Υλικά: Αντοχή των υλικών και θεωρία ελαστικότητας

Βασικές αρχές

Το αντικείμενο της αντοχής των υλικών είναι να διαπιστώσει ποιες εξωτερικές δυνάμεις μπορεί να αντέξει ένα στερεό σώμα (π.χ. κατασκευή, δομικό στοιχείο ή έδαφος). Για να δοθεί απάντηση σε αυτό το ερώτημα, ξεκινά κανείς από δύο κριτήρια: αφενός οι τάσεις δεν πρέπει να υπερβαίνουν ορισμένα όρια που εξαρτώνται από το είδος του υλικού, και αφετέρου η ισορροπία μεταξύ των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων πρέπει να είναι σταθερή. Σύμφωνα με αυτό, όλα τα προβλήματα αντοχής των υλικών μπορούν να διαιρεθούν σε «Προβλήματα τάσεων» και «προβλήματα ευστάθειας.

Στις ράβδους και δοκούς και στους φορείς που συντίθενται από αυτές (δικτυώματα, πλαίσια) ο προσδιορισμός των τάσεων γίνεται σε δύο στάδια, και μάλιστα έτσι ώστε αρχικά να υπολογίζεται, με βάση τις δοθείσες εξωτερικές δυνάμεις, η συνισταμένη των εσωτερικών δυνάμεων που μεταφέρονται μέσω της εγκάρσιας διατομής, και στη συνέχεια από αυτές τις «διατομικές δυνάμεις» να προσδιορίζονται οι τάσεις. Το πρώτο μέρος της διαδικασίας αποτελεί ιδιαίτερο, εκτεταμένο κλάδο, τη στατική των οικοδομικών κατασκευών, ο οποίος έχει αναπτυγμένες δικές του μεθόδους και ο οποίος συνήθως διαχωρίζεται από την αντοχή των υλικών, της οποίας το έργο περιορίζεται στον προσδιορισμό των τάσεων από τις δοθείσες διατομικές δυνάμεις.

Βασικές έννοιες αντοχής των υλικών

Στον ορισμό της τάσης καταλήγουμε μέσω των ακόλουθων βασικών συλλογισμών. Ας ενεργεί στο σώμα ένα σύστημα ισορροπίας εξωτερικών δυνάμεων. Ας φανταστούμε ότι έχουμε χωρίσει το σώμα με οποιαδήποτε τομή σε δύο μέρη και ότι έχουμε αφαιρέσει το ένα από αυτά μαζί με τις δυνάμεις που δρουν σε αυτό· τότε η δράση του στο άλλο μέρος, ώστε να παραμείνουν αμετάβλητα η ισορροπία των δυνάμεων και η κατανομή των παραμορφώσεων, πρέπει να αντικατασταθεί από πρόσθετες δυνάμεις που μεταφέρονται μέσω της επιφάνειας τομής. Αυτές οι “εσωτερικές” δυνάμεις κατανέμονται συνεχώς στην επιφάνεια της τομής, έτσι ώστε σε κάθε στοιχείο επιφάνειας dF να αντιστοιχεί δύναμη dβ. Αν σχηματίσουμε το πηλίκο dβ dF και κάνουμε το οριακό πέρασμα dF -> 0, τότε αυτό το πηλίκο τείνει σε οριακή τιμή που ονομάζεται τάση. Η τάση σε ένα δεδομένο στοιχείο επιφάνειας είναι, όπως και το dβ, και μπορεί να αναλυθεί σε συνιστώσες κάθετη και εφαπτομενική προς το dF, κανονική τάση σ διατμητική τάση τ.

Αν από το ίδιο σημείο ληφθούν τομές σε διαφορετικές κατευθύνσεις, θα αντιστοιχούν σε αυτές και διαφορετικές τάσεις. Ειδικότερα, αν από το σώμα απομονωθεί ένα στοιχειώδες κυβικό στοιχείο, όπως φαίνεται στο σχ. 1, σε καθεμία από τις έξι έδρες του θα ενεργεί το διάνυσμα τάσης, το οποίο μπορεί να αναλυθεί σε τρεις συνιστώσες κατά τις διευθύνσεις των αξόνων x, y, z. Οι τάσεις που δρουν στις αντίθετες πλευρές της επιφάνειας διαφέρουν μεταξύ τους, φυσικά, μόνο κατά ένα διαφορικό, έτσι ώστε να πρέπει να διακρίνουμε 3 * 3 = 9 συνιστωσών τάσεων, οι οποίες συμβολίζονται ως εξής:

Στις κανονικές τάσεις σ δίνεται δείκτης του άξονα στην κατεύθυνση του οποίου βρίσκονται και θεωρούνται θετικές όταν προκαλούν εφελκυσμό, αρνητικές όταν προκαλούν πίεση. Οι διατμητικές τάσεις τ παίρνουν δύο δείκτες, ο πρώτος από αυτούς είναι ίδιος με τον δείκτη της αντίστοιχης κανονικής τάσης, ενώ ο δεύτερος αναφέρεται στον άξονα προς την κατεύθυνση του οποίου ενεργεί η διατμητική τάση. Αν η θετική κατεύθυνση της αντίστοιχης κανονικής τάσης είναι προς τη θετική (αρνητική) κατευθυντική άξονα, και η διατμητική τάση θεωρείται θετική αν ενεργεί προς τη θετική (αρνητική) κατευθυντική άξονα.

Εικόνα 1.

 Συζυγία των διατμητικών τάσεων

Αν για το στοιχειώδες ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, σχ. 1, τεθεί η συνθήκη ότι η ροπή όλων των δυνάμεων ως προς τον άξονα x είναι μηδέν, προκύπτει ττyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Από εδώ, και από τις δύο αντίστοιχες εξισώσεις για τους άξονες y και z, προκύπτει ότι οι διατμητικές τάσεις με τους ίδιους δείκτες είναι αμοιβαία ίσες ττxy = τyx, ττyz = τzy, ττzx = τxz (1)

Κομπoνεντικές παραμορφώσεις

Ότι οι παραπάνω ορισμένες τάσεις έχουν φυσική σημασία, προκύπτει από τη σχέση τους με τον ορισμό που υφίσταται κάθε σώμα υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων. Το σχήμα 2 παρουσιάζει ένα στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο, το οποίο πριν από την παραμόρφωση ήταν ορθογώνιο και είχε μήκη ακμών dx, dy, dz. Τα μήκη των ακμών μετά την παραμόρφωση μπορούμε να τα σημειώσουμε με dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz· οι λόγοι εx = Δdx|dx, εy = Δdy|dy, εz = Δdz|dz ονομάζονται επιμηκύνσεις. Πρόκειται για μεγέθη χωρίς διαστάσεις και για όλα τα υλικά που λαμβάνονται υπόψη στην οικοδομική είναι μικρά σε σχέση με 1. Εκτός από την επιμήκυνση των ακμών, το στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο dx * dy * dz μπορεί να υποστεί επίσης μεταβολή των αρχικά ορθών γωνιών μεταξύ των πλευρών του.

Εικόνα 2. συνιστώσα παραμόρφωση

Έστω ότι μετά τη παραμόρφωση η γωνία μεταξύ των επιπέδων που συναντώνται κατά μήκος της ακμής OC είναι ίση με και παρόμοια η μείωση της ορθής γωνίας κατά μήκος της ακμής AO είναι ίση με γyz, και η μείωση κατά μήκος της ακμής OB είναι ίση με γzx. Αυτές οι τρεις μεταβολές γωνίας γxy, γyz, γzx ονομάζονται ολισθήσεις και επίσης είναι πάντοτε μικρές σε σχέση με το 1. Με τα έξι συστατικά ε και γ καθορίζεται πλήρως η παραμόρφωση του στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου «παραμόρφωση εν μικρώ». Η μεταβολή του στοιχείου όγκου d_V = dx * dy * dz_ είναι ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, από όπου, όταν παραμεληθούν τα γινόμενα των διαστολών ως μικρά μεγέθη ανώτερης τάξης, προκύπτει η κυβική διαστολή ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)

Μετακινήσεις

Η παραμόρφωση του στερεού σώματος μπορεί επίσης να περιγραφεί πλήρως με τον τρόπο ότι για καθένα από τα σημεία του δίνεται η μετατόπιση που υπέστη το συγκεκριμένο σημείο. Αν από την εξέταση αποκλειστούν οι πεπερασμένες μετατοπίσεις που αντιστοιχούν στη μετακίνηση του άκαμπτου σώματος, με τον τρόπο αυτόν, αν χρειάζεται, με την υιοθέτηση μετακινούμενου συστήματος συντεταγμένων στον υπολογισμό, τότε και οι συνιστώσες μετατοπίσεις μ, ν, ω είναι πάντοτε μικρά μεγέθη, ενώ οι παράγωγοί τους ως προς τις συντεταγμένες είναι μικροί σε σχέση με 1. Υπό αυτή την παραδοχή, σύμφωνα με το σχ. 3 το μήκος του γραμμικού στοιχείου OA = dx μετά την παραμόρφωση

δηλαδή  (3)

Με παρόμοιο τρόπο φαίνεται από το σχ. 3 ότι η ολίσθηση γxy γ1 + γ2: και επίσης

 (4)

Εικόνα 3 ολίσθηση

(5)  (6)

Αυτές οι σχέσεις ονομάζονται συνθήκες συμβατότητας και δηλώνουν ότι τα παραμορφωμένα στοιχεία μπορούν να συναρμολογηθούν σαν μωσαϊκό έτσι ώστε ο χώρος να πληρούται συνεχώς, κάτι που δεν μπορεί να επιτευχθεί αν οι παραμορφώσεις των στοιχείων είναι αυθαίρετες. Οι συνθήκες συμβατότητας είναι διαφορικές εξισώσεις, οπότε, βέβαια, και οι έξι συνιστώσες παραμόρφωσης για κάθε μεμονωμένο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι αμοιβαία ανεξάρτητες, αλλά η διάταξή τους σε κάθε πεπερασμένα εκτεταμένη περιοχή συνδέεται με τις συνθήκες (5) και (6).

Επειδή οι συνθήκες αυτές προέκυψαν με παραγώγιση από τις εξισώσεις (3) και (4), κατά την εξαγωγή τους χάνεται μέρος των σχέσεων που περιέχονται στις αρχικές εξισώσεις. Γι’ αυτό δεν αρκεί να ικανοποιείται μόνο το ένα από αυτά τα δύο συστήματα εξισώσεων, αλλά πρέπει να ικανοποιούνται και τα δύο συστήματα εξισώσεων, αν θέλουμε να εξασφαλιστεί η συμβατότητα της παραμόρφωσης.

Διαφορικές εξισώσεις του συστήματος ελαστικότητας

Για τον υπολογισμό των τάσεων και των παραμορφώσεων στα ελαστικά σώματα χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες εξισώσεις:

Συνθήκες ισορροπίας στοιχειώδους όγκου. Οι συνθήκες ότι οι ροπές γύρω από τους τρεις άξονες είναι ίσες με το μηδέν χρησιμοποιήθηκαν ήδη κατά την παραγωγή της εξίσωσης (1). Οι συνθήκες ισορροπίας των δυνάμεων δίνουν σύμφωνα με τη σχ. 4

Σχήμα 4

(7a-c)

Αν με X, Y, Z σημειωθούν οι συνιστώσες των δυνάμεων όγκου (π.χ. βάρος, φυγόκεντρη δύναμη) ανά μονάδα όγκου. Σχέσεις μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων. Με αυτό νοείται η σχέση μεταξύ των συνιστωσών τάσεων και των συνιστωσών παραμορφώσεων. Στη θεωρία της ελαστικότητας κατά κανόνα λαμβάνεται υπόψη μόνο η γραμμική σχέση, η οποία εκφράζεται με τον νόμο του Hooke:

(8a-c)

(8d-f)

Αν οι εξισώσεις (8a-c) λυθούν ως προς τις τάσεις, προκύπτει

(8 a)

κso και δύο αντίστοιχες εξισώσεις. Ο νόμος του Hooke, όπως εκφράζεται με την εξίσωση (8), δεν αποτελεί κάποια αυστηρά εκπληρωμένη φυσική νομοτέλεια, αλλά ιδεατή απεικόνιση της πραγματικής συμπεριφοράς, η οποία αποκλίνει από αυτήν περισσότερο ή λιγότερο, ανάλογα με το υλικό και το μέγεθος της καταπόνησης. Εφόσον η μαθηματική επεξεργασία του προβλήματος αντοχής των υλικών με πολύπλοκες, μη γραμμικές σχέσεις μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων προκαλεί ασύγκριτα μεγαλύτερες δυσκολίες και μπορεί στην πράξη να εφαρμοστεί μόνο στις απλούστερες περιπτώσεις, πρέπει ακόμη και για εκείνα τα υλικά (σκυρόδεμα!) των οποίων η συμπεριφορά αποκλίνει σημαντικά από τον νόμο του Hooke, οι υπολογισμοί που βασίζονται σε αυτόν να χρησιμοποιούνται ως πρώτη, και κατά κανόνα και μοναδική, προσεγγιστική λύση, η οποία άλλωστε είναι συνήθως πολύ χρήσιμη και παρέχει εικόνα περισσότερο από απλώς ποιοτική. G = E|2 (1+μ).

Προκύπτει αναγκαστικά από τη σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης (8), από τις εξισώσεις μετασχηματισμού (16) για τις τάσεις και από το αντίστοιχο σύστημα εξισώσεων για τις επιμέρους παραμορφώσεις. Τα E και G έχουν τη διάσταση της τάσης και σε όλα τα δομικά υλικά είναι μεγάλα σε σχέση με τις τάσεις σ και τ που μπορεί να εμφανιστούν. Σε αυτό το γεγονός στηρίζεται η παραδοχή που υιοθετείται παντού στη θεωρία της ελαστικότητας, ότι οι παραμορφώσεις είναι μικρές. Ο συντελεστής εγκάρσιας παραμόρφωσης (αριθμός Poisson) μ είναι αδιάστατος και βρίσκεται πάντοτε μεταξύ 0 και 1/2 .

Σχέσεις μεταξύ των συστατικών παραμορφώσεων και μετατοπίσεων. Οι σχέσεις αυτές δίνονται από τις εξισώσεις (3), (4). Είναι καθαρά γεωμετρικής φύσεως. Αυτά τα τρία συστήματα δίνουν 3+6+6=15 εξισώσεις για 15 αγνώστους, δηλαδή για 6 συστατικές τάσεις, 6 συστατικές παραμορφώσεις και 3 συστατικές μετατοπίσεις. Είναι επομένως επαρκείς για τον προσδιορισμό αυτών των αγνώστων. Η μαθηματική αντιμετώπιση ενός τόσο εκτεταμένου συστήματος διαφορικών εξισώσεων είναι, βεβαίως, δυνατή μόνο σε ειδικές περιπτώσεις. Αν στην εξίσωση (8) οι συστατικές παραμορφώσεις αντικατασταθούν από τις συστατικές μετατοπίσεις σύμφωνα με τις εξισώσεις (3) και (4) και στη συνέχεια οι κανονικές τάσεις σ και οι διατμητικές τάσεις τ, σύμφωνα με τις εξισώσεις (8 d - f), εισαχθούν στις συνθήκες ισορροπίας, εξ. (7), προκύπτουν διαφορικές εξισώσεις που ονομάζονται βασικές εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας.

(9)

όπου  σημειώνεται ο τελεστής Laplace. Σε σχέση με το (2) αυτά είναι τρεις διαφορικές εξισώσεις με τρεις συνιστώσες μετατοπίσεων μ, ν, ω· από αυτές, με παραγώγιση με βάση τα (3), (4) και (8) μπορούν να προκύψουν όλες οι συνιστώσες τάσεων και παραμορφώσεων. Οι εξισώσεις (9) αποτελούν συχνά κατάλληλο σημείο εκκίνησης για τη μελέτη ειδικών περιπτώσεων.

Εργασία παραμόρφωσης

Ορισμός

Όταν ο φορέας φορτιστεί, τα σημεία εφαρμογής των εξωτερικών δυνάμεων υφίστανται ελαστικές μετακινήσεις και οι δυνάμεις εκτελούν τότε ένα ορισμένο έργο. Με αυτόν τον τρόπο η προσφερόμενη ενέργεια μπορεί να μεταβληθεί σε διάφορες μορφές. Αν η φόρτιση γίνει απότομα, έτσι ώστε η διαδικασία παραμόρφωσης να έχει σημαντική ταχύτητα, ένα μέρος αυτής της ενέργειας μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια, η οποία με τον χρόνο διαχέεται, είτε με τον τρόπο ότι μεταφέρεται στο έδαφος ως ελαστικό κύμα που χάνεται στο άπειρο, είτε επειδή μετατρέπεται με την εσωτερική τριβή σε θερμότητα. Αν τα φορτία εφαρμόζονται τόσο ήπια ώστε να μην προκύπτει αισθητή αύξηση της κινητικής ενέργειας, δηλαδή αν τα φορτία που αυξάνονται σταδιακά, ξεκινώντας από το μηδέν, βρίσκονται σε διαρκή ισορροπία με τις εσωτερικές δυνάμεις, η ενέργεια προφανώς καταναλώνεται αποκλειστικά για την παραμόρφωση του σώματος και τότε ονομάζεται έργο παραμόρφωσης.

Τον υπολογισμό του παραμορφωσιακού έργου θα τον παρουσιάσουμε πρώτα σε ένα στοιχειώδες τμήμα φορτισμένο σε εφελκυσμό σε μία διεύθυνση (σχ. 5).

Έστω ότι η υπάρχουσα τάση σ και η αντίστοιχη παραμόρφωση ε υφίστανται προσαυξήσεις dσ και dε. Τότε η δύναμη σdF στη διαδρομή dε * dl θα εκτελέσει έργο σdF * dεdl = σdεdV, αν ως dV σημειωθεί ο όγκος του στοιχείου. Αν η τάση αυξάνεται από το μηδέν μέχρι την τελική της τιμή και η παραμόρφωση σύμφωνα με αυτό από 0 έως ε, το συνολικό έργο ανά μονάδα όγκου θα είναι:

Ομοίως και για το στοιχείο που καταπονείται από διατμητική τάση τ (σχ. 6) η παραμορφωσιακή εργασία ανά μονάδα όγκου (ειδική παραμορφωσιακή εργασία, ελαστικό δυναμικό):

με αποτέλεσμα μόνο μία από τις τέσσερις δυνάμεις τ * dF να παράγει έργο.

Στη γενική περίπτωση, όταν σε ένα στοιχειώδες τμήμα δρουν και οι έξι συνιστώσες τάσεων, προκύπτει το ειδικό έργο παραμόρφωσης με άθροιση των έργων των επιμέρους συνιστωσών τάσεων:

(10)

Με παραγώγιση ως προς το άνω όριο καθενός από αυτά τα ολοκληρώματα προκύπτουν οι σχέσεις που ισχύουν στη γενικότερη περίπτωση:

(11)

και παρόμοια για τις υπόλοιπες συστατικές παραμορφώσεις. Αν το σώμα είναι ελαστικό, σε κάθε ορισμένη κατάσταση τάσεων αντιστοιχεί πάντοτε η ίδια κατάσταση παραμόρφωσης, ανεξάρτητα από το αν η κατάσταση επιτεύχθηκε κατά τη φόρτιση ή την αποφόρτιση. Τότε κάτω από τα ολοκληρώματα βρίσκονται μονοσήμαντες συναρτήσεις και η συνολική ενέργεια που καταναλώθηκε κατά τη φόρτιση και κατόπιν την πλήρη αποφόρτιση είναι a = 0, δεδομένου ότι σε αυτή την περίπτωση τα άνω όρια των ολοκληρωμάτων γίνονται μηδέν. Επομένως, η συνολική ενέργεια που δόθηκε στο σώμα κατά τη φόρτιση ανακτάται κατά την αποφόρτιση.

Εικόνα 6

Εικόνα 7

Για ένα μη πλήρως ελαστικό σώμα η σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων για ολόκληρο τον κύκλο φόρτισης και αποφόρτισης έχει μορφή περίπου όπως φαίνεται στο σχ. 7 με τις γραμμές O A B. Η ενέργεια που προσφέρεται κατά τη φόρτιση είναι ίση με την επιφάνεια OAA, και η ενέργεια που επιστρέφεται κατά την αποφόρτιση με την επιφάνεια ABA, έτσι ώστε να χάνεται (να μετατρέπεται σε θερμότητα) το έργο που αντιστοιχεί στη σκιασμένη επιφάνεια. Αν σε μια ταλαντωτική διαδικασία η τάση μεταβάλλεται περιοδικά μεταξύ της θετικής οριακής τιμής και της αρνητικής οριακής τιμής, η ανελαστική παραμόρφωση εξελίσσεται παρόμοια όπως φαίνεται με διακεκομμένες γραμμές στο σχ. 7 και σε κάθε περίοδο ταλάντωσης μετατρέπεται ανά μονάδα όγκου σε θερμότητα η ενέργεια DABCD. Αυτή η συμπεριφορά κατά την παραμόρφωση, κατά την οποία η παραμόρφωση υστερεί ως προς την τάση, ονομάζεται ελαστική υστέρηση, και η καμπύλη DABCD βρόχος υστέρησης.

Έργο παραμόρφωσης και νόμος του Hooke

Αν στους ολοκληρωτικούς όρους στην εξίσωση (10) εισαχθεί ο νόμος του Hooke, μπορεί να γίνει η ολοκλήρωση, οπότε για την ειδική ενέργεια παραμόρφωσης προκύπτουν οι εκφράσεις:

(12a)

(12b)

(12c)

Αν η δεύτερη από αυτές τις μορφές εισαχθεί στην εξίσωση (11), προκύπτει ξανά ο νόμος του Hooke, οι εξισώσεις (8), στη μορφή λυμένη ως προς τις τάσεις. Η διατύπωση ότι το παραμορφωσιακό έργο εξαρτάται από τις συνιστώσες των παραμορφώσεων, όπως παρουσιάζεται με την εξίσωση (12b), είναι συνεπώς ισοδύναμη με τον νόμο του Hooke. Όταν η εξίσωση (12c) διαφοροποιείται ως προς τις τάσεις, προκύπτει

(13)

Αυτά τα σχήματα, σε αντίθεση με τα σχήματα (11), ισχύουν μόνο για σώματα που συμπεριφέρονται σύμφωνα με τον νόμο του Hooke και δεν μπορούν να εφαρμοστούν όταν οι σχέσεις μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων είναι διαφορετικές. Εννοείται ότι στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων (13) βρίσκονται μόνο οι συνιστώσες παραμορφώσεις που προκαλούνται από τις τάσεις, ενώ αποκλείονται όλες οι άλλες που ενδεχομένως να προέκυψαν λόγω μεταβολής της θερμοκρασίας, ερπυσμού, διόγκωσης, ανακρυστάλλωσης κ.λπ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Εικονικές μετατοπίσεις. Αρχή του ελάχιστου δυναμικού έργου

Όπως ο νόμος του Hooke, οι εξισώσεις (8) μπορούν να αντικατασταθούν από μία εξίσωση (12b), έτσι και αντί των συνθηκών ισορροπίας μπορεί να εισαχθεί η αρχή των εικονικών μετατοπίσεων, ως γενικά ισχύων θεμελιώδης νόμος της μηχανικής. Ο νόμος αυτός δηλώνει ότι οι καταστάσεις ισορροπίας χαρακτηρίζονται από το ότι σε αυτές το συνολικό έργο όλων των δυνάμεων κατά μια μικρή μεταβολή της κατάστασης παραμόρφωσης είναι ίσο με το μηδέν. Αν τις μικρές μεταβολές των ελαστικών μετατοπίσεων σημειώσουμε δμ δν, δω, τότε οι χωρικές δυνάμεις που ορίζονται από την εξίσωση (7) εκτελούν εικονικό έργο

και οι επιφανειακές δυνάμεις px, py, pz που δρουν στο στοιχείο dF της εξωτερικής επιφάνειας του σώματος εργασία 

όπου το τριπλό ολοκλήρωμα αναφέρεται σε ολόκληρο τον όγκο, ενώ το διπλό σε ολόκληρη την εξωτερική επιφάνεια του σώματος. Για τον υπολογισμό του έργου που εκτελούν οι εσωτερικές δυνάμεις χρησιμοποιείται η εξίσωση (12b), οπότε για το έργο ανά μονάδα όγκου προκύπτει

Η αρχή των εικονικών μετατοπίσεων δίνει ως εκ τούτου

(14)

Αν τα φορτία X, Y, Z px, py., pz θεωρηθούν ως συνιστώσες της δύναμης βαρύτητας (ίδιο βάρος και εξωτερικό φορτίο), τα ολοκληρώματα στη δεξιά πλευρά αντιπροσωπεύουν την δυναμική ενέργεια που έχασαν αυτά τα φορτία, ενώ η αριστερή πλευρά αντιπροσωπεύει την αύξηση της δυναμικής (ελαστικής) ενέργειας του σώματος, έτσι ώστε αυτή η αρχή να δηλώνει ότι η συνολική δυναμική ενέργεια του φορέα και των φορτίων που βρίσκονται επάνω του, στην περίπτωση ισορροπίας, έχει ακραία τιμή. Αν αυτή η ακραία τιμή είναι ελάχιστο, η ισορροπία είναι σταθερή.

Η αρχή του ελαχίστου της δυναμικής ενέργειας, εκφρασμένη με την εξίσωση (14), η παράσταση (12b) για το παραμορφωτικό έργο, οι συνθήκες συμβατότητας των παραμορφώσεων (5), (6) αποτελούν σύστημα εξισώσεων που είναι επαρκές για τη θεμελίωση της θεωρίας της ελαστικότητας και το οποίο είναι κατ’ ουσίαν ισοδύναμο με το σύστημα εξισώσεων. Αυτό το σύστημα μπορεί να είναι ιδιαίτερα χρήσιμο σε περιπτώσεις όπου η ικανοποίηση των διαφορικών εξισώσεων (9) δημιουργεί υπολογιστικές δυσκολίες και γι’ αυτό πρέπει να αναζητηθεί προσεγγιστική λύση, π.χ. για τις μετατοπίσεις να υποτεθεί εκ των προτέρων κατάλληλη μορφή που περιέχει μερικές ελεύθερες σταθερές, και αυτές να προσδιοριστούν από την απαίτηση να ικανοποιείται η εξίσωση (14). Έτσι βέβαια δεν προκύπτει ακριβής λύση του προβλήματος, αλλά μόνο η καλύτερη προσέγγιση που μπορεί να επιτευχθεί με την επιλεγμένη μορφή λύσης. Αν η προσέγγιση είναι επαρκής, εξαρτάται πρωτίστως από την υιοθετημένη μορφή λύσης, και η επιτυχής εφαρμογή αυτής της μεθόδου απαιτεί επομένως δεξιότητα και εμπειρία.

Αρχή του Castigliano

Ενώ στον αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας συγκρίνονται όλες οι καταστάσεις παραμόρφωσης που ικανοποιούν τις συνθήκες συμβατότητας των παραμορφώσεων και από αυτές επιλέγονται εκείνες για τις οποίες οι αντίστοιχες τάσεις ικανοποιούν τις συνθήκες ισορροπίας, στον αρχή του Castigliano συγκρίνονται όλες οι καταστάσεις τάσεων που ικανοποιούν τις συνθήκες ισορροπίας και από αυτές επιλέγονται εκείνες για τις οποίες οι αντίστοιχες παραμορφώσεις ικανοποιούν τις συνθήκες συμβατότητας των παραμορφώσεων. Η αρχή αυτή ορίζει: από όλες τις δυνατές καταστάσεις ισορροπίας πραγματική είναι εκείνη στην οποία αντιστοιχεί το μικρότερο έργο παραμόρφωσης. Η αρχή του Castigliano μαζί με την εξίσωση (12c) για το έργο παραμόρφωσης και τις συνθήκες ισορροπίας συγκροτεί ένα σύστημα εξισώσεων που επαρκεί για τη διαμόρφωση της αντοχής των υλικών. Δεδομένου ότι η αρχή αυτή περιέχει τον νόμο του Hooke, η δυνατότητα εφαρμογής της συνδέεται με την υπόθεση ότι οι παραμορφώσεις μπορούν να περιγραφούν πλήρως από αυτόν τον νόμο. Αυτό απαιτεί όχι μόνο γραμμικά ελαστική συμπεριφορά του υλικού, αλλά και αποκλείει τις μεταβολές θερμοκρασίας.

Συμπεριφορά των υλικών πέρα από τα όρια της ελαστικότητας

Φαινόμενα κατά τη στατική φόρτιση

Η παραμόρφωση των υλικών υπό την επίδραση τάσεων είναι ένα πολύ περίπλοκο φαινόμενο, έτσι ώστε πρέπει να απλουστεύεται με διάφορους τρόπους για να μπορεί να γίνει κατανοητό. Μία από αυτές τις απλουστεύσεις είναι η υπόθεση ότι τα φορτία εφαρμόζονται βαθμιαία, όπως, π.χ., γίνεται με τα δοκίμια κατά τις δοκιμές εφελκυσμού και θλίψης.

Αν μια χαλύβδινη ράβδος, καταπονημένη σε εφελκυσμό, υποβληθεί σε φορτίο που αυξάνεται σταδιακά και μετρηθεί η επιμήκυνσή της ε, προκύπτει το διάγραμμα που φαίνεται στο σχ. 8. Στην αρχή η επιμήκυνση είναι πολύ μικρή και ανάλογη της τάσης, όπως απαιτεί ο νόμος του Hooke. Από μια ορισμένη τάση και μετά η αναλογικότητα παύει και η επιμήκυνση αυξάνεται ταχύτερα. Η ακριβής θέση του ορίου αυτής της αναλογικότητας δύσκολα μπορεί να προσδιοριστεί. Όσο ακριβέστερη είναι η μέτρηση, τόσο χαμηλότερα προκύπτει. Για τα περισσότερα υλικά βρίσκεται στο σ = 0, και ο νόμος του Hooke τότε αντιπροσωπεύει μόνο την πρώτη προσέγγιση της ελαστικής συμπεριφοράς, τον πρώτο όρο της ανάπτυξης σε σειρά Taylor της συνάρτησης ε = ε (σ) γύρω από την αρχή των αξόνων.

Αν η ράβδος αποφορτιστεί, παρατηρείται ότι, όταν η τάση δεν ήταν υπερβολικά μεγάλη, εξαφανίζεται και η παραμόρφωση, σύμφωνα με τον νόμο του Hooke. Αλλά και αυτό μεταβάλλεται αν ξεπεραστεί μια ορισμένη τάση που βρίσκεται κοντά στο όριο αναλογικότητας, το λεγόμενο όριο ελαστικότητας· τότε η συνολική παραμόρφωση αποτελείται από ελαστικό (αναστρέψιμο) και ανελαστικό (μόνιμο) μέρος. Ούτε το όριο ελαστικότητας μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια· βρίσκεται τόσο χαμηλότερα όσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια της μέτρησης. Ωστόσο, επειδή έχει μεγάλη τεχνική σημασία, καθώς αποτελεί το όριο ισχύος σε σχεδόν όλους τους υπολογισμούς στη μηχανική αντοχή των υλικών, και ταυτόχρονα το όριο στο οποίο εμφανίζονται οι πρώτες μόνιμες βλάβες, για τη δοκιμή των δειγμάτων ορίζεται αυστηρά με κάποια καθιερωμένη σύμβαση, και έτσι, π.χ., ως όριο 0.2% σημειώνεται εκείνη η τάση στην οποία η μόνιμη επιμήκυνση φθάνει το 0.2%.

Αμέσως μετά την υπέρβαση του ορίου ελαστικότητας, η παραμόρφωση αυξάνεται απότομα και μπορεί να παρατηρηθεί με γυμνό μάτι· υπό σχεδόν σταθερή τάση η ράβδος επιμηκύνεται συνεχώς. Αυτή η τάση ονομάζεται όριο διαρροής. Στις υδραυλικές μηχανές δοκιμής υλικών μπορεί επιπλέον να παρατηρηθεί, μετά την έναρξη της διαρροής, μια περισσότερο ή λιγότερο έντονη πτώση της τάσης, όπως επισημαίνεται στη σχ. 8 με διακεκομμένη καμπύλη· τότε το μέγιστο ονομάζεται ανώτερο όριο διαρροής, ενώ η σταθερή τάση διαρροής που ακολουθεί είναι το κατώτερο όριο διαρροής.

Αφού επιτευχθεί μια ορισμένη επιμήκυνση, η οποία είναι σχεδόν πλήρως ανελαστική, η τάση αρχίζει να αυξάνεται ξανά· το υλικό σκληραίνει. Σε αυτήν τη φάση φόρτισης εμφανίζεται αισθητή μείωση της διατομής της ράβδου λόγω της (ανελαστικής) πλευρικής συστολής, και η περαιτέρω εξέλιξη του διαγράμματος τάσης και παραμόρφωσης εξαρτάται πρωτίστως από το αν, κατά τον υπολογισμό της τάσης σ, η εφελκυστική δύναμη P που ενεργεί στη ράβδο διαιρείται με την αρχική διατομή F0 ή με την τρέχουσα διατομή F. Για τεχνικούς σκοπούς ενδιαφέρει η τάση P|F0. Αυτή η τάση περνά από ένα μέγιστο που ονομάζεται αντοχή του υλικού και, όταν το μέγιστο αυτό ξεπεραστεί, η ράβδος στενεύει έντονα σε ένα σημείο και σπάζει. Η «πραγματική τάση» P|F αυξάνεται μέχρι τη θραύση.

Σχήμα 8.

Η συμπεριφορά άλλων μετάλλων σε πολλά σημεία αποκλίνει από αυτήν που περιγράφεται εδώ. Η ροή συχνά δεν είναι εμφανής, ενώ η σκλήρυνση αρχίζει αμέσως μετά την υπέρβαση του ορίου ελαστικότητας. Στα ψαθυρά υλικά (πέτρα, γυαλί, σκυρόδεμα) οι ανελαστικές παραμορφώσεις είναι γενικά μικρές και ήδη με μικρή επιμήκυνση επέρχεται θραύση. Η συνολική επιμήκυνση που υφίσταται το υλικό έως τη θραύση αποτελεί μέτρο της επιμηκυνσιμότητας (αντίθετα: της ψαθυρότητας) του υλικού και για τον χάλυβα καθορίζεται με ακρίβεια στις τεχνικές προδιαγραφές. Ωστόσο, επειδή αμέσως πριν από τη θραύση η περαιτέρω παραμόρφωση συγκεντρώνεται στις γειτονικές θέσεις της στενωμένης διατομής, προκύπτει διαφορετική τιμή επιμήκυνσης στη θραύση, ανάλογα με το αν για το μήκος μέτρησης λαμβάνεται μεγαλύτερο ή μικρότερο τμήμα της ράβδου, έτσι ώστε για την επίτευξη μονοσήμαντων και αμοιβαία συγκρίσιμων αποτελεσμάτων πρέπει εκ των προτέρων να υιοθετηθεί κάποια συγκεκριμένη σύμβαση. Η επιμήκυνση στη θραύση συνήθως μετριέται έτσι ώστε σε στρογγυλή ράβδο διαμέτρου d, πριν από τη δοκιμή, να σημειώνεται μήκος μέτρησης Ι = 10 d και από την επιμήκυνσή του ΔΙ να υπολογίζεται η επιμήκυνση στη θραύση εs_Ι = _ΔΙ|Ι. __ Αν χρειάζεται να εξεταστούν ράβδοι άλλης διατομής, το μήκος μέτρησης καθορίζεται σύμφωνα με τη διάμετρο κυκλικής κυλινδρικής ράβδου που έχει το ίδιο εμβαδόν διατομής.

Μακροχρόνια φόρτιση

Για τη διεξαγωγή της δοκιμής εφελκυσμού είναι σχετικά αδιάφορο αν το φορτίο μέχρι τη θραύση αυξάνεται μέσα σε 10 m λεπτά ή σε μερικές ώρες. Ωστόσο, αν το φορτίο δρα επί χρόνια ή δεκαετίες, υπό ορισμένες συνθήκες παρατηρείται ότι ακόμη και κάτω από το όριο διαρροής η παραμόρφωση υπό σταθερή τάση αυξάνεται αργά με τον χρόνο. Το ελαστικό μέρος, δηλαδή εκείνο που εξαφανίζεται κατά την τελική αποφόρτιση, δεν μεταβάλλεται αισθητά. Αυτή η αύξηση της ανελαστικής παραμόρφωσης που συμβαίνει σε μεγάλο χρονικό διάστημα ονομάζεται ερπυσμός. Στα μέταλλα, εκτός από τον μόλυβδο, ο ερπυσμός έχει σημασία μόνο σε υψηλές θερμοκρασίες· ωστόσο, για τον πολιτικό μηχανικό παίζει ρόλο στο σκυρόδεμα, το οποίο υπό πίεση υποχωρεί ελαφρά, έτσι ώστε η τάση να αυξάνεται στον θλιπτόμενο οπλισμό, αν αυτός υπάρχει.

Μεταβλητό φορτίο

Για να μπορέσουν τα μηχανικά χαρακτηριστικά του υλικού, που προκύπτουν από τη δοκιμή εφελκυσμού, να χρησιμοποιηθούν ως κριτήριο για το επιτρεπόμενο φορτίο των κατασκευών, προϋπόθεση είναι το υλικό σε κάθε εκ νέου φόρτιση να αντέχει την τάση που κάποτε άντεξε χωρίς βλάβη. Η προϋπόθεση αυτή δεν πληρούται αν το υλικό εκτίθεται σε συχνές επαναλήψεις φόρτισης και αποφόρτισης, όπως π.χ. συμβαίνει με φορείς που φορτίζονται από αδρανειακές δυνάμεις μηχανών με ατελή ζυγοστάθμιση. Με αρκετά συχνές επαναλήψεις της φόρτισης, ένα δομικό στοιχείο μπορεί να οδηγηθεί σε θραύση ακόμη και σε τάση πολύ κάτω από την αντοχή του υλικού, όπως αυτή προσδιορίζεται με τη συνήθη στατική δοκιμή. Το φαινόμενο αυτής της θραύσης ονομάζεται θραύση λόγω κόπωσης. Ο αριθμός n των κύκλων φόρτισης που μπορεί να αντέξει το υλικό εξαρτάται από το μέγεθος της τάσης σ, έτσι ώστε να είναι τόσο μεγαλύτερος όσο μικρότερη είναι η τάση. Τυπικό παράδειγμα αυτής της εξάρτησης φαίνεται στο σχ. 9, από το οποίο προκύπτει ότι για την αντοχή του υλικού υπάρχει ένα κατώτερο όριο, το οποίο αντέχει ακόμη και σε αυθαίρετα μεγάλο αριθμό κύκλων φόρτισης και το οποίο ονομάζεται δυναμική αντοχή του υλικού Τα διαγράμματα αυτού του είδους (σχ. 9) ονομάζονται καμπύλες Wӧhler.

Εικόνα 9.

Ασφάλεια κατασκευών

Δύο οριακά φορτία είναι σημαντικά για τις κατασκευές: το φορτίο στο οποίο εμφανίζονται οι πρώτες μόνιμες βλάβες (όριο διαρροής) και το φορτίο στο οποίο η φέρουσα ικανότητα της κατασκευής εξαντλείται, οπότε αυτή θραύεται (όριο θραύσης). Εφόσον πριν από το όριο διαρροής ισχύουν τουλάχιστον κατά προσέγγιση οι παραδοχές της αντοχής των υλικών (μικρές μετακινήσεις, νόμος Hooke), η ασφάλεια έναντι μόνιμων παραμορφώσεων μπορεί να εκτιμηθεί αξιόπιστα σε όλες εκείνες τις περιπτώσεις στις οποίες κατορθώνεται να ξεπεραστούν οι μαθηματικές δυσκολίες. Αν η τάση είναι ανάλογη του φορτίου, ο λόγος της τάσης διαρροής προς τη μέγιστη τάση που εμφανίζεται στην κατασκευή είναι ίσος με τον λόγο μεταξύ του φορτίου στο οποίο εμφανίζεται η διαρροή και του πραγματικού φορτίου και αποτελεί τον συντελεστή ασφαλείας ως προς τη διαρροή. Ωστόσο, σε μια σειρά περιπτώσεων αυτή η απλή σχέση δεν υπάρχει: κάμψη όταν αποκλείεται η εφελκυστική τάση, θλίψη μεταξύ κυρτών επιφανειών, συστήματα των οποίων η δομή μεταβάλλεται και, ιδιαίτερα δυσμενώς, κάμψη με αξονική δύναμη. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις μπορεί μια σχετικά μικρή αύξηση του φορτίου να οδηγήσει σε μεγάλη αύξηση των τάσεων, και τότε δεν αρκεί να εφαρμοστεί ο συνήθης συντελεστής ασφαλείας στις τάσεις, αλλά πρέπει να εφαρμοστεί στο φορτίο.

Τα φαινόμενα που εκδηλώνονται μετά την υπέρβαση του ορίου διαρροής έως τη θραύση μπορούν στις περισσότερες περιπτώσεις να παρακολουθηθούν μόνο ποιοτικά. Αν το υλικό είναι όλκιμο, τα μέρη στα οποία έχει αρχικά επιτευχθεί το όριο διαρροής και τα οποία εξακολουθούν να παραμορφώνονται υπό σταθερή τάση ή τάση που αυξάνει ελάχιστα, συμμετέχουν λίγο στην ανάληψη του περαιτέρω φορτίου, έτσι ώστε τα υπόλοιπα, λιγότερο καταπονημένα μέρη της κατασκευής, εφόσον αυτό είναι δυνατόν με βάση τη δομή της, να συμμετέχουν περισσότερο στη φέρουσα ικανότητα. Σε αυτή την τάση εξισορρόπησης των αιχμών τάσεων έγκειται ένα ορισμένο απόθεμα ασφάλειας, το οποίο μπορεί να αξιοποιηθεί υπολογιστικά, εφόσον η μόνιμη παραμόρφωση επιμέρους τμημάτων, που προέκυψε από μία μόνο σημαντική επιβάρυνση, δεν είναι επιζήμια (μέθοδος οριακού φορτίου).

Αν το υλικό είναι ψαθυρό, η πρώτη μόνιμη βλάβη εκδηλώνεται με ρωγμές, εξαιτίας των οποίων στο επικίνδυνο σημείο εμφανίζεται ακόμη ισχυρότερη συγκέντρωση τάσεων, η οποία προκαλεί αμέσως θραύση. Η θραύση από κόπωση και στα όλκιμα υλικά έχει τα χαρακτηριστικά ψαθυρής θραύσης.

 Σχέσεις μεταξύ των τάσεων για διαφορετικά επίπεδα διατομής

Εξισώσεις μετασχηματισμού

Οι εννέα συνιστώσες τάσεων στο σχ. 1, συνδέονται με τρεις συνθήκες ισορροπίας. Τα έξι εναπομένοντα μεγέθη σx, σy, σz τxy, τyz, τzx μπορούν, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, να λάβουν αυθαίρετες τιμές, όπως φαίνεται από την ανάπτυξη των διαφορικών εξισώσεων της θεωρίας ελαστικότητας. Ωστόσο, όταν αυτές οι τιμές δίνονται, η κατάσταση τάσεων σε ένα σημείο στερεού σώματος καθορίζεται πλήρως, δηλαδή, όταν είναι γνωστές οι τάσεις για τρία αμοιβαία κάθετα επίπεδα, μπορεί να προσδιοριστεί μονοσήμαντα και η τάση για κάποιο τέταρτο επίπεδο που διέρχεται από το δεδομένο σημείο και του οποίου το κάθετο έχει αυθαίρετη κατεύθυνση.

Στο σχ. 10 φαίνεται το τετράεδρο OABC, του οποίου οι τρεις πλευρές είναι παράλληλες με τα επίπεδα του συστήματος συντεταγμένων x, y, z, ενώ η τέταρτη αποτελεί κάποιο αυθαίρετα προσανατολισμένο στοιχείο επιφάνειας ABC = dF. Για να δηλωθεί η διεύθυνσή του και η διεύθυνση της τάσης που μεταφέρεται μέσω αυτού, εισάγεται ένα δεύτερο σύστημα συντεταγμένων, του οποίου ο άξονας ξ είναι κάθετος στο dF.

Σχήμα 10

Η συνθήκη ισορροπίας των δυνάμεων που δρουν σε αυτό το τετράεδρο προς τη διεύθυνση του άξονα ξ δίνει

Αν ληφθεί υπόψη ότι είναι

προκύπτει

και παρόμοια από τις συνθήκες ισορροπίας ως προς τον άξονα η:

Αυτές είναι οι εξισώσεις που χρησιμεύουν για τον υπολογισμό των τάσεων κατά τη μετασχημάτιση των συντεταγμένων. Ιδιαίτερη σημασία έχει να εξετάζονται μόνο τέτοια στοιχεία επιφάνειας dF για τα οποία ο άξονας ξ συμπίπτει με τον άξονα z. Τα διαγράμματα για αυτή την περίπτωση μπορούμε να τα προκύψουμε με απλοποίηση των προηγούμενων διαγραμμάτων ή να τα διαβάσουμε απευθείας από το σχήμα 11:

Εικόνα 11

Η κανονική τάση λαμβάνει ακραίες τιμές για τις διευθύνσεις α = α0 , για τις οποίες dσξ/dα = 0. Με παραγώγιση από την εξίσωση (16) προκύπτει

οπότε, όταν αυτή η παράσταση εξισωθεί με το μηδέν

Η τάση ττξη θα είναι ταυτόχρονα και η ολική διατμητική τάση στα επίπεδα αυτά, αν τyz = τzx = 0. Τότε, με την εξίσωση (17), καθορίζονται δύο αμοιβαία κάθετες διευθύνσεις για τις οποίες: 1. η ολική διατμητική τάση είναι μηδέν και, 2. η κανονική τάση έχει ακραίες τιμές (μέγιστο και ελάχιστο). Αυτές οι διευθύνσεις ονομάζονται διευθύνσεις των κύριων τάσεων, και οι αντίστοιχες τάσεις κύριες τάσεις. Αυτές σημειώνονται με σσ1 και σσ2 και μπορούν να υπολογιστούν απευθείας από τον τύπο

 Κύκλος Mohr

Οι εξισώσεις (16) μπορούν να αποδοθούν γραφικά με σαφή τρόπο. Για τον σκοπό αυτό πρέπει να μετασχηματιστούν στη μορφή:

Αυτές οι εξισώσεις αντιπροσωπεύουν στο σύστημα συντεταγμένων σ, τ τη parametric μορφή της εξίσωσης του κύκλου, που έχει σχεδιαστεί στο σχήμα 12, του οποίου οι συντεταγμένες του κέντρου είναι σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 και του οποίου η ακτίνα

Αυτός ο κύκλος ονομάζεται κύκλος του Mohr. Αν από το σημείο x χαραχθεί ευθεία παράλληλη προς τη διατομή x =const., μέσω της οποίας μεταφέρονται οι τάσεις σx, τxy, αυτή θα τέμνει τον κύκλο στο σημείο p, το οποίο ονομάζεται πόλος του κύκλου του Mohr. Κάθε ευθεία pξ που χαράσσεται μέσω αυτού του πόλου τέμνει τον κύκλο στο σημείο ξ, το οποίο καθορίζει τις τάσεις σξ, τξη που μεταφέρονται μέσω της διατομής παράλληλης προς pξ.

Όσον αφορά το πρόσημο των διατμητικών τάσεων κατά τη σχεδίαση του κύκλου του Mohr, πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι αυτές αποτυπώνονται προς τα πάνω αν έχουν τη διεύθυνση που φαίνεται στο σχ. 12c. Επομένως, από τις δύο συζυγείς τάσεις τxy, τyx, η μία είναι πάντα θετική και η άλλη αρνητική.

Στις οριακές τιμές σ1, σ2 των κανονικών τάσεων αντιστοιχούν τα σημεία 1 και 2 στον κύκλο, ενώ οι ευθείες _p_1 και _p_2 δίνουν τις διευθύνσεις των κύριων τάσεων.

Η απεικόνιση των τάσεων που βρίσκονται στο επίπεδο x-y με τη βοήθεια του κύκλου του Mahr δεν εξαρτάται από καμία υπόθεση για τις τάσεις σz, τxz, τyz που είναι κάθετες σε αυτό το επίπεδο.

Εικόνα 12

Αυτό ισχύει συνεπώς και για την γενικότερη τρισδιάστατη κατάσταση τάσεων, αν συγκρίνονται μόνο εκείνα τα επίπεδα τομής που διέρχονται όλα από την ίδια ευθεία, η οποία εδώ έχει επιλεγεί ως ο άξονας z και ξ. Επειδή, σύμφωνα με τις γενικές εξισώσεις μετασχηματισμού (15), η κανονική τάση σ δεν μπορεί να γίνει άπειρη για κανένα επίπεδο τομής, πρέπει για ένα επίπεδο να έχει το πεπερασμένο μέγιστο σ1, και για ένα άλλο το ελάχιστο σ3, από τα οποία και τα δύο, βεβαίως, μπορούν να είναι και αρνητικά. Αν από τα διανύσματα σ1 και σ3 περαστεί επίπεδο και σχεδιαστεί ο κύκλος του Mohr (σχ. 13)

Εικόνα 13

για τάσεις που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο (δηλαδή όλες οι διευθύνσεις που είναι κάθετες σε αυτό το επίπεδο), τότε οι σ1 και σ3 είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες κανονικές τάσεις που μπορούν να εμφανιστούν και συνεπώς πρέπει να είναι μεταξύ τους κάθετες. Αν οι διευθύνσεις 1 και 3 συμπληρωθούν με τη διεύθυνση 2, ώστε αυτές οι τρεις διευθύνσεις να σχηματίζουν ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, και αν σχεδιαστούν οι κύκλοι του Mahr για τα επίπεδα 1 ~2 και 2 ~ 3, τότε η σ2 για έναν από αυτούς τους κύκλους είναι η μεγαλύτερη και για τον άλλον η μικρότερη κανονική τάση, και συνεπώς στις τομές κάθετες προς τις διευθύνσεις 1, 2 και 3 η διατμητική τάση είναι ίση με μηδέν. Οι τρεις αμοιβαία κάθετες κανονικές τάσεις σ1, σ2 και σ3, στις οποίες δεν αντιστοιχούν διατμητικές τάσεις, ονομάζονται κύριες τάσεις.

    Όριο διαρροής και όριο θραύσης υπό τρισδιάστατη κατάσταση τάσεων

Η κατάσταση των τάσεων ονομάζεται μονο-, δι- ή τρισδιάστατη, αλλιώς: γραμμική, επίπεδη ή χωρική, ανάλογα με το αν μία, δύο ή και οι τρεις κύριες τάσεις είναι διαφορετικές από το μηδέν. Στα δομικά στοιχεία που χρησιμοποιούνται συχνότερα, δηλαδή στη ράβδο σε εφελκυσμό, θλίψη και κάμψη, η κατάσταση των τάσεων, τουλάχιστον στα πιο καταπονημένα σημεία, είναι μονοδιάστατη, όπως και στις δοκιμές εφελκυσμού, θλίψης ή κάμψης, που στην εξέταση των υλικών εφαρμόζονται σχεδόν αποκλειστικά για τον προσδιορισμό των επιτρεπόμενων τάσεων. Αντίθετα, στις πλάκες που φορτίζονται στο επίπεδό τους ή κάθετα προς αυτό, καθώς και στα κελύφη, η κατάσταση των τάσεων είναι δισδιάστατη, ενώ σε ορισμένες περιπτώσεις εμφανίζονται και τρισδιάστατες καταστάσεις τάσεων, έτσι ώστε να είναι αναγκαίο, με βάση το όριο διαρροής και θραύσης που καθορίζεται στη μονοδιάστατη κατάσταση τάσεων, να εξαχθούν συμπεράσματα για τη συμπεριφορά του υλικού στην περίπτωση χωρικής κατάστασης τάσεων.