Oinarriak
Materialen erresistentziaren zeregina da zehaztea zer kanpo-indar jasan ditzakeen gorputz solido batek (adib., eraikin batek, egitura-osagai batek edo lurzoruak). Galdera horri erantzuteko, bi irizpidetatik abiatzen da: alde batetik, tentsioek ez dituzte material motaren arabera ezarritako muga jakin batzuk gainditu behar, eta, bestetik, kanpo- eta barne-indarren arteko oreka egonkorra izan behar da. Horren arabera, materialen erresistentziako arazo guztiak “tentsio-arazoak” eta “egonkortasun-arazoak” gisa bana daitezke.
Hagetan eta habetan eta haietatik osatutako euskarrietan (sareta, markoak) tentsioen zehaztapena bi urratsetan egiten da: lehenik, emandako kanpo-indarren arabera zeharkako sekzioaren bidez transmititzen diren barne-indarren erresultantea kalkulatzen da, eta ondoren, “sekzio-indar” horietatik tentsioak zehazten dira. Prozeduraren lehen zatia diziplina berezi eta zabala da, egitura-eraikuntzen estatika, bere metodo propio garatuak dituena eta normalean materialen erresistentziatik bereizten dena; azken horren zeregina, berriz, emandako sekzio-indarretatik tentsioak zehaztera mugatzen da.
Erresistentzia-materialen oinarrizko kontzeptuak
Tentsioaren definiziora ondoko oinarrizko azterketen bidez iristen da. Har dezagun gorputzean kanpo-indarren oreka-sistema batek eragiten duela. Irudika dezagun gorputza edozein sekziorekin bi zatitan banatu dugula, eta horietako bat kendu dugula hura eragiten duten indarrekin batera; orduan, beste zatiaren gaineko eragina, indarren oreka eta deformazioen banaketa aldatu gabe iraun dezaten, sekzioaren azalaren bidez transmititzen diren indar osagarriekin ordezkatu behar da. “Barne” indar horiek etengabe banatuta daude sekzioaren azalera osoan, eta, beraz, azalera-elementu dF bakoitzari dβ indarra dagokio. dβ / dF koefizientea eratu eta dF -> 0 muga-igarotzea egiten bada, koefiziente hori tentsioa deitzen den muga-baliorantz jotzen du. Azalera-elementu jakin bateko tentsioa, dβ bezalaxe, osagaietan bana daiteke dF-ri normal eta ukitzaile: tentsio normala σ eta zizaila-tentsioa τ.
Puntu beretik norabide desberdinetan sekzioak egiten badira, tentsio desberdinak ere egokituko zaizkie. Bereziki, gorputzetik oinarrizko kuboa bereizten bada, 1 irudian agertzen dena, haren sei gainazal bakoitzean tentsio-bektore bat eragingo da, eta hori x, y eta z koordenatu-norabideetako hiru osagaitan osa daiteke. Aurkako gainazaletan diharduten tentsioak, noski, diferentzialaren arabera baino ez dira elkarrengandik bereizten; beraz, 3 * 3 = 9 osagai-tentsio daudela bereizi behar da, eta honela adierazten dira:
Napen normalak σ indizea jasotzen du, dauden ardatzarena, eta positibotzat jotzen dira trakzioa eragiten badute, negatibotzat, presioa eragiten badute. Zizailadura-napenek τ bi indize jasotzen dituzte; lehenengoa dagokion napen normalaren indize bera da, eta bigarrena zizailadura-napena jarduten duen norabideko ardatzari dagokio. Dagokion napen normalaren norabide positiboa koordenatu-ardatz positiboaren (negatiboaren) norabidean badago, zizailadura-napena ere positibotzat jotzen da koordenatu-ardatz positiboaren (negatiboaren) norabidean jarduten badu.
1 irudia.
Mozketa-tentsioen konjugazioa
Elementu kubiko arrunt baterako, ikus. 1, x ardatzarekiko indar guztien momentua zero izateko baldintza ezartzen bada, honakoa lortzen da: τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Hemendik, eta y eta z ardatzetarako dagozkien beste bi ekuazioetatik, ondorioztatzen da indar zizailatzaileko tentsioak, indize berdinekin, elkarren berdinak direla: τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Deformazio osagaiak
Aurrean definitutako tentsioek zentzu fisikoa dutela hortik ondorioztatzen da, kanpo-indarren eraginpean dagoen gorputz orok jasaten duen definizioarekiko duten loturatik. Ir. 2-k deformazioaren aurretik laukizuzena zen eta dx, dy, dz ertz-luzerak zituen oinarrizko prisma bat erakusten du. Deformazioaren ondoren ertzen luzerak honela adieraz ditzakegu: dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz; εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz zatidurak dilatazioak deritze. Dimentsiorik gabeko magnitudeak dira, eta eraikuntzan kontuan hartzen diren material guztientzat txikiak dira 1-ren aldean. Ertzen luzapenez gain, dx * dy * dz oinarrizko prismak bere aldeen arteko jatorrizko angelu zuzenen aldaketa ere jasan dezake.
Irudia 2. osagai-deformazioa
Deformazioaren ondoren, OC ertzean zehar elkartzen diren planoen arteko angelua 
bezalakoa izan dadila, eta antzera, AO ertzaren zehar eskuin-angeluaren murrizketa γyz izan dadila, eta OB ertzaren zeharrekoa γzx izan dadila. Angelu-aldaketa hauek hirurak, γxy, γyz, γzx, irristatzeak deitzen dira, eta beti txikiak dira ere 1rekiko. ε eta γ sei osagaiekin, kubo-elementuaren deformazioa erabat zehaztuta dago “deformazio txikian”. Bolumen-elementuaren d_V = dx * dy * dz_ aldaketa _ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, da, eta hortik, dilatazioen biderkadura goi-mailako txikitasunekoak diren bezala baztertzen direnean, kubiko-dilatazioa lortzen da ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Desplazamenduak
Solido baten deformazioa erabat deskriba daiteke, halaber, bere puntu bakoitzari puntu horrek izan duen desplazamendua emanez. Behatik kenduz gorputz zurrunaren desplazamenduari dagozkion amaierako tamainako mugimenduak, beharrezkoa bada kalkuluan koordenatu-sistema mugikor bat hartuz, osagai desplazamenduak μ, ν, ω beti txikiak dira, eta koordenatuekiko dituzten deribatuak txikiak dira 1-rekiko. Hipotesi horren arabera, 3 irudiaren arabera, OA = dx lerro-elementuaren luzera deformazioaren ondoren
horrenbestez 
(3)
Antzeko moduan, 3 iruditik ikus daiteke irristatzea γxy γ1 + γ2 dela: eta baita ere
(4)
Irudia 3 irristadura
(5) 
(6)
Lotura horiei bateragarritasun-baldintzak deitzen zaie, eta adierazten dute elementu deformatuak mosaiko baten antzera elkartu daitezkeela, eta horrela espazioa etengabe beteta gera dadila; hori ezin da lortu elementuen deformazioak arbitrarioak badira. Bateragarritasun-baldintzak ekuazio diferentzialak dira; beraz, noski, kubo bakoitzerako sei osagai-deformazioak elkarren artean independenteak dira, baina eremu zabaldu amaitu bakoitzean haien antolamendua (5) eta (6) baldintzekin lotuta dago.
Baldintza horiek (3) eta (4) ekuazioetatik diferentziatuz lortu direnez, horiek eratorriz, jatorrizko ekuazioetan jasotako lotura batzuen zati bat galtzen da. Hori dela eta, ez da nahikoa bi ekuazio-sistema horietako bakarra betetzea; bi sistema horiek bete behar dira deformazioaren bateragarritasuna bermatu nahi bada.
Elastikotasun-sistemaren ekuazio diferentzialak
Tentsioak eta deformazioak gorputz elastikoetan kalkulatzeko, honako ekuazio hauek erabiltzen dira:
Bolumen-elementuaren oreka-baldintzak. Hiru ardatzen inguruko momentuak zero berdinak direla dioen baldintza dagoeneko erabili da (1) ekuazioa eratzerakoan. Indarren oreka-baldintzek, 4 irudiaren arabera, ematen dute
Irudia 4
(7a-c)
X, Y, Z bidez adierazten badira bolumen-indarren osagaiak (adib., pisua, indar zentrifugoa) bolumen-unitate bakoitzeko. Tentsioen eta deformazioen arteko loturak. Honek osagaien tentsioen eta osagaien deformazioen arteko lotura adierazten du. Elastikotasunaren teorian, oro har, lotura lineala baino ez da kontuan hartzen, Hooke-ren legearen bidez adierazten dena:
(8a-c)
(8d-f)
Ekuazioak (8a-c) tentsioen arabera ebazten badira, lortzen da
(8 a)
kso eta dagozkion bi ekuazio. Hooke-ren legea, (8) ekuazioaren bidez adierazia, ez da zorrotz betetzen den naturaren lege bat, baizik eta benetako portaeraren idealizazioa; portaera hori, materialaren eta tentsioaren magnitudeen arabera, gehiago edo gutxiago aldentzen da hortik. Kontuan hartuta tentsioen eta deformazioen arteko erlazio konplexu eta lineal ez direnak dituzten erresistentzia-materialen arazoaren tratamendu matematikoak askoz zailtasun handiagoak eragiten dituela eta benetan kasurik errazenean bakarrik gauzatu daitekeela, Hooke-ren legerik nabarmen urruntzen duten materialetan ere (hormigoia!), hari buruzko kalkuluak erabili behar dira lehenengo, eta gehienetan irtenbide hurbilketa bakartzat; gainera, normalean oso erabilgarriak dira eta ikuspegi bat ematen dute, ez soilik kualitatiboa. G = E|2 (1+μ).
Nahitaez ondorioztatzen da tentsioaren eta deformazioaren arteko loturatik (8), tentsioen transformazio-ekuazioetatik (16) eta osagaien deformazioetarako dagokion ekuazio-sistematik. E eta G-k tentsioaren dimentsioa dute, eta eraikuntza-material guztietan ager daitezkeen σ eta τ tentsioekin alderatuta handiak dira. Baina egitate horretan oinarritzen da elastizitatearen teorian nonahi onartzen den hipotesia, deformazioak txikiak direla. Alboko dilatazioaren koefizientea (Poisson-en zenbakia) μ dimentsiorik gabekoa da eta beti dago 0 eta 1/2 artean.
Osagaien deformazioen eta desplazamenduen arteko erlazioak. Erlazio horiek (3), (4) ekuazioetan ematen dira. Naturaz guztiz geometrikoak dira. Hiru sistema horiek 3+6+6=15 ekuazio ematen dituzte 15 ezezagunetarako, hots, 6 osagai-tentsioetarako, 6 osagai-deformazioetarako eta 3 osagai-desplazamenduetarako. Beraz, nahikoa dira ezezagun horiek zehazteko. Ekuazio diferentzialen sistema hain zabal bat matematikoki gainditzea posible da, jakina, kasu berezietan bakarrik. Ekuazioan (8) osagai-deformazioak osagai-desplazamenduekin ordezkatzen badira (3) eta (4) ekuazioen arabera, eta ondoren tentsio normalak σ eta ebakidura-tentsioak τ, (8 d - f) ekuazioen arabera, oreka-baldintzetan, jedn. (7), sartzen badira, elastikotasunaren teoriaren oinarrizko ekuazioak deitzen diren ekuazio diferentzialak lortzen dira.
(9)
eta hemen 
Laplace-ren operadorea adierazita dago. (2) kontuan hartuta, hauek hiru desplazamendu osagarrirekin μ, ν, ω dituzten hiru ekuazio diferentzial dira; hauetatik, berriz, diferentziatuz, (3), (4) eta (8) oinarri hartuta, osagai guztietako tentsioak eta deformazioak lor daitezke. (9) ekuazioek maiz abiapuntu egoki bat osatzen dute kasu bereziak aztertzeko.
Deformazio-lana
Definizioa
Euskarriari karga ematean, kanpo-indarren aplikazio-puntuak desplazamendu elastikoak jasaten ditu, eta indarrek, aldi berean, nolabaiteko lana egiten dute. Horrela sartutako energia forma desberdinetara igaro daiteke. Karga bat-batean aplikatzen bada, deformazio-prozesuak abiadura handia izan dezan, energia horren zati bat energia zinetiko bihurtzen da, eta denboraren poderioz xahutzen da, bai lurzorura uhin elastiko gisa igortzen delako eta gero infinituan galtzen delako, bai barne-ardatzearen bidez bero bihurtzen delako. Kargak hain leunki aplikatzen badira non ez den energia zinetikoaren hazkunde nabarmenik sortzen, hau da, nulutik gora pixkanaka hazten diren kargak barne-indarrekin etengabeko orekan badaude, energia, agerikoa denez, gorputza deformatzera soilik bideratzen da, eta orduan deformazio-lan deritzo.
Deformazio-lanaren kalkulua, lehenik, norabide bakarreko trakzioz kargatutako zati batean erakutsiko dugu (ikus 5).
Har dezagun dagoen tentsioak σ eta dagokion dilatazioak ε dσ eta dε gehikuntzak jasotzen dituztela. Orduan, σdF indarrak dε * dl bidean σdF * dεdl = σdεdV lana egingo du, non dV zatiaren bolumena adierazten den. Tentsioa zero-tik bere azken baliora igotzen bada eta dilatazioa horren arabera 0-tik ε-ra, bolumen-unitateko egindako lan osoa honakoa izango da:
Antzera gertatzen da τ zizailadura-tentsioak kargatutako elementu baterako ere (ir. 6), bolumen-unitateko deformazio-lana (deformazio-lan espezifikoa, potentzial elastikoa):
horietan lau τ * dF indarretatik batek bakarrik egiten duelako lana.
Kasu orokorrean, sei osagai-estresak elementu txikiari eragiten diotenean, deformazio-lan espezifikoa osagai-estres bakoitzaren lanak batuz lortzen da:
(10)
Integraletako bakoitzaren goiko mugaren arabera deribatuz, kasu orokorrenean balio duten erlazioak lortzen dira:
(11)
eta antzera gainerako deformazio osagaientzat. Gorputza elastikoa bada, tentsio-egoera zehatz bakoitzari deformazio-egoera bera dagokio beti, kargatzean ala deskargatzean lortu den alde batera utzita. Orduan, integralen azpian funtzio bakunak daude, eta kargatzean eta ondoren erabateko deskargatzean kontsumitutako energia osoa a = 0 da, kasu honetan integralen goiko mugak zero bihurtzen direlako. Beraz, kargatzean gorputzari emandako energia osoa deskargatzean berreskuratzen da.
Irudia 6
Irudia 7
Erabat elastikoa ez den gorputz batean, tentsioaren eta deformazioaren arteko erlazioak karga- eta deskarga-ziklo osoan gutxi gorabehera 7 irudian O A B lerroekin erakutsitako itxura du. Kargatzean ekarritako energia 
OAA azalera da, eta deskargatzean itzulitako energia ABA azalera; horrela, itzaldutako eremuari dagokion lana galtzen da (bero bihurtzen da). Prozesu oszilatorio batean tentsioa aldian-aldian balio muga positiboaren 
eta balio muga negatiboaren 
artean aldatzen bada, deformazio ez-elastikoa 7 irudian eteneko lerroekin erakutsitako antzera gertatzen da, eta oszilazio-aldi bakoitzean DABCD energia bero bihurtzen da bolumen-unitateko. Deformazioan gertatzen den portaera horri, zeinetan deformazioa tentsioaren atzetik doan, histeresi elastikoa deritzo, eta DABCD kurba histeresi-begizta da.
Deformazio-lana eta Hooke-ren legea
Hooke-ren legea (10 ekuazioan) integralei aplikatzen bazaie, integrazioa egin daiteke, eta deformazio-lan espezifikorako adierazpen hauek lortzen dira:
(12a)
(12b)
(12c)
Bi forma horietako bigarrena ekuazioan (11) sartzen bada, Hooke-ren legea berriro lortzen da, (8) ekuazioak, tentsioen arabera ebatzita. Deformazio-lana osagaien deformazioen mende dagoela adieraztea, (12b) ekuazioan erakusten den bezala, beraz, Hooke-ren legearen baliokidea da. (12c) ekuazioa tentsioen arabera diferentziatzean, hau lortzen da
(13)
Eredu hauek, (11) ereduek ez bezala, Hooke-ren legearen arabera jokatzen duten gorputzentzat soilik balio dute eta ezin dira aplikatu tentsioen eta deformazioen arteko loturak bestelakoak direnean. Ulertzekoa da, (13) ekuazioen eskuineko aldean tentsioek eragindako osagai-deformazioak soilik daudela, eta baztertuta geratzen direla tenperatura-aldaketaren, puztearen, hanturaren, birkristalizazioaren eta abarren ondorioz gerta zitezkeen beste guztiak.
ELASTIKOTASUN TEORIARAKO INTEGRAL PRINTZIPIOAK
Desplazamendu birtualak. Energia potentzialaren minimoaren printzipioa
Hooke-ren legea, ekuazioak (8) ekuazio bakar batez (12b) ordezka daitekeen bezala, oreka-baldintzen ordez desplazamendu birtualen printzipioa ere sar daiteke, mekanikaren oinarrizko lege orokor gisa. Lege honek dio oreka-egoerak bereizten direla egoera-deformazioaren aldaketa txiki batean indar guztiek egindako lan osoa zero dela. Desplazamendu elastikoen aldaketa txikiak δμ δν, δω gisa adierazten baditugu, orduan (7) ekuazioak definitutako bolumen-indarrek lan birtuala egiten dute
eta gorputzaren kanpo-azalerako dF elementuan jarduten duten gainazal-indarrak px, py, pz lana 
hirukoitz integralak gorputzaren bolumen osoari egiten dio erreferentzia, eta bikoitzak kanpoko azalera osoari. Barne-indarrek egiten duten lana kalkulatzeko, ekuazio (12b) erabiltzen da, eta, ondorioz, bolumen-unitateko lana honela lortzen da
Desplazamendu birtualen printzipioak horren arabera ematen du
(14)
X, Y, Z px, py., pz kargak grabitate-indarraren osagaitzat hartzen badira (norberaren pisua eta kanpo-karga), eskuineko aldeko integralek karga horiek galdu duten energia potentziala adierazten dute, eta ezkerreko aldeak gorputzaren energia potentzial (elastiko) gehikuntza adierazten du; beraz, printzipio honek adierazten du euskarriaren eta gainean dauden kargen energia potentzial osoak oreka kasuan balio muturrekoa duela. Balio muturreko hori minimoa bada, oreka egonkorra da.
Energia potentzial minimoaren printzipioa (14 ekuazioan adierazia), deformazio-lanerako (12b adierazpena, deformazioen bateragarritasun-baldintzak (5), (6) ekuazio-sistema bat osatzen dute, nahikoa dena elastikotasunaren teoria eraikitzeko, eta funtsean ekuazio-sistemaren baliokidea dena. Sistema hau bereziki erabilgarria izan daiteke ekuazio diferentzialak (9) betetzea zailtasun kalkulatzaileak sortzen dituen kasuetan; horregatik, gutxi gorabeherako irtenbide bat bilatu behar da, adibidez, desplazamenduetarako aldez aurretik forma egoki bat suposatuz, zenbait konstante aske dituenena, eta horiek 14 ekuazioa betetzearen eskakizunetik zehazten dira. Horrela, egia esan, ez da arazoaren irtenbide zehatza lortzen, baizik eta hautatutako irtenbide-formarekin lor daitekeen hurbilketa onena bakarrik. Hurbilketa nahikoa den ala ez, lehenik eta behin, onartutako irtenbide-formaren araberakoa da, eta metodo honen aplikazio arrakastatsuak, horregatik, trebetasuna eta esperientzia eskatzen ditu.
Castiglianoren printzipioa
Potentzia potentzial minimoaren printzipioan deformazio-egoera guztiak alderatzen diren bitartean, deformazio-bateragarritasunaren baldintzak betetzen dituztenak eta horien artean ondoriozko tentsioek oreka-baldintzak betetzen dituztenak hautatzen dira; Castiglianoren printzipioan, berriz, oreka-baldintzak betetzen dituzten tentsio-egoera guztiak alderatzen dira, eta horien artean deformazioek deformazio-bateragarritasunaren baldintzak betetzen dituztenak hautatzen dira. Printzipio honek hau dio: posible diren oreka-egoera guztien artean, benetan gertatzen dena deformazio-lan txikiena dagokiona da. Castiglianoren printzipioak, deformazio-lanerako (12c) ekuazioarekin eta oreka-baldintzekin batera, materialen erresistentzia eraikitzeko nahikoa den ekuazio-sistema osatzen du. Printzipio honek Hooke-ren legea barne hartzen duenez, haren aplikazioa deformazioak lege horren bidez erabat deskriba daitezkeela onartzearen menpe dago. Horrek ez du soilik materialaren portaera elastiko lineala eskatzen, baizik eta tenperatura-aldaketak ere baztertzen ditu.
Elastikotasun-mugen gainetik dagoen materialen portaera
Karga estatikoaren pean gertatzen diren fenomenoak
Tentsioen eraginpean materialak deformatzea oso fenomeno konplexua da, eta, hori ulertu ahal izateko, hainbat aldetatik sinplifikatu behar da. Sinplifikazio horietako bat da kargak pixkanaka aplikatzen direla onartzea, adibidez, trakzio- eta konpresio-probetako laginekin egiten den bezala.
Tentsiopean kargatutako altzairuzko barra bat karga pixkanaka handitzen ari zaionean haren dilatazioa ε neurtzen bada, ildo 8n erakutsitako diagrama lortzen da. Hasieran, dilatazioa oso txikia da eta tentsioarekiko proportzionala, Hooke-ren legeak eskatzen duen bezala. Tentsio jakin batetik aurrera, proportzionaltasuna eteten da eta dilatazioa azkarrago handitzen da. Proportzionaltasun-muga horren kokapen zehatza nekez zehaztu daiteke. Neurketa zenbat eta zehatzagoa izan, orduan eta txikiagoa ateratzen da. Material gehienetan σ = 0-n dago, eta Hooke-ren legea, orduan, portaera elastikoaren lehen hurbilketa baino ez da, ε = ε (σ) funtzioaren Taylor serieko garapenaren lehen terminoa, koordenatu-jatorriaren inguruan.
Barra askatzen bada, ikusten da, tentsioa ez zenean gehiegi handia, deformazioa ere desagertu egiten dela, Hooke-ren legearekin bat etorriz. Baina hori ere aldatzen da proportzionaltasun-mugatik gertu dagoen tentsio jakin bat gainditzen bada, erresilientzia-muga izenekoa; orduan, deformazio osoa zati elastikoaz (itzulgarria) eta ez-elastikoaz (iraunkorra) osatzen da. Erresilientzia-muga ere ezin da zehazki finkatu; neurketaren zehaztasuna handiagoa izan ahala, muga hori beherago kokatzen da. Hala ere, garrantzi tekniko handia duenez, material-erresistentziako ia kalkulu guztietan garrantzi-muga baita, eta aldi berean lehen kalte iraunkorrak sortzen diren muga ere bada, laginak aztertzeko konbentzio onartu baten bidez zorrotz definitzen da; eta, adibidez, 0.2% muga gisa, deformazio iraunkorra 0.2%-ra iristen den tentsioa adierazten da.
Elastikotasun-muga gainditu bezain laster, deformazioa bat-batean handitzen da eta begi hutsez antzeman daiteke; ia konstantea den tentsioan, barrak etengabe luzatzen jarraitzen du. Tentsio horri emari-muga deritzo. Materialak probatzeko makina hidraulikoetan, emaria hasi ondoren, tentsioaren beherakada gutxi edo asko nabarmena ere ikus daiteke; 8 irudian eteneko kurbarekin adierazten den bezala; orduan maximoari goiko emari-muga deitzen zaio, eta ondoren agertzen den emari-tentsio konstanteari beheko emari-muga.
Luzapen jakin bat lortzean, ia erabat elastikoa ez dena, tentsioa berriro igotzen hasten da; materiala gogortu egiten da. Karga-baldintza honetan hagaxkaren zeharkako sekzioan murrizketa nabarmena gertatzen da (elastikotasunik gabeko) alboko uzkurduraren ondorioz, eta tentsio- eta deformazio-diagramaren ondorengo bilakaera, batez ere, σ tentsioa kalkulatzean P trakzio-indarra hagaxkan hasierako F0 sekzioarekin ala unean uneko F sekzioarekin zatitzen denaren araberakoa da. Helburu teknikoetarako interesgarria den tentsioa P|F0 da. Tentsio honek maximo bat gainditzen du, materialaren erresistentzia deitzen dena, eta maximo hori gainditzean hagaxka leku batean asko estutzen da eta hautsi egiten da. “Benetako tentsioa” P|F hausturaraino igotzen da.
Irudia 8.
Beste metalen portaera hemen deskribatutakoarekiko askotan desberdina da. Emaria askotan ez da nabarmena izaten, eta gogortzea elastikotasun-muga gainditu eta berehala hasten da. Material hauskorretan (harria, beira, hormigoia) deformazio ez-elastikoak oro har txikiak dira, eta luzapen txiki batekin bertan gertatzen da haustura. Materialak hausturaraino jasaten duen luzapen osoa materialaren harikortasunaren neurria da (kontrakoa: hauskortasuna), eta altzairurako zehazki agintzen da baldintza teknikoetan. Hala ere, hausturaren aurretik deformazio gehiago sekzio estuko inguruko tokietan kontzentratzen denez, hausturako luzapenaren balio desberdina lortzen da, neurketa-luzeratzat hagaxkaren zati handiagoa edo txikiagoa hartzen denaren arabera; hortaz, emaitza bakarrekoak eta elkarren artean alderagarriak lortzeko, aldez aurretik konbentzio zehatz bat hartu behar da. Hausturako luzapena, oro har, honela neurtzen da: diametroa d duen hagaxka biribilean, saiakuntza egin aurretik, neurketa-luzera Ι = 10 d markatzen da, eta haren luzapenetik ΔΙ hausturako luzapena kalkulatzen da, εs_Ι = ΔΙ|Ι ._ Sekzio desberdineko hagaxkak aztertu behar badira, neurketa-luzera sekzioaren azalera bera duen zilindro biribil baten diametroaren arabera zehazten da.
Iraupen luzeko karga
Tentsio-probaren garapenerako ia berdin dio kargak hausturaraino 10 m minutuan ala ordu batzuetan handitzen den. Hala ere, karga urteetan edo hamarkadetan jarduten bada, baldintza jakin batzuetan ikusten da emari-mugaren azpitik ere deformazioa, tentsio konstantearen pean, denborarekin poliki handitzen dela. Horretan, zati elastikoa, hau da, azken deskargan desagertzen den zatia, ez da nabarmen aldatzen. Denbora luzean gertatzen den deformazio ez-elastikoaren handitze horri azpiratzea deitzen zaio. Metaletan, berunaren kasuan izan ezik, azpiratzea tenperatura altuetan baino ez da esanguratsua; hala ere, eraikuntzako ingeniariarentzat zeregin garrantzitsua du konpresiopean poliki uzten duen hormigoiaren kasuan, eta horrela tentsioa handitzen da konpresio-armaduran, halakorik badago.
Karga aldakorra
Trakzio-proban lortutako materialen ezaugarri mekanikoak egituren baimendutako kargaren neurri gisa erabil daitezen, baldintza da materialak berriro kargatzen den bakoitzean behin kalterik gabe jasan duen tentsioa jasatea. Baldintza hori ez da betetzen materiala karga eta deskarga errepikatuen mende badago, adibidez, behar bezala orekatuta ez dauden makinen indar inertzialek kargatutako habeen kasuan. Kargaren errepikapen nahikoa maizarekin, egiturazko pieza bat apurtzera irits daiteke, baita ohiko proba estatiko baten bidez zehaztutako materialaren erresistentziatik askoz behera dagoen tentsio batean ere. Mota horretako hausturari nekea-haustura deritzo. Materialak jasan dezakeen n karga-ziklo kopurua σ tentsioaren tamainaren araberakoa da, eta, beraz, zenbat eta tentsio txikiagoa, orduan eta handiagoa da. Menpekotasun horren adibide tipikoa 9 irudian ageri da; bertan ikusten da materialaren erresistentziak beheko muga bat duela, karga-ziklo kopuru arbitrarioki handian ere jasaten duena, eta materialaren erresistentzia dinamikoa deitzen zaiola. Mota honetako diagramak (9 irudia) Wӧhler kurbak deitzen dira.
Irudia 9.
Egituraren segurtasuna
Mugako bi karga garrantzitsuak dira egituretarako: lehen kalte iraunkorrak sortzen diren karga (mugako etekina), eta egituraren euste-gaitasuna agortzen den eta hautsi egiten den karga (haustura-muga). Etekina baino lehen, gutxienez gutxi gorabehera, materialen erresistentzia-hipotesiak betetzen direnez (desplazamendu txikiak, Hooke-ren legea), deformazio iraunkorren aurkako segurtasuna fidagarritasunez balora daiteke zailtasun matematikoak gainditzea lortzen den kasu guztietan. Tentsioa kargaren proportzionala bada, etekin-tentsioaren eta egituran agertzen den tentsio handienaren arteko erlazioa etekina sortzen den kargaren eta benetako kargaren arteko erlazioaren berdina da, eta etekinaren aurkako segurtasun-koefizientea adierazten du. Hala ere, kasu askotan erlazio sinple hori ez dago: trakzioa baztertzen denean gertatzen den okerdura, gainazal ganbilen arteko presioa, egitura aldakorra duten sistemak eta, bereziki desegokia dena, karga axialeko okerdura. Kasu horietan guztietan, karga apur bat handitzeak tentsioaren igoera handia eragin dezake, eta orduan ez da nahikoa ohiko segurtasun-koefizientea tentsioei aplikatzea; kargari aplikatu behar zaio, ordea.
Isurketa-muga gainditu ondoren hausturara arte gertatzen diren fenomenoak kasu gehienetan kalitatiboki baino ezin dira jarraitu. Materiala harikorra bada, lehenik isurketa-mugara iritsi diren eta gero tentsio konstantean edo apur bat handitzen den tentsioan deformatzen jarraitzen duten zatiek gutxi hartzen dute parte ondorengo kargan, eta, horrela, gainerako atalek, gutxiago tentsionatutakoek, egituraren arabera posible den neurrian, gehiago parte hartzen dute eustean. Tentsio-gailurrak berdintzeko joera horretan segurtasun-erreserba bat dago, eta kalkuluetan aprobetxa daiteke, baldin eta zenbait zatiren deformazio iraunkorra, karga esanguratsu bakar baten ondorioz sortua, kaltegarria ez bada (muga-kargaren metodoa).
Materiala hauskorra bada, lehen kalte iraunkorra arrakaletan agertzen da; horien ondorioz, arriskuan dagoen tokian tentsioen kontzentrazioa are handiagoa bihurtzen da, eta horrek berehala haustura eragiten du. Nekaduraren ondoriozko hausturak, eta baita material harikorrengan ere, haustura hauskorren ezaugarriak ditu.
Tentsio-eremu desberdinetarako tentsioen arteko loturak
Transformazio-ekuazioak
Irudiko 1 bederatzi osagai-tentsioak oreka-baldintza hirurekin lotuta daude. Gainerako sei magnitudeak, σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, elkarrengandik independenteak izanik, balio arbitrarioak har ditzakete, elastikotasun-teoriako ekuazio diferentzialen eratorpenetik ikusten den bezala. Hala ere, balio horiek emanda daudenean, gorputz solido bateko puntu jakin bateko tentsio-egoera erabat zehaztuta dago; hau da, elkarren artean perpendikularrak diren hiru planoetarako tentsioak ezagutzen direnean, modu bakarrean zehaztu daiteke laugarren plano baterako tentsioa ere, emandako puntutik igarotzen dena eta normalean norabide arbitrarioa duena.
10 irudian OABC tetraedroa ageri da, zeinaren hiru aldeak x, y, z koordenatu-sistemaren planoekiko paraleloak diren, eta laugarrena ABC = dF gainazal-elementu arbitrarioki orientatua den. Haren norabidea eta haren bidez transmititzen den tentsioaren norabidea adierazteko, bigarren koordenatu-sistema bat ezartzen da, zeinaren ξ ardatza dF.-rekiko perpendikularra den.
Irudia 10
ξ ardatzaren norabidean tetraedro honi eragiten dioten indarren oreka-baldintzak ematen du
Kontuan hartzen bada hori
lortzen da
eta antzera, η ardatzaren noranzkoan oreka-baldintzetatik:
Hauek dira koordenatuen transformazioan tentsioak kalkulatzeko erabiltzen diren ekuazioak. Bereziki garrantzitsua da dF azalera-elementu horiek soilik aztertzea, non ξ-ardatza z-ardatzarekin bat etortzen den. Kasu honetarako eredua aurreko ereduak sinplifikatuz edo zuzenean 11 iruditik irakurriz lor dezakegu:
11 irudia
Tentsio normalak balio muturrekoak hartzen ditu α = α0 norabideetan, zeinetarako dσξ/dα = 0. Deribatuz, ekuazio (16)-tik honakoa lortzen da
beraz, adierazpen hori zeroarekin berdintzen denean
τξη tentsioa, aldi berean, plano horietako zizailatze-tentsio totala izango da, baldin eta τyz = τzx = 0 bada. Orduan, (17) ekuazioaren bidez bi norabide elkarzuzendarri zehazten dira; horietarako: 1. zizailatze-tentsio totala zero da eta, 2. tentsio normalak muturreko balioak ditu (maximoa eta minimoa). Norabide horiei tentsio nagusien norabideak deritze, eta dagokien tentsioei tentsio nagusiak esaten zaie. σ1 eta σ2 bidez adierazten dira, eta formulatik zuzenean kalkula daitezke
Mohr-en zirkulua
Ekuazioak (16) modu grafiko argian irudika daitezke. Horretarako, forma honetara bihurtu behar dira:
Ekuazio hauek, σ, τ koordenatu-sisteman, 12 irudian marraztutako zirkuluaren ekuazioaren forma parametrikoa adierazten dute; haren zentroaren koordenatuak σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 dira, eta haren erradioa
Zirkulu hau Mohr-en zirkulua deitzen da. x puntutik x =const. ebakidurarekiko paraleloa den zuzen bat marrazten bada, zeinaren bidez σx, τxy tentsioak transmititzen diren, zirkulua p puntuan ebakiko du; puntu hori Mohr-en zirkuluaren polo deitzen da. Polo honetatik marraztutako pξ zuzen bakoitzak zirkulua ξ puntuan ebakitzen du, eta puntu horrek pξ-rekiko paraleloa den ebakiduraren bidez transmititzen diren σξ, τξη tentsioak zehazten ditu.
Moiren zirkulua marraztean mozketa-tentsioen zeinuari dagokionez, kontuan hartu behar da gorantz markatzen direla ir. 12c-n erakutsitako noranzkoa badute. Beraz, τxy, τyx tentsio konjugatuetatik bat beti positiboa da, eta bestea negatiboa.
σ1, σ2 tentsio normalen muturreko balioei zirkuluan 1 eta 2 puntuak dagozkie, eta _p_1 eta _p_2 zuzenek tentsio nagusien norabideak ematen dituzte.
x-y planoan dauden tentsioak Mahr-en zirkuluaren bidez irudikatzea ez dago plano horri perpendikularrak diren σz, τxz, τyz tentsioei buruzko inolako hipotesirekin lotuta.
Irudia 12
Hori, beraz, tentsioaren hiru dimentsioko egoerarik orokorrenari ere aplikatzen zaio, baldin eta ebakidura-plano guztiak lerro beretik igarotzen direnak bakarrik alderatzen badira; hemen, z eta ξ ardatz gisa hautatu da. Transformazioaren ekuazio orokorren arabera (15), σ tentsio normala ezin da infinitu bihurtu ebakidura-plano bakar batean ere; beraz, plano baterako σ1 maximo finitua izan behar du, eta beste baterako σ3 minimoa, eta biak, noski, negatiboak ere izan daitezke. σ1 eta σ3 bektoreetatik igarotzen den plano bat hartu eta Mohr-en zirkulua marrazten bada (ir. 13)
Irudia 13
karga horiek plano honetan daudenean (hau da, plano horri perpendikularrak diren norabide guztiak), orduan σ1 eta σ3 dira ager daitezkeen tentsio normal handiena eta txikiena, eta, beraz, elkarrekiko perpendikularrak izan behar dute. 1 eta 3 norabideei 2 norabidea gehitzen bazaie, hiru norabide horiek koordenatu-sistema ortogonala osa dezaten, eta Mahr-en zirkuluak marrazten badira 1 ~2 eta 2 ~ 3 planoetarako, orduan σ2 zirkulu horietako baterako tentsio normal handiena izango da, eta besterako txikiena, eta, beraz, 1, 2 eta 3 norabideekiko perpendikularrak diren ebakiduretan ebakidura-tentsioa nulua da. Elkarren perpendikularrak diren tentsio normal hiru hauek, hau da, σ1, σ2 eta σ3, zeinei ez baitzaizkie ebakidura-tentsioak dagokien, tentsio nagusiak deritze.
Errendimendu-muga eta haustura-muga tentsio-egoera espazialean
Tentsio-egoera bat, bakun-, bikoitz- edo hiru-dimentsioko deitzen da, bestela: lineala, laua edo espaziala, hiru tentsio nagusietatik bat, bi edo hirurak zero ez direnaren arabera. Gehien erabiltzen diren egitura-elementuetan, hau da, errotutako, konprimatutako eta tolestutako barran, tentsio-egoera, gutxienez gehien kargatutako tokietan, bakun-dimentsiokoa da; gauza bera gertatzen da trakzio-, konpresio- edo tolestura-saiakuntzetan ere, materialak probatzeko orduan ia esklusiboki tentsio onargarriak zehazteko erabiltzen baitira. Aldiz, beren planoan edo hari perpendikularki kargatutako plaketan, bai eta oskoletan ere, tentsio-egoera bikoitz-dimentsiokoa da, eta zenbait kasutan hiru-dimentsioko tentsio-egoerak ere agertzen dira; horregatik, beharrezkoa da bakun-dimentsioko tentsio-egoeran zehaztutako etekin- eta haustura-mugatik abiatuta materialaren portaerari buruzko ondorioak ateratzea espazio-tentsio-egoeran.