Hanfodion
Tasg gwrthiant deunyddiau yw pennu pa rymoedd allanol y gall corff solet eu gwrthsefyll (e.e., adeiladwaith, rhan adeiladol neu dir). Er mwyn ateb y cwestiwn hwn, cychwynnir o ddau faen prawf: ar un llaw, ni ddylai’r straeniau fynd y tu hwnt i derfynau penodol sy’n dibynnu ar fath y deunydd, ac ar y llaw arall rhaid i’r cydbwysedd rhwng y grymoedd allanol a mewnol fod yn sefydlog. Yn unol â hyn, gellir rhannu holl broblemau gwrthiant deunyddiau yn “Broblemau straen” a “phroblemau sefydlogrwydd.”
Yn achos bariau a thrawstiau ac aelodau a luniwyd ohonynt (trawstiau dellt, fframiau), pennir y straen mewn dau gam, hynny yw, yn gyntaf cyfrifir, ar sail y grymoedd allanol a roddir, y grym canlyniadol o’r grymoedd mewnol a drosglwyddir trwy’r croestoriad, ac yna pennir y straen o’r “grymoedd trawstoriadol” hyn. Mae’r rhan gyntaf o’r weithdrefn yn ddisgyblaeth arbennig, helaeth, sef statig adeiladau, sydd â’i ddulliau datblygedig ei hun ac sydd fel arfer yn cael ei wahanu oddi wrth gryfder deunyddiau, y mae ei dasg yn gyfyngedig i bennu straen o’r grymoedd trawstoriadol a roddwyd.
Cysyniadau sylfaenol cryfder deunyddiau
Ceir diffiniad y straen trwy’r ystyriaethau sylfaenol canlynol. Gadewch i system ecwilibriwm o rymoedd allanol weithredu ar y corff. Dychmygwch ein bod wedi rhannu’r corff â thrawstoriad mympwyol yn ddwy ran, ac wedi tynnu un ohonynt ynghyd â’r grymoedd sy’n gweithredu arno; yna rhaid disodli ei weithred ar y rhan arall, er mwyn i gydbwysedd y grymoedd a dosbarthiad yr anffurfiannau aros heb newid, â grymoedd atodol a drosglwyddir trwy arwyneb y trawstoriad. Mae’r grymoedd “mewnol” hyn wedi’u dosbarthu’n barhaus dros arwyneb y trawstoriad, felly mae grym dβ yn cyfateb i bob elfen o’r arwyneb dF. Os ffurfir y cymhareb dβ dF ac y gwneir y trawsnewidiad terfyn dF -> 0, yna mae’r cymhareb hon yn tueddu at y gwerth terfyn a elwir yn straen. Mae’r straen mewn elfen benodol o’r arwyneb, fel dβ, a gellir ei ddadelfennu’n gydrannau normal a thangential i dF, sef y straen normal σ a’r straen llithro τ.
Os tynnir trawstoriadau drwy’r un pwynt i gyfeiriadau gwahanol, bydd straeniau gwahanol yn cyfateb iddynt hefyd. Yn benodol, os caiff ciwb elfenol ei wahanu o’r corff, fel y dangosir yn ffig. 1, ar bob un o’i chwe arwyneb bydd fector straen yn gweithredu, y gellir ei ddadelfennu’n dair cydran i gyfeiriad yr echelinau cyfesurynnol x, y, z. Mae’r straeniau sy’n gweithredu ar ochrau gyferbyn yr arwyneb yn wahanol i’w gilydd, wrth gwrs, dim ond yn nhermau gwahaniaethol, felly dylid gwahaniaethu 3 * 3 = 9 o straeniau cydrannol, a gaiff eu nodi fel a ganlyn:
Rhoddir mynegai’r echelin i’r pwyseddau arferol σ, sef yr echelin y maent yn gorwedd arni, ac ystyrir eu bod yn gadarnhaol os ydynt yn achosi tyniant, yn negyddol os ydynt yn achosi cywasgiad. Mae gan y pwyseddau cneifio τ ddau fynegai; mae’r cyntaf ohonynt yr un fath â mynegai’r pwysedd arferol cyfatebol, ac mae’r ail yn ymwneud â’r echelin i gyfeiriad y mae’r pwysedd cneifio yn gweithredu arni. Os yw cyfeiriad positif y pwysedd arferol cyfatebol yn gyfeiriad yr echelin gydgyfesurynnol bositif (negyddol), yna ystyrir y pwysedd cneifio yn gadarnhaol hefyd os yw’n gweithredu i gyfeiriad yr echelin gydgyfesurynnol bositif (negyddol).
Ffigwr 1.
Cydgyfeiriad straenau cneifio
Os gosodir am y bloc elfenol, ffig. 1, yr amod bod moment pob grym mewn perthynas â’r echelin x yn sero, ceir τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz O hyn, ac o’r ddau hafaliad cyfatebol ar gyfer yr echelinau y a z, ceir bod y straenau cneifio â’r un mynegeion yn hafal i’w gilydd τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Anffurfiadau cydranol
Fod gan y straeniau a ddiffiniwyd uchod ystyr ffisegol, sy’n deillio o’u cysylltiad â’r diffiniad y mae pob corff yn ei ddioddef dan ddylanwad grymoedd allanol. Mae Ffig. 2 yn dangos un bloc elfennol, a oedd cyn y dadffurfiad yn betryal ac â hyd ymylon dx, dy, dz. Gellir nodi hyd yr ymylon ar ôl y dadffurfiad fel dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; gelwir y cymarebau εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz =Δdz|dz yn ehangiadau. Mae’r rhain yn feintiau heb ddimensiwn ac, ym mhob deunydd sy’n dod i ystyriaeth mewn adeiladu, yn fach o gymharu â 1. Heblaw am ymestyn yr ymylon, gall y bloc elfennol dx * dy * dz hefyd newid yr onglau syth gwreiddiol rhwng ei ochrau.
Llun 2. anffurfiad cydranol
Boed i’r ongl rhwng yr arwynebau sy’n cyfarfod ar hyd ymyl OC ar ôl anffurfiad fod yn hafal i 
ac, yn yr un modd, boed y gostyngiad yn yr ongl sgwâr ar hyd ymyl AO yn hafal i γyz, a’r gostyngiad ar hyd ymyl OB yn hafal i γzx. Gelwir y tri newid ongl hyn γxy, γyz, γzx yn lithriadau ac maent hefyd bob amser yn fach o gymharu â 1. Gyda’r chwe chydran ε a γ, diffinnir anffurfiad y ciwboid elfenol yn llwyr yn yr “anffurfiad bach”. Y newid yn yr elfen gyfaint d_V = dx * dy * dz_ yw ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, ac o hynny, wrth anwybyddu cynhyrchion y diladiad fel meintiau bach o drefn uwch, ceir y diladiad ciwbig ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Symudiadau
Gellir disgrifio anffurfiad corff solet yn llawn hefyd yn y modd hwn, sef drwy roi i bob un o’i bwyntiau y dadleoliad a brofwyd gan y pwynt hwnnw. Os caiff dadleoliadau o faint terfynol sy’n cyfateb i symudiad corff anhyblyg eu heithrio o’r arsylwi, trwy fabwysiadu system gyfesurynnau symudol yn y cyfrifiad os oes angen, yna mae’r dadleoliadau cydranol μ, ν, ω bob amser yn feintiau bach, ac mae eu deilliadau mewn perthynas â’r cyfesurynnau yn fach o gymharu â 1. O dan y rhagdybiaeth hon, yn ôl ffig. 3 mae hyd elfen linol OA = dx ar ôl anffurfiad
felly 
(3)
Yn yr un modd, gwelir o ffig. 3 fod y cneifiad γxy γ1 + γ2: a hefyd
(4)
Ffigur 3 llithriad
(5) 
(6)
Gelwir y cysylltiadau hyn yn amodau cydnawsedd ac maent yn nodi y gellir gosod yr elfennau anffurfiedig fel mosaig fel bod y gofod yn cael ei lenwi’n barhaus, na ellir ei gyflawni os yw anffurfiadau’r elfennau’n fympwyol. Mae’r amodau cydnawsedd yn hafaliadau diferential, ac felly, wrth gwrs, mae’r chwe chydran anffurfiad ar gyfer pob ciwb unigol yn annibynnol ar ei gilydd, ond mae eu trefniant mewn unrhyw ardal benodol wedi’i bennu gan yr amodau (5) a (6).
Gan fod yr amodau hyn wedi’u cael drwy wahaniaethu o’r hafaliadau (3) a (4), collir rhan o’r cysylltiadau a oedd yn gynwysedig yn yr hafaliadau gwreiddiol wrth eu deillio. Felly nid yw’n ddigon bod ond un o’r ddwy system hafaliadau hyn yn cael ei bodloni; rhaid bodloni’r ddwy system hafaliadau os oes eisiau sicrhau bod cydnawsedd yr anffurfiad yn cael ei warantu.
Hafaliadau gwahaniaethol system elastigedd
I gyfrifo’r straeniau a’r deformiadau mewn cyrff elastig, defnyddir yr hafaliadau canlynol:
Amodau cydbwysedd elfen gyfaint. Defnyddiwyd yr amodau bod y momentau o amgylch y tair echel yn hafal i sero eisoes wrth ddeillio’r hafaliad (1). Mae’r amodau cydbwysedd grymoedd yn ôl ffig. 4
Llun 4
(7a-c)
Os dynodir cydrannau’r grymoedd cyfaint â X, Y, Z (e.e. pwysau, grym allgyrchol) fesul uned cyfaint. Y cysylltiadau rhwng straeniau a dadffurfiadau. O dan hyn deellir y berthynas rhwng y straeniau cydranol a’r dadffurfiadau cydranol. Yn theori elastigedd, fel rheol dim ond perthynas linol sy’n cael ei hystyried, ac fe’i mynegir gan gyfraith Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
Os caiff yr hafaliadau (8a-c) eu datrys o ran y straeniau, ceir
(8 a)
kso a dau hafaliad cyfatebol. Nid yw cyfraith Hooke a fynegir gan yr hafaliad (8) yn cynrychioli rhyw gyfraith natur wedi’i chyflawni’n llym, ond yn hytrach yn ddelfrydoliad o ymddygiad gwirioneddol, sy’n gwyro oddi wrthi fwy neu lai, yn dibynnu ar y deunydd ac ar faint y straen. O ystyried bod trin mathemategol problem gwrthiant deunyddiau gyda chysylltiadau cymhleth, aflinol rhwng straen a dadffurfiad yn peri llawer mwy o anawsterau a gellir ei chyflawni mewn gwirionedd dim ond yn yr achosion symlaf, rhaid hyd yn oed ar gyfer y deunyddiau hynny (concrit!) y mae eu hymddygiad yn gwyro’n sylweddol oddi wrth gyfraith Hooke, ddefnyddio’r cyfrifiadau sy’n seiliedig arni fel y datrysiad bras cyntaf, ac yn bennaf hefyd yr unig un, sydd gyda llaw fel arfer yn ddefnyddiol iawn ac sy’n rhoi mewnwelediad sy’n fwy na dim ond ansoddol. G = E|2 (1+μ).
Mae’n dilyn yn angenrheidiol o’r berthynas rhwng straen ac anffurfiad (8), o’r hafaliadau trawsnewid (16) ar gyfer straeniau a’r system gyfatebol o hafaliadau ar gyfer anffurfiadau cydranol. Mae E a G yn meddu ar ddimensiwn straen ac, ym mhob deunydd adeiladu, maent yn fawr o gymharu â’r straeniau σ a τ a all godi. Yn seiliedig ar y ffaith hon y mae’r rhagdybiaeth a fabwysiadwyd ym mhobman yn theori elastigedd, sef bod yr anffurfiadau’n fach. Mae’r cyfernod anffurfiad traws (rhif Poisson) μ yn ddi-ddimensiwn ac mae bob amser rhwng 0 a 1/2 .
Y cysylltiadau rhwng anffurfiadau a dadleoliadau cydrannol. Mae’r cysylltiadau hyn yn cael eu rhoi gan yr hafaliadau (3), (4). Maent o natur gwbl geometrig. Mae’r tair system hyn yn rhoi 3+6+6=15 o hafaliadau ar gyfer 15 anhysbys, h.y. ar gyfer 6 o straeniau cydrannol, 6 o anffurfiadau cydrannol a 3 o ddadleoliadau cydrannol. Felly maent yn ddigonol ar gyfer pennu’r anhysbysion hyn. Mae ymdrin yn fathemategol â system mor helaeth o hafaliadau gwahaniaethol, wrth gwrs, yn bosibl dim ond mewn achosion arbennig. Os yn yr hafaliad (8) disodlir yr anffurfiadau cydrannol gan ddadleoliadau cydrannol yn ôl yr hafaliadau (3) a (4), ac yna cyflwynir y straeniau arferol σ a’r straeniau cneifio τ, yn ôl yr hafaliadau (8 d - f), i’r amodau cydbwysedd, haf. (7), ceir hafaliadau gwahaniaethol a elwir yn hafaliadau sylfaenol theori elastigedd.
(9)
lle mae 
yn dynodi gweithredydd Laplace. O ystyried (2) dyma dair hafaliad differynnol gyda thri dadleoliad cydranol μ, ν, ω; o’r rhain, drwy wahaniaethu ar sail (3), (4) a (8), gellir cael yr holl straenau a dadffurfiadau cydranol. Mae hafaliadau (9) yn aml yn bwynt cychwyn defnyddiol ar gyfer astudio achosion arbennig.
Gwaith anffurfio
Diffiniad
Pan gaiff y cludwr ei lwytho, mae pwyntiau gweithredu’r grymoedd allanol yn dioddef dadleoliadau elastig ac mae’r grymoedd yn gwneud rhywfaint o waith wrth wneud hynny. Yn y modd hwn, gall yr egni a ddygir i mewn newid i wahanol ffurfiau. Os caiff y llwyth ei roi’n sydyn, fel bod y broses anffurfio yn digwydd yn gyflym iawn, mae rhan o’r egni hwn yn troi’n egni cinetig, sy’n gwasgaru dros amser, naill ai drwy gael ei drosglwyddo i’r tir fel ton elastig sy’n mynd ar goll i anfeidroldeb, neu drwy drawsnewid yn wres trwy ffrithiant mewnol. Os caiff y llwythi eu rhoi mor ysgafn fel nad oes cynnydd canfyddadwy yn yr egni cinetig, hynny yw, os yw’r llwythi sy’n cynyddu’n raddol, gan ddechrau o sero, mewn cydbwysedd cyson â’r grymoedd mewnol, yna mae’r egni’n amlwg yn cael ei wario’n gyfan gwbl ar anffurfio’r corff, ac yna fe’i gelwir yn waith anffurfio.
Dangosir cyfrifo’r gwaith anffurfiol yn gyntaf ar ddarn sy’n cael ei lwytho mewn tyniant uncyfeiriol (ffig. 5).
Gadewch i’r straen presennol σ a’r ymestyniad cyfatebol ε gael cynyddiadau dσ a dε. Yna bydd y grym σdF ar y llwybr dε * dl yn cyflawni gwaith σdF * dεdl = σdεdV, os yw dV yn dynodi cyfaint y darn. Os yw’r straen yn cynyddu o sero i’w werth terfynol ac mae’r ymestyniad yn unol â hynny o 0 i ε, bydd y gwaith cyfan a gyflawnir fesul uned cyfaint yn gyfystyr â:
Yn yr un modd hefyd, ar gyfer elfen dan straen cneifio τ (ffig. 6) mae’r gwaith dadffurfio fesul uned gyfaint (gwaith dadffurfio penodol, potensial elastig):
lle mai dim ond un o’r pedwar grym τ * dF sy’n gwneud gwaith.
Yn yr achos cyffredinol, pan fo pob un o’r chwe chydran straen yn gweithredu ar yr elfen fach, ceir y gwaith anffurfio penodol drwy adio gwaith y cydrannau unigol o’r straeniau:
(10)
Drwy wahaniaethu mewn perthynas â therfyn uchaf pob un o’r integralau hyn, ceir y perthnasoedd sy’n ddilys yn yr achos mwyaf cyffredinol:
(11)
ac yn yr un modd ar gyfer y deformiadau cydran eraill. Os yw’r corff yn elastig, mae’r un cyflwr straen bob amser yn cyfateb i’r un cyflwr anffurfiad penodol, waeth a gyrhaeddwyd y cyflwr wrth lwytho neu ddadlwytho. Yna mae swyddogaethau unpwysig yn sefyll o dan yr integralau, ac mae’r cyfanswm egni a ddefnyddiwyd wrth lwytho ac yna wrth ddadlwytho’n llwyr yn a = 0, gan fod y terfynau uchaf yn yr achos hwn yn troi’n sero. Felly, ceir yn ôl yr egni cyfan a ddygwyd i’r corff wrth lwytho yn ôl wrth ddadlwytho.
Llun 6
Ffigur 7
Ar gyfer corff nad yw’n gwbl elastig, mae’r berthynas rhwng y straen a’r anffurfiad ar gyfer y cylch llawn o lwytho a dadlwytho yn ffurf a ddangosir yn fras yn ffig. 7 gan y llinellau O A B. Mae’r ynni 
a gyflwynir wrth lwytho yn hafal i’r arwynebedd OAA, ac mae’r ynni a ddychwelir wrth ddadlwytho yn hafal i’r arwynebedd ABA, felly collir y gwaith sy’n cyfateb i’r ardal â haenau croes (gan ei droi’n wres). Os yw’r straen mewn proses oscillaidd yn newid yn gyfnodol rhwng y gwerth terfynol positif 
a’r gwerth terfynol negatif 
, mae’r anffurfiad anelastig yn digwydd mewn modd tebyg i’r hyn a ddangosir gan y llinellau doredig yn ffig. 7 ac, ym mhob cyfnod o’r osgiliad, caiff yr ynni DABCD ei drawsnewid yn wres fesul uned o gyfaint. Gelwir ymddygiad o’r fath wrth anffurfio, lle mae’r anffurfiad yn hwyrio y tu ôl i’r straen, yn hysteresis elastig, ac fe gelwir y gromlin DABCD yn ddolen hysteresis.
Gwaith anffurfiad a chyfraith Hooke
Os cyflwynir deddf Hooke i’r integralau yn hafaliad (10), gellir gwneud yr integreiddio, ac yna ceir y mynegiadau ar gyfer y gwaith anffurfio penodol:
(12a)
(12b)
(12c)
Os cyflwynir yr ail o’r ffurfiau hyn i’r hafaliad (11), ceir eto gyfraith Hooke, hafaliadau (8), yn y ffurf wedi’i datrys yn ôl y straenau. Mae’r datganiad bod gwaith anffurfiad yn dibynnu ar gydrannau’r anffurfiadau, fel y dangosir gan yr hafaliad (12b), felly’n gyfatebol i gyfraith Hooke. Pan fydd yr hafaliad (12c) yn cael ei wahaniaethu yn ôl y straenau, ceir
(13)
Mae’r fformiwlâu hyn, yn wahanol i’r fformiwlâu (11), yn berthnasol yn unig i gyrff sy’n ymddwyn yn ôl cyfraith Hooke ac ni ellir eu cymhwyso pan fo’r cysylltiadau rhwng straen ac anffurfiad yn wahanol. Wrth gwrs, ar ochr dde’r hafaliadau (13) dim ond yr anffurfiadau cydranol a achosir gan y straenau sydd, ac eithrir pob un arall a allai fod wedi codi o ganlyniad i newid tymheredd, ymgripiad, chwyddo, ailgrisialu, ac ati.
SYLWADAU INTEGROL MEWN DAMCANIAETH ELASTIGRWYDD
Symudiadau rhithwir. Egwyddor yr egni potensial lleiaf
Yn union fel y gellir disodli deddf Hooke, hafaliadau (8), ag un hafaliad (12b), felly gellir cyflwyno egwyddor y dadleoliadau rhith hefyd yn lle’r amod ecwilibriwm, fel deddf sylfaenol gyffredinol y mecaneg. Mae’r ddeddf hon yn datgan bod cyflyrau ecwilibriwm yn cael eu nodweddu gan y ffaith bod cyfanswm y gwaith a wneir gan yr holl rymoedd ar newid bach yn y cyflwr anffurfiad yn hafal i sero. Os dynodwn newidiadau bach mewn dadleoliadau elastig fel δμ δν, δω, yna mae’r grymoedd cyfaint a ddiffinnir gan hafaliad (7) yn gwneud gwaith rhith
a’r grymoedd arwyneb px, py, pz sy’n gweithredu ar elfen dF o arwyneb allanol y corff gwaith 
lle mae’r integryn triphlyg yn berthnasol i’r holl gyfaint, a’r integryn dwbl i holl arwyneb allanol y corff. I gyfrifo’r gwaith a gyflawnir gan y grymoedd mewnol defnyddir yr hafaliad (12b), ac felly ceir ar gyfer y gwaith fesul uned gyfaint
Mae egwyddor dadleoliadau rhithwir yn rhoi’r canlynol ar sail hyn
(14)
Os cymerir y llwythi X, Y, Z px, py., pz fel cydrannau’r grym disgyrchiant (pwysau eich hun a llwyth allanol), mae’r integrynnau ar yr ochr dde yn cynrychioli’r egni potensial a gollwyd gan y llwythi hyn, tra bod yr ochr chwith yn cynrychioli cynnydd yn egni potensial (elastig) y corff, fel bod yr egwyddor hon yn datgan bod cyfanswm egni potensial y trawst a’r llwythi sydd arno mewn achos cydbwysedd yn cymryd gwerth eithafol. Os yw’r gwerth eithafol hwn yn isafswm, mae’r cydbwysedd yn sefydlog.
Mae egwyddor yr egni potensial lleiaf, a fynegir gan hafaliad (14), y mynegiad (12b) ar gyfer y gwaith dadffurfio, a’r amodau cydnawsedd dadffurfiadau (5), (6) yn ffurfio system o hafaliadau sy’n ddigonol ar gyfer adeiladu theori elastigedd, ac sydd yn ei hanfod yn gyfwerth â’r system o hafaliadau. Gall y system hon fod yn arbennig o ddefnyddiol mewn achosion lle mae bodloni’r hafaliadau differynnol (9) yn peri anawsterau cyfrifo, ac felly rhaid ceisio ateb bras; er enghraifft, ar gyfer dadleoliadau tybir ymlaen llaw ffurf addas sy’n cynnwys sawl cysonyn rhydd, ac yna pennir y rhain o’r gofyniad bod hafaliad (14) yn cael ei fodloni. Felly, ni cheir datrysiad caeth o’r broblem, ond dim ond yr amcangyfrif gorau y gellir ei gyrraedd gyda’r ffurf ateb a ddewiswyd. Mae pa mor ddigonol yw’r brasamcan yn dibynnu’n bennaf ar y ffurf ateb a fabwysiadwyd, ac mae cymhwyso’r dull hwn yn llwyddiannus felly’n gofyn am fedr a phrofiad.
Egwyddor Castigliano-v
Tra bo’r egwyddor ynni potensial lleiaf yn cymharu pob cyflwr anffurfiad sy’n bodloni amodau cydnawsedd yr anffurfiadau ac yn dewis o’u plith y rhai y mae’r straeniau cyfatebol yn bodloni amodau ecwilibriwm, mae egwyddor Castigliano yn cymharu pob cyflwr straen sy’n bodloni amodau ecwilibriwm ac yn dewis o’u plith y rhai y mae’r anffurfiadau cyfatebol yn bodloni amodau cydnawsedd yr anffurfiadau. Mae’r egwyddor hon yn datgan: o blith yr holl gyflyrau ecwilibriwm posibl, y cyflwr gwirioneddol sy’n digwydd yw’r un y mae’r gwaith anffurfiad lleiaf yn cyfateb iddo. Mae egwyddor Castigliano, ynghyd â’r hafaliad (12c) ar gyfer y gwaith anffurfiad a’r amodau ecwilibriwm, yn ffurfio system hafaliadau sy’n ddigonol ar gyfer adeiladu gwrthiant deunyddiau. Gan fod yr egwyddor hon yn cynnwys cyfraith Hooke, mae’r posibilrwydd o’i chymhwyso yn gysylltiedig â’r rhagdybiaeth y gellir disgrifio’r anffurfiadau yn llawn gan y gyfraith hon. Mae hyn yn gofyn nid yn unig am ymddygiad elastig llinol y deunydd, ond hefyd yn eithrio newidiadau tymheredd.
Ymddygiad deunyddiau uwchlaw terfynau’r elastigedd
Ffenomenau dan lwyth statig
Mae anffurfiad y deunydd dan ddylanwad straen yn ffenomen gymhleth iawn, felly rhaid ei symleiddio mewn gwahanol ffyrdd er mwyn ei deall. Un o’r symleiddiadau hyn yw’r rhagdybiaeth bod y llwythi’n cael eu cymhwyso’n raddol, fel y gwneir, er enghraifft, gyda samplau yn ystod profion tynnol a chywasgol.
Os caiff gwialen ddur sy’n cael ei llwytho mewn tyniant ei hamlygu i lwyth sy’n cynyddu’n raddol a’i ehangiad ε yn cael ei fesur, ceir diagram a ddangosir yn ffig. 8. Ar y dechrau mae’r ehangiad yn fach iawn ac yn gymesur â’r straen, fel y mae cyfraith Hooke yn ei mynnu. O ddechrau straen penodol, mae’r cymesuredd yn dod i ben ac mae’r ehangiad yn cynyddu’n gyflymach. Mae’n anodd pennu union le’r terfyn hwn o gymesuredd. Po fwyaf cywir yw’r mesuriad, isaf y ceir ef. Ar gyfer y rhan fwyaf o ddeunyddiau mae’n gorwedd ar σ = 0, ac mae cyfraith Hooke wedyn yn cynrychioli dim ond yr amcangyfrif cyntaf o ymddygiad elastig, y term cyntaf yn natblygiad cyfres Taylor o’r swyddogaeth ε = ε (σ) yng nghyffiniau’r tarddbwynt cydlynu.
Os caiff y wialen ei rhyddhau, gwelir, pan nad oedd y straen yn rhy fawr, fod yr anffurfiad hefyd yn diflannu, yn unol â chyfraith Hooke. Ond mae hyn hefyd yn newid os eir dros straen penodol sy’n gorwedd yn agos at y terfyn cyfrannedd, sef y terfyn elastigedd; yna mae’r anffurfiad cyffredinol yn cynnwys rhan elastig (dychweliadol) a rhan anelastig (barhaol). Ni ellir pennu’r terfyn elastigedd yn union chwaith; mae’n gorwedd mor isel â hynny po fwyaf yw cywirdeb y mesuriad. Fodd bynnag, gan fod ganddo bwys mawr yn dechnegol, oherwydd ei fod yn cynrychioli’r terfyn pwysigrwydd ym mron pob cyfrifiad mewn gwrthiant deunyddiau, ac ar yr un pryd y terfyn lle mae’r difrod parhaol cyntaf yn codi, fe’i diffinnir yn llym ar gyfer profi samplau drwy ryw gonfensiwn a fabwysiedir, ac felly, er enghraifft, fel terfyn 0.2% dynodir y straen hwnnw y mae’r estyniad parhaol yn cyrraedd 0.2%.
Yn syth ar ôl i’r terfyn elastig gael ei ragori, mae’r anffurfiad yn cynyddu’n sydyn ac mae’n weladwy i’r llygad noeth; dan straen bron yn gyson mae’r wialen yn ymestyn yn barhaus. Gelwir y straen hwn yn derfyn ildio. Yn achos peiriannau hydrolig ar gyfer profi deunyddiau, gellir sylwi hefyd, ar ôl dechrau’r ildio, ar ostyngiad mwy neu lai amlwg yn y straen; fel y nodir ar ffig. 8 gan y gromlin ddotiog; yna gelwir yr uchafswm yn derfyn ildio uchaf, a’r straen ildio cyson sy’n dilyn wedyn yn derfyn ildio is.
Ar ôl cyrraedd elongiad penodol, sydd bron yn gwbl anelastig, mae’r straen yn dechrau codi eto, ac mae’r deunydd yn caledu. Yn yr ardal hon o lwytho ceir gostyngiad amlwg yn nhrawstoriad y wialen oherwydd crebachiad ochr (anelastig), ac mae’r datblygiad pellach yn y diagram straen ac anffurfiad yn dibynnu’n bennaf ar a yw, wrth gyfrifo’r straen σ, grym tyniant P sy’n gweithredu ar y wialen yn cael ei rannu â’r trawstoriad gwreiddiol F0 neu â’r trawstoriad presennol F. At ddibenion technegol mae’r straen P|F0 yn berthnasol. Mae’r straen hwn yn mynd trwy uchafbwynt a elwir yn gryfder y deunydd, a phan gaiff yr uchafbwynt hwn ei basio, mae’r wialen yn culhau’n fawr mewn un man ac yn torri. Mae’r “straen gwirioneddol” P|F yn codi hyd at fethiant.
Ffigur 8.
Mae ymddygiad metelau eraill yn gwyro’n fawr oddi wrth yr hyn a ddisgrifiwyd yma. Nid yw llifo yn amlwg yn aml, ac mae caledu yn dechrau’n union ar ôl mynd dros y terfyn elastigedd. Yn achos deunyddiau brau (carreg, gwydr, concrit) mae’r anffurfiadau anelastig yn fach iawn yn gyffredinol, ac mae methiant yn digwydd eisoes gyda dadleoliad bach. Cyfanswm y dadleoliad a ddioddefir gan y deunydd hyd at fethiant yw mesur o ymestynadwyedd (i’r gwrthwyneb: brauedd) y deunydd, ac ar gyfer dur caiff hwn ei bennu’n fanwl yn y manylebau technegol. Fodd bynnag, oherwydd bod yr anffurfiad pellach yn canolbwyntio’n union cyn y methiant ar y mannau cyfagos o drawsdoriad cul, ceir gwerth gwahanol o ddadleoliad wrth fethiant, yn dibynnu a gymerir rhan fwy neu lai o’r gwialen fel y hyd mesur, felly er mwyn cael canlyniadau pendant a chymharol, rhaid mabwysiadu confensiwn penodol ymlaen llaw. Fel arfer mesurir y dadleoliad wrth fethiant drwy farcio hyd mesur Ι = 10 d ar wialen gron â diamedr d cyn y prawf, a chyfrifo’r dadleoliad wrth fethiant εs_Ι = _ΔΙ|Ι o’i estyniad ΔΙ. Os oes angen profi gwiail â thrawstoriad gwahanol, pennir y hyd mesur yn ôl diamedr gwialen silindrog gron sydd â’r un arwynebedd trawsdoriadol.
Llwytho hirdymor
Ar gyfer cwrs yr arbrawf tynnu nid yw’n fawr o wahaniaeth a yw’r llwyth hyd at fethiant yn cynyddu o fewn 10 m munud neu sawl awr. Fodd bynnag, os yw’r llwyth yn gweithredu am flynyddoedd neu ddegawdau, dan rai amodau gwelir bod y dadffurfiad, hyd yn oed islaw’r terfyn llifo, yn cynyddu’n araf dros amser ar straen cyson. Yn y broses hon, nid yw’r rhan elastig, h.y. y rhan sy’n diflannu wrth ddadlwytho terfynol, yn newid yn sylweddol. Gelwir y cynnydd hwn mewn dadffurfiad anelastig sy’n digwydd dros amser hir yn ymlusgiad. Mewn metelau, ac eithrio plwm, mae ymlusgiad yn bwysig dim ond ar dymheredd uchel; fodd bynnag, i’r peiriannydd adeiladu mae’n chwarae rôl mewn concrit sy’n ildio ychydig dan gywasgiad, fel bod y straen yn cynyddu yn yr atgyfnerthiad dan gywasgiad, os oes un.
Llawnad newidiol
Er mwyn gallu defnyddio’r nodweddion mecanyddol o’r deunydd, a geir yn y prawf tynnol, fel meincnod ar gyfer llwyth a ganiateir strwythurau, rhaid i’r deunydd wrth bob ail-lwytho allu gwrthsefyll y straen a wrthsefyll unwaith heb ddifrod. Nid yw’r amod hwn yn cael ei fodloni os yw’r deunydd yn destun ailadrodd aml o lwytho a dadlwytho, fel sy’n wir, er enghraifft, mewn trawstiau a lwythir gan rymoedd anadweithiol peiriannau sydd heb eu cydbwyso’n llawn. Gyda digon o ailadroddiadau llwytho gellir peri i ran adeiladol dorri hyd yn oed ar straen sydd ymhell islaw cryfder y deunydd a bennir trwy brawf statig arferol. Gelwir y ffenomen hon yn fethiant oherwydd blinder. Mae nifer n o gylchoedd llwytho y gall y deunydd eu gwrthsefyll yn dibynnu ar faint y straen σ, ac felly mae’n fwy po leiaf yw’r straen. Dangosir enghraifft nodweddiadol o’r ddibyniaeth hon yn ffig. 9, lle gwelir bod trothwy is i gryfder y deunydd, y mae’n ei wrthsefyll hyd yn oed ar gyfer nifer mympwyol o fawr o gylchoedd llwytho, ac a elwir yn gryfder deinamig y deunydd. Gelwir diagramau o’r fath (ffig. 9) yn gromliniau Wӧhler.
Llun 9.
Diogelwch strwythurau
Mae dau lwyth terfyn yn bwysig ar gyfer strwythurau: y llwyth y mae’r difrod parhaol cyntaf yn codi oddi tano (terfyn llif), a’r llwyth y mae gallu cynnal y strwythur yn cael ei ddarfod oddi tano, ac yna mae’n torri (terfyn torri). Gan fod rhagdybiaethau mecaneg gwrthiant deunyddiau (symudiadau bach, cyfraith Hooke) yn dal o leiaf yn fras cyn y terfyn llif, gellir amcangyfrif yn ddibynadwy’r diogelwch yn erbyn anffurfiadau parhaol ym mhob achos hynny lle llwyddir i oresgyn y trafferthion mathemategol. Os yw’r straen yn gymesur â’r llwyth, mae’r berthynas rhwng straen y llif a’r straen mwyaf sy’n ymddangos yn y strwythur yn hafal i’r berthynas rhwng y llwyth y mae llif yn codi oddi tano a’r llwyth gwirioneddol, ac mae’n cynrychioli’r cyfernod diogelwch yn erbyn llif. Fodd bynnag, mewn nifer o achosion nid oes y berthynas syml hon yn bodoli: plygu pan gaiff tyniant ei eithrio, gwasgedd rhwng arwynebau chwyddedig, systemau y mae eu strwythur yn amrywiol ac, sy’n arbennig o anffafriol, plygu â grym echelinol. Ym mhob un o’r achosion hyn gall cynnydd cymharol fach yn y llwyth arwain at gynnydd mawr yn y straen, ac yna nid yw’n ddigon cymhwyso’r cyfernod diogelwch arferol i’r straenau, ond rhaid ei gymhwyso i’r llwyth.
Gellir yn y rhan fwyaf o achosion arsylwi’r ffenomenau sy’n digwydd ar ôl mynd y tu hwnt i’r terfyn llifo hyd at y methiant yn ansoddol yn unig. Os yw’r deunydd yn hydwyth, mae’r rhannau lle cyrhaeddwyd y terfyn llifo gyntaf, ac sy’n dadffurfio ymhellach dan straen cyson neu straen sy’n cynyddu ychydig, yn cyfrannu ychydig at gymryd y llwyth pellach, fel bod gweddill y rhannau, sydd dan straen llai, os yw hynny’n bosibl o ystyried strwythur y gwaith, yn cyfrannu mwy at y cario llwyth. Yn y duedd hon at gydweddu brigau’r straen y mae rhyw gronfa ddiogelwch, y gellir ei defnyddio’n gyfrifiadol os nad yw’r dadffurfiad parhaol mewn rhannau unigol, a gododd o un llwyth sylweddol yn unig, yn niweidiol (dull y llwyth terfynol).
Os yw’r deunydd yn frau, mae’r difrod parhaol cyntaf yn amlygu ei hun mewn craciau, ac o’u herwydd mae crynodiad straen hyd yn oed yn gryfach yn y man sydd mewn perygl, sy’n achosi torri ar unwaith. Mae toriad oherwydd blinder, hyd yn oed mewn deunyddiau hydwyth, yn dangos nodweddion torri brau.
Y cysylltiadau rhwng y straen ar gyfer gwahanol arwynebau trawsdoriadol
Hafaliadau trawsnewid
Mae’r naw straen cydranol yn ffig. 1 yn gysylltiedig â thri amod ecwilibriwm. Gall y chwe maint sy’n weddill, σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, dderbyn gwerthoedd mympwyol, yn annibynnol ar ei gilydd, fel y gwelir o ddeilliad hafaliadau gwahaniaethol theori elastigedd. Fodd bynnag, pan roddir y gwerthoedd hyn, mae cyflwr y straen mewn rhyw bwynt o gorff solet wedi’i bennu’n llwyr, h.y. pan fo’r straen ar dri phlan gwahanol berpendicwlar i’w gilydd yn hysbys, gellir pennu’n ddiamwys hefyd y straen ar bedwaredd blan sy’n mynd drwy’r pwynt penodedig a chanddi normal mewn unrhyw gyfeiriad.
Yn ffig. 10 dangosir tetrahedr OABC y mae ei dair ochr yn gyfochrog â phlanau’r system gydlynu x, y, z a’r bedwaredd yn cynrychioli elfen arwyneb wedi’i chyfeirio’n fympwyol ABC = dF. Er mwyn nodi ei gyfeiriad a chyfeiriad y straen a drosglwyddir trwyddo, cyflwynir ail system gydlynu, y mae ei hechelin ξ yn berpendicwlar i dF.
Llun 10
Mae amod ecwilibriwm y grymoedd sy’n gweithredu ar y tetraedr hwn i gyfeiriad echel ξ yn rhoi
Os cymerir i ystyriaeth fod
ceir
a’r un modd, o’r amodau cydbwysedd i gyfeiriad echel η:
Dyma’r hafaliadau a ddefnyddir ar gyfer cyfrifo’r straen wrth drawsnewid cyfesurynnau. O bwys arbennig yw bod dim ond elfennau o arwyneb dF o’r fath yn cael eu hystyried, lle mae’r echel ξ yn cyd-fynd â’r echelin z. Gellir cael y ffurfiau ar gyfer yr achos hwn drwy symleiddio’r ffurfiau blaenorol neu eu darllen yn uniongyrchol o ffig. 11:
Ffigwr 11
Mae’r straen normal yn cymryd gwerthoedd eithafol ar gyfer y cyfeiriadau α = α0 , ar gyfer y rhai y mae dσξ/dα = 0. Trwy wahaniaethu, ceir o hafaliad (16)
felly, pan fo’r mynegiad hwn yn hafal i sero
Bydd y straen τξη ar yr un pryd yn llwyr yn straen cneifio yn yr awyrennau hyn, os yw τyz = τzx = 0. Yna mae hafaliad (17) yn diffinio dau gyfeiriad sy’n berpendicwlar i’w gilydd ar gyfer y rhai y mae: 1. mae’r straen cneifio llwyr yn sero ac, 2. mae’r straen normal yn cymryd gwerthoedd eithafol (uchafswm ac isafswm). Gelwir y cyfeiriadau hyn yn gyfeiriadau’r prif straenau, a gelwir y straenau cyfatebol yn brif straenau. Maent yn cael eu dynodi gan σ1 a σ2 a gellir eu cyfrifo’n uniongyrchol o’r ffurf
Cylch Mohr
Gellir dangos hafaliadau (16) yn graffigol mewn ffordd eglur. I’r diben hwn dylid eu trawsnewid i’r ffurf:
Mae’r hafaliadau hyn yn cynrychioli yn y system gyfesurynnau σ, τ ffurf baramedrig hafaliad cylch, a luniwyd yn ffig. 12, y mae ei gyfesurynnau canol yn σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 a’i radiws yn
Gelwir y cylch hwn yn gylch Mohr. Os tynnir llinell drwy’r pwynt x yn gyfochrog â’r toriad x =const., lle trosglwyddir y straeniau σx, τxy, bydd yn torri’r cylch yn y pwynt p, a elwir yn bolyn cylch Mohr. Mae pob llinell pξ a dynnir drwy’r polyn hwn yn torri’r cylch yn y pwynt ξ, sy’n pennu’r straeniau σξ, τξη, a drosglwyddir trwy’r toriad sy’n gyfochrog â pξ.
O ran arwydd y straeniau cneifiol wrth luniadu cylch Mohr, rhaid cofio eu bod yn cael eu gosod i fyny os oes ganddynt y cyfeiriad a ddangosir yn ffig. 12c. Felly, o’r ddau straen cydgysylltiedig τxy, τyx, mae un bob amser yn gadarnhaol a’r llall yn negyddol.
I’r gwerthoedd terfynol σ1, σ2 o’r straeniau arferol, mae’r pwyntiau 1 a 2 ar y cylch yn cyfateb, ac mae’r llinellau _p_1 a _p_2 yn rhoi cyfarwyddiadau’r prif straeniau.
Nid yw cynrychioli’r straeniau sy’n gorwedd yn y plân x-y trwy gylch Mahr yn gysylltiedig ag unrhyw ragdybiaeth ynghylch y straeniau σz, τxz, τyz sy’n berpendicwlar i’r plân hwn.
Llun 12
Felly mae hyn hefyd yn wir am y cyflwr straen tri dimensiwn mwyaf cyffredinol, os cymherir dim ond yr wynebau torri hynny sy’n mynd i gyd trwy’r un llinell syth, a ddewiswyd yma fel echel z a ξ. Gan nad yw’r straen arferol σ, yn ôl hafaliadau trosi cyffredinol (15), yn gallu dod yn anfeidrol ar gyfer unrhyw wyneb torri, rhaid iddo fod â maksimwm terfynol σ1 ar gyfer un wyneb, ac isafswm σ3 ar gyfer un arall, a gall y ddau, yn ddealladwy, fod yn negyddol hefyd. Os caiff plân ei thynnu trwy’r fectorau σ1 a σ3 a chylch Mohr ei lunio (ffig. 13)
Llun 13
ar gyfer y straeniau sy’n gorwedd yn yr awyren hon (h.y. pob cyfeiriad sy’n berpendicwlar i’r awyren hon), yna σ1 a σ3 yw’r straeniau normal mwyaf a lleiaf a all ymddangos ac felly rhaid iddynt fod yn berpendicwlar i’w gilydd. Os ychwanegir y cyfeiriadau 1 a 3 â’r cyfeiriad 2, fel bod y tri chyfeiriad hyn yn ffurfio system gydgysylltiedig sgwâr, ac os tynnir cylchoedd Mahr ar gyfer yr awyrennau 1 ~2 a 2 ~ 3, yna mae σ2 ar gyfer un o’r cylchoedd hyn yn straen normal mwyaf, ac ar gyfer y llall y lleiaf, ac felly yn y trawstoriadau sy’n berpendicwlar i’r cyfeiriadau 1, 2 a 3 mae’r straen cneifio yn hafal i sero. Gelwir y tri straen normal sy’n berpendicwlar i’w gilydd σ1, σ2 a σ3, ac nad ydynt yn cyfateb i straeniau cneifio, yn brif straeniau.
Terfyn llifo a therfyn methiant mewn cyflwr straen gofodol
Gelwir cyflwr y straen yn un-, dau- neu dri-dimensiynol, fel arall: llinol, gwastad neu ofodol, yn ôl a yw un, dau neu bob un o’r tri phrif straen yn wahanol i sero. Yn achos yr elfennau strwythurol a ddefnyddir amlaf, hynny yw, gwialen mewn tensiwn, mewn cywasgiad ac mewn plygiad, mae cyflwr y straen, o leiaf yn y mannau sydd dan y straen mwyaf, yn un-dimensiynol, ac felly hefyd mewn profion tensiwn, cywasgiad neu blygiad, a ddefnyddir bron yn gyfan gwbl wrth brofi deunyddiau i bennu’r straeniau a ganiateir. I’r gwrthwyneb, mewn platiau sydd wedi’u llwytho yn eu plân eu hun neu’n berpendicwlar iddo, yn ogystal ag mewn plisgyn, mae’r cyflwr straen yn ddau-ddimensiynol, ac mewn rhai achosion ceir hefyd gyflwr straen tri-dimensiynol, fel bod angen tynnu casgliadau, ar sail y terfyn llifo a’r methiant a bennir mewn cyflwr straen un-dimensiynol, am ymddygiad y deunydd mewn achos o gyflwr straen gofodol.