a)

kso യും അനുയോജ്യമായ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും. Hooke-ന്റെ നിയമം സമവാക്യം (8) വഴി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് കർശനമായി പാലിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രകൃതി നിയമം അല്ല, മറിച്ച് യാഥാർത്ഥ്യത്തിലുള്ള പെരുമാറ്റത്തിന്റെ ഒരു ആദർശവൽക്കരണമാണ്; വസ്തുവിനും സമ്മർദ്ദത്തിന്റെ അളവിനും അനുസരിച്ച് അത് ഇതിൽ നിന്ന് കൂടുതലോ കുറവോ ആയി വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു. സമ്മർദ്ദവും രൂപവത്കരണവും തമ്മിലുള്ള സങ്കീർണ്ണവും രേഖീയമല്ലാത്തതുമായ ബന്ധങ്ങളുള്ള വസ്തുക്കളുടെ പ്രതിരോധ പ്രശ്നങ്ങളെ ഗണിതപരമായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് അത്യന്തം വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ സൃഷ്ടിക്കുകയും യഥാർത്ഥത്തിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യങ്ങളിൽ മാത്രമേ നടത്താൻ കഴിയൂ എന്നും കണക്കിലെടുത്താൽ, Hooke-ന്റെ നിയമത്തിൽ നിന്ന് ഗണ്യമായി വ്യത്യാസപ്പെടുന്ന പെരുമാറ്റമുള്ള വസ്തുക്കളിലും (കോൺക്രീറ്റ്!) അതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള കണക്കുകൾ ആദ്യം, ഭൂരിഭാഗം സാഹചര്യങ്ങളിലും ഏക പ്രാമാണികമായ പരിഹാരമായി ഉപയോഗിക്കണം; കൂടാതെ ഇത് സാധാരണയായി വെറും ഗുണപരമായതിനെക്കാൾ കൂടുതൽ ഉള്ള ഒരു അവബോധവും നൽകുന്നു. G = E|2 (1+μ).

ഇത് സമ്മർദ്ദവും രൂപഭംഗവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൽ നിന്നാണ് (8), സമ്മർദ്ദങ്ങൾക്കായുള്ള പരിവർത്തന സമീകരണങ്ങളിൽ നിന്നാണ് (16), കൂടാതെ ഘടക രൂപഭംഗങ്ങൾക്കായുള്ള അനുയോജ്യ സമീകരണ സംവിധാനത്തിൽ നിന്നുമാണ് Eയും Gയും സമ്മർദ്ദത്തിന്റെ അളവു തന്നെ ഉള്ളത്; ഉണ്ടാകാവുന്ന σ, τ സമ്മർദ്ദങ്ങളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ എല്ലാ നിർമാണ വസ്തുക്കളിലും അവ വലിയതാണ്. എന്നാൽ ഈ വസ്തുതയെ ആശ്രയിച്ചാണ് ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ എല്ലായിടത്തും സ്വീകരിച്ചിരിക്കുന്ന, രൂപഭംഗങ്ങൾ ചെറുതാണെന്ന അനുമാനം. പ്രാവർത്തിക വിശാലീകരണ ഗുണകം (പോയ്സൺ സംഖ്യ) μ അളവില്ലാത്തതാണ്, ഇത് എപ്പോഴും 0നും 1/2നും ഇടയിലാണ്.

ഘടക രൂപവികൃതികളും സ്ഥാനമാറ്റങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ. ഈ ബന്ധങ്ങൾ സമീകരണങ്ങൾ (3), (4) എന്നിവയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇവ പൂർണ്ണമായും ജ്യാമിതീയ സ്വഭാവമുള്ളവയാണ്. ഈ മൂന്ന് സമാഹാരങ്ങൾ 3+6+6=15 സമീകരണങ്ങൾ നൽകുന്നു, 15 അറിയാത്ത മൂല്യങ്ങൾക്ക്, അഥവാ 6 ഘടകീയ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ, 6 ഘടകീയ രൂപവികൃതികൾ, കൂടാതെ 3 ഘടകീയ സ്ഥാനമാറ്റങ്ങൾ. അതിനാൽ ഇവ ഈ അറിയാത്ത മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ മതിയായവയാണ്. ഇത്തരത്തിലുള്ള വിപുലമായ വ്യുത്പന്ന സമീകരണ സമാഹാരത്തെ ഗണിതപരമായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്, വ്യക്തമാകുന്നപോലെ, പ്രത്യേക സാഹചര്യങ്ങളിൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. സമീകരണം (8)-ൽ ഘടകീയ രൂപവികൃതികളെ സമീകരണങ്ങൾ (3)യും (4)യും അനുസരിച്ച് ഘടകീയ സ്ഥാനമാറ്റങ്ങളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച്, തുടർന്ന് സാധാരണ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ σയും ഷിയർ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ τയും, സമീകരണങ്ങൾ (8 d - f) പ്രകാരം, സമതുല്യതാ നിബന്ധനകളിൽ, സമീ. (7), ഉൾപ്പെടുത്തിയാൽ, വസ്തുതയിൽ, ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സമീകരണങ്ങൾ എന്നു വിളിക്കുന്ന വ്യുത്പന്ന സമീകരണങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു.

(9)

ഇതിനിടെ  എന്നത് ലാപ്ലാസ് ഓപ്പറേറ്ററിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. (2) പ്രകാരം, ഇവ മൂന്ന് ഘടകസ്ഥലചലനങ്ങളായ μ, ν, ω ഉള്ള മൂന്ന് വ്യുത്പന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ്; ഇവയിൽ നിന്ന് (3), (4) һәм (8) അടിസ്ഥാനമാക്കി വ്യുത്പാദനത്തിലൂടെ എല്ലാ ഘടകസമ്മർദ്ദങ്ങളും വികൃതികളും ലഭിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ (9) പ്രത്യേക കേസുകൾ പഠിക്കാൻ പലപ്പോഴും അനുയോജ്യമായ തുടക്കബിന്ദുവായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

വികൃതിയുടെയും പ്രവർത്തനം

നിർവചനം

ഒരു ബീം ലോഡ് ചെയ്യുമ്പോൾ, പുറംബലങ്ങളുടെ പ്രയോഗബിന്ദുക്കൾ ഇലാസ്റ്റിക് സ്ഥാനചലനങ്ങൾ അനുഭവിക്കുകയും ബലങ്ങൾ അതോടെ ഒരു നിശ്ചിത പ്രവർത്തി ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇങ്ങനെ എത്തിച്ച ഊർജം വിവിധ രൂപങ്ങളിലേക്ക് മാറാം. ലോഡിംഗ് പെട്ടെന്ന് നടപ്പാക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതായത് രൂപവത്കരണ പ്രക്രിയയ്ക്ക് വലിയ വേഗത ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ ഊർജത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം ചലനഊർജമായി മാറുന്നു, അത് സമയക്രമത്തിൽ നശിക്കുകയോ, ഭൂമിയിലേക്ക് ഇലാസ്റ്റിക് തരംഗമായി പ്രചരിച്ച് അനന്തതയിൽ ലയിക്കുകയോ, അല്ലെങ്കിൽ ആന്തരിക ഘർഷണം മൂലം താപമായി മാറുകയോ ചെയ്യുന്നു. ലോഡുകൾ അത്ര മന്ദഗതിയിൽ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ശ്രദ്ധേയമായ ചലനഊർജ വർധന ഉണ്ടാകുന്നില്ലെങ്കിൽ, അഥവാ ശൂന്യത്തിൽ നിന്ന് ക്രമേണ വർധിക്കുന്ന ലോഡുകൾ ആന്തരിക ബലങ്ങളുമായി സ്ഥിരസമതുല്യത്തിലാണെങ്കിൽ, ഊർജം വ്യക്തമാകെ ശരീരത്തെ രൂപഭേദത്തിലാക്കുന്നതിനായി മാത്രം ചെലവാകുന്നു; അപ്പോൾ അതിനെ രൂപഭേദ പ്രവർത്തി എന്നു വിളിക്കുന്നു.

രൂപഭേദ പ്രവർത്തിയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ആദ്യം ഒരു ദിശയിൽ വലിച്ചുനീട്ടൽ ഭാരം ഏൽപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ചെറിയ ഘടകത്തിൽ കാണിക്കാം (ചിത്രം 5).

നിലവിലുള്ള സമ്മർദ്ദം σ ഉം അനുബന്ധ വികൃതി ε ഉം dσ, dε എന്ന വർധനങ്ങൾ അനുഭവിക്കുന്നതായി കരുതാം. അപ്പോൾ dε * dl പാതയിൽ σdF എന്ന ബലം σdF * dεdl = σdεdV എന്ന പ്രവൃത്തി നിർവഹിക്കും, ഇവിടെ dV ഒരു ചെറിയ ഭാഗത്തിന്റെ വോള്യമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സമ്മർദ്ദം ശൂന്യത്തിൽ നിന്ന് അതിന്റെ അന്തിമ മൂല്യത്തിലേക്ക് വർധിക്കുകയും, അതനുസരിച്ച് വികൃതി _0 മുതൽ ε വരെ മാറുകയും ചെയ്താൽ, യൂണിറ്റ് വോള്യത്തിനുള്ള മൊത്തം നിർവഹിച്ച പ്രവൃത്തി ആയിരിക്കും:

അതുപോലെ തന്നെ, ഷീയർ സമ്മർദ്ദം τ (ചിത്രം 6) മൂലം ബാധിച്ച ഒരു ഘടകത്തിനായി, അളവുഭാഗത്തിന് വരുന്ന വികാരപ്രവൃത്തി (വിശിഷ്ട വികാരപ്രവൃത്തി, ഇലാസ്റ്റിക് പോട്ടൻഷ്യൽ):

ഇതിൽ നാല് ശക്തികളിൽ നിന്ന് τ * dF എന്നതിൽ ഒന്ന് മാത്രമാണ് ജോലി ചെയ്യുന്നത്.

സാമാന്യ സാഹചര്യത്തിൽ, എലിമെന്ററി ഭാഗത്തെ ആറു ഘടക മർദ്ദങ്ങളും ബാധിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ ഘടക മർദ്ദത്തിന്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിലൂടെ പ്രത്യേക രൂപഭേദ പ്രവൃത്തി ലഭിക്കുന്നു:

(10)

ഈ സമാകലനങ്ങളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും മുകളിലെ പരിധിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വ്യുത്പാദനം നടത്തുമ്പോൾ, ഏറ്റവും പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ ബാധകമായ ബന്ധങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു:

(11)

മറ്റുള്ള ഘടകാത്മക വക്രതകൾക്കും ഇതേപോലെ. ശരീരം ഇലാസ്തികമാണെങ്കിൽ, ഒരു നിശ്ചിത സമ്മർദ്ദാവസ്ഥയ്ക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും അതേ വക്രതാവസ്ഥയാകും, അത് ഭാരം ചുമത്തിയപ്പോഴോ ഭാരം ഒഴിവാക്കിയപ്പോഴോ ലഭിച്ചതാണോ എന്നത് പരിഗണിക്കാതെ. അപ്പോൾ സമാകലങ്ങളുടെ കീഴിൽ ഏകാർത്ഥ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ് നിലകൊള്ളുന്നത്, കൂടാതെ ഭാരം ചുമത്തലിലും പിന്നീട് പൂർണ്ണമായ ഭാരം ഒഴിവാക്കലിലും ചെലവാകുന്ന മൊത്തം ഊർജം a = 0 ആയിരിക്കും, കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സമാകലങ്ങളുടെ മുകളിലെ പരിധികൾ പൂജ്യമാകുന്നു. അതിനാൽ ഭാരം ചുമത്തുമ്പോൾ ശരീരത്തിൽ നൽകപ്പെടുന്ന മൊത്തം ഊർജം ഭാരം ഒഴിവാക്കുമ്പോൾ തിരിച്ചുകിട്ടുന്നു.

ചിത്രം 6

ചിത്രം 7

അസമ്പൂർണ്ണമായ ഇലാസ്റ്റിക് ശരീരത്തിൽ, ലോഡിംഗും അൺലോഡിംഗും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന മുഴുവൻ ചക്രത്തിനുള്ള സമ്മർദ്ദ-വികൃതിബന്ധം ചിത്രം 7-ൽ O A B. രേഖകളായി ഏകദേശം കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രൂപത്തിലാണ്. ലോഡിംഗ് സമയത്ത് നൽകിയ ഊർജം OAA, എന്ന പ്രദേശത്തിനും, അൺലോഡിംഗ് സമയത്ത് തിരികെ ലഭിക്കുന്ന ഊർജം ABA, എന്ന പ്രദേശത്തിനും തുല്യമാണ്; അതിനാൽ, ഹാഷിയിട്ട പ്രദേശത്തിനൊത്ത പ്രവർത്തനം നഷ്ടപ്പെടുന്നു (താപമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു). ഓസിലേറ്ററി പ്രക്രിയയിൽ സമ്മർദ്ദം കാലാനുസൃതമായി പോസിറ്റീവ് പരിധിമൂല്യം നും നെഗറ്റീവ് പരിധിമൂല്യം നും ഇടയിൽ മാറുകയാണെങ്കിൽ, അസ്ഥിത്വരൂപവത്കരണം ചിത്രം 7-ൽ ഇടവിട്ട രേഖകളായി കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ മുന്നേറുന്നു; ഓരോ ഓസിലേഷൻ കാലത്തിലും യൂണിറ്റ് വോളിയത്തിനൊത്ത് DABCD എന്ന ഊർജം താപമായി മാറുന്നു. രൂപവത്കരണത്തിനിടയിൽ, രൂപവത്കരണം സമ്മർദ്ദത്തിന് പിന്നിലാകുന്ന ഇത്തരമൊരു പെരുമാറ്റത്തെ ഇലാസ്റ്റിക് ഹിസ്റ്ററിസിസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, DABCD വളവിനെ ഹിസ്റ്ററിസിസ് ലൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

വികൃതിനിർമ്മാണ പ്രവർത്തിയും ഹൂക്കിന്റെ നിയമവും

സമവാക്യം (10)യിലെ സമാകലങ്ങളിൽ Hooke-ന്റെ നിയമം ഉൾപ്പെടുത്തിയാൽ, സമാകലനം നടത്താം; അതോടെ പ്രത്യേക രൂപവത്കരണ ജോലിക്കായി ചുവടെയുള്ള പ്രയോഗങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു:

(12a)

(12b)

(12c)

ഈ രൂപങ്ങളിൽ രണ്ടാമത്തേതിനെ സമവാക്യത്തിൽ (11) ഉൾപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, വീണ്ടും Hooke -ന്റെ നിയമം, സമവാക്യങ്ങൾ (8), ദോഷമർദ്ദങ്ങളായി പരിഹരിച്ച രൂപത്തിൽ ലഭിക്കുന്നു. രൂപഭേദ പ്രവർത്തനം ഘടക രൂപഭേദങ്ങളിൽ ആശ്രയിക്കുന്നു എന്ന പ്രസ്താവന, സമവാക്യം (12b)-ൽ കാണിച്ചതുപോലെ, അതിനാൽ Hooke-ന്റെ നിയമത്തിന് സമാനമാണ്. സമവാക്യം (12c) ദോഷമർദ്ദങ്ങളനുസരിച്ച് വ്യുത്പന്നമെടുക്കുമ്പോൾ, ലഭിക്കുന്നത്

(13)

ഈ മാതൃകകൾ, മാതൃകകൾ (11)നോട് വ്യത്യസ്തമായി, ഹൂക്കിന്റെ നിയമപ്രകാരം പെരുമാറുന്ന ശരീരങ്ങൾക്കു മാത്രമേ ബാധകമാകൂ; സമ്മർദ്ദങ്ങളും രൂപഭേദങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വേറിട്ടിരിക്കുമ്പോൾ അവ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. സമവാക്യങ്ങളുടെ (13) വലത് വശത്ത് സമ്മർദ്ദങ്ങൾ മൂലമുണ്ടാകുന്ന ഘടകീയ രൂപഭേദങ്ങൾ മാത്രം ഉണ്ടെന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്; താപനിലമാറ്റം, ക്രീപ്പ്, വീർപ്പ്, പുനഃസ്ഫടികീകരണം തുടങ്ങിയവ കാരണം ഉണ്ടായേക്കാവുന്ന മറ്റ് എല്ലാ രൂപഭേദങ്ങളും അതിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു.

ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ സമഗ്ര സമീപനങ്ങൾ

അഭാസ്യ മാറ്റങ്ങൾ. സാധ്യതാ ഊർജത്തിന്റെ കുറഞ്ഞ മൂല്യത്തിന്റെ തത്വം

Hooke-ന്റെ നിയമം, സമവാക്യങ്ങൾ (8) ഒരൊറ്റ സമവാക്യമായ (12b) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാവുന്നതുപോലെ, സന്തുലിതാവസ്ഥാ നിബന്ധനകൾക്ക് പകരം പൊതുവായി ബാധകമായ യാന്ത്രികതയുടെ അടിസ്ഥാനനിയമമായി വേർചുവടുമാറ്റങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തവും പരിചയപ്പെടുത്താം. ഈ നിയമം പറയുന്നത്, വികൃതിസ്ഥിതിയിൽ ചെറിയ മാറ്റം വന്നപ്പോൾ എല്ലാ ബലങ്ങളും നിർവഹിക്കുന്ന ആകെ പ്രവൃത്തി പൂജ്യമായാൽ ആ അവസ്ഥകൾ സന്തുലിതാവസ്ഥകളാണെന്നതാണ്. ഇലാസ്റ്റിക് മാറ്റങ്ങളുടെ ചെറിയ വ്യത്യാസങ്ങളെ δμ δν, δω എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചാൽ, സമവാക്യം (7) നിർവചിക്കുന്ന ആസ്ഥിതിജ ബലങ്ങൾ വേർചുവട് പ്രവൃത്തി നിർവഹിക്കുന്നു

കൂടാതെ ശരീരത്തിന്റെ ബാഹ്യ ഉപരിതലത്തിലെ dF ഘടകത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഉപരിതല ബലങ്ങൾ px, py, pz പ്രവൃത്തിയിൽ

ഇവിടെ ത്രിപടല ഇന്റഗ്രൽ മുഴുവൻ വോളിയത്തിനും, ഇരട്ട ഇന്റഗ്രൽ ദേഹത്തിന്റെ മുഴുവൻ ബാഹ്യ ഉപരിതലത്തിനുമാണ് ബാധകമായത്. ആന്തരിക ബലങ്ങൾ നിർവ്വഹിക്കുന്ന പ്രവർത്തി കണക്കാക്കാൻ സമവാക്യം (12b) ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഘനഫലത്തിനുള്ള പ്രവർത്തിയായി ലഭിക്കുന്നത്

അതിനാൽ വെർച്വൽ സ്ഥാനമാറ്റങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം നൽകുന്നു

(14)

X, Y, Z px, py., pz എന്നീ ഭാരങ്ങൾ ഗുരുത്വബലത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളായി (സ്വഭാരവും ബാഹ്യഭാരവും) പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വലതുവശത്തുള്ള ഇന്റഗ്രലുകൾ ഈ ഭാരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടുത്തിയ സാധ്യതാ ഊർജത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതേസമയം ഇടതുവശം ദേഹത്തിന്റെ സാധ്യതാ (ഇലാസ്റ്റിക്) ഊർജത്തിലെ വർധനവിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഈ സിദ്ധാന്തം സമതുലിതാവസ്ഥയിൽ ബീമിന്റെയും അതിന്മേൽ കിടക്കുന്ന ഭാരങ്ങളുടെയും ആകെ സാധ്യതാ ഊർജം ഒരു അറ്റമൂല്യം കൈവരിക്കുന്നതായി വ്യക്തമാക്കുന്നു. ഈ അറ്റമൂല്യം ഒരു കുറഞ്ഞ മൂല്യമാണെങ്കിൽ, സമതുലിതാവസ്ഥ സ്ഥിരമാണ്.

സാധ്യതാ ഊർജത്തിന്റെ കുറഞ്ഞ മൂല്യത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തം സമവാക്യം (14)-ൽ, രൂപമാറ്റ പ്രവർത്തനത്തിനുള്ള വ്യഞ്ജനം (12b)-ൽ, രൂപഭേദ അനുയോജ്യതയുടെ വ്യവസ്ഥകൾ (5), (6)-ൽ പ്രകടമാക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതു പോലെ, ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി സിദ്ധാന്തം നിർമ്മിക്കാൻ മതിയാകുന്ന ഒരു സമവാക്യസമൂഹമാണ്; അടിസ്ഥാനത്തിൽ അത് സമവാക്യസമൂഹത്തോട് സമമാണ്. പ്രത്യേകിച്ച്, വ്യുത്പന്ന സമവാക്യങ്ങൾ (9) പാലിക്കുന്നത് കണക്കുകൂട്ടൽ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്ന സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഈ സമൂഹം ഉപകാരപ്രദമായിരിക്കാം; അതുകൊണ്ട് ഏകദേശ പരിഹാരം അന്വേഷിക്കേണ്ടിവരും, ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ഥലംമാറ്റങ്ങൾക്ക് മുമ്പേ ചില സ്വതന്ത്ര സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ അടങ്ങിയ അനുയോജ്യമായ ഒരു രൂപം കരുതുകയും അവ സമവാക്യം (14) പാലിക്കണമെന്ന ആവശ്യമനുസരിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇങ്ങനെ പ്രശ്നത്തിന് കർശനമായ പരിഹാരം ലഭിക്കില്ല, തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ട പരിഹാരരൂപത്തിൽ നേടാവുന്ന ഏറ്റവും നല്ല സമീപനം മാത്രമേ ലഭിക്കൂ. ഈ സമീപനം മതിയാകുമോ എന്നത് പ്രധാനമായും സ്വീകരിച്ച പരിഹാരരൂപത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു; അതിനാൽ ഈ രീതിയുടെ വിജയകരമായ പ്രയോഗത്തിന് പ്രാവീണ്യവും പരിചയവും ആവശ്യമാണ്.

കാസ്റ്റിഗ്ലിയാനോയുടെ സിദ്ധാന്തം

കുറഞ്ഞ സാധ്യതാ ഊർജത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ വികൃതിയുടെ അനുസരണതാ നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്ന എല്ലാ വികൃതി അവസ്ഥകളും താരതമ്യം ചെയ്ത് അവയിൽ അനുബന്ധ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ സമവസ്ഥാ നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്നവയെ വേർതിരിക്കുന്നതുപോലെ, കാസ്റ്റിഗ്ലിയാനോയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ സമവസ്ഥാ നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്ന എല്ലാ സമ്മർദ്ദാവസ്ഥകളും താരതമ്യം ചെയ്ത് അവയിൽ അനുബന്ധ വികൃതികൾ വികൃതിയുടെ അനുസരണതാ നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്നവയെ വേർതിരിക്കുന്നു. ഈ സിദ്ധാന്തം ഇപ്രകാരമാണ്: സാധ്യമായ എല്ലാ സമവസ്ഥാ അവസ്ഥകളിൽ നിന്ന് യാഥാർത്ഥ്യത്തിൽ സംഭവിക്കുന്നത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ വികൃതി ജോലിക്കൊത്തതായിരിക്കും. കാസ്റ്റിഗ്ലിയാനോയുടെ സിദ്ധാന്തം, വികൃതി ജോലിക്കുള്ള സമവാക്യത്തോടൊപ്പം (12c) സമവസ്ഥാ നിബന്ധനകളും ചേർന്ന്, വസ്തുവിന്റെ പ്രതിരോധം നിർമ്മിക്കാൻ മതിയായ സമവാക്യസമൂഹം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ Hooke-ന്റെ നിയമം ഉൾപ്പെടുന്നതിനാൽ, അതിന്റെ പ്രയോഗസാധ്യത വികൃതികളെ ഈ നിയമം പൂർണ്ണമായി വിവരിക്കാമെന്ന അനുമാനത്തോട് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത് വസ്തുവിന്റെ രേഖീയ ഇലാസ്റ്റിക് പെരുമാറ്റം ആവശ്യപ്പെടുന്നതോടൊപ്പം, താപനില മാറ്റങ്ങളും ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി പരിധികൾക്കുമപ്പുറമുള്ള വസ്തുവിന്റെ പെരുമാറ്റം

സ്ഥിര ലോഡിംഗിനിടയിലെ പ്രതിഭാസങ്ങൾ

മർദ്ദങ്ങളുടെ പ്രഭാവത്തിൽ വസ്തുവിന്റെ രൂപവത്കരണം വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രതിഭാസമാണ്; അതിനെ മനസ്സിലാക്കാൻ പല ദിശകളിലും ലളിതമാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ലളിതീകരണങ്ങളിൽ ഒന്നാണ് ഭാരങ്ങൾ ക്രമമായി പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന അനുമാനം; ഉദാഹരണത്തിന്, വലിക്കൽയും സമ്മർദ്ദവും സംബന്ധിച്ച പരീക്ഷണങ്ങളിൽ സാമ്പിളുകളുമായി ചെയ്യുന്നതുപോലെ.

ഒരു വലിച്ചുനീട്ടൽ ഭാരത്തിനിരയായ സ്റ്റീൽ ദണ്ഡത്തിന് ക്രമേണ വർധിക്കുന്ന ലോഡ് പ്രയോഗിച്ച് അതിന്റെ ഡിലാറ്റേഷൻ ε അളക്കുമ്പോൾ, ചിത്രം 8-ൽ കാണുന്ന രേഖാചിത്രം ലഭിക്കുന്നു. ആരംഭത്തിൽ ഡിലാറ്റേഷൻ വളരെ ചെറുതായിരിക്കുകയും, ഹുക്ക് നിയമം ആവശ്യപ്പെടുന്നതുപോലെ മർദ്ദത്തിനനുസരിച്ച് അനുപാതികമായിരിക്കുകയും ചെയ്യും. ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട മർദ്ദം മുതൽ ഈ അനുപാതികത അവസാനിക്കുകയും ഡിലാറ്റേഷൻ വേഗത്തിൽ വർധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ അനുപാതികതയുടെ പരിധിയുടെ കൃത്യമായ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. അളവ് എത്ര കൃത്യമാകുന്നുവോ, അത്രയും അത് താഴ്ന്നതായി ലഭിക്കും. ഭൂരിഭാഗം വസ്തുക്കൾക്കായി അത് σ = 0-ലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്, അപ്പോൾ ഹുക്ക് നിയമം ഇലാസ്റ്റിക് പെരുമാറ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമീപനം മാത്രമായിരിക്കും, കോഓർഡിനേറ്റ് ഉത്ഭവത്തിനടുത്തുള്ള ε = ε (σ) എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ടെയ്‌ലർ ശ്രേണിവികാസത്തിലെ ആദ്യ ഘടകം.

ദണ്ഡം റിലീസ് ചെയ്താൽ, മർദ്ദം അത്ര വലിയതല്ലാത്തപ്പോൾ രൂപഭേദവും അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതായി ശ്രദ്ധിക്കാം; ഇത് ഹൂക്കിന്റെ നിയമത്തിന് അനുസൃതമാണ്. എന്നാൽ, അനുപാതപരിധിക്ക് സമീപമുള്ള, അഥവാ ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി പരിധി എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു മർദ്ദം കവിയുമ്പോൾ ഇതും മാറുന്നു; അപ്പോൾ മൊത്തത്തിലുള്ള രൂപഭേദം ഇലാസ്റ്റിക് (മടങ്ങിവരുന്ന) ഭാഗവും ഇനീലാസ്റ്റിക് (സ്ഥിര) ഭാഗവും ആയി വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു. ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി പരിധിയും കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാനാവില്ല; അളവെടുപ്പിന്റെ കൃത്യത കൂടുതലായിരിക്കുംതോറും അത് അത്ര താഴെയായി കാണപ്പെടും. എന്നാൽ അതിന് വലിയ സാങ്കേതിക പ്രാധാന്യമുള്ളതിനാൽ, മെറ്റീരിയലിന്റെ പ്രതിരോധത്തിൽ почти എല്ലാ കണക്കുകളിലും പ്രാധാന്യമുള്ള അതിരും, അതേസമയം ആദ്യ സ്ഥിരനാശങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്ന അതിരുമാണ് ഇത്, സാമ്പിളുകളുടെ പരിശോധനയ്ക്കായി ഇത് ഒരു അംഗീകരിച്ച കൺവെൻഷൻ പ്രകാരം കർശനമായി നിർവചിക്കുന്നു; അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 0.2% എന്ന പരിധിയായി സ്ഥിരമായ ദീർഘീകരണം 0.2% എത്തുന്ന ആ മർദ്ദത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ലവണീയ പരിധി കടന്ന ഉടനെ രൂപഭേദനം പെട്ടെന്ന് വർധിക്കുകയും നഗ്നനേത്രങ്ങൾക്കു കാണുകയും ചെയ്യാം; മർദ്ദം ഏകദേശം സ്ഥിരമായിരിക്കുമ്പോൾ ദണ്ഡം തുടർച്ചയായി നീളുന്നു. ഈ മർദ്ദത്തെ യീൽഡ് പരിധി എന്നു വിളിക്കുന്നു. വസ്തു പരിശോധനയ്ക്കുള്ള ഹൈഡ്രോളിക് യന്ത്രങ്ങളിൽ, യീൽഡിംഗ് ആരംഭിച്ചതിനു ശേഷം മർദ്ദത്തിൽ കൂടുതലോ കുറവോ ഉള്ള ഇടിവ് കൂടി ശ്രദ്ധിക്കാം; ചിത്രം 8-ൽ ഇടവിട്ട വളവിലൂടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ; അപ്പോൾ പരമാവധി മൂല്യം മുകളിലെ യീൽഡ് പരിധി എന്നും തുടർന്ന് നിലനിൽക്കുന്ന സ്ഥിരമായ യീൽഡ് മർദ്ദം താഴത്തെ യീൽഡ് പരിധി എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ഒരു നിശ്ചിത നീളവർധനവ്, ഏറെക്കുറെ പൂർണ്ണമായും അനിലാസ്റ്റിക് ആയത്, എത്തിച്ചേരുമ്പോൾ, സമ്മർദ്ദം വീണ്ടും ഉയരാൻ തുടങ്ങുന്നു, അഥവാ വസ്തു കാഠിന്യം പ്രാപിക്കുന്നു. ഈ ഭാരംപ്രദേശത്ത് ദണ്ഡത്തിന്റെ അർദ്ധവ്യായം അസാധാരണമായ പാർശ്വസംകോചനത്തെ തുടർന്ന് ശ്രദ്ധേയമായി കുറയുന്നു, കൂടാതെ സമ്മർദ്ദ-വികൃതി രേഖയുടെ തുടർന്നുള്ള ഗതിക്രമം പ്രധാനമായും ആശ്രയിക്കുന്നത്, σ എന്ന സമ്മർദ്ദം കണക്കാക്കുമ്പോൾ ദണ്ഡത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന വലിപ്പ് ബലം P പ്രാരംഭ വിചേദം F0 ഉപയോഗിച്ചാണോ അതോ നിലവിലെ വിചേദം F ഉപയോഗിച്ചാണോ വിഭജിക്കുന്നത് എന്നതിലാണ്. സാങ്കേതിക ആവശ്യങ്ങൾക്ക് പ്രാധാന്യമുള്ളത് P|F0 എന്ന സമ്മർദ്ദമാണ്. ഈ സമ്മർദ്ദം പരമാവധി മൂല്യം കടന്നുപോകുന്നു; അതെയാണ് വസ്തുശക്തി എന്നു വിളിക്കുന്നത്, ആ പരമാവധിയെ കടന്നാൽ ദണ്ഡം ഒരിടത്ത് ശക്തമായി ചുരുങ്ങി പൊട്ടുന്നു. “യഥാർത്ഥ സമ്മർദ്ദം” P|F തകർച്ചവരെ ഉയരുന്നു.

ചിത്രം 8.

മറ്റ് ലോഹങ്ങളുടെ പെരുമാറ്റം ഇവിടെ വിവരിച്ചതിൽ നിന്ന് പല കാര്യങ്ങളിലും വ്യത്യസ്തമാണ്. പലപ്പോഴും ഒഴുക്ക് വ്യക്തമായി പ്രകടമാകുന്നില്ല, ഇളസ്റ്റിസിറ്റി പരിധി കടന്ന ഉടനെ കാഠിന്യം ആരംഭിക്കുന്നു. ഭംഗുര വസ്തുക്കളിൽ (കല്ല്, ഗ്ലാസ്, കോൺക്രീറ്റ്) അനെലാസ്റ്റിക് രൂപവികാരങ്ങൾ പൊതുവേ ചെറുതാണ്, ചെറിയ ദീർഘീകരണത്തോടുകൂടി തന്നെ പൊട്ടൽ സംഭവിക്കുന്നു. പൊട്ടൽ വരെയായി വസ്തു അനുഭവിക്കുന്ന മൊത്തം ദീർഘീകരണം വസ്തുവിന്റെ വലിച്ചുനീട്ടലക്ഷമതയുടെ (വിപരീതം: ഭംഗുരത്വം) അളവാണ്, കൂടാതെ ഇത് സ്റ്റീലിനായി സാങ്കേതിക നിബന്ധനകളിൽ കൃത്യമായി നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ, പൊട്ടലിന് തൊട്ടുമുമ്പ് കൂടുതൽ രൂപവികാരം ചുറ്റുമുള്ള ചുരുങ്ങിയ പര്യായവിഭാഗ മേഖലകളിലേക്കു കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നതിനാൽ, അളവ് നീളത്തിനായി ദണ്ഡിന്റെ വലിയോ ചെറുതോ ഭാഗം സ്വീകരിക്കുന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് പൊട്ടലിലെ ദീർഘീകരണത്തിന് വ്യത്യസ്ത മൂല്യം ലഭിക്കുന്നു; അതിനാൽ വ്യക്തമായും പരസ്പരം താരതമ്യം ചെയ്യാവുന്നതുമായ ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കാൻ മുൻകൂട്ടി ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട പരമ്പര്യം സ്വീകരിക്കണം. സാധാരണയായി പൊട്ടലിലെ ദീർഘീകരണം ഇങ്ങനെ അളക്കുന്നു: വ്യാസം d ഉള്ള വൃത്തദണ്ഡത്തിൽ പരീക്ഷണത്തിന് മുമ്പ് അളവ് നീളം Ι = 10 d എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തുകയും അതിന്റെ നീളിവ് ΔΙ ൽ നിന്ന് പൊട്ടലിലെ ദീർഘീകരണം εs_Ι = _ΔΙ|Ι ആയി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വ്യത്യസ്ത പര്യായവിഭാഗമുള്ള ദണ്ഡുകൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, അളവ് നീളം അതേ ക്രോസ്-സെക്ഷൻ വിസ്തീർണമുള്ള വൃത്താകൃതിയിലുള്ള സിലിണ്ടർ ദണ്ഡിന്റെ വ്യാസത്തിന് അനുസരിച്ച് നിശ്ചയിക്കുന്നു.

ദീർഘകാല ഭാരം

ടെൻഷൻ പരീക്ഷണത്തിന്റെ പ്രവൃത്തിപാധിയിൽ, ഭാരം തകരുന്നതുവരെ 10 m മിനിറ്റിലോ ഏതാനും മണിക്കൂറുകളിലോ വർധിക്കുന്നുവെന്നത് ഏറെ പ്രാധാന്യമില്ല. എന്നാൽ, ഭാരം വർഷങ്ങളോ ദശകങ്ങളോ പ്രവർത്തിച്ചാൽ, ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ യീൽഡ് പരിധിക്കു താഴെയും സ്ഥിരമായ സമ്മർദ്ദത്തിൽ രൂപഭേദം കാലക്രമേണ അല്പം വർധിക്കുന്നതായി കാണാം. അതിനിടെ, ഇലാസ്റ്റിക് ഭാഗം, അഥവാ അന്തിമമായി ഭാരം നീക്കുമ്പോൾ ഇല്ലാതാകുന്ന ഭാഗം, ശ്രദ്ധേയമായി മാറുന്നില്ല. ദീർഘകാലത്ത് സംഭവിക്കുന്ന ഈ അസ്ഥിത്വരൂപഭേദ വർധനയെ ക്രീപ്പ് എന്നു വിളിക്കുന്നു. ലെഡ് ഒഴികെയുള്ള ലോഹങ്ങളിൽ ക്രീപ്പ് ഉയർന്ന താപനിലകളിൽ മാത്രമാണ് പ്രാധാന്യമുള്ളത്; എന്നാൽ സിവിൽ എഞ്ചിനീയർക്കു ഇത് സമ്മർദ്ദത്തിൽ അല്പം വഴങ്ങുന്ന കോൺക്രീറ്റിൽ പ്രാധാന്യമുണ്ട്, അതോടെ ചുരുക്കിയ റീൻഫോഴ്സ്മെന്റിൽ, അത് ഉണ്ടെങ്കിൽ, സമ്മർദ്ദം വർധിക്കുന്നു.

മാറുന്ന ഭാരം

വലിച്ചുനീട്ടൽ പരീക്ഷണത്തിൽ ലഭിച്ച വസ്തുക്കളുടെ യാന്ത്രിക ഗുണങ്ങൾ ഘടനകളുടെ അനുവദനീയ ഭാരത്തിനുള്ള മാനദണ്ഡമായി ഉപയോഗിക്കാൻ, ഓരോ തവണയും വീണ്ടും ഭാരം ഏർപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഒരിക്കൽ കേടുപാടില്ലാതെ സഹിച്ച സമ്മർദ്ദം വസ്തു സഹിക്കണം എന്നതാണ് വ്യവസ്ഥ. വസ്തു ഭാരം ഏർപ്പെടുത്തലും ഒഴിവാക്കലും പലതവണ ആവർത്തിക്കപ്പെടുന്ന സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഈ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കപ്പെടുന്നില്ല; ഉദാഹരണത്തിന്, പൂര്‍ണ്ണമായി സമതുലിതമല്ലാത്ത യന്ത്രങ്ങളുടെ ജഡബലങ്ങൾ കൊണ്ട് ഭാരം ഏർപ്പെടുന്ന ബീമുകളുടെ കാര്യത്തിൽ അങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു. ഭാരം ഏർപ്പെടുത്തൽ മതിയായ തവണ ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ, സാധാരണ സ്ഥിതിവിവരപരമായ പരിശോധനയിൽ നിശ്ചയിച്ച വസ്തുവിന്റെ ശക്തിയേക്കാൾ ഏറെ താഴെയുള്ള സമ്മർദ്ദത്തിലും ഘടകത്തെ തകരാറിലേക്ക് നയിക്കാം. ഇത്തരത്തിലുള്ള തകരാറിനെ ക്ഷീണത മൂലമുള്ള തകരാർ എന്നു വിളിക്കുന്നു. വസ്തുവിന് സഹിക്കാവുന്ന ഭാരംചക്രങ്ങളുടെ എണ്ണം n സമ്മർദ്ദത്തിന്റെ വലിപ്പം σ-യിൽ ആശ്രയിക്കുന്നു, അതിനാൽ സമ്മർദ്ദം കുറയുന്നതനുസരിച്ച് അത് കൂടുതലായിരിക്കും. ഈ ആശ്രയത്തിന്റെ ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണം ചിത്രം 9 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു; അതിൽ വസ്തുവിന്റെ ശക്തിക്ക് ഒരു താഴ്ന്ന പരിധിയുണ്ടെന്ന് കാണാം, അത് എത്രവലുതായ ഭാരംചക്രങ്ങൾ വന്നാലും സഹിക്കും, അതിനെ ചലനാത്മക വസ്തു ശക്തി എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള രേഖാചിത്രങ്ങൾ (ചിത്രം 9) വോഹ്‌ലർ വളങ്ങൾ എന്നു വിളിക്കുന്നു.

ചിത്രം 9.

ഘടനകളുടെ സുരക്ഷ

ഘടനകൾക്ക് രണ്ടുതരം അതിരുവേലകൾ പ്രധാനമാണ്: ആദ്യ സ്ഥിരമായ ക്ഷതങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്ന ഭാരം (yield പരിധി), കൂടാതെ ഘടനയുടെ വഹനശേഷി തീർന്നുപോയി അത് തകരുന്ന ഭാരം (fracture പരിധി). yield പരിധിക്ക് മുമ്പ് കുറഞ്ഞത് ഏകദേശമായെങ്കിലും വസ്തുശാസ്ത്രത്തിന്റെ അനുമാനങ്ങൾ (ചെറിയ സ്ഥലംമാറ്റങ്ങൾ, Hooke നിയമം) ബാധകമായതിനാൽ, സ്ഥിരമായ രൂപവികൃതികളോടുള്ള സുരക്ഷയെ ഗണിതസംബന്ധമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ മറികടക്കാൻ കഴിയുന്ന എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും വിശ്വസനീയമായി വിലയിരുത്താം. സമ്മർദ്ദം ഭാരത്തിന് അനുപാതമായാൽ, yield സമ്മർദ്ദത്തിന്റെ ഘടനയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന പരമാവധി സമ്മർദ്ദത്തോടുള്ള അനുപാതം yield ഉണ്ടാകുന്ന ഭാരം與 യഥാർത്ഥ ഭാരം എന്നിവയുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാകുന്നു; ഇതാണ് yield-നെതിരെയുള്ള സുരക്ഷാ ഗുണാംശം. എന്നാൽ പല സാഹചര്യങ്ങളിലും ഈ ലളിതബന്ധം നിലനിൽക്കുന്നില്ല: വലിച്ചുനീട്ടൽ ഒഴിവാക്കുന്ന വളർച്ച, ഉച്ചാവസ്ഥയുള്ള ഉപരിതലങ്ങൾക്കിടയിലെ സമ്മർദ്ദം, ഘടന മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന സംവിധാനങ്ങൾ, പ്രത്യേകിച്ച് അനനുകൂലമായത്, അക്ഷീയബലത്തോടെയുള്ള വളർച്ച. ഈ എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും ഭാരത്തിൽ താരതമ്യേന ചെറിയ വർധനവുകൂടി സമ്മർദ്ദത്തിൽ വലിയ വർധനവ് ഉണ്ടാക്കാം; അപ്പോൾ സാധാരണ സുരക്ഷാ ഗുണാംശം സമ്മർദ്ദങ്ങളിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നത് മതിയാകില്ല, അത് ഭാരത്തിൽ തന്നെ പ്രയോഗിക്കണം.

യീൽഡ് പരിധി കവിയുന്നതിൽ നിന്ന് തകർച്ച വരെ നടക്കുന്ന സംഭവങ്ങൾ പല സാഹചര്യങ്ങളിലും ഇനി ഗുണപരമായ രീതിയിൽ മാത്രമേ പിന്തുടരാനാവൂ. വസ്തു നാളികേരമായാൽ, ആദ്യം യീൽഡ് പരിധി എത്തിച്ചേരുന്ന ഭാഗങ്ങൾ, തുടർന്ന് സ്ഥിരമായോ അല്പം വർധിക്കുന്നോ ചെയ്യുന്ന സമ്മർദ്ദത്തിൽ ദേഹവികാരപ്പെടുന്ന അവ, തുടർഭാരം ഏറ്റെടുക്കുന്നതിൽ കുറച്ച് മാത്രമേ പങ്കാളികളാകൂ; അതിനാൽ മറ്റു, കുറച്ച് മാത്രമേ സമ്മർദ്ദത്തിലായിരിക്കുന്ന ഘടനാഭാഗങ്ങൾ, അതിന്റെ ഘടന കണക്കിലെടുത്ത് സാധ്യമെങ്കിൽ, കൂടുതൽ ഭാരം വഹിക്കുന്നതിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു. സമ്മർദ്ദ ഉച്ചങ്ങളുടെ ഈ സമതുലീകരണ പ്രവണതയിൽ ഒരു സുരക്ഷാ സംവരണം নিহിതമാണ്; ചില ഭാഗങ്ങളിൽ ഒരൊറ്റ വലിയ ഭാരം മൂലമുണ്ടാകുന്ന സ്ഥിരവികാരം ഹാനികരമല്ലെങ്കിൽ, ഇത് കണക്കിലൂടെ ഉപയോഗിക്കാം (അന്ത്യഭാര രീതി).

വസ്തു ഭംഗുരമാണെങ്കിൽ, ആദ്യ സ്ഥിരനാശം പൊട്ടലുകളായി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു; അതിന്റെ ഫലമായി അപകടഭരിതമായ സ്ഥലത്ത് സമ്മർദ്ദസാന്ദ്രത കൂടുതൽ വർധിക്കുകയും അത് ഉടൻ തകർച്ചയ്ക്ക് കാരണമാകുകയും ചെയ്യുന്നു. ക്ഷീണത്താൽ ഉണ്ടാകുന്ന തകർച്ച, വലിവുള്ള വസ്തുക്കളിലും, ഭംഗുര ഭേദനത്തിന്റെ സ്വഭാവം തന്നെയാണ് കാണിക്കുന്നത്.

 വിവിധ ക്രോസ്-സെക്ഷണൽ തളങ്ങളിൽ ഉള്ള സമ്മർദ്ദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ

പരിവർത്തന സമവാക്യങ്ങൾ

ചിത്രം 1-ൽ ഉള്ള ഒമ്പത് ഘടകീയ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ മൂന്ന് സമതുല്യതാ നിബന്ധനകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ശേഷിക്കുന്ന ആറ് അളവുകൾ σx, σy, σz τxy, τyz, τzx  എന്നിങ്ങനെ, ഇലാസ്റ്റിസിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ വ്യുത്പന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ വ്യുത്പാദനത്തിൽ കാണുന്നപോലെ, പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി, ഏത് മൂല്യങ്ങളും സ്വീകരിക്കാം. എന്നാൽ ഈ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയാൽ, ഒരു ദൃഢദേഹത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലെ സമ്മർദ്ദാവസ്ഥ പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു; അതായത്, പരസ്പരം ലംബമായ മൂന്ന് തറകളിലെ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ അറിയുന്നുവെങ്കിൽ, നൽകിയ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും നോർമൽ ഏതു ദിശയിലുമുള്ള നാലാമത്തെ തറയിലെ സമ്മർദ്ദവും വ്യക്തമായി നിർണ്ണയിക്കാം.

ചിത്രം 10-ൽ OABC എന്ന ടെത്രാഹീഡ്രൺ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു; അതിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം x, y, z എന്നതിന്റേതായ സമതലങ്ങളോട് സമാന്തരമാണ്, നാലാമത്തേത് യാദൃശ്ചികമായി അഭിമുഖീകരിച്ച ABC = dF. ഉപരിതല ഘടകമാണ്. അതിന്റെ ദിശയും അതിലൂടെ കൈമാറ്റം ചെയ്യുന്ന സമ്മർദ്ദത്തിന്റെ ദിശയും സൂചിപ്പിക്കാൻ, ξ അക്ഷം dF-നോട് ലംബമായ മറ്റൊരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ചിത്രം 10

ξ അക്ഷത്തിന്റെ ദിശയിൽ ഈ ടെറ്റ്രാഹീഡ്രനിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലങ്ങളുടെ സമതുല്യതാ വ്യവസ്ഥ നൽകുന്നത്

ഇത് പരിഗണിച്ചാൽ

ലഭിക്കുന്നു

അതുപോലെ തന്നെ η അച്ചുതണ്ടിന്റെ ദിശയിലെ സമതുല്യതാ നിബന്ധനയിൽ നിന്നും:

ഇവ കോഓർഡിനേറ്റ് മാറ്റത്തിൽ ഉണ്ടായുള്ള സമ്മർദ്ദം കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന സമീകരണങ്ങളാണ്. പ്രത്യേക പ്രാധാന്യമുള്ളത്, dF എന്ന ഉപരിതല ഘടകങ്ങളുടെ അത്തരം ഭാഗങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കേണ്ടതാണെന്നും അവയിൽ ξ-അക്ഷം z-അക്ഷവുമായി ഒത്തുപോകുന്നതാണെന്നും ആണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിനുള്ള രൂപങ്ങൾ മുമ്പത്തെ രൂപങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ 11 ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് വായിക്കാം:

ചിത്രം 11

സാധാരണസമ്മർദ്ദം α = α0 എന്ന ദിശകളിൽ പരമാവധി, പരമാവധി-കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു; ഈ ദിശകൾക്കായി dσξ/dα = 0 ആണ്. വ്യുത്പന്നമെടുക്കുമ്പോൾ സമീകരണം (16) മുതൽ ലഭിക്കുന്നത്

അതിനാൽ, ഈ വ്യാക്തീകരണം ശൂന്യത്തിനു തുല്യമാക്കിയാൽ

സമ്മർദ്ദം τξη ഈ തളങ്ങളിലെ ആകെ ഷിയർ സമ്മർദ്ദവുമാകും, എങ്കിൽ τyz = τzx = 0. അപ്പോൾ സമവാക്യം (17) വഴി പരസ്പരം ലംബമായ രണ്ട് ദിശകൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അവയ്ക്കായി: 1. ആകെ ഷിയർ സമ്മർദ്ദം ശൂന്യമാണ്, കൂടാതെ, 2. സാധാരണ സമ്മർദ്ദം അത്യധിക മൂല്യങ്ങൾ (പരമാവധി, പരമാവധി കുറഞ്ഞത്) എടുക്കുന്നു. ഈ ദിശകളെ പ്രധാന സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെ ദിശകൾ എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത്, അനുബന്ധ സമ്മർദ്ദങ്ങളെ പ്രധാന സമ്മർദ്ദങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവ σ1യും σ2യും ആയി അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു, അവയെ നേരിട്ട് സൂത്രത്തിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കാം

 മോർ-വൃത്തം

സമവാക്യങ്ങൾ (16) ദൃശ്യപരമായി വ്യക്തമായ രീതിയിൽ ചിത്രീകരിക്കാം. അതിനായി അവയെ താഴെപ്പറയുന്ന രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റണം:

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ σ, τ എന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ചി. 12-ൽ വരച്ചിരിക്കുന്ന വൃത്തസമവാക്യത്തിന്റെ പാരാമെട്രിക് രൂപമാണ്; അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 എന്നും അതിന്റെ അർദ്ധവ്യാസം

ഈ വൃത്തത്തെ Mohr-ന്റെ വൃത്തം എന്നു വിളിക്കുന്നു. x ബിന്ദുവിലൂടെ x =const. എന്ന കട്ടിനോട് സമാന്തരമായ ഒരു രേഖ വരച്ചാൽ, അതിലൂടെ σx, τxy എന്നീ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ കൈമാറപ്പെടുന്നു; അത് വൃത്തത്തെ p എന്ന ബിന്ദുവിൽ മുറിക്കും, അതിനെ Mohr-ന്റെ വൃത്തത്തിന്റെ pól എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഈ pól വഴിയായി വരച്ച ഓരോ pξ രേഖയും വൃത്തത്തെ ξ എന്ന ബിന്ദുവിൽ മുറിക്കുന്നു; അതാണ് pξ നോട് സമാന്തരമായ കട്ടിലൂടെ കൈമാറപ്പെടുന്ന σξ, τξη സമ്മർദ്ദങ്ങളെ നിർണയിക്കുന്നത്.

മോർ ക്രൂം വരയ്ക്കുമ്പോൾ സമച്ഛേദ സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെ അടയാളത്തെ കുറിച്ച് ശ്രദ്ധിക്കണം: അവ ചിത്രം 12c-യിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ദിശയാണെങ്കിൽ മുകളിലേക്ക് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ പരസ്പരം അനുബന്ധമായ τxy, τyx എന്ന രണ്ട് സമ്മർദ്ദങ്ങളിൽ ഒന്ന് എല്ലായ്‌പോഴും ധനാത്മകവും മറ്റൊന്ന് ഋണാത്മകവുമാണ്.

സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെ പരിധി മൂല്യങ്ങളായ σ1, σ2 എന്നിവയ്ക്ക് വൃത്തത്തിലെ 1യും 2യുമാണ് അനുയോജ്യം, കൂടാതെ രേഖകൾ _p_1ും _p_2ും പ്രധാന സമ്മർദ്ദങ്ങളുടെ ദിശകൾ നൽകുന്നു.

x-y സമതലത്തിൽ കിടക്കുന്ന സമ്മർദ്ദങ്ങളെ Mahr-ക്രൂം ഉപയോഗിച്ച് കാണിക്കൽ, ഈ സമതലത്തോട് ലംബമായ σz, τxz, τyz സമ്മർദ്ദങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഏതെങ്കിലും അനുമാനത്തിൽ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

ചിത്രം 12

അതുപോലെ, ഏറ്റവും പൊതുവായ ത്രിമാന സമ്മർദ്ദാവസ്ഥയ്ക്കും ഇത് ബാധകമാണ്, എന്നാൽ ഇവിടെ ഒരേ നേരെരേഖയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന മുറിക്കൽ സമതലങ്ങൾ മാത്രമാണ് താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത്; ആ രേഖയെ ഇവിടെ zയും ξയും അക്ഷങ്ങളായി തെരഞ്ഞെടുത്തിരിക്കുന്നു. പൊതുവായ പരിവർത്തന സമവാക്യങ്ങൾ (15) പ്രകാരം സാധാരണ സമ്മർദ്ദം σ ഏതെങ്കിലും മുറിക്കൽ സമതലത്തിനും അനന്തമാകാൻ കഴിയില്ലാത്തതിനാൽ, അത് ഏതെങ്കിലും സമതലത്തിന് അന്തിമ പരമാവധി σ1-ഉം, മറ്റൊരു സമതലത്തിന് കുറഞ്ഞ മൂല്യം σ3-ഉം ഉണ്ടായിരിക്കണം; ഇതിൽ രണ്ടും, സ്വാഭാവികമായി, നെഗറ്റീവായിരിക്കാനും കഴിയും. σ1, σ3 വെക്ടറുകളിലൂടെ ഒരു സമതലം വരച്ച് മോഹറിന്റെ വൃത്തം വരച്ചാൽ (ചിത്രം 13)

ചിത്രം 13

ഈ സമതലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന സമ്മർദ്ദങ്ങൾക്കായി (അഥവാ, ഈ സമതലത്തിന് ലംബമായ എല്ലാ ദിശകൾക്കും), അപ്പോൾ σ1യും σ3യും പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും വലിയതും ഏറ്റവും ചെറിയതുമായ സാധാരണ സമ്മർദ്ദങ്ങളാണ്, അതിനാൽ അവ പരസ്പരം ലംബമായിരിക്കണം. ദിശകൾ 1യും 3യും ദിശ 2 ചേർത്ത് ഈ മൂന്ന് ദിശകളും ഒരു സമകോണ കോഓർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം രൂപപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് കരുതിയും, സമതലങ്ങൾ 1 ~2 ഉം 2 ~ 3 ഉം വേണ്ടി മാഹർ വൃത്തങ്ങൾ വരച്ചാൽ, അപ്പോൾ ഈ വൃത്തങ്ങളിൽ ഒന്നിനായി σ2 ഏറ്റവും വലിയ സാധാരണ സമ്മർദ്ദവും മറ്റൊന്നിനായി ഏറ്റവും ചെറിയ സാധാരണ സമ്മർദ്ദവും ആയിരിക്കും; അതിനാൽ ദിശകൾ 1, 2 आणि 3 ന് ലംബമായ മുറിച്ചിടങ്ങളിൽ ഷിയർ സമ്മർദ്ദം ശൂന്യമാണ്. ഷിയർ സമ്മർദ്ദങ്ങൾക്കൊന്നും അനുബന്ധമല്ലാത്ത, പരസ്പരം ലംബമായ മൂന്നു സാധാരണ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ σ1, σ2 and σ3 നെ മുഖ്യ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

    സ്ട്രെസ്സിന്റെ ത്രിമാനാവസ്ഥയിൽ യീൽഡ് പരിധിയും തകരൽ പരിധിയും

സമ്മർദ്ദാവസ്ഥയെ ഏക-, ദ്വി- അല്ലെങ്കിൽ ത്രിമാനമെന്ന് വിളിക്കുന്നു; മറ്റുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ രേഖീയ, സമതല അല്ലെങ്കിൽ സ്ഥലം സംബന്ധിയായതെന്ന്, ഒരു, രണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നു പ്രധാനം സമ്മർദ്ദങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെയാണു ശൂന്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമെന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചാണ്. ഏറ്റവും കൂടുതൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന നിർമ്മാണ ഘടകങ്ങളിൽ, അതായത് വലിച്ചുനീട്ടപ്പെട്ട, സമ്മർദിതവും വളവേറ്റതുമായ ദണ്ഡങ്ങളിൽ, സമ്മർദ്ദാവസ്ഥ, കുറഞ്ഞത് ഏറ്റവും കൂടുതൽ ലോഡുള്ള സ്ഥാനങ്ങളിൽ എങ്കിലും, ഏകമാനമാണ്; സാമഗ്രി പരിശോധനയിൽ അനുവദനീയമായ സമ്മർദ്ദങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഏറെക്കുറെ മാത്രം പ്രയോഗിക്കുന്ന വലിക്കൽ, സമ്മർദം അല്ലെങ്കിൽ വളവ് പരീക്ഷണങ്ങളിലും അതുപോലെ തന്നെയാണ്. അതിന്റെ വിപരീതമായി, സ്വന്തം സമതലത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ അതിന് ലംബമായി ലോഡ് ചെയ്ത പ്ലേറ്റുകളിലും ഷെല്ലുകളിലും സമ്മർദ്ദാവസ്ഥ ദ്വിമാനമാണ്; ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ ത്രിമാന സമ്മർദ്ദാവസ്ഥകളും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ ഏകമാന സമ്മർദ്ദാവസ്ഥയിൽ നിർണ്ണയിച്ച യീൽഡ് പരിധിയും തകർച്ച പരിധിയും അടിസ്ഥാനമാക്കി സ്ഥലം സംബന്ധിച്ച സമ്മർദ്ദാവസ്ഥയിൽ സാമഗ്രിയുടെ പെരുമാറ്റത്തെക്കുറിച്ച് നിഗമനങ്ങൾ കൈവരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.