Основи
Завдання опору матеріалів полягає у визначенні, які зовнішні сили може витримати тверде тіло (напр., споруда, конструктивний елемент або ґрунт). Щоб дати відповідь на це питання, виходять із двох критеріїв: з одного боку, напруження не повинні перевищувати певних меж, що залежать від виду матеріалу, а з іншого боку, рівновага між зовнішніми й внутрішніми силами має бути стабільною. Відповідно до цього всі проблеми опору матеріалів можна поділити на “проблеми напружень” і “проблеми стійкості.
У стержнях і балках та конструкціях, складених з них (ферми, рами), визначення напружень виконують у два етапи, а саме так, що спочатку на підставі заданих зовнішніх сил обчислюють рівнодійну внутрішніх сил, які передаються через поперечний переріз, а потім із цих “поперечних сил” визначають напруження. Перший етап становить окрему, велику дисципліну — статику будівельних конструкцій, яка має розроблені власні методи і яку зазвичай відокремлюють від опору матеріалів, завдання якого зводиться до визначення напружень із заданих поперечних сил.
Основні поняття опору матеріалів
До визначення напруження приходять шляхом таких основних міркувань. Нехай на тіло діє урівноважена система зовнішніх сил. Уявімо, що ми довільним перерізом поділили тіло на дві частини і одну з них видалили разом із силами, що на неї діють; тоді її дію на іншу частину, щоб на оворні рівновага сил і розподіл деформацій залишилися незмінними, треба замінити додатковими силами, які передаються через поверхню перерізу. Ці “внутрішні” сили безперервно розподілені по поверхні перерізу, так що кожному елементу поверхні dF відповідає сила dβ. Якщо утворити частку dβ dF і зробити граничний перехід dF -> 0, тоді ця частка прямує до граничного значення, яке називається напруженням. Напруження в певному елементі поверхні є, як і dβ, і може бути розкладене на компоненти, нормальну і дотичну до dF, нормальне напруження σ зсувне напруження τ.
Якщо через одну й ту саму точку провести перерізи в різних напрямах, їм відповідатимуть і різні напруження. Зокрема, якщо з тіла виділити елементарний паралелепіпед, зображений на рис. 1, на кожній із його шести поверхонь діятиме вектор напруження, який можна розкласти на три складові в напрямку координатних осей x, y, z. Напруження, що діють на протилежні сторони поверхні, відрізняються між собою, звичайно, лише на диференціал, тому слід розрізняти 3 * 3 = 9 компонентних напружень, які позначаються так:
Нормальним напруженням σ надається індекс осі, в напрямку якої вони лежать, і їх вважають додатними, якщо вони спричиняють розтяг, від’ємними, якщо спричиняють стиск. Зсувні напруження τ отримують два індекси: перший із них такий самий, як і індекс відповідного нормального напруження, а другий стосується осі, в напрямку якої діє зсувне напруження. Якщо додатний напрям відповідного нормального напруження збігається з напрямом додатної (від’ємної) координатної осі, то зсувне напруження також вважається додатним, якщо діє в напрямку додатної (від’ємної) координатної осі.
Рисунок 1.
Кон’югованість зсувних напружень
Якщо для елементарного паралелепіпеда, рис. 1, поставити умову, що момент усіх сил відносно осі x дорівнює нулю, отримуємо τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Звідси, а також із двох відповідних рівнянь для осей y і z, випливає, що дотичні напруження з однаковими індексами є взаємно рівними τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Компонентальні деформації
Те, що наведені вище напруження мають фізичний зміст, випливає з їхнього зв’язку з визначенням, яке зазнає кожне тіло під дією зовнішніх сил. Рис. 2 показує один елементарний паралелепіпед, який до деформації був прямокутним і мав довжини ребер dx, dy, dz. Довжини ребер після деформації можемо позначити як dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; відношення εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz називаються дилатаціями. Це безрозмірні величини, і для всіх матеріалів, що беруться до уваги в будівництві, вони малі порівняно з 1. Окрім видовження ребер, елементарний паралелепіпед dx * dy * dz може зазнати ще й зміни початково прямих кутів між його сторонами.
Слика 2. компонентальна деформація
Нехай після деформації кут між площинами, що сходяться вздовж ребра OC, дорівнює 
, і так само нехай зменшення прямого кута вздовж ребра AO дорівнює γyz, а зменшення вздовж ребра OB дорівнює γzx. Ці три зміни кутів γxy, γyz, γzx називаються зсувами і також завжди малі порівняно з 1. За шістьма компонентами ε і γ повністю визначається деформація елементарного куба у випадку «деформації в малому». Зміна елемента об’єму d_V = dx * dy * dz_ становить ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, звідки, коли добутки деформацій як малі величини вищого порядку знехтувати, одержуємо кубічну деформацію ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Зміщення
Деформацію твердого тіла можна повністю описати і таким чином, що для кожної з його точок задається переміщення, якого зазнала ця точка. Якщо з розгляду виключити переміщення скінченної величини, що відповідають переміщенню жорсткого тіла, тобто, якщо за потреби в розрахунку прийняти рухому систему координат, тоді й компонентні переміщення μ, ν, ω завжди є малими величинами, а їхні похідні за координатами малі порівняно з 1. За цієї умови, згідно з рис. 3, довжина лінійного елемента OA = dx після деформації
тобто 
(3)
Подібним чином із рис. 3 видно, що зсув γxy γ1 + γ2: а також
(4)
Рис. 3 зсув
(5) 
(6)
Ці зв’язки називаються умовами сумісності й показують, що деформовані елементи можуть складатися як мозаїка так, щоб при цьому простір був безперервно заповнений, чого не можна досягти, якщо деформації елементів довільні. Умови сумісності є диференціальними рівняннями, тож, зрозуміло, всі шість компонент деформації для кожного окремого паралелепіпеда є взаємно незалежними, але їх розташування в кожній скінченно поширеній області пов’язане умовами (5) і (6).
Оскільки ці умови отримано шляхом диференціювання з рівнянь (3) і (4), під час їх виведення втрачається частина зв’язків, що містилися у початкових рівняннях. Тому недостатньо, щоб був виконаний лише один із цих двох систем рівнянь, а необхідно задовольнити обидві системи рівнянь, якщо хочуть забезпечити сумісність деформації.
Диференціальні рівняння системи пружності
Для обчислення напружень і деформацій у пружних тілах слугують такі рівняння:
Умови рівноваги об’ємного елемента. Умови, за яких моменти відносно трьох осей дорівнюють нулю, вже використано під час виведення рівняння (1). Умови рівноваги сил дають згідно з рис. 4
Рис. 4
(7a-c)
Якщо позначити через X, Y, Z компоненти об’ємних сил (наприклад, вагу, відцентрову силу) на одиницю об’єму. Зв’язки між напруженнями та деформаціями. Під цим розуміють зв’язок між компонентами напружень і компонентами деформацій. У теорії пружності, як правило, береться до уваги лише лінійний зв’язок, який виражається законом Гука:
(8a-c)
(8d-f)
Якщо рівняння (8a-c) розв’язати відносно напружень, отримуємо
(8 a)
kso i дві відповідні рівняння. Закон Гука, виражений рівнянням (8), не є якимось суворо виконуваним природним законом, а радше ідеалізацією реальної поведінки, яка більшою або меншою мірою від нього відхиляється залежно від матеріалу та величини напруження. З огляду на те, що математична обробка задачі опору матеріалів зі складними, нелінійними зв’язками між напруженнями та деформаціями спричиняє незрівнянно більші труднощі й може бути справді здійснена лише в найпростіших випадках, навіть для тих матеріалів (бетон!), чия поведінка істотно відхиляється від закону Гука, розрахунки, що ґрунтуються на ньому, слід використовувати як перше, а здебільшого й єдине наближене рішення, яке, до речі, як правило, є дуже придатним і дає уявлення, що є більше ніж просто якісним. G = E|2 (1+μ).
Вона необхідно випливає із зв’язку між напруженням і деформацією (8), із рівнянь перетворення (16) для напружень та відповідної системи рівнянь для компонентних деформацій E і G мають розмірність напруження і для всіх будівельних матеріалів є великими порівняно з напруженнями σ і τ, які можуть виникати. На цій обставині ґрунтується припущення, прийняте всюди в теорії пружності, що деформації малі. Коефіцієнт поперечної дилатації (число Пуассона) μ є безрозмірним і завжди лежить між 0 і 1/2 .
Зв’язки між компонентними деформаціями і переміщеннями. Ці зв’язки задані рівняннями (3), (4). Вони мають суто геометричну природу. Ці три системи дають 3+6+6=15 рівнянь для 15 невідомих, тобто для 6 компонентних напружень, 6 компонентних деформацій і 3 компонентних переміщень. Вони, отже, достатні для визначення цих невідомих. Математичне розв’язання такої об’ємної системи диференціальних рівнянь можливе, зрозуміло, лише у спеціальних випадках. Якщо в рівнянні (8) компонентні деформації замінити компонентними переміщеннями згідно з рівняннями (3) і (4), а потім нормальні напруження σ і зсувні напруження τ, згідно з рівняннями (8 d - f), підставити в умови рівноваги, рівн. (7), одержують диференціальні рівняння, які називаються основними рівняннями теорії пружності.
(9)
при цьому 
позначено оператор Лапласа. З огляду на (2) це три диференціальні рівняння з трьома компонентними переміщеннями μ, ν, ω; з них диференціюванням на основі (3), (4) і (8) можна одержати всі компонентні напруження і деформації. Рівняння (9) часто становлять зручну вихідну точку для вивчення спеціальних випадків.
Деформаційна робота
Визначення
Коли конструкцію навантажують, точки прикладання зовнішніх сил зазнають пружних переміщень, і при цьому сили виконують певну роботу. У такий спосіб внесена енергія може переходити в різні форми. Якщо навантаження прикладається раптово, так що процес деформації має значну швидкість, одна частина цієї енергії перетворюється на кінетичну енергію, яка з часом розсіюється або так, що передається в ґрунт як пружна хвиля, яка зникає в безмежності, або так, що внутрішнім тертям перетворюється на тепло. Якщо навантаження прикладають так повільно, що при цьому не виникає помітного приросту кінетичної енергії, тобто якщо навантаження, що поступово зростають від нуля, перебувають у постійній рівновазі з внутрішніми силами, енергія очевидно витрачається виключно на деформування тіла і тоді називається деформаційною роботою.
Обчислення роботи деформації ми спершу покажемо на елементі, навантаженому на розтягнення в одному напрямі (рис. 5).
Нехай наявне напруження σ і відповідна деформація ε зазнають приростів dσ і dε. Тоді сила σdF на шляху dε * dl виконає роботу σdF * dεdl = σdεdV, якщо dV позначає об’єм елемента. Якщо напруження зростає від нуля до свого кінцевого значення, а деформація відповідно від 0 до ε, то загальна виконана робота на одиницю об’єму становитиме:
Аналогічно і для елемента, навантаженого зсувним напруженням τ (рис. 6), деформаційна робота на одиницю об’єму (питома деформаційна робота, пружний потенціал):
при чому лише одна з чотирьох сил τ * dF виконує роботу.
У загальному випадку, коли на елементарну частинку діють усі шість компонент напружень, отримують питомі деформаційні роботи шляхом додавання робіт окремих компонент напружень:
(10)
Диференціюванням за верхньою межею кожного з цих інтегралів одержують співвідношення, що справджуються в найзагальнішому випадку:
(11)
і так само для інших компонентних деформацій. Якщо тіло пружне, кожному певному стану напруження завжди відповідає той самий стан деформації, незалежно від того, чи цей стан досягнуто під час навантаження, чи розвантаження. Тоді під інтегралами стоять однозначні функції, і повна енергія, витрачена під час навантаження та потім повного розвантаження, дорівнює a = 0, з огляду на те, що в цьому випадку верхні межі інтегралів стають нульовими. Отже, вся енергія, передана тілу під час навантаження, повертається під час розвантаження.
Слика 6
Малюнок 7
Для неповністю пружного тіла зв’язок між напруженнями та деформаціями за весь цикл навантаження і розвантаження має форму, приблизно показану на рис. 7 лініями O A B. Енергія 
, внесена під час навантаження, дорівнює площі OAA, а енергія, повернена під час розвантаження, — площі ABA, тому втрачається (перетворюється на тепло) робота, що відповідає заштрихованій площі. Якщо в осциляційному процесі напруження періодично змінюється між позитивним граничним значенням 
і негативним граничним значенням, 
непружна деформація відбувається подібно до того, як показано пунктирними лініями на рис. 7, і під час кожного періоду осциляції в тепло перетворюється на одиницю об’єму енергія DABCD. Таку поведінку під час деформації, за якої деформація відстає від напруження, називають пружним гістерезисом, а криву DABCD — петлею гістерезису.
Деформаційна робота і закон Гука
Якщо в інтеграли в рівнянні (10) підставити закон Гука, можна виконати інтегрування, і для питомої роботи деформації отримують вирази:
(12a)
(12b)
(12c)
Якщо другу з цих форм підставити в рівняння (11), знову отримуємо закон Гука, рівняння (8), у формі, розв’язаній відносно напружень. Твердження, що деформаційна робота залежить від компонент деформацій, як показано рівнянням (12b), є, отже, еквівалентним закону Гука. Коли рівняння (12c) диференціюють за напруженнями, отримують
(13)
Ці формули, на відміну від формул (11), справедливі лише для тіл, що поводяться відповідно до закону Гука, і не можуть застосовуватися, коли зв’язки між напруженнями та деформаціями інші. Зрозуміло, що в правій частині рівнянь (13) містяться лише компонентальні деформації, спричинені напруженнями, а всі інші, що могли виникнути внаслідок зміни температури, повзучості, набухання, рекристалізації тощо, виключаються.
ІНТЕГРАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ В ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
Віртуальні переміщення. Принцип мінімуму потенційної енергії
Як закон Гука, рівняння (8) можна замінити одним рівнянням (12b), так само і замість умов рівноваги можна ввести принцип віртуальних переміщень як загальновизнаний основний закон механіки. Цей закон стверджує, що стани рівноваги характеризуються тим, що при них загальна виконана робота всіх сил за малого зміщення стану деформації дорівнює нулю. Якщо малі зміни пружних переміщень позначити δμ δν, δω, тоді об’ємні сили, визначені рівнянням (7), виконують віртуальну роботу
а поверхневі сили px, py, pz, що діють на елемент dF зовнішньої поверхні тіла роб 
при цьому потрійний інтеграл відноситься до всього об’єму, а подвійний — до всієї зовнішньої поверхні тіла. Для обчислення роботи, яку виконують внутрішні сили, використовують рівняння (12b), тож для роботи на одиницю об’єму отримують
Принцип віртуальних переміщень на цій основі дає
(14)
Якщо навантаження X, Y, Z px, py., pz розглядати як складові сили тяжіння (власна вага і зовнішнє навантаження), то інтеграли праворуч являють собою потенційну енергію, яку втратили ці навантаження, тоді як ліва частина являє собою приріст потенційної (пружної) енергії тіла, так що цей принцип стверджує, що сумарна потенційна енергія несучої конструкції та вантажів, які на ній лежать, у разі рівноваги має екстремальне значення. Якщо це екстремальне значення є мінімумом, рівновага є стійкою.
Принцип мінімуму потенційної енергії, виражений рівнянням (14), вираз (12b) для деформаційної роботи, умови сумісності деформацій (5), (6) становлять систему рівнянь, достатню для побудови теорії пружності, і яка по суті еквівалентна системі рівнянь. Ця система може бути особливо корисною у випадках, коли задоволення диференціальних рівнянь (9) створює обчислювальні труднощі і тому доводиться шукати наближений розв’язок, напр., для переміщень наперед припускають відповідну форму, що містить кілька вільних констант, а ці константи визначають із вимоги, щоб рівняння (14) було виконане. Таким чином, щоправда, не отримують строгого розв’язку задачі, а лише найкращу апроксимацію, яку можна досягти з вибраною формою розв’язку. Чи є таке наближення достатнім, залежить насамперед від прийнятої форми розв’язку, і успішне застосування цього методу потребує, отже, вправності та досвіду.
Принцип Кастільяно
Тоді як за принципом мінімуму потенціальної енергії порівнюють усі стани деформації, що задовольняють умови сумісності деформацій, і з-поміж них виділяють ті, для яких відповідні напруження задовольняють умови рівноваги, за принципом Кастільяно порівнюють усі стани напружень, що задовольняють умови рівноваги, і з-поміж них виділяють ті, для яких відповідні деформації задовольняють умови сумісності деформацій. Цей принцип формулюється так: з усіх можливих рівноважних станів реально настає той, якому відповідає найменша деформаційна робота. Принцип Кастільяно разом із рівнянням (12c) для деформаційної роботи та умовами рівноваги утворює систему рівнянь, достатню для побудови опору матеріалів. З огляду на те, що цей принцип містить закон Гука, можливість його застосування пов’язана з припущенням, що деформації можна повністю описати цим законом. Це вимагає не лише лінійно пружної поведінки матеріалу, а й виключає зміни температури.
Поведінка матеріалів понад межі пружності
Явища при статичному навантаженні
Деформація матеріалу під впливом напружень є дуже складним явищем, тому її треба в різних напрямках спрощувати, щоб можна було її зрозуміти. Одним із таких спрощень є припущення, що навантаження прикладаються поступово, як це, наприклад, роблять із зразками під час випробування на розтяг і стиск.
Якщо сталевий стрижень, навантажений на розтяг, піддати навантаженню, що поступово зростає, і вимірювати його дилатацію ε, отримуємо діаграму, показану на рис. 8. Спочатку дилатація дуже мала і пропорційна напруженню, як того вимагає закон Гука. Починаючи з певного напруження, пропорційність припиняється і дилатація зростає швидше. Точне положення межі цієї пропорційності важко визначити. Чим точніше вимірювання, тим нижчою вона виявляється. Для більшості матеріалів вона лежить на σ = 0, і закон Гука тоді є лише першим наближенням до пружної поведінки, першим членом розкладу в ряд Тейлора функції ε = ε (σ) поблизу початку координат.
Якщо стержень розвантажити, помітно, що, коли напруження не було надто великим, зникає й деформація, відповідно до закону Гука. Але й це змінюється, якщо перевищено певне напруження, яке лежить поблизу межі пропорційності, так званої межі пружності; тоді загальна деформація складається з пружної (зворотної) і непружної (постійної) частин. Межу пружності також не можна визначити точно, вона тим нижча, чим вища точність вимірювання. Однак, оскільки вона має велике технічне значення, бо є межею застосовності майже всіх розрахунків у опорі матеріалів, а водночас і межею, на якій виникають перші незворотні пошкодження, для випробування зразків її чітко визначають за певною прийнятою конвенцією, тож, наприклад, як межу 0.2% позначають те напруження, за якого незворотна дилатація досягає 0.2%.
Безпосередньо після перевищення межі пружності деформація різко зростає і може бути помітна неозброєним оком; при майже сталому напруженні стрижень безперервно видовжується. Це напруження називають межею текучості. У гідравлічних машинах для випробування матеріалів можна, крім того, після початку текучості помітити більш або менш виражене падіння напруження; як показано на рис. 8 пунктирною кривою; тоді максимум називають верхньою межею текучості, а постійне напруження текучості, що далі настає, — нижньою межею текучості.
Після досягнення певної дилатації, яка є майже повністю нееластичною, напруження знову починає зростати, матеріал зміцнюється. У цій області навантаження відбувається помітне зменшення поперечного перерізу стрижня внаслідок (нееластичного) бічного стиску, і подальший хід діаграми напружень і деформацій залежить насамперед від того, чи при обчисленні напруження σ сила розтягу P, що діє на стрижень, ділиться на початковий переріз F0 чи на поточний переріз F. Для технічних цілей цікавим є напруження P|F0. Це напруження проходить через максимум, який називають міцністю матеріалу, і коли цей максимум перевищено, стрижень у одному місці сильно звужується і рветься. “Справжнє напруження” P|F зростає до руйнування.
Рис. 8.
Поведінка інших металів у багатьох аспектах відхиляється від описаної тут. Течія часто не виражена, а зміцнення починається безпосередньо після перевищення межі пружності. У крихких матеріалів (камінь, скло, бетон) непружні деформації взагалі малі і вже при незначній дилатації настає руйнування. Загальна дилатація, яку матеріал зазнає до руйнування, є мірою пластичності (навпаки: крихкості) матеріалу, і для сталі вона точно регламентується технічними умовами. Однак оскільки безпосередньо перед руйнуванням подальша деформація концентрується на прилеглих місцях звуженого перерізу, отримують різне значення дилатації при руйнуванні залежно від того, чи для вимірювальної довжини беруть більшу чи меншу частину стержня, тому для отримання однозначних і взаємно порівнянних результатів слід наперед прийняти певну конвенцію. Дилатацію при руйнуванні зазвичай вимірюють так, що на круглому стержні діаметром d перед випробуванням позначають вимірювальну довжину Ι = 10 d і з її подовження ΔΙ обчислюють дилатацію при руйнуванні εs_Ι = ΔΙ|Ι._ Якщо потрібно випробовувати стержні іншого перерізу, вимірювальну довжину визначають за діаметром круглого циліндричного стержня, який має ту саму площу поперечного перерізу.
Довготривале навантаження
Для перебігу випробування на розтягнення майже байдуже, чи збільшується навантаження до руйнування протягом 10 mхвилин або кількох годин. Однак якщо навантаження діє роками або десятиліттями, за певних умов спостерігається, що навіть нижче межі текучості деформація при сталому напруженні з часом повільно зростає. При цьому пружна частина, тобто та частина, яка при остаточному розвантаженні зникає, помітно не змінюється. Це збільшення непружної деформації, що відбувається протягом тривалого часу, називається повзучістю. У металів, за винятком свинцю, повзучість має значення лише за високих температур, однак для інженера-будівельника вона відіграє роль у бетоні, який під тиском повільно поступається, так що напруження зростає в стиснутій арматурі, якщо вона є.
Змінне навантаження
Щоб механічні характеристики матеріалу, одержані під час випробування на розтяг, можна було застосувати як міру допустимого навантаження конструкцій, умовою є те, щоб матеріал під час кожного повторного навантаження витримував напруження, яке одного разу без пошкодження витримав. Ця умова не виконується, якщо матеріал піддається частим повторенням навантаження і розвантаження, як це, наприклад, має місце у балок, навантажених інерційними силами недостатньо зрівноважених машин. За достатньо частого повторення навантажень конструктивний елемент може дійти до руйнування навіть при напруженні, що лежить далеко нижче за міцність матеріалу, визначену звичайним статичним випробуванням. Явище руйнування цього виду називається руйнуванням унаслідок втоми. Кількість n циклів навантаження, яку матеріал може витримати, залежить від величини напруження σ, так що вона тим більша, чим менше напруження. Типовий приклад цієї залежності показано на рис. 9, з якого видно, що для міцності матеріалу існує нижня межа, яку він витримує і при довільно великій кількості циклів навантаження, і яка називається динамічною межею міцності матеріалу. Діаграми такого виду (рис. 9) називаються кривими Вьолера.
Рисунок 9.
Безпека конструкцій
Два граничні навантаження є важливими для конструкцій: навантаження, при якому виникають перші незворотні пошкодження (межа текучості), і навантаження, при якому несуча здатність конструкції вичерпується, і вона руйнується (межа руйнування). Оскільки до межі текучості принаймні приблизно справджуються припущення опору матеріалів (малі переміщення, закон Гука), безпеку щодо незворотних деформацій можна надійно оцінити в усіх тих випадках, коли вдається подолати математичні труднощі. Якщо напруження пропорційне навантаженню, то відношення напруження текучості до найбільшого напруження, що виникає в конструкції, дорівнює відношенню між навантаженням, при якому настає текучість, і фактичним навантаженням та становить коефіцієнт запасу щодо текучості. Однак у низці випадків такого простого співвідношення немає: згин за відсутності розтягування, стиск між випуклими поверхнями, системи зі змінною структурою і, що особливо несприятливо, згин з осьовою силою. У всіх цих випадках відносно невелике збільшення навантаження може спричинити значне зростання напруження, і тоді недостатньо застосовувати звичайний коефіцієнт запасу до напружень — його слід застосовувати до навантаження.
Явища, що відбуваються після перевищення межі текучості до руйнування, у більшості випадків можна простежити лише якісно. Якщо матеріал пластичний, частини, в яких межу текучості було досягнуто першими і які далі деформуються за сталого напруження або напруження, що незначно зростає, мало беруть участь у сприйнятті подальшого навантаження, так що інші, менше напружені частини конструкції, якщо це можливо з огляду на її структуру, більше беруть участь у несенні. У цьому прагненні до вирівнювання піків напружень міститься певний запас безпеки, який можна розрахунково використати, якщо постійна деформація окремих частин, що виникла лише за одного значного навантаження, не є шкідливою (метод граничного навантаження).
Якщо матеріал крихкий, перше незворотне пошкодження проявляється в тріщинах, через які в небезпечному місці виникає ще сильніша концентрація напружень, що негайно спричиняє руйнування. Руйнування внаслідок втоми і в розтяжних матеріалах має ознаки крихкого ламання.
Зв’язки між напруженнями для різних площин перерізу
Рівняння перетворення
Дев’ять компонентних напружень на рис. 1 пов’язані трьома умовами рівноваги. Шість решти величин σx, σy, σz τxy, τyz, τzx можуть, незалежно одна від одної, набувати довільних значень, як видно з виведення диференціальних рівнянь теорії пружності. Однак, коли ці величини задані, напружений стан у деякій точці твердого тіла повністю визначений, тобто коли відомі напруження для трьох взаємно перпендикулярних площин, можна однозначно визначити й напруження для деякої четвертої площини, що проходить через дану точку і нормаль до якої має довільний напрям.
На рис. 10 показано тетраедр OABC, три грані якого паралельні площинам системи координат x, y, z, а четверта являє собою довільно зорієнтований елемент поверхні ABC = dF. Для позначення його напряму і напряму напруження, що через нього передається, вводять другу систему координат, вісь ξ якої перпендикулярна до dF.
Рисунок 10
Умова рівноваги сил, що діють на цей тетраедр у напрямку осі ξ, дає
Якщо врахувати, що
отримується
і подібно до цього з умов рівноваги в напрямку осі η:
Ось рівняння, які використовуються для розрахунку напружень під час перетворення координат. Особливо важливо розглядати лише такі елементи поверхні dF, для яких вісь ξ збігається з віссю z. Формули для цього випадку можна отримати, спростивши попередні формули, або безпосередньо з рис. 11:
Рисунок 11
Нормальне напруження набуває екстремальних значень для напрямів α = α0 , для яких dσξ/dα = 0. Диференціюванням з рівняння (16) одержують
тому, коли цей вираз прирівняти до нуля
Напруження τξη одночасно буде повним зсувним напруженням у цих площинах, якщо τyz = τzx = 0. Тоді рівнянням (17) визначено два взаємно перпендикулярні напрями, для яких: 1. повне зсувне напруження дорівнює нулю і, 2. нормальне напруження має екстремальні значення (максимум і мінімум). Ці напрями називаються напрямами головних напружень, а відповідні напруження — головні напруження. Вони позначаються як σ1 і σ2 та можуть бути обчислені безпосередньо за формулою
Коло Мора
Рівняння (16) можна наочно подати графічно. Для цього їх слід перетворити до виду:
Ці рівняння являють собою в системі координат σ, τ параметричну форму рівняння кола, нанесеного на рис. 12, координати центра якого σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0, а його радіус
Це коло називається колом Мора. Якщо через точку x провести пряму, паралельну перерізу x =const., через який передаються напруження σx, τxy, вона перетне коло в точці p, яка називається полюсом кола Мора. Кожна пряма pξ, проведена через цей полюс, перетинає коло в точці ξ, яка визначає напруження σξ, τξη, що передаються через переріз, паралельний до pξ.
Щодо знака зсувних напружень під час побудови кола Мора слід враховувати, що їх наносять угору, якщо вони мають напрям, показаний на рис. 12c. Отже, з двох спряжених напружень τxy, τyx одне завжди додатне, а друге від’ємне.
Граничним значенням нормальних напружень σ1, σ2 відповідають точки 1 і 2 на колі, а прямі _p_1 і _p_2 задають напрями головних напружень.
Зображення напружень, що лежать у площині x-y, за допомогою кола Мора не пов’язане з жодним припущенням щодо напружень σz, τxz, τyz, перпендикулярних до цієї площини.
Слика 12
Те саме, отже, справедливо і для найзагальнішого тривимірного стану напружень, якщо порівнювати лише ті площини перерізу, які всі проходять через одну й ту саму пряму, обрану тут за вісь z і ξ. Оскільки за загальними рівняннями перетворення (15) нормальне напруження σ не може стати нескінченним ні для однієї площини перерізу, то воно повинно мати для однієї площини скінченний максимум σ1, а для іншої — мінімум σ3, обидва з яких, зрозуміло, можуть бути й від’ємними. Якщо через вектори σ1 і σ3 провести площину і накреслити коло Мора (рис. 13)
Слика 13
для напружень, що лежать у цій площині (тобто всі напрями, перпендикулярні до цієї площини), тоді σ1 і σ3 є найбільшим і найменшим нормальними напруженнями, які можуть виникнути, і тому мають бути взаємно перпендикулярними. Якщо напрями 1 і 3 доповнити напрямом 2, так що ці три напрями утворюють прямокутну систему координат, і якщо побудувати кола Мора для площин 1 ~2 та 2 ~ 3, тоді σ2 для одного з цих кіл є найбільшим, а для другого найменшим нормальним напруженням, і тому в перерізах, перпендикулярних до напрямів 1, 2 і 3, дотичне напруження дорівнює нулю. Три взаємно перпендикулярні нормальні напруження σ1, σ2 і σ3, яким не відповідають дотичні напруження, називаються головними напруженнями.
Межа текучості та межа руйнування при просторовому стані напружень
Стан напружень називають одно-, дво- або тривимірним, інакше: лінійним, плоским або просторовим, залежно від того, чи один, два або всі три головні напруження відрізняються від нуля. У конструктивних елементах, що найчастіше застосовуються, тобто в розтягнутому, стиснутому та вигнутому стержні, стан напружень, принаймні в найбільш напружених місцях, є одновимірним, так само як і у випробуваннях на розтяг, стиск або згин, які під час випробування матеріалів майже виключно застосовують для визначення допустимих напружень. Натомість у плитах, навантажених у своїй площині або перпендикулярно до неї, а також у оболонках стан напружень є двовимірним, а в окремих випадках виникають і тривимірні стани напружень, тож необхідно на основі межі текучості та руйнування, визначених при одновимірному стані напружень, робити висновки про поведінку матеріалу у разі просторового стану напружень.