Cơ sở
Nhiệm vụ của cơ học sức bền vật liệu là xác định những lực bên ngoài nào mà một vật rắn có thể chịu được (ví dụ: công trình xây dựng, bộ phận kết cấu hoặc nền đất). Để trả lời câu hỏi này, xuất phát từ hai tiêu chí: một mặt, các ứng suất không được vượt quá những giới hạn nhất định phụ thuộc vào loại vật liệu, và mặt khác, sự cân bằng giữa các lực bên ngoài và bên trong phải ổn định. Phù hợp với điều này, mọi bài toán của cơ học sức bền vật liệu có thể được chia thành “bài toán ứng suất” và “bài toán ổn định.”
Đối với thanh và dầm cũng như các kết cấu ghép từ chúng (giàn, khung), việc xác định ứng suất được thực hiện theo hai bước, cụ thể là trước hết từ các lực ngoài đã cho tính hợp lực của các lực bên trong truyền qua tiết diện ngang, rồi từ các “lực mặt cắt” này xác định ứng suất. Phần đầu của quy trình này là một chuyên ngành riêng, rộng lớn, tĩnh học kết cấu công trình, có các phương pháp riêng đã được phát triển và thường được tách ra khỏi môn sức bền vật liệu, trong đó nhiệm vụ chỉ còn là xác định ứng suất từ các lực mặt cắt đã cho.
Các khái niệm cơ bản về sức bền vật liệu
Việc định nghĩa ứng suất được rút ra từ những xem xét cơ bản sau đây. Giả sử một hệ lực ngoài cân bằng tác dụng lên vật. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đã chia vật bằng một mặt cắt bất kỳ thành hai phần, và đã loại bỏ một phần cùng với các lực tác dụng lên nó; khi đó, tác dụng của nó lên phần còn lại, để cân bằng lực và phân bố biến dạng vẫn không đổi, phải được thay thế bằng các lực bổ sung truyền qua mặt cắt. Các lực “bên trong” này được phân bố liên tục trên bề mặt mặt cắt, sao cho mỗi phần tử diện tích dF tương ứng với lực dβ. Nếu lập tỷ số dβ dF và lấy giới hạn khi dF -> 0, thì tỷ số này tiến tới giá trị giới hạn gọi là ứng suất. Ứng suất trong một phần tử diện tích nhất định, cũng như dβ, có thể được phân thành các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến với dF, ứng suất pháp σ, ứng suất cắt τ.
Nếu các mặt cắt được lấy qua cùng một điểm theo các hướng khác nhau, thì chúng sẽ tương ứng với các ứng suất khác nhau. Đặc biệt, nếu tách từ vật thể ra một khối hộp vi phân, như trình bày ở hình 1, thì trên mỗi trong sáu mặt của nó sẽ tác dụng một vectơ ứng suất có thể phân tích thành ba thành phần theo các phương của trục tọa độ x, y, z. Các ứng suất tác dụng trên những mặt đối diện nhau, dĩ nhiên, chỉ khác nhau theo vi phân, do đó cần phân biệt 3 * 3 = 9 thành phần ứng suất, được ký hiệu như sau:
Các ứng suất pháp σ được gán chỉ số của trục theo phương mà chúng nằm và được xem là dương nếu gây kéo, âm nếu gây nén. Các ứng suất cắt τ có hai chỉ số, trong đó chỉ số thứ nhất giống như chỉ số của ứng suất pháp tương ứng, còn chỉ số thứ hai liên quan đến trục theo phương mà ứng suất cắt tác dụng. Nếu chiều dương của ứng suất pháp tương ứng trùng với chiều của trục tọa độ dương (âm), thì ứng suất cắt cũng được coi là dương nếu nó tác dụng theo chiều của trục tọa độ dương (âm).
Hình 1.
Tính liên hợp của các ứng suất cắt
Nếu đối với khối hộp chữ nhật cơ bản, hình 1, đặt điều kiện rằng mômen của tất cả các lực đối với trục x bằng không, ta được τyz dx dz * dy = τzy dx dy * dz Từ đây, và từ hai phương trình tương ứng đối với các trục y và z, suy ra rằng các ứng suất cắt có cùng chỉ số bằng nhau từng đôi một τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (1)
Biến dạng thành phần
Việc các ứng suất đã nêu ở trên có ý nghĩa vật lý là do mối liên hệ của chúng với biến dạng mà mọi vật thể đều chịu dưới tác dụng của các lực bên ngoài. Hình 2 cho thấy một khối hộp cơ bản, trước khi biến dạng có dạng hình chữ nhật và có chiều dài các cạnh dx, dy, dz. Chiều dài các cạnh sau biến dạng có thể ký hiệu là dx + Δdx, dy, + Δdy, dz + Δdz; các thương số εx = Δdx|dx, εy =Δdy|dy, εz = Δdz|dz được gọi là độ dãn dài. Đây là các đại lượng không có thứ nguyên và đối với mọi vật liệu có thể xét trong xây dựng thì chúng nhỏ so với 1. Ngoài sự kéo dài các cạnh, khối hộp cơ bản dx * dy * dz còn có thể bị thay đổi các góc vuông ban đầu giữa các mặt của nó.
Hình 2. biến dạng thành phần
Giả sử sau biến dạng, góc giữa các mặt hội tụ dọc theo cạnh OC bằng 
và tương tự, sự giảm của góc vuông dọc theo cạnh AO bằng γyz, còn sự giảm dọc theo cạnh OB bằng γzx. Ba biến đổi góc này γxy, γyz, γzx được gọi là các trượt và cũng luôn nhỏ so với 1. Với sáu thành phần ε và γ, biến dạng của phần tử hình hộp chữ nhật cơ bản “biến dạng nhỏ” được xác định hoàn toàn. Sự thay đổi của phần tử thể tích d_V = dx * dy * dz_ là ΔdV = (dx + Δdx) (dy + Δdy) (dz + Δdz) - dx dy dz, từ đó, khi bỏ qua các tích của biến dạng như những đại lượng nhỏ bậc cao hơn, thu được biến dạng thể tích ϱ = ΔdV|dV = εx, εy, εz (2)
Chuyển vị
Biến dạng của vật thể rắn cũng có thể được mô tả hoàn toàn bằng cách gán cho mỗi điểm của nó một chuyển vị mà điểm đó đã trải qua. Nếu loại trừ khỏi việc khảo sát các chuyển vị có độ lớn hữu hạn tương ứng với chuyển động của vật rắn, bằng cách nếu cần thì trong tính toán sử dụng hệ tọa độ chuyển động, thì các chuyển vị thành phần μ, ν, ω luôn là các đại lượng nhỏ, còn các đạo hàm của chúng theo tọa độ là nhỏ so với 1. Dưới giả thiết đó, theo hình 3 chiều dài của phần tử đường OA = dx sau khi biến dạng
do đó 
(3)
Tương tự như vậy, từ hình 3 có thể thấy rằng biến dạng trượt là γxy γ1 + γ2: và đồng thời
(4)
Hình 3 trượt
(5) 
(6)
Những mối liên hệ này được gọi là điều kiện tương thích và cho thấy các phần tử bị biến dạng có thể ghép khớp như một bức tranh ghép sao cho không gian được lấp đầy liên tục, điều mà không thể đạt được nếu các biến dạng của phần tử là tùy ý. Các điều kiện tương thích là các phương trình vi phân, nên, dĩ nhiên, cả sáu thành phần biến dạng đối với mỗi khối riêng lẻ đều độc lập với nhau, nhưng sự phân bố của chúng trong mỗi miền mở rộng hữu hạn lại bị ràng buộc bởi các điều kiện (5) và (6).
Vì các điều kiện này thu được bằng cách vi phân từ các phương trình (3) và (4), trong quá trình suy ra chúng một phần các liên hệ chứa trong các phương trình ban đầu bị mất đi. Vì vậy, không đủ để chỉ thỏa mãn một trong hai hệ phương trình này, mà phải thỏa mãn cả hai hệ phương trình nếu muốn bảo đảm tính tương thích của biến dạng.
Các phương trình vi phân của hệ đàn hồi
Để tính ứng suất và biến dạng của vật thể đàn hồi, dùng các phương trình sau:
Điều kiện cân bằng của phần tử thể tích. Các điều kiện để mômen quanh ba trục bằng không đã được sử dụng ngay trong khi suy ra phương trình (1). Các điều kiện cân bằng lực theo hình 4
Hình 4
(7a-c)
Nếu ký hiệu các thành phần của lực khối là X, Y, Z (ví dụ: trọng lượng, lực ly tâm) trên một đơn vị thể tích. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng. Dưới đây được hiểu là mối quan hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng. Trong lý thuyết đàn hồi, theo quy tắc, chỉ xét mối quan hệ tuyến tính, được biểu thị bằng định luật Hooke:
(8a-c)
(8d-f)
Nếu các phương trình (8a-c) được giải theo ứng suất, ta thu được
(8 a)
kso và hai phương trình tương ứng. Định luật Hooke được biểu diễn bằng phương trình (8) không phải là một định luật tự nhiên được thỏa mãn một cách nghiêm ngặt, mà là sự lý tưởng hóa hành vi thực tế, hành vi này sai khác nhiều hay ít so với nó, tùy thuộc vào vật liệu và mức độ ứng suất. Vì việc xử lý toán học các bài toán về sức bền vật liệu với các quan hệ phức tạp, phi tuyến giữa ứng suất và biến dạng gây ra những khó khăn lớn hơn nhiều và thực tế chỉ có thể thực hiện trong những trường hợp đơn giản nhất, nên ngay cả đối với những vật liệu (bê tông!) có hành vi sai khác đáng kể so với định luật Hooke, các tính toán dựa trên định luật này vẫn phải được dùng như giải pháp gần đúng thứ nhất, và phần lớn là duy nhất, vốn hơn nữa theo nguyên tắc vẫn rất hữu ích và mang lại một nhận thức hơn cả mức định tính. G = E|2 (1+μ).
Nó tất yếu suy ra từ mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng (8), từ các phương trình biến đổi (16) đối với ứng suất và hệ phương trình tương ứng cho các biến dạng thành phần. E và G có thứ nguyên của ứng suất và đối với mọi vật liệu xây dựng đều lớn so với các ứng suất σ và τ có thể xuất hiện. Chính trên thực tế này mà giả định được chấp nhận khắp nơi trong lý thuyết đàn hồi, rằng các biến dạng là nhỏ. Hệ số giãn ngang (hệ số Poisson) μ là vô thứ nguyên và luôn nằm giữa 0 và 1/2 .
Mối liên hệ giữa biến dạng thành phần và chuyển vị. Các mối liên hệ này được cho bởi các phương trình (3), (4). Chúng có bản chất thuần túy hình học. Ba hệ này cho 3+6+6=15 phương trình cho 15 ẩn, tức là cho 6 ứng suất thành phần, 6 biến dạng thành phần và 3 chuyển vị thành phần. Vì vậy chúng đủ để xác định các ẩn này. Việc giải bằng toán học một hệ phương trình vi phân đồ sộ như vậy, dĩ nhiên, chỉ có thể thực hiện trong những trường hợp đặc biệt. Nếu trong phương trình (8) thay biến dạng thành phần bằng chuyển vị thành phần theo các phương trình (3) và (4), rồi đưa các ứng suất pháp σ và ứng suất tiếp τ, theo các phương trình (8 d - f), vào các điều kiện cân bằng, pt. (7), sẽ thu được các phương trình vi phân được gọi là các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi.
(9)
trong đó 
ký hiệu toán tử Laplace. Xét theo (2) thì đây là ba phương trình vi phân với ba chuyển vị thành phần μ, ν, ω; từ đó, bằng cách vi phân dựa trên (3), (4) và (8) có thể nhận được mọi ứng suất và biến dạng thành phần. Các phương trình (9) thường là điểm xuất phát thuận tiện để nghiên cứu các trường hợp đặc biệt.
Công biến dạng
Định nghĩa
Khi một thanh chịu lực được tải, các điểm tác dụng của ngoại lực sẽ có biến dạng đàn hồi và các lực khi đó thực hiện một công. Theo cách này, năng lượng được đưa vào có thể chuyển thành các dạng khác nhau. Nếu tải được đặt đột ngột, sao cho quá trình biến dạng diễn ra với tốc độ đáng kể, một phần năng lượng này biến thành năng lượng động, rồi dần dần tiêu tán theo thời gian, hoặc bằng cách truyền xuống nền dưới dạng sóng đàn hồi mất đi ở vô cực, hoặc bằng cách biến thành nhiệt do ma sát trong. Nếu tải được đặt nhẹ nhàng đến mức không làm phát sinh sự tăng đáng kể của năng lượng động, tức là các tải tăng dần từ bằng không luôn cân bằng với các lực nội tại, thì năng lượng rõ ràng chỉ được dùng để biến dạng vật thể và khi đó được gọi là công biến dạng.
Trước hết, chúng tôi sẽ trình bày việc tính toán công của biến dạng trên một phần tử chịu kéo theo một phương (hình 5).
Giả sử ứng suất hiện có σ và biến dạng tương ứng ε chịu các gia tăng dσ và dε. Khi đó lực σdF trên quãng đường dε * dl sẽ thực hiện công σdF * dεdl = σdεdV, nếu dV được ký hiệu là thể tích của phần tử. Nếu ứng suất tăng từ 0 đến giá trị cuối cùng của nó và biến dạng tương ứng tăng từ 0 đến ε, thì tổng công thực hiện trên một đơn vị thể tích sẽ là:
Tương tự như vậy, đối với phần tử chịu ứng suất cắt τ (hình 6), công biến dạng trên một đơn vị thể tích (công biến dạng riêng, thế đàn hồi):
trong đó chỉ có một trong bốn lực τ * dF thực hiện công.
Trong trường hợp tổng quát, khi cả sáu thành phần ứng suất tác dụng lên một phần tử vi mô, công biến dạng riêng được thu được bằng cách cộng công của từng thành phần ứng suất:
(10)
Bằng cách lấy đạo hàm theo cận trên của từng tích phân này, ta thu được các quan hệ đúng trong trường hợp tổng quát nhất:
(11)
và tương tự đối với các biến dạng thành phần khác. Nếu vật thể là đàn hồi, thì mỗi trạng thái ứng suất xác định luôn tương ứng với cùng một trạng thái biến dạng, bất kể trạng thái đó đạt được khi tải hay khi dỡ tải. Khi đó dưới các dấu tích phân là các hàm đơn trị và năng lượng tổng cộng tiêu hao khi tải rồi dỡ tải hoàn toàn là a = 0, vì trong trường hợp này cận trên của các tích phân trở thành bằng không. Do đó, toàn bộ năng lượng truyền cho vật thể khi tải sẽ được trả lại khi dỡ tải.
Hình 6
Hình 7
Đối với vật thể đàn hồi không hoàn toàn, mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong toàn bộ chu trình tải và dỡ tải có dạng xấp xỉ như được biểu diễn trên hình 7 bằng các đường O A B. Năng lượng 
đưa vào khi tải bằng diện tích OAA, còn năng lượng trả lại khi dỡ tải bằng diện tích ABA, vì vậy phần công tương ứng với diện tích gạch chéo bị mất đi (chuyển thành nhiệt). Nếu trong quá trình dao động, ứng suất thay đổi tuần hoàn giữa giá trị giới hạn dương 
và giá trị giới hạn âm, 
thì biến dạng phi đàn hồi diễn ra tương tự như được trình bày bằng các đường nét đứt trên hình 7 và trong mỗi chu kỳ dao động, năng lượng DABCD được chuyển thành nhiệt trên một đơn vị thể tích. Hành vi như vậy khi biến dạng, trong đó biến dạng chậm hơn ứng suất, được gọi là hysteresis đàn hồi, còn đường DABCD là vòng hysteresis.
Công biến dạng và định luật Hooke
Nếu thay định luật Hooke vào các tích phân trong phương trình (10), có thể tiến hành tích phân, và do đó đối với công biến dạng riêng thu được các biểu thức:
(12a)
(12b)
(12c)
Nếu đưa dạng thứ hai trong các dạng này vào phương trình (11), lại thu được định luật Hooke, các phương trình (8), dưới dạng giải theo ứng suất. Phát biểu rằng công biến dạng phụ thuộc vào các thành phần biến dạng, như được thể hiện bởi phương trình (12b), do đó tương đương với định luật Hooke. Khi phương trình (12c) được vi phân theo ứng suất, ta được
(13)
Các công thức này, trái với các công thức (11), chỉ áp dụng cho các vật thể tuân theo định luật Hooke và không thể sử dụng khi quan hệ giữa ứng suất và biến dạng khác đi. Dĩ nhiên, ở vế phải của các phương trình (13) chỉ có các biến dạng thành phần do ứng suất gây ra, còn loại trừ mọi biến dạng khác có thể phát sinh do thay đổi nhiệt độ, từ biến, trương nở, tái kết tinh, v.v.
CÁC ĐỊNH LUẬT TÍCH PHÂN TRONG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Chuyển vị ảo. Nguyên lý năng lượng thế tối thiểu
Cũng như định luật Hooke, các phương trình (8) có thể được thay thế bằng một phương trình (12b), thì thay cho điều kiện cân bằng cũng có thể đưa vào nguyên lý chuyển vị ảo, như một định luật cơ học cơ bản có giá trị chung. Định luật này nêu rằng các trạng thái cân bằng được đặc trưng bởi việc tổng công của mọi lực khi trạng thái biến dạng thay đổi một lượng nhỏ bằng không. Nếu ký hiệu các thay đổi nhỏ của chuyển vị đàn hồi là δμ δν, δω, thì các lực thể tích được xác định bởi phương trình (7) thực hiện công ảo
và các lực bề mặt px, py, pz tác dụng lên phần tử dF của bề mặt ngoài của vật thể công 
trong đó tích phân ba lần áp dụng cho toàn bộ thể tích, còn tích phân hai lần áp dụng cho toàn bộ bề mặt ngoài của vật thể. Để tính công do các lực bên trong thực hiện, dùng phương trình (12b), nên đối với công trên một đơn vị thể tích ta được
Từ đó nguyên lý chuyển vị ảo cho ta
(14)
Nếu các tải trọng X, Y, Z px, py., pz được xem như các thành phần của trọng lực (trọng lượng bản thân và tải trọng ngoài), thì các tích phân ở phía bên phải biểu thị năng lượng thế mà các tải trọng này đã mất đi, còn vế trái biểu thị phần tăng của năng lượng thế (đàn hồi) của vật thể, do đó nguyên lý này cho thấy tổng năng lượng thế của kết cấu chịu lực và các tải trọng đặt lên nó trong trạng thái cân bằng có giá trị cực trị. Nếu giá trị cực trị này là nhỏ nhất, trạng thái cân bằng là ổn định.
Nguyên lý cực tiểu năng lượng thế được biểu diễn bằng phương trình (14), biểu thức (12b) cho công biến dạng, các điều kiện tương thích biến dạng (5), (6) tạo thành hệ phương trình đủ để xây dựng lý thuyết đàn hồi, và về cơ bản tương đương với hệ phương trình. Hệ này có thể đặc biệt hữu ích trong những trường hợp mà việc thỏa mãn các phương trình vi phân (9) gây khó khăn tính toán và vì vậy phải tìm nghiệm gần đúng, chẳng hạn, trước hết giả định chuyển vị có dạng thích hợp chứa một vài hằng số tự do rồi xác định các hằng số này từ yêu cầu phương trình (14) phải được thỏa mãn. Như vậy, dĩ nhiên không thu được nghiệm chính xác của bài toán, mà chỉ là xấp xỉ tốt nhất có thể đạt được với dạng nghiệm đã chọn. Việc xấp xỉ có đủ hay không, trước hết phụ thuộc vào dạng nghiệm đã chọn, và vì thế việc áp dụng thành công phương pháp này đòi hỏi sự khéo léo và kinh nghiệm.
Nguyên lý Castigliano
Trong khi ở nguyên lý cực tiểu năng lượng thế người ta so sánh tất cả các trạng thái biến dạng thỏa mãn các điều kiện tương thích biến dạng và trong số đó chọn ra những trạng thái mà các ứng suất tương ứng thỏa mãn điều kiện cân bằng, thì ở nguyên lý Castigliano người ta so sánh tất cả các trạng thái ứng suất thỏa mãn điều kiện cân bằng và trong số đó chọn ra những trạng thái mà các biến dạng tương ứng thỏa mãn điều kiện tương thích biến dạng. Nguyên lý này phát biểu: trong mọi trạng thái cân bằng có thể, trạng thái thực tế xảy ra là trạng thái ứng với công biến dạng nhỏ nhất. Nguyên lý Castigliano cùng với phương trình (12c) cho công biến dạng và các điều kiện cân bằng tạo thành một hệ phương trình đủ để xây dựng sức bền vật liệu. Do nguyên lý này chứa định luật Hooke, khả năng áp dụng của nó gắn với giả thiết rằng biến dạng có thể được mô tả hoàn toàn bằng định luật này. Điều này không chỉ đòi hỏi vật liệu có رفتار đàn hồi tuyến tính mà còn loại trừ sự thay đổi nhiệt độ.
Ứng xử của vật liệu vượt quá giới hạn đàn hồi
Các hiện tượng khi chịu tải tĩnh
Sự biến dạng của vật liệu dưới tác dụng của ứng suất là một hiện tượng rất phức tạp, vì vậy cần được đơn giản hóa theo nhiều cách khác nhau thì mới có thể hiểu được. Một trong những sự đơn giản hóa đó là giả thiết rằng tải trọng được đặt lên từ từ, như chẳng hạn được thực hiện với các mẫu thử khi thí nghiệm kéo và nén.
Nếu một thanh thép chịu kéo được đặt dưới tải trọng tăng dần và độ giãn dài ε của nó được đo, ta thu được đồ thị như trình bày ở hình 8. Ban đầu độ giãn rất nhỏ và tỷ lệ với ứng suất, đúng như định luật Hooke yêu cầu. Từ một ứng suất nhất định, tính tỷ lệ chấm dứt và độ giãn tăng nhanh hơn. Vị trí chính xác của giới hạn tỷ lệ này rất khó xác định. Phép đo càng chính xác thì giới hạn này càng thấp. Đối với phần lớn vật liệu, nó nằm ở σ = 0, và khi đó định luật Hooke chỉ còn là xấp xỉ đầu tiên cho hành vi đàn hồi, là hạng đầu tiên trong khai triển Taylor của hàm ε = ε (σ) quanh gốc tọa độ.
Nếu thanh được giải tải, sẽ thấy rằng khi ứng suất không quá lớn thì biến dạng cũng biến mất, phù hợp với định luật Hooke. Nhưng điều này cũng thay đổi nếu vượt quá một mức ứng suất nhất định nằm gần giới hạn tỷ lệ, tức giới hạn đàn hồi; khi đó biến dạng tổng cộng gồm phần đàn hồi (phục hồi) và phần không đàn hồi (vĩnh viễn). Ngay cả giới hạn đàn hồi cũng không thể xác định chính xác, nó càng thấp khi độ chính xác đo càng cao. Tuy nhiên, vì nó có ý nghĩa kỹ thuật rất lớn, bởi nó là giới hạn quan trọng trong hầu hết các phép tính về sức bền vật liệu, đồng thời là giới hạn xuất hiện những hư hại vĩnh viễn đầu tiên, nên khi thử mẫu nó được xác định chặt chẽ theo một quy ước đã chấp nhận, và chẳng hạn, ở giới hạn 0.2% người ta ký hiệu ứng suất tại đó độ dãn vĩnh viễn đạt 0.2%.
Ngay sau khi vượt quá giới hạn đàn hồi, biến dạng tăng đột ngột và có thể quan sát bằng mắt thường; ở ứng suất gần như không đổi, thanh tiếp tục dài ra không ngừng. Ứng suất này được gọi là giới hạn chảy. Trên các máy thủy lực dùng để thử vật liệu, sau khi bắt đầu chảy có thể quan sát thêm sự giảm ứng suất ít nhiều rõ rệt; như được chỉ ra trên hình 8 bằng đường cong nét đứt; khi đó giá trị cực đại được gọi là giới hạn chảy trên, còn ứng suất chảy không đổi xuất hiện sau đó là giới hạn chảy dưới.
Sau khi đạt đến một độ giãn nhất định, gần như hoàn toàn không đàn hồi, ứng suất bắt đầu tăng trở lại, vật liệu hóa bền. Ở vùng tải này, tiết diện ngang của thanh giảm đáng kể do co ngang (không đàn hồi), và diễn biến tiếp theo của biểu đồ ứng suất - biến dạng trước hết phụ thuộc vào việc khi tính ứng suất σ, lực kéo P tác dụng lên thanh được chia cho tiết diện ban đầu F0 hay cho tiết diện tức thời F. Vì mục đích kỹ thuật, ứng suất P|F0 là đáng quan tâm. Ứng suất này tăng đến một giá trị cực đại gọi là cường độ vật liệu, và khi vượt qua cực đại đó, thanh bị thắt lại mạnh ở một vị trí rồi đứt. “Ứng suất thực” P|F tăng cho đến khi phá hủy.
Hình 8.
Ứng xử của các kim loại khác khác biệt khá nhiều so với điều được mô tả ở đây. Hiện tượng chảy dẻo thường không rõ rệt, và hóa bền bắt đầu ngay sau khi vượt quá giới hạn đàn hồi. Đối với vật liệu giòn (đá, kính, bê tông), biến dạng không đàn hồi nói chung rất nhỏ và chỉ cần một độ giãn nhỏ cũng dẫn đến phá hủy. Độ giãn tổng cộng mà vật liệu chịu đến khi phá hủy là thước đo độ dẻo (ngược lại: tính giòn) của vật liệu, và đối với thép, giá trị này được quy định chính xác trong các điều kiện kỹ thuật. Tuy nhiên, do ngay trước khi phá hủy, biến dạng tiếp theo tập trung tại các vị trí lân cận của mặt cắt bị thắt lại, nên thu được giá trị độ giãn khi đứt khác nhau, tùy theo việc lấy phần thanh dài hơn hay ngắn hơn làm chiều dài đo; vì vậy, để có kết quả xác định duy nhất và có thể so sánh với nhau, cần phải quy ước trước một chuẩn nhất định. Thông thường, độ giãn khi đứt được xác định bằng cách trên một thanh tròn có đường kính d, trước khi thử đánh dấu chiều dài đo Ι = 10 d và từ độ dài tăng thêm ΔΙ của nó tính ra độ giãn khi đứt εs_Ι = ΔΙ|Ι . Nếu cần thử các thanh có tiết diện khác, chiều dài đo được xác định theo đường kính của một thanh trụ tròn có cùng diện tích tiết diện ngang.
Tải trọng dài hạn
Đối với quá trình thí nghiệm kéo, hầu như không quan trọng là tải trọng cho đến khi phá hoại được tăng lên trong vòng 10 m phút hay vài giờ. Tuy nhiên, nếu tải trọng tác dụng trong nhiều năm hoặc hàng chục năm, trong những điều kiện nhất định người ta nhận thấy rằng ngay cả dưới giới hạn chảy, biến dạng dưới ứng suất không đổi vẫn tăng chậm theo thời gian. Trong đó phần đàn hồi, tức phần mất đi khi dỡ tải hoàn toàn, hầu như không thay đổi đáng kể. Sự tăng lên của biến dạng không đàn hồi xảy ra trong thời gian dài này được gọi là hiện tượng từ biến. Đối với kim loại, trừ chì, từ biến chỉ có ý nghĩa ở nhiệt độ cao; tuy nhiên, đối với kỹ sư xây dựng, nó có vai trò trong bê tông, vốn dưới nén sẽ từ từ nhường biến, làm ứng suất tăng trong cốt thép chịu nén, nếu có.
Tải trọng thay đổi
Để có thể dùng các đặc trưng cơ học của vật liệu, thu được khi thử kéo, làm thước đo cho tải trọng cho phép của kết cấu, điều kiện là vật liệu phải chịu được ở mỗi lần tải lại ứng suất mà trước đó nó đã một lần chịu mà không bị hư hại. Điều kiện này không được thỏa mãn nếu vật liệu chịu sự lặp đi lặp lại thường xuyên của tải trọng và dỡ tải, như, chẳng hạn, trường hợp các dầm chịu tải bởi lực quán tính của những máy móc cân bằng không hoàn toàn. Với sự lặp lại đủ thường xuyên của tải trọng, một bộ phận kết cấu có thể bị phá hoại ngay cả ở mức ứng suất nằm xa dưới cường độ vật liệu được xác định bằng thử nghiệm tĩnh thông thường. Hiện tượng phá hoại dạng này được gọi là phá hoại do mỏi. Số chu kỳ tải n mà vật liệu có thể chịu được phụ thuộc vào độ lớn của ứng suất σ, do đó số chu kỳ càng lớn khi ứng suất càng nhỏ. Một ví dụ điển hình của sự phụ thuộc này được thể hiện ở hình 9, từ đó thấy rằng đối với cường độ vật liệu có một giới hạn dưới mà vật liệu vẫn chịu được ngay cả khi số chu kỳ tải là tùy ý lớn, và giới hạn đó được gọi là cường độ động của vật liệu Các biểu đồ loại này (hình 9) được gọi là đường cong Wӧhler.
Hình 9.
An toàn của kết cấu
Hai tải trọng giới hạn có ý nghĩa đối với kết cấu: tải trọng tại đó xuất hiện những hư hỏng vĩnh viễn đầu tiên (giới hạn chảy), và tải trọng tại đó khả năng chịu lực của kết cấu bị khai thác hết, làm nó bị phá hủy (giới hạn phá hủy). Vì trước giới hạn chảy, ít nhất xấp xỉ, các giả thiết của cơ học vật liệu vẫn đúng (chuyển vị nhỏ, định luật Hooke), nên an toàn đối với biến dạng vĩnh viễn có thể được đánh giá tin cậy trong mọi trường hợp mà có thể giải quyết được các khó khăn toán học. Nếu ứng suất tỷ lệ với tải trọng, thì tỷ số giữa ứng suất chảy và ứng suất lớn nhất xuất hiện trong kết cấu bằng tỷ số giữa tải trọng gây chảy và tải trọng thực tế, và biểu thị hệ số an toàn đối với chảy. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, quan hệ đơn giản này không tồn tại: uốn khi loại trừ kéo, nén giữa các bề mặt lồi, các hệ có cấu trúc thay đổi và, đặc biệt bất lợi, uốn kèm lực dọc trục. Trong tất cả các trường hợp này, chỉ cần tăng tải tương đối nhỏ cũng có thể dẫn đến tăng ứng suất lớn, và khi đó không đủ nếu áp dụng hệ số an toàn thông thường cho ứng suất, mà phải áp dụng nó cho tải trọng.
Các hiện tượng xảy ra sau khi vượt quá giới hạn chảy cho đến khi phá hủy trong đa số trường hợp chỉ có thể được theo dõi về mặt định tính. Nếu vật liệu dẻo, những phần đầu tiên đạt tới giới hạn chảy, và tiếp tục biến dạng dưới ứng suất không đổi hoặc ứng suất tăng rất ít, sẽ tham gia ít vào việc tiếp nhận tải trọng tiếp theo, do đó các phần còn lại của kết cấu, vốn chịu ứng suất thấp hơn, nếu có thể xét theo cấu trúc của nó, sẽ tham gia nhiều hơn vào việc chịu lực. Trong xu hướng làm đều các đỉnh ứng suất này tồn tại một dự trữ an toàn nhất định, có thể được khai thác trong tính toán nếu biến dạng vĩnh viễn của từng bộ phận, phát sinh chỉ dưới một tải trọng lớn duy nhất, là không có hại (phương pháp tải trọng giới hạn).
Nếu vật liệu giòn, hư hỏng vĩnh viễn đầu tiên biểu hiện bằng các vết nứt, do đó tại vị trí bị nguy hiểm xảy ra sự tập trung ứng suất còn mạnh hơn, ngay lập tức gây đứt gãy. Đứt gãy do mỏi đối với cả vật liệu dẻo cũng mang đặc trưng của phá hủy giòn.
Mối liên hệ giữa ứng suất đối với các mặt cắt khác nhau
Phương trình biến đổi
Chín ứng suất thành phần ở hình 1 được liên hệ với ba điều kiện cân bằng. Sáu đại lượng còn lại σx, σy, σz τxy, τyz, τzx có thể, độc lập với nhau, nhận các giá trị tùy ý như thấy từ việc suy ra các phương trình vi phân của lý thuyết đàn hồi. Tuy nhiên, khi các giá trị này đã được cho trước, trạng thái ứng suất tại một điểm của vật rắn được xác định hoàn toàn, tức là khi đã biết các ứng suất cho ba mặt vuông góc với nhau, cũng có thể xác định duy nhất ứng suất cho một mặt phẳng thứ tư đi qua điểm đã cho và có pháp tuyến theo một hướng bất kỳ.
Trong hình 10 cho thấy khối tứ diện OABC có ba mặt song song với các mặt phẳng của hệ tọa độ x, y, z còn mặt thứ tư là một phần tử bề mặt có hướng tùy ý ABC = dF. Để chỉ rõ phương của nó và phương của ứng suất truyền qua nó, người ta đưa vào một hệ tọa độ thứ hai, trong đó trục ξ vuông góc với dF.
Hình 10
Điều kiện cân bằng của các lực tác dụng lên tứ diện này theo phương trục ξ cho ta
Nếu xét rằng
thu được
và tương tự như vậy từ điều kiện cân bằng theo phương của trục η:
Đây là các phương trình dùng để tính ứng suất khi biến đổi tọa độ. Đặc biệt quan trọng là chỉ xét những phần tử diện tích dF mà trục ξ trùng với trục z. Các biểu thức cho trường hợp này có thể thu được bằng cách đơn giản hóa các biểu thức trước đó hoặc đọc trực tiếp từ hình 11:
Hình 11
Ứng suất pháp tuyến đạt các giá trị cực trị đối với các phương α = α0 , với dσξ/dα = 0. Lấy vi phân từ phương trình (16) thu được
vì vậy, khi biểu thức này được cho bằng không
Ứng suất τξη đồng thời sẽ là ứng suất cắt tổng trong các mặt phẳng này, nếu τyz = τzx = 0. Khi đó, bằng phương trình (17) xác định được hai phương vuông góc với nhau mà ở đó: 1. ứng suất cắt tổng bằng không và, 2. ứng suất pháp có các giá trị cực trị (lớn nhất và nhỏ nhất). Các phương này được gọi là phương của các ứng suất chính, còn các ứng suất tương ứng là ứng suất chính. Chúng được ký hiệu là σ1 và σ2 và có thể tính trực tiếp từ công thức
Vòng tròn Mohr
Các phương trình (16) có thể được biểu diễn đồ họa một cách trực quan. Vì mục đích này, cần biến đổi chúng về dạng:
Các phương trình này biểu diễn trong hệ tọa độ σ, τ dạng tham số của phương trình đường tròn, được vẽ ở hình 12, có tọa độ tâm σ = 1/2 (σx + σy), τ = 0 và bán kính của nó
Vòng tròn này được gọi là vòng tròn Mohr. Nếu qua điểm x kẻ một đường thẳng song song với mặt cắt x =const., qua đó truyền các ứng suất σx, τxy, thì đường thẳng đó sẽ cắt vòng tròn tại điểm p, gọi là cực của vòng tròn Mohr. Mỗi đường thẳng pξ đi qua cực này cắt vòng tròn tại điểm ξ, xác định các ứng suất σξ, τξη được truyền qua mặt cắt song song với pξ.
Về dấu của các ứng suất cắt khi vẽ vòng tròn Mohr cần lưu ý rằng chúng được đặt lên phía trên nếu có chiều như показано trên hình 12c. Vì vậy, trong hai ứng suất liên hợp τxy, τyx, một cái luôn dương và cái kia âm.
Các giá trị giới hạn của ứng suất pháp σ1, σ2 tương ứng với các điểm 1 và 2 trên vòng tròn, còn các đường _p_1 và _p_2 cho biết phương của các ứng suất chính.
Biểu diễn các ứng suất nằm trong mặt phẳng x-y bằng vòng tròn Mahr không phụ thuộc vào bất kỳ giả thiết nào về các ứng suất σz, τxz, τyz vuông góc với mặt phẳng này.
Hình 12
Do đó điều này cũng đúng đối với trạng thái ứng suất ba chiều tổng quát nhất, nếu chỉ so sánh những mặt cắt đều đi qua cùng một đường thẳng, ở đây được chọn làm trục z và ξ. Vì theo các phương trình biến đổi tổng quát (15) ứng suất pháp σ không thể trở nên vô hạn đối với bất kỳ mặt cắt nào, nên nó phải có giá trị cực đại hữu hạn σ1 đối với một mặt phẳng, và giá trị cực tiểu σ3 đối với mặt phẳng khác, trong đó cả hai, dĩ nhiên, cũng có thể âm. Nếu qua các vectơ σ1 và σ3 kẻ một mặt phẳng và vẽ vòng tròn Mohr (hình 13)
Hình 13
đối với các ứng suất nằm trong mặt phẳng này (tức mọi phương vuông góc với mặt phẳng này), thì σ1 và σ3 là các ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất có thể xuất hiện và do đó phải vuông góc với nhau. Nếu các phương 1 và 3 được bổ sung bằng phương 2, sao cho ba phương này tạo thành một hệ tọa độ vuông góc, và nếu vẽ các vòng tròn Mahr cho các mặt phẳng 1 ~2 và 2 ~ 3, thì σ2 đối với một trong các vòng tròn này là ứng suất pháp lớn nhất, còn đối với vòng kia là ứng suất pháp nhỏ nhất, và do đó tại các tiết diện vuông góc với các phương 1, 2 và 3 ứng suất cắt bằng không. Ba ứng suất pháp vuông góc với nhau σ1, σ2 và σ3, mà không có ứng suất cắt tương ứng, được gọi là các ứng suất chính.
Giới hạn chảy và giới hạn phá hủy trong trạng thái ứng suất không gian
Trạng thái ứng suất được gọi là một-, hai- hoặc ba chiều, hay nói cách khác: tuyến tính, phẳng hoặc không gian, tùy theo việc một, hai hay cả ba ứng suất chính khác 0. Đối với các bộ phận kết cấu thường dùng nhất, tức thanh chịu kéo, nén và uốn, trạng thái ứng suất, ít nhất tại những chỗ chịu ứng suất lớn nhất, là một chiều; điều đó cũng đúng đối với các thí nghiệm kéo, nén hoặc uốn, vốn hầu như chỉ được áp dụng trong thử nghiệm vật liệu để xác định ứng suất cho phép. Ngược lại, đối với các tấm chịu tải trong mặt phẳng của chúng hoặc vuông góc với mặt phẳng đó, cũng như đối với các vỏ mỏng, trạng thái ứng suất là hai chiều, và trong một số trường hợp còn xuất hiện cả trạng thái ứng suất ba chiều, do đó cần rút ra các kết luận về ứng xử của vật liệu trong trường hợp trạng thái ứng suất không gian trên cơ sở giới hạn chảy và phá hủy, được xác định trong trạng thái ứng suất một chiều.